V-a c d V-a Hoofdstuk - Differentiëren Voorkennis: De afgeleide ladzijde Na 5 seconden. De grafiek verandert daar van B in C en het dalen gaat ineens langzamer. De raaklijn gaat ongeveer door de punten (, ) en (7, 8). De valsnelheid is het verschil in hoogte per tijdsinterval, dus v h t 8 m/s. 7 5 Het minteken wijst erop dat de snelheid naar eneden gericht is. De raaklijn op t valt samen met lijn B, die door de punten (, ) en (, 6) gaat. De valsnelheid is v h t 6 7 m/s, ofwel 7 m/s naar eneden. De parachutist komt op de grond neer met de snelheid die ij lijn C hoort. De lijn gaat door de punten (, 5) en (8, ). Zijn snelheid is v h t 5 5 65, m/s. 8 8 Dat is 6,5,6,5 km/h De raaklijn gaat door de punten (, ) en (, 7). De helling epaal je altijd over het grootst mogelijke interval dat je kunt aflezen. Afleesfouten werken dan het minst door in het epalen van de helling. Het interval is in dit geval [, ] en de helling van de raaklijn is y f() f( ) 7 ( ) 8 x ( ) 6 6 Het differentiequotiënt op het interval [;,] is y f(, ) f( ),,,, x,,,, c Voor het punt (, ) is x. De helling van de raaklijn voor x is f '( ) d In het punt (, ) is x. De helling van de raaklijn voor x is f '( ) In het punt (, ) is x. De helling van de raaklijn voor x is f '( ) ( ) In het punt (, 8) is x. De helling van de raaklijn voor x is f '( ) ladzijde V-a f( x) x d lx ( ) x 9 f'( x) x 99 l'( x) x, ga na dat 9 een constante is; gx ( ) 6x de waarde is onelangrijk voor de afgeleide! g'( x) 6 x 8x l'( x) 8x c hx ( ) x + e kx ( ) 6, x h'( x) + k'( x), x h'( x) k'( x) x 9 f mx ( ) x + 6 m'( x) + m'( x) Hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
Hoofdstuk - Differentiëren V-a s ( 5t) s 5 t 5t ds is hetzelfde als s'( t), dus ds s'( t) 5 t 5t s ( t 5) s t 5 ds t ds t t c s ( t+ 5) s t+ 5 ds d s ( t+ )( t ) s t t+ t+ t 9 ds t V-5a f'( x) x g'( x) x In het punt P(, ) is x. De helling in P van f is f '( ) De helling in P van g is g'( ) Plot Invoer: Y X Y 8 X Venster: Standaardinstellingen Functie g is functie f maar dan gespiegeld in de x-as en 8 omhoog verschoven. In P is de helling van g dus ook gespiegeld ten opzichte van f. De verschuiving is niet van elang. De grootte lijft door de spiegeling ongewijzigd. c In het punt Q(, 9) is x. De helling in Q van f is f '( ) 6 d De helling van g moet 6 zijn, dus g'( x) x 6. Oplossen geeft x. De y-waarde op de grafiek van g is g( ) 8. Het punt is dus (, ) e De helling van g moet 6 zijn, dus g'( x) x 6. Oplossen geeft x. De y-waarde op de grafiek van g is g( ) 8 ( ). Het punt is dus (, ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
ds V-6a s'( t) 9, t 9, 8 t. Voor t geeft dit 98, 96, m/s De snelheid in meter per seconde op tijdstip t seconde. c Los op: s 9, t 5 t 5 : 9, t 5 : 9, 9, seconde. De oplossing t, 9 s heeft geen etekenis. d Na,9 seconde is de snelheid van de steen v(, 9) s'(, 9), 9, 9, m/s a. Veeltermfuncties differentiëren s(, 999) s( ), s'( ) 7 997999 ( 8),, 999 ( ), s(, ) s( ) 7, 7 s'( ),,, f(, 999) f( ), 996 f '( ), 999, 999 ( ), g(, 999) g( ), ( g'( ) 99 ) 6, 999 ( ), f'( ) + g'( ), 999 + 6,, klopt met s'( ) f(, ) f( ) 9, 6 9 f '( ) 6,,, g(, ) g( ) 8, 6 8 g'( ) 6,, f'( ) + g'() 6, + 6,, klopt met s'( ) c f'( x) x en g'( x) 6. Als de optellingen hieroven in het algemeen kloppen zou moeten gelden s'( x) f'( x) + g'( x) x + 6 d vx ( ) f( x) gx ( ) x 6 x v(, 999) v( ) 5, 99 6 v'( ) 9, 999, 999 ( ), v(, ) v( ) 8, 999999 ( 9) v'( ),,, f(, 999) f( ), 996 f '( ), 999, 999 ( ), g(, 999) g( ), ( g'( ) 99 ) 6, 999 ( ), f'( ) g'( ), 999 6 9, 999, klopt met v'( ) f(, ) f( ) 9, 6 9 f '( ) 6,,, g(, ) g( ) 8, 6 8 g'( ) 6,, f'( ) g'() 6, 6,, klopt met v'( ) f'( x) x en g'( x) 6. Als de aftrekkingen hieroven in het algemeen kloppen zou moeten gelden v'( x) f'( x) g'( x) x 6 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 5
6 Hoofdstuk - Differentiëren a sx ( ) x + 8x+ e hx ( ) f( x) sx ( ) + px ( ) s'( x) x + 8+ Invullen van de functies uit de vorige opdrachten: s'( x) x + 8 hx ( ) x ( x + 8x+ ) + x + x x f( x) x hx ( ) x x 8x + x + x x f'( x) x hx ( ) x x 9x + 9 f'( x) 8x h'( x) f'( x) s'( x) + p'( x) c px ( ) x + x x Invullen van de uitkomsten hieroven geeft p'( x) x + x h'( x) 8x ( x+ 8) + 6x + 6x p'( x) 6x + 6x h'( x) 8x x 8+ 6x + 6x d 9 qx ( ) x + 5, x + h'( x) 6x x 9 8 q'( x) 9x +, 5 x + q'( x) 9x 8 + x a A t t + da t t+ da t t K 8 t + t t dk 7 8t + t dk 7 6t + t c M t + t + t dm t + t + d p at + t+ c, (a, en c zijn getallen; differentieer naar de variaele t) dp a t+ + dp at + a f( x) x x f'( x) x x De helling is als gel f'( x). Oplossen geeft x x xx ( ) x of x x of x x of x of x Voor de grafiek van f etekent dit dat de raaklijn hier horizontaal loopt. c Een plot van f'( x) x x toont een positieve waarde op de intervallen, en, d Een plot van f'( x) x x toont een negatieve waarde op de intervallen, en, e Als de helling negatief is daalt de grafiek van f. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
5a c d 6a ladzijde 5 dh 6 t. Dit stelt de snelheid voor van de vuurpijl op tijdstip t in meter per seconde. Als d h > is de snelheid op tijdstip t positief. De hoogte neemt toe met de tijd. Als d h < is de snelheid op tijdstip t negatief. De hoogte neemt af met de tijd. Het hoogste punt wor ereikt als de richting van de snelheid omkeert van positief naar negatief. Dat etekent dat d h d. Oplossen geeft 6 6 t t ; t seconde De eweging naar oven stopt na 6 seconden. De eweging naar eneden duurt evenlang, dus ook 6 seconden, en na seconden stort de pijl op de aarde. De snelheid is dan 6 6 m/s. Dat is 6 m/s naar eneden gericht. Plot Invoer: Y X^ 8X^+7X + Venster: Xmin ; Xmax 7 Ymin ; Ymax x O,5 f'( x) x 8 x + 7 x + f '( x) x 5x + 5x c x 5x + 5x 6x( x 9x + 9) 6 x of x 9x + 9 (in x 9x+ 9 is a, 9 en c 9 voor de acformule) x of x + ac 9 + 8 9 of a x ac 9 8 9 6 5, a f'( x) gel dus voor x, x 5, en x d f'( x) < als f daalt, dat is op de intervallen, en 5, ; 7a c y 6,875 dg x + 9 x x + 8x x dg dx x + 8x ( x + 5, x ) ( x 5, )( x+ ) x5, of x De y-waarden die hierij horen zijn,5 en 8. De punten zijn dus (,5;,5) en (, 8) Geruik een plot van de functie om af te lezen waar de grafiek stijgt en daalt. Voor d g > vind je, en dx 5, ; Voor d g < vind je dx ;, 5 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 7
8a c d Hoofdstuk - Differentiëren. Hellingen en raaklijnen ladzijde 6 Na ongeveer 6 minuten loopt de grafiek het vlakst. Zijn snelheid is dan het laagst, dus daar heeft hij de top ereikt. De afstand na minuten is 8 km. Zijn gemiddelde snelheid is dus 8 :,5 km/min Zijn snelheid is de helling van de raaklijn op t. De raaklijn gaat ongeveer door de punten (, ) en (8, ). Zijn snelheid op t is dus s t 9, km/min 8 7 Na t zie je dat de lijn vlakker gaat lopen tot t 6. Gedurende dat interval neemt de snelheid van de renner af. Na t 6 gaat de grafiek steiler lopen en neemt z n snelheid weer toe. De motor rij verder volgens de raaklijn in t. De raaklijn snij de grafiek van de renner ij ongeveer 75 minuten, dan heen ze dezelfde afstand afgelegd en haalt de wielrenner de cameraman dus weer in. 9a f'( x) x 6x De helling in P(, 7) is f '( ) 6 De raaklijn is een rechte lijn en heeft de algemene vorm y ax+. Hierin is a het hellingsgetal en de eginwaarde. Het hellingsgetal in P is gelijk aan, dus a en de algemene vorm is alvast y x+ c Invullen van de coördinaten x en y 7 levert 7 + ofwel 7+ 5 d De vergelijking wor hiermee y x+ 5 e Plot Y X^ 8X^ en Y X+5. Zoom in rond (, 7) en je ziet dat de lijn de grafiek daar raakt. ladzijde 7 a f'( x) x + De helling van de raaklijn in P(6, ) is f '( 6) 6+. De vergelijking van de raaklijn is y x+. De lijn gaat door de coördinaten van punt P. Invullen hiervan geeft 6 + ; 8, zodat de vergelijking van de raaklijn y x+ 8 wor. De helling van de raaklijn in O(, ) is f '( ) +. De vergelijking van de raaklijn is y x+. De lijn gaat door de coördinaten van punt O. Invullen hiervan geeft + ;, zodat de vergelijking van de raaklijn y x wor. De raaklijnen snijden elkaar als x+ 8 x. Oplossen geeft 6x 8; x. De y-waarde hierij is 9. Het snijpunt is dus (, 9) c Rechte lijnen die evenwijdig aan elkaar zijn heen hetzelfde hellingsgetal. Het hellingsgetal van de lijn y x is. De helling is ook de waarde van de afgeleide in x p, dus moet gelden f'( p) d Met f'( p) is de vergelijking van de raaklijn al y x+. De waarde van p waarvoor dat gel volgt uit f'( p) p+ ; p. De y-waarde hierij is f ( ), 5 ( ) + 5, dus de raaklijn gaat door het punt ( ;,5). Invullen van dit punt in y x+ geeft 5, + ; 5, De vergelijking van de raaklijn wor daarmee y x+, 5 8 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
, g(, ) g( ) a In A is de helling g'( ),,,, g(, ) g( ) In B is de helling g'( ) 9, 89,, De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax+ geeft y, x+ Het punt (, 6) hierin invullen geeft 6, + ; 9, zodat de vergelijking lui y, x 9, c De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax+ geeft y 989, x+ Het punt (, ) hierin invullen geeft 9, 89 + ; 978, zodat de vergelijking lui y 989, x 978, a f'( x) x x De helling is als gel f'( x). Oplossen geeft x x x ( x ) x of x x of x De ijehorende y-waarden zijn f ( ) en f () 7 De punten zijn dus (, ) en (, 7) De raaklijn met een helling is een horizontale lijn ter hoogte van het punt. Voor (, ) is de vergelijking dus y en voor (, 7) is de vergelijking y 7 c De helling van de lijn is 9,5. De functie f heeft ook deze helling als gel f'( x) x x 9, 5 Geruik voor de rekenmachine Y X^ X en Y 9.5 en zoek het snijpunt voor x,6658. Zowel de raaklijn als de functie heen voor deze x dezelfde y-waarde, dus de lijn raakt hier inderdaad de grafiek van f. d Met de rekenmachine vin je dat f'( x) x x 9, 5 drie oplossingen heeft. Er zijn dus drie raaklijnen over die evenwijdig lopen met y 95, x e De helling in (, 5) is f '( ) ( ) ( ) 6 De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax+ geeft y 6 x+ Het punt (, 5) hierin invullen geeft 5 6 + ; 5 6 zodat de vergelijking lui y 6x f De raaklijn in (, f ( )) heeft helling f '( ) 6. De hellingen zijn gelijk, dus lopen de lijnen evenwijdig. a f'( x) x g'( x) f'( x) g'( x) x x x x of x Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 9
Hoofdstuk - Differentiëren Voor x : f () g( ) + Dus f( x) gx ( ) gel hier niet. Voor x : f () ( ) + g( ) + Dus f( x) gx ( ) gel hier wel. c d Plot Invoer: Y X^ X Y X+ Venster: standaardinstellingen g is de raaklijn aan f voor x. Voor x heeft f een raaklijn die evenwijdig loopt aan g. Met de rekenmachine vind je dat f en g elkaar snijden voor x. Uit de plot lees je de intervallen voor de ongelijkheid af:, en, a f( x) sin x f'( x) cos x De helling in (, ) is f '( ) cos De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax+ geeft y x+ Het punt (, ) hierin invullen geeft + ; zodat de vergelijking lui y x De sinusfunctie herhaalt zich na π, dus een verschuiving van de raaklijn over ijvooreeld π,πen π geeft raaklijnen die evenwijdig aan de raaklijn in de oorsprong lopen. Voor x π is de raaklijn in ( π, ) : y x+ Voor x π is de raaklijn ( π, ) : y x π Voor x π is de raaklijn ( π, ) : y x c Voor x is de stijging van de sinusfunctie het grootst en is de helling. Voor x π is de daling van de sinusfunctie het grootst en is de helling cos π. De waarden van de helling varieert dus tussen en. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
5a. Maxima en minima ladzijde 8 Plot Invoer: Y X^ 6X Venster: standaardinstellingen Met de rekenmachine vind je de maximale toppen door te geruiken: TI: CALC > maximum Casio: G-Solv > MAX en de minimale toppen door te geruiken: TI: CALC > minimum Casio: G-Solv > MIN De rekenmachine vin de coördinaten (,; 5,66) en (,; 5,66) Op de toppen loopt de raaklijn horizontaal, dus los op: f'( x) f'( x) x 6 x x en x c De y-coördinaat voor de maximale top is f ( ) ( ) 6 + 6 + 6 + 6 De y-coördinaat voor de minimale top is f ( ) ( ) 6 6 6 6 6a Los op: x 6x + 8x x ( x 6x + 8) x of x 6x + 8 (hierin is a, 6 en c 8 voor de ac-formule) 6 + ( 6) 8 6 ( 6) 8 x of x, 7 of x, 6 y O Plot Invoer: Y X^ 6X^+8X Venster: Xmin Xmax 5 Ymin Ymax,6,7 x Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
Hoofdstuk - Differentiëren c De raaklijn is horizontaal als de helling ervan is, dus als gel f'( x) f '( x) x 8x + 6x x 8x + 6x xx ( x + ) x of x x + x of ( x )( x ) x of x of x d Aflezen in de grafiek geeft een stijging op, en, e Aflezen in de grafiek geeft een daling op, en, f De uiterste waarden zijn de functiewaarden die ij de maxima en minima De uiterste waarde ij x is f ( ) De uiterste waarde ij x is f () 6 + 8 5 De uiterste waarde ij x is f () 6 + 8 7 ladzijde 9 do 7a etekent hoeveel de oprengst O verandert als het aantal machines verandert dq rond het aantal q. do q + 8q+ 5. Het maximum is een top van O en heeft daar een nulpunt voor dq de afgeleide. Plot de afgeleide Y X +8X+5 en zoek hiervan de nulpunten met de rekenmachine. Je vin de nulpunten ij q en q 7. De negatieve waarde voldoet niet want het aantal machines kan niet negatief zijn, dus ij 7 machines is de oprengst maximaal. c De maximale oprengst ij q 7 edraagt 7 + 7 + 5 7 89 duizend euro, dus,89 miljoen euro. do d dq do q + 8q+ 5 dq ( q 6q 7) q 6q 7 ( q 7)( q+ ) q 7 of q q voldoet niet want het aantal machines kan niet negatief zijn. Bij 7 machines is de oprengst dus maximaal. Hij had 5 machines, dus hij moet er extra aanschaffen. 8a f( x) x x f'( x) x x x x x( x) x of x Plot x of x Invoer: Y X^ X^ De uiterste waarden zijn Venster: Xmin.5 Xmax.5 f ( ) Ymin Ymax f ( ), 8 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
gx ( ) x x+ g'( x) x x x De uiterste waarde is g( ) Plot Invoer: Y X^ X+ Venster: Xmin 5 Xmax 5 Ymin Ymax c hx ( ) x x+ h'( x) x x x x Plot De uiterste waarde is h( ) Invoer: Y X^ X+ Venster: Xmin Xmax Ymin Ymax d mx ( ) 6x 7 m'( x) 6 m'( x) heeft geen oplossing, er zijn geen uiterste waarden. Plot Invoer: Y 6X 7 Venster: Standaardinstellingen 9a f( x) x ( x x + ) f( x) 8x x + x f'( x) x x + 8x x x + 8x x( 8x x + ) x of 8x x + Alleen x voldoet, 8x x+ heeft geen oplossingen want de discriminant is negatief. Een plot van f( x) toont ij x een minimum. gx ( ) x( 6 x ) gx ( ) x x g'( x) 6x 6x x x, of x, Een plot van gx ( ) toont ij x, een minimum en ij x, een maximum. c hx ( ) ( x )( x + ) hx ( ) x + x x 9 hx ( ) x 9 h'( x) x x x Een plot van hx ( ) toont ij x een minimum. Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
Hoofdstuk - Differentiëren a sx ( ) f( x) + gx ( ) 5, x + x 6x, 5x + x s'( x) 9x+ x 9x+ x x( x) x of x x of x Plot van sx ( ) Een plot van sx ( ) toont ij x een maximum. Invoer: Y.5X^+X^ Venster: Xmin Xmax 6 Ymin Ymax De uiterste waarde ij x is. De uiterste waarde ij x is s( ), 5 ( ) + ( ) 5, c a) vx ( ) f( x) gx ( ) 5, x ( x 6x ), 5x x + 6x 75, x x v'( x) 5x x 5x x x( 5 x) x of 5 x x of x 5 invoer: Plot van vx ( ) Een plot van vx ( ) toont ij x een minimum. Invoer: Y 7.5X X^ ) De uiterste waarde ij x is. Venster: Xmin 5 Xmax De uiterste waarde ij x 5 is Ymin Ymax 8 v( 5) 7, 5 ( 5) ( 5) 65, f( x) x x + x f'( x) x x + 8x x x + 8x xx ( x + ) xx ( )( x ) x of x of x Plot x of x of x Invoer: Y X^ X^+X De uiterste waarde ij het minimum x is. Venster: Xmin Xmax De uiterste waarde ij het maximum x is. Ymin Ymax 7 De uiterste waarde ij het minimum x is +. De lijn y p heeft oven het maximum twee snijpunten met de grafiek van f. De lijn y p heeft door het maximum drie snijpunten. De lijn y p heeft tussen het maximum en de minima vier snijpunten. De lijn y p heeft op door de minima twee snijpunten. De lijn y p heeft onder de minima geen snijpunten. In een schema: p > p < p < p p < snijpunten snijpunten snijpunten snijpunten snijpunten Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
f'( x) x + 6 f( x) x + 6 x+ c is een functie die deze afgeleide kan heen. De waarde van de constante c is niet ekend want elke constante heeft als afgeleide. Maar de grafiek gaat door P(, ), dus moet gelden f ( ). Invullen geeft + 6 + c ; 6 + c ; c 5 Het functievoorschrift is dus f( x) x + 6x 5. Buigpunten ladzijde a De grafiek van f heeft een afnemende stijging tot x, daarna volgt een toenemende stijging. De grafiek van g heeft een afnemende stijging. De grafiek van h heeft een constante stijging. f'( x), x en h'( x) De hellingen zijn gelijk voor de waarde van x als de afgeleide van f en h voor x gelijk zijn. Dus los op: f'( x) h'( x), x a x 5, 5, x 5 9, of x 5 9, c Voor f'( x) > h'( x) heeft de raaklijn van f een grotere helling dan de lijn. Bij de punten van opdracht is de helling gelijk en lopen de grafieken even steil. Uit de afeelding volgt dat de grafiek van f tussen deze punten vlakker loopt dan de grafiek van h, maar daaruiten steiler. De oplossing zijn dus de intervallen ;,9 en 9, ; d Voor x is de helling van g ongeveer y g(, ) g( ), 5,. x,, Dat is gelijk aan de helling van van h. e Voor g'( x) > h'( x) heeft de raaklijn van g een grotere helling dan de lijn. Bij x is de helling gelijk en lopen de grafieken even steil. Uit de afeelding volgt dat de grafiek van g tussen x en x steiler loopt dan de lijn. Voor x heeft g een verticale raaklijn, dus die waarde voldoet niet. Blijft over als oplossing het interval,. c Grafiek en passen ij een lineair verand (rechte lijn). Grafiek,, 5 en 6 kunnen delen van een erg- of dalparaool zijn, dus kunnen ij een kwadratische functie ehoren. Grafiek en 6 kunnen ook ij een exponentiële functie horen (gespiegeld in de x-as en/of de y-as) Grafiek,, 5, en 6 kunnen ook delen zijn van de grafiek die ij een geroken functie past (gespiegeld in de x-as en/of de y-as en/of verschoven) Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 5
6 Hoofdstuk - Differentiëren 5a Op, is er een afnemende stijging. Het andere deel heeft een toenemende stijging. c Op het domein [, ] stijgt de grafiek steeds, dus de helling van de raaklijn is steeds positief, dus de afgeleide is steeds positief. d f'( x) x + e Het kwadraat wor nooit negatief. Je telt er altijd ij op, dus de afgeleide is altijd groter of gelijk aan. Omdat de afgeleide altijd positief is moet de functie altijd stijgend zijn. f f'( x) is het kleinst als x, dus als x g De grafiek gaat in het punt x over van afnemend stijgend naar toenemend stijgend. h De helling van de grafiek van f is het kleinst waar de grafiek van f ' een minimum heeft. 6a 7a ladzijde Plot Invoer: Y.5X^ X^+ Venster: Xmin Xmax 5 Ymin 5 Ymax Er is één uiterste waarde. f'( x) x 6x x 6x x ( x ) x of x x of x Bij x hoort geen uiterste waarde want de grafiek varandert er niet van stijgend naar dalend of omgekeerd. Bij x is een minimum met een uiterste waarde. c De grafiek van f'( x) heeft zelf weer een uiterste waarde voor x en x. De uiterste waarden zijn f '( ) 6 en f '( ) 6 8 d Voor x en x heeft de grafiek van f een uigpunt. Bij een maximum gaat de grafiek van h van stijgend naar dalend. De afgeleide gaat dan van + naar, en dat is het geval ij de oorsprong, dus ij x. Bij een minimum gaat de grafiek van h van dalend naar stijgend. De afgeleide gaat dan van naar +, en dat is het geval ij x. Ja, h heeft een uigpunt waar de afgeleide een maximum of minimum heeft. De afgeleide h' heeft een minimum ij x dus ij x heeft f een uigpunt. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
c y 5 O 5 6 5 x 6 De grafiek moet een top heen ij x een dal ij x en door (, ) gaan. De grafiek is stijgend zijn voor x< en x> want de afgeleide is daarvoor altijd positief. De helling van de raaklijn moet zijn voor x. 8a f( x) x + x + 5 f'( x) 6x + 6x f'( x) voor de extreme waarde. Oplossen geeft 6xx ( + ) x of x De extreme waarden zijn de functiewaarden hierij. Dat zijn f( ) 5 en f( ) ( ) + ( ) + 5 6 De helling is minimaal als deze de kleinste waarde heeft, dus als f ' de kleinste waarde heeft. De grafiek van f ' is een dalparaool en heeft de laagste waarde dus tussen de nulpunten x en x, dus voor x 5, c Je kent geen manier om de nulpunten van de derdegraadsfunctie x + x + 5 exact te erekenen. d f ( ) ( ) + ( ) + 5 e De grafiek is stijgend en f ( ) ligt oven de x-as. De grafiek moet dus vóór x de x-as doorsneden heen, dus dat nulpunt moet links liggen van. f De helling in (, ) is f '( ) 6 ( ) + 6 ( ) De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax+ geeft y x+ Het punt (, ) hierin invullen geeft + ; + 5 zodat de vergelijking lui y x+ 5 g Los op: y x+ 5 x 5 x, 8 De coördinaten zijn dus A(, ) h De y-coördinaat op de grafiek is f ( ), 6. Dat ligt onder de x-as, dus het werkelijke snijpunt van f met de x-as ligt nog iets rechts van punt A. Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 7
8 Hoofdstuk - Differentiëren.5 Optimaliseren ladzijde 9a Als de prijs met e,- daalt komen er ezoekers meer, dus 7 + ezoekers. Zijn inkomsten zijn dan e 8,- e 68,- per dag. inkomsten I prijs per kaartje aantal ezoekers prijs per kaartje 9 p aantal ezoekers 7 + p dus inkomsten I (9 p)(7 + p) c Uitwerken van de haakjes geeft I 5 + 6p 7p p p + 9p+ 5 di 8p + 9 dp Voor het maximum gel d I. Oplossen geeft + dp 8 p 9 ; p 9, 75 8 Voor een prijs van 9,75 6,6 euro is I maximaal en edraagt (9,75)(7 +,75) 755,6 euro per dag. ladzijde De oppervlakte O van de kippenren is nu reee lengte x De lengte van het gaas is meter dus + x waaruit volgt x Invullen geeft voor de oppervlakte O x ( x) xx x De afgeleide is O'( x) x Bij een maximum voor de oppervlakte gel O'( x) ; x ; x De lengte is dan dus meter en de reee is ( x ): ( ): 5 meter De oppervlakte is ook weer 5 5 m a Er zijn rien van cm, rien van cm en opstaande rien van h cm. Samen heen ze een lengte van 8 cm. Voor de vier opstaande rien is er 8 6 cm over, zodat h 6 : 9 cm en de inhoud 9 59 cm is. De opstaande rie heeft een lengte van 8 x x 8 x 5 x c V x ( 5 x) 9x 6x dv 8x 8x dx Voor het maximum gel d V dx Oplossen geeft 8x 8x 8x( x) 8x of x x of x x voldoet niet als zinnige afmeting, dus lijft over x cm Het volume is V ( 5 ) cm De hoogte is 5 5 cm afmetingen zijn dus l h 5 cm Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
d Los voor de nulpunten van V op: 9x 6x 6x ( 5 x) 6x of 5 x x of x 5 In een plot van V zie je dat V tussen en 5 positief is. De uitkomst is dus zinvol voor x op het interval, 5 e Het uitenoppervlak estaat uit het voor- en achtervlak met elk oppervlakte x h, samen dus xh de twee zijvlakken met elk oppervlakte x h, samen dus xh het oven- en ondervlak met elk oppervlakte x x, samen dus x. In totaal is de oppervlakte dus xh + xh + x x + 6xh Voor h vond je eerder 5 x. Invullen geeft tenslotte A x + 6x( 5 x) x + 7x 8x x + 7x f Bij een minimale oppervlakte gel d A dx da 8x + 7 dx x 7 96, cm 8 a I π r h h I 85 7, cm π r π De oppervlakte van het lik estaat uit de cirkelvormige odem en deksel en de cilindervormige wand. De oppervlakte van de odem en deksel is elk π r en de wand heeft oppervlakte π r h De totale oppervlakte is dus π r + π r h π + π 7, 798, cm c De oppervlakte A van het lik estaat uit de cirkelvormige odem en deksel en de cilindervormige wand. De oppervlakte van de odem en deksel is elk π r en de wand heeft oppervlakte π r h De totale oppervlakte A is dus π r + π r h πr + πrh. Invullen van h I uit opdracht a geeft π r A r rh r r I + + r + r I r + I r r r Voor I 85 wor dit A r + 85 r + 7 r r d A πr + 7 πr + 7 r r da r 7r dr Bij een minimale waarde gel d A, dus los op: r 7r dr r 7r r r 7 r 7 r 7 5, cm π De hoogte hierij is h I 85, 8 cm π r π 5, Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 9
Hoofdstuk - Differentiëren a Een punt dat op de lijn ligt heeft y-coördinaat 6 x. Tussen punt P(x, y) op de lijn en de oorsprong kun je een lijn trekken die de schuine zijde van een rechthoekige driehoek vormt. De onderzijde van de driehoek valt samen met de x-as en heeft heeft lengte x. De andere verticale kant vand e driehoek loopt van de x-as tot de lijn en heeft de lengte van de y-coördinaat, dus 6 x. De afstand van P tot de oorspring volgt uit de stelling van Pythagoras: d x + y d x + ( 6 x) d x + ( 6 x) Als d minimaal is is d ook minimaal (d is een afstand dus altijd positief!) Noem d nu y om de functie een naam te geven die je kunt differentiëren. c Bij het minimum van y gel d y dx Om de afgeleide te erekenen werk je eerst de haakjes ij y uit: y x + ( 6 x) x + 6 6x+ 9x x 6x+ 6 dy x 6 dx x 6 8, De y-coördinaat hierij is 6 8, 6,. Het punt is dus (,8;,6) d De exacte afstand tot de oorspring is d 8, + 6, 6,.6 Gemengde opdrachten ladzijde a f'( x) x Bij de toppen gel f'( x) x x x x of x De y-waarden zijn f ( ) en f ( ) ( ) + De coördinaten van de toppen zijn zijn (, ) en (, ) De raaklijnen in de punten P en Q zijn evenwijdig als de raaklijnen in de punten dezelfde helling heeft, dus als de afgeleide in de punten hetzelfde is. De helling van de raaklijn in P is f'( a) ( a) a De helling van de raaklijn in Q is f'( a) ( a) a De hellingen zijn gelijk, dus de raaklijnen lopen evenwijdig. 5a Als x zijn alle termen van f( x) nul want ij elke term wor er vermenigvuldigd met. De som van de termen is dus ook steeds. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
Voor a wor de functie f ( x ) x 6 x en de afgeleide f'( x) x x Bij een minimum en maximum gel f'( x) Oplossen geeft x x xx ( ) x of x x of x De afgeleide is een dalparaool dus ij x gaat de afgeleide van + naar en de grafiek van f van stijgend naar dalend. Bij x is dus een maximum. Bij x gaat de afgeleide van naar + en de grafiek van f van dalend naar stijgend. Bij x is dus een minimum. De y-waarden zijn f ( ) en f ( ) 6 Het maximum ligt op (, ) en het minimum op (, ) c a wor de functie f ( x ) x x + 6 x en de afgeleide f'( x) x x+ Bij de uigpunten heeft de afgeleide functie een maximum of minimum. Neem de afgeleide van de afgeleide om deze te vinden. De afgeleide van de afgeleide is 6x. Voor x heeft deze een nulpunt, dus heeft de afgeleide daar een extreem en f een uigpunt. De helling ij x is f '( ) + dus de raaklijn is horizontaal. f ( ) 6 + 8, de coördinaten van het uigpunt zijn dus (, 8) d De helling van de raaklijn is f'( x) x x+ a. Er is geen horizontale raaklijn als f'( x) geen nulpunt heeft. f'( x) is een dalparaool en heeft geen nulpunten als de discriminant D negatief is. Voor de discriminant moet dus gelden ac < (waarin de letters a, en c voor de getallen ij de ac-formule staan!) Hier gel a, en c a Invullen geeft ( ) a < a < < a < a a > Voor a > heeft f geen horizontale raaklijn. 6a Om meer gegevens te eschermen zullen er meer controles moeten worden uitgevoerd. Op het laatst zullen er ook controles op controles plaats moeten vinden om de grotere zekerheid te kunnen ieden. Elke controle rengt kosten met zich mee en nemen de kosten sterker toe naarmate de zekerheid toeneemt. Een eetje eveiliging voorkomt gemakkelijke diefstal dus in het egin daalt S sterk. Bij toenemende zekerheid wor het steeds moeilijker om de gegevens te stelen maar vin nog wel plaats. S wor nooit omdat % eveiliging nooit gegeven kan worden. c Streven naar volledige escherming rengt te hoge kosten met zich mee. De prijs van de gegevens weegt daar niet meer tegenop. d T( x) Sx ( ) + Bx ( ) 8x+ x +, x T'( x) 8 + 8x+, x T'( x) ij het minimum. Oplossen geeft 8 + 8x+, x x + 8 8, 8 8 + of, 6, x 8 8, 8 8 66, voldoet niet want x moet positief zijn., 6, Bij x zijn de totale kosten dus minimaal. Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
e 7a 8a Hoofdstuk - Differentiëren Bij geen enkele escherming wor er voor euro gestolen. Bij x zijn de totale kosten 8 + +, 8 euro. Er wor dus 8 9 euro espaard. ladzijde 5 Plot Invoer: Y.X^+.8X +.6X Venster: Xmin Xmax Ymin Ymax Zij rij met vrijwel constante snelheid op de snelweg want de grafiek is ijna een rechte lijn. Aan het eind loopt de grafiek iets vlakker, dus daar is haar snelheid iets lager. Haar snelheid in km/min op tijdstip t is de helling van de raaklijn op t, dus de waarde van de afgeleide op t. vt () s'( t), 6t + 6, t+, 6 v is het grootst als v'( t) v'( t), 7t + 6,, 7t + 6, t 5 Op t 5 min is haar snelheid het grootst en edraagt v( 5), 6 5 +, 6 5+, 6, 5 km/min c Een afstand van km d s t e Los op: vt (), 6t + 6, t +, 6, 6t + 6, t, 6t 6t+ 9t 9t+ c 9 ( 9) 9 t 9 5 7, min of 9 8 9 + ( 9) 9 t 9 + 5 87, min 9 8 De kosten ij kopjes zijn 5 5 eurocent De oprengst ij kopjes is 6 6 eurocent De winst ij kopjes is 6 5 5 eurocent Voor elke 5 eurocent minder verkopen ze kopjes meer. Ze kunnen kopjes meer maken dan 6, dus ze moeten eurocent onder de 5 eurocent vragen, dat is 5 eurocent per kopje. Bij 5 eurocent heen ze 5 5 eurocent winst per kopje. Op kopjes heen ze eurocent winst. Dat is minder dan tot nu toe (5 eurocent). Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
d Bij p 6 lees je af 5 eurocent op de rechte lijn en 6 eurocent op de geogen lijn. Vergelijk dat met de edragen ij opdracht a en je ziet dat de rechte lijn de kosten zijn en de geogen lijn de oprengst. De winst is het verschil tussen de oprengst en de kosten. Bij p eurocent per kopje is de winst dus de afstand tussen de geogen lijn en de rechte lijn. Meet met een liniaal de plaats op waar de afstand tussen de grafieken maximaal is. Meet de afstand rechts van het snijpunt want de oprengst moet groter zijn dan de kosten voor winst. Dat is ongeveer ij p 55. e Het verand tussen q en p is een lijn met vergelijking q ap+. Uit de tael lees je af dat de lijn door de punten (5, 6) en (6, ) gaat. De helling a is dus 6. Invullen in de raaklijnvergelijking geeft q p+ 6 5 Het punt (6, ) hierin invullen geeft 6 + ; zodat de vergelijking lui q p+ f Kosten kosten per kopje aantal verkochte kopjes 5 q 5( p+ ) p + 85 Oprengst prijs per kopje aantal verkochte kopjes pq p( p+ ) p + p Winst TW Oprengst Kosten ( p + p) ( p+ 85) p + p+ p 85 p + p 85 g TW( 6) TW( 6) ( 6 + 6 85) ( 6 + 6 85) cent. De winst neemt af met eurocent. h De winst is zo groot mogelijk als TW een maximum heeft, dus als de afgeleide is. dtw 8p + voor p 55 eurocent per kopje. dp 8 Dit vond je ook ij opdracht d. i De maximale winst is 55 + 55 85 6 eurocent ICT Maxima en minima ladzijde 6 I-a Om de lijn de paraool te laten raken in punt P moet je a en 6 kiezen. De vergelijking van de raaklijn is y x 6 De x-waarde voor punt P is. Als je invult in het vakje nadat je de utton aangeklikt het lees je af y 6. en Helling.. De raaklijn moet dus een lijn zijn met helling die door punt (, 6) gaat. De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax+ geeft y x+ Het punt (, 6) hierin invullen geeft 6 + ; 6 6 zodat de vergelijking lui y x 6 c Voor Q(, ) lees je af Helling. De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax+ geeft y x+ Het punt (, ) hierin invullen geeft + ; zodat de vergelijking lui y x Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
d Hoofdstuk - Differentiëren Voor R(, 6) lees je af Helling. De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax+ geeft y x+ Het punt (, 6) hierin invullen geeft 6 + ; 6 zodat de vergelijking lui y x+ Voor S(, ) lees je af Helling. De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax+ geeft y x+ Het punt (, ) hierin invullen geeft + ; zodat de vergelijking lui y x+ Voor T(, ) lees je af Helling. De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax+ geeft y x+ Het punt (, ) hierin invullen geeft ; zodat de vergelijking lui y In punt T. Dat is het laagste punt van de paraool. I-a Voor p, en p, loopt de raaklijn horizontaal. Met de utton uit de vorige opdracht vin je y 566, en y 566, hierij. De punten zijn dus (,; 5,66) en (,; 5,66) f'( x) x 6 c Los op: x 6 x 6 x x, of x, d Op de intervallen ;, en, ; is de helling positief. Op het interval, ;, is de helling negatief. I-a Voor x is de helling. Voor alle andere waarden is de helling negatief. c Nee, de helling van de raaklijn verandert niet + naar of omgekeerd. I-a Er zijn geen toppen. Voor x is de helling. Dat is in het punt (, 5). c Op de intervallen, en, stijgt de grafiek en is de helling dus positief. Er zijn geen intervallen met een negatieve helling. ladzijde 7 I-5a Voor x. f'( x) x x 5 x x x x De raaklijn loopt horizontaal als f'( x). Dus los op: x x x xx ( x ) xx ( + 5)( x 6) x of x 5 of x 6 c Geruik de Uitkomst en helling utton om de functiewaarden van f te vinden. De uiterste waarde ij x is f ( ) De uiterste waarde ij x 5 is f ( 5) 77, 8 De uiterste waarde ij x 6 is f ( 6) 88 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
d Zoom uit om de extremen in eeld te krijgen. e Op de intervallen 5, en 6, stijgt de grafiek. I-6a f'( x) x x. De helling van de raaklijn in x is f '( ) ( ) + 5 Geruik de Uitkomst en helling utton om de functiewaarden van f te vinden. De y-waarde is f ( ) 5. De helling van de lijn is ook 5 en gaat gaat ook door punt (, 5) dus raakt de lijn inderdaad de grafiek van f. Voor een raaklijn met helling 5 gel f'( x) x x 5. Oplossen geeft x x 5 ( x 5)( x+ ) x 5 of x Er zijn in totaal dus twee lijnen met helling 5 die de grafiek van f raken. Voor x was de vergelijking y 5 x al ekend. Bij x 5 hoort de functiewaarde. De raaklijn moet dus door (5, ) gaan. De helling 5 invullen in de raaklijnvergelijking y ax+ geeft y 5 x+ Het punt (5, ) hierin invullen geeft 5 5+ ; 6 zodat de vergelijking lui y 5x 6 c Bij een helling gel f'( x) x x. Oplossen geeft xx ( ) x of x De ijehorende functiewaarden zijn y en y, De punten zijn dus (, ) en (;,) d Bij x hoort de functiewaarde. De vergelijking voor de horizontale raaklijn is dus y Bij x hoort de functiewaarde,. De vergelijking voor deze raaklijn is dus y, I-7 p > 5 p 5 < p < 5 p 7 < p < p 7 p < 7 snijpunten raakpunten I-8a gx ( ) x( 6 x ) x x g'( x) 6x 6x x x of x In de grafiek is te zien dat ij x een minimum hoort en ij x een maximum. De extreme waarden zijn g( ), en g( ), hx ( ) ( x )( x + ) x 9 h'( x) x x In de grafiek is te zien dat ij x een minimum is. De extreme waarde is h( ) 9 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 5
6 Hoofdstuk - Differentiëren 5 c kx ( ) x 5x k'( x) 5x 5x 5x ( x ) 5x of x x of x of x In de grafiek is te zien dat ij x een minimum hoort en ij x een maximum. Bij x is geen minimum of maximum. De extreme waarden zijn g( ) 9, en g( ) 9, Test jezelf ladzijde 5 T-a f( x) x + 5x 8 f'( x) x + 5+ f'( x) x + 5 5 gx ( ), x x 7 g'( x) 5, x x g'( x) 5, x 8x c hx ( ) ( x )( x+ 5 ), werk eerst de haakjes uit hx ( ) x + 5x 6x 5 x x 5 h'( x) x T-a f'( x) x ; g'( x) f'( x) g'( x) x x c Functie g heeft de vorm y ax+ van een rechte lijn, dus g is een lijn. Voor x is de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig aan de lijn g want eide heen dan de helling. Voor x gaat de grafiek van f door het punt (, ), evenals de lijn. De lijn valt dus samen met de raaklijn en dus is de grafiek van g een raaklijn aan de grafiek van f. d De helling in (, ) is f '( ) De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax+ geeft y x+ Het punt (, ) hierin invullen geeft + ; 8 zodat de vergelijking lui y x T-a c df dg x 8; 6x 6x dx dx Voor een horizontale raaklijn is de helling dus los op: d f x 8 dx Dat gel voor x. Bij de top is de raaklijn horizontaal, dus ij x. De y-coördinaat hierij is f ( ) 8 8. De coördinaten zijn (, 8) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
d Bij de extreme waarden is de raaklijn aan g horizontaal, dus gel d g 6x 6x dx plossen geeft x( x 8) x of x 8 x of x 8 De extreme waarde ij x is g( ) De extreme waarde ij x is g( ) 896, T-a f'( x) x x + x. De raaklijn loopt horizontaal ij f'( x), dus los op x x + x xx ( x + ) xx ( )( x ) x of x x of x f( ) en f( ) + De coördinaten zijn dus (, ) en (, ) Bij de uigpunten is de afgeleide van de afgeleide. De afgeleide van de afgeleide is x x+ x 8x+, dus los op x 8x+ Met de ac-formule kriig je T-5a x 8+ 8 + x ( ) 8 8 ( 8) of 8 6 6 f ( ) + en f ( ), 5 8 De coördinaten zijn dus ( ; ) en (, ) 8 Driehoek APS en CRQ vormen samen een vierkant met zijde cm, dus oppervlakte cm Driehoek DSR en BQP vormen samen een rechthoek met zijde 8 cm en 6 cm, dus oppervlakte 8 cm De oppervlakte van de tegel is 6 6 cm Blijft over voor het parallellogram 6 cm Driehoek APS en CRQ vormen samen een vierkant met zijde x cm, dus oppervlakte x Driehoek DSR en BQP vormen samen een rechthoek met zijde x en 6 x, dus oppervlakte ( x)( 6 x) De oppervlakte van de tegel is 6 6 cm Blijft over voor het parallellogram 6 ( x)( 6 x) x in cm Vereenvoudigd wor O 6 ( x)( 6 x) x 6 ( 6 x 6x+ x ) x 6 ( 6 6x+ x ) x 6 6 + 6x x x x + 6x c De oppervlakte is maximaal als d O dp do x + 6 dp x Als AP cm is de oppervlakte O maximaal. d De maximale oppervlakte is O( ) + 6 cm Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 7
8 Hoofdstuk - Differentiëren ladzijde 5 T-6a f'( x) xg ; '( x) x De helling van de grafiek van f in C is f '( 5) 5 De helling van de grafiek van g in D is g'( 5) 5 75 f ( 5) 5 5 en g( 5) 5 5. De grafiek van f loopt dus oven de grafiek van g. De afstand tussen de punten is f( 5) g( 5) 5 5 5 c Bij opdracht a vond je dat de helling van de grafiek van f ij C groter is dan de helling van de grafiek van g ij D. De grafiek van f stijgt ij C dus meer dan de grafiek van g ij D. Bij een verschuiving van de lijn naar links wor de afstand daarom kleiner en ij een verschuiving naar rechts groter. d De afstand is f( x) gx ( ) x x. De afstand is het grootst als deze formule een maximum heeft, dus als de afgeleide is. De afgeleide is x x x x. dus los op: x x x( x) x of x x (voldoetniet) of x 6 Voor x 6 is de afstand het grootst. T-7a f'( x) x. De helling in A(, ) is f '( ) De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax+ geeft y x+ Het punt (, ) hierin invullen geeft + ; zodat de vergelijking van de raaklijn lui y x De helling van de raaklijn in B(, 8) enaderen we met een klein differentiequotiënt: c de helling is ongeveer y g(, ) g( ) x, Dat is gelijk aan het hellingsgetal voor de raaklijn uit opdracht a. De lijnen lopen dus evenwijdig. De helling aan de grafiek van g in het punt B(, 8) is. De helling van kx ( ) is de afgeleide, dus los op k'( x). Uitwerken van k geeft kx ( ) ( x 5, ) + 6 x 5x+ 65, + 6 x 5x + 5,, dus k'( x) x 5. Oplossen van k'( x) x 5 geeft x 8 x De y-waarde hierij is k( ) ( 5, ) + 6 8, 5 Het punt is dus (; 8,5) T-8a Voor 6 vazen is q 6. De kosten zijn K( 6), 6 6 + 5 6 96, duizend 96 Voor vazen is q en K( ), + 5 68, duizend 68 dk, q q+ 5 dq Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
c Als K een extreme waarde heeft is daarij de afgeleide. De afgeleide, q q+ 5 is een kwadratische functie met discriminant D ac ( ), 5. De discriminant is negatief dus er zijn geen nulpunten. De afgeleide kan dus nooit zijn en K heeft geen extreme waarde. De afgeleide is een dalparaool zonder nulpunten. De paraool ligt dus geheel oven de horizontale as en heeft altijd positieve waarden. Bij een positieve waarde van de afgeleide hoort een stijgende functie, dus K is overal stijgend. d Bij vazen zijn de gemiddelde kosten per vaas K( ) 6 8 5, Bij 6 vazen zijn de gemiddelde kosten per vaas K( 6 ) 9 6 66, 6 6 De kosten per vaas van 5, zijn lager dan 6,6. e f T-9a Kq ( ), q q + 5q Gq ( ), q q+ 5 q q G'( q), q Bij minimale waarde van G( q) gel G'( q). Dus los op: G'( q), q De oplossing is q, dus ij vazen zijn de gemiddelde kosten per vaas minimaal. De minimale gemiddelde kosten per vaas is G( ) (, + 5) 5 De functie f moet door (, ) gaan daar en een minimum of maximum heen, dus (, ) is een top of een dal. O y De formule voor de snelheid vt () g t is de afgeleide van de formule voor de afgelegde weg st () g t. Er gel dus s'( t) vt ( ). x Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 9