Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206
Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte V. Het opspansel van S is de verzameling van alle vectoren, die een lineaire combinatie van v,..., v n zijn, dus van alle vectoren van de vorm voor zekere getallen a,..., a n. a v + + a n v n NOTATIE: span(s) of span {v,..., v n }.
Opspansel is een deelruimte 3/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte V. Dan is span(s) een deelruimte van V. Een deelruimte W heet opgespannen of voortgebracht door S = {v,..., v n } indien: W = span{v,..., v n }.
Afhankelijk 4/35 DEFINITIE: Stel v,..., v n zijn vectoren in de vectorruimte V. Het stelsel v,..., v n heet afhankelijk als er getallen a,..., a n zijn die niet allemaal gelijk aan nul zijn waarvoor geldt: a v + + a n v n = 0. Er is dus minstens minstens één i met a i = 0.
Afhankelijk 5/35 OPMERKING: Stel v,..., v n zijn vectoren in de vectorruimte V. Het stelsel v,..., v n is onafhankelijk, dus niet afhankelijk als: a v + + a n v n = 0 a = = a n = 0.
Voorbeeld, onafhankelijk 6/35 Het stelsel x 0 0, 0 0 2 0 + x 2 is onafhankelijk. Stel er zijnx, x 2 met 2 0 = 0, dus x 2x 2 x x 2 x 2 = 0.
Voorbeeld 2, afhankelijk 7/35 Stel V is de vectorruimte van alle kolomvectoren met 3 elementen, en v = 2, v 2 = 2 en v 3 = Vraag: Is het stelsel v, v 2, v 3 afhankelijk? 3 2.
Voorbeeld 2, afhankelijk 8/35 Stel v, v 2, v 3 zijn afhankelijk. Dan zijn er getallen x, x 2, x 3 waarvoor geldt x v + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0. Dus Ofwel x 2 + x 2 2 3 2 2 2 + x 3 x x 2 x 3 3 2 = = 0 0 0 0 0 0
Voorbeeld 2, afhankelijk 9/35 De matrix vergelijking in de variabelen x, x 2 en x 3 : 3 x 0 2 2 2 x 2 = 0 x 3 0 heeft als uitgebreide matrix: 3 0 2 2 2 0 0
Voorbeeld 2, afhankelijk 0/35 Vegen geeft 3 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Dus x =, x 2 = 2, x 3 = is een oplossing, en het stelsel is afhankelijk. 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0
Stelling: afhankelijk /35 Het stelsel v,..., v n is afhankelijk dan en slechts dan als er een j is met v j is een lineaire combinatie van v,..., v j. BEWIJS: ) Stel er is een j met v j is een lineaire combinatie van v,..., v j. Dus er zijn getallen a,..., a j met Dus v j = a v + + a j v j. a v + + a j v j v j + 0v j+ + + 0v n = 0. Dus a j = = 0 en het stelsel is afhankelijk.
Bewijs stelling 2/35 VERVOLG BEWIJS: 2) Omgekeerd, stel v,..., v n is afhankelijk, Dan er zijn getallen a,..., a n, niet alle nul met a v + + a n v n = 0. Stel j is de grootste index met a j = 0. Dus a v + + a j v j + a j v j = 0. Dus a a j v + + a j a j v j + v j = 0. Dus v j = a a j v a j a j v j.
Uitdunnen 3/35 STELLING: Stel het stelsel v,..., v n is afhankelijk en v,..., v n brengt de deelruimte W voort. Dan is er een j met v,..., v j, v j+,..., v n brengt de deelruimte W voort. BEWIJS: Het stelsel v,..., v n is afhankelijk Dus is er een j en er zijn getallen a,..., a j met Stel v in span{v,..., v n } = W. Dan zijn er getallen x,..., x n met v j = a v + + a j v j. v = x v + + x n v n.
Uitdunnen 4/35 Dus ( ) v = x v + +x j v j +x j a v + + a j v j +xj+ v j+ + +x n v n. Dus v = (x + x j a )v + + (x j + x j a j )v j + x j+ v j+ + + x n v n. Dus v is een element van span{v,..., v j, v j+,..., v n }.
Voorbeeld uitdunnen 5/35 Stel v = 2, v 2 = 2 en v 3 = 3 2. Dan is v, v 2, v 3 afhankelijk, want: v + 2v 2 + v 3 = 2 + 2 2 + 3 2 = 0. /k
Voorbeeld uitdunnen 6/35 v 3 is een lineaire combinatie van v, v 2, want: v 2v 2 = 2 2 2 = 3 2 = v 3. /k
Voorbeeld uitdunnen 7/35 Er geldt dus: v, v 2, v 3 is afhankelijk, want: v + 2v 2 + v 3 = 0. En v 3 is een lineaire combinatie van v, v 2, want: v 3 = v 2v 2. Als W =span{v, v 2, v 3 }, dan is W =span{v, v 2 }. Maar ook W =span{v, v 3 } en W =span{v 2, v 3 }.
Brengt voort en lineair onafhankelijk 8/35 Stel v,..., v n zijn vectoren in de vectorruimte V, en W is een deelruimte V. Herinner: ) v,..., v n brengt de deelruimte W voort als voor elke v in W er getallen a,..., a n zijn waarvoor geldt: 2) v,..., v n is onafhankelijk als v = a v + + a n v n. a v + + a n v n = 0 a = = a n = 0.
Definitie basis 9/35 DEFINITIE: Stel v,..., v n zijn vectoren in de vectorruimte V, en W is een deelruimte V. Dan is v,..., v n een basis van W als: ) v,..., v n brengt W voort, en 2) v,..., v n is onafhankelijk
Stelling: basis 20/35 v,..., v n is een basis voor W, dan en slechts dan als voor elke v in W is er precies één n-tal getallen a,..., a n waarvoor geldt: v = a v + + a n v n. BEWIJS: Stel v,..., v n is een basis van W, en v is in W. Dan is er een n-tal getallen a,..., a n waarvoor geldt: want v,..., v n brengt W voort. v = a v + + a n v n,
Bewijs stelling 2/35 Stel er is nog een n-tal getallen b,..., b n waarvoor geldt: v = b v + + b n v n. Dan is a v + + a n v n = b v + + b n v n. Dus (a b )v + + (a n b n )v n = 0. Dus (a b ) = = (a n b n ) = 0, want v,..., v n is onafhankelijk. /k Dus a = b,..., a n = b n.
Stelling: basis door uitdunnen 22/35 Stel S = {v,..., v n } brengt de deelruimte W voort, dan is er een deelverzameling {v i,..., v im } van S die een basis van W is. BEWIJS: Deze deelverzameling wordt verkregen door het uitdunnen van {v,..., v n } net zolang tot de verkregen deelverzameling {v i,..., v im } onafhankelijk is. Bij het uitdunnen blijft de deelverzameling de deelruimte W voortbrengen. De verkregen deelverzameling is een basis.
Dimensie 23/35 STELLING: Stel v,..., v m is een basis van W, en Stel w,..., w n is een basis van W. Dan geldt m = n. OPMERKING: Een deelruimte heeft vele verschillende bases, maar het aantal elementen in een basis is constant. DEFINITIE: Het aantal elementen in een basis van een deelruimte heet de dimensie van de deelruimte.
Voorbeeld R n 24/35 R n is de vectorruimte van alle rijtjes (u,..., u n ) van n reëele getallen, Stel e i = (0,..., 0,, 0,..., 0) met een of de i-de positie en verder allemaal nullen. Dan is e, e 2,..., e n een basis van R n. Het wordt de standaard basis van R n genoemd. De dimensie van R n is n.
Voorbeeld 2 3 matrices 25/35 M 23 is de vectorruimte van alle 2 3 matrices. Dan is [ ] [ ] [ 0 0 0 0 0 0,, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] [ ] [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0,, 0 0 0 0 0 0 een basis van M 23. De dimensie van M 23 is 6. ], ]
Voorbeeld matrices 26/35 M mn is de vectorruimte van alle m n matrices. Stel e ij is de m n matrix met een in de i-de rij en de j-de kolom en verder overal nullen. Dan is de verzameling van alle e ij met i m, j n een basis van M mn. Dus M mn heeft dimensie mn.
Voorbeeld matrices 27/35 Speciale gevallen van M mn zijn: M n de vectorruimte van rijvectoren met n elementen, deze heeft dimensie n. M m de vectorruimte van kolomvectoren met m elementen, deze heeft dimensie m.
Voorbeeld polynomen 28/35 P n is de vectorruimte van alle polynomen van de graad hoogstens n. Een polynoom p(t) in P n is van de vorm Dus P n wordt voortgebracht door en ze zijn onafhankelijk. Ze vormen dus een basis van P n. Dus P n heeft dimensie n +. /k p(t) = p 0 + p t + + p n t n, t, t 2,..., t n
Stelling 29/35 Stel V is een vectorruimte van dimensie n. ) Als v,..., v n de ruimte V voortbrengen, dan vormen ze een basis van V. 2) Als v,..., v n onafhankelijk zijn, dan vormen ze een basis van V. 3) Als v,..., v m in V en m < n, dan brengen ze V niet voort. 4) Als v,..., v m in V en m > n, dan zijn ze afhankelijk. /k
Nogmaals: brengt voort en onafhankelijk 30/35 Stel v,..., v n zijn vectoren in de vectorruimte V, en W is een deelruimte V. Herinner: ) v,..., v n brengt de deelruimte W voort als voor elke v in W er getallen a,..., a n zijn waarvoor geldt: 2) v,..., v n is onafhankelijk als v = a v + + a n v n. a v + + a n v n = 0 a = = a n = 0.
Nogmaals: basis 3/35 DEFINITIE: Stel W is een deelruimte V en v,..., v n zijn vectoren in de vectorruimte V. Dan is v,..., v n een basis van W als: ) v,..., v n brengt W voort, en 2) v,..., v n is onafhankelijk
Basis 32/35 STELLING: ) v,..., v n is een basis voor W dan en slechts dan als 2) voor elke v in W is er precies één n-tal getallen a,..., a n waarvoor geldt: v = a v + + a n v n.
Coördinaten 33/35 DEFINITIE: Stel S = {v,..., v n } is een basis voor W. Voor elke v in W is er precies één n-tal getallen a, a 2,..., a n waarvoor geldt: v = a v + a 2 v 2 + + a n v n. De getallen a, a 2,..., a n heten de coördinaten van v ten opzichte van de basis S. NOTATIE: of /k (v) S = (a, a 2,..., a n ) [v] S = a a 2. a n
Voorbeeld, coördinaten 34/35 S = {, t} is de standaard basis van de vectorruimte P van alle lineaire polynomen. Nu heeft v = 2 + 5t als coördinaten ten opzichte van S: (v) S = ( 2, 5) of [v] S = [ 2 5 ]
Voorbeeld 2, coördinaten 35/35 Maar T = { + t, t} is ook een basis van P. Want Er geldt bijvoorbeeld p 0 + p t = 2 (p 0 + p )( + t) + 2 (p 0 p )( t) 2 + 5t = 3 2 ( + t) 7 ( t) 2 Dus In het algemeen is ( 2 + 5t) T = ( 3 2, 7 2 ) /k (p 0 + p t) T = ( 2 (p 0 + p ), 2 (p 0 p ))