Module algebraïsche vaardigheden voor havo leerlingen

Transcriptie

1 Module lgebrïsche vrdigheden voor hvo leerlingen We doen dt in interctie met vele uiteenlopende prtners uit kringen vn beleid, schoolbesturen en -leiders, lerren, onderzoekers en vertegenwoordigers vn mtschppelijke orgnisties (ouders, bedrijfsleven, e.d.). Zo zijn wij in stt leerplnkders te ontwerpen, die vn voorbeelden te voorzien en te beproeven in de schoolprktijk. Met onze producten en dviezen ondersteunen we zowel beleidsmkers ls scholen en lerren bij het mken vn inhoudelijke leerplnkeuzes en het uitwerken drvn in nsprekend en succesvol onderwijs. SLO Piet Heinstrt JE Enschede L. vn de Zee SLO is het ntionl expertisecentrum leerplnontwikkeling. Al 5 jr geven wij inhoud n leren en innovtie in de driehoek beleid, wetenschp en onderwijsprktijk. De kern vn onze expertise betreft het ontwikkelen vn doelen en inhouden vn leren, voor vele niveus, vn lndelijk beleid tot het klslokl. Postbus CA Enschede T F E info@slo.nl Module lgebrïsche vrdigheden voor hvo leerlingen Voor een economische of technische hbo opleiding SLO ntionl expertisecentrum leerplnontwikkeling slo

2

3 Module Algebrïsche vrdigheden voor hvo leerlingen Voor een economische of technische hbo opleiding Jnuri 011

4 Verntwoording 011 SLO (ntionl expertisecentrum leerplnontwikkeling), Enschede Alle rechten voorbehouden. Mits de bron wordt vermeld is het toegestn om zonder voorfgnde toestemming vn de uitgever deze uitgve geheel of gedeeltelijk te kopiëren dn wel op ndere wijze te verveelvoudigen. Auteur: Lysbeth vn de Zee Eindredctie: Jos Tolboom en Anne Beeker. Informtie SLO Secretrit tweede fse Postbus 041, 7500 CA Enschede Telefoon (05) Internet: E-mil: AN:

5 Inhoud Informtie voor docenten 5 Informtie voor leerlingen 7 1. Bsisvrdigheden Terminologie en rekenregels 9 1. Breuken Mchten 1.4 Procenten 9. Eerstegrds functies en vergelijkingen 5.1 Een eerstegrdsvergelijking met één onbekende 5. Twee eerstegrds vergelijkingen met twee onbekenden 8. Eerstegrds functies 4. Tweedegrds functies en vergelijkingen 49.1 Tweedegrds vergelijkingen 49. Tweedegrds functies 54 Antwoorden 59 Entreetoets 75 Eindtoets 81 Litertuur 9

6

7 Informtie voor docenten In het exmenprogrmm wiskunde A hvo zijn het nleren vn lgebrïsche vrdigheden en het rekenen zonder technische hulpmiddelen geen ndchtspunten. In het progrmm is in tegenstelling drmee juist gekozen voor contextrijke wiskunde met de grfische rekenmchine ls voortdurend beschikbr hulpmiddel. Bij de economische en technische opleidingen in het hbo verwcht men echter dt de instromende leerling met wiskunde A ls nkomende student de lgebrïsche vrdigheden en het rekenen zonder rekenmchine ook prt heeft. Voor studenten met het juiste profiel voor de vervolgopleiding worden over het lgemeen geen extr mtregelen genomen om die discrepntie op te heffen. De ngeboden opstp/entreecursussen in het hbo gelden lleen voor studenten wrvn de vooropleiding geen directe toegng tot de vervolgstudie biedt of deficiënties vertonen, zols bijvoorbeeld geen wiskunde in het pkket. Mr ook bij veel nkomende studenten met het juiste pkket ervren docenten vn economische en technische opleidingen een gebrek n deze vrdigheden. Angezien lle scholen voor hvo hun leerlingen in de vrije ruimte de gelegenheid kunnen bieden zelf onderdelen n het vkkenpkket toe te voegen, lijkt het wenselijk een module te ontwikkelen die de nsluiting nr het hbo wt betreft het nleren vn lgebrïsche vrdigheden en het rekenen zonder technische hulpmiddelen verbetert. Voorfgnd n het schrijven vn het leerlingenmteril is er een bescheiden litertuuronderzoek verricht en zijn docenten vn economische en technische opleidingen gevrgd nr hun bevindingen. Ook de resultten vn de enquête die de hbo-groep vn de Nederlndse Vereniging vn Wiskundelerren (NVvW ) in het voorjr vn 010 onder hbodocenten heeft gehouden over het vereiste ingngsniveu zijn meegenomen. Op bsis vn deze rdplegingen zijn de onderwerpen voor deze module gekozen. Doelgroep en doelstellingen vn de module De module is bestemd voor leerlingen in het hvo die vn pln zijn in het hbo een economische of technische studie te gn volgen wrvoor wiskunde A toegng geeft en voor eerstejrs studenten in deze opleidingen die merken dt hun kennis en vrdigheden op dit gebied te kort schieten. De module heeft ls doel wiskundige vrdigheden vn leerlingen met wiskunde A die in de vervolgstudies vn belng zijn te herhlen en op een voldoende niveu te brengen. Drbij is hun rekenvrdigheid zodnig geoefend dt zij dit doen zonder gebruikmking vn grfische rekenmchine. Onderwerpen die niet in het wiskunde A progrmm zitten, worden niet behndeld. Wel wordt er op de onderwerpen die behndeld worden soms uitgebreider en bstrcter ingegn dn in het wiskunde A progrmm. Dit wordt gedn omdt bij deze onderwerpen de vervolgopleidingen er vn uitgn dt de studenten die technieken ook beheersen. Zo wordt in het wiskunde A progrmm ( c c bij de breuken lleen de bewerking c vereist. Uit de enquête vn de NVvW b b b blijkt echter dt in het hbo verwcht wordt dt leerlingen ook de ndere bewerkingen beheersen. 5

8 In de gesprekken met de hbo docenten kwm nr voren dt ook het kunnen spelen met formules en het kunnen lezen vn vergelijkingen erg op prijs wordt gesteld. In de opgven wordt drom niet lleen met cijfers geoefend mr ook met letters. De doelstelling vn de module, het prt hebben vn de vrdigheden zonder rekenmchine, heeft consequenties voor de vorm vn het leerlingenmteril. De meeste oefeningen zijn kle oefeningen. Zo kn de leerling zich heleml richten op het opfrissen vn de vrdigheden. We hebben ervoor gekozen de leerling niet te belsten met te veel formeel-wiskundige zken. Zo lten we bijvoorbeeld onvermeld binnen welke getlverzmeling (,,, of ) een specifieke vergelijking moet worden opgelost. De verzmeling vn complexe getllen ( ) wordt sowieso niet benut om bijvoorbeeld een tweedegrds vergelijking met een negtieve discrimnt op te lossen. We proberen hiermee de leerling niet f te leiden met formele zken, mr zich te lten concentreren op prktisch probleemoplossen. De formeel-wiskundig geschoolde lezer kn zich hier mogelijk n storen. Het leerlingenmteril bevt een dignostische entreetoets en een eindtoets. De module bestt uit drie hoofdstukken: 1. Bsisvrdigheden. Eerstegrds functies en vergelijkingen. Tweedegrds functies en vergelijkingen Hoofdstuk 1 Bsisvrdigheden is onderverdeeld in: 1.1. Terminologie en lgemene lgebrregels 1.. Breuken 1.. Mchten 1.4. Procenten, met een eerste nzet tot exponentiële functies Adviezen ten nzien vn het gebruik vn de module De eerste twee hoofdstukken zijn geschikt voor lle leerlingen die een economische of technische vervolgstudie gn doen. Het ltste hoofdstuk is met nme gericht op de technische vervolgstudies. Bij de economische opleidingen worden de tweedegrds vergelijkingen niet ltijd in de eerstejrs stof behndeld. Mr ook voor leerlingen die een economische vervolgopleiding gn doen kn het geen kwd om deze leerstof op te frissen. Een rekenmchine is bij deze module niet toegestn. Een uitzondering vormt de prgrf procenten, de berekeningen in deze prgrf zijn te bewerkelijk. De module verliest zijn wrde ls leerlingen een rekenmchine gebruiken. De module kn op individuele bsis worden doorgewerkt, eventueel ook in groepjes vn mximl drie personen. Het dvies is om te beginnen met de entreetoets. Die is ingedeeld op de hoofdstukken vn deze module. De leerling kn op grond vn het resultt vn de toets kiezen welke hoofdstukken nog ndere studie vrgen. 6

9 Informtie voor leerlingen In het exmenprogrmm wiskunde A hvo is gekozen voor contextrijke wiskunde wrbij de (grfische) rekenmchine ltijd gebruikt mg worden. Bij de economische en technische opleidingen in het hbo verwcht men echter dt de nkomende student de lgebrïsche vrdigheden en het rekenen zonder rekenmchine ook prt heeft. De module heeft ls doel deze wiskundige vrdigheden die in de vervolgstudies vn belng zijn te herhlen en op een voldoende niveu te brengen. Het gt om onderwerpen uit het wiskunde A hvo progrmm. De module heeft een studielst vn ongeveer 40 slu en bevt de volgende onderwerpen: terminologie en lgemene lgebrregels breuken mchten procenten, met een eerste nzet tot exponentiële functie eerstegrds functies en vergelijkingen tweedegrds functies en vergelijkingen An de hnd vn voorbeelden en opgven g je weer oefenen met verschillende wiskundige vrdigheden om zo de stof voldoende prt te mken. Het is belngrijk om lle rekenregels en de drbij behorende voorbeelden goed door te nemen en tussenstppen te begrijpen. Het gt in deze module hoofdzkelijk om de elementire kle wiskundige vrdigheden. Toepssingen in contexten komen slechts op een ntl pltsen n bod. Om de rekenvrdigheden goed te oefenen en om een goed inzicht te krijgen in de rekenvrdigheden die in de module n de orde komen, mg er geen gebruik worden gemkt vn een rekenmchine. Een uitzondering vormt de prgrf procenten. Berekeningen in deze prgrf zijn te bewerkelijk. Het is de bedoeling dt je de module zelfstndig of indien mogelijk in een groepje met klsgenoten doorwerkt. Mochten de gegeven voorbeelden in deze module je niet voldoende houvst geven dn verwijzen we voor extr uitleg nr je schoolboek of docent. Achterin deze module vind je de ntwoorden op de opgven. Mocht je ergens niet uitkomen of vstlopen dn kun je je docent of medeleerlingen rdplegen. Nst theorie en opgven bevt de module een entreetoets en een eindtoets. De entreetoets geeft je een goed idee vn de stnd vn zken: hoe st je er voor? An de hnd vn deze toets kun je beplen welke onderwerpen je moet doornemen. De eindtoets is opgenomen in de docentenhndleiding. Overleg dus met je docent wnneer je die krijgt. Met de eindtoets kun je lten zien in hoeverre je er op vooruit gegn bent. De studielst is ongeveer 40 slu, mr hngt ntuurlijk wel f vn de kennis die je l hebt. In de module is gebruik gemkt vn mteril uit de modules Rekenvrdigheden in de Tweede Fse hvo ls voorbereiding op Pbo en Algebrïsche vrdigheden in de Tweede Fse vwo ls voorbereiding op economische studies. ( 7

10

11 1. Bsisvrdigheden 1.1 Terminologie en rekenregels De uitkomst vn een optelling noemen we de som, de uitkomst vn een ftrekking het verschil. De getllen die opgeteld of vn elkr worden fgetrokken zijn de termen. Voorbeelden: en 4 zijn de termen, 7 is de som en zijn de termen, 1 is het verschil. De uitkomst vn een vermenigvuldiging noemen we het product, de uitkomst vn een deling het quotiënt. De getllen die vermenigvuldigd of gedeeld worden zijn de fctoren. Voorbeelden: en 4 zijn de fctoren, 1 is het product.. : 4 en 4 zijn de fctoren, is het quotiënt. 4 4 De volgorde vn de bewerkingen is: Mchtsverheffen/worteltrekken, vermenigvuldigen/delen, optellen/ftrekken De volgorde tussen mchtsverheffen en worteltrekken is dt de bewerking vn links nr rechts wordt uitgevoerd. Dit geldt ook voor vermenigvuldigen en delen en voor optellen en ftrekken. Voorbeelden: 1. 4: 6. 65: 15 Wil je de volgorde vernderen, dn gebruik je hkjes. De bewerking binnen de hkjes gt voor. 9

12 Voorbeelden: : () 6. 6 (5: ) 6,5 15 Zijn er meerdere hkjes, dn werk je vn binnen nr buiten. Voorbeelden: 1. 4 ( (7 )) 4 (5) 4 ( ) ((14 9)) 6 (5) De volgende tekenregels gelden: Een even ntl minnen chter elkr geeft een plus, een oneven ntl minnen chter elkr geeft een min. Voorbeelden bij optellen en ftrekken: 1 ( 7) ( 7) Voorbeelden bij vermenigvuldigen en delen: Werken met letters Alle rekenregels gelden ook bij het rekenen met letters. Het vermenigvuldigingsteken tussen letters kn verwrring opleveren. Is het een vermenigvuldigingsteken of de letter x? Bij het rekenen met letters wordt drom vk de vermenigvuldigingspunt " " gebruikt of het vermenigvuldigingsteken tussen de cijfers en letters weggelten. Dus: b b b en 10

13 Voorbeelden: 1. ( ( )) ( ) (1 ) 1 1. ( (1 )) ( 1 ) (1) 6 7. Bereken b c 4 voor, b 6, c geeft 64 ( ) Volgorde vn optellen: Bij het optellen vn twee of meer getllen doet de volgorde vn die getllen in de optelling er niet toe: b b Volgorde vn vermenigvuldigen: Bij het vermenigvuldigen vn twee of meer getllen doet de volgorde vn die getllen in de vermenigvuldiging er niet toe: b b Werken met hkjes ( b c) b c Voorbeeld: (5 7) (vi deze regel) (5 7) 1 4 (direct) ( b c) b c Voorbeeld: (5 7) (vi deze regel) (5 7) (direct) ( p)( b q) b q pb pq 11

14 Voorbeelden: 1. (4 )( 5) ( )( b 1) b b ( b) ( b)( b) b b b b b Voorbeelden: 1.. ( 5) (vi deze methode) ( 5) (direct) ( c ) c c c 4c 4 ( b) ( b)( b) b b b b b Voorbeelden: 1.. (7 ) (vi deze methode) (7 ) (direct) ( 4) ( b)( b) b Voorbeelden: 1.. (6 )(6 ) (vi deze methode) (6 )(6 ) 48 (direct) ( b 4)( b 4) b 4 b 16 Opgven 1. Lt zien, door het wegwerken vn de hkjes, dt de regel ( b)( b) b klopt.. Werk de hkjes weg en vereenvoudig zo ver mogelijk:. b ( c 4 d) 5e c b. 5x 6 y ( x y) c. x 7y 5 x ( x 4 y) 1

15 d. x y (4 y (y 1)) e. 15 x ( x (x y) 6 y) f b (1 6 b(5 b)) g. 0y x 7y 4(x 5 y) 15 h. 5 ( y) 8(1 y) i. 9( 1) (6 (4 )) j. 6(5 b) ( ). Schrijf ls tweeterm of drieterm (werk de hkjes weg):. (4x 8) b. (4 )( 6 ) c. 4(7 b) d. ( x 4)(x 4) e. ( 11)( 4) f. ( 4)( 7) g. (7 b) h. ( )( ) i. ( 10)( 10) j. 4 ( ) k. ( x)( x5) l. (1 b)(1 b) 4. Neem 6 en b en bereken:. 5b b. b c. 4 1

16 d. 54b e. f. g. 1b (1 b) (1 b) 5. Neem 1 10, b en bereken:. b. c. ( b) b (4 )( ) b d. ( (6 4 b))(5 ) 1. Breuken p noemen we een breuk, p is de teller,q is de noemer. q Voor een breuk geldt dt de noemer ongelijk n nul moet zijn. Voor het minteken voor de breuk geldt: p p p q q q Voorbeeld: Rekenregels voor breuken p 1 p Vereenvoudigen pc p qc q 14

17 Een breuk verndert niet ls je teller en noemer door hetzelfde getl deelt of met hetzelfde getl vermenigvuldigt. Voorbeelden: p p1 4 Optellen en ftrekken vn breuken p r p r p r p r, q q q q q q Als vn twee breuken de noemers gelijk zijn kun je de twee breuken onder een noemer brengen. Het bij elkr optellen of ftrekken vn de breuken doe je door de noemer te lten stn en de tellers op te tellen of f te trekken. Voorbeelden: p p p q 1 q Als de noemers niet gelijk zijn, kun je breuken bij elkr optellen of ftrekken door eerst de noemers gelijk te mken. We zeggen dn dt we de breuken gelijknmig mken. Hierbij mken we gebruik vn de eigenschp vn een dt die niet verndert ls je teller en noemer door hetzelfde getl deelt of met hetzelfde getl vermenigvuldigt. p r p s r q ps qr ps qr q s qs qs qs qs qs Bij het vermenigvuldigen vn letters wordt het mlteken vk weggelten. 15

18 Voorbeelden: p 6 p p 11 11p 11p 11p p p p p p p p b1 8 b1 8 b 5 b b b 1 4 b 1 4 b 1 4 b 1 4 b 1 Vermenigvuldigen vn breuken p r pr q s qs Vermenigvuldigen vn breuken: teller ml teller en noemer ml noemer. Voorbeelden: p p q q Delen vn breuken p : r p s ps q s q r qr Delen door een breuk is hetzelfde ls het vermenigvuldigen met het omgekeerde vn de breuk. 16

19 Voorbeelden: : : p p 5 p 5 5p Let op. Delen door nul is niet toegestn! 1 6 ; wrom? Omdt 6 1. Mr wt is nu 4 0? Wt is het ntwoord? Misschien nul? Nee, wnt 0 0 is niet 4. Misschien 4? Nee, wnt 04is niet 4. Er is geen getl te vinden wrvoor geldt: 0 keer dt getl is 4. Je kunt dus niet delen door nul. Niet ltijd is het zo mkkelijk te zien dt je door nul deelt. Voorbeeld: Neem de vergelijking met 0. Links en rechts verschillend ontbinden (zie pr.1.1) geeft: ( ) ( )( ) links en rechts delen door ( ) geeft 1 Door te delen door nul (wr?) krijg je dt 1 gelijk is n! 17

20 Opgven 1. Vereenvoudig zover mogelijk:. 4 1 f k b. g. 4 6 l c h m d i n e j. 4 o Vereenvoudig zover mogelijk:. 1 d. 6 b 9 g. 1 4 b. 4x 1x 4 e. 15 b b h. x 4x x c. 5b 0c f. 4y y y i. 9b 1b 18

21 . Mk gelijknmig en breng onder één noemer(schrijf ls één breuk):. 1 1 f. 5 1 k b. g. 5 1 l c. 1 h. 8 m d. 1 i n e j. o Mk gelijknmig, breng onder één noemer en vereenvoudig zover mogelijk:. 5 d. g. 5 y y bc c z c b. b e. 6 1 b h. 4 7 c. 4 5 f. 7 4 i. b 5b 6 1 b 19

22 5. Schrijf ls één breuk:. 7 f k : b g. 7 : 8 5 l c h. 4 : m. 7 1 : 8 4 d. 1 1 i : 4 7 n. 7 : 9 e. 1 1 j. 4 4 : 4 o. 5 4: 6 6. Schrijf ls één breuk en vereenvoudig indien mogelijk:. b c d. b : b g. 4 : 1 7 b b. 6 4 c 7 e. 4 c c 5 h. 9 7 c. 9 8 f. c i. b b : 5 9 0

23 7. Schrijf ls de som of het verschil vn twee breuken:. 15 d. c 7 g. 4 b. 1 c e. b h. q p c. 4 f. b c i. p 6 q 8. Breng onder één noemer:. 5 p b. p q c Bereken en vereenvoudig zover mogelijk: c : e b. 4 5 : d. 6 f : ( ) 7 1

24 1. Mchten 5 noemen we een mcht, 5 is het grondtl, is de exponent De exponent zegt dt de mcht Zo is Het getl 5 stt er slechts eenml. 5 een vermenigvuldiging is vn vijfen. Bij de rekenregels voor de mchten nemen we het grondtl positief. De reden drvoor komt verderop bij de gebroken exponenten. Rekenregels voor mchten We gn uit vn 0. Dn geldt: p q p q Twee mchten met hetzelfde grondtl met elkr vermenigvuldigen, doe je door het grondtl te lten stn en de exponenten bij elkr op te tellen. Voorbeelden: (55) (5555) ( ) ( ) : p q p q Twee mchten met hetzelfde grondtl op elkr delen, doe je door het grondtl te lten stn en de exponenten vn elkr f te trekken. Voorbeelden:

25 Als we de rekenregel voor delen vn mchten gebruiken in het gevl dt de p p p exponenten in de teller en noemer gelijk zijn, krijgen we 1 p 0 Dus 0 1 ( ) p q pq De mcht vn een mcht krijg je door het grondtl te lten stn en de exponenten met elkr te vermenigvuldigen. Voorbeelden: (5 ) ( ) ( b ) b b b b b b b ( b ) b b ( b) p p b p De mcht vn het product b is gelijk n het product vn de twee mchten p b. Voorbeelden: p en (4) (4)(4 ) of eerst uitrekenen wt tussen de hkjes stt (4) (5 ) (5 )(5 )(5 ) 5 15 ( c) c 5. ( b) b p b b p p

26 De mcht vn het quotiënt b is gelijk n het quotiënt vn de mchten p p en b. Voorbeelden: b b b bb b b b b Opgven 1. Bereken: b. c. 6 d Vereenvoudig: 5 b b. b. c. 4 d. b b 7 b De rekenregels gelden ook ls de exponent negtief of gebroken is. (Als de exponent een breuk is, noemen we de exponent gebroken.) 4

27 Mchten met negtieve exponenten p q p q Als we de rekenregel : toepssen op 5 5 krijgen we Dus: Dus: Het minteken voor de exponent zegt dus dt we niet Dus het omgekeerde vn nemen, mr Algemeen geldt: 1 p p Voorbeelden: (5 ) of b b b 4 5 ( ) 47 5 b b 7 5

28 ( 1) ( 1) Opgven. Bereken: b. c d Vereenvoudig: 5 b b. b. c. 4 d. 7 b b b Mchten met gebroken exponenten, wortels Wortels zijn te schrijven ls mchten met gebroken exponenten. q p p q Voorbeelden: 1. Er geldt 4 4 4, in woorden; de tweedemchtswortel uit 4 is het nietnegtieve getl dt ls het met zichzelf wordt vermenigvuldigd 4 geeft. wordt meestl geschreven ls. Toepssen vn de regel p q pq 1 op 4 4 geeft en er geldt ook Dus 4 geschreven ls mcht geeft. De wordt meestl weggelten En zo is (5 ) Zols eerder vermeld, nemen we bij de mchten het grondtl positief. 6

29 Bij het gebruiken vn negtieve getllen kunnen we een tegensprk krijgen. Voorbeeld: 1 8 Mr ook (wnt 6 64 ). Als we dus negtieve getllen toestn ls grondtl, dn is bewijsbr dt een wre bewering is. Toepssen vn de regel ( b) p p b p op b geeft b ( b) b b. en toepssen vn de regel p b b p p op b geeft 1 1 b 1 b b b. Er geldt dus : b b en b b Let op De rekenregels gelden bij het vermenigvuldigen en delen vn mchten. Mchten optellen en ftrekken kn lleen ls zowel het grondtl ls de exponent gelijk zijn. Dus ls de mchten gelijksoortig zijn. Voorbeelden: kn niet verder worden vereenigvoudigd 7

30 Opgven 5. Bereken: 4. 5 d. g. j b. e. 7 7 h c. f. i Schrijf ls mcht en vereenvoudig zo mogelijk:. 7 c. e. 6 5 p b. 1 d. 6 f. 7 4 p 7. Bereken: p q voor 9, p, q 8. Vereenvoudig (schrijf ls één mcht): 4 : 4 4. c. 5 4 (4 ) b : b b. d. b b Gegeven is dt n 7 : 7 (7 7 ) Bereken n. 8

31 10.Vereenvoudig en schrijf zonder negtieve exponenten ( b ) b c. b b b. ( b ) b d. ( b ) b Vereenvoudig en schrijf zonder negtieve en gebroken exponenten: 5. c. e. (5 ) b b. b b d. 1 f Procenten Bij deze prgrf is de rekenmchine toegestn! Het rekenen met procenten komt in de prktijk veel voor. Voor het berekenen vn een percentge is het nodig om te weten wr het percentge vn wordt genomen. Dtgene wr het percentge vn genomen wordt, wordt op 100% gesteld. Voorbeelden 1. Hoeveel is 5% vn 00 euro? 5% is deel vn 00 euro. Dus euro 100. Hoeveel procent is 1 vn 48? 1 is het 1 0,5 deel vn 48. Dus 5%. 48. De telefoonrekening bedrgt 78,0. Dr moet nog 19% BTW over betld worden. Hoeveel bedrgt de totle rekening? 9

32 Bij het bedrg vn 78,0 komt nog 19/100 = 0,19 deel BTW bij. De totle rekening is dus 119% vn de rekening zonder BTW. De totle 19 rekening wordt 178, 0 78, 0 1,19 78, 0 9, 06 euro Een mobiele telefoon die norml 84,00 kost, wordt verkocht met 15% korting. Hoeveel moet je er nu voor betlen? De telefoon wordt voor (100 15)% 85% vn de oude prijs verkocht. De nieuwe prijs wordt dus 0, , 40 euro. 5. Een fles wijn vn Chteu Rosé vn,69 euro wordt fgeprijsd nr, euro. Hoeveel procent korting wordt er gegeven?, De nieuwe prijs is 0,865 deel vn de oude prijs. De nieuwe,69 prijs is dus 86,5% vn de oude prijs. De korting is ,5=1,75%. 6. Op de telefoonrekening stt dt er,0 moet worden betld n BTW. Hoe hoog zijn de telefoonkosten zonder BTW? 19% vn de telefoonkosten is,0 dus, 100 1,11 19 euro. 7. Een dvd-speler wordt in de winkel ngeboden met 0% korting. De prijs is nu 1,80. Wt is de oorspronkelijke winkelwrde vn deze dvd-speler? 80% (0,80 deel)vn de winkelwrde is 1,80 dus de oorspronkelijke winkelwrde is 1, ,8 euro. Zols uit de voorbeelden hierboven blijkt kn het berekenen vn percentges n de hnd vn een vermenigvuldiging. Je kunt bovenstnde voorbeelden ook uitrekenen door eerst één procent uit te rekenen en vervolgens het juiste percentge. Over het lgemeen is dt een omslchtiger methode, zeker bij de berekeningen in de finnciële rekenkunde. Opgven 1. Bereken:. 6% vn 4000 d. % vn 00 b. 5% vn 600 e. 100% vn 00 c. 50% vn 400 f. 50% vn 50 0

33 . Hoeveel procent is:. 40 vn 100 d. 6 vn 60 b. 77 vn 0 e. 1 vn 105 c. 18 vn 7 f. 60 vn 50. De prijs vn benzine is n schommelingen onderhevig. In een bepld lnd steeg de prijs met 5% en dlde toen weer met 5%. Met hoeveel procent is de prijs in totl toe- of fgenomen? 4. Product A kost 40,- en product B 5,-.. Hoeveel procent kost B meer dn A? b. Hoeveel procent kost A minder dn B? 5. In de uitverkoop kocht Jp een broek met 5% korting. De broek kostte toen nog 48,. Wt ws de oorspronkelijke prijs? 6. An het begin vn het jr 000 telde de provincie Overijssel inwoners. An het begin vn het jr 007 ws dit ntl met,6% gestegen. Hoeveel inwoners telde Overijssel n het begin vn 007? Smengestelde interest Je stort op een sprrekening een bedrg vn 1000 euro. De bnk geeft % rente (interest) op jrbsis. N een jr heb je , , euro op de rekening. Het bedrg 1000 is gegroeid met de fctor 1,0 tot 100 euro. Als je de ontvngen 0 euro rente op de sprrekening lt stn, krijg je het jr drop ook rente over die 0 euro. Dus je krijgt rente over het beginkpitl en over de gekregen rente. We noemen dt smengestelde interest, oftewel rente op rente. N twee jr is het bedrg gegroeid tot ,0100 1, ,0 1, , ,90 euro. 1

34 In twee jr is het bedrg gegroeid met de fctor N drie jr is het bedrg gegroeid tot 109,7 euro. 1,0 1,0609. Door de smengestelde interest groeit het bedrg niet lineir (met een vst bedrg), mr exponentieel (met een vst percentge vn %). In formule n K 10001,0 K bedrg op tijdstip n n in jren, n=0 in het jr vn storten De jrlijkse groeifctor is 1,0. De groeivoet is 1,0 1 0,0 Het percentge 0,0100 groeivoet=groeifctor-1 percentge=groeivoet 100 In twee jr is het bedrg op de rekening toegenomen met (1,0609 1) 100% 6,09%. G zelf het verbnd tussen groeifctor en percentge n in de eerder gegeven voorbeelden. Voorbeeld: In een zeker lnd groeit het inwonertl ieder jr met 5,%. N 0 jr is het inwonertl dn gegroeid met de fctor 0 1,05,8091. De bevolking is met (,8091 1) 100% 180,91% toegenomen. Opgven 7. Iemnd stort 15000,- op een sprrekening, wrop,8% rente wordt gegeven. Bereken het sldo n precies 7 jr. 8. Hns leent Annelies een bedrg voor twee jr uit. N twee jr zl Annelies 70,40 euro terugbetlen. Welk bedrg heeft Annelies geleend in het gevl er met 4% rente per jr wordt gerekend.

35 9. Een winkelier geeft op een rtikel 0% korting. Een week lter verhoogt hij de prijs vn dt rtikel met 0%. Arjen beweert dt drn de prijs vn dit rtikel even hoog is ls vóór de korting. Lt met een berekening zien of Arjen gelijk heeft. 10.De prijs vn een rtikel is vernderd met de fctor 0,945. Met hoeveel procent is de prijs gestegen of gedld? 11.Een kpitl vn 8.500,- heeft 15 jr op een sprrekening gestn tegen smengestelde interest. De eerste 5 jr vergoedde de bnk 5% per jr, drn 5 jr lng % per jr en vervolgens de ltste 5 jr,5% per jr. Bereken het eindkpitl n precies15 jr. 1.Men wil de prijs vn een rtikel met 15 % verlgen. Met welk percentge moet de fzet stijgen op de omzet toch met 8 % te lten toenemen? De omzet = prijs x fzet.

36

37 . Eerstegrds functies en vergelijkingen.1 Een eerstegrdsvergelijking met één onbekende x 8 6 is een eerstegrdsvergelijking. Eerstegrds, omdt de hoogste mcht vn de onbekende x één is (in de term x ). Vergelijking, omdt vi het " " teken x 8 en 6 n elkr gelijk worden gesteld. Of: met elkr worden vergeleken. Zo wordt x 4x 4 5 een tweedegrds vergelijking genoemd. De hoogste mcht vn x die in de vergelijking voorkomt is twee (in de term x ). De eerstegrds vergelijking x 8 is een bewering die wr is ls x 4, Het vinden vn de wrde x 4 wordt het oplossen vn de vergelijking genoemd. Bij eerstegrdsvergelijkingen met ls onbekende x is de stndrdmethode voor het vinden vn de wrde vn x die de vergelijking kloppend mkt de volgende: 1. Alle termen met x nr een knt vn het " " teken te brengen.. Alle ndere termen nr de ndere knt vn het " " teken brengen. De onbekende x vrijmken, dt wil zeggen herschrijven in de vorm vn x =. In lgemene vorm: b x b 0 x b x met 0 Voorbeeld: x 4 x x x 4 4x x 1 Stn er hkjes in de vergelijking dn worden die eerst weggewerkt. 5

38 Voorbeeld: ( x 5) x 6 ( x 1) x 10 x 6 x 1 x x x x x 4 Stn er breuken in de vergelijking, dn is het verstndig om deze eerst weg te werken. Voorbeelden: x x 1 ( x 4) Om de noemers en weg te werken moet je in dit gevl lles (het rechter- en linkerlid) met 6 vermenigvuldigen. Dit geeft: 6x x 6 ( x 4) 8x 6 x1 5x 6 x ( x1) (1 x) 4 Vermenigvuldigen met 1: 6( x1) 4 (1 x) 6x 6 4 x 9x 1 1 x 9 6

39 Opgven 1. Los de volgende vergelijkingen op:. 4x 6 x 1 e. x 16( x 7) b. 7x 4 x 8 f. (x 8) (6 x) c. 4x x 5 g. 1 7(1 x) 6 x d. 5 x 5x 5 h. ( x 4) 6( x ) x. Los de volgende vergelijkingen op:. ( x 4) (6 x) 5(x 4) (6 x) b. 5( x ) ( x 4) (x ) 6( x 1) c. ( x) ( x ) (5x 1) 4 d. 5 7(x1) ( x) e. 6(1 x)+5=x+ f. x 7x 5 6 4(5 x). Los de volgende vergelijkingen op (werk eerst de breuken weg): ( x 9) 4 ( x ) e. (5x 4) (4 x) b. x x 1 f. x x 1 x c. ( x) ( x 1) 1 g. 4 x ( x 1) d. x x h. (x ) (5 x) 7

40 4. Los de volgende vergelijkingen op:. 4x p - ( x - p) c. x ( x 4) b. x 4( p) 16 d. ( x p) ( x p) 4. Twee eerstegrds vergelijkingen met twee onbekenden x y 4 is een vergelijking met twee onbekenden: x en y. De vergelijking is in een ssenstelsel te tekenen ls een rechte lijn. De vergelijking heeft oneindig veel pren ( xy, ) die n de vergelijking voldoen, nmelijk lle pren ( xy, ) die op de lijn liggen. Zo voldoen (0,4), (4,0), (1,) n de vergelijking. (0, 4) invullen in x y 4 geeft G voor (4,0) en (1,) n dt ze ook voldoen n de vergelijking. An de vergelijking xy voldoen ook oneindig veel pren ( xy, ). Zoek zelf pren( xy, ) die n deze vergelijking voldoen. Beide vergelijkingen x y 4 en x y hebben een gemeenschppelijke oplossing ( xy, ) : het snijpunt vn de twee lijnen. Het zoeken vn de wrden oplossen vn het stelsel vergelijkingen x y 4 xy x en y, die n beide vergelijkingen voldoen is het Voor het oplossen vn stelsels vergelijkingen bekijken we twee methoden. Substitutiemethode Een vn beide vergelijkingen schrijven we ls x... of y... (dit heet: een vribele vrij mken). Vervolgens substitueren we deze in de ndere vergelijking. Voorbeeld: Los op: x y 4 xy 8

41 x vrijmken uit x y 4 geeft x 4 y x invullen in x y geeft (4 y) y 11 8 y y 5y 5 y 1 y 1 invullen in een vn de twee vergelijkingen. y 1 invullen in x y 4 geeft x 1 4 x Het snijpunt is ( xy, ) (,1). Elimintiemethode We willen nu een vn de onbekenden wegwerken (elimineren). We vermenigvuldigen de vergelijkingen met getllen zodt de coëfficiënten (de getllen voor de onbekenden) vn een vn de onbekenden gelijk of tegengesteld worden. Vervolgens de beide vergelijkingen bij elkr optellen of vn elkr ftrekken. Voorbeeld: Los op: x y 4 xy x y 4 x y 8 5y 5 y1 x y 1 x y y 1 invullen in een vn de twee vergelijkingen geeft x Het snijpunt is ( xy, ) (,1). Zorg er bij de elimintiemethode voor dt de x en y in de vergelijkingen onder elkr stn. Voorbeeld: Los op: xy 1 5xy4 x y 1 x y 1 4x 6y 6 19x 8 x 5x y 4 5x y 4 15x 6y 1 x invullen in x y 1 geeft y Het punt (,) is het snijpunt vn de twee lijnen. Een stelsel heeft één oplossing, geen oplossing of oneindig veel oplossingen. 9

42 Bij één oplossing hebben de twee lijnen (die de twee vergelijkingen representeren) één snijpunt gemeen, bij geen oplossing lopen de twee lijnen evenwijdig en bij oneindig veel oplossingen vllen ze smen. Voorbeelden: 1. Los op: x y 4 x y x y 4 x y 4 0 x y x y Geen oplossing. Het stelsel is strijdig. De lijnen lopen evenwijdig.. Los op: x y x y x y 1 x y x y 0 0 x y 4 x y x y 1 Oneindig veel oplossingen. Het stelsel is fhnkelijk. De lijnen vllen smen. 40

43 Opgven 1. G voor de onderstnde twee stelsels n of ze fhnkelijk of strijdig zijn.. b. xy 1 x 4 y xy1 x 5 ( y ) Zijn de pren (, ),(, ) en (, ) oplossingen vn het hier onderstnde stelsel vergelijkingen? 1 xy x y Los x en y op, kies zelf of je de substitutie- of elimintiemethode gebruikt:. xy 4 x y 6 b. x x y 11 yx c. x 7 y 6 4y 5x d. x5y 4 x4y 4 e. 6x9y 1 6x4y1 41

44 4. Voor het repreren vn de wsmchine heeft de fmilie Vreugdbroek de keuze uit twee reprteurs. Reprteur A berekent geen voorrijkosten en vrgt 7,50 euro per uur. Reprteur B rekent 50 euro n voorrijkosten en vrgt 5 euro per uur.. Geef de vergelijkingen wrmee de reprtiekosten in euro s te berekenen zijn. De fmilie scht in dt de reprtie uur zl duren. b. Welke reprteur zullen ze kiezen? c. Bij welke reprtietijd zijn beide reprteurs even duur? 5. Op een mrkt met volledige mededinging gelden voor een bepld product de volgende vrg- en nbodfuncties: q 5p en q p 4 v wrbij euro s. q en q ntllen producten in duizendtllen voorstellen; p is de prijs in v De evenwichtsprijs is de prijs wrbij de vrg gelijk is n het nbod. q q v. Bereken de evenwichtsprijs en hoeveelheid. De overheid stelt de prijs vn het product vst op,50. b. G n of er bij deze prijs sprke is vn een nbod- dn wel een vrgoverschot, en bereken de grootte vn dit overschot. c. Met hoeveel is de totle opbrengst (prijs hoeveelheid) vn dit product fgenomen ten opzichte vn de evenwichtssitutie?. Eerstegrds functies De lgemene vorm vn een eerstegrds functie is: f ( x) x b of y x b met 0 Een eerstegrds functie wordt ook wel een lineire functie genoemd. Voorbeelden: 1., b 6 f ( x) x 6 4

45 ., b 0 f ( x) x. Het functievoorschrift f ( x) x geeft n hoe het getl x is gekoppeld n f ( x). Bij x1 hoort f(1) 1 5. x1 heet het origineel en f(1) 5 het beeld. De verzmeling vn lle originelen heet het domein en de verzmeling vn lle beelden het bereik vn de functie. Voor een functie geldt dt bij ieder origineel ten hoogste één beeld hoort. De grfiek vn een eerstegrds functie is een rechte lijn. Om de lijn te tekenen of een functievoorschrift op te stellen is het voldoende om twee punten op de lijn te weten of een punt en de richting vn de lijn. De richting vn de lijn wordt uitgedrukt in de richtingscoëfficiënt (rc) of hellingsgetl. Omdt er bij een eerstegrds functie sprke is vn constnte groei kunnen we de richting vn de lijn definiëren ls de verhouding tussen de toenme vn y en de toenme vn x in twee willekeurige punten. het verticle verschil vn twee punten op de lijn toenme vn y y r.c.= het horizontle verschil vn twee punten op de lijn toenme vn x x Bij een stijgende lijn is bij een positieve toenme vn x, de toenme vn y ook positief; de richtingscoëfficiënt is positief. Bij een horizontle lijn neemt y niet toe of f. De toenme vn y ( y y1 y ) is nul; de richtingscoëfficiënt is nul. Bij een dlende lijn dlt de y -wrde ls x toeneemt. Bij een positieve toenme vn x is de toenme vn y negtief; de richtingscoëfficiënt is negtief. 4

46 Smenvtting rc 0 stijgende lijn rc 0 horizontle lijn rc 0 dlende lijn y B Vn de lijn in de grfiek hiernst is de richtingscoëfficiënt uitgedrukt in de toenme tussen de punten A en B. De richtingscoëfficiënt is gelijk n: y A x B x A y B y A y yb y x x x B A A xa xb Voorbeeld: rc y x B B y x A A 4 In de vergelijking y x b is het getl gelijk n de rc en is het getl b het punt wr de lijn de y-s snijdt. G dit n. Het opstellen vn de vergelijking y x b 1. Indien een punt en de rc is gegeven. Bepl de vergelijking vn de lijn door het punt (,) met richtingscoëfficiënt 4. y x b r.c. is 4 Invullen in y x b geeft y 4 x b. Invullen vn het punt (,) in de vergelijking geeft: 4 b b 5 en b invullen in de vergelijking geeft: y 4x 5. 44

47 . Indien twee punten zijn gegeven. Bepl de vergelijking vn de lijn door de punten A(6,4) en B(,1). y x b ya yb 4 1 r.. c y x b x x A B 6 1 Invullen vn (,1) in de vergelijking geeft: 1 b b 4 1 y x 4 of y x b Invullen vn de twee punten in de vergelijking geeft (,1) 1 b ftrekken vn elkr geeft - 4 (6, 4) 4 6 b 4 y= x b Invullen vn (,1) in de vergelijking geeft: 1 b b 4 1 y x 4 Opgven 1. Wrom is de vergelijking y 5 een functie en de vergelijking x 5 niet?. Schrijf de volgende vergelijkingen in de stndrdvorm y x b.. 4( y1) ( x1) 5 b. 4x 6y ( y 1) x. Bepl voor de volgende functies f(4), f(-), f() en f(1+).. f ( x) x 7 b. f ( x) x 5 45

48 4. Bereken vn de volgende lijnen de richtingscoëfficiënt.. 7x4y6 b x y1 5. Geef de vergelijking vn de lijn door:. (, 4) en r.c. b. ( 1, 4) en r.c.= 5 6. Stel een vergelijking op vn de lijn door de punten:. (0,40) en ( 10, 5) b. (,14) en (,10) 7. Op de lijn yx 5 liggen de punten (,1),(,b),(c,c) en (d, d). Bereken, b, c en d. 8. Gegeven zijn de lijnen x y 4 en x y 6.. Geef een vergelijking vn de lijn door het punt (,7) die evenwijdig loopt n de lijn xy 4. b. Bereken de coördinten vn het snijpunt vn de twee lijnen. 9. Gegeven is y0,7x 5.. Bereken x ls y 0,1. b. Bereken y ls x 0, Gegeven is de volgende vrg- en nbodfunctie voor een bepld product: q v,5 p115 q p 10 met p in euro's per stuk en q in duizendtllen. 46

49 . Leg uit wrom de richtingscoëfficiënt vn een vrgfunctie negtief is. b. Bereken de evenwichtsprijs en -hoeveelheid. ( q q ) v De prijs wordt gesteld op 5,00 per stuk. c. Bepl of er een nbod- of vrgoverschot is en bereken de omvng ervn. 11. Een utoverhuurbedrijf hnteert de volgende twee trieven: Trief 1 Trief 8,00 per dg (inclusief 100 km per dg) plus 0,4 per km. (huurtijd 4 dgen of lnger) 97,- per dg, lle kilometers vrij. Iemnd heeft voor drie dgen een uto nodig.. Geef de functies die bij de trieven horen. b. Bereken bij welk ntl kilometers trief goedkoper wordt. 47

50

51 . Tweedegrds functies en vergelijkingen.1 Tweedegrds vergelijkingen De lgemene vorm vn een tweedegrds vergelijking is: 0 met 0 x bx c Voor het oplossen vn een tweedegrds vergelijking wordt de vergelijking eerst herleid op nul. Beplde typen tweedegrds vergelijkingen kunnen opgelost worden door de vergelijking direct te ontbinden in fctoren. Vervolgens wordt de eigenschp A B 0 A 0 of B 0 gebruikt om de oplossingen te beplen. Hieronder volgen drie verschillende typen specile tweedegrds vergelijkingen en hun oplossingsmethode. Drn komt een lgemene oplossingsmethode voor het oplossen vn tweedegrdsvergelijkingen. TGV1 x bx x x b x x b 0 en ( 0) ( ) 0 0 of 0 b x 0 of x b x 0 of x Voorbeelden: 1. 5x x 0 x(5x ) 0 x 0 of 5x 0 x 0 of x 5 49

52 . x x x x x x x x 0 x x 0 x(x ) 0 x=0 of x x=0 of x TGV c c c x c 0 0 x c x x Voorbeelden: 1.. x 7 0 x 7 x 9 x of x 6x 5 x x x x x 64 x =16 x 4 of x 4 TGV x bx c 0 b c Links en rechts delen door : x x 0 Ontbinden in fctoren met behulp vn de som-product methode: c b de getllen d en e zoeken wrvoor geldt: d e en d e. Dn geldt: ( x d)( x e) 0 x d of xe Voorbeeld: x x

53 Met behulp vn de som-product methode twee getllen zoeken wrvn tegelijkertijd de som 8 is en het product 15 is. product 15 som de ontbinding wordt ( x )( x 5) x of x 5 Algemene methode Iedere tweedegrds vergelijking kn met de wortelformule (ook wel bc-formule) worden opgelost. De nm 'wortelfomule' is gekozen doordt de fomule de 'wortels' of 'oplossingen' oplevert vn een tweedegrds vergelijking. Deze methode kost wel wt meer rekenwerk dn de methode die we gebruiken in de specile gevllen TGV1, TGV en TGV. x bx c 0 met de wortel (bc-)formule: D = Discriminnt = b 4 c ls D = b 4c 0 twee oplossingen D = b 4c 0 een oplossing D = b 4c 0 geen oplossing x 1, b b 4c 51

54 5

55 Voorbeelden: 1. x 7x 40 0, b 7, c 40 x1, ( 7) ( 7) x 5 of x. x x x x x b c , 10, 6 x1, 1 ( 10) (1) x 7 of x 1 1 5

56 x 5x 5 0, b 5, c 5 x1, geen oplossing 5 () Opgven 1. Los de hierboven gegeven voorbeelden die niet met de wortelformule (bcformule) zijn opgelost nogmls op met de wortelformule (bc-formule).. Los op met de som-product methode:. b. c. x x x x15 0 d. x8 0 e. 10x 4 0 f. x x x 1x 7 0 6x9 0 10x 9 0. Bereken de oplossingen vn:. x 8 0 e. x 6x 4 b. x x 5( x 8) f. 1 x 0 c. d. x x1 0 g. 4x 7x h. x 4x x 6x 5 4x. Tweedegrds functies De lgemene vorm vn een tweedegrds functie is: met 0 f ( x) x bx c of y x bx c Voorbeelden: 1. 1, b 0, c 0 f ( x) x 54

57 . b c f x x x 1,, 1 ( ) 1 We bespreken nu de belngrijkste eigenschppen vn tweedegrds functies. De grfiek vn een tweedegrds functie is een prbool. De in de kwdrtische term x geeft n of het een dl- ( 0) of bergprbool ( 0) is. Een prbool heeft een symmetries; de verticle lijn door zijn top. De vergelijking b vn deze verticle lijn is x. De top vn de prbool bevindt zich op deze symmetries. De grfiek snijdt de x -s ls f ( x) x bx c 0. De snijpunten zijn te berekenen met de wortel-(of bc-) formule. (Zie prgrf Tweedegrds vergelijkingen.) Smenvtting f x x bx c ( ) 0 b symmetries: x x bx c 0 voor x1, b b 4c Discriminnt D= b 4 c beplt het ntl snijpunten. D 0 snijpunten D 0 1 rkpunt D 0 geen snijpunten f( x) heeft een mximum ls 0 en een minimum ls 0. x top b Voorbeelden: 1. f ( x) x 1, b 0, c 0 symmetries: snijpunten x - s : b 0 x 0 x 0 x 0 De grfiek rkt de x -s in x 0 55

58 0 dlprbool minimum x min b 0 minimum f(0) 0 0. f x x x ( ) 1 1, b, c 1 b symmetries: x 1 snijpunten x -s: x x1 0 x1, ( 1) 8 4 ( 1) 1 1 x1 of x 1 1 ( 8 ) 0 bergprbool mximum x b mx 1 mximum f(1) 1 11 Opgven 1. Wrom geldt 0 bij f x x bx c ( )?. Bepl voor de grfiek vn elk vn de volgende functies: - de coördinten vn de top en zeg of er een mximum of minimum is; - indien nwezig de snijpunten met de x-s; - het snijpunt met de y-s. ( x) x b( x) ( x 5) c( x) ( x 1) d( x) x e( x) x x 6 f ( x) x 6x 6 g( x) x 4 h( x) x x 1. Bereken de snijpunten vn y x x y x x en Gegeven is de functie: f ( x) x 7x 1. Bereken voor welke wrden vn x geldt: f ( x) 0 en f ( x) 8; b. Bereken f (0), f () en f ( 1). 56

59 5. Bereken de symmetries vn de volgende functies.. f ( x) ( x )( x 5) b. g( x) ( x )( x 5) 6. Gegeven is een totle-opbrengstfunctie TO 1q 96 q. Voor welke wrden vn q heeft de functie betekenis? b. Bepl de procentuele toenme vn de opbrengst ls q toeneemt vn nr. Ook gegeven is een totle-kostenfunctie TK 6q 15 c. Voor welke wrde vn q is de totle winst (= TO TK) mximl? 7. Een slijter koopt flessen wijn in, tegen een prijs vn 10,- per fles. De fzet ls functie vn de prijs is: q65,5 p met q ls de fzet per jr in duizenden flessen en p ls de verkoopprijs in euro s. Om de flessen te kunnen opsln huurt de slijter een opslgruimte voor ,- per jr.. Schrijf de totle omzet (TO)per jr (in duizenden euro s) ls functie vn p. b. Lt zien dt de uitdrukking voor de totle winst per jr (in duizenden euro s) ls functie vn p te schrijven is ls: TW=,5 p 90 p 690 (TW=TO-TK, TK=totle kosten in duizenden euro's) c. Bereken bij welke verkoopprijs per fles de jrwinst mximl zl zijn en geef de bijbehorende mximle winst. 8. Wikke, een tlentje in de dop, trpt een bl weg volgens een prbool met de vergelijking 1 50 y x x x y 0, 6 met en in meters.. Hoever trpt hij de bl en hoe hoog komt de bl mximl? Hij trpt nog een keer. Deze keer volgens een prbool met de vergelijking 1 4 y x x x y 8 1 met,, in meters 57

60 De bl bereikt nu een mximle hoogte vn 5 meter. b. Bereken. 9. Een kunstenres berekent de prijs vn hr werk met de volgende formule: p,5 o p prijs in euro's, o=oppervlkte in cm Vn een vn hr werken is de omtrek 0 cm. Ze ontvngt voor dt werk 7.500,-.. Bereken de lengte en breedte vn het werk. b. Bij welke lengte en breedte levert het werk de mximle wrde op? 58

61 Antwoorden 1 Bsisvrdigheden 1.1 Terminologie en lgemene lgebrregels 1. ( b)( b) b b b b.. b c 4d 5 e f. 7b 0b 18b b. x 7 y g. 1511x 47y c. 11 y h y d. 1 x 5 y i. 5 7 e. 14x y j. 9 1b.. 1x 4 e i. 100 b. 4 f j. 4 8 c. 8 4 b g b k. x x15 d. 16 4x x h. 6 l. 6 8b b c. 16 e. 48 g. 576 b. 4 d. 40 f b. c. d. ( 10 (4))(15) ( )(15)

62 1. Breuken d. 5 g. j. m b. e. h. 1 k. 5 n c. f. i l. o b. 6 d. g. 6. x 1 b. e. 5 h. x 4 6x b b 1 c. f. 4y 1 i. 6c 4b d. g. j. m b. e. h. k. n c. f. i l. o

63 8 b 5cy yz. d. g. bc cz 4. b b 4 1 b. e. h. 6 b b- c. f. i. 10b b d. g. j. m b. e. h. 1 k. 7 n c. f i. l. 0 o. 4 5 bc c. e. g. i. 5 7b c b. d. 1 f. h. 7c b 6 4 b 4 p 6. 5 c. e. g. 1 i. q q 7. 1 c c b q p b. d. f. h. 7 7 c c 61

64 10 ( ) 19. ( ) ( ) 6 8. p( q 1) p 4 p pq b. ( q 1) ( q 1) q c (1 ) (1 ) c. e ) b. d. f. : Mchten b c of d b b b b b b. b c. 4b b 4b 4 b d. 7 b 7 b 49 b b =6 = b b b 4 c. 4b 4 b d. b b b 4b b b b = b. = c. 4 4 d. 4 b b b b 4b b b b

65 c. e. 9 g. = 8 i b. 1 d. 1 f. 1 h. j c. 9 e. p b. 1 d. 6 f. p b. c. 4 d. b n= 10. b b 1 b. b. c. d. b c. e. 5 b b. b b d. 4 =4 f. 4 9 b 1.4 Procenten c. 100 e. 00 b. 150 d. 96 f. 15 6

66 .. 40% c. 5% e. 0% b. 5% d. 60% f. 4%. (0,9975-1) 100% 0, 5% fnme vn 0,5% , toenme 0% b. =0,769,08% fnme vn,08% euro 0, , , inwoners , ,81 70,4 8. 1, nieuwe prijs=0,8 1, oude prijs=0,96 oude prijs Dus de nieuwe prijs is 96% vn de oude prijs, Arjen heeft geen gelijk. 10. (0,945 1) 100% 5,5% Dus met 5,5% gedld ,05 1,0 1, ,65 64

67 1. omzet=prijsfzet 1,08 0,85 groeifctor fzet 1,08 Dus groeifctor fzet 1,706 0,85 Dus de fzet moet met 7,06% groeien. Eerstegrds functies en vergelijkingen.1 Een eerstegrds vergelijking met een onbekende c. 4 7 e g. b. 6 d. 5 f. 9 h. 6.. c. e b. 4 d. 1 f x 7 x 4 x 1 e. 10x 8 8 7x x b. 10x 10 x 5 x 1 f. 15x 10x 0 6x x 1 19 c. 1 4x x 1 4 x 5 g. 4 6x x 1 x d. x x 18 x 6 h. 1x 8 5 x 1 x p. 4x p x p x b. x 8 4 p 16 x 8 4 p c. x x 8 11 x 5 d. x p x p x 0 65

68 . Twee eerstegrdsvergelijkingen met twee onbekenden 1.. b. x y 1 x y x 4 y x y 4 Er is dus geen oplossing x y 1 x y x 5 ( y ) x y 1 Er zijn oneindig veel oplossingen ( 1, 1) niet, mr ( 4, 6) niet, mr ( 4, 6) wel, en x y 4 6x 9y y 4 y 1 x 4 1 x 1 x y 6 6x 4y 1 x 4y 11 1 x 4y 11 7y 0 y x x x y x y b c. x x 5x 7 4y y 4y y 5x y 7 5x 8x 1y 5 tweede 15x 1y 6 x 46 () 15x 1y 6 x 46 () 15x 1y 6 x 15x 1y 6 x invullen 66

69 x 0 1y 6 0 x y d. x5y 4 8x 0y x4y4 5 15x 0y x x 1 4y 4 1 y 4 6x 9y 1 e. 1y 0 y 0 x 4 x 6x 4y 1 4. RA 7,5 x. x ntl gewerkte uren. R 50 5x B b. c. x RA R B 11,5 en 15 Ze kiezen voor reprteur A. 50 7,5x 50 5x x 4 4 uur 1, p p 4 8p p 4 q prijs is 4 euro, ntl 000 stuks. b. p,5 q 19,5 en q,5 een vrgoverschot vn 4000 stuks. v c. evenwichtsitutie : p 4, q p q euro bij b.: p,5, q 19,5 pq 19,5,5 68, euro fnme is =19750 euro.. Eerstegrds functies 1. De grfiek bij de vergelijking y=5 is de horizontle lijn door het punt (0,5). Bij iedere x wrde hoort precies één y wrde. De grfiek bij de vergelijking x=5 is de verticle lijn door het punt (5,0). Bij de x wrde 5 horen oneindig veel y wrden... b y 4 x 5 y x x 6y y x y x 67

70 .. f (4) 5, f ( ) 16, f ( ) 7, f ( 1) 4 b. f (4), f ( ) 11, f ( ) 5, f ( 1) 4.. b x 4y 6 4y 7x 6 y x r. c x y 1 y x r. c. 5.. r. c. y x b (, 4) invullen geeft 4 6b b y x b. r. c. 5 y 5 x b ( 1, 4) invullen geeft 4 5b b 1 y 5x b r. c. y x b invullen vn (0,40) geeft b 10 y x r. c. 4 y 4 x b invullen vn (,10) geeft b y 4x 7. (,1) 1 5 (, b) b 4 5 b 1 ( c, c) c c 5 c 5 5 ( d, d) d d 5 d x y 4 y x r. c. y x b 1 invullen vn (,7) geeft b 6 y x 6 x y 4 x 6y 1 6 b. ftrekken geeft 7 y 6 y x y 6 1 x y 6 7 y x y x invullen in 4 geeft 7 ( 7 6, ) 7 68

71 9.. 0,1 0,1 0, 7 x 0, x 0,7 y b. 0,7 y 0,8 0, Bij qv dlt de gevrgde hoeveelheid ls de prijs toeneemt. b.,5 p 115 p 10 p 0 q 40 prijs 0 euro, hoeveelheid stuks. c. p 5 q 7,5 en q 45 nbodoverschot=45 7,5=17, stuks. v 11.. x ntl gereden km T x 100 T1 8 0, 4( x 100) 06 0, 4 x voor x 100 T b. T T 06 0, 4x 88 x 4, 6 vnf 4, km 1 Tweedegrds functies en vergelijkingen.1 Tweedegrds vergelijkingen 1. 5x x 0 5, b, c x1, x 0 of x x x x x x x 0, b, c x1, x 0 of x 6 6 x 7 0, b 0, c ( 7) 4 18 x1, x of x 6 6 6x 5 x 59 4x , b 0, c ( 64) 104 x1, 4 x 4 of x

72 x 8x15 0 =1,b=8,c= x1, 4 1 x of x x of x 5 b. x of x 4 c. x 4 of x 6 d. x of x 9 e. x f. x1 of x9.. b 4c geen oplossing b. x1, x 5 of x c. x1, x of x d. x1, x of x e. x1, x 5 of x 5 f. b 4c geen oplossing g. x1, x1 of x h. x x 6 of x 1, 1 1. Tweedegrds functies 1. Voor 0 wordt f ( x) bx c. De functie is geen tweedegrds functie meer.. x ( ) x snijpunten x-s: x x of x= 0 xtop 0 of xtop 0 0 minimum (0) snijpunt y-s:x=0 (0)= (0, ) 70

73 b( x) ( x 5) snijpunten x-s: ( x -5) 0 x 5 de grfiek rkt de x-s in (5,0) 0 mximum b(5) 0 snijpunt y-s: x=0 b(0)= (5) (0, 5) c x ( ) ( x 1) snijpunten x-s: ( x 1) x 1 of x 1= x1 of x1 De snijpunten met de x-s zijn (1, 0) en (1, 0) x top 1 0 minimum (1) snijpunt y-s: x=0 c(0)= (0, ) d x ( ) x snijpunten x-s: x x of x= de snijpunten met de x-s zijn (, 0) en (, 0) 0 xtop minimum d(0) snijpunt y-s: x=0 d(0)= (0, ) e x x x ( ) snijpunten x-s: x1, = D<0 geen snijpunten met de x-s. xtop 1 0 minimum e( ) ( ) ( ) 6 4 ( 1, 4) snijpunt y-s: x=0 e(0)=6 (0,6) 71

74 f x x x ( ) ( 6) 4 ( 1) ( 6) 6 1 snijpunten x-s: x1, ( 1) x of x de snijpunten met de x-s zijn (, 0) en (, 0) 6 xtop 0 mximum f () snijpunt y-s: x=0 f (0)= 6 (0, 6) g x ( ) x 4 snijpunten x-s: x x of x= snijpunten met de x-s zijn, 0) en (, 0) 0 xtop mximum g(0) 4 snijpunt y-s: x=0 g(0)=4 (0,4) h x x x ( ) snijpunten x-s: x1, x 1 of x= 4 1 snijpunten met de x-s zijn ( 1, 0) en (, 0) xtop minimum m( ) 4 8 snijpunt y-s: x=0 h(0)=1 (0,1) x 5x 7 x 1x 40 x 18x 77 0 ( x 11)( x 7) 0 x 11 of x 7 De snijpunten met de x-s zijn (7, 0) en (11, 0). f ( x) 0 x of x 1 f ( x) 8 x 4 of x 10 b. f (0) 1 f () 4,5 f ( 1) x 1 5 b. x

75 . -1q 96q 1 q( q 8) 0 q 0 of q 8 0 de grfiek is een bergprbool TO is positief voor 0 q b. TO()=180 en TO()=144 1, 5 (1, 5 1) 100% 5% 144 c. TW 18q 96q qmx dus de winst is mximl voor q. 6 De mximle winst TW 18 ( ) 96 ( ) TO= (65,5 ),5 65 pq p p p p 7. b. TW 65p,5 p (10(65,5 p) 40) 65 p,5 p p 40,5 p 90 p De mximle winst is euro. c. pmx 18 TWmx, De bl rkt de grond ls y 0 x( x 0) 0 x 0 of x 0 50 Wikke trpt de bl 0 meter ver x 50 De bl bereikt een mximle hoogte vn 4,5 meter mx 15 y (15) 0, 615 4,5 1 b. x = ( ) ( 4) mx 1 7