Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 1 / 1
Vectoren Sommige fysische grootheden hebben alleen een grootte (bijv. massa, volume, druk). Dit zijn scalaire grootheden. Andere grootheden een grootte en een richting (bijv. snelheid, kracht, versnelling). Deze worden beschreven met vectoren u v J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 2 / 1
Definitie Een vector in het platte vlak of in de ruimte is een gericht lijnstuk (pijl). De pijlpunt geeft de richting aan, de lengte van het lijnstuk de grootte. Als v een vector is met beginpunt (staart) P en eindpunt (kop) Q dan schrijven we v PQ Vectoren met dezelfde richting en grootte zijn equivalent en noemen we daarom gelijk. Q u v u u u P u J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 3 / 1
In een rechthoekig of Carthesisch coördinatensysteem heeft elk punt P in het vlak twee coördinaten x en y. We noteren P met P(x, y) of simpelweg met (x, y). De verzameling van alle punten (x, y) in het vlak heet R 2. y O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 4 / 1
De vector v OP met staart in de oorsprong O (0, 0) en kop in het punt P(x, y) heeft per definitie componenten x en y (de coördinaten van de kop). We associëren met deze vector de 2 1 matrix [ ] x y en noemen zo n matrix dan ook een een vector in het vlak of een 2-vector. NB: R 2 staat ook voor de verzameling van alle 2-vectoren. y u P(1,3) v Q(5,4) O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 5 / 1
Analoog is R 3 de verzameling van alle vectoren in de ruimte (3-vectoren), en R n de verzameling van alle n-vectoren. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 6 / 1
Ander aangrijpingspunt De vector PQ met staart P(x, y) (niet noodzakelijk de oorsprong) en kop Q(x, y ) in R 2 heeft dezelfde lengte en richting als de vector OP met staart O en kop P (x x, y y) en is dus gelijk aan die vector. PQ heeft dus componenten x x en y y, dus wordt gegeven door de matrix [ x x y y ]. y P(1,3) Q(5,4) P (4,1) O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 7 / 1
Voorbeeld PQ, met P( 3, 1) en Q( 1, 4) is gelijk aan de vector [ ( 1) ( 3) 4 1 ] [ 2 3 ]. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 8 / 1
Matrixtransformaties Een 2 2 matrix A correspondeert met een functie (afbeelding) f : R 2 R 2 die een vector x R 2 afbeeldt op de vector Ax R 2 : f (x) Ax J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 9 / 1
Matrixtransformaties Een 2 2 matrix A correspondeert met een functie (afbeelding) f : R 2 R 2 die een vector x R 2 afbeeldt op de vector Ax R 2 : f (x) Ax Voorbeeld Spiegeling in de x-as van een vector in R 2 is de afbeelding f : R 2 R 2 die gedefinieerd is door ([ ]) [ ] [ ] [ ] x 1 0 x x f y 0 1 y y J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 9 / 1
Matrixtransformaties Een 2 2 matrix A correspondeert met een functie (afbeelding) f : R 2 R 2 die een vector x R 2 afbeeldt op de vector Ax R 2 : f (x) Ax Voorbeeld Spiegeling in de x-as van een vector in R 2 is de afbeelding f : R 2 R 2 die gedefinieerd is door ([ ]) [ ] [ ] [ ] x 1 0 x x f y 0 1 y y Het beeld onder f van de 2-vector [ ] ([ ]) [ 1 1 1 0 is de 2-vector f 2 2 0 1 ] [ 1 2 ] [ 1 2 ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 9 / 1
Voorbeeld Verlenging van een vector in R 2 is de afbeelding f : R 2 R 2 die gedefinieerd is door ([ ]) [ ] [ ] [ ] x r 0 x rx f y 0 r y ry voor een zekere r > 1. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 10 / 1
Voorbeeld Verlenging van een vector in R 2 is de afbeelding f : R 2 R 2 die gedefinieerd is door ([ ]) [ ] [ ] [ ] x r 0 x rx f y 0 r y ry voor een zekere r > 1. Als 0 < r < 1, dan heet deze afbeelding contractie. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 10 / 1
Voorbeeld Rotatie (tegen de klok in) over een hoek φ van een vector in R 2 is de afbeelding f : R 2 R 2 die gedefinieerd is door ([ ]) [ ] [ ] [ ] x cos φ sin φ x x cos(φ) y sin(φ) f y sin φ cos φ y x sin(φ) + y cos(φ) J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 11 / 1
Voorbeeld Rotatie (tegen de klok in) over een hoek φ van een vector in R 2 is de afbeelding f : R 2 R 2 die gedefinieerd is door ([ ]) [ ] [ ] [ ] x cos φ sin φ x x cos(φ) y sin(φ) f y sin φ cos φ y x sin(φ) + y cos(φ) [ r cos(θ) cos(φ) r sin(θ) sin(φ) r cos(θ) sin(φ) + r sin(θ) cos(φ) ] waarbij x r cos(θ) en y r sin(θ) (poolcoördinaten). [ r cos(θ + φ) r sin(θ + φ) ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 11 / 1
Voorbeeld Rotatie (tegen de klok in) over een hoek φ van een vector in R 2 is de afbeelding f : R 2 R 2 die gedefinieerd is door ([ ]) [ ] [ ] [ ] x cos φ sin φ x x cos(φ) y sin(φ) f y sin φ cos φ y x sin(φ) + y cos(φ) [ r cos(θ) cos(φ) r sin(θ) sin(φ) r cos(θ) sin(φ) + r sin(θ) cos(φ) ] [ r cos(θ + φ) r sin(θ + φ) waarbij x r cos(θ) en y r sin(θ) (poolcoördinaten). Rotatie van een 2-vector over een hoek van zestig graden komt neer op (voor)vermenigvuldigen met de matrix [ ] [ cos(π/3) sin(π/3) sin(π/3) cos(π/3) 1/2 1/2 (3) 1/2 (3) 1/2 ] ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 11 / 1
In het algemeen wordt door (voor)vermenigvuldigen met een m n matrix A een afbeelding f : R n R m gedefinieerd: als x een n-vector is dan is f (x) Ax een m-vector. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 12 / 1
In het algemeen wordt door (voor)vermenigvuldigen met een m n matrix A een afbeelding f : R n R m gedefinieerd: als x een n-vector is dan is f (x) Ax een m-vector. Voorbeeld Projectie van een vector in R 3 op het xy-vlak is de afbeelding f : R 3 R 2 die gedefinieerd is door x [ ] x [ ] f y 1 0 0 y x 0 1 0 y z z J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 12 / 1
In het algemeen wordt door (voor)vermenigvuldigen met een m n matrix A een afbeelding f : R n R m gedefinieerd: als x een n-vector is dan is f (x) Ax een m-vector. Voorbeeld Projectie van een vector in R 3 op het xy-vlak is de afbeelding f : R 3 R 2 die gedefinieerd is door x [ ] x [ ] f y 1 0 0 y x 0 1 0 y z z Het bereik van f is de hele R 2 want voor elke 2-vector v x er een 3-vector u, bijv. u y waarvoor 1 f (u) v. [ x y ] bestaat J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 12 / 1
Met behulp van determinanten kan de oppervlakte van een driehoek of parallellogram worden uitgerekend: J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 13 / 1
Met behulp van determinanten kan de oppervlakte van een driehoek of parallellogram worden uitgerekend: Stelling Als T een driehoek met hoekpunten (x 1, y 1 ), (x 2, y 1 ) en (x 3, y 3 ) in R 2 is dan geldt opp T 1 x 1 y 1 1 2 det x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 13 / 1
Met behulp van determinanten kan de oppervlakte van een driehoek of parallellogram worden uitgerekend: Stelling Als T een driehoek met hoekpunten (x 1, y 1 ), (x 2, y 1 ) en (x 3, y 3 ) in R 2 is dan geldt opp T 1 x 1 y 1 1 2 det x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 Voorbeeld De driehoek met hoekpunten (0, 0), (0, p) en (p, p) heeft oppervlakte 1 2 p2. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 13 / 1
De determinant van een matrix A geeft aan met welke factor de oppervlakte (in R 2 ) of het volume (in R 3 of algemener R n ) van een gesloten figuur toeneemt door op deze de matrixtransformatie toe te passen gedefinieerd door (voor)vermenigvuldigen met A. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 14 / 1
De determinant van een matrix A geeft aan met welke factor de oppervlakte (in R 2 ) of het volume (in R 3 of algemener R n ) van een gesloten figuur toeneemt door op deze de matrixtransformatie toe te passen gedefinieerd door (voor)vermenigvuldigen met A. Voorbeeld Laat T een driehoek zijn in R 2, gedefinieerd door drie hoekpunten of vectoren x, y, z in R 2. Laat A een 2 2 matrix zijn, en L : R 2 R 2 de afbeelding gedefinieerd door L(v) Av Dan geldt voor de oppervlakte van de driehoek L(T ) gedefinieerd door de hoekpunten L(x), L(y), L(z) dat opp L(T ) det(a) opp T J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 14 / 1
Voorbeeld Spiegeling in de x-as is de matrixtransformatie met matrix [ ] 1 0 0 1 Deze matrix heeft determinant 1. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 15 / 1
Voorbeeld Spiegeling in de x-as is de matrixtransformatie met matrix [ ] 1 0 0 1 Deze matrix heeft determinant 1. Spiegeling laat de oppervlakte van een driehoek invariant. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 15 / 1
Voorbeeld Spiegeling in de x-as is de matrixtransformatie met matrix [ ] 1 0 0 1 Deze matrix heeft determinant 1. Spiegeling laat de oppervlakte van een driehoek invariant. Voorbeeld Rotatie (tegen de klok in) over een hoek φ heeft matrix [ ] cos φ sin φ sin φ cos φ met determinant cos 2 (φ) + sin 2 (φ) 1. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 15 / 1
Voorbeeld Spiegeling in de x-as is de matrixtransformatie met matrix [ ] 1 0 0 1 Deze matrix heeft determinant 1. Spiegeling laat de oppervlakte van een driehoek invariant. Voorbeeld Rotatie (tegen de klok in) over een hoek φ heeft matrix [ ] cos φ sin φ sin φ cos φ met determinant cos 2 (φ) + sin 2 (φ) 1. Rotatie laat de oppervlakte van een driehoek invariant. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 15 / 1
Voorbeeld Verlenging van een vector in R 2 heeft matrix [ ] r 0 0 r met determinant r 2. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 16 / 1
Voorbeeld Verlenging van een vector in R 2 heeft matrix [ ] r 0 0 r met determinant r 2. Door toepassing van deze matrixtransformatie vermenigvuldigt de oppervlakte van een driehoek (of parallellogram) met r 2 : driehoek (1, 0), (0, 1), (1, 1) heeft oppervlakte 1 2, terwijl de (beeld)driehoek (r, 0), (0, r), (r, r) oppervlakte 1 2 r 2 heeft. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 16 / 1