Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.: een rij vervangen door een LC met een andere rij) (uitgebreide) geassocieerde matrix: coerfficientenmatrix van een stelsel (met alleenstaande coefficient) Homogeen stelsel: stelsel waarin alle alleenstaande coefficienten 0 zijn Rij-equivalente matrices: matrices waarvan de geassocieerde stelsels gelijke oplossingen hebben Voorwaarden voor rij-echelon vorm: 1. nulrijen onderaan 2. het eerste niet-nul element in een rij staat altijd meer naar rechts dan het eerste niet-nul element in de rij erboven Elke matrix is rij-equivalent met een matrix in rij-echelon vorm Voorwaarden voor rij-canonieke vorm: 1. rij-echelon 2. leidende termen zijn gelijk aan 1 3. Boven en onder elke lijdende term staan enkel nullen Elke matrix is rij-equivalent met juist een rij-canonieke matrix Rijrang van een matrix: aantal niet-nul rijen in een rij-equivalente rij-echelon matrix. Rang van een stelsel is de rijrang van de geassocieerde matrix Ontaarde vergelijking: vergelijking waarin alle coefficienten nul zijn behalve de alleenstaande Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Een stelsel in driehoeksvorm heeft precies een oplossing Gebonden en vrije variabelen (p18) Er bestaat voor elk stelsel juist 1 opl als de vrije variabelen een waarde krijgen Bewijs p18 Als een stelsel een unieke oplossing heeft dan is de rijrang van A gelijk aan n (vierkante (nietuitgebreide) geassocieerde matrix) Hoofdstuk 2: Matrices Associativiteit, gemengde associativiteit (met R), distributiviteit tov en tov. - Getransponeerde matrix: = gespiegeld. Noteer ( ) ( ). Matlab: A
( ) en ( ) - Diagonaalmatrix: onder- en bovendriehoeksmatrix. is de eenheidsmatrix in en het neutraal element voor vermenigvuldiging. Eye(n) - Symmetrische matrix: matrix waarvoor - Scheefsymmetrische matrix: Voor een vierkante matrix geldt is symmetrisch en is scheefsymmetrisch - Inverse matrix: waarvoor inv(a) of eye(n)/a of A\eye(n) (inverse is uniek), en ( ) Bewijs p37 en p38 Berekenen van inverse matrix: voor de verzameling rij-operaties f: ( ) ( ) Hoofdstuk 3:Determinanten Voor een vierkante rij is de rijontwikkeling naar een rij gelijk aan die naar een andere rij. Of kolom. Een ontwikkeling naar een rij is gelijk aan een ontwikkeling naar een kolom. - Minor van een element van matrix is gedefinieerd als det. - De cofactor is ( ). Voor een vierkante matrix zijn de volgende uitspraken equivalent: 1. Het homogeen stelsel heeft alleen de nuloplossing 2. Matrix A is inverteerbaar 3. Rang A = n 4. det A 0 Effect van de rijbewerkingen op de determinant: - Omwisselen van twee rijen geeft een tegengestelde determinant. - Door een rij te vermenigvuldigen met een getal r wordt de determinant ook vermenigvuldigd met r. - De determinant van een matrix verandert niet als we een veelvoud van een rij bij een andere rij optellen. De determinant van een driehoeksmatrix is het product van de diagonaalelementen. Bewijs p55 De determinantafbeelding is multilineair in de rijen : als in de matrix A rij i = r*i + s*j wordt, en alle andere rijen zijn gelijk dan geldt voor de determinant = r*det A + s*det A(waarvoor i=j). Als twee rijen of kolommen gelijk zijn is deta=0 Een matrix met een nulrij heeft deta=0 Matrixbewerkingen en determinanten: - waarin n de dimentie is van A. Bewijs p52 - Bewijs p61 en p62 De determinent van de inverse van een matrix is het omgekeerde van de determinant van die matrix.
- De toegevoegde (adjugate) van een matrix is de getransponeerde van de matrix waarin elk element is vervangen door zijn cofactor. ( ) Bewijs p64 - Een stelsel van Cramer is een stelsel waarbij. De oplossing van een stelsel van Cramer is de i-de kolom vervangen is door de oplossingenvector gedeeld door det A. Hoofdstuk 4: vectorruimten Eigenschappen: - Bewerkingen o Inwendige optelling o Uitwendige vermenigvuldiging - Commutatieve groep V,+ o + is assoc o + is comm o V,+ heeft neutr. Element o Elk element van V heeft een invers element v - Gemengde eigenschappen + en o Gemengde associativiteit: ( ( )) ( ) o Distributiviteit en +: ( ) o Distributiviteit + en : ( ) o Neutraal element van ( ), m.a.w de determinant van A waarbij een Bewijs p65 Bewijs p75 -, - is de verzameling van veeltermen in x. - Gebonden vector en plaatsvector - Een deelruimte is een vectorruimte waarvan de verzameling een deelverzameling is. is altijd een element van een deelruimte van een vectorruimte waarin de nulvector is. Als W een deelruimte is van is W niet leeg en bestaat en elke is inwendig en overal gedefinieerd in W. Als U en W deelruimten zijn van, dan is ook een deelverzameling. - Een lineaire combinatie (LC) van vectoren is een inwendige som van uitwendige vermenigvuldigingen van die vectoren. - * + is de verzamelingen van alle LC s van de vectoren in S. - De ruimte voortgebracht of opgespannen door S is * + voor S bevat steeds S en is de kleinste deelruimte van die S bevat. Bewijs p84 Voor U en W twee deelruimten van vectorruimte : ( ). (de som van twee verzamelingen is de verzamelingen van de sommen van elk paar elementen) - Een voortbrengend deel van een vectorruimte is een verzameling van vectoren S waarvoor geldt ( ) Bewijs p91
- Een stel vectoren is lineair afhankelijk als er reele niet-nul getallen bestaan waarvoor de som van de producten van de vectoren met de getallen gelijk is aan de nulvector. - Een verzamelig in een vectorruimte wordt vrij genoemd als elk eindig stel vectoren uit die verzameling lineair onafhankelijk is. - Een deel van een vectorruimte is een basis indien die vrij is en voortbrengend. - De standaardbasis is de meest voor de hand liggende basis: voor is ( ) ( ). Elke vector van een vectorruimte kan als precies 1 LC van een basis worden geschreven. Een voortbrengend deel van een vectorruimte bevat steeds even veel of meer elementen dan een vrij deel - De dimensie van een vectorruimte is het aantal elementen in een basis. Bewijs p102 Om na te gaan of vectoren lineair afhankelijk zijn: in matrix zetten en rij-eschelon maken. Aantal rijen tellen. - Een rijruimte van een matrix is de vectorruimte opgespannen door de rijen - Een kolomruimte Een groep vectoren is lineair onafhankelijk als en slechts als de determinant van de matrix bekomen door de vectoren in kolommen te zetten niet nul is. Equivalente uitspraken: - rijrang A = n - kolomrang A = n - det A is niet 0 - A is inverteerbaar - De coordinaten van een vector tov een base ( ) is de vector ( ) waarvoor. Een deelruimte van een vectorruimte heeft een even grote of kleinere dimensie dan de vectorruimte. Dimensiestelling: Bewijs p115 Een homogeen lineair stelsel S in n onbekenden: ( ) ( ) Bewijs p128 Stelsel S is oplosbaar als de rijrang van het de geassocieerde matrix gelijk is aan die van de geassocieerde uitgebreide matrix. De oplossing van een stelsel is de som van een particuliere oplossing van dat stelsel met de algemene oplossing van het geassocieerde homogeen stelsel (bij oplosssingsruimte 2: geassocieerd stelsel heeft opl vlak door oosprong stelsel zelf heeft evenwijdige oplossing). Hoofdstuk 5: Lineaire afbeeldingen - Een lineaire afbeelding is een functie waarvoor ( ) ( ) ( ) Een lineaire afbeelding van een nulvector is de nulvector en de definitie geldt ook voor meerdere termen Bewijs p147 Er bestaat 1 afbeelding die een basis van een vectorruimte afbeeldt op een bepaalde set vectoren.
- Een isomorfisme is een bijectieve lineaire afbeelding Als twee vectorruimte een zelfde dimensie hebben bestaat er een isomorfisme tussen Bewijs p152 Lineaire bewerkingen (of opeenvolging van) van lineaire afbeeldingen zijn ook lineaire afbeelidngen. - De kern ( ) van een LA is de verzameling van vectoren waarvoor ( ) - Het beeld ( ) van een LA is de verzameling vande vectoren ( ). Voor LA is ( ) en ( ). Bewijs p159 Het beeld van een LA is de verzameling voortgebracht door de LA van de basisvectoren DIMENSIESTELLING: ( ) ( ) Bewijs p160 Hoofdstuk 6: Matrices en lineaire afbeeldingen Een LA kan worden afgebeeld als een matrix door de coordinaten van de beelden van de basis van V in de kolommen te zetten van een matrix. - Matrixvoorstelling of overgangsmatrix van een LA is de matrix waarvoor ( ( )) ( ) Bewijs p172 De matrixvoorstelling van een lineaire bewerking van LA( s) is de lineaire bewerking van deze matrixvoorstellingen. ( ). Voor een opeenvolging van LA is de matrixvoorstelling het product van de matrixvoorstellingen ( ( ) ) De rijrang en kolommatrix van een willekeurige matrix zijn gelijk. Bewijs p177 De overgangsmatrix van B A is de inverse van de overgangsmatrix van A B als A en B twee basissen zijn van een zelfde vectorruimte. Bij een LA geldt ook dat. - Matrices zijn gelijkvormig als ze horen bij een zelfde LA (evt tov andere basissen) Er bestaat een matrix P waarvoor, met A een en B LA van een basis naar de zelfde basis. Hoofdstuk 7: Diagonaliseren - Een eigenvector van een LA/matrix is een vector die door de LA wordt afgebeeldt op een veelvoud van zichzelf - Een eigenwaarde van een LA/matrix is een veelvoud dat voorkomt bij een eigenvector Eigenwaarden worden gevonden door de karakteristieke vgl ( ) - De karakteristieke vergelijking van een matrix is de vergelijking waarbij alle x een eigenwaarde voorstellen - De karakteristieke veelterm is het linkerlid van deze vergelijking Het product van de eigenwaarden van een matrix is gelijk aan de determinant van die matrix
- De algebraische multipliciteit van een eigenwaarde is het aantal keer dat ze de oplossing is van de karakteristieke vergelijking - De eigenruimte van een eigenwaarde van een matrix is de vectorruimte * + ( ). - De meetkundige multipliciteit van een eigenwaarde is de dimensie van de eigenruimte, en is altijd kleiner of gelijk aan de algebraische multipliciteit De eigenvectoren die horen bij verschillende eigenwaarden zijn LOA Bewijs p202 Een matrix is diagonaliseerbaar als er een gelijkvormige diagonaalmatrix bestaat met D=diagonaalmatrix, A=matrix en P=inverteerbare matrix Gelijkvormige matrices bezitten de zelfde eigenwaarden, en de bijbehorende eigenvectoren zijn waarbij een eigenvector is van de andere matrix en P de overgangsmatrix Bewijs p207 De corresponderende eigenvectoren zijn LOA als en slechts als de vectoren LOA zijn Een matrix is diagonaliseerbaar als en slechts als A enkel LOA eigenvectoren bezit. Bewijs p208 De eenvoudigste matrixvoorstelling van een LT (diag(eigenwaarden)) wordt gegeven door met P de matrix die de basisvectoren bevat van B in de kolommen Hoofdstuk 7: Normen en orthogonaliteit - Het vectorproduct van twee vectoren is de som van de producten van de corresponderende componenten van de vectoren - De norm van een vector is de positieve vierkantwortel van het scalair product van de vector met zichzelf en drukt de lengte van die vector uit in een euclidische ruimte - Een vector met lengte 1 is een eenheidsvector - De euclidische afstand van ( ) van twee vectoren is de norm van de verschilvector. De cosinus van de hoek tussen twee vectoren is het scalair product van de overeenkomstige eenheidsrichtingsvectoren. (= definitie hoek). Ongelijkheid van Cauchy-Schwartz:. - Twee vectoren zijn onderling orthogonaal wanneer de hoek is, dus wanneer. - Een basis die bestaat uit orthogonale vectoren is een orthogonale basis - Een basis die bestaat uit orthogonale eenheidsvectoren is een orthonormale basis Orthogonalisatieprocedure van Gram-Schmidt: De driehoeksongelijkheid stelt dat. De stelling van pythagoras:. - Een orthogonale matrix is een inverteerbare matrix waarvoor en bevat in elke twee kolommen of rijen onderling orthonormale vectoren Voor een orthogonale matrix geldt dat ( ) ( ). Dat geldt enkel voor orthogonale matrices. - Een orthogonale lineaire transformatie is een transformatie waarvoor ( ) ( ) Een orthogonale lineaire transformatie:
- Behoudt de hoek tussen twee vectoren (=>, niet <=>) - Behoudt de afstand tussen twee vectoren (<=>) - Beeldt een orthonormale basis af op een orthonormale basis (<=>) Een matrix die hoort bij een lineaire transformatie tussen twee orthonormale basissen is een orthogonale matrix. De overgang van een orthonormale basis naar de standaardbasis wordt vastgelegd door een orthogonale basisveranersingsmatrix. De determinant van een orthogonale matrix is ±1 ( ( ) ( ) ( ) ) Een orthogonale 2x2 matrix met een determinant van 1 kan geschreven worden als [ zorgt voor een rotatie met de hoek θ. Een orthogonale matrix met determinant -1 is van de vorm [ ] [ ] [ ] en zorgt voor een spiegeling rond de oorsprong, gevolgd door een rotatie van θ. ] en Hoofdstuk 9: Orthogonale diagonalisatie van reele symmetrische matrices en toepassingen Eigenvectoren die horen bij verschillende eigenwaarden van een reele matrix zijn onderling orthogonaal Een symmetrische nxn matrix bezit n orthonormale eigenvectoren. Om die te vinden: - Bereken de reele eigenwaarden en eigenvectoren - Bepaal voor elke eigenwaarde de basis van de eigenruimte - Bepaal een orthonormale basis B voor elke eigenruimte met de Gram-Schmidt procedure - De matrix waarvan de kolommen die vectoren zijn is de overgangsmatrix voor orthogonale diagonalisatie - De kwadratische vorm is een afbeelding (n argumenten) beaald door een vierkante n n matrix. Een kwadratische vorm is niet geassocieerd met een unieke matrix (factor van x i x j is a ij +a ji dus de diagonaal moet gelijk zijn en twee om de diagonaal gespiegelde elementen moeten een gelijke som hebben van twee matrices met de zelfde kwadratische vorm). Er is wel een unieke symmetrische matrix. Bij een kwadratische vorm horen orthonormale basissen waarvoor de KV geschreven kan worden in termen van die basis als een som van kwadraten. Zo n basis wordt gegeven door een stel orthonormale eigenvectoren va de bijbehorende symmetrische matrix. - Een kwadratisch hyperoppervlak of hyperkwadriek is een verzameling punten die voldoen aan. Als n=3 (drie onbekenden) of n=2 is het een kegelsnede