Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014
Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http: //blackboard.tudelft.nl Spreekuur : volgens afspraak 12 februari 2014 1
Stelsels lineaire vergelijkingen Definitie Als a 1, a 2, a n, b constanten zijn dan heet a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b (1) een lineaire vergelijking in de onbekenden x 1, x 2, x n. a 1, a 2, a n heten de coëfficiënten van de vergelijking en b de constante term of het rechterlid van de vergelijking. Een oplossing van (1) is een rijtje getallen (s 1, s 2,, s n ) met de eigenschap dat wanneer, voor x 1, x 2, x n in (1) s 1, s 2, s n, worden gesubstitueerd (1) een gelijkheid wordt. 12 februari 2014 2
Substitueren we dus x 1 = s 1, x 2 = s 2,, x n = s n in (1) dan vinden we de gelijkheid a 1 s 1 + a 2 s 2 + + a n s n = b. Definitie De oplossingsverzameling van een lineaire vergelijking is de verzameling van alle oplossingen van deze vergelijking. Dit wordt ook wel de algemene oplossing genoemd. 12 februari 2014 3
Definitie Een stelsel lineaire vergelijkingen is een eindig aantal lineaire vergelijkingen in dezelfde onbekenden. Definitie Een oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen is een oplossing van alle vergelijkingen uit het stelsel. Definitie De oplossingsverzameling van een stelsel lineaire vergelijkingen is de verzameling van alle oplossingen van dit stelsel. Dit wordt ook wel de algemene oplossing van dit stelsel lineaire vergelijkingen genoemd. 12 februari 2014 4
Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft (a.) een unieke oplossing of (b.) oneindig veel oplossingen of (c.) géén oplossingen. Definitie Een stelsel vergelijkingen met tenminste één oplossing heet consistent anders inconsistent. Definitie Twee stelsels lineaire vergelijkingen heten equivalent of gelijkwaardig als ze dezelfde oplossingsverzameling hebben. 12 februari 2014 5
Als we in een lineair stelsel vergelijkingen 1. twee vergelijkingen verwisselen, 2. een vergelijking met een constante ongelijk nul vermenigvuldigen, 3. een veelvoud van één vergelijking bij een andere optellen dan krijgen we een equivalent stelsel vergelijkingen. Deze operaties willen we natuurlijk zo inzetten dat we de oplossingsverzameling van ons oorspronkelijke stelsel vergelijkingen eenvoudig kunnen bepalen. 12 februari 2014 6
Bij elk stelsel lineaire vergelijkingen hoort een aangevulde matrix en omgekeerd. De aangevulde matrix bij a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m (2) is a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2.... a m1 a m2 a mn b m 12 februari 2014 7
Ook hoort bij een stelsel lineaire vergelijkingen een coëfficiëntenmatrix. De coëfficiëntenmatrix bij (2) is a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n.... a m1 a m2 a mn Notaties A voor de coëfficiëntenmatrix en [A b] voor de aangevulde of toegevoegde matrix bij (2). 12 februari 2014 8
De drie operaties die een stelsel lineaire vergelijkingen omzetten in een equivalent stelsel corresponderen met drie elementaire rijoperaties toegepast op de bijbehorende aangevulde matrix. Laat (S) een stelsel van m vergelijkingen zijn en 1 i, j m. We geven de i-de en j-de rij van de aangevulde matrix [A b] bij (S) aan met R i en R j. 12 februari 2014 9
1. Het verwisselen van de i-de en j-de vergelijking correspondeert met het verwisselen van R i en R j. 12 februari 2014 10
1. Het verwisselen van de i-de en j-de vergelijking correspondeert met het verwisselen van R i en R j. 2. Het vermenigvuldigen van de i-de vergelijking met een factor k 0 correspondeert met het vermenigvuldigen van R i met een factor k 0. 3. Het optellen van k maal de j-de vergelijking bij de i-de vergelijking correspondeert met het optellen van k maal R j bij R i. 12 februari 2014 10
Definitie Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte van het eerste niet nul element in de volgende rijen. Definitie Het eerste niet-nul van een rij heet het leidende element van die rij, pivot of hoofdelement. 12 februari 2014 11
Definitie Een matrix heeft een gereduceerde rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Het is in rij-echelon vorm. 2. Het leidende element in een rij is gelijk aan 1. 3. De kolom waarin een leidend element staat bevat verder alleen nullen. 12 februari 2014 12
Definitie Als A een matrix is met gereduceerde echelon vorm U dan is een pivotpositie van A een plaats waar U een pivot heeft staan. Een pivotkolom van A is een kolom waarin U een pivot heeft staan. Laat [A b] de aangevulde matrix is bij een consistent stelsel vergelijkingen (S) in de onbekenden x 1, x 2, x n. Als de i-de kolom van A een pivotkolom is dan heet x i een basisvariabele. De variabelen die geen basisvariabelen zijn heten vrije variabelen. Geven we de vrije variabelen een willekeurige (vrije) waarde dan liggen de basisvariabelen vast. 12 februari 2014 13
Stelling (Over existentie en éénduidigheid) Een stelsel lineaire vergelijkingen is consistent als de laatste kolom van de bijbehorende aangevulde matrix géén pivotkolom is. Als een stelsel lineaire vergelijkingen consistent is dan heeft dit (i) oneindige veel oplossingen als er vrije variabelen zijn, (ii) precies één oplossing als er geen vrije variabelen zijn. 12 februari 2014 14
Vectorvergelijkingen
Vectoren Definitie Een gericht lijnstuk heeft naast een grootte en een richting. Zo n lijnstuk heeft dus een beginpunt en een eindpunt. Het eindpunt wordt meestal van een pijltje voorzien om de richting aan te geven. Notaties AB, AB of AB 12 februari 2014 1
Definitie Twee gerichte lijnstukken zijn equivalent of gelijk als ze door een verplaatsing in elkaar zijn over te voeren. Kiezen we een oorsprong in het platte vlak of de ruimte dan wordt een gericht lijnstuk dat in de oorsprong begint ook wel vector genoemd. Elk gericht lijnstuk is dus equivalent met een vector. 12 februari 2014 2
Er geldt dus: CD = AB Notatie u of u of u 12 februari 2014 3
De nulvector De nulvector is de vector met lengte 0. Dit is de enige vector zonder richting. Notatie 0 De tegengestelde vector Als u een vector is en v is de vector die even lang is als u maar tegengesteld gericht dan heet v de tegengestelde van u. Notatie u 12 februari 2014 4
Vermenigvuldiging met een factor Als u een vector is en c een reëel getal en v is de vector die c maal zo lang is als u en dezelfde richting heeft als u als c > 0 en tegengesteld is aan u als c < 0 dan heet v de vermenigvuldiging van u met c. Notatie cu 12 februari 2014 5
De som van twee vectoren Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt: de parallellogramconstructie en de kop-aan-staartmethode Notatie u + v en u + ( v) wordt genoteerd als u v 12 februari 2014 6
De som van twee vectoren Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt: de parallellogramconstructie en de kop-aan-staartmethode Notatie u + v en u + ( v) wordt genoteerd als u v 12 februari 2014 6
De som van twee vectoren Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt: de parallellogramconstructie en de kop-aan-staartmethode Notatie u + v en u + ( v) wordt genoteerd als u v 12 februari 2014 6
De som van twee vectoren Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt: de parallellogramconstructie en de kop-aan-staartmethode Notatie u + v en u + ( v) wordt genoteerd als u v 12 februari 2014 6
De som van twee vectoren Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt: de parallellogramconstructie en de kop-aan-staartmethode Notatie u + v en u + ( v) wordt genoteerd als u v 12 februari 2014 6
De som van twee vectoren Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt: de parallellogramconstructie en de kop-aan-staartmethode Notatie u + v en u + ( v) wordt genoteerd als u v 12 februari 2014 6
De som van twee vectoren Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt: de parallellogramconstructie en de kop-aan-staartmethode Notatie u + v en u + ( v) wordt genoteerd als u v 12 februari 2014 6
Om het werken met vectoren te vergemakkelijken tekenen we een rechthoekig assenstelsel in het platte vlak (de ruimte) en noemen we de eenheidsvectoren (vectoren [ ] met lengte [ 1) in ] de 1 0 richting van de positieve assen, e 1 = en e 2 = 0 1 (e 1 = 1 0 0, e 2 = 0 1 0 en e 3 = 0 0 1 ). 12 februari 2014 7
12 februari 2014 8
] ] ] Als a = [ a1 a 2 en b = [ b1 b 2 dan a + b = [ a1 + b 1 a 2 + b 2 12 februari 2014 9
Ook geldt: als a = als a = a + b = [ a1 a 2 a 1 a 2 a 3 ] en c R dan ca =, b = a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 b 1 b 2 b 3 en ca = [ ca1 ca 2 en c R dan ca 1 ca 2 ca 3 ] en verder: 12 februari 2014 10
De vectorvergelijking Definitie De R n bestaat uit alle geordende n-tallen reële getallen. Notatie Als u R n dan u =. u 1 u 2 u n, u 1, u 2,, u n heten de kentallen of componenten van u. 12 februari 2014 11
Definitie Als u, v R n en u = u 1 u 2., v = v 1 v 2. dan wordt de som u n v n van u en v gedefinieerd door: u 1 + v 1 u 2 + v 2. u n + v n Notatie u + v 12 februari 2014 12
Definitie Als u = u 1 u 2. u n R n en c R is een scalar dan wordt de scalaire vermenigvuldiging van u met c gedefinieerd door: c u 1 c u 2.. c u n Notatie c u 12 februari 2014 13