Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden 4+7 = 11 7 eenheden 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 8+( 6) = 6 eenheden 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 9+( 11) = 11 eenheden 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1
MODULE 1. REKENEN IN Ê Eigenschppen 1. De optelling is een inwendige en overl gedefinieerde smenstellingswet in Ê:,b Ê : +b Ê. De optelling is ssocitief in Ê:,b,c Ê : (+b)+c = +(b+c) 3. Er bestt een neutrl element voor de optelling in Ê: n Ê, Ê : +n = n+ = (nl. n = 0) 4. Elk getl in Ê bezit een symmetrisch element voor de optelling: Ê, Ê : + = + = n (nl. = ) 5. De optelling is commuttief in Ê:,b Ê : +b = b+ Smengevt zegt men dt Ê een commuttieve groep is t.o.v. de optelling. 1. De ftrekking Definitie,b Ê : b = +( b) Trekken we het reëel getl b f vn een reëel getl, dn bekomen we het verschil vn en b, genoteerd met b. In dit verbnd noemen we het ftrektl en b de ftrekker. Voorbeelden 7 5 = 7+( 5) = 7 ( 5) = 7+5 = 1 5 7 = 5+( 7) = Eigenschppen 1. De ftrekking is een inwendige en overl gedefinieerde smenstellingswet in Ê:,b Ê : b Ê. De ftrekking is niet ssocitief in Ê: Bijvoorbeeld ( 3) 7 (3 7). 3. De ftrekking is niet commuttief in Ê: Bijvoorbeeld 3 3. 4.,b Ê : b = (b )
1.3. DE VERMENIGVULDIGING 3 1.3 De vermenigvuldiging Definitie Het resultt ven de vermenigvuldiging vn de reële getllen en b noemen we het product vn en b en noteren we b of b of b. In deze context worden en b de fctoren genoemd. Voorbeelden 3 ( ) = 6,4 1,3 = 3,1 ( 3) ( 4) = 1 ( 0,7) 8 = 5,6 ( 3) = 3 3 5 = 10 3 Eigenschppen 1. De vermenigvuldiging is een inwendige en overl gedefinieerde smenstellingswet in Ê:,b Ê : b Ê. De vermenigvuldiging is ssocitief in Ê:,b,c Ê : ( b) c = (b c) 3. Er bestt een neutrl element voor de vermenigvuldiging in Ê: n Ê, Ê : n = n = (nl. n = 1) 4. De vermenigvuldiging is commuttief in Ê:,b Ê : b = b 5. Elk getl in Ê 0 bezit een symmetrisch element voor de vermenigvuldiging: Ê 0, Ê 0 : = = n (nl. = 1 = 1 ) Merk op dt (Ê, ) geen commuttieve groep kn zijn, ngezien het getl 0 geen symmetrisch element heeft voor de vermenigvuldiging in Ê. Evenwel gelden eigenschppen 1 t.e.m. 4 ook in Ê 0 zodt, in combintie met eigenschp 5, (Ê 0, ) wel een commuttieve groep is. 1.4 De deling Definitie Ê, b Ê 0 : : b = 1 b = b 1 Delen we het reëel getl door het reëel getl b verschillend vn nul, dn bekomen we het quotiënt vn en b, genoteerd : b. In dit verbnd noemen we het deeltl en b de deler.
4 MODULE 1. REKENEN IN Ê Voorbeelden 3 : = 3 1 = 3 3 : ( ) = 3 1 = 3 = 3 3 : 5 = 3 1 5 = 15 5 : 3 = 5 3 = 15 ( 1,) : 3 = ( 1,) 1 3 = 0,4 3 : 1 = 3 = 3 1.5 Verdere eigenschppen 1. De vermenigvuldiging vn reële getllen is rechtsdistributief ten opzichte vn de optelling vn reële getllen:,b,c Ê : (+b) c = c+b c. De vermenigvuldiging vn reële getllen is linksdistributief ten opzichte vn de optelling vn reële getllen:,b,c Ê : (b+c) = b+ c 3. De vermenigvuldiging vn reële getllen is rechtsdistributief ten opzichte vn de ftrekking vn reële getllen:,b,c Ê : ( b) c = c b c 4. De vermenigvuldiging vn reële getllen is linksdistributief ten opzichte vn de ftrekking vn reële getllen:,b,c Ê : (b c) = b c 5. De deling vn reële getllen is rechtsdistributief ten opzichte vn de optelling vn reële getllen:,b Ê, c Ê 0 : (+b) : c = ( : c)+(b : c) 6. De deling vn reële getllen is niet linksdistributief ten opzichte vn de optelling vn reële getllen: Bijvoorbeeld 4 : (+1) (4 : )+(4 : 1). 7. De deling vn reële getllen is rechtsdistributief ten opzichte vn de ftrekking vn reële getllen:,b Ê, c Ê 0 : ( b) : c = ( : c) (b : c) 8. De deling vn reële getllen is niet linksdistributief ten opzichte vn de ftrekking vn reële getllen: Bijvoorbeeld 4 : ( 1) (4 : ) (4 : 1).
1.6. MACHTEN EN WORTELS 5 1.6 Mchten en wortels 1.6.1 Definities We onderstellen steeds Ê en n Æ 0, tenzij nders vermeld. Mchten met gehele exponenten 0 = 1 ls 0 1 = n = }{{} n fctoren n = 1 n ls 0 Wortels 0 en n even: n = b ( b n = en b 0 ) n oneven: < 0 en n even: n = b b n = n is niet gedefinieerd in Ê Mchten met rtionle exponenten 1 n = n m n = n m ls m 0 1.6. Eigenschppen rekenregels Op voorwrde dt beide leden gedefinieerd zijn, gelden 1. p q = p+q. p q = p q 3. ( p ) q = pq 4. ( b) p = p b p ( p 5. = b) p b p
6 MODULE 1. REKENEN IN Ê Opmerking Uit eigenschp 3 volgt dt n m = ( n ) m Inderdd, n m (def.) = m 1 (eig. 3) n = n m = ( ) 1 m (def.) n = ( n ) m. 1.7 Voorrngsregels Mchtsverheffing en mchtsworteltrekking hebben voorrng op de vermenigvuldiging en de deling, die op hun beurt voorrng hebben op de optelling en de ftrekking. Bij het uitwerken vn een rekenkundige uitdrukking wrin hkjes voorkomen, zl men de berekeningen tussen de binnenste hkjes eerst uitvoeren. Voorbeelden 5+ 4 16 : = 5+ : 4 = 5+0,5 = 5,5 5+ 6+3 (6 4) = 5+ 9 = 5+3 4 = 5+1 = 17 Opmerking In sommige gevllen volstn deze fsprken niet heleml. Bijvoorbeeld, hoeveel is 0 : 5 : 4? Enerzijds is (0 : ) : 4 =,5 en nderzijds is 0 : ( : 4) = 40. De fsprk is dn dt de bewerking vn links nr rechts worden uitgevoerd: 0 : : 4 = (0 : ) : 4 = 10 : 4 =,5 1.8 Absolute wrde Definitie Voor elke Ê geldt ls 0 = ls < 0 Eigenschppen 1. =. = b ( [ = b of = b ] en b 0 ) 3. = b ( = b of = b )
1.9. INTERVALLEN EN HALFRECHTEN 7 4. b = b 5. = b b 6. ±b + b 1.9 Intervllen en hlfrechten Indien we op een rechte twee punten uitkiezen en met één ervn het getl 0 en met het ndere het getl 1 ssociëren (d.w.z. we ijken deze rechte), dn zl elk punt vn die rechte met precies één reëel getl overeenkomen en omgekeerd. Op deze wijze kn Ê voorgesteld worden ls een getllens en een intervl vn reële getllen ls een lijnstuk op deze s. Definities,b Ê, < b : 1. [,b] = {x Ê x b} (gesloten intervl) Grfisch voorgesteld: b. [,b[ = {x Ê x < b} (hlfopen intervl) Grfisch voorgesteld: b 3. ],b] = {x Ê < x b} (hlfopen intervl) Grfisch voorgesteld: b 4. ],b[ = {x Ê < x < b} (open intervl) Grfisch voorgesteld: b
8 MODULE 1. REKENEN IN Ê Soms is men geïnteresseerd in de verzmeling vn lle getllen die groter (resp. kleiner) dn of gelijk zijn n een beplde wrde. Deze verzmeling strekt zich zonder enige beperking ( tot in het oneindige ) uit in de positieve (resp. negtieve) zin vnf. Zo n verzmeling heet dn een hlfrechte. Definities Ê : 1. [,+ [ = {x Ê x } (gesloten hlfrechte) Grfisch voorgesteld:. ],+ [ = {x Ê x > } (open hlfrechte) Grfisch voorgesteld: 3. ],] = {x Ê x } (gesloten hlfrechte) Grfisch voorgesteld: 4. ],[ = {x Ê x < } (open hlfrechte) Grfisch voorgesteld: Merk op dt + en nooit tot de gedefinieerde hlfrechten behoren, omdt het geen reële getllen zijn.
1.10. OEFENINGEN 9 1.10 Oefeningen Oefening 1.1. Bereken zonder rekentoestel. (1) 8+4 4 15 : 3 () (8+4) (4 15 : 3) (3) (8+4) 4 15 : 3 (4) (8+4) ( (4 15) : 3 ) (5) 8+ ( 4 (4 15) ) : 3 Oefening 1.. Wrn zijn de volgende uitdrukkingen gelijk? (1) 3+10 4 : +7 3 () ( ( 3) : 4 ) +1 (3) ( 3) : (4 )+1 (4) + 3 5+1 : (3 1) Oefening 1.3. Herschrijf de volgende uitdrukkingen zonder hkjes. (1) x(y +z) () (x+y)(z +1) (3) (b+c)(b c) (4) (b+c) ( (d+e) ) (5) ( b ( (1 c)(b+)+bc )) (7) ( (1 c)(b+) cb )( (cb+b) b(+c) ) (6) ( b(c+cc) ) : c Oefening 1.4. Bereken zonder rekentoestel en schrijf het resultt in zijn eenvoudigste vorm. ( 7 (1) 13 + 1 ) ) 4 7 5 5 9 ( 3 8 +3 () 10 + 14 9 3 (3) 5 9 8 10 9 4 (4) 3 16 15 (5) 8 3 (6) 4 1875 43 (7) (9) 40 1980 + 81 1458 81 1458 44 63 (11) 18 33 : 351 495 8 50 (13) 147 : 7 (14) ( 3 5 1 3 )( 1 3 4 1 6 (15) +( ) ( ) 3 1 : ) ( ) ( 1 1 ) 3 10 (0,7 1) 0, 0, 3 (8) 3 7 18 33 + 44 63 (10) 1404 79 55 35 (1) 351 88 : 3 77
10 MODULE 1. REKENEN IN Ê (16) (17) ( (+3) +3 +( ) ) ( ) 4 : 1 3 4 1 5+ 3 0,3 3 0,0 1+(0,3)(1,1) : 0, 4 (1 0,) (18) ( 1) ( 1) ( 4) ( 4) : (19) 0, 0,1 0,5 0,5 3 : ( ) 1 +0,5 3 3 3 (0,3 3 + (0,1 0,01) 0,3 3 (0) 0,5 8 6 (1) 0,5 4 8 3 () 0,5 4 0,5 3 16 (3),5 4 0, 5 ) Oefening 1.5. Schrijf ls een mcht vn. (1) 16 () 56 (3) 104 (4) 0,15 (5) 1 (6) 0,0315 Oefening 1.6. Schrijf ls een mcht vn 10. (1) 10000 () 100 (3) 1 100 (4) 0,0001 (5) 0,01 Oefening 1.7. G n zonder uit te rekenen welk vn de volgende getllen het grootst is. (1) 6 3 6 8 6 3 8 ( 6 3 ) 8 () 6 11 6 5 6 4 61 6 Oefening 1.8. Bereken. 6 (38 ) (1) ( 3 3 ) : 4 3 () ( 7 5 3 49 ) : 4 (3) 4 (5 8 3 5 5 ) : 7 1 3 (4) ( 3 +3 +51 1 3 3 0) 4 3 Oefening 1.9. Herschrijf de volgende uitdrukkingen in de vorm p b q (de bewerkingen worden zinvol ondersteld). (1) (m b) n m n (3) n ( 1 ( ) m ) m (4) () n b m n b m n (b m ) n (b) n
1.10. OEFENINGEN 11 (5) ( (b)m ) (6) b m (7) m (b ) n (8) b m ( m b) 0 ( n 1 m m (b) n ) mn (b (9) m m b n m ) n Oefening 1.10. Reken uit of herschrijf in de vorm p b q c r (,b,c Ê + 0 ). (1) ( 3 b ) 4 4 () ( b 4 c ) 1 (3) 3 b ( c) 6 (4) 6 3 b c 4 (5) ( b 7 c 5 4 ) 1 (6) (7) b 1 c 4 ( ) b 3 ( c 3 ) 1 (8) ( 3 b 3 ) b b1 3 ( ) 3 b 1 3 Oefening 1.11. Bepl het zo groot mogelijk intervl of hlfrechte I in Ê die voldoet n de volgende omschrijving. (1) I : 1 (),b I : < b > b (3),b I : b < b (4),b I : b b