Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html 0.1. Iedereen die wiskunde op een cretieve mnier wil gebruiken, moet vlot met eenvoudige lgebrische formules kunnen rekenen, zonder hulp vn (grfische) rekenmchines. Ook moet zij of hij kunnen bergumenteren of formules (bijvoorbeeld in een berekening die door iemnd nders gemkt is) correct zijn of niet. Voorbeeld: mogen de volgende formules: b c d = c bd, + b c + d = c + b d Zo j, wrom? Zo nee, wrom niet? In dit hoofdstukje geven we een methode om dit soort vrgen te bentwoorden. De sommen zullen je misschien helpen om vlotter met de hnd met formules te leren rekenen. Deze vrdigheid is erg belngrijk en tijdens de studie zul je hem steeds verder ontwikkelen. Ook in het tijdperk vn computers is het belngrijk om met de hnd te kunnen rekenen; wnt in je hoofd krijg je dn een gevoel voor formules, en dit is essentieel bij het cretief werken n problemen. Studenten komen n met verschillende voorkennis op dit gebied; ls je buurmn of buurvrouw veel sneller rekent dn jij, hoef je niet te wnhopen! Je inzicht en vrdigheden zullen snel (en ongemerkt) groeien, voorl door zelf veel te oefenen en ctief n te denken over de stof. Onze behndeling in dit hoofdstuk 0 is tmelijk intuïtief en niet volledig: de theorie komt in ndere vkken (op een lter moment vn de studie) n de orde. In dit hoofdstuk gt het voorl om het opfrissen vn kennis die je op een of ndere mnier l hebt gehd. Misschiein komt deze kennis wel in een nieuw licht te stn. In dit hoofdstuk bedoelen we met letters, b, c, x, y enz. willekeurige reële getllen. (Lter zl blijken dt de regels ook gelden voor complexe getllen). Reële getllen zijn bijvoorbeeld 0, 1, 2, -3, π. Getl betekent ltijd: reëel getl, tenzij nders ngegeven. We behndelen eerst de vrg: welke formules mogen wel, d.w.z. zijn geldig voor lle reële getllen? Het ntwoord is: een formule mg, d.w.z. 1
is correct, ls je hem op een goede mnier kn verntwoorden. Dt betekent, dt die formule fgeleid moet kunnen worden uit beplde grondregels die voor lle reële getllen gelden. Die grondregels zelf hoeven dn (tenminste in deze cursus) niet verder verntwoord te worden. Hier volgen de grondregels die op dit moment het belngrijkste zijn. 1 Voor de duidelijkheid schrijven we vermenigvuldiging met een punt + b = b + b = b (de volgorde wrin je twee getllen optelt mkt niet uit); (hetzelfde voor vermenigvuldiging). Hkjes uitwerken: (b + c) = b + c, (b + c) = b + c. Nul en één: + 0 = 0 + = en 1 = 1 = en ls 0 en b 0 dn b 0. Regels voor plus en min: + ( ) = 0. ( ) = ( b) = ( ) b = b. We schrijven b voor + ( b). In deze regels zijn, b, enz. willekeurige reële getllen. Dus ls p, q reële getllen zijn, geldt volgens de eerste regel ook p + q = q + p. Als x, y en z reële getllen zijn, zijn bijvoorbeeld 2x + 3 en y z ook reële getllen, en dus geldt ook, volgens de eerste regel, (2x + 3) (y z) = (y z) (2x + 3), enz. We mogen de regels gebruiken zo vk we willen. Zo krijgen we bijvoorbeeld: b c = b c = b c = c b enz. Dus ook de volgorde wrin je drie getllen vermenigvuldigt mkt niet uit. De regels mogen door elkr gebruikt worden. Zo krijg je bijvoorbeeld (b c) = (b + ( c)) = b + ( c) = b c. Dit ws ntuurlijk ook l bekend. Zo n nieuwe regel die uit de grondregels is fgeleid, kn vn nu f n zelf ook ls grondregel worden beschouwd. We schrijven 2 voor, en 3 =, enz.; en 1 =. Als 0 schrijven we ook 0 = 1. [N.B. Deze formules zijn fsprken die door wiskundigen zijn gemkt en wrn iedereen zich houdt.] 1 We zijn hier niet volledig. Andere grondregels zijn bijvoorbeeld: (+b)+c = +(b+c); (b c) = ( b) c; 0 1; voor elke 0 is er precies één x met x = 1, enz. 2
Drom is 2 3 = = 5 = 2+3 en ( 2 ) 3 = ( ) ( ) ( ) = 6 = 2 3. Vn nu f n lten we de punt in de vermenigvuldiging meestl weg: b betekent dus b. Allerlei bekende formules kunnen uit deze grondregels worden fgeleid. We lten dit in één gevl heel precies zien. Stel, je zou twijfelen n ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 (of deze formule vergeten zijn en lleen de grondregels kennen). Deze formule klopt voor lle reële getllen, omdt hij op de volgende mnier kn worden fgeleid: ( + b) 2 = ( + b)( + b) = ( + b) + b( + b) = + b + b + bb = + b + b + bb = + 1 b + 1 b + bb = 2 + (1 + 1)b + b 2 = 2 + 2b + b 2. We hebben dn meteen ook ( b) 2 = ( + ( b)) 2 = 2 + 2( b) + ( b) 2 = 2 + 2( b) + ( b)( b) = 2 2b + b 2. N.B. Het is nuttig om in dit voorbeeld heel precies n te gn hoe elke stp kn worden verntwoord. Dn weet je dt zulke formules in principe zo nuwkeurig kunnen worden fgeleid. Het is verder niet de bedoeling in deze cursus, berekeningen iedere keer zo uitgebreid te mken! Twee voorbeelden: (x + 1)(x 3) = xx + 1x 3x + (+1)( 3) = x 2 2x 3. We pssen hier de grondregels een pr keer toe, uiterrd zonder lle tussenresultten op te schrijven. (y 1) 2 (z + 1) = (y 2 2y + 1)(z + 1) = y 2 (z + 1) 2y(z + 1) + 1(z + 1) = y 2 z + y 2 2yz 2y + z + 1. Opgven: 1. Leid uit de grondregels de volgende nieuwe regels f (deze kun je vnf het moment dt je ze hebt fgeleid, ook ls grondregels gebruiken) i. ( + b)(c + d) = c + d + bc + bd. ii. ( b)(c d) = c bc d + bd. iii. ( + b)( b) = 2 b 2 iv. (b) 2 = 2 b 2 en (b) 74 = 74 b 74. v. Beredeneer ook wrom voor positieve gehele getllen n = 2, 3, 4,... en m = 2, 3, 4... geldt n m = n+m en ( n ) m = nm. 3
2. Wrom denk je, dt de wiskundigen hebben fgesproken dt 1 =? En wrom 0 = 1? (bij dit ltste stellen we 0) 3. Lt zien: (p + q) 2 (p q) 2 = 4pq, en (s 2 t 2 ) 2 + (2st) 2 = (s 2 + t 2 ) 2. Gebruik deze formule om vijf verschillende rechthoekige driehoeken te vinden zodt de lengtes vn lle drie zijden gehele getllen zijn (denk n de Stelling vn Pythgors) 4. Werk lle hkjes weg, en schrijf zo eenvoudig mogelijk: i. (2x 4)(x + 2) ii. (p + 2q) 3 (p 2q) 3 iii. 3(x + 1)(x 2) (x 1) 2 iv. (x 2)(x 1)(x+1)(x+2) (N.B. dit kn op onhndige en hndige mnieren) v. (b) 3 ( 3 b 2 ) 4 0.2 Breuken. Veel mensen in de huidige Nederlndse smenleving weten niet (meer), hoe ze met breuken moeten rekenen. Het is drom goed voor wiskundestudenten, enkele regels te kennen voor het rekenen met breuken. De volgende regels kun je gemkkelijk onthouden. 2 Belngrijk! Alle noemers veronderstellen we ongelijk n nul. geldt precies dn wnneer d = bc en b 0 en d 0. = c b d = f b bf (Noemer en teller kunnen met een fctor ongelijk n 0 vermenigvuldigd worden; we stellen b 0, f 0) Optellen en ftrekken bij gelijke noemer: + b = +b, b = b (c 0) c c c c c c Vermenigvuldigen en delen: b = b : b = d. (b 0, c 0) c d cd c d bc Tenslotte =. 1 Voor 0 schrijven we n = 1. n De wiskundigen hebben fgesproken dt de breuken (voor 0) en ook de 0 breuk 0 0 niet bestn ls reëel getl (omdt er nders conflicten ontstn met 2 In principe kunnen l deze regels worden fgeleid met behulp vn de eerdere grondregels en de volgende: grondregel: Voor elk reëel getl b 0 en elk reëel getl is er precies één reëel getl x met bx = ; die x schrijven we ls b. 4
beplde grondregels die we voor reële getllen willen lten gelden). Drom wordt wel gezegd: delen door 0 mg niet. Opgven: 1. Leid uit de regels voor breuken f i. + b = d+bc c d cd ii b = d bc c d cd iii 1 =. b b 2. Bereken, d.w.z. schrijf ls zo eenvoudig mogelijke breuk: 1 + 1; 1 1; 1 + 2 3; 1 + 1 + 1 2 3 p s 2 3 4 6 12 20 3. Bereken p + 2p3 q 2 q en q p3 q 2 r r p qr 3. 0.3 Wt mg wel en wt mg niet? Regelmtig zullen we met een formule in onze mg zitten met de vrg of deze wel of niet mg, d.w.z. lgemeen geldig is. Een voorbeeld: mg + b = +b? c c Men kn proberen deze formule uit de grondregels f te leiden; dit zl niet lukken. Dn weet je nog niet of de formule wel of niet klopt: wnt wt mij niet lukt, zou iemnd nders wel kunnen lukken. Zekerheid dt de formule niet klopt krijg je ps door het vinden vn een tegenvoorbeeld (dt meestl mkkelijk te vinden is door zomr wt getllen in te vullen). Als je in dit gevl = 1, b = 2, c = 3 invult, krijg je + b = 1 2 +b en = 1. Één c 3 c tegenvoorbeeld is voldoende om n te tonen dt de formule niet lgemeen geldt. De formule mg dus niet. Er zijn ook gevllen wrin de formule wel klopt, zols = 22, b = 45, c = 1. Toch is de formule in zijn lgemeenheid fout. Zekerheid dt een formule wel klopt, krijg je ps ls je hem kn fleiden uit formules wrvn de geldigheid l vststt. Opgven. 1. G vn de volgende formules n, of ze wel of niet kloppen (voor lle reële getllen). Geef rgumenten voor je mening. Als de formule eventueel niet klopt, probeer dn specifieke getllen te vinden wrvoor hij wel juist is. 5
i. ( + b) 3 = 3 + b 3. ii. +c b+d = b + c d (voor b 0, d 0, b + d 0). iii. ( 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (c + bd) 2 + (bc d) 2. iv. b+c = b + c v. 3 2 = 1. (voor b 0, c 0). 2. Een bijlesleerling gebruikt in zijn uitwerkingen de volgende formules. Hoe leg je de leerling uit wrom de formules niet correct zijn? (je mg niet boos worden en je moet elke formule prt behndelen) i. 3 + 2 = 1 1 ii. = 1 + 1 +b b iii. c = c. b d b d iv p + q = p + q v. log( + b) = log + log b vi. ( + b) 2 = 2 + b 2. vii. ( b) 2 = 2 + 2b b 2. 3. De bijlesleerling is n je uitleg wnhopig en vrgt: Mr wrom klopt de formule (2x 4)(x + 3) = 2x 2 + 2x 12, die je ltst gebruikte, dn wel? Dt is toch niet eerlijk! En hoe weet ik nou wnneer een formule wel of niet klopt? Ik snp er niks meer vn! Wt ntwoord je hierop? Opmerking. In de een n ltste som, onderdeel iv en v, gebruiken we logritmes en wortels. Drvoor kunnen ook rekenregels worden fgeleid uit grondregels. Dit kn ook voor > en <, gebroken mchten, x voor > 0 en x een willekeurig reëel getl, sinus en cosinus, enz.. We behndelen dit onderwerp hier niet expliciet, mr vertrouwen erop dt je intuïtief met de grondregels voor groter, kleiner, logritmes, mchten, enz. vertrouwd bent. In de volgende hoofdstukken komen we f en toe op deze onderwerpen terug. De morl vn dit hoofdstukje is, dt je nu een principe kent om (sommige) juiste formules mee f te leiden, en een methode om (sommige) onjuiste formules te herkennen. 6