Studiehandleiding Wiskunde 1B Voor Bachelor Opleiding Scheikunde 2004 2005 Dr. W. van der Kallen Januari 2005
Inhoudsopgave 1 Plaatsen, tijden, namen enz. 3 2 Leerstof, Programma en Opgaven 5 2.1 Leerstof.............................. 5 2.2 Programma............................ 5 2.3 Opgaven voor het Werkcollege.................. 6 3 Leeswijzer 9 4 De toets Wiskunde 1B van de cursus 2000-2001, met antwoorden 19 5 De toets Wiskunde 1B van de cursus 2002-2003, met antwoorden 23 1
2
Hoofdstuk 1 Plaatsen, tijden, namen enz. Vak Docent Wiskunde 1B Dr Wilberd van der Kallen M.I. kamer 416, tel. 253 1431, vdkallen@math.uu.nl Homepage: http://www.math.uu.nl/people/vdkallen. Werkcollege-assistenten Groep X: Drs Barbara Boldin M.I. kamer 803, tel. 253 1462, boldin@math.uu.nl Groep Y: Drs Claire Kouwenhoven M.I. kamer 410, tel. 253 2303, kouwenho@math.uu.nl Studiebelasting Plaatsen en tijden Boek (verplicht) 3 studiepunten (ECTS) Derde periode; voor het rooster zie informatie verspreid door de studentenadministratie scheikunde Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th edition, Wiley, 1999. NB Het moet de 8th edition zijn; die verschilt sterk van de 7e. Leerstof zie p. 5 Programma zie p. 5 Opgaven zie p. 6 Leeswijzer zie p. 9 Woordenlijst zie p. 17 Toets deel B 25 Feb 2005, 09.00 12.00 uur,??? gebouw zaal??? Toets- en tentamenstof komt globaal overeen met de leerstof; de preciese tentamenstof wordt tijdig via www bekend gemaakt Toets cursus 2000-2001 zie p. 19 Toets cursus 2002-2003 zie p. 23 Toets- en tentamenregeling Nadere informatie zie Handleiding Wiskunde 1A via de homepage van de docent 3
Plak hier desgewenst het rooster in 4
Hoofdstuk 2 Leerstof, Programma en Opgaven 2.1 Leerstof De leerstof bestaat uit: Kreyszig Hoofdstuk 6, 1 t/m 7, Hoofdstuk 7, 1, 3, en 5, en Hoofdstuk 3, 3 en 6. De stof wordt in een iets andere volgorde behandeld. Tenzij anders vermeld, wordt alleen de stof die op het hoorcollege is behandeld getoetst in de toets of het tentamen. 2.2 Programma Planning van per college te behandelen paragrafen (NB de ervaring leert dat de werkelijkheid niet altijd overeenkomt met de planning): College Te Behandelen Behandeld 1 6.1, 6.2 : 2 6.3 : 3 6.4, 6.5 : 4 6.6, 6.7 : 5 7.1 : 6 3.3 : 7 3.3 : 8 3.6 : 9 7.3 : 10 7.5 : 5
2.3 Opgaven voor het Werkcollege Opgegeven opgaven Hieronder kunt U per werkcollege noteren welke opgaven opgegeven zijn: College Opgaven 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 : 6
De opgaven De opgaven die hieronder staan vermeld vormen een goede voorbereiding op het tentamen. Een betekent dat de som op een tentamen gevraagd zou kunnen worden; de andere zijn makkelijker. Aan het eind van ieder hoorcollege wordt opgegeven welke opgaven op het aansluitende werkcollege gemaakt moeten worden (U kunt ze op blz. 4 apart noteren). Soms zullen opgaven gegeven worden die niet op de lijst hieronder voorkomen (bijvoorbeeld oude tentamenopgaven). Ook kan het voorkomen dat opgaven opgegeven worden waarvan de theorie (nog) niet op college is behandeld; in dat geval moet de theorie zelfstandig bestudeerd worden. Van de opgaven met oneven nummers staan oplossingen in het boek op pp. A5-A50. Opgaven uit het boek Paragraaf Opgaven 6.1 3, 7, 9, 15, 6.2 3, 7, 18*a, e; toets Hfdst. 4: 1a. 6.3 1, 5, 9, 11, 13, 17*, 21*; toets Hfdst. 4: 2a, b; toets Hfdst. 5: 2a, b; extra opgave: 4. 6.4 5*, 7*, 11, 17*, 19, 21*, 25*; toets Hfdst. 4: 2b, 3b. 6.5 controleer hoofdstelling bij opg. 5, 9, 11, en 13 van 6.3 6.6 3, 5, 6, 11, 13, 15, 17, 20*; toets Hfdst. 4: 1b, 4a, b; toets Hfdst. 5: 1d; extra opgave: 1. 6.7 1, 3, 7, 9, 11, 15*; toets Hfdst. 4: 1c. 7.1 3, 5, 11, 13*, 15, 17, 19; toets Hfdst. 4: 2a. 7.3 1, 3, 5, 9*, 13; toets Hfdst. 4: 3a, c; toets Hfdst. 5: 3b. 7.5 1, 3, 9*, 11*, 15* 3.3 1, 5, 15*, 17*; toets Hfdst. 4: 5; toets Hfdst. 5: 4a, b; extra opgave: 2, 3. 3.6 3, 5*, 11*, 15*; toets Hfdst. 4: 6a, b, c, d; toets Hfdst. 5: 5a, b, c, d. 7
Extra opgaven 1. Bekijk p. 320, opg. 18: kies makkelijke waarden voor θ in de matrix A en bepaal de beelden van de onderstaande vectoren onder linksvermenigvuldiging met die matrix. 0, e 1, e 2, e 3, e 1 + e 2, e 1 + e 3, e 2 + e 3, e 1 + e 2 + e 3 e i zijn de standaard basisvectoren in R 3. Maak ook een tekening en ga na hoe de zo verkregen afbeeldingen werken op de kubus gevormd door deze vectoren. 2. Beschouw een reactie kinetiek P Q R S, met reactiesnelheidsconstanten respectievelijk 1, 2 en 5. Stel het stelsel differentiaalvergelijkingen op dat de reactiekinetiek beschrijft; schrijf dat stelsel in matrix-en-vector notatie; bepaal de eigenwaarden en de eigenvectoren van de gevonden matrix; los het stelsel op. Geef ook een chemische interpretatie van de eigenvector die hoort bij de eigenwaarde 0. 3. Bekijk opgaven 1 en 15 van section 3.3 (die zijn eerder opgegeven, maak ze als je ze nog niet gemaakt hebt). Schets bij beide het verloop van de banen (trajectoriën) in het vlak, ga na met welke van de figuren 78 83 uit het boek je schets het meest overeenkomt, en verklaar wat eventueel het verschil is tussen jouw schets en de meest overeenkomende figuur. 4. Bekijk opgaven 11 en 13 van section 6.3 (die zijn eerder opgegeven, maak ze als je ze nog niet gemaakt hebt). Geef de oplossing in de vorm p + αq + βr +..., waarbij p, q, r,... vectoren zijn en α, β,... vrij te kiezen scalairen. Schets ook de ligging van de oplossingsruimte in de R 3 ten opzichte van de assen door de eenheidsvectoren. Tentamen opgaven Zie de toetsen van twee vorige cursussen op blzn. 19 en 23. 8
Hoofdstuk 3 Leeswijzer Inleiding Deze leeswijzer is bedoeld als hulp bij het lezen van de te behandelen gedeelten uit Kreyszig s boek. Matrices 6.1 t/m 6.5 De inhoud van 6.1 zult U als eenvoudig ervaren. Men kan m n-matrices bij elkaar optellen en ook met een getal (scalair) vermenigvuldigen. Ook kunnen we matrices transponeren. In 6.2 wordt de matrixvermenigvuldiging ingevoerd: AB. Let op: de rijlengte van A moet gelijk zijn aan de kolomlengte van B. Welke rekenregel van de reële getallen geldt niet voor matrixvermenigvuldiging? Matrixvermenigvuldiging krijgt wiskundige diepgang als men de bijbehorende lineaire afbeeldingen beschouwt (zie pag. 340): F : R n R m met y = F (x) = Ax De kolommen van de matrix A worden aldus de beelden van de basisvectoren e 1,, e n. De kolommen zijn dus Ae 1,, Ae n. Matrixvermenigvuldiging correspondeert nu met het samenstellen van de bijbehorende lineaire afbeeldingen. Dit wordt op het college toegelicht. Paragraaf 6.3 gaat over het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen: Ax = b door middel van de zogenaamde Gauss eliminatie (ook wel vegen genoemd). In deze methode moet U een grote handigheid verwerven. De rang van een matrix A (zie 6.4) is het maximaal aantal lineair onafhankelijke rijen van A. De rang is tevens gelijk aan het maximaal aantal onafhankelijke kolommen. Dus: ranga = ranga T 9
De rang van een matrix verandert niet door elementaire rij- of kolomoperaties. Men kan de rang berekenen door te vegen. In 6.5 wordt het begrip rang gebruikt om te onderzoeken of de vergelijking Ax = b oplossingen heeft en zo ja, hoeveel. Leer de uitspraken van het Fundamental Theorem uit het hoofd of, wat beter is, probeer ze te begrijpen. Determinanten en inversen 6.6 en 6.7 Paragraaf 6.6 gaat over determinanten van vierkante matrices. In 8.3 kwamen we al eerder determinanten tegen van 2 2 en 3 3 matrices. Ze hadden daar te maken met de begrippen oppervlakte en volume. Determinanten kunnen ook in verband worden gebracht met het oplossen van stelsels vergelijkingen (zie bladzijden 341-342). Op bladzijde 343 komen de determinanten van n n-matrices aan de orde. Theoretisch zijn deze een stuk lastiger. Ze hebben te maken met het begrip volume in een n-dimensionale ruimte. De definitie bij Kreyszig (pp. 343-344) is vooral op het uitrekenen ingesteld. Hij begint gewoon met de ontwikkeling van de determinant naar rij en kolom. Zie de formules 9a en 9b. Het uitrekenen van een determinant is nu niet moeilijk meer; dezelfde rekenregels als bij 3 3 -determinanten worden gebruikt en deze staan vermeld op pp. 345-348. Het uitrekenen van determinanten doet men het beste door vegen en ontwikkelen af te wisselen. Zie vooral de voorbeelden van het college en ook het boek. Oefen veel op het goed uitrekenen van determinanten! Tenslotte kunnen we de formule: det AB = det A det B het beste begrijpen met behulp van de bijbehorende lineaire afbeeldingen. det A is namelijk de factor, waarmede de lineaire afbeelding A het volume van figuren vermenigvuldigt. Een analoge uitspraak geldt voor det B. Daarom is det(ab) de factor, waarmee de lineaire afbeelding AB het volume vermenigvuldigt. In 6.6 wordt allereerst het verband gegeven tussen rang en determinant. Voor een n n-matrix geldt: det A 0 ranga = n. Als rang A < n of als A geen vierkante, maar een rechthoekige matrix is, dan is het verband ingewikkelder (zie Theorem 1, p. 345). De regel van Cramer geeft voor een vierkante matrix A met det A 0 de oplossingen van een stelsel vergelijkingen Ax = b met behulp van determinanten (p. 347). De methode is voornamelijk van theoretisch belang, bij numeriek werk kunnen makkelijk fouten optreden. 10
De inverse van een vierkante n n-matrix bestaat alleen als rang A = n (zie 6.7). Aangezien voor de inverse X van een matrix A moet gelden: AX = XA = I kan men de inverse uitrekenen door diverse stelsels vergelijkingen gelijktijdig op te lossen. Dit komt weer neer op het vegen met rijen: Begin met [A I] en eindig bij [I A 1 ]. Dit wordt wel de methode van de communicerende matrices genoemd. Er is ook een expliciete formule voor het berekenen van de inverse, zie Theorem 2 op p. 353. Net zoals de regel van Cramer is deze formule voornamelijk van theoretisch belang. Eigenwaarden en eigenvectoren 7.1 en 7.2 De volgende onderwerpen van de cursus zijn eigenwaarden en eigenvectoren, met als toepassing het oplossen van stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen. Over deze belangrijke onderwerpen wordt relatief veel gevraagd op het tentamen. Allereerst behandelt 7.1 het eigenwaardenprobleem. Het gaat er hierbij om oplossingen x 0 te vinden van de vergelijking: Ax = λx. De methode van oplossen gaat met behulp van de karakteristieke vergelijking: det(a λi) = 0. Werk vooral voorbeeld 1 op pp. 371-373 nauwkeurig door. Het is belangrijk de eigenwaarden en eigenvectoren vlot te leren uitrekenen. Paragraaf 7.2 bevat voorbeelden. De betekenis van det A = 0 Bekijk een n n matrix A. In de behandelde paragrafen van Hoofdstukken 6 en 7 worden een aantal eigenschappen van de matrix en van de afbeelding x Ax genoemd die verband leggen tussen de determinant, de rang, de rijen, de kolommen, de eigenwaarden van de matrix, en de oplosbaarheid van het bijbehorende stelsel. Die eigenschappen zijn samen te vatten in de onderstaande lijst equivalenties: det A = 0 dan en slechts dan als De kolomvectoren van A zijn afhankelijk; De rijvectoren van A zijn afhankelijk; 11
De rang van A is < n; A is niet inverteerbaar; De vergelijking Ax = 0 heeft een oplossing x 0; Een van de eigenwaarden van A is 0. Omdat het hier om equivalenties gaat kunnen we dus ook zeggen: det A 0 dan en slechts dan als De kolomvectoren van A zijn onafhankelijk; De rijvectoren van A zijn onafhankelijk; De rang van A is gelijk aan n; A is inverteerbaar (dus A 1 bestaat); De vergelijking Ax = 0 heeft alleen de oplossing x = 0; Alle eigenwaarden van A zijn ongelijk aan 0. Stelsels differentiaalvergelijkingen In hoofdstuk 3 wordt de theorie van Lineaire Algebra toegepast op stelsels differentiaalvergelijkingen. Om de tekst onafhankelijk te maken van de hoofdstuk 6 en 7 wordt in 3.0 de benodigde kennis van matrices besproken. Als herhaling is het de moeite waard om deze sectie door te lezen. In 3.1 staan een aantal inleidende voorbeelden. We concentreren ons verder op 3.3 en 3.6. Stelsels differentiaalvergelijkingen 3.3 Een homogeen stelsel differentiaalvergelijkingen kan opgevat worden als een vectorvergelijking y (t) = Ay(t) waarin A een matrix is en y(t) een vectorfunctie, dat wil zeggen een van de tijd t afhankelijke vector, en y (t) de afgeleide is van y(t). We zoeken alle oplossingen van het stelsel, dat wil zeggen alle vectorfuncties y(t) die voldoen aan y (t) = Ay(t). Laat λ een eigenwaarde zijn van de matrix A en v de bijbehorende eigenvector. Dan is y(t) = ce λt v (c willekeurig R) een oplossing van het stelsel (ga na!). Als er een basis (v 1, v 2,..., v n ) van eigenvectoren is (met bijbehorende eigenwaarden λ 1, λ 2,..., λ n ), dan is iedere oplossing van het stelsel te schrijven als y(t) = c 1 e λ 1t v 1 + c 2 e λ 2t v 2 +... + c n e λ nt v n, c i R. 12
Door de c i goed te kiezen kan de oplossing aangepast worden aan een eventueel gegeven beginvoorwaarde; immers y(0) = c 1 v 1 + c 2 v 2 +... + c n v n en omdat (v 1, v 2,..., v n ) een basis is kunnen bij iedere voorgeschreven y(0) de waarden c 1, c 2,..., c n bepaald worden. In 3.3 worden in het bijzonder reële homogene 2 bij 2 stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen bekeken. We geven hier een lijst van types die kunnen voorkomen, met in elk geval de formule voor de algemene oplossing. De stelsels zijn y (t) = Ay(t), waarin A een reële 2 2 matrix is en y(t) een tijdsafhankelijke vector in de R 2. Zoals eerder is uitgelegd zijn de eigenwaarden van de matrix A bepalend voor de oplossing van het stelsel. Er kunnen zich een aantal verschillende situaties voordoen, namelijk 1. Er zijn twee verschillende reële eigenwaarden. 2. Er is slechts één reële eigenwaarde (twee samenvallende wortels in de karakteristieke vergelijking van A). 3. Er zijn geen reële eigenwaarden en de karakteristieke vergelijking heeft twee niet-reële, geconjugeerde wortels, dit zijn dus de complexe eigenwaarden. We geven nu in elk van deze gevallen de algemene oplossing en bespreken de bijbehorende richtingsvelden. 1. A heeft twee verschillende reële eigenwaarden λ 1 en λ 2, we nemen aan dat λ 1 < λ 2. Er zijn dan twee onafhankelijke eigenvectoren v 1 en v 2 behorend bij λ 1 en λ 2 respectievelijk. 1 De algemene oplossing is y(t) = c 1 e λ 1t v 1 + c 2 e λ 2t v 2, c i R. Wat betreft het richtingsveld zijn er drie gevallen: (a) λ 1 < λ 2 < 0: richtingsveld als in Fig. 78, p. 165, in O een improper node, alle trajectoriën eindigen in O rakend aan de lijn door v 2, behalve de trajectorie op de lijn door v 1. (NB In de figuur zijn de eigenvectoren onderling loodrecht, dat is een bijzonder geval.) (b) λ 1 < 0 < λ 2 : richtingsveld als in Fig. 80, p. 165, in O een saddle point (zadelpunt), alle trajectoriën naderen asymptotisch tot de lijn door v 2, behalve de trajectorie op de lijn door v 1. (NB In de figuur zijn de eigenvectoren onderling loodrecht, dat is weer een bijzonder geval.) 1 Zie voetnoot 2 op blz. 163 van het boek. 13
(c) 0 < λ 1 < λ 2 : richtingsveld als in Fig. 78, p. 165, maar met alle pijlen omgekeerd (niet naar O maar naar buiten), in O een improper node, alle trajectoriën beginnen in O rakend aan de lijn door v 1, behalve de trajectorie op de lijn door v 2 ; uiteindelijk nadert de richting van de trajectoriën naar de richting van de lijn door v 2. 2. A heeft één reële eigenwaarde λ, waarbij (geval (a)) twee, of (geval (b)) maar één onafhankelijke eigenvector(en) te vinden zijn: (a) Er zijn twee onafhankelijke eigenvectoren v 1 en v 2. De algemene oplossing is y(t) = e λt (c 1 v 1 + c 2 v 2 ), c i R. Het richtingsveld is als in Fig. 79, p. 165 ( proper node ). De trajectoriën zijn naar buiten gericht als λ > 0 en naar binnen als λ < 0; als λ = 0 zijn alle richtingen nul, alle oplossingen zijn constant, er is geen beweging. (b) Er is slechts één onafhankelijke eigenvector te vinden, noem die v. Bepaal dan een vector w 0 die voldoet aan Aw = λw + v. De algemene oplossing is dan y(t) = (c 1 + c 2 t)e λt v + c 2 e λt w, c i R. Let op! De t komt in dit geval niet alleen in de e-macht voor, maar ook in een van de coëfficiënten. Het richtingsveld is als in Fig. 83, p. 168 ( degenerate node ). De trajectoriën zijn naar buiten gericht als λ > 0 en naar binnen als λ < 0; als λ = 0 zijn alle trajectoriën evenwijdig aan w. 3. A heeft twee complex geconjugeerde eigenwaarden λ 1 = a + bi en λ 2 = a bi (b 0). De bijbehorende eigenvectoren zijn dan ook complex geconjugeerd: v 1 = r + is en v 2 = r is, voor zekere reële vectoren r en s. De algemene oplossing is y(t) = e at {(c 1 cos bt + c 2 sin bt)r + (c 2 cos bt c 1 sin bt)s}. Het richtingsveld is opgebouwd uit spiralen zoals in Fig. 82, p. 166 ( spiral point ); voor a > 0 zijn de richtingen naar buiten, voor a < 0 naar [ binnen. Als ] a = 0 zijn de banen gesloten; het zijn ellipsen. Als 0 α A =, met α R zijn de ellipsen cirkels. α 0 14
Stelsels differentiaalvergelijkingen 3.6 De bijbehorende theorie voor inhomogene stelsels y (t) = Ay(t) + g(t), waarin g(t) een gegeven vectorfunctie is, staat in 3.6. Let op, dat hierbij ook enige kennis nodig is van het oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen uit hoofdstuk 1. Men vindt alle oplossingen van de inhomogene vergelijking door één oplossing (een zogenaamde particuliere oplossing) y part. (t) (van de inhomogene vergelijking) te vinden en die te combineren met alle oplossingen van de homogene vergelijking: y(t) = c 1 e λ 1t v 1 + c 2 e λ 2t v 2 +... + c n e λ nt v n + y part. (t). De c i kunnen weer gebruikt worden om de oplossingen aan te passen aan gegeven beginvoorwaarden. Voor het vinden van de éne oplossing y part. (t) van de inhomogene vergelijking zijn er verschillende methodes; wij behandelen alleen de zogenaamde onbepaalde coëfficiënten methode. Voorbeelden op het college zullen gekozen worden uit de theorie van electrische schakelingen en uit de reactie kinetiek. Bij reactiekinetiek (vergelijk ook Bijlage 2 in de Studiehandleiding Wiskunde 1A) komen stelsels differentiaalvergelijkingen als volgt aan de orde. Beschouw de reactie A B C. Als het hier om eerste-orde reacties gaat hebben we het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen: da/dt = k 1 A + k 2 B db/dt = k 1 A (k 2 + k 3 )B dc/dt = k 3 B. Hierin zijn k 1, k 2 en k 3 de reactiesnelheidsconstanten behorende bij de verchillende pijlen in het schema. We kunnen het stelsel herschrijven in matrix en vector notatie door een vector-functie Y(t) en een matrix M in te voeren: A(t) k 1 k 2 0 Y(t) = B(t), M = k 1 k 2 k 3 0. C(t) 0 k 3 0 Er geldt dan d dt Y = MY. 15
De matrix M bevat alle informatie over de reactie. In 3.3 wordt uitgelegd welke rol de eigenwaarden en eigenvectoren van M bij het oplossen van het stelsel spelen. Wat betreft schakelingen (circuits) zie het model met twee circuits op pp. 154-156 van het boek. Ook hier worden matrices en eigenwaarden gebruikt. Matrices en Determinanten; vervolg 7.3 t/m 7.5 Hier worden speciale matrices en hun eigenwaarden behandeld. Daarbij worden ook matrices met complexe getallen bekeken (i.h.b. in 7.3 en 7.4). Deze complexe behandeling is van belang voor de fysica en de chemische binding (quantummechanica). Wel zij opgemerkt, dat daar de situatie vaak oneindig-dimensionaal is en de theorie daardoor ingewikkelder wordt. Een belangrijk resultaat voor symmetrische matrices is: ze hebben uitsluitend reële eigenwaarden, eigenvectoren met verschillende eigenwaarden staan loodrecht op elkaar, er bestaat een orthogonale basis van eigenvectoren. In 7.5 komt de conjugatie van matrices ter sprake. Meetkundig heeft dit te maken met het beschrijven van de lineaire afbeelding A ten opzichte van een andere basis. Het belangrijkste resultaat uit 7.5 is wel stelling 5 (p. 394): Als A een n n-matrix is, waarbij een basis van eigenvectoren bestaat, en X is de matrix met als kolommen deze eigenvectoren, dan heeft de matrix X 1 AX = D de diagonaalvorm met de eigenwaarden op de diagonaal. 16
Woordenlijst NB Wiskundige termen waarvan de Nederlandse vorm verkregen wordt door rechtstreekse vertaling (via een gewoon woordenboek bijvoorbeeld) worden in het algemeen in deze lijst niet opgenomen (voorbeeld: complex number = complex getal). augmented matrix aangevulde matrix echelon form gereduceerde vorm linear transformation lineaire afbeelding nullspace kern, nulruimte overdetermined overbepaald rank rang systems of linear equations stelsels lineaire vergelijkingen underdetermined onderbepaald characteristic equation karakteristieke vergelijking characteristic polynomial karakteristieke veelterm eigenvalue eigenwaarde eigenvector eigenvector Hermitian Hermitisch orthogonal orthogonaal principal direction hoofdrichting similar to geconjugeerd met similarity transformation conjugatie skew-hermitian scheefhermitisch systems of differential equations stelsels differentiaalvergelijkingen unitary unitair 17
18
Hoofdstuk 4 De toets Wiskunde 1B van de cursus 2000-2001, met antwoorden Toets Wiskunde 1B voor Chemici, 28 Februari 2001 Bij deze toets mogen het boek en de aantekeningen niet geraadpleegd worden. Begin iedere opgave op een nieuw vel. Schrijf op elk vel dat u inlevert uw naam, uw studentnummer en het nummer van uw werkcollege-groep. Laat bij elke opgave zien hoe u aan uw antwoord komt. NB Oplossen betekent: alle oplossingen bepalen. a b betekent het inproduct van de vectoren a en b; a b betekent het uitproduct van a en b. Veel succes! 1. Gegeven zijn de matrices 3 1 2 A = 4 2 3 2 1 2, B = [ 2 1 0 3 1 1 ], C = [ 3 2 4 3 (a) Geef aan welke van de volgende uitdrukkingen bestaan: AB AB T BC CB Bereken de uitdrukkingen die bestaan. Antwoord: AB en BC bestaan niet; 7 10 [ AB T 12 1 2 = 10 13 CB = 17 1 3 5 7 ] ]. 19
(b) Bereken de determinant van A. Antwoord: 1 (c) Bereken de inverse van C. [ ] 3 2 Antwoord: 4 3 2. Gegeven zijn de vectoren a, b en c in de R 5 : a = 1 1 0 1 1, b = 1 1 1 0 1 en c = 1 1 1 1 0. a (a) bepaal a. Bepaal ook de afstand van de eindpunten van b en c. Antwoord: a/2; 6. (b) Ga na of a, b en c onafhankelijk zijn. Antwoord: Laatste drie coördinaten leveren een onderdeterminant met rang 3, dus onafhankelijk. 3. We bekijken de matrix A = [ 1 3 α 2 ]. (a) Voor welke reële waarde (of waarden) van α is A symmetrisch? Antwoord: 3. (b) Voor welke reële waarde (of waarden) van α is de rang van A gelijk aan 1? Antwoord: 2 3. (c) Geef één reële waarde van α waarvoor de eigenvectoren van A loodrecht op elkaar staan. (Opmerking: deze vraag kan zonder rekenen beantwoord worden. Het kan ook met rekenen, maar dat kost wel enige tijd.) Antwoord: 3 (want dan is A symmetrisch). 4. Gegeven is de matrix M = 0 0 3 2 0 1 0 1 0. 20
We bekijken, in de R 3, de afbeelding x Mx die aan iedere vector x het beeld Mx toevoegt. De eenheidsvectoren in R 3 spannen een kubus K op met hoekpunten O = O, A = e 1, B = e 1 + e 2, C = e 2, D = e 3, E = e 1 + e 3, F = e 1 + e 2 + e 3, G = e 2 + e 3. De beelden van de hoekpunten O, A, B,... onder de afbeelding x Mx worden aangegeven met O, A, B,...; het beeld van de kubus K heet K. (a) Maak een duidelijke tekening van K. Antwoord: pm (b) Bepaal de determinant van M. Bepaal ook de inhoud van K. Antwoord: Determinant: 6, inhoud 6. 5. We bekijken homogene stelsels differentiaalvergelijkingen y = Ay. In de drie plaatjes van de Figuur staan richtingsvelden getekend van zulke stelsels. Laat nu gegeven zijn dat [ ] 1 1 A =. 1 1 Figuur 4.1: Drie richtingsvelden (a) Welke van de drie plaatjes hoort bij het gegeven stelsel? Verklaar uw antwoord. Antwoord: De eigenwaarden van A zijn 1 ± i, dus complex, het richtingsveld moet dus spiralen vertonen, dat doet het derde plaatje. 6. In een goed geroerd vat vinden in oplossing de reacties A B plaats. Verder wordt een oplossing van A toegevoegd en wordt met dezelfde snelheid het mengsel afgetapt, zodat het volume constant is. De concentraties geven we aan met A en B, verder A = d dt A en B = d dt B. 21
Er geldt: A = (k + m)a + lb + mα, B = ka (l + m)b, met k, l, m > 0. Aan de chemische interpretatie van k, l, m en α gaan we verder voorbij en we kiezen de volgende waarden voor deze grootheden: k = 5, l = 4, m = 1, α = 10. (a) Schrijf het bovenstaande stelsel differentiaalvergelijkingen in de vorm [ ] [ ] d A A = M + H, dt B B dat wil zeggen: bepaal de matrix M en de vector H. [ ] [ ] 6 4 10 Antwoord: M = H =. 5 5 0 (b) Bereken de eigenwaarden en de eigenvectoren van M. Antwoord: λ 1 = 10, λ 2 = 1, v 1 = [1, 1], v 2 = [4, 5] (c) Los het bijbehorende homogene stelsel op. Antwoord: A(t) = c 1 e 10t + 4c 2 e t, B(t) = c 1 e 10t + 5c 2 e t ; (d) Los het inhomogene stelsel op. Antwoord: [ [5, 5] ] is[ een] oplossing [ ] van inhomogene stelsel ([A, B ] = 6 4 5 10 0 = + ); de volledige oplossing van inhomogene stelsel is: A(t) = 5 + c 1 e 10t + 4c 2 e t, B(t) = 5 5 5 5 0 c 1 e 10t + 5c 2 e t. 22
Hoofdstuk 5 De toets Wiskunde 1B van de cursus 2002-2003, met antwoorden NB Zo mogelijk zullen uitwerkingen van de opgaven uit deze toets ter beschikking worden gesteld gedurende de collegeperiode. Toets Wiskunde 1B voor Chemici, 26 Februari 2003 Bij dit tentamen mogen het boek en de aantekeningen niet geraadpleegd worden. Gebruik van de zakrekenmachine is alleen toegestaan voor +,,,, worteltrekken en goniometrische functies (en dus niet voor complexe getallen of richtingsvelden). Begin iedere opgave op een nieuw vel. Schrijf op elk vel dat u inlevert uw naam, uw studentnummer en de letter (X of Y) van uw werkcollege-groep. Laat bij elke opgave zien hoe u aan uw antwoord komt. NB Oplossen betekent: alle oplossingen bepalen. a b betekent het inproduct van de vectoren a en b; a b betekent het uitproduct van a en b. Veel succes! 1. Gegeven zijn de matrices A = 3 1 2 4 2 3 2 1 2, B = [ 2 1 0 3 1 1 ], C = [ 3 2 4 3 ]. 23
(a) Bereken de volgende matrix-producten voor zover ze bestaan. AB, AB T, BC, CB. Antwoord: AB en BC bestaan niet; 7 10 [ AB T 12 1 2 = 10 13, CB = 17 1 3 5 7 ]. (b) Bereken de determinant van A. Antwoord: 1 (c) Bereken de inverse van C [ ] 3 2 Antwoord:. 4 3 (d) Laten e 1, e 2, en e 3 de eenheidsvectoren van R 3 zijn. Bepaal de beelden Ae 1, Ae 2, en Ae 3 van die vectoren onder de afbeelding x Ax. Teken deze beelden in een duidelijke tekening en bepaal de inhoud van het parallellopipedum dat zij opspannen. 2. Beschouw het stelsel lineaire vergelijkingen: 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 8, 6x 1 + 15x 2 + 15x 3 54x 4 = 27, 12x 1 3x 2 3x 3 + 24x 4 = 21. (a) Schrijf het stelsel in matrix-en-vector notatie. Bepaal de rang van de matrix. 3 2 2 5 Antwoord: 6 15 15 54 ; rang = 3 12 3 3 24 (b) Los het stelsel op. Antwoord: [x 1, x 2, x 3, x 4 ] = [2, 0, 1, 0] + α[0, 1, 1, 0] 3. We bekijken de matrix A = [ 1 3 α 2 ]. (a) Voor welke reële waarde (of waarden) van α is A symmetrisch? Antwoord: 3. (b) Voor welke reële waarde (of waarden) van α zijn de eigenwaarden van A niet reëel? Antwoord: eigenwaarden: (3 ± 1 + 12α)/2, dus α < 1 12. 24
(c) Geef één reële waarde van α waarvoor de eigenvectoren van A loodrecht op elkaar staan. (Opmerking: deze vraag kan zonder rekenen beantwoord worden. Het kan ook met rekenen, maar dat kost wel enige tijd.) Antwoord: 3 (want dan is A symmetrisch). 4. We bekijken een chemische reactie tussen drie stoffen, waarvan de concentraties worden aangegeven met A, B en C. Het schema is 5 A 1 B 2 C; het overeenkomstige stelsel differentiaalvergelijkingen is dus Y (t) = MY (t), (5.1) A(t) 5 1 0 waarin Y (t) = B(t) en M = 5 3 0. C(t) 0 2 0 (a) Laat gegeven zijn dat op tijdstip t = 10 de drie concentraties zijn A(10) = 30, B(10) = 25 en C(10) = 21. Ga na of, in een (willekeurig korte) tijdsduur na t = 10, de concentratie van A groter of kleiner wordt. Beantwoord dezelfde vragen voor B en C. Antwoord: MY (10) = [ 125, 75, 50], dus A wordt kleiner, B en C worden groter. (b) De matrix M heeft een eigenwaarde 0 (dat hoeft U niet te laten zien). Bepaal de eigenvector van M die behoort bij deze eigenwaarde. Bespreek ook de chemische betekenis van die eigenvector. Antwoord: [0, 0, 1] is de stabiele toestand met alleen stof C. 5. Beschouw het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen: y 1 = 4y 1 + 8y 2 + 2 cos t 16 sin t (5.2) y 2 = 6y 1 + 2y 2 + cos t 14 sin t (5.3) waarin y 1 en y 2 functies van t zijn. (a) Schrijf het stelsel in matrix-en-vector schrijfwijze; doe dat ook met het bijbehorende homogene stelsel Antwoord: [ y 1 y 2 ] = [ 4 8 6 2 [ y 1 y 2 ] ] [ y1 = y 2 ] + [ 4 8 6 2 [ 2 cos t 16 sin t cos t 14 sin t ] [ y1 y 2 ] ] 25
(b) Los het homogene stelsel op. Antwoord: y 1 = 4c 1 e 10t c 2 e 4t, y 2 = 3c 1 e 10t + c 2 e 4t (c) Bepaal één oplossing van het inhomogene stelsel Antwoord: y 1 = 2 sin t, y 2 = sin t (d) Bepaal de oplossing van de inhomogene vergelijking waarvoor geldt y 1 (0) = 0, y 2 (0) = 7 4 Antwoord: y 1 = e 10t e 4t + 2 sin t, y 2 = 3 4 e10t + e 4t + sin t. 26