ELEKTROMAGNETISME - 3AA3 9 rt 8, 4. 7. uur Geef bij iedere toepssing vn een kring- of oppervlkte-integrl duidelijk n lngs welke weg of over welk oppervlk wordt geïntegreerd Het forulebld en beoordelingsforulier is bijgevoegd ná de opgven. Het is niet toegestn een rekenpprt te gebruiken. De uitwerkingen worden n floop vn het tenten uitgereikt. De uitslg hngt uiterlijk vnf 3 rt 9 op het publictiebord in N- lg. Opgve Een vierknt drdr et lengte en breedte L ligt in het y-vlk zols in onderstnde λ, y die tekening. De drd is gelden et een pltsfhnkelijke lijnldingsdichtheid ( ) gegeven is door λ, y = λ y ( ) wrbij λ een constnte is. Een punt P bevindt zich op de z-s op hoogte z. z P L/ L/ L/ y L/. Bepl de eenheid vn λ.. Bereken de totle lding Q vn het drdr. Let hierbij op de bsolute wrdes in de uitdrukking voor λ..3 Bereken de elektrische veldsterkte ur E uitgedrukt in eenheidsvectoren in punt P..4 Bereken de potentil in punt P..5 Lt door berekening zien dt voor z L het elektrische veld op de z-s hetzelfde gedrg vertoont ls een puntlding.
Opgve In een crtesisch coördintenstelsel bevindt zich op de -s een zeer lnge cilindervorige geleider et een positieve lding λ per lengte-eenheid. Evenwijdig n deze geleider bevindt zich een ndere geleider vn dezelfde vor et lding λ per lengteeenheid. Deze tweede geleider gt door het punt (, 4,3 ). De strl vn deze cilindervorige geleiders is R, et R.. Mk een schets vn de elektrische veldlijnen in het yz -vlk. Geef hierin ook de richting vn de elektrische velden n.. Bereken de elektrische veldsterkte E r uitgedrukt in eenheidsvectoren in het punt (,,3 )..3 Bereken het potentilverschil V tussen de geleiders..4 Bereken de cpciteit per lengte-eenheid C vn dit stelsel geleiders. De positief gelden geleider (welke zich op de -s bevindt) wordt nu gerd..5 Bepl wedero de elektrische veldsterkte E r in het punt (,,3 ), het potentilverschil V tussen de geleiders en de cpciteit per lengte-eenheid C.
Opgve 3 Een vlkke condenstor (het oppervlk vn de plten is A; de fstnd tussen de plten is en er geldt A >> ) bevt een diëlektricu et reltieve diëlektrische constnte die fhngt vn de fstnd tot de bovenplt volgens: ε r = + (zie figuur). = = De bovenplt bevt een vrije ldingsdichtheid σ, de onderplt is gerd. Buiten de condenstor is het veld nul. Er bevinden zich geen vrije ldingen in het diëlektricu. 3. Bereken de diëlektrische verpltsing D r en de elektrische veldsterkte E r ls functie vn. 3. Bereken de cpciteit vn de condenstor. 3.3 Bereken de dichtheid vn de polristielding in het dielektricu vlk bij de bovenplt en vlk bij de onderplt. 3.4 Bereken de ruiteldingsdichtheid vn de polristie.
Opgve 4 Een elektrisch netwerk is opgebouwd uit twee idele spnningsbronnen ε en ε, twee weerstnden R en R, en een strooeter et weerstnd R. Zie onderstnde figuur. R R R A I I I ε ε 4. Stel een ntl onfhnkelijke vergelijkingen op wree de stroo I, I, en I uitgerekend kunnen worden. Gegeven is dt ε = 6 V, ε =.5 V, R = Ω, en R = k Ω. De strooeter wijst A n. 4. Bereken de wrde vn weerstnd R. Vervolgens wordt de strooeter vervngen door een strooeter et R = 5Ω. 4.3 Beredeneer zonder te berekenen wt de strooeter nu ngeeft.
FORMULEBLAD Elektrognetise - 3AA3 Elektrische perittiviteit vcuü: ε 8.845 C / N 4πε 9 8.988 N / C 9 Eleentire lding: e.677 C b r r Lijnintegrl vn de elektrische veldsterkte: V V = E dl r r r r r r Verpltsingsveld en polristie: D = ε ε re = ε E + P, P = ε χ ee Stelling vn Guss in ediu et diëlektrische constnte ε = Kε = ε o ε r : r r r r r r D da = Q ε E da = Q + Q P da = Q opp. A vrij, osloten Energiedichtheid: u = opp. A r r D E = ε E. vrij, osloten b p, osloten opp. A p, osloten Afgeleiden d d d d d d d e d d d n = n n sin = cos cos = sin = e ln = Integrlen d = rcsin d = ln( + + d = rctn + d = 3 / ( + ) ( d + ) 3 / = + + + ) Reeksontwikkeling Integrlen n+ n d = ( n ) n + d = ln sin d = cos cos d = sin e d = e n n( n ) n( n )( n ) 3 ( + ) = + n + + K! 3! 3 5 7 sin( ) = + + K 3! 5! 7! 4 6 cos( ) = + + K! 4! 6! 3 5 7 7 tn( ) = + + + + K ( < π / ) 3 5 35 3 e = + + + + K! 3! 3 4 ln( + ) = + + K ( < ) 3 4 ( < )
BEOORDELINGSFORMULIER Elektrognetise voor N-studenten 3AA3-9 rt 9, 4.-7. uur Dit forulier ingevuld overleggen bij het eventuele onderhoud et de corrector. N: Vrgstuk Te behlen Toegekend door Toegekend door punten corrector student....... 5.....3 6.....4 6.....5 6+..+..+ 5.. 4..... 7.....3 7.....4 3.....5 4+..+..+ 5 3. 3. 6.... 3. 7.... 3.3 6.... 3.4 6+..+..+ 5 4. 4. 9.... 4. 9.... 4.3 7+..+..+ 5 Totl Totl behld... Totl behld... Voor elk onderdeel worden slechts gehele punten toegekend. Het cijfer wordt bepld door het ntl punten te delen door, hierbij eventueel de bonus op te tellen en drn f te ronden. AANTAL PUNTEN / = BONUS (.5 of ) = AFGEROND CIJFER =
UITWERKINGEN E&M 9 rt 9 Opgve. λ = C/. Iedere hlve zijde vn het drdr heeft dezelfde lding, dus is de totle lding L / L Q = 8 λ y dy = λ L.3 Iedere hlve zijde vn het drdr levert dezelfde bijdrge n E z in punt P. Uit syetrie volgt dt E = E = in punt P. Een lijneleentje dy op positie ( /,,) L y levert in punt P de z y = 4πε λ y z L / (( L / ) + y + z ) dus is het totle veld in punt P L / λ L z y λ L z E = Ez = dy 3 / πε = + + L + z L + z 3 3/ dy, (( L / ) y z πε ) ( / ) ( / ).4 Iedere hlve zijde vn het drdr levert dezelfde bijdrge n de potentil L /, y, levert in punt P in punt P. Een lijneleentje dy op positie ( ) dv = 4πε dus is de totle potentil in punt P L / L y λ ( / ) λ y L / (( L / ) + y + z ) / dy, λ L V = dy ( L / ) z ( L / ) z πε = + + L + y + z πε.5 Gebruik voor het E-veld de bendering ( k = of k = ) ( ( ) ) ( ) ( ) / / L L z k L / z k L / z z + = + k = k z z 8 z En dus is E te benderen et 3 λ L z L L λl / Q E + 3 3 = = πε z 8z z 4z 4πε z 4πε z Etr: Gebruik voor de potentil de bendering ( k = of k = ) ( ( ) ) ( ) ( ) / / L L z + k L / = z + k L / z z + k = z + k z 8 z En dus is V te benderen et 3 λ L L L λl / Q V z + z = πε 4z 8z 4πε = z 4πε z Zowel E ls V vertonen hetzelfde gedrg ls een puntlding voor z L. 3
UITWERKINGEN E&M 9 rt 9 Opgve. Zie hieronder voor de schets vn het veld:. Vi Guss volgt voor het veld vn een drd op fstnd r : E r ± λ = πε r En dus geldt er voor het veld op (,,3 ) : r λ r r E = ez + ey πε 3 4
UITWERKINGEN E&M 9 rt 9.3 Op de verbindingslijn tussen de drden is het veld gericht vn de positief gelden drd nr de negtief gelden drd en is in grootte gelijk n: λ λ E( r) = + πε r πε (5 r) En dus is het potentilverschil: 5 R λ 5 R V = E( r) dr = ln πε R R λ πε.4 C = = V 5 R ln R.5 De ntwoorden zijn gelijk n die in de situtie wrin de drd niet gerd is. De reden is dt de situtie et gelijke, r tegengestelde ldingsdichtheden op de drden de inile energie oplevert: de gerde drd schert het veld vn de ndere drd dn il (r niet volledig) f.
UITWERKINGEN E&M 9 rt 9 Opgve 3 σ 3. Mbv Guss volgt: D = σ en dus: E = wrbij geldt dt beide velden ε o ( + ) in de positieve -richting stn. σ d σ 3. Met V V = E( ) d = ln ε = volgt voor de ε + Q ε A cpciteit: C = = V V ln r r / 3.3 P = ε o χ ee = σ eˆ levert voor =: P= en dusσ P = ; + / en levert voor =: P = σ en dus σ P = σ. 3.4 Mbv twee l Guss toepssen voor een doosje tot en +d volgt: ρ pd = [ P( + d) P( )] ; substitutie vn P r σ levert: ρ( ) = ( + ) Merk op dt inderdd geldt dt Q p,tot =. Opgve 4 4. Er geldt: (i) ε IR + I R = (ii) ε I R + IR = (iii) ε + ε IR + IR = (iv) I + I + I = We kunnen I, I en I berekenen door bijvoorbeeld gebruik te ken vn de 3 onfhnkelijke vergelijken (i), (ii) en (iv). 4. Er geldt dus I = A. Het stelsel vergelijkingen (i), (ii) en (iv) oplossen levert dn R = 5 Ω. 4.3 In de oorspronkelijke situtie fungeert de buitenste lus, d.w.z. de kring et ε, ε, R en R, ls een spnningsdeler: doordt ε :ε = R :R stt er geen spnning over de tk et de strooeter, en dus loopt er geen stroo door de strooeter. Dit is onfhnkelijk vn de wrde vn R, dus ook in de nieuwe situtie blijft de tk strooloos, dus I = A.