De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van R n als :. o H. u + v H voor alle u, v H 3. λu H voor alle u H en λ R. De optelling en de scalaire vermenigvuldiging moet dus binnen de deelverzameling H mogelijk zijn. Speciale gevallen zijn : Stelling. Als A een (m n)-matrix is, dan is Col A een deelruimte van R m en Nul A een deelruimte van R n. Verder hebben we nog het begrip basis van een deelruimte gedefinieerd : Definitie. Een verzameling vectoren {a,..., a p } in R n heet een basis van H als :. H = Span{a,..., a p }. {a,..., a p } is lineair onafhankelijk. Zo n basis van een deelruimte is in het algemeen niet uniek. Het is meestal mogelijk om verschillende lineair onafhankelijke verzamelingen te kiezen die zo n deelruimte opspannen. Er geldt : Stelling. Als A een (m n)-matrix is, dan vormen de pivotkolommen van A een basis van Col A. Door de kolommen in een andere volgorde te zetten krijgen we een andere matrix waarvan de kolomruimte echter gelijk is aan Col A. De pivotkolommen kunnen dan gemakkelijk anders zijn. Voorbeeld. De verzamelingen { }, { vormen elk een basis van de kolomruimte van de matrix } en { Als B = {b,..., b p } een basis van een deelruimte H van R n is, dan kan elke vector in H op precies één manier geschreven worden als lineaire combinatie van de vectoren in de basis B.. }
Immers : stel dat x = c b +... + c p b p en x = d b +... + d p b p voor een vector x H, dan volgt : o = x x = (c d )b +... + (c p d p )b p. Aangezien B lineair onafhankelijk (zie : Lay, pag. 59 voor de definitie) is moeten alle gewichten in deze lineaire combinatie nul zijn, dat wil zeggen : c d =,..., c p d p = oftewel c = d,..., c p = d p. Dit betekent dat de twee representaties x = c b +... + c p b p en x = d b +... + d p b p aan elkaar gelijk zijn. Dit geeft aanleiding tot de volgende definitie : Definitie 3. Stel dat B = {b,..., b p } een basis is van een deelruimte H van R n, dan kan elke vector x H dus op precies één manier geschreven worden als lineaire combinatie x = c b +... + c p b p van de basisvectoren {b,..., b p }. De gewichten c,..., c p van deze lineaire combinatie worden de coördinaten van x ten opzichte van de basis B genoemd. De vector c [x] B =. R p heet de coördinaatvector van x ten opzichte van de basis B. c p Omdat de coördinaten c,..., c p afhankelijk zijn van de keuze van de basis B gebruiken we dus de notatie [x] B. Er geldt dus : c [x] B =. x = c b +... + c p b p met B = {b,..., b p }. c p Voorbeeld. Stel H = Span{ van H. Maar C = { Voor de vector x = 3 [x] B = } en D = { }, dan is B = { H geldt dan (ga na) : ( 3 ) (, [x] C = ) en [x] D = } dus een basis } zijn dan ook bases van H. ( 3 ). Een basis van een deelruimte H van R n is dus niet uniek. Het aantal vectoren in zo n basis is echter wel altijd gelijk (zie : Lay, opgaven 43 en 44 voor een bewijs). Dit aantal noemt men de dimensie van de deelruimte H.
Definitie 4. De dimensie van een deelruimte H {o} van R n (notatie : dim H) is het aantal vectoren van een (willekeurige) basis van H. De dimensie van de deelruimte {o} die alleen de nulvector bevat is. Deze triviale deelruimte heeft geen basis. De dimensie van de kolomruimte van een matrix is dus het aantal pivotposities in die matrix. Men noemt dat ook wel de rang van die matrix : Definitie 5. De rang van een matrix A (notatie : rank A) is de dimensie van de kolomruimte van A, dus : rank A = dim(col A). Nu is eenvoudig in te zien dat : Stelling 3. Als A een (m n)-matrix is, dan geldt : dim(col A) + dim(nul A) = n. Immers : dim(nul A) is het aantal vrije variabelen in Ax = o en dat is precies gelijk aan het aantal niet-pivotkolommen van A. Verder is dim(col A) = rank A gelijk aan het aantal pivotkolommen van A. Samen is dit dus gelijk aan het totaal aantal kolommen van A. Markov-ketens We beginnen met de introductie van enkele nieuwe begrippen. Definitie 6. Een vector x = x. x n R n heet een kansvector als x i voor i =,,..., n en x +... + x n =. Zo n kansvector wordt ook wel een stochastische vector of een waarschijnlijkheidsvector genoemd. Een stochastische matrix of Markov-matrix is een vierkante matrix waarvan alle kolommen kansvectoren zijn. Een Markov-keten is een rij vectoren {x k } k= zodat x k+ = P x k, k =,,,..., waarbij P zo n Markov-matrix is. Een vector x k in zo n Markov-keten wordt ook wel een toestandsvector genoemd. Het proces zelf wordt wel een Markov-proces genoemd. Voorbeelden van kansvectoren zijn : ( /4 3/4 ),,, 5, 35, 5 en, 63,, 3,, 3
Voorbeelden van Markov-matrices zijn : ( ) /3 / /4 /, /3 /4 3/4 / /3 3/4 / en, 45, 7, 3,, 5, 66, 33, 3, Als een Markov-keten x k+ = P x k, k =,,,... convergeert, dat wil zeggen als lim x k = q k bestaat, dan geldt : q = P q oftewel (P I)q = o. Zo n vector q heet wel een evenwichtstoestand(svector). Men kan aantonen dat er voor elke Markov-matrix P een evenwichtstoestandsvector q bestaat zodat P q = q. Het is nog wel de vraag of het Markov-proces (afhankelijk van de startvector x ) behorende bij zo n Markov-matrix convergeert. Als dat zo is, dan is de limiet dus gelijk aan zo n evenwichtstoestand q. Voorbeeld 3. Vergelijk met Lay, 4.9 opgave 6. We beschouwen een autoverhuurbedrijf met drie vestigingen : één vestiging in de binnenstad, één op het industrieterrein en één bij de luchthaven. De auto s die gehuurd kunnen worden bij dit bedrijf kunnen bij elk van drie vestigingen worden teruggebracht. Onderzoek heeft aangetoond dat 85% van de auto s teruggebracht wordt bij de vestiging waar ze vandaan komen. Verder weet men dat 5% van de auto s die gehuurd worden in de binnenstad bij de vestiging op het industrieterrein worden teruggebracht, terwijl % teruggebracht wordt bij de vestiging bij het vliegveld. Verder komt 5% van de auto s die gehuurd worden op het industrieterrein terug bij de vestiging in de binnenstad, terwijl % van deze auto s bij het vliegveld wordt ingeleverd. Van de gehuurde auto s op het vliegveld komt % terug bij de vestiging in de binnenstad en 5% bij de vestiging op het industrieterrein. Dit leidt tot de volgende Markov-matrix : P =, 85, 5,, 5, 85, 5,,, 85 Om een toestand op een bepaald moment k te beschrijven gebruiken we een vector met drie coördinaten : percentage van de auto s in de binnenstad x k = percentage van de auto s op het industrieterrein percentage van de auto s bij de luchthaven Merk op dat x k een kansvector is, omdat alle auto s zich bij één van de drie vestigingen bevinden. Om de volgende toestand x k+ (bijvoorbeeld één dag of één week later) te berekenen, wordt de vector x k met de Markov-matrix P hierboven vermenigvuldigd : x k+ = P x k. Startend met een zekere vector x ontstaat op deze manier een Markov-keten : x k+ = P x k, k =,,,.... Laten we aannemen dat op zeker moment (de begintoestand) 5% van het wagenpark zich bij de vestiging op de luchthaven bevindt, terwijl de andere 5% netjes verdeeld is over de andere vestigingen. Dan geldt dus : x =, 5, 5, 5 4
Voor x vinden we dan : Evenzo : x = P x = x = P x =, 85, 5,, 5, 85, 5,,, 85, 85, 5,, 5, 85, 5,,, 85 Zo doorgaand vinden we eventueel nog :, 3785, 38359375 x 3 =, 5, x 4 =, 5, 44875, 436465, 5, 5, 5, 75, 5, 475, x 5 =, 75, 5, 475, 9375, 5, 4565, 3669535, 5, 437346875 Opvallend is dat de tweede coördinaat niet veranderd. Het percentage (en dus ook het aantal) auto s bij de vestiging op het industrieterrein lijkt dus constant te blijven. De eerste en de derde coördinaat veranderen wel steeds (een klein beetje). Laten we eens aannemen dat de limiet voor k van dit proces bestaat (we zullen later zien dat dit inderdaad het geval is). Voor die limiet moet dan gelden : q = P q oftewel (P I)q = o, dat wil zeggen : q is een evenwichtstoestand. Dus : P I =, 5, 5,, 5, 5, 5,,, 5 8 4 8 8 5 3 3 3 8 7 8 5 q = c 3 8 5 8 5 7 5 8 met c R. De evenwichtstoestandsvector q moet echter ook weer een kansvector zijn, dat wil zeggen dat c = /(7 + 5 + 8) = /. Dus : q = 7 5 8 7/ 5/ 8/ 7/ /4 /5, 35, 5, 4 Merk op, dat de tweede coördinaat weer /4 =, 5 is en dat in het proces hierboven de eerste en de derde coördinaat inderdaad lijken te convergeren naar, 35 en, 4 respectievelijk. De verwachting is dan ook dat op den duur 35% van het wagenpark bij de vestiging in de binnenstad zal staan, 5% daarvan op het industrieterrein en 4% bij de luchthaven. In plaats van het werken met kansvectoren, waarbij dus percentages van een geheel worden beschouwd, kan men ook werken met werkelijke aantallen. In het proces worden dan alle vectoren x k in de Markov-keten met het totaal aantal (auto s bijvoorbeeld) vermenigvuldigd. De vectoren in de keten zijn dan geen kansvectoren meer, maar de som van de coördinaten is dan steeds gelijk aan het totaal aantal (auto s bijvoorbeeld). Als het totaal aantal auto s van 5
het verhuurbedrijf in voorbeeld 3 bijvoorbeeld zou zijn, dan ziet de Markov-keten (bij dezelfde beginsituatie er zo uit) : x = 5 5 5, x = 75 5 475, x = 93, 75 5, 456, 5, x 3 = 37, 85 5, 44, 875 Het totaal aantal auto s (de som van de drie coördinaten blijft steeds gelijk aan ). De evenwichtstoestand wordt dan : 35 q = 5, 4 waarbij de verwachting is dat er op den duur 35 auto s bij de vestiging in de binnenstad zullen staan en dat de vestigingen op het industrieterrein en bij de luchthaven de beschikking hebben over respectievelijk 5 en 4 auto s. Wat zou er gebeuren als we uitgaan van een andere beginverdeling over de drie verschillende vestigingen? We bekijken twee voorbeelden, waarbij we uitgaan van dezelfde situatie als in voorbeeld 3 met dezelfde Markov-matrix P. Alleen de begintoestand x kiezen we anders. Als we uitgaan van een gelijkmatige verdeling van het wagenpark over de drie verschillende vestigingen dan vinden we : /3 /3 4/ x = /3, x = P x = 9/6, x = P x = 9/3,... /3 7/ 9/8 oftewel (afgerond op twee decimalen) x =, 33, 33, 33 x 3 =, x =, 34, 9, 37, 33, 3, 35, x 4 =, x =, 34, 8, 38, 33, 3, 36, x 5 =,, 34, 8, 38 Hoewel er bij deze nauwkeurigheid (twee decimalen) geen verandering meer lijkt op te treden is hiermee de evenwichtstoestand nog niet bereikt. Ook in dit geval is de evenwichtstoestand gelijk aan q = 7/ 5/ 8/ 7/ /4 /5, 35, 5, 4 Als we het proces verder doorvoeren, dan vinden we bij deze nauwkerigheid (twee decimalen) uiteindelijk :, 35 x =, 6,, 35 x 3 =, 5,, 35 x 4 =, 5, 4, 4, 4 6
Als we uitgaan van de verdeling x = x = P x =, 35, 5, 4, 35, 5, 4, x = P x =, dan vinden we (uiteraard) :, 35, 5, 4, x 3 = P x =, 35, 5, 4 Bij deze verdeling blijft het aantal auto s bij elke vestiging dus constant (evenwichtstoestand). Als de resultaten van het onderzoek (dat de genoemde percentages heeft opgeleverd) betrouwbaar is, dan lijkt het dus handig om de auto s op deze manier over de drie verschillende vestigingen te verdelen. Als het bedrijf beschikt over auto s, dan zet men er dus 35 bij de vestiging in de binnenstad, 5 bij de vestiging op het industrieterrein en 4 bij de vestiging op het vliegveld. Er is nog een andere manier om tegen zo n Markov-keten aan te kijken. Als x k+ = P x k voor k =,,,..., dan geldt dus x = P x, x = P x = P (P x ) = P x, x 3 = P x = P (P x ) = P 3 x,... oftewel x k = P k x voor k =,,,.... Definitie 7. Een stochastische matrix (of Markov-matrix) P heet regulier als P k voor zekere k {,, 3,...} alleen positieve elementen (dus geen nullen) heeft. Dan geldt : Stelling 4. Als P een reguliere stochastische (of Markov-matrix) is, dan heeft P een unieke evenwichtstoestandsvector q (dus q = P q). Verder geldt dat de Markov-keten {x k } k= gedefinieerd door x k+ = P x k met k =,,,... voor iedere startvector x convergeert naar die (unieke) evenwichtstoestandsvector q. Het bewijs van deze stelling laten we buiten beschouwing. In voorbeeld 3 is de matrix P duidelijk regulier, want P = P heeft alleen positieve elementen. De Markov-keten in voorbeeld 3 convergeert dus naar de unieke evenwichtstoestandsvector q. Voorbeeld 4. De stochastische matrix P = P = / /4 /4 / /4 3/4 / / /4 /4 / /4 3/4 / / /4 /4 / /4 3/4 / is regulier, want : 3/8 5/6 5/6 /4 5/6 /4 3/8 3/8 7/6 In de matrix P zijn twee elementen gelijk aan nul, maar in de matrix P zijn alle elementen positief. De matrix P is dus regulier. 7