V. Partiële differentiaalvergelijkingen.

V. Partiële differentiaalvergelijkingen. 5. Algemene begrippen. We beschouwen in dit hoofdstuk lineaire partiële differentiaalvergelijkingen PDV, d.w.z. vergelijkingen van de vorm Lu = J M a J x d J u dx J = fx, x Rn 5. waarbij J = j,..., j n een n-tupel van natuurlijke getallen is, J = j +... + j n J en d J dx J staat voor x j... x j. Als niet alle a n J met J = M nul zijn, dan heet M de orde van de n PDV. De PDV 5. heet homogeen als de functie f in het rechterlid nul is, anders inhomogeen. De termen a J x d J u dx J van orde M vormen het hoofddeel van de differentiaaloperator. De J =M differentiaaloperator L is een lineaire operator, d.w.z. Lλu + µv = λlu + µlv voor λ, µ reële of complexe getallen. I.h.b. geldt dat als Lu = en Lv =, dan is Lλu + µv =. Het feit dat de som van oplossingen van de homogene d.v. ook een oplossing is, wordt wel het superpositieprincipe genoemd. Als L alleen lineair is in de afgeleiden van u en de coëfficiënten a J = a J x, u ook van u kunnen afhangen, noemen we de PDV quasilineair. Voor quasilineaire PDV geldt het superpositieprincipe niet. Opmerking: In plaats van u x, 2 u y x, schrijven we ook u x resp. u xy etc. Zoals bij gewone d.v. de oplossing van een eindig aantal integratieconstanten afhangt, hangt bij partiële differentiaalvergelijkingen de oplossing af van een of meer willekeurige functies. Zo is de algemene oplossing van de d.v. u x x, y = in R 2 gelijk aan ux, y = fy waarbij f een willekeurige functie van y is. In het algemeen zijn we niet zo in algemene oplossingen geïnteresseerd. Om een concrete oplossing te vinden, moeten we rand- of beginvoorwaarden toevoegen. Zo ligt u in het bovenstaande voorbeeld vast als we de randvoorwaarde u, y = gy toevoegen; dan is ux, y = gy voor alle x, y. Merk op dat niet elke randvoorwaarde geschikt is: met de randvoorwaarde ux, = hx heeft het systeem een oplossing alleen als h constant is, en bovendien ligt de oplossing alleen vast voor y = f = h. We zeggen dat een systeem bestaande uit een differentiaalvergelijking samen met een aantal randvoorwaarden goed gesteld in het Engels: well-posed is als: i. Er een oplossing is. ii. De oplossing uniek is. iii. De oplossing continu van de gegevens de randvoorwaarden en de coëfficiënten van de differentiaaloperator afhangt. Een voorbeeld van een systeem waarbij aan de voorwaarde iii niet is voldaan, is het volgende: u =, u, y =, u x, y = sin ky k voor < x <, y R. De oplossing van het systeem is ux, y = sin ky sinh kx er kan worden aangetoond dat dit de k2 enige oplossing is. Als k, dan gaat de tweede randvoorwaarde naar nul, echter voor vaste x = x, gaat ux, y naar oneindig als k.

Van een beginwaarden- of Cauchy-randvoorwaardenprobleem bij een PDV van type 5. is sprake als op een hyperoppervlak H in R n de waarden van ux en van de afgeleiden j u x van orde j = νj,..., M in de richting van de normaal op H in x zijn voorgeschreven. Als u = ux,..., x n, t en H is het hyperoppervlak t =, dan zijn de randvoorwaarden van de vorm ux,..., x n, = φ x,..., φ n,..., M u t M x,..., x n, = φ M x,..., x n 5.2 waarbij φ,..., φ M gegeven functies zijn. De term beginwaardenprobleem is afkomstig van de situatie waarbij t als tijdscoördinaat wordt opgevat. Beschouw een Cauchy-randwaardenprobleem op een gebied met rand H. Kies coördinaten ν, τ,..., τ n zodanig dat ν constant is op H en τ,..., τ n coördinaten op H zijn. De coördinaat ν heet de normale coördinaat en de τ j heten tangentiële coördinaten. De d.v. 5. in termen van de nieuwe coördinaten wordt dan ax M u ν M = Daar nu ux..., M ux ν M J +j M,j<M a J,j x d J +j u τ J ν j + fx, x Rn, 5.3 op H gegeven zijn, zijn ook de tangentiële afgeleiden J +j ux ν j τ J voor j < M te bepalen. Als nu ax nergens nul is op H, dan is M ux ν M uit 5.3 te bepalen, en door differentiëren ook de hogere afgeleiden naar ν samen met hun tangentiële afgeleiden. De oplossing u ligt dan, althans in een omgeving van H, uniek vast. Als de coëfficiënten ax, a J x op H analytische functies zijn en ax voor x H, en de randvoorwaarden zijn gegeven door analytische functies φ,..., φ M dan is er een omgeving van H in R n waarop de oplossing uniek en analytisch is. Dit resultaat staat bekend als de stelling van Cauchy-Kovalevskaya. Het omgekeerde geval doet zich voor als ax = voor x H. In dit geval is M u ν M en ook de hogere afgeleiden naar ν op H niet uit de randvoorwaarden te bepalen. Maar dan is de waarde van de oplossing ux buiten H niet te bepalen. H heet in zo n geval een karakteristiek hyperoppervlak en ν heet een karakteristieke coördinaat als ν = constant op H. Merk op dat de waarde Lu in dit geval geheel vastligt door de randvoorwaarden op H. Het Cauchy-probleem is wel locaal oplosbaar als het beginwaardenhyperoppervlak H nergens raakt aan een karakteristiek hyperoppervlak. 5.2. Quasilineaire PDV van eerste orde. Karakteristieken. Laat u = ux een functie van n variabelen x,..., x n zijn. Beschouw de quasilineaire PDV van e orde voor x R n a x, uu x +... + a n x, uu xn = bx, u. 5.4 Als alle coëfficiënten a,..., a n nul zijn voor zekere x, dan is x een singulier punt van de differentiaalvergelijking. Dit geval laten we buiten bewschouwing, m.a.w. we nemen aan dat de functies a x, u,..., a n x, u nergens op gelijktijdig nul zijn. Meetkundig kunnen we een oplossing u = ux voorstellen als een hyperoppervlak in R n+ waarbij we u als n + -e coördinaat toevoegen. Zo n oppervlak dat de grafiek van de oplossing voorstelt, heet een integraaloppervlak. Vergelijking 5.4 zegt dat de normaal u x,..., u xn, op het oppervlak in elk punt van het integraaloppervlak loodrecht staat op de vector a,..., a n, b. Een karakteristiek of karakteristieke 2

kromme op het oppervlak is een kromme die in elk punt de vector a,..., a n, b als richtingsvector heeft. Zo n kromme x s,..., x n s, us voldoet aan het stelsel gewone differentiaalvergelijkingen dx ds = a,..., dx n ds = a n, du ds = b. 5.5 Merk op dat de laatste vergelijking van 5.5 volgt uit de eerste n vergelijkingen en de d.v. 5.4, aangezien us = ux s,..., x n s: du ds = u x dx ds +... + u x n dx n ds = a u x +... + a n u xn = b. 5.6 De krommen in het hypervlak u = die voldoen aan de eerste n vergelijkingen van 5.5 noemen we basiskarakteristieken. Zij zijn de projecties van de karakteristieken op het hypervlak u =. Uit 5.5 volgt dat door ieder punt van precies één basiskarakteristiek gaat. Uit 5.6 volgt: als P een punt is op het integraaloppervlak u = ux, dan ligt de karakteristiek door P geheel op het integraaloppervlak. In het bijzonder geldt dat een integraaloppervlak geheel is samengesteld uit karakteristieken. Omgekeerd is een hyperoppervlak dat is samengesteld uit karakteristieken, een integraaloppervlak. Twee integraaloppervlakken snijden elkaar langs een of meer karakteristieken. Een integraaloppervlak ligt nu eenduidig vast door een oppervlak van dimensie n aan te geven dat op het integraaloppervlak ligt en dat nergens raakt aan de karakteristieken. Dit komt overeen met het vastleggen van de waarde van ux,..., x n op een hyperoppervlak in het grondvlak u =, dat nergens raakt aan de basiskarakteristieken. Een hyperoppervlak in u = dat is samengesteld uit basiskarakteristieken is een karakteristiek hyperoppervlak in de zin van 5.: we tonen dit aan voor n = 2. De PDV luidt dan au x + bu y = c waarbij a, b, c functies zijn van x, y, u. De basiskarakteristieken xs, ys voldoen aan het stelsel d.v. x s = a, y s = b. Beschouw nu een reguliere coördinatentransformatie x, y ξ, η. Voor vξ, η = ux, y wordt de d.v. voor v: aξ x + bξ y v ξ + aη x + bη y v η = c waarbij nu a, b, c als functies van ξ, η, v worden opgevat. De kromme ξ = C constant is een karakteristieke kromme d.w.z. een karakteristiek hyperoppervlak in de zin van de vorige paragraaf als aξ x + bξ y =. Anderzijds geldt op een basiskarakteristiek xs, ys dat dξ ds = x sξ x + y sξ y = aξ x + bξ y = dus ξ = constant. De basiskarakteristieken zijn dus precies de krommen ξ = ξ waarbij ξ een karakteristieke coördinaat is. Het is mogelijk om de d.v. 5.4 in een symmetrischer vorm te schrijven door de oplossing u = ux,..., x n te schrijven in de vorm ψx,..., x n, u = waarbij ψx, u = ux u. Omgekeerd, als ψx,..., x n, u = en ψ u x,..., x n, u voor x, u D R n+, dan kunnen we u = ux hieruit oplossen. Dit volgt uit de impliciete functiestelling. Als we u = ux invullen in ψx, u =, dan volgt ψ x + ψ u u x =,..., ψ xn + ψ u u xn =. Voor ψ u is de d.v. 5.4 dan equivalent met de d.v. a x, uψ x +... + a n x, uψ xn + bx, uψ u = 5.7 De quasilineaire d.v. 5.4 is equivalent met de lineaire d.v. 5.7. We zullen een paar voorbeelden bekijken en ons beperken tot het geval n = 2, waarbij de integraaloppervlakken oppervlakken in R 3 zijn. Voorbeeld : Beschouw de d.v. au x + bu y = met a, b R en b met randvoorwaarde ux, = φx. De karakteristieken voldoen aan x s = a, y s = b, u s = ; de karakteristieken 3

zijn dus rechten die niet evenwijdig aan het vlak y = lopen en u is constant op een karakteristiek. Verder is op elke basiskarakteristiek t = ay + bx constant. t is dus een karakteristieke coördinaat. Merk op dat de karakteristieken het vlak y = alle snijden. Een parametervoorstelling van het integraaloppervlak is nu te verkrijgen door het stelsel x s = a, y s = b, u s =, x = t/b, y =, u = φt/b op te lossen: dit levert x = as + t/b, y = bs, u = φt/b. Door s, t in x, y uit te drukken verkrijgen we een gesloten vorm voor de oplossing: u = φx a b y. Opmerking: Als we in plaats van de coördinaten x, y coördinaten s, t kiezen waarbij t = ay + bx en s een willekeurige onafhankelijke coördinaat is wordt de d.v. v s = waarbij vs, t = uxs, t, ys, t. De algemene oplossing is dus vs, t = ft = fay bx met f een willekeurige functie. Om f te bepalen moeten we ux, y voorschrijven op een kromme die nergens raakt aan een karakteristiek. Een voorbeeld van zo n oppervlak is y = : ux, = φx levert de oplossing ux, y = φx a b y. Voorbeeld 2: xu y yu x = cu met c een constante. Het punt x, y =, is uitgesloten van de bovenstaande beschouwingen omdat daar de coëfficiënten van zowel u x als u y nul zijn. De vergelijkingen voor de karakteristieken zijn dx ds = y, dy ds = x, du ds = cu. 5.8 dx De oplossingen van de eerste twee d.v. leveren de basiskarakteristieken: y = dy heeft als x oplossing x 2 + y 2 = constant. Een karakteristieke coördinaat is dus t = x 2 + y 2 en de basiskarakteristieken zijn cirkels met middelpunt,. Verder is er de oplossing u, =. We kunnen dus u voorschrijven op de halfrechte y =, x > : ux, = φx. Als we s = stellen op deze halfrechte dan moeten we dus het stelsel gewone differentiaalvergelijkingen 5.8 oplossen met de randvoorwaarden x = t, y =, u = φt. Oplossen geeft ga na xs = t cos s, ys = t sin s, us = φte cs. Dit is een parametervoorstelling van het integraaloppervlak. We kunnen de parameters s en t elimineren en vinden zo de oplossing ux, y = φ x 2 + y 2 e c arctany/x. Voorbeeld 3: De Burgers vergelijking u t +uu x = is quasilineair maar niet lineair in u. Hierbij zijn x, t de onafhankelijke coördinaten. De karakteristieken zijn oplossing van het gekoppelde stelsel differentiaalvergelijkingen dt ds =, dx ds = u, du ds =. u is dus constant op een karakteristiek, Verder is t = s + t en x = ut + x. De karakteristieken zijn rechten met richtingscoëfficiënt u. De karakteristiek door x, t gaat ook door x ut,. Als we u op de rechte t = vastleggen door ux, = φx waarbij φx voor x R, dan is ux, t = φx ut. We zien dus dat u zowel in het argument van φ voorkomt als daarbuiten. Als φx op een zeker interval I dalend is, dan snijden de karakteristieken die uitgaan van I elkaar voor t t. De oplossing wordt dan niet meer gegeven door de boven afgeleide formule. Als 4

{ als x < voorbeeld nemen we φx = x als x. De karakteristieken door x, voor x < als x > zijn de lijnen x = t + x, voor x > zijn het de lijnen x = x ; voor x zijn het de lijnen x = x t + x die een bundel vormen van uitwaaierende lijnen. Voor t < is er een continue oplossing: ux, t = als x, ux, t = als x t en voor vaste t en t x neemt u lineair af van tot. Op t = is de functie echter niet langer continu. De waarde van u in, is onduidelijk. Ook is voor t >, x > t de waarde van u onduidelijk; door elke punt in dit gebied gaan drie karakteristieke krommen met verschillende richtingscoëfficiënt u. Fysisch correspondeert t = met de vorming van een schokgolf. Om de oplossing te bepalen in het gebied t >, x > t moeten we het begrip zwakke oplossing invoeren. Dit geeft de mogelijkheid om een grotere klasse van functies, zelfs niet-continue functies toe te laten als oplossing. Van zo n zwakke oplossing wordt geëist dat indien deze differentieerbaar is, zij aan de differentiaalvergelijking voldoet. Definitie: Zij R 2 een open gebied met stuksgewijs gladde rand. u is een functie zodanig dat u en u 2 integreerbaar op zijn. u heet een zwakke oplossing van de d.v. u t + uu x = op indien voor alle continu differentieerbare functies φ : R met compacte drager in dus φx, t = buiten een compacte verzameling K met K geldt uφ t + 2 u2 φ x dxdt =. 5.9 De bovenstaande definitie wordt gemotiveerd door het volgende lemma: Lemma 5.: Zij R 2 een gebied met stuksgewijs gladde rand en u continu differentieerbaar op. Dan is u t +uu x = op dan en slechts als 5.9 geldt voor elke op continu differentieerbare functie φ met compacte drager. Opmerking: Merk op dat φ hier de rol van een testfunctie vervult, net als in het geval van distributies. In het algemeen kan een zwakke oplossing een distributie zijn. Schets bewijs: Volgens de integraalstelling van Stokes voor zie 7.6 is u t + uu x φ + uφ t + 2 u2 φ x dxdt = x 2 u2 φ + t uφ dxdt = 2 u2 φ uφ dσ =. Hieruit volgt meteen dat u een zwakke oplossing is als u een klassieke oplossing is; voor de omgekeerde bewering gebruiken we dat er voldoende testfuncties φ zijn zodat uit het feit dat φu t + uu x dxdt = voor elke testfunctie φ volgt dat u t + uu x = op. In het algemeen zijn er toch meerdere zwakke oplossingen. De definitie is dus niet restrictief genoeg om een unieke oplossing te kiezen. Om de fysisch juiste te kiezen, moeten dan extra eisen worden opgelegd. Een voorbeeld van zo n eis is de entropie-voorwaarde. We kunnen hier nu niet verder op ingaan. Opmerking. Laat een Liegroep van transformaties op een deel D van R n zijn. werkt op R n en op de ruimte V = DD van op D differentieerbare functies via f g f waarbij g fx = fg x. Dit geeft een representatie van, zie hoofdstuk 8 en 9. Voor de rotatiegroep SO2 op R 2 is gx, y = x cos θ y sin θ, x sin θ +y cos θ en g fx, y = fx cos θ +y sin θ, x sin θ y cos θ voor zekere θ R. Een infinitesimale rotatie met θ =: δθ infinitesimaal klein beeldt fx, y af op fx + δθy, y δθx = fx, y + δθxfx, y waarbij X = y x x y een infinitesimale voortbrenger van preciezer: de representatie van op de functieruimte V is. Een functie f V is invariant 5

onder als g f = f voor alle g. Dit is precies het geval als Xf = voor alle infinitesimale voortbrengers X = ξ x x +... + ξ n x xn van. Dit geeft een systeem van PDV van orde. Zo zien we uit voorbeeld 2 dat alle functies van R 2 R die invariant zijn onder rotaties om de oorsprong alleen van x 2 + y 2 afhangen. Opmerking 2. Karakteristieken en systemen van PDV. De theorie van karakteristieken is eveneens van toepassing op systemen van e orde PDV. Deze zijn in vectornotatie te schrijven als A xu x x +... + A n xu xn x = bx, x D R n. 5. waarbij u = u,..., u k T een vector van functies is en A x,..., A n x k k-matrices zijn. Beschouw het geval n = 2 en laat x = x, y = x 2 zijn. Onder de reguliere coördinatentransformatie x, y ξ, η gaat A u x + A 2 u y over in A ξ x + A 2 ξ y v ξ + A η x + A 2 η y v η waarbij ux, y = vξ, η. Als de matrix A ξ x + A 2 ξ y inverteerbaar is, dan kunnen we deze matrix inverteren en we krijgen dan een Cauchyprobleem als we vξ, η voorschrijven voor vaste ξ. Als de matrix echter niet inverteerbaar is voor alle ξ kunnen we vξ, η niet bepalen uit 5. en vξ, η. De krommen ξ= constant zijn dan karakteristieken en ξ een karakteristieke coördinaat. De karakteristieke coördinaten ξx, y zijn dus de oplossingen van deta ξ x + A 2 ξ y =. 5. Voor n > 2 gaat het analoog. Het systeem 5. heet hyperbolisch als er k onafhankelijke karakteristieke coördinaten zijn. Voorbeeld. De stroming van een adiabatisch gas. De stroming van een adiabatisch gas kan worden bepaald uit de macroscopische vergelijkingen voor de stromingssnelheid u = ux, de dichtheid van het gas ρ = ρx en de druk p = px ρ t + ρu =, u t + u u = ρ p 5.2a samen met de toestandsvergelijking p = pρ in het geval van een ideaal gas is p = Cρ γ voor γ = c P /c V. De eerste vergelijking van 5.2a is de continuïteitsvergelijking die uitdrukt dat er geen massa verloren gaat, en de tweede vergelijking - de vergelijking van Euler - is een vergelijking voor impulsbalans, in feite de tweede wet van Newton. Als we ons beperken tot één dimensie en dp dρ = c2 schrijven dan gaat het stelsel 5.2a over in het quasilineaire stelsel ρ t + uρ x + ρu x =, u t + uu x + c2 ρ ρ x =. 5.2b Dit stelsel is te schrijven in de vorm 5. als we schrijven u = u, ρ T, A = u c A 2 = 2 /ρ. De vergelijkingen voor de karakteristieken vinden we uit ρ u ξ t + uξ x ρξ x 2 c ρ ξ x ξ t + uξ x = ξ t + uξ x 2 c 2 ξx 2 = zodat ξ t + u ± cξ x =. Op de karakteristieken ξ = ξxs, ts = ξ is ξ x x s + ξ t t s = dus dx dt = u ± c. De karakteristieken geven de richting in het x, t-vlak aan waarin een verstoring zich voortplant. Verstoringen zijn in dit verband op te vatten als geluidsgolven en u ± c 6 en

is de geluidssnelheid. Bij de golfvergelijking zullen we eveneens zien dat de karakteristieken de richtingen aangeven waarin de golf zich voortplant, m.a.w. de karakteristieken zijn op te vatten als lichtstralen. 5.3. Lineaire partiële differentiaalvergelijkingen van tweede orde. Klassificatie. Een lineaire PDV van tweede orde heeft de vorm Lu = n a ij xu xi x j + i,j= n b i xu xi + cux = fx. 5.3 i= We beschouwen het geval dat de coëfficiënten a ij, b i, c constant zijn. We kunnen verder aannemen dat a ij = a ji. We voeren een coordinatentransformatie uit zodat het linkerlid van de d.v. Lu een zo eenvoudig mogelijke vorm krijgt. Hiertoe noteren we x = x... x n T, x = x... en analoog voor y, y. x is dus een vector van differentiaaloperatoren. We kunnen nu Lu = T x A x + b T x + cu schrijven, waarbij A een symmetrische matrix is, en b een vector in R n. De term T x A x u wordt wel het hoofddeel van Lu genoemd. Nu bestaat er een matrix U = OD zodanig dat D = U T AU = diag,...,,,...,,,..., een diagonaalmatrix is met, en op de hoofddiagonaal. De matrix U is het product van een orthogonale matrix O zodanig dat O T AO een diagonaalmatrix is, en een diagonaalmatrix D met positieve getallen op de diagonaal. Laat nu y = U T x, dan is x = U y en Lu = T y D y + d T y + cu, T y D y u = x n T k u yi y i i= l i=k+ waarbij U T b = d. Laat nu d = d d 2... d n T, en β = d... d k d k+... d l.... Definieer fy = e βt y/2 en v = fu. Dan is Lu = fy Lv met Lv = k v yi y i i= l i=k+ v yi y i + n i=l+ α i v yi + γv. Tenslotte, als l < n en niet alle α i nul zijn, dan zeg dat α n indien u yi y i t = y n /α n, t i = y i α i y n /α n, vy,..., y n = wy,..., y l, t l+,..., t n, t dan is w yi y i = v yi y i voor i l en w t = k w yi y i i= l i=k+ n i=l+ α i v yi, zodat de d.v. 5.3 de vorm w yi y i + w t + λw = gy, t 5.3 7

krijgt. Als l = n komt de term w t niet voor; als l < n kan de term w t al dan niet voorkomen. λ is een reële constante. De d.v. 5.3 heet elliptisch als l = n en k = n of k =. Het linkerlid van 5.3 heeft dan de vorm u + λu waarbij de Laplaciaan is en λ R. De d.v. u = heet de d.v. van Laplace; de d.v. van Laplace met inhomogene term u = g heet ook wel de d.v. van Poisson. De d.v. u + λu = heet de d.v. van Helmholtz. 5.3 heet ultrahyperbolisch als l = n en < k < n en hyperbolisch als k = n. Een voorbeeld n is de golfvergelijking u tt u = waarbij de d.v. afhangt van x,..., x n en t en u = u xi x i. Een algemener voorbeeld is de telegraafvergelijking u = Au tt + Bu t + Cu voor A >. Zoals we boven gezien hebben kunnen we d.m.v. een transformatie van u bereiken dat B = ; door een extra dimensie toe te voegen kunnen we tevens ervoor zorgen dat C = : laat z een onafhankelijke coördinaat zijn en laat v = ue bz. v is dus en functie van x,..., x n, t, z en v = u + b 2 ue bz. Als we b 2 = C/A kiezen dan voldoet v aan de n + -dimensionale golfvergelijking v tt = c 2 v. 5.3 heet parabolisch als < l < n; een voorbeeld is de warmte- of diffusievergelijking u t u = waarbij u van x,..., x n en t afhangt. In het geval dat n = 2, is de d.v. 5.3 elliptisch, hyperbolisch resp. parabolisch als de determinant a a van de matrix A = 2 positief, negatief, resp. nul is. a 2 a 22 Het type van de d.v. hangt alleen af van het hoofddeel. Indien de coëfficiënten niet constant, maar functies zijn, kan het hoofddeel nog steeds op diagonaalvorm worden gebracht; het type kan nu echter variëren met de positie x. Het onderscheid tussen de verschillende typen is essentieel. Zo hoort bij ieder type een geschikt type randvoorwaarde opdat het systeem goed gesteld is. Zonder bewijs merken we op: i. Voor een hyperbolische d.v. met hoofddeel u tt u zijn geschikte randvoorwaarden Cauchyrandvoorwaarden op een open hyperoppervlak t = waarbij ux, en u t x, zijn voorgeschreven. ii. Voor een elliptische d.v. zijn geschikte randvoorwaarden: a. Dirichlet-randvoorwaarden: de waarden van ux op een gesloten hyperoppervlak zijn gegeven. b. Neumann-randvoorwaarden: De waarden van de normale afgeleide u op een gesloten hyperoppervlak zijn gegeven. ν c. gemengde randvoorwaarden, waarbij de waarde van Aux + B u x voor zekere A, B op een ν gesloten hyperoppervlak gegeven zijn. iii. Voor een parabolische d.v. zijn geschikte randvoorwaarden Dirichlet-, Neumann- of gemengde randvoorwaarden op een open hyperoppervlak. Voorbeeld : In het geval van een gewone d.v. van orde 2 op = [a, b] zijn Cauchy-randvoorwaarden van de vorm ua = c, u a = c 2. Dirichlet- en Neumannvoorwaarden evenals gemengde voorwaarden zijn we bij Sturm-Liouvillesystemen tegengekomen; zo zijn Dirichlet-randvoorwaarden van de vorm ua = c, ub = c 2 en Neumann-randvoorwaarden zijn u a = c, u b = c 2. Een Sturm-Liouvillesysteem is natuurlijk geen voorbeeld van een PDV, maar een gewone d.v.; de differentiaalvergelijking is op te vatten als een elliptische d.v. met n =. We zullen in de volgende paragraaf aantonen dat de oplossing van de elliptische d.v. u = op een begrensd gebied met rand bepaald is door de waarden van u op voor te schrijven. Voorbeeld 2: Beschouw de hyperbolische d.v. u xy = met Dirichlet-randvoorwaarden op het vierkant < x <, < y <. Oplossingen zijn ux, y = fx + gy met f, g willekeurige differentieerbare functies. Nu ligt fx bijna geheel op een constante na vast als we ux, 8 i=

voorschrijven en gy ligt eveneens op een constante na vast als we u, y voorschrijven. Het is dus niet meer mogelijk om ux, resp. u, y voor te schrijven. Opmerking. Één enkele PDV van orde twee kan worden omgezet in een systeem van e orde PDV door de afgeleiden u x etc. als onafhankelijke functies op te vatten. Soms kunnen we het aantal onafhankelijke functies nog verkleinen door { een geschikte keuze. Zo is de 2e-orde vergelijking ux v u tt u xx = equivalent aan het systeem t =,. a na dat dit systeem hyperbolisch is u t v x = en dat de karakteristieken x t = c, x + t = c 2 dezelfde zijn als voor de vergelijking u tt u xx =. 5.4. De diffusievergelijking. We beschouwen de diffusievergelijking in n dimensies u t = k u x R n, t > ux, = fx 5.4 waarbij u = ux, t eenmaal naar t en tweemaal naar x i differentieerbaar is voor t > en continu is voor t, x R. fx is een continue functie. We bepalen een oplossing m.b.v. Fouriertransformatie. We gaan hier niet in op Fouriertransformaties maar volstaan met het noemen van een paar eigenschappen. De Fouriergetransformeerde van een absoluut integreerbare functie f : R n R is gedefinieerd als Ffy := ˆfy = fxe ix y d n x. R n Als f een voldoende gladde functie is geldt de omkeerformule: fx = ˆfye ix y 2π n d n y. R n Verder geldt dat als f en g absoluut integreerbare functies zijn, dan is de convolutie f gx = ftgx td n t absoluut integreerbaar en voor de Fouriergetransformeerde geldt R n Ff gy = FfyFgy. Verder is Ff xi = iy i Ff en dus F f = y 2 Ff, waarbij y 2 = y 2 +... + y 2 n = y 2. We passen nu Fouriertransformatie naar x; t laten we hierbij vast toe op 5.4. We nemen hierbij aan dat de Fouriergetransformeerde ˆf van f ook gedefinieerd is. Dit geeft, met û = ûy, t û t = ky 2 û, ûy, = ˆfy. De oplossing van deze eerste-orde gewone d.v. is ûy, t = ˆfye ky2t. De Fouriergetransformeerde van de oplossing is een product en de oplossing u is dus de convolutie van fx en de inverse Fourier-getransformeerde van de e-macht. Deze berekenen we m.b.v. de omkeerformule: F e ky2t = 2π n e ky 2 t+ix y d n y = R n n i= n e ky2 i t+ix iy i dy i = e ky2t+ixy dy 2π R 2π R 9

Nu is = e x2 /4kt 2π R e kty ix/2kt2 dy n = ux, t = f e x2 /4kt 2 e x /4kt = 4πkt n/2 2π R e kty2 dy n = 2 e x /4kt. 4πkt n/2 fte x t 2 /4kt. 5.5 4πkt n/2 R De oplossingsformule is ook geldig in het geval dat de Fouriergetransformeerde van f niet gedefinieerd is. We moeten controleren dat ux, t in 5.5 aan de d.v. u t = k u voldoet en dat lim t ux, t = fx. Dat u aan de diffusievergelijking 5.4 voldoet is eenvoudig na te gaan; dat aan de randvoorwaarde is voldaan eveneens, maar het feit dat ux, t continu is in t = is iets meer werk; we laten dit achterwege. In feite kan worden aangetoond dat lim t ux, t = fx ook als f stuksgwijs continu is op R voor die x waar f continu is. Opmerkingen:. De algemene oplossing van 5.4 is een convolutie van de randwaardefunctie f en de fundamentele oplossing u x, t = 2 /4kt. Deze laatste oplossing is een oplossing e x 4πkt n/2 van 5.4 met randvoorwaarde ux, t = δx. 2. Voor de oplossing geldt dat R ux, td n x = û, t = terwijl lim t ux, t = uniform op R n. Als we ux, t interpreteren als een concentratie van een stof op positie x en tijdstip t, dan betekent dit dat de totale hoeveelheid stof altijd gelijk belijft, maar dat de concentratie in elk punt naar gaat. Dit is wat te verwachten is voor een diffusieproces.

5.5. Het elliptische geval: de vergelijking van Laplace. Als voorbeeld van een elliptische 2e orde d.v. bekijken we de vergelijking van Laplace u = en de inhomogene variant u = f, de vergelijking van Poisson. In deze paragraaf is R n een gebied met stuksgewijs gladde rand een gebied is een open samenhangende verzameling. Een functie die in aan de d.v. van Laplace voldoet heet harmonisch in. Er zijn twee typen randwaardeproblemen die vaak voorkomen:. Bij het Dirichletprobleem wordt een functie gezocht die harmonisch is in een gebied, continu op de afsluiting Ḡ = en die op de rand voorgeschreven waarden aanneemt. 2. Het Neumannprobleem, waarbij weer een functie u wordt gezocht die harmonisch is op en continu op Ḡ, maar waarbij nu niet de waarde van u op is voorgeschreven, maar de normale afgeleide u - dit is de richtingsafgeleide van u in de richting van de uitwendige normaal n op, n u d.w.z. = u n. n Het Dirichletprobleem zijn we reeds tegengekomen in voorbeeld 2 van 4.5, waar de methode van scheiden van variabelen wordt toegepast om het probleem te herleiden tot het oplossen van een of meer Sturm-Liouvilleproblemen. De oplossing kan dan worden geschreven in de vorm van een Fourierreeks. Om deze methode te kunnen gebruiken moeten we coördinaten gebruiken die zijn aangepast aan het gebied - Cartesische coördinaten voor een rechthoek, een kwadrant of een halfvlak resp. halfruimte, poolcoördinaten voor een cirkelschijf, etc. Voor veel gebieden zijn speciale, dikwijls orthogonale, coördinatensystemen bekend. We zullen ons hier echter concentreren op een andere oplossingsmethode, nl. m.b.v. reense functies. M.b.v. reense functies kunnen we tevens een oplossing voor het randwaardenprobleem u = f met u = op bepalen. Centraal zijn hierbij twee identiteiten die bekend staan als de formules van reen en die voor de Laplaceoperator de analoga zijn van de Lagrange-identiteit 4.. Propositie 5.2: Zij R n een begrensd gebied zijn met een stuksgewijs gladde rand en laat u, v : Ḡ R in tweemaal continu differentieerbare functies die continu zijn op Ḡ =. Dan geldt de eerste formule van reen: u v + u vd n x = u v n dn A 5.4 waarbij n = nx de uitwendige normaal op is in x en n de richtingsafgeleide is in de richting van n. Verder geldt de tweede formule van reen: u v v ud n x = u v n v u n dn A. 5.5 Bewijs: Op geldt voor een differentieerbaar vectorveld w de integraalstelling van ausz zie ook 7.6: w n d n A = divwd n x. 5.6 Toepassen van 5.6 op w = u v levert 5.4. Als we in 5.4 de rollen van u en v verwisselen en de beide identiteiten van elkaar aftrekken, verkrijgen we 5.5. Fundamentele oplossingen. We zoeken een zo eenvoudig mogelijke functie die voldoet aan de d.v. van Laplace op R n. Laat r = x ; harmonische functies u = ur die alleen van r afhangen voldoen aan u = u rr + n u r =. r

Oplossen levert u r = A A en dus ur = + B voor n > 2 en ur = A ln r + B voor n = 2 rn rn 2 waarbij A, A, B constanten zijn. A = kiezen levert een constante functie, A =, B = kiezen levert de fundamentele oplossingen u f van de d.v. van Laplace: u f x = ln x voor n = 2, u f x = x n+2 voor n > 2. u f x is harmonisch buiten x = ; We zullen zien dat in feite geldt dat voor n > 2 u f = n 2Ω n δx waarbij Ω n de n -dimensionale oppervlakte van de eenheidsbol in R n is; in het geval n = 2 is u f = 2πδx. We schrijven in het vervolg ook u f x voor u f x. Kies een vast punt y. We passen de tweede formule van reen toe op een willekeurige op tweemaal differentieerbare functie u en v = u f r, waarbij r = x y. Aangezien v in y niet gedefinieerd is, nemen we in 5.5 i.p.v. het gehele gebied het gebied met uitzondering van een bol S ɛ = {x : y x ɛ}. Hierbij is ɛ > zo klein dat S ɛ geheel binnen ligt. De rand van het gebied S ɛ bestaat dan uit twee stukken: de rand van samen met de rand S ɛ waar de uitwendige normaal naar binnen wijst, m.a.w. n = r. Nu is v = op S ɛ en 5.5 geeft dan we nemen het geval n > 2 u r n 2 dn x = u n r n 2 r n 2 u n d n A u d S ɛ dr r n 2 ɛ n dω, u S ɛ ɛ n 2 r 5.7 waarbij dω de oppervlaktevorm op de bol is. Als we nu ɛ naar laten gaan dan gaat de rechter integraal naar n 2Ω n uy en dus is uy = n 2Ω n u r n 2 dn x + Voor R 2 vinden we analoog uy = ln r ud 2 x 2π 2π u r n 2 n dn A u n r n 2 d n A. 5.8 ln r u n da + u ln r 2π n da. 5.8 Als we = R n en u = δx kiezen, vinden we dat n 2Ω n uy = u f y voor n = 2 is 2πuy = u f y. M.a.w., u f x = n 2Ω n δx n > 2 resp. u f r = 2πδx n = 2. 5.8 Opmerking : Indien y buiten Ḡ ligt, dan is het uitsluiten van een bol S ɛ niet nodig; in 5.7 komt dan de term met niet voor. In dit geval is het linkerlid in 5.8 en 5.8 nul. S ɛ Opmerking 2: Als we = { x < R} nemen en R laten gaan dan geeft 5.8, 5.8 een oplossing voor de vergelijking van Poisson u = f op R n voor het geval dat zowel f als u en u r snel genoeg naar gaan als R : voor y R 3 is dan uy = n 2Ω n R n fx x y n 2 dn x n > 2, en uy = 2π 2 R 2 fx ln x y d 2 x n = 2. 5.9

Indien f en de waarden van zowel u als u op gegeven zijn, levert formule 5.8, resp. 5.8 n een oplossingsformule voor uy met y. In het algemeen kunnen echter de waarden van u en de normale afgeleide niet onafhankelijk van elkaar gegeven worden: Propositie 5.3: Laat u, u 2 oplossingen zijn van de vergelijking van Poisson met Dirichletrandvoorwaarden u = f op, ux = gx voor x. Dan is u = u 2. Laat u, u 2 oplossingen zijn van de vergelijking van Poisson met Neumann-randvoorwaarden u = f op, u x = hx voor x. n Dan is u u 2 constant. Verder heeft de vergelijking van Poisson met Neumann-randvoorwaarden alleen een oplossing indien hxd n A = fxd n x. Bewijs: Laat v = u u 2. Dan is v = op en vx = voor x. Uit 5.4 volgt dan dat v 2 d n x =. Maar dan is v =, dus v is constant op. In het geval van Dirichletrandvoorwaarden is v = op. Omdat v continu is op Ḡ is dan v = en dus u = u 2 op. In het geval van Neumann-randvoorwaarden vinden we eveneens dat v = u u 2 constant is. In dit geval kunnen we echter niet concluderen dat v =. De laatste bewering volgt direct door in 5.5 v = te kiezen. We gaan nu proberen om de oplossingsformules 5.8, 5.8 zo aan te passen dat een van de integralen nul wordt, zodat we een oplossingsformule verkrijgen waar alleen de Dirichlet- of alleen de Neumann-randvoorwaarden in voorkomen. We beschouwen het geval van Dirichletrandvoorwaarden. Laat y. We zoeken een functie x, y die een som is van de fundamentele oplossing u f x y en een op harmonische functie Kx, y die tevens continu is op Ḡ, zodanig dat x, y = voor x. x, y heet een reense functie bij de vergelijking van Laplace op. Indien zo n functie bestaat, volgt, geheel analoog aan de afleiding van 5.8, dat uy = n 2Ω n uxx, yd n x + x, y u n dn A ux n x, ydn A dus uy = uxx, yd n x + n 2Ω n waarbij voor n = 2 de factor wordt vervangen door n 2Ω n 2π. ux n x, ydn A 5.2 Voor een willekeurig gebied is het niet mogelijk om een reense functie te bepalen. Dit lukt wel voor speciale gebieden: we bepalen een reense functie voor het geval dat een halfvlak resp. halfruimte of een cirkelschijf resp. het inwendige van een bol in R 2 resp. R n is. We nemen eerst voor het halfvlak of de halfruimte x >. Laat y = y, y 2,..., y n. We spiegelen y in ; dit geeft het punt y = y, y 2,..., y n. Laat nu x, y = u f x y u f x y. Omdat y buiten Ḡ ligt, is x, y inderdaad een reense functie. We bepalen de vorm van de 3

oplossingsformule voor het geval dat n = 2. In dit geval is op x = : van het Dirichletprobleem n =. De oplossing x wordt dus gegeven door ux = voor x = x, x 2, x >, u, x 2 = gx 2 uy = uy, y 2 = y π gxdx y 2 + x y 2 2 5.2 waarbij we aannemen dat gx voldoende snel als x. 5.2 wordt wel de formule van Schwarz genoemd. Deze methode om te bepalen heet het spiegelingsprincipe Engels: method of images. Ook voor de cirkelschijf resp. bol = {x R n : x < R} kunnen we een spiegelingsprincipe toepassen. Dit berust op het volgende feit: Lemma 5.4: Laat y een punt in zijn. Laat y = buiten Ḡ en verder is voor elke x : x y x y = R2 y 2 y. Dan is y > R, m.a.w. y ligt R y. Bewijs: Omdat voor een vaste x de punten, y, y en x in een vlak liggen is het voldoende om het bewijs voor een cirkel in R 2 te geven. We beschouwen R 2 als het complexe vlak en laten x, y, y corresponderen met de punten z, w en R 2 / w. Dan is x y x y = z R2 / w = R wz R2 z w R 2 w z w = R w = R y. Uit lemma 5.4 volgt dat voor n = 3 de functie x, y = x y R y x y een reense functie voor de Laplace-operator op is. Voor n = 2 wordt een reense functie gegeven door y x, y = ln x y ln x y ln. Als we dit invullen in 5.2 vinden we een oplossingsformule voor het Dirichletprobleem; dit is de formule van Poisson. Voor n = 2 luidt de R formule van Poisson voor een harmonische functie u op de cirkelschijf = { x = R}: uy = ux x 2 y 2 2π x x y 2 ds = 2π 2π waarbij ψ de hoek is tussen de vector y R 2 en de positieve x-as. Bewijs: Omdat u = op is volgens 5.7 uy = ux 2π n R 2 y 2 ur, φ R 2 + y 2 dφ 5.22 2R y cosφ ψ xx, yds. Het is nu voldoende om de normale afgeleide van de reense functie x, y = ln x y ln x y ln te bepalen. Nu geldt x ln x y = x y x y 2 en x ln x y = ln x y n x = x 2 x y x x y 2. 4 y R

Dan is n = x 2 x y x y 2 x 2 x y x y 2 x x y 2 x y 2. ebruik makend van x y y = x x y levert dit n = x 2 y 2 x x y 2. Door nu y = te nemen vinden we dat u = ur, φdφ. Door deze formule toe te passen 2π op vx = ux + a krijgen we een soortgelijke formule voor een willekeurige cirkelschijf in R 2 : evolg: ua = uxds. 2πR x a =R Dit resultaat kunnen we interpreteren door te zeggen dat de waarde die een harmonische functie in een punt a aanneemt gelijk is aan de gemiddelde waarde van u over een cirkel met middelpunt a. Een soortgelijk resultaat geldt ook voor bollen in R n en staat bekend als de middelwaardestelling voor harmonische functies: Propositie 5.5 de middelwaardestelling voor harmonische functies: Zij R n een gebied en u : R een harmonische functie. Zij verder a en Ba, R = {x R n : x a < R }. Dan geldt, voor R < R ua = uxda V R x a =R waarbij V R = R n Ω n de oppervlakte van de n -dimensionale bol met straal R is in R n. 2π Voor een bewijs zie de opgaven. Een gevolg van de middelwaardestelling is Propositie 5.6 het maximumprincipe: Laat u een niet-constante harmonische functie u : R op een gebied zijn. Dan neemt u nergens op een minimum of maximum aan. Bewijs: Neem aan u een maximum aanneemt in een punt a. Dan geldt voor ɛ > klein genoeg, en x a ɛ, dat x en ux ua. Volgens de middelwaardestelling is dan ua = uxda uada = ua. V ɛ x a =ɛ V ɛ x a =ɛ Maar dan is u constant in een open omgeving van a. De verzameling punten waar u de waarde a aanneemt is dus open in. Omdat u continu is, is de verzameling punten waar u niet gelijk is aan a ook open. Omdat samenhangend is, is een van beide verzamelingen leeg, d.w.z. ofwel u is constant op ofwel u neemt nergens op een maximum aan. Het maximum wordt dan aangenomen op de rand. Dezelfde redenering gaat op voor het minimum van een harmonische functie we kunnen ook de functie u beschouwen. Het volgende resultaat is een omkering van Propositie 5.5: Propositie 5.7: Zij u : R een continue functie is op een gebied die voor elk punt a aan de middelwaardestelling voldoet. Dan is u harmonisch op. Bewijs: Zij x en laat C een cirkelschijf zijn met middelpunt x waarvan de afsluiting C geheel binnen ligt. Er bestaat nu een harmonische functie v op C die op de rand C gelijk is aan u. v voldoet aan de middelwaardestelling en dus ook u v. Dan geldt voor u v het maximumprincipe op C en u v = op C. Maar omdat u v geen maximum en geen minimum aanneemt binnen C, is u v = op C en dus is u = v harmonisch in C en i.h.b. in x. 5

Opmerking 3: de formule van Poisson in R 3. Voor n > 2 gelden analoge formules van Poisson en Schwarz voor een halfruimte, resp. het inwendige van een bol. Zo geldt voor een harmonische functie u in = {x R 3 : x < R}: = 2π π dφ 4π uy = ux x x 2 y 2 d 2 A = 4π x =R x y 3/2 R 2 y 2 dθ sin θ ur, θ, φr R 2 + y 2 2R y cos γ 3/2 waarbij γ de hoek is tussen de vector y en de vector x = R sin θ cos φ, R sin θ sin φ, R cos θ. Opmerking 4: het uitwendige Dirichletprobleem. Bij het uitwendige Dirichletprobleem is sprake van een functie v die harmonisch is buiten een enkelvoudig samenhangend begrensd gebied, waarbij verder wordt geëist dat de functie v begrensd blijft voor r. Voor een cirkelschijf, resp. het inwendige van een bol in R n kan het uitwendige Dirichletprobleem tot het inwendige Dirichletprobleem worden herleid door op te merken dat voor een functie ur, Ω die harmonisch is voor r < R geldt dat de functie vr, Ω = r n 2 ur2 /r, Ω harmonisch is voor r > R. Voor het uitwendige van een cirkelschijf in R 2 vinden we dan voor y vy = vr, φ = u R2 r, φ = 2π 2π R 2 y 2 vr, φ R 2 + y 2 dφ, 5.23 2R y cosφ ψ waarbij ψ het argument is van y. Merk tenslotte nog op dat de oplossing van het Dirichletprobleem op een onbegrensd gebied zoals het uitwendige Dirichletprobleem zonder extra voorwaarden niet uniek is. Zo zijn de functies u b r, φ = br /r cos φ met r, φ poolcoördinaten harmonisch voor r > en u, φ =. Opmerking 5: Het Neumannprobleem in R 2. Voor een enkelvoudig samenhangend begrensd gebied met een gladde rand Γ kunnen we de oplossing van het Neumannprobleem herleiden tot de oplossing van het Dirichletprobleem. Stel we zoeken een harmonische functie v in zodanig dat v continu is op Γ en v x = gx voor x Γ. Parametriseer Γ d.m.v. de booglengte t: n voor x Γ geldt x = xt = xt, yt t T en x t 2 + y t 2 =. De uitwendige normaal in x is y t, x t. Laat u de oplossing zijn van het Dirichletprobleem met randvoorwaarde uxt, yt = F t = t gt dt. Laat verder voor x, y : vx, y = x,y x,y u ydx u x dy. Hierbij is x, y een vast maar verder willekeurig punt in. Dan is v x = u y en v y = u x de functie v heet een harmonisch geconjugeerde van u. Dan is v = op en op Γ is v n = v xy t v y x t = u y y t + u x x t = du = gt. Dus v is een oplossing van het Neumannprobleem. v is op een constante na bepaald de ondergrens van de integraal is vrij te kiezen, de dt eis dat T gt dt = is nodig opdat F een eenwaardige functie wordt, m.a.w. F = F T. Opmerking 6: Zij C een gebied en f : C een analytische functie. Volgens de Cauchy- Riemann-vergelijkingen geldt voor u = Ref, v = Imf: u = u xx + u yy = v yx v yx =, dus u is harmonisch op. Omgekeerd, laat u : R harmonisch op zijn. Dan is er een analytische functie f = u + iv : C zodanig dat u = Ref: omdat v x = u y, v y = u x ligt v op een constante na vast door vz = z z u ydx u x dy waarbij z, z. In twee dimensies is de theorie van harmonische functies dus equivalent met de theorie van analytische functies van één complexe variabele. 6

Opmerking 7: De formule van Poisson voor R 2 is ook af te leiden m.b.v. de Fourierreeksontwikkeling: in 3.5 hebben we gezien dat de oplossing van het Dirichletprobleem op x < te schrijven is als ur, φ = a 2 + r n a n cos nφ + b n sin nφ met a = 2π u, φdφ, 2π 2π n= 2π a n = u, φ cos nφdφ en b n = u, φ sin nφdφ n >. Als we de integraaluitdrukkingen invullen in de som en som en integraal verwisselen en gebruik maken van het feit π π dat + 2 r n r 2 cos nθ = + r 2, krijgen we de formule van Poisson. 2r cos θ n= 5.6. De vergelijking van Helmholtz. We beschouwen nu de d.v. van Helmholtz Lu = u + k 2 u =. We zoeken weer een fundamentele oplossing die voldoet aan Lu f = Cδx voor C constant. Uit symmetrie-overwegingen zoeken we een oplossing die alleen van r = x afhangt. De Laplaciaan u van een functie op R n die alleen van de radiële coördinaat r afhangt, is te schrijven als u = u rr + n u r. De gezochte r functie u = u f voldoet dus aan u rr + n u r + k 2 u = 5.24 r voor r >. Merk op dat als u = ur voldoet aan 5.24, dan voldoet de functie w = r u r aan w rr + n + w r + k 2 w =. Uit de fundamentele oplossingen voor n =, 2 kunnen we dus r de fundamentele oplossingen voor n = 3, 4,... construeren. Voor n = zijn er twee lineair onafhankelijke oplossingen u r = e ikr en u 2 r = e ikr. Als k 2 > is er geen fundamentele oplossing die naar gaat als r, maar wel zijn u en u 2 begrensd op R. Als k 2 < dan is er een op een constante na unieke oplossing die naar nul gaat als r : u f r = e k r. Voor n = 2 en k 2 = is de vergelijking 5.24 de nulde-orde Besselvergelijking. De oplossing is dus een lineaire combinatie van de nulde-orde Besselfunctie J kr en de Neumannfunctie Y kr. J is niet singulier in r =, maar wel is J kr = O/ r voor r. Y kr 2 π J kr lnkr is een even analytische functie, dus de Neumannfunctie heeft een logaritmische singulariteit in r =. Ook gaat Y kr naar als r, dus Y kr is een fundamentele oplossing op een onbelangrijke factor na, maar ook Y kr + AJ kr voldoet voor een willekeurige constante A. In de literatuur vindt men ook wel als fundamentele oplossing de complexwaardige Hankel-functies H kr = J kr + iy kr en H 2 kr = J kr iy kr. Voor k 2 < is de oplossing I k r = J i k r analytisch voor r = en gaat naar oneindig als r ; de oplossing K k r = J i k r+iy i k r is singulier in r = en gaat naar als r. K k r is dus een fundamentele oplossing voor het geval dat k 2 <. I en K heten gemodificeerde Besselfuncties van de eerste en tweede soort. Voor n = 3 volgt dat e±ikr fundamentele oplossingen zijn voor k 2 > en e k r als k 2 <. Uit r r een analoge redenering als bij 5.8 volgt dat + k 2 e ikr = 4πδx. r De d.v. van Helmholtz treedt op als een eigenwaardenvergelijking bij de Laplace-operator. Laat R n een gebied met stuksgewijs gladde rand zijn. We beschouwen het eigenwaardenprobleem u + λu = op, ux = resp. u x = voor x. 5.25 n Laat u, resp. v eigenfuncties zijn bij eigenwaarde λ resp. µ. Dan is volgens 5.5 = u v v ud n x = λ µ uxvxd n x. 5.26 7

We tonen eerst aan dat de eigenwaarden reëel zijn: als u een eigenfunctie is met eigenwaarde λ dan is ū eigenfunctie bij eigenwaarde λ. Door v = ū te kiezen zien we dat λ = λ omdat uxuxd n x > tenzij u = en dus is λ R. Door het reële of imaginaire deel van u te kiezen kunnen we aannemen dat u reëel is. Als λ µ eigenwaarden zijn met eigenfuncties u resp. v dan volgt uit 5.26 dat uxvxd n x = dus u, v zijn orthogonaal t.o.v. het inproduct f, g = fxgxd n x. Tenslotte tonen we aan dat de eigenwaarden positief zijn in het geval van homogene Dirichlet-randvoorwaarden en niet-negatief in het geval van Neumannrandvoorwaarden in het laatste geval is λ = eigenwaarde met eigenfunctie : 5.4 met u = v en u + λu = geeft dat ux 2 d n x = λ ux 2 d n x en hieruit volgt de bewering meteen. Een voorbeeld van zo n eigenwaardenprobleem is uitgewerkt in voorbeeld 3 van 4.5. De uitdrukking λ = ux2 d n x geeft een methode om de eigenwaarden te benaderen: de ux2 d n x kleinste eigenwaarde λ is het minimum van het Rayleighquotiënt Rv = λ = vx2 d n x vx2 d n x over de verzameling U van functies v die aan de randvoorwaarden voldoen. Door een geschikte functie v te kiezen en Rv te bepalen vinden we een bovengrens voor λ. Op dezelfde manier kunnen we de andere eigenwaarden bepalen: de op een na kleinste eigenwaarde λ 2 is het minimum van Rv genomen over alle functies v U die orthogonaal zijn met de eigenfunctie bij eigenwaarde λ. Zie voor een uitgebreidere bespreking.6. 5.7. Het hyperbolische geval: de golfvergelijking. We beschouwen de hyperbolische d.v. u tt c 2 u = waarbij u = ux, t een functie is van n + variabelen en c > een constante is. De variabele t identificeren we met de tijd; de ruimtelijke variabelen noteren we d.m.v. x = x,..., x n. We bekijken eerst het geval dat n =. De eendimensionale golfvergelijking. Zij ux, t een oplossing van de vergelijking u tt c 2 u xx =. Onder de coördinatentransformatie x, t ξ, η gaat ux, y over in vξ, η en de d.v. voor v is v ξξ ξ 2 t c 2 ξ 2 x + 2v ξη ξ t η t c 2 ξ x η x + v ηη η 2 t c 2 η 2 x + v ξ ξ tt c 2 ξ xx + v η η tt c 2 η xx =. ξ is een karakteristieke coördinaat van de d.v. als ξt 2 c 2 ξx 2 =, ofwel ξ x = ±cξ t en analoog voor η. Er zijn dus twee onafhankelijke karakteristieke coördinaten ξ = x ct en η = x + ct. De functie vξ, η = ux, y voldoet dan aan de d.v. 4c 2 v ξη = en deze heeft de oplossing vξ, η = fξ+gη voor willekeurige differentieerbare functies f en g. De algemene oplossing van de eendimensionale golfvergelijking is dus ux, t = fx ct + gx + ct voor willekeurige f, g. We beschouwen nu het Cauchy-beginwaardenprobleem met beginvoorwaarden ux, = φx, u t x, = ψx voor x [a, b] R. Als we de algemene vorm van de oplossing invullen, vinden we fx + gx = φx, cf x + cg x = ψx. Hieruit kunnen we fx en gx oplossen en we krijgen zo de oplossingsformule van d Alembert ux, t = 2 φx + ct + φx ct + 2c 8 x+ct x ct ψydy. 5.27

Uit de formule van d Alembert blijkt dat de oplossing ux, t in het punt P x P, t P niet afhangt van alle waarden van ux, en u t x, maar alleen voor x DP = [x P ct P, x P + ct P ]. Het interval DP wordt in het Engels het domain of dependence van P genoemd. Omgekeerd, laat Qx Q, een punt op de x-as zijn. Voor waarden van x waarvoor op tijdstip t de waarde van ux, t mede afhangt van de waarden van u en u t in Q geldt dat x Q ct x x Q + ct. Het interval IQ = [x Q ct, x Q + ct] heet in het Engels het domain of influence van Q. DP en IQ worden begrensd door de karakteristieken x ± ct = C. Merk verder op dat als ux, een discontinuïteit heeft in de vorm van een sprong, deze discontinuïteit blijft bestaan aan weerszijden van een karakteristiek. De oplossingsformule 5.27 kan ook worden gebruikt als het domein van de x-waarden slechts een deelverzameling van R is, door de functies φ en ψ op een geschikte manier voort te zetten tot geheel R. Voor de randen van het domein zijn dan extra randvoorwaarden nodig. Als voorbeeld beschouwen we de golfvergelijking op een halve rechte x > : Beschouw het randwaardenprobleem u tt = c 2 u xx voor x >, t > ux, = φx, u t x, = ψx voor x > u, t = χt voor t >. Als φx en ψx zijn gedefinieerd op geheel R dan geldt formule 5.27. In het bijzonder is dan χt = u, t = 2 φct + φ ct + 2c +ct ct ψydy. 5.28 Definieer nu ψx = voor x <. Als φ, ψ op geheel R zijn gedefinieerd, dan geldt, voor ξ = ct >, φ ξ = 2χ ξ c φξ c ξ ψydy. 5.28 In het geval dat x ct < vullen we 5.28 voor ξ = ct x in formule 5.27 in en vinden voor de oplossing ux, t = 2 x+ct φx + ct φ x + ct + ψydy + χ t x 2c x+ct c x ct <. Als χt = vaste rand, dan wordt aan het uiteinde x = de golf gespiegeld in de t-as dit is het eenvoudigst in te zien door ψ = te kiezen. Sferische golven. M.b.v. de formule van d Alembert kunnen we de oplossingen van de golfvergelijking c 2 u = u tt voor R 3 bepalen die alleen afhangen van de radiële coördinaat r en van de tijd t. Als u = ur, t dan is u = u rr + 2 r u r = r ru rr en de golfvergelijking wordt dan c 2 ru rr = ru tt. Dit is de eendimensionale golfvergelijking en de algemene oplossing is ur, t = fr ct gr + ct + met f, g willekeurige differentieerbare functies. De eerste term stelt uitgaande golven voor, die zich voortplanten in de richting van toenemende r, de tweede term stelt r r ingaande golven voor, die zich voortplanten in de richting van afnemende r. De golfvergelijking in meer dimensies. In het geval dat de dimensie n >, voldoen de karakteristieke oppervlakken ξ = ξ aan de d.v. ξx 2 +... ξx 2 n = c 2 ξt 2. Oplossingen hiervan zijn de 9

karakteristieke kegels x x 2 +... + x n x n 2 = c 2 t t 2, de karakteristieken zijn de rechten op de kegels, dit zijn precies de lichtstralen. Het beginwaardenprobleem in R 3. Beschouw op R 3 het beginwaardenprobleem u tt c 2 u = voor t >, x R 3 ux, = φx u t x, = ψx 5.29. Verder eisen we dat u zich rustig gedraagt als x. We kunnen 5.29 op de volgende manier herleiden tot het geval dat φ = : merk eerst op dat als u een oplossing is van u tt c 2 u = met u x, =, u t x, = ψx en u 2 een oplossing is met u 2 x, = φx en u 2 t x, =, dan is u = u + u 2 een oplossing van 5.29. We kunnen dus een van beide randvoorwaarden homogeen u tt c 2 u = t > maken. Laat nu u een oplossing zijn van het beginwaardenprobleem ux, =. u t x, = φx Laat vx, t = u t x, t. Dan voldoet v opnieuw aan de d.v. v tt c 2 v = en verder is vx, = φx en v t x, = u tt x, = ux, =. Het is dus voldoende om 5.29 op te lossen voor het geval dat φx =. Om 5.29 op te lossen passen we een Fouriertransformatie toe. Laat Uk, ω = = ux, te iωt ik x d 3 xdt de Fouriergetransformeerde van ux, t zijn. Indien u voldoende snel R 4 naar daalt als x, t, geldt de omkeerformule ux, t = 2π 4 Uk, ωe iωt+ik x d 3 kdω. R 4 Als u niet voldoende snel daalt dan is de Fouriergetransformeerde vaak nog steeds gedefinieerd als een distributie. De Fouriergetransformeerden van u en u tt zijn respectievelijk k 2 Uk, ω en ω 2 Uk, ω waarbij k staat voor k. De Fouriergetransformeerde van de golfvergelijking wordt dan k 2 c 2 + ω 2 Uk, ω = en dus is Uk, ω = als ω ±ck. Dit invullen in de omkeerformule geeft ux, t = 2π 4 Uke ikct+ik x + V ke ikct+ik x d 3 k R 3 voor zekere functies U, V. Verder volgt uit ux, = dat Uk + V k = voor alle k en dus kunnen we schrijven ux, t = W ke ik x sin cktd 3 k. De functie W k is te bepalen uit de R 3 tweede randvoorwaarde: ψx = u t x, = W kcke ik x d 3 k. Toepassen van de omkeerformule R 3 op deze uitdrukking geeft W k = 2π 3 ψye ik y d 3 y zodat kc R 3 ux, t = ik x y sin kct 2π 3 ψye d 3 yd 3 k. 5.3 R 3 R kc 3 Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, keren we de integratievolgorde om. We berekenen apart de integraal over k: ik x y sin kct e d 3 k = 2π π e ik x y cos θ k sin kct sin θdθdk = R kc c 3 sin kct sin k x y cos k x y ct cos k x y + ct = 4π dk = 2π dk = c x y c x y 2