Tentmen Biomechnic woensdg 18 juni 2008, 9.00-12.00 u Code: 8W020, BMT 1.3 Fculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Dit exmen bestt uit 5 opgven. Het ntl punten dt behld kn worden met een opgve stt bij ieder opgve ngegeven. Bij het exmen behoort een formulebld, dt mg worden gebruikt bij de uitwerking. vrgstuk 1: 15 punten Beschouw een Crtesisch xyz-cordintenstelsel, dt wordt opgespnnen met de orthonormle bsisvectoren { e x, e y, e z }. () Binnen dit stelsel wordt een vlk opgespnnen door de vectoren en b, gedefinieerd ls: = 16 e y 15 e x b = 20 ez 15 e x Bereken de norml op dit vlk (vector met lengte 1 die loodrecht op het vlk stt). Wrom is de oplossing niet eenduidig? (b) Verder zijn de volgende vectoren b, c en d gedefinieerd: c = 3 e x + 2 e y d = 5 e x e z e = e x + e z Druk c d e uit in de bsisvectoren { e x, e y, e z }, wrbij c d het dydisch product vn de vectoren c en d is. 1
vrgstuk 2: 15 punten Een plnk met lengte 6 is in punt A schrnierend n een vste muur bevestigd. In het punt B, op een fstnd 3 vn A, wordt de plnk horizontl gehouden met een kbel die bevestigd is in punt C. De mss vn de plnk is M P (zie figuur). Kbel en plnk mogen str worden verondersteld. Op de plnk wordt een kist gezet met een lengte 2 en een mss M K. De voorknt vn de kist rkt de rechterknt vn de plnk. De zwrtekrchtversnelling is g. C 4 A B 3 2 Figure 1: () Teken een vrije-lichms-digrm vn de constructie met kbel, door deze bij de punten A en C los te mken vn de muur. (b) Bereken de rectiekrchten bij punt A en C. 2
vrgstuk 3: 30 punten Een turner hngt met de rmen gespreid en de benen horizontl in de ringen. De turner hngt stil (zie figuur). De totle lichmsmss vn de turner is M L. De mss vn de rm is M A. De totle lengte vn zijn rm, vn het gewricht in de schouder tot de hnd is. De zwrtekrchtversnelling is g. Om een ruwe schtting te mken welke krchten en momenten moeten worden opgevngen door de schouderspieren vn de turner wordt een eenvoudig model vn de rm gemkt in de vorm vn een ingeklemde blk wrop een verticle krcht n het einde wordt uitgeoefend. S F () Hoe groot is de krcht F. (b) Bepl de krchten en momenten die in S werken op de rm. Veronderstel drbij dt het zwrtepunt vn de rm in het midden ligt, dus op een fstnd 1 2 vn het punt S. Om in blns te blijven met de benen horizontl moet de turner licht vooroverhellen, wrdoor de romp een klein hoek α met de verticl mkt. Om deze hoek te schtten mken we het model dt gegeven is in onderstnde figuur, vn twee str met elkr verbonden blken die met een schrnier bevestigd zijn in het punt R. De lengte vn de benen is d de lengte vn de romp is c. De mss vn de romp is M R met het zwrtepunt in het midden. De mss vn de benen is M B, eveneens met het zwrtepunt in het midden. R c α x d (c) G uit vn een evenwichtssitutie wrbij de benen horizontl zijn en bereken op bsis vn momentenevenwicht rondom het punt R de drbij behorende hoek α ls functie vn M B, M R, c en d. 3
vrgstuk 4: 20 punten Om de mechnische eigenschppen vn biologische weefsels te beplen wordt veel gebruik gemkt vn een rheometer (zie figuur). Drbij wordt een stukje weefsel in de vorm vn een cilindrisch schijfje tussen twee plten geklemd. Vervolgens wordt de bovenste plt gedrid, wrdoor het proefstuk sterk vn vorm verndert (fschuift) en wordt het moment, dt drbij wordt overgedrgen op de de onderste plt, gemeten. Omdt de vervorming hierbij volledig bepld wordt door de geometrie en niet door het mterilgedrg, noemt men dit een viscometrische vervorming en is uit de hoekverdriing smen met het gemeten moment het mterilgedrg f te leiden. Een onderzoekster heeft Tekeningen vn Mrion Geerligs () (b) op deze wijze de eigenschppen vn vet bepld. Ofschoon de fleiding niet heleml trivil is voor een plt/plt geometrie kn uiteindelijk een reltie worden fgeleid tussen de fschuifkrcht F τ op het proefstuk en de fschuifrek γ. Bij kleine rekken kn het gedrg worden beschreven met een lineir viscoelstisch model volgens: F τ (t) = t ξ= G(t ξ) γ(ξ) dξ, wrbij G(t) de relxtiefunctie is en F τ een fschuifkrcht met de dimensie [N] en γ de tijdsfgeleide vn de rek [s 1 ]. Uit de experimenten is de volgende relxtiefunctie fgeleid: G(t) = 10 + 5 e t/5 uitgedrukt in [kn] An het vet wordt een rek opgelegd ls ngeven in figuur (b). Gebruik mkend vn de Hevyside functie H(t) is dit te beschrijven ls: γ(t) = 0.001 [H(t) H(t 10)] () Geef een uitdrukking voor de krcht F τ (t) ls gevolg vn deze opgelegde rek ls functie vn de tijd voor t < 10 [s]. (b) Hoe groot is de krcht op t = 30 [s]? (c) Hoe groot is de krcht direct ndt de rek is weggenomen, dus net n t = 10 [s]? 4
vrgstuk 5: 20 punten Een onderzoeker wil de eigenschppen vn een stukje hrtklepmteril meten met behulp vn een uni-xile trekproef (zie figuur). Een lngwerpig stripje wordt uit een klep gesneden en ingeklemd in een trekbnk. Drbij blijkt dt het stripje in het midden (punt M) wt smller is dn bij de inklemming (punt K). De onderzoeker besluit een model te mken. In verbnd met symmetrie wordt M K F h 0 x = 0 x = l slechts de helft vn het proefstuk gemodelleerd. Dit leidt tot het model vn een proefstuk met een rechthoekig dwrsdoorsnede, dikte d en een pltsfhnkelijke hoogte h(x), wrbij: h(x) = h 0 (1 + αx l ), met h 0 en α constnten. Het mteril wordt lineir elstisch verondersteld met een Young s modulus E. De lengte vn het (hlve) proefstuk is l. An het uiteinde, bij punt x = l werkt een externe krcht F. () Geef de differentilvergelijking + rndvoorwrden wrmee de verpltsing u(x) vn ieder punt vn het proefstukje kn worden berekend. (b) Wr is de spnning in het mteril het grootst? (c) Hoe groot is de verpltsing vn het punt x = l? (d) Wr vind je de grootste rek in het mteril en hoe groot is die rek? 5
Tentmen Biomechnic (Answers) wednesdy 18th June 2008, 9.00-12.00 u Code: 8W020, BMT 1.3 Fculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Problem 1 () n = 0.64 e x + 0.6 e y + 0.48 e z (b) b c d = 12 ex + 8 e y Problem 2 () See figure. H C V C 4 5 V A H A 3 gm P gm K (b) ( 3 H A = 4 M P + 5 ) 4 M K g V A = 2 3 M K g ( 3 H C = 4 M P + 5 ) 4 M K g ( V C = M P + 5 ) 3 M H g 1
Problem 3 () F = 1 2 gm L (b) See figure gm L H S V S 2 M S gm A H S = 0 V S = g(m A 1 2 M L) M S = 1 2 g(m A M L ) dm B (c) sin(α) = cm R + 2cM B Problem 4 () F τ = 0.001 ( 10 + 5e t/5) [kn] (b) (c) F τ (t = 10+) = 4.32 [N] F τ (t = 30) = 0.0796 [N] Problem 5 () d dx ( EA du ) = 0, dx with A = dh 0 (1 + αx/l). The boundry conditions re: u(0) = 0 nd EA du dx x=l = 0. (b) At x = 0, becuse the cross section is smllest t tht point. (c) u(x) = (d) ε = F d h 0 E Fl αx ln(1 + α d h 0 E l ) 2
Formulebld behorende bij het vk mechnic voor BMT 8W020 Formules bij Hoofdstuk 1: Vector rekenen Inproduct (inner product):. b = b cos( ϕ ) Uitproduct (vector product): c = b c = b ϕ ; sin ( ) Tripelproduct (triple product): b c = b c ( ) Dydisch product (dydic product): b p = b p ( ) Bewerkingen wrbij een vectorbsis wordt gebruikt Inproduct (inner product): b = b + b + b x x y y z z Uitproduct (vector product) b = b b e + b b e + b b e ( ) ( ) ( ) y z z y x z x x z y x y y x z (1) (2) (3) (4) (5) (6) Formules bij Hoofdstuk 2: Krchten en momenten De component F t vn een krcht F in de richting vn een eenheidsvector e wordt gegeven door: F = F e e t ( ) (7) Moment beplen t.o.v. punt P, terwijl krcht F ngrijpt in Q: M = x x F ( Q P ) (8) Formules bij Hoofdstuk 4: Mechnisch gedrg vn vezels Krcht-verlenging reltie voor een vezel 1-D: l F = c 1 = c 1 l0 ( λ ) Krcht-verlenging reltie voor een spiervezel 1-D: l λ F = c 1 = c 1 lc λc Krcht-verlenging reltie voor een vezel in 3-D bij kleine verpltsingen: ( ub ua ) F = c l 0 (9) (10) (11)
Formules bij Hoofdstuk 5: Tijdsfhnkelijk gedrg vn vezels Krcht-rek reltie voor een veer: F = cε (12) Krcht-reksnelheid reltie voor een demper F = c η ɺ ε (13) Boltzmnn integrl bij kruip: t ( ) = ( ) ( ) ε t J t ξ Fɺ ξ dξ (14) ξ = Boltzmnn integrl bij relxtie: t ( ) = ( ξ ) ε ( ξ ) F t G t ɺ dξ (15) ξ = Differentilvergelijking voor een Mxwell model: 1 c Fɺ + F = cɺ ε ; τ = τ c Differentilvergelijking voor een Kelvin-Voigt model: η (16) F 1 = ε +ɺ ε (17) c η τ Formules bij Hoofdstuk 6: Anlyse vn een 1-D continuüm Differentilvergelijking voor een inhomogene stf: d du EA + q = 0 dx dx (18)