TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie (3D030) op maandag 20 juni 2011, 14.00-17.00 uur. Opgave 1 Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend. (a) Beschouw een tweedimensionale stroming in het x, y-vlak met snelheidscomponenten u = x 2 y en v = xy 2. Kan de stroming met een stroomfunctie worden beschreven? (b) Is de stroming van (a) rotatievrij? (c) In de stationaire stroming van onderdeel (a) wordt in het punt (1,1) een klein tracerdeeltje losgelaten. Is het waar dat dit deeltje een versnelling ondervindt ter grootte a = (4, 2)? (d) Is het waar dat het Strouhal-getal de verhouding weergeeft van de instationaire versnellingsterm en de viskeuze term in de Navier-Stokes-vergelijking? (e) Kan men de wet van Bernoulli toepassen in een stationaire Couette-stroming? (f) Ter beschrijving van de vloeistofstroming door een wand van poreus materiaal met dikte d hanteert men de zgn. wet van Darcy : φ V = Ak p µd p, waarbij A een oppervlak, k p de permeabiliteit [m 2 ] van het materiaal, en µ de dynamische viscositeit van de vloeistof zijn. Deze uitdrukking geeft dus een lineair verband tussen de volumeflux φ V en de drukval p. Is het waar dat de grootheid Akp µd de stromingsweerstand voor de stroming door het poreuze materiaal weergeeft? (g) Een Poiseuille-buisstroming heeft het volgende snelheidsprofiel: v z (r) = 1 dp 4µ dz (R2 r 2 ) met dp dz de axiale drukgradiënt, r de straal, 2R de buisdiameter, µ de dynamische viscositeit, en v z (r) de snelheid in axiale richting. Is het waar dat de axiale schuifspanning τ rz (r) = 1 dp 2r2 dz? (h) Beschouw een laminaire stroming in een divergerend kanaal. De stroming wordt gekarakteriseerd door een groot Reynolds-getal Re >> 1, zodat zich aan de wanden dunne grenslagen voordoen. Is het waar dat het gevaar voor loslating van de grenslagen in dit geval groter is dan in een convergerend kanaal? 1
(i) Is het waar dat men in een Stokes-stroming de vergelijking van Bernoulli mag toepassen om een verband tussen snelheid V en druk p te bepalen? (j) Een bolletje (diameter 2 cm) oplosbaar materiaal (stof A) wordt geplaatst in een waterachtige omgevingsvloeistof (stof B). De diffusiecoëfficiënt van stof A is D A = 10 8 m 2 /s. Een microprobe geplaatst op een afstand d = 2 mm van het oppervlak van het bolletje meet het concentratieverloop C A (t) van stof A. Is het waar dat de probe al na ongeveer τ = 25 s iets van de concentratieverhoging meet? 2
Opgave 2 Uit een kraan (diameter 2R 1 ) stroomt water laminair in een dunne straal vertikaal naar beneden. Als gevolg van de zwaartekracht neemt de snelheid van het vallende water toe en contraheert de straal geleidelijk: de diameter is D(z) = 2R(z), waarbij z de verticale coördinaat is. De stroming in de straal is aangepast, d.w.z. de druk is gelijk aan de omgevingsdruk p a, terwijl de snelheid V (z) uniform is over de doorsnede. De luchtwrijving mag worden verwaarloosd, evenals de viscositeit van het water. (1 pnt) (1 pnt) (1 pnt) (a) Leid een uitdrukking af voor de snelheid V (z). (b) Leid een uitdrukking af voor D(z). (c) Bij een voldoende kleine diameter D 2 = 10 3 m vertoont de dunne waterstraal een instabiliteit, welke samenhangt met oppervlaktespanning: de straal breekt dan op in druppels, zie schets. Als gegeven is dat de kraandiameter D 1 = 5 10 3 m en V 1 = 10 cm/sec, bepaal dan de snelheid V 2 en de straallengte L waarbij de instabiliteit gaat optreden. Bij de volgende onderdelen gaan we ervan uit dat er geen druppelvorming optreedt: de straal heeft een uniforme snelheid V (z) bij een diameter D(z). We brengen nu een horizontale plaat onder de waterstraal aan: het water stroomt horizontaal in radiale richting in een dunne laag over de plaat weg. De snelheid waarmee het water bij de plaat arriveert is V. De druk is in goede benadering overal gelijk aan de omgevingsdruk p a. 3
(1 pnt) (d) Bereken de kracht F die men moet leveren om de plaat op haar plaats te houden. [Hierbij kunnen we het gewicht van de radiaal-wegstromende vloeistof in de laag boven de plaat verwaarlozen]. 4
We vervangen de plaat nu door een ombuiger, waardoor de cilindrische waterstraal wordt omgebogen: het water stroomt weg met uniforme snelheid V in de vorm van een cilindrische straal (doorsnede-oppervlak A) welke een hoek α maakt t.o.v. de horizontale x-as. Het water in de intredende straal (eveneens doorsnede-oppervlak A) stroomt met een uniforme snelheid V. De in- en uittredende stralen zijn aangepast, d.w.z. de druk in de stralen is gelijk aan de atmosferische omgevingsdruk p a. (3 pnt) (e) Leid een uitdrukking af voor de kracht F = (F x,f z ) die men moet leveren om de ombuiger op z n plaats te houden. We halen nu de ombuiger weg, en laten de waterstraal in een ruime bak (gootsteen) lopen. Het water stroomt radiaal weg met een snelheid v r (r) in een laagje met uniforme dikte h. Op een straal r = R c doet zich een zgn. watersprong voor: de laagdikte verspringt naar de grotere waarde H, terwijl vlak achter de (turbulente) sprong de radiale snelheid beduidend kleiner is dan v r (r < R c ). 5
(1 pnt) (1 pnt) (1 pnt) (f) Bepaal (met behulp van massabehoud) de radiale snelheid v r (r) voor r < R c. (g) Het Froude-getal Fr = v r / gh kan men interpreteren als de verhouding van de locale stroomsnelheid v r en de snelheid c = gh waarmee golven (verstoringen) zich voortplanten in een waterlaag met dikte h. Gegeven zijn de volgende numerieke waarden: h = 1 mm g = 10 m/sec 2 D = 1 cm V = 2 m/sec. Laat zien dat op r = 10 cm de stroming super-kritisch is, d.w.z. Fr(r = 10 cm) > 1. (h) Ter plaatse van de watersprong (op r = R c ) is de stroming kritisch, d.w.z. Fr(r = R c ) = 1. Bepaal de positie r = R c van de watersprong. 6
Opgave 3 We beschouwen twee compartimenten (1 en 2, respectievelijke volumes V 1 en V 2 ) die worden gescheiden door een semi-permeabel membraan. In compartiment 1 bevindt zich initieel een concentratie c 0 1 van een stofje, zeg X, volledig gemengd in water. In 2 bevindt zich initieel alleen water. Ook zit X op t = 0 nog niet in het membraan. Beide compartimenten worden actief gemengd zodat de concentratieverdeling in zowel 1 als 2 uniform is. Het membraan wordt gekarakteriseerd door 1 2 x=0 x=h x een diffusieconstante D en heeft een uniforme dikte H. De concentratiesprong over het membraan kan worden beschreven met een constante partitiecoefficient k waarbij k gelijk is aan de ratio van de concentratie X in het memraan en de concentratie X net buiten het membraan voor thermodynamisch evenwicht. Vooralsnog gaan we er van uit dat de concentraties in 1 en 2 niet veranderen in de tijd en dat de volumes van de afzonderlijke compartimenten oneindig groot zijn. (2 pnt) (2 pnt) (2 pnt) (1 pnt) (3 pnt) (a) We mogen het probleem beschouwen als een 1-dimensionaal probleem. Stel de vergelijking op die het transport van X door het membraan beschrijft en geef een schatting van de tijd die het minimaal duurt voordat het concentratie profiel stationair is. (b) We gaan er van uit dat er voldoende tijd is verstreken om een stationair concentratie profiel te verkrijgen in het membraan. Reduceer de 1-dimensionale vergelijking en geef de twee randvoorwaarden die nodig zijn om deze op te lossen in het membraan. (c) Uiteraard is er dan deze vraag om hem op te lossen. (d) Bereken de concentratieflux in het membraan. (e) We gaan er nu van uit dat de volumes V 1 en V 2 eindig zijn en gelijk aan elkaar (V 1 = V 2 = V ). Het oppervlak van het membraan is nu gelijk aan A en de concentratie in 1 en 2 zal dus veranderen in de tijd. We gaan er van uit dat het gedrag in het membraan quasi-stationair is d.w.z. dat concentratieveranderingen in het membraan alleen worden veroorzaakt door veranderingen in 1 en 2. Wanneer het volume van het membraan verwaarloosd wordt geldt c 1 (t) + c 2 (t) = c 0 1. Stel de behoudswet op die de verandering in de tijd van de hoeveelheid X in V 1 relateerd aan de uitstroom uit 1 en laat zien dat voor c 1 (t) geldt c 1 (t) = c0 ( 1 1 + e 2DAk HV t) 2 7
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Uitwerkingen tentamen Stroming & Diffusie (3D030) van 20 juni 2011. Opgave 1 (a) Ja, immers elke 2D-stroming waarvoor v = 0 kan met een stroomfunctie beschreven worden. Aangezien u v x = 2xy en y = 2xy is v = 0. (b) Nee, want ω = v x u y = y2 x 2 0 in het hele stromingsveld. (c) Nee. De versnelling van een deeltje wordt gegeven door de materiële afgeleide van de snelheid v: Dv Dt = v + (v )v. t Voor de x- en y-componenten vindt men voor elk willekeurig tijdstip t: Du Dt = u t + u u x + v u y = 0 + 2x3 y 2 x 2 y 3 Dv Dt = v t + u v x + v v y = 0 x2 y 3 + 2x 3 y 2, dus in het punt (1,1) is de versnelling a = (1,1). (d) Nee. Het Strouhal-getal beschrijft de verhouding tussen instationaire en convectieve versnellingstermen in de Navier-Stokes-vergelijking. (e) Nee. Een Couette-stroming is volledig gedomineerd door viskeuze krachten. De vergelijking van Bernoulli geldt niet in een viskeuze stroming. (f) Nee. In analogie met de wet van Ohm V = IR beschrijft in de wet van Darcy p = µd Ak p φ v niet de grootheid (µd/ak p ) 1 maar (µd/ak p ) de stromingsweerstand. (g) Nee. De schuifspanningscomponent τ rz (zie formuleblad) is [ vr τ rz (r) = µ z + v ] z = 1 r 2 rdp dz. (h) Ja. In een divergerend kanaal neemt de snelheid in stromingsrichting af (volgt dv direct uit massabehoud): dx < 0. Volgens Bernoulli is dan in de hoofdstroming dp dx > 0, d.w.z. de druk neemt in stromingsrichting toe. Derhalve kunnen de grenslagen mogelijk loslaten. (i) Nee. De vergelijking van Bernoulli mag alleen worden toegepast in een nietviskeuze stroming. Een Stokes-stroming is juist viskeus-gedomineerd. (j) Ja. De diffusie-indringdiepte wordt in goede benadering gegeven door δ(t) = 4 D A t. De micro-probe neemt op t = τ een concentratie-verandering waar, met andere woorden δ(τ) = 4 D A τ = d, 8
dus τ = d2 = 4 10 6 = 25s. 16D A 16 10 8 9
Opgave 2 (a) In de waterstraal mag de vergelijking van Bernoulli worden toegepast: p + 1 2 ρv 2 + ρgz = constant = p 1 + 1 2 ρv 1 2 + ρgz 1. Met p = p 1 = p a en z 1 = 0 vinden we dan: V (z) = (V1 2 2gz) 1/2. (1) NB: in de straal is z < 0. (b) Uit massabehoud volgt: Q V1 = Q V2 = Q V A 1 V 1 = A 2 V 2 = AV, (2) waarbij A 1 = π 4 D2 1,A 2 = π 4 D2 2 en A = π 4 D2. Dus: ( ) 1/2 V1 D(z) = D 1, V (z) met V (z) zoals bij (a) bepaald. (c) Uit het vorige blijkt: ( ) 2 V 1 D1 2 = V 2D2 2 D1 V 2 = V 1 = 25V 1 = 2.5 m/sec. D 2 en met (1) volgt dan V 2 = V (z = L) = (V1 2 + 2gL)1/2 L = V 2 2 V 1 2 2g = 624V 1 2 2g = 31 10 2 m = 31 cm. (d) Voor deze stationaire stroming neemt de integrale impulsbalans de volgende gereduceerde vorm aan: ρv(v n)ds = pnds + F. S S We leggen een cilindrisch contrôle-volume aan dat de plaat volledig omsluit: De druk is overal gelijk aan p a, zodat er geen netto druk-bijdrage is. De axiale component van de impulsbalans wordt dan: ρv 2 π 4 D2 = F z, waarbij F z de kracht is die de plaat op de vloeistof uitoefent. (e) Voor deze stationaire stroming schrijven we de x- en z-componenten van de integrale impulsbalans als: x : ρu(v n)ds = pn x ds + F x z : S S ρw(v n)ds = 10 S S pn z ds + F z
We leggen een rechthoekige contour C (oppervlak S) aan zoals in de figuur geschetst. Bij de intredende (1) en uittredende (2) straal is: n 1 = (0,1),v 1 = (0,V ) (v 1 n 1 ) = V n 2 = (1,0),v 2 = (V cos α,v sin α) (v 2 n 2 ) = V cos α. NB De uittredende straal (2) doorsnijdt het contrôle oppervlak in een oppervlak ter grootte A/cos α. Aangezien de stralen aangepast zijn, is de druk overal langs de contour gelijk aan p a. Derhalve is de drukbijdrage in de impulsbalans gelijk aan nul. De x-component wordt dan: 0 + ρv cos α V cos α ds = F x, en met S 2 S 2 ds = A/cos α vinden we F x = ρv 2 Acos α. De z component van de impulsbalans wordt: ρ V V ds + ρv sin α V cos αds = F z S 1 en met S 2 S 2 ds = A/cos α krijgen we ρv 2 A + ρv 2 Asin α = F z. Met de massaflux φ m ρv A in de straal kunnen we de krachtcomponenten schrijven als F x = φ m V cos α F z = φ m V (1 + sin α). (f) Massabehoud (toegepast over een cilindrisch volume met straal r en hoogte > h) levert: π 4 D2 V = 2πrhv r (r) v r (r) = D2 V 8h r. 11
(g) De stroomsnelheid op r = 10 cm is: v r (r = 10 cm) = (10 2 ) 2 2 8 10 3 = 0.25 m/sec, 10 1 terwijl de golfsnelheid gelijk is aan: c = gh = (10 10 3 ) 1/2 = 0.1 m/sec. Het Froude-getal heeft op die radiale positie dus de waarde F r (r = 10 cm) = 0.25 0.1 = 2.5 > 1. (h) De conditie F r (r = R c ) = v r (r = R c )/ gh = 1 impliceert: R c = D2 V 8h gh. Na invullen van de numerieke waarden vinden we: R c = 0.25 m. Doe dit experiment eens thuis in de keuken! 12
Opgave 3 (a) De concentratie (c) van stofje X in het membraan wordt beschreven door de diffusievergelijking c t = D 2 c. Wanneer er geen concentratiegradienten in de y en z richting zijn, geldt c t = D 2 c x 2. Orde grootte afschatting van deze 1-dimensionale diffusievergelijking levert O ( ) c = c0 1 t τ en O ( ) D 2 c x 2 = Dc0 1 H 2, met c 0 1 een karakteristieke concetratiewaarde. Dus een eerste schatting voor de benodigde tijd is τ H2 D. (b) Wanneer een stationair concetratieprofiel bereikt is, geldt c t = 0 en dus d 2 c dx 2 = 0 Om dit op te lossen binnen het membraan zijn de volgende randvoorwaarden nodig c(x = 0) = kc 1 c(x = H) = kc 2 Er is gegeven dat zowel c 1 als c 2 (nog) niet in de tijd veranderen dus de gevraagde randvoorwaarden zijn c(x = 0) = kc 0 1 c(x = H) = kc 0 2 = 0 (c) Twee maal integreren van d 2 c dx 2 = 0 naar x levert c(x) = Ex + F waarbij E en F gevonden worden m.b.v. de randvoorwaarden. Er volgt nu F = kc 0 1 en E = kc0 1 H En dus c(x) = kc 0 1 ( 1 x ) H 13
(d) De 1-dimensionale diffusieflux in het membraan wordt gegeven door J = D dc dx Dus J = D dc dx = DE = Dkc0 1 H (e) De behoudswet voor c 1 (t) kan worden opgesteld door, in woorden: verandering van de totale hoeveelheid X in V 1 = - uitstroom door diffusie door het membraan. Of korter, V 1 dc 1 dt = AJ met J de nog onbekende 1-dimensionale diffusieflux door het membraan. Er is gegeven dat we het probleem door het membraan als quasii-statisch mogen beschouwen. De benodigde randvoowraarden zijn nu c(x = 0) = kc 1 (t) c(x = H) = kc 2 (t) Oplossen van d 2 c dx 2 = 0 naar x in het membraan geeft c(x) = Ex + F met F = kc 1 (t) en E = k H (c 2(t) c 1 (t)) Voor de flux in het membraan geldt J = D dc = DE = Dk dx H (c 2(t) c 1 (t)) en omdat c 2 (t) = c 0 1 c 1(t) J = Dk H (c0 1 2c 1 (t)) Herschrijven en substitueren in de gevonden behoudswet levert de differentiaalvergelijking die het gedrag van c 1 (t) beschrijft dc 1 dt + 2DAk HV c 1 = DAk HV c0 1 die met de beginvoorwaarde c 1 (t = 0) = c 0 1 het gevraagde atwoord oplevert 14