CONTINUTTEIT EN DISCONTINUTTEIT. x --+s a dew t' *a o+~ ~" y,,,~: ~~~y ~' ~ v.;

Transcriptie

1 CONTINUTTEIT EN DISCONTINUTTEIT. We zeggen dat een funktie continu is als we de grafiek kunnen tekenen zonder het potlood van het papier to nemen. E r mogen in de grafiek dus geen gaten of sprongen voorkomen. 1 2 ~ 3 ~ 4 I~ i D iscontinu Discontinu Discontinu Discontinu ( gat) (sprong) (gat (gat) i Wi l een funktie ontinu zijn op een interval I dan zal voor elke x = a (met a E I) f(a) moeten bestaan. Geval 2 voldoet wel aan bovengenoemde voorwaarde, toch is de funktie d iscontinu (er zit bij x = a een sprong). I n de buurt van x = a moeten de funktiewaarden in de buurt van f(a) l iggen, wi l er tenminste geen sprong zijn. Tevens moet dus gelden: l im f (x) f (a) voor elke x = a C- 1 Voorbeeld 1 f(x) _ - x. x --+s a dew t' *a o+~ ~" y,,,~: ~~~y ~' ~ v.; &, p~. ~~ r., ~,ati ='~ r! yr G4 a ) Bepaal het domein b) Bepaal de vergel ijkingen van de asymptot~en c ) Schets de grafiek. a ) Df = (x / x ~ 0) b) Horizontale asymptoot: dit is een l ijn waar de grafiek op den duur ( dus als x--> coo of x -> - m ) Tangs gaat lopen. T im 1 = 0 Y = 0 is horizontale asymptoot x --~ + m x f is discontinu in x = 0 ~ ~ x ~-,s0 f(x) = 1 im X = bestaat niet. ",.., ~- _ X -i O a 1 s x ~. 0 d a n f (x) --~ o~ a 1 s x T 0 dan f (x) --~ - a~ Dus de Y-as (x~0) is vertikale asymptoot. ~~

2 CJ x_as :~.'..~~ ~ ~., t~l~ Opmerking. ~ 1 De horizontale asymptoot vind je door l im f(x) uit to rekenen. x --~ + c~ De vertikale asymptoot (bij een gebroken funktie) vind je door l im x -+ a uit to rekenen. ( In x = a ~. moet f(x) discontinu zijn). ' ~ Als deze l imiet niet bestaat dan is er een vertikale asymptoot. Als deze l imiet wel bestaat dan is er geen vertikale asymptoot. -'"~~ f (x) Voorbeeld 2 f(x) = X-2. x2 +x-6 a ) Bepaal het domein van f b) Bepaal de vergelijkingen van de asymptoten c) Bereken de snijpunten met de X-as d) Schets de grafiek. a) Df = (x / x2+x-6 # o) x2+x-6 = 0 x =-3 v x=2 "" ;~' b) 1 im x22 = 0 Y = 0 is horizontale asymptoot. x --~ a~ x +x-6 l im x-2 = bestaat niet Vertikale asymptoot x = -3 x --~ -3 x2+x-6 ~ (a 1 s x -3 dan f (x) --a o~ ) ( a 1 s x T -3 dan f (x)-~ -c~ ) - x~-' 2 x-2 x-2 x~~ 2 x2+x-6 (x-2 x+3) x -., 2 x+3 5 q;,~;..,~,,, r.~',. ~~,~ ~ x-2 _ x-2 = 0 ~ x = 2 (vervalt want x = 2 behoort niet tot Df) 31

3 ~} r"~ _-.,. Gegeven de funktie f gedefinieerd door: i~_ f: ( f(x) = x2-x voor x ~ 2 ( f(x) = ax+4 voor x < 2 Bepaal a zodat f(x) is continu. De discontinuiteit kan optreden voor x = 2. i _ ~ f (2) = 22-2 = 2 1 im f(x)= f(2) als 1 im f(x) = 1 im f(x). = f(2). x --'2 x T 2 x j 2 :~~ l ~~.. ~_,a~-- a.2+4=2 2a = -2 a = -1. ~~~~ i ~~ i7 } r-_ {,. i '~~ 4, ~,1 ~~'; '~,~, ~- _, _ ~,, ~ ~ ~~2 ~~;r ~~~ ^. ~~'~'~' ` ~.F ~. ~ ` i '.~ Vi. ~~ '~ f; r ~ ~ t h F y r f~ ~ t~ s C,L: Y'L+~'~ Ywu.R_..! ~tv~,.,`n C1u.F. ~` a `t1 'A~. w t `~ t ; iw,, ~ ~ i ~ ~, ~~ i~ ' K <. 32

4 33 Voorbeeld 4) f (x) - x + 1 /x + 1/ f is discontinu als: / x + 1 / = 0 a x + 1 = 0 ~ x = -1 Grafiek van f: /x + 1/ _ ( x + 1 als x,~ -1 (x=- 1 mag niet) (-x - 1 a 1 s x~ -1 - x + 1 D iscontinuiteit voor x = -1 niet ophefbaar, omdat de g rafiek voor x = -1 een sprong vertoont.

5 Voorbeeld 5) f is voor elk x gedefineerd. Grafiek van f: ( -(x + 1) als x ~~ -1 x > -7: f(x) = 2x x + 1 = 3x + 4. f is continu in R

6 Differentiaalrekening. A ls we van een funktie f de grafiek getekend hebben kunnen we h ieruit aftezen "waar" en "hoeveel" de grafiek stijgemd of dalend is. De mate van stijgen of dalen hangt niet alleen van de funktie zelf o f maar ook het interval wat we beschouwen. Als we uitgaan van een funktie f dan kunnen we op een bepaald interval ~ a,b ~ de gemiddelde stijging of het differentiequotient bepalen; we verstaan onder het differentiequotient op een interval ~a,b~ Q R Q S- R S f (b) - f (a) _ tan t,~ Opm. : b~ a P R P R b- a De breuk f( b > - af(a) is een quotient van differenties, vandaar de naam differentiequotient. Voorbeeld 1: Gegeven f(x) = x2 + 4 Bereken het d i fferent i equot i ent op ~ 3, -1> ~ ~ ~ 1~ ~0, 4> ; ~a, b~ en ~x, x + h~ met h~ 0 35

7 3, -1~ diff.quotient:f(-1)_ f(-3) _ 5-13 = -8 4 ~ ~-3j 2 f (1)- f(-1) , 1~ diff.quotient: ~ ~ = 2 = 0 ---~---QUO) ~(0,4)~ diff. quotient: f(4 _ _ 5 ~a,b~ f (b) - f(a) b (a 2 + 4) diff.quotient: b - a b - a b2 - a2 b - a = b + a ~x,x+h,~ :diff.quot. ;f(x+h) - f(x) (x+h2)+ 4 - (x2 + 4) x + h - x h x2 +2 hx+h x2-4 h _ 2hx+h2 =2x+h h Het differentiequotient is een quotient van de toename van de funktiewaarde en de bijbehorende toename van het argument x: d f(x) p x We kunnen het differentiequotient op elk interval ~x, x + h~ of x, x + ~ xj u i t rekenen. Voorbeeld: f(x) = x2 + 4 D ifferentiequotient op ~x, x + h~: 2x + h. W i llen we nu het differentiequotient uitrekenen op ~ 3, -1 ~ moet je x = -3 en h = 2 kiezen. Het differentiequotient is dan: = -4 dan Op ~-1,1~ kies je x = 1 en h 2 Het differentiequotient wordt dan: = 0 We zien dat als het differentiequotient op een interval positief is dat de funktie gemiddeld stijgt. 36

8 Wat kan het differentiequotient voorstel len? Voorbeeld: f(t) = 3t + 5t 2 (eenparig versnelde beweging) Het differentiequotient op ~1,3~ is:f(3) - f(1) _ 54-8 = De eenheid zou kunnen zijn m/sec. Het differentiequotient stelt hier de gemiddelde snelheid voor op het interval ~1,3 ~. D ifferentiaalauotient. Zoals bekend zegt het differentiequotient op het interval ~x, x + h~ n iet of de funktie steeds stijgt of steed s daalt. I n bovengenoemde 3 geval len is het differentiequotient op het interval C x, x + h ~ gelijk, terwijl de funkties totaal verschi llend zijn. We beschouwen nu een funktie f en berekenen het differentiequotient op het interval ~a, a + h~ met h> 0 Differentiequotient: tan ~ - f (a+h) h- f (a) I ndien we h ~r 0 laten naderen dan nadert de l ijn P Q tot de raakl i jn ~. De hoek V~ nadert tot de hoek oc dus geldt: tan oc = 1 im h~'0 f (a+h) - f(a) h 37

9 Eenzelfde verhaal geldt ook als h? 0 Daarom geldt: tan oc = 1 im h~ 0 f (a+h) - f (a) h A ls deze l imiet bestaat ' ' ~ ~ noemen we de funktie differentieerbaar in x = a. D it getal noemen we het differentiaalquotient voor x a. Voorbeeld 1: Gegeven f(x) = x2 Bereken het differentiaalquotient voor x = 3 0 en -5 (3+h) 2-32 Differentiaalquotient in x = 3 - d im f ~ 3+h) h- f(3) - li h~0 h - 0 = 1 i m 9 + 6h + h2-9 h-~0 h = 1 im 6+h=6 h -~ 0 Dus in het punt van de grafiek met x-coordinaat 3 ( het punt (3,9) ) heeft de raakl ijn een richtingscoefficient 6 D ifferentiaalquotient in x = 0 fpm f(o+h) h- f(0) _ d im h = 0 h -a 0 h -~ 0 f ( -5+h) - f(-5) -10h + h2 D ifferentiaalquotient in x =-5 ~ 1 ~m h = l im h = -10 h~0 h-+0 Het differentiaalquotient van een funktie in x = a hangt dus of van 38 de funktie en van de x-waarde.

10 We kunnen dus bij elke x de bijbehorende richtingscoefficient van de raakl ijn bepalen. Doordat bij elke x een richtingscoefficient is t o bepalen, kunnen we aldus een funktie vormen. I n het punt met argument x (a) geldt dat de richtingscoefficient i s: d im f(x+h) h- f(x) Deze richtingscoefficient hangt dus of h~0 van de keuze van x en is afgeleid van de oorspronkel ijke funktie. Ze heet daarom afgeleide funktie aangeduid door f? (x). f(x + h) - f (x) Dus f~(x) = l im h~0 h Voorbeeld 1: Gegeven: f(x) = x2 + x - 1 a) Bepaal het differentiequotient op ~ 0,2 ~ b) Bepaal de afgeleide funktie. c) Bepaal het differentiaaiquotient in x = 3 a ) differentiequotient: f (2) - f (0) _ 5 - (-1) _ b) f~(x) _ d im f(x + h) - f (x) _ d im (x+h) 2 + x + h -1 - (x2 + x -1) h -j0 h h 2 _ d im 2hx+hh +h = f pm 2x+1 +h=2x+1 h ~0 h -s0 c) 1e manier: m.b.v. de definitie: d ifferentiaalquotient in x = 3: l im f ~ 3+hu h f ~ 3 ~ h -~0 = 1 im ~3+h~ h X ) h -~ 0 h 2 6h +hh + h _ = l im d im 7 + h = 7. h -a 0 h -~ 0 2e manier: f~ (x) = 2 x + 1 f ~ (3) = =7 39

11 Samenvatting_ D ifferentiequotient op ~a,b~ f(b) - f(a) b-a " (x, x+h) f(x+h) - f(x) h D ifferentiaalquotient in x = a: l im h -~ 0 f (a+h) - f (a) h A fgeleide funktie: f~(x) _ ~ ~m f(x+hh - f(x) h -> 0 Dus f~ (a) = l im f(a+hh - f(a) _ differentiaalquotient in x = a. h -~0 Het differentiaalquotient in x = a stelt dus voor de richtingscoefficient van de raakl ijn in x = a. 40

12 Andere schrijfwijze voor f~(x). f ~ (x) = 1 im h-~0 f(x+ f(x+h) - f(x)_ 1 im h,o,x-a0 p fi x- f (x) Boven de deelstreep staat de toename van f(x) als de x waarde met a x toeneemt. f ~ (x = : ~,m f(x+,ox) - f(x) _ ~ im pf(x) _ d f ~x d x p x-~0 ~x ax --s0 (Spreek uit: de-ef de-iks) I.p.v. f~(x) schrijven we ook wel y'. De tweede en volgende afgeleiden schrijven we als volgt: f 2~ x~_ f > >~X ~ ~ f>>>~x~= f 3 fix) Y >> y > >> d2 f d3 f d x2 d x3 Voorbeeld: Gegeven f(x) Bepaal de vergel ijking van de raakl ijn in (2, 2 ~) ti~"~, `~~t~,~_e? `~ Oplossing: f (x) = l im h - ~ ~ m x+h h -~ 0 h - 0 x, ' ~, 1 y a ~ " ~, - ~, -E~z = 1 im ~ - ~x+h) 1._1 im ~- fix{h ~ = ~~~ ~." ~ ~ ~ ~ ~ h -~ 0 h 1fX. x+h h -a0 h ~x. x+h ~ + x+h h "~ ~` ---- h -~ 0 x x+h + (x+h) Irx x ~ + x I~ 2x _. ti~._ 1?(~iC f ~ ~ 2 ~ _ -1 _ ~2 4 De vergelijking van de raakl ijn is: Y = a x + b Y = ~ 2 x + b. Li jn door (2, 2 4~2 Raakl i jn: Y = - $ ~ x + 4 ~ VZ+b b= 4~.

13 Voorbeeld: f(x) = x3 + x a fgeleide funktie: f~ (x) _ d im f(x+h) - f(x) h ~0 h = lim ~x+h) 3 + (x+h) - (x3 +x) h -~ 0 h = 1 i m x3 + 3xZh,+ 3h2. x.+ h3 a-; x + h. - zc3 ~- x h -> 0 h - d im h -~ 0 3x2h 3xh2 + h3 + h h = 1 i m ( 3x2 + 3x h + h + 1) = 3x2 + 1 ~"1 "! 0 = D ifferentiaalquotient voor: x = = 13. f (x) = x3 + 3 ( 1 im df(x) df ) (ox-~ 0 o x dx ) f' (x) = 3x2 + 1 of dx = 3x f '(2) = = 13 Hof (dx) x = 2 - ~3) 42

14 Standaarafgeleiden. f~ (x) = 0 f x = c f' (x) = 1 i m f (x+h) h- f (x) _ 1 i m h~0 h -a0 ~x+h) ~` - (x~) ~~ (x+h) n = ~~) xn h + (~) x n-1, h~ +.hn-1 + fin) xn-2. h2 + ( n ) 2 n-1 X fin) n X~ hn n, ~ 1~ n n n, fin) _ n _ n - 1 n n n-n. n - o l im Xn' + ~n h -~ 0 ),X n-1 h + - h h3 +.- hn - xn h _ ~ n'~ ~ = l im xn n.xn- ~ + h + h 2 - ~ n.x h-~0 Voorbeeld. f(x) = x3 f'(x) = 3x~ f (x) = 1rx = x 2 f (x) = Z 2-1 _ z x -z _ Z 1 ~ = 1 "z 2 V x' f (x) = X = x- ~ f'(x) _ -1.x-2 = Z x f (,) = x = f'(x) = O.x- ~ = 0 (afgeleide v.e. constante = 0)

15 I I I ; f (x) = c. g (x) f '(x) = c.g~(x) vb. f(x) = 5.x2 f' (x) = 5 (2x) = 10 x I V ; f (x) = U. (x) + V (x) ; (Somregel ) ~ ~ f' (x) _ ~,~ (x) + 1~' (x) vb. f (x) = x2 + x f (x) = x3 + 3x2 + 5x f' (x) = 2x + 1.x f (x) = 3x2 + 6x + 5 = 2x+1.1 = 2x + 1. V Produktregel. ; f (x) = U. (x) V (x) f = U.V f' = U.V' + V.u.' f' ~X~ = X2 ~X3 -I- 5X 2 f ' (x) = 2x (x 3 + 5x2 ' ) + x 2 (3x2 + 2Zx 2 ) f '(x) = 2x (x3 + 5 x) + x2 (3x lrx f (x) = c.x4 f '(x) = O.x~ + c.~x4- ~ = c.1~.x 4-1 f '(x) = 2x (x - 1) + (x2 + 1) (1) f'(x) = 2x2-2x + x2 + 1 = 3x2-2x + 1

16 i i i > > i V. -.V u. (x) ~ ~ lit, f ' _ V I Quotientregel.; f(x) ; of ; f = Z V x,, v v f' (x) _ ~.~ (x) v(x) - li.(x) v' (x) v (x) 2 Vb. f(x) - x x4 +3 f '(x) = 2x (x4 + 3) - (x2-1) 4x3 (x4 + 3) 2 f ' (x) = Z - 2x5 + 4x3 + 6x (x4 + 3) 2 f (x) _ ~ + x = x 2 + x 1rx-x x z -x f '(x) _ (zx z + 1) (x z - x) - (x 2 + x) (2x 2-1) 2 ~ X Z - x) x "t' X _ f' (x) = xz = ~xz _ x~2 ~ ~ _ X~2 V I I Kettingregel. Stel: f is een funktie van g f(g) b.v. f(g) = g 2 S tel: g is een funktie van x: g(x) b.v. g(x) = x2 + 1 Dus f is ook een funktie van x nl.: f(x) _ (x2 + 1) Z 45

17 df _ d im Qf dg ag-~0 a9 dx = l im a g A x-~0 df _ dx dim of ~, ~x x y 0 A 1 s a x --~ 0~ o g --~ 0 df _ ~ im Qf dx ~x ~~ px = 1 im (nf og ) a x~0 (eg x nx ) = 1 im o f 1 im a g n x-~0,o,g x QxyO ex = l im p f l im og a g~0 Qg X Ax-~0 ax df df dg dx dg dx f '(x) = f'~9) x 9'fix) f ~9) = g2 f' ~9) = 29 g(x) = x2 + 1 g'(x) = 2x f '(x) = 2.g x 2x = 2(x2 + 1) 2x = 4x (x2 + 1) f (x) _ (x2 + x + 1)~~5 S tel : g = x2 + x + 1 g' (x) = 2x + 1 f C9) = C9) ~ /5 f' ~9) = 1 g - 4/ x + 1 2x x2 + x + 1)4 5 g4 1

18 1 2e DEELEXAMEN ;Afgeleiden van goniometrische funkties. ; f (x) = sin x f' (x) = l im f(x+h) - f(x) h --~ 0 h = l im sin (x+h) - sin x h -~0 h = l im 2 cos (x+zh). sin.zh h -~0 h. = l im cos (x+2h) sin Zh h --~ 0 2 h. = l im cos (x+zh) sin zh h -~ 0 2 h = cosx 1, f' (x) = cos x ; ~ ~ f (x) = cos x --> f' (x) _; - sin x ; ~ ~ f (x) = tan x = sin x cos x f ' (x) _ (sin x) ' cos x - sin x (cos x) ' (cos x) 2 f ' (x) = cos x cos x - sin x (-sin x) (cos x) 2 f ' (x) = cos 2x + sin2x 2 cos x f ' (x) _ ' 1 ' ~ 2 ~ ; cos x ; ~ ~.. Voorbeeld 1: f(x) = sin2x x ----~ ~ s i n x a ( s i n x) 2 ~1 cos x 2 (sin x)~ f' (x) = 2 sin x cos x

19 2. ~~~~ v ~~ 3 ( 1/3 3 Voorbeeld 2: f(x) = cos 3 x+1 = (cos (x+1) ) ( )3 1/3 1/3 ( 1/3) x.~ x+ 1 --~ (x+1) --~ cos (x+ 1) --._-~. ( cos (x+1) ) ) 2-2/3 1/3 ( 7 /3) 1 1 1/3(x+1) - sin(x+1) 3(cos(x+1) ) ( )2 ~ ) 1 f ' (x) = 3(cos 3 x+1) (-sin3 (x+1). 3(x+1) -2~ _ -(cos x+1) 2 sin3 x+l 3 (x+1) 2 Voorbeeld 3: f(x) = tan 2 (x 2 + 1) _ ~ 2 )2 ( tan (x + 1) ) 1 ( ) 1 f ' (x) = 2 (tan (x2 + 1) cost (x2 + 1) 2x = 4x tan (x2 + 1) cos2 (x2 + 1) Voorbeeld 4: f(x) = sin2x cos 4x f ' (x) _ (sin2x) ' cos 4x + sin2x (cos 4x) ' g(x) _ (sin x) 2 g' (x) = 2 (.sin x)~ cos x = 2 sin x cos x h(x) = cos 4x h' (x) _ - sin 4x 4. = -4 sin 4x. f ' (x) = 2 sin x cos x cos 4x + sin2x (-4 sin 4x) = 2 s i n x cos x cos 4x - 4 si n2x s i n 4x.

20 3. De afgeleiden van ]n(x) en ex ' 1 ' f ' (x) = x - f (x) = ex y = e x 1ny= 1neX In y = x.ln e In y=x x = In y dx 1 dy = y = ex f' (x) = ex dy y dx, Voorbeeld 1: f(x) = e2x methode I: Stel: g(x)=2x g' (x) = 2 f (g) = eg f' (g) = eg f ' (x) = 2e 2x methode I I: f(x) = e 2x ~ ex~ 2 2 Voorbeeld 2: f(x) = e 3x + 5x -4 = 2 ex ex = 2 e2x Stel: g(x) = 3x2 + 5x -4 g' (x) = 6x + 5 f (g) = eg f' (g) = eg 2 f ' (x) _ (6x +5) e 3x + 5x -4! Algemeen: Als f(x) = e p ~ x ~ f ' fix) = e p ~ X ~ p' ~X)

21 ~'we/~ 4. Voorbeeld 3: f(x) = In (x2 + 1) Stel : g(x) = x2 + 1 f ig) = In g g' (x) = 2x f' C9) = g ~ 2x 2x x2 + 1 Voorbeeld 4: f(x) = In (sin x) Stel: g(x) = sin x g' (x) = cos x f ~9) = In g f' ~9) = 1 9 f ' (x) _ ~ cos x cos x s in x = = co tan x. s in x Algemeen: f(x) = In p(x) ~ ~~

22 5 Grafieken. Een funktie f heet stijgend op een interval als: (Voor alley x~, x2 ~ ~ met x~ ~ x2 geldt f x~ f x2 Funktie f heet dalend op het interval als: x~, x2 ~ ~ met x~ ~ x2 geldt f x~ ~ f x2 --~ x ~ < x2 ~ f (x~ ) ~ f (x2) f heet stijgend ^i '`2 Als x ~'~ en x + he ~ (h >0) dan veldt: f(x+h)? f(x) f (x+h) - f (x) ) 0 f (x+h) - f(x) ~ ~ h h,~ 0 h Als xe'~ en x + h E~ (h L 0) dan geldt: f (x+h) ~ f (x) f (x+h) - f (x) ~ 0 f (x+h) - f (x) ) 0 want f (x+h) - f (x) ~ 0 en h ~ 0 h 1 im f(x+h) - f(x) ~ ~ h ~ 0 h

23 1 im f(x+h) - f(x) h ~ 0 h > 0 als h positief is l im f(x+h) - f(x) ~ n 4o n 0 als h negatief is. I n het algemeen geldt: 1 im f (x+h) - f (x) ~ ~ h --~ 0 h Dus f' (x) ~ 0 als x E ~ Voorbeeld: f(x) = x2 Toon aan dat f stijgend is op ~1,ao ~ f ' (x) = 2x Als x C ~1,c~) ~ f' (x) ~ 0 f stijgend op ~1,a~~ Voorbeeld: f(x) = x2 Toon aan m.b.v. de definitie dat i nterval ~1,ao~ f stijgend is op het K ies: x~ ~ x2 met x~ ~ x2 ~ ~1,w~ f ~ X1 ~ _ x12 f (x2) = x22 X1 ~ X2 x~ 2 ~ x22 ~ f~x~) ~ f~x2) f = stijgend.

24 7 Toon aan dat f op het interval ~-1,2 ~ niet stijgend is. Kies: x~ _ - 2 x2 = 4_ x ~ ~ x2 en x~, x2 E ~- 1,2 ~ f (x1) f ( 2) ~. ) ~ f(x~);~ f(x2) f niet stijgend. f ~"2~ f ~4~ 16. ~ Het verband tussen de grafiek van een funktie en de afgeleide. f stijgend op Als f stijgend is, is f' positief. Als f positief is, is f stijgend. Als f dalend is, is f' negatief. Als f' negatief is, is f dalend. ; A ls de afgeleide nul is (f' = 0) loopt de grafiek daar horizontaal; dit wi l niet zeggen dat er een maximum of een minimum zit. ~ ~ ~ ~ ~

25 f' (x) = 0 f max: sti jgen --3 dalen. max: f' (x) wisselt van pos. ~ neg. f ' (a) = 0 min: dalen --> sti jgen. ~~ m in: f' (x) wisselt van neg.--~ pos. f' (a) = ct. f ' (a) = 0 f ' wisselt niet van teken. I n a buigpunt met horizontale raakl ijr , --- f ' (a) = 0 f ' wisselt niet van teken. I n a buigpunt met horizontale raakl ijt 0.

26 ~v~ ~~ 9 Voorbeeld 1: f(x) = x3 - x Oplossing: a) Toon aan dat f(-x) _ - f(x) b) Bereken snijpunten met de x-as. c ) Bepaal f' (x) en bereken de lokale extremen d) Teken de grafiek van f. a ) f(x) = x3 - x -f (x) _ - (x3 - x) _ - x3 +x f (-x) _ - f (x) x (x2-1) = 0 x =0 v x2 =1 ) x = 1 v x= -1 ~ x= 0 v x= 1 v x - 1 s 3 = (1,o) Een derdegraadsfunktie kan hoogstens ) f 3 snijpunten met de x-as hebben. ) c) f (x) = x3 - x f ' (x) = 3x2-1 S tel: f' (x) = 0 3x2-1 = x = V3 v x= -~ 3 x =3 ~3vx=-3}f 3 f ' Q q ~3 3V3 f st. max. dal. m; n' st. 3~ 3~

27 /V ~ ' ~~. 10 Maximum: Voor x = - 3 ~3 f ~ 3 Y 3~ ~ 3 ~~ 3 ~ 3 ~'~ _ - 9~3 + 3~ 9~' Minimum: Voor x = 3 ~3 f ( 3 v'3) = ( 3 3)3 - ( 3~) = -9~. d) GRAFT E Opmerking: Oplossen van een derdegraadsvergel ijking: f (x) = x3-3x2 + x + 1 Voor Welk x geldt f(x) = 0: 1e Methode: Probeer een wortel to vinden. (tussen - 3~n.+3) x = 1 is een wortel. Als x = 1 een wortel is, is f(x) = x3-3x2 + x + 1 deelbaar door x - 1 x - 1 / x3-3x2 + x + 1 / x2-2x - 1 x3 - X2 = - 2x2 +x+ 1 ~..2 ~.. - x x + 1 0

28 ~t'~ f f(x) _ (x - 1) (x2-2x - 1) f (x) =0 x- 1 =0 v x2-2x- 1 =0 Wortels: x= 7 v x= 1+~ v x= 1 -~ x1 2 2 = 1 + 2e methode: f(x) = x3-3x2-2x + 6 f (x) = x2 (x-3) - 2 (x-3) _ (x2-2) (x-3) Wortels: f(x) = 0 x= 2 v x= -2 v x= 3

29 . ~ ~ w' ~ 12 Voorbeeld 2: Gegeven: f(x) = x - 4 3x+6 Gevraagd: a) Bepaal Df en Bf b) Bepaal de vergel ijking van de asymptoten. c) Bepaal de snijpunten met de x-as. d) Bepaal f' (x) e) Teken de grafiek van f. Oplossing: a) Df = ( x E ~ / x ~ -2 ) Noemer mag geen nul worden Bf = ( f (x) / f (x) ~ 3) b) Horizontale asymptoot: 4 l im x- 4 l im 1 - x 1 x -~+cam 3x+6 xa+~ x Asymptoot: y = ~ 3 Vertikale asymptoot: Noemer nul 3x + 6 = 0 A symptoot: x = -2. x = - 2 c) Sn i j punten x - as f (x) = 0 x - 4_ ~ x -4 = o d) f' (x) = 1 (3x + 6) - (x - 4) 3 3x+6) 2 ~}x ~ o,

30 13 ~ ~.~,~ V vut~ 2 f ~ f + f + f -I- f -F f f -f- X = -2 f altijd stijgend, behalve voor x = -2. ~r~-2 y= 3

31 1/U-Q-'f 14 x2 +2X- 3 Voorbeeld 3: Gegeven: f(x) = 2 2x + 7x - 4. Gevraagd: a) Df en Bf b) Vergel ijking asymptoten. c) Snijpunten met de x-as. d) f' (x) en wanneer is f' (x) positief en negatief. e) Bepaal de locale extremen. f ) Teken de grafiek. 1 g) Voor Welke waarden van x geldt f(x) > 2 Oplossing: a. Df: Stel: 2x2 + 7x -4 = 0 x~ _ g = x ~ = 1/2 x2 = -4 Bf1 = zie punt f. b. Vertikale asymptoot: 2x2 +7x- 4=0 Horizontale asymptoot: x=-4 v x= ~ i m = x2 + 2x - 3 _ 1 ~ y _ 1 x.~ + a~ 2x2 + 7x -4 2' 2' c. Snijpunten uit x-as: f(x) = 0. x2 +2x- 3=0

32 ,~~ d. f' (x) _,(2x - 2) (2x2 + 7x -4) - (x2 + 2x -3) (4x + 7) (2x2 + 7x - 4) 2 = 3x2 + 4x + 13 ( 2x2 + 7x -4) 2 S tel: f' (x) = 0: 3x2 + 4x + 13 = 0-4+V D ~o X ~'~= ~ Geen oplossingen --~ geen lokale extremen. f. _./ g. f ~ x ~ ~~ 1 x2 + 2x - 3~ 1 2 2x2 + 7x (x2 + 2x - 3) - (2x2 + 7x -4)~ ~ 2 (2x2 + 7x -4) -3x -2 > 0 2 (2x2 + 7x -4) -3x-2=0 --~ x=- 2/3 2x2 +7x-4=0.,x= -~± 49+3~ -~ x = -4 v x = 1/2 ~ U ~ -4-2/3 1/2 Oplossing: x ~ - 4 v - 2/3 ~~ x ~ 1/Z

33 16 2 Voorbeeld 4: Gegeven: f(x) = x 2 2x 3 Gevraagd: zie voorb. 3 2x - 7x - 4. a. Df : 2x2-7x - 4 = o 2x2-8x + x - 4 = 0 x = - 2 v x = 4. Bf: ( x ER ) b. Asymptoten: Vertikale asymptoot: x = - 2 en x = 4. Horizontale asymptoot: l im = x2-2x - 3 x -s+ao 2x2-7x-4 ~ _?_3 1 im x x2 ~ x +~ 2_ ~_ 4 = 2 x 2 x 1 y 2. c. Snijpunten van de x-as: f(x) = 0 x2-2x - 3 = 0 x =3 v x=

34 17 d. f' (x) _ (2x - 2) (2x2-7x - 4) - (x2-2x -3) (4x - 7) (2x2-7x - 4) Z _ -3x2 + 4x - 13 (2x2-7x - 4) 2 Stel: f' (x) = 0-3x2 + 4x - 13 = n ~ = 16-4 : D ~0 geen wortels. 2 7 f '. ' ' _ 21 4 ~ ~ f. dal. ; dal. dal. - ~ 4 2

35 S Voorbeeld 5: f (x) = x2-4x + 3 a) Df en Bf x2 + x - 2 b) Asymptoten en snijpunten met de x-as c ) Bepaal de lokale extremen van f en teken de grafiek. d) Bepaal f' (x) x = 2 v x=+ 1 Bf = zie punt e. b. Snijpunt x-as: f(x) = 0 x2-4x + 3 = 0 (x-3) (x-1) = o x = 3 v x= 1 S ~ _ (3,0) ~ S2 = (1,0) vervalt f(1) bestaat niet. Vertikale asymptoot: noemer nul: x = -2 x = 1 Horizontale asymptoot: l im x2-4x +3 = 1 ~ Y = 1 -x--~ ~ X2 + x -2 d. f' (x) _ (2x-4) (x2 + x -2) - (x2-4x + 3) (2x + 1~ (x2 +x- 2) 2 = 5x2-1 ox (x2-2x + 1) ( x2 + x - 2) 2 (x2 + x -2) 2 5 (x - ~~2 (x2}x-2~2

36 1g x = -2 x=1 Dus de funktie f is altijd stijgend.

37 ,( 2 0 ~,~ir Voorbeeld 6: f (x) x - 2 x2 +2x-3 x =-3 v x=1 B f = ( f(x) ER / ~ (x) > 0,66 v f(x) ~l 0,09 ) b. Snijpunt met de x-as: f (x) =0 x-2=0 x = 2 S = (2, 0) Asymptoten: Vertikale asymptoot: x = -3 en x = 1. Horizontale asymptoot: l im x - 2 _ ~ ~ y _ 0 x-~,+w X2 +2x -3 c. f' (x) = 1 (x2 + 2x - 3) - (x - 2) (2x + 2) ( x2 + 2x - 3) 2 x2 + 2x - 3-2x2-2x + 4x + 4 (x2 + 2x - 3) 2 -x2 + 4x + 1 ( x2 + 2x -3) 2 Lokale extremen: Stel : f' (x) = 0 - x2 + 4x + 1 = 0 x12 = x ~ =2+~ X4,2 x2 = 2 - V 5 ~ - 0,2.

38 21 ~ ~ ~ 7 2+ ~ min. ~ max. f dal. dal. Q st. st. q dal M inimumvoorx=z - ~5: f~2- lr5) = 2 ~ - 2 (2- ~) 2 + 2(2-1~5) -3 _ ,65 Maximum voor x = 2 + ~5: ( 2+ 1r5) 2 +2 (2+ Ir5) - 3 0,09 d. Grafiek.

39 22 e. Vergel i j ki ng van de raakl i jn i n (OJ2/3:) ( x2 + 2x -3) 2 Raakl i jn ~ y= 9 x+ b Raakli ~ 'n door (~~ 3~ b b = 2/3 1 2 Y =9x +3 9Y~x-6=~

40 23 Buigpunten. ~ De grafiek van f' (x) heeft voor x = a een buigpunt indien f " (a) = 0 en f " (x) voor x = a van teken wisselt. Een buigpunt is een punt waar de grafiek overgaat van hol Haar bol of omgekeerd. (3e graadskromme) ~ y ( 2e graadskromme) ( 1e graadskromme)

41 24 Lokale extremen - Randextremen. I ndien een funktie gegeven is op een gesloten interval, ~ a,b~ dan noemen we de waarden f(a) en f(b) de randextremen. (Indien men de lokale extremen vraagt horen de randextremen erbij). Gegeven: f op interval ~ a,b~ I n x = b I n x = a a- b treedt een minimum op. treedt geen_randextreem op.

42 l; i; ~' Voorbeeld 1: Gegeven: f(x) = x3-4x2-3x + 72 Oplossing: Gevraagd: a) Vol ledig origineel van nul. b ~ f' (x) c) De lokale extremen. d) De coordinaten van de buigpunten. e) Teken de grafiek. a. f(x) = 0 f(x) = x2 (x-4) - 3(x-4) f (x~ _ (x2-3) ~x-4) f (x) = of (x + ~3) (x - ~/3) (x-4) = o x =-~3 v x= v3 v x= 4. Volledig origineet van 0: ( - ~3, ~, 4) Snijpunten x-as: S (-~3,0) (v3,0) (4,0) b. f' (x) = 3x2-8x - 3 c. Stel f' (x) = 0: 3x2-8x - 3 = 0 3x2-9x + x - 3 =a 3x + 1= 0 ~ x- 3= o 7 x = 3 v x= 3 Stel f " (x) = 0: 6x - 8 = 0 x = 4 3 :j'r' f st. max. dal,end m;n' st. (BP = buigpunt) f, + o _ d + - 1/ 3 3 f" q + 4~3

43 ~,~; ~~ Max: f (- 3) _ - 2~ = 12 2~ Min: f(3) =27-36-g+12 _ -6 Buigpunt: f (3) = 2~ _ - X Buigpunt: ( 3 ~ 3 2~) e. Grafiek:

44 27 ~'~; ~r Voorbeeld 2: Gegeven: f(x) cos2x -.sin x met x E l 0,27~~ Gevraagd: a) Bepaal snijpunten met de x-as b) Bepaal f' (x) met de lokale extremen. c ) Bepaal de x coordinates van de buigpunten. d) Teken de grafiek. e) Raakl ijn in ( 4 ~ 2 ( 1 - Ir2)~ Oplossing: a. Snijpunten met de x-as: f (x) = 0 cos2x - sin x = sin2x - sin x = 0 sin2x + sin x - 1 = ( sin x) s in x~ _ ~ ~ - 2-1,08 ~ - 1,608 (gees oplossing) s in x = - ~ 1 ~ _ ~ Z + 1,08 ~ 0,608 x=37 =57=o,65ra.d. x = (180-37) = 1430 = 143 = 2,5 rid 57 b. f' (x) _ -2 cos x.sin x - cos x Stel f' (x) = 0: - 2 cos x s i n x - cos x = 0 cos x (- 2 sin x - 1) = 0 cos x= 0 ~ - 2 sin x- 1 = 0 x = 2 v x= 3 2 sin x= 2 7 x =6 Tf (21o ) 1 1 v x = 6 ii ~33~ ) f, I I S 2 ~' 6~ 2 n 6~ 2~~ f rand ex dal. min. st. max. dal. m ; n' st. maxdal. rand Z extr. 'u T ~T 2i7

45 Minimum: x = Z j~ f (~ ji ) _ x =2ii f (2 ii) =+1 Maximum: x = 6 ~~ f (6 i~ ) _ ~- 2 V 3~2 - (- 0,5~ X11 _ x = 6 ~ : f ( 6~ n) _ ( 2x/_3)2 - (- 0,5) 5 4. Randextremen: x = 0 f(0) = 1 x = 2i~ f(2u ) = 1 c. Buigpunten: (x-coordinaten) f ' (x) _- 2 s i n x cos x -cos x - sin 2x - cos x f " (x) _ - cos 2x.2 +sin x _ - 2( 1-2 sing) + sin x = -2+4 sinzx+sinx Stel: f " (x) = 0 4 sin2x +sin x - 2 = 0 ( sin x)~ 2 = 1 ± 81 + $2 1 1 s in x1-8 8 V33 ~ - 0, sin x V33 ~ 0,592 x = 237 v x = 303 x = 36 v x = 144 B P BP - q + Q BP BP - q + Q o~

46 t, a v~~4~..r~'r~, 2g d. Grafiek. e.

47 3~ Voorbeeld 3: Gegeven: f(x) _ ~ met x E [ 0,2 T~ sin x - cos x Oplossing: Gevraagd: a) Bepaal Df. b) Snijpunten met de x-as c ) Bepaal f' (x) en de extreme waarden d) Teken de grafiek. a. Df: f(x) bestaat niet als sin x - cos x = 0 s inx-cosx=0 s i n x= cos x (of cos x= s i n (90 - x) ) s in x (als cos x ~ ~~) cos x ~ tan x = 1 5 x - 4 v x=4~ (cos x# 0) 5 of = ~ x E (,0,2 n,]! x ~ 4 x ~ 4 ir ~ Bf = zie punt d Asymptoten: x = 4 en x = 4 rr b. Snijpunten met de x-as: f (x) = 0: geen oplossing (want tel ler ~ 0) c. f' (x) = 0-1.(cos x + sin x) ( sin x - cos x) Z f ' (x) bestaat niet als sin x - cos x = 0; dit is voor x = 7 4 en x = 4i1

48 37 S tel f' (x) = 0: +cos x + s i n x = 0 sinx=-cosx s in x ~ cos x tanx=- 1 x =4Tl ~ x=~11 ~ ~ f ~ ~ ~ 4 3~ ~ 4 ~2,~ f da 1? da 1 H~N~ st.? s t ~;~X" dal. o r 3~~ 5n ~n y 2 i Extremen: Randextremen: x = 0 f(0) _ ~ 0-1 = - 1 x = 2ii f (20 ) _ ~ 0-1 = Minimum: x= 4 j~ f ( 43 ~~ ) = y2 + 2~2 2 V2. 1 Maximum: x = 4 i~ f (4 ~ ) _ 1 1 `~- _ 1 ~~ ' 2 ~2 2Y2 2V2. d. Gra Z~ y