Samevattig Fouriertheorie e distributies De exacte beaderig Ileidig 2 De warmtevergelijkig Ja Wiegerick Korteweg - de Vries Istituut voor Wiskude Uiversiteit va Amsterdam 27 september 22 3 Oplossig door Fourier 4 Kritiek op Fourier 5 Moder Stadput 6 Distributies 27 september 22 / 3 27 september 22 2 / 3 Fourier e Schwartz De warmtevergelijkig T t = C ( 2 T x 2 + 2 T x 2 2 ) + + 2 T x 2 x = (x, x ) Ω R, de plaats t t, de tijd T (x, t), de temperatuur ter plaatste x op tijdstip t C ee materiaalcostate Figuur: Jea Baptiste Joseph Fourier e Lauret Schwartz 27 september 22 3 / 3 27 september 22 4 / 3
afleidig -dimesie De totale hoeveelheid warmte te tijde t tusse x e x 2 is x2 x T (x, t) dx d x2 T (x, t) dx = ϕ(x 2, t) ϕ(x, t) dt x ϕ(x, t) is de selheid waarmee de warmte stroomt of warmteflux te x op tijdstip t Veroderstellig over de ϕ T (x + h, t) T (x, t) T (x, t) ϕ(x, t) = lim C = C h h x afleidig-2 d x2 ( T (x, t) T (x, t) dx = C (x 2, t) dt x x ) T (x, t) (x, t) x Gebruik f (b) f (a) = b a f (t) dt x2 d x2 ( ) d T (x, t) x2 2 T (x, t) T (x, t) dx = C dx = C x dt x dx x x x 2 dx Dit zal gelde voor ieder iterval (x, x 2 ), dus T (x, t) t ( 2 ) T (x, t) = C x 2 We eme vaaf u C = 27 september 22 5 / 3 27 september 22 6 / 3 Asatz Fourierreekse Stel het probleem goed: Medium: -dimesioale staaf (= R) Begiwaarde T (x, t ) ee periodieke fuctie Probeer f (x) = a m si mx Gok T (x, t) = a(t) si mx a (t) = m 2 a(t) Oplossig: a(t) = a m e m2 (t t ) f (x) = a si x + b cos x Oplossig: T (x, t) = a e 2t si x + b e 2t cos x f (x) = a si x + b cos x Oplossig: T (x, t) = a e 2t si x + b e 2t cos x Compoete met groot verdwije sel; T wordt sel costat 27 september 22 7 / 3 27 september 22 8 / 3
Fourier s Stellig Argumete vóór, Fourier coëfficiëte Stellig Iedere fuctie f met periode ka geschreve worde als f (x) = a si x + b cos x = lim M a si x + b cos x MAW f ka door trigoometrische polyome goed beaderd worde Dat beteket dat de warmtevergelijkig voor iedere periodieke begitemperatuur ka worde opgelost! cos x cos mx dx = cos x si mx dx =, cos x cos x dx =, m si x si mx dx =, m si x si x dx = π, Als je weet: f (x) va de vorm a si x + b cos x da a = π f (x) si x dx, b = π f (x) cos x dx 27 september 22 9 / 3 27 september 22 / 3 Fouriertheorie over C Fourier s Stellig complexe settig e imx = cos mx + i si mx cos mx = eimx + e imx 2 e imx = cos mx i si mx si mx = eimx e imx 2i Stellig (complexe Fourier) Zij f ee periodieke fuctie met periode. Da geldt f (x) = a si x + b cos x = (b ia ) als > 2 c [f ] = b als = (b + ia ) 2 als < = M c [f ]e ix, met = f (x)e ix dx f (x) = lim N c e ix, c = c [f ] = f (x)e ix dx, met Z 27 september 22 / 3 27 september 22 2 / 3
Voorbeeld Kritiek va tijdgeote Voorbeeld (Zaagtad) f (x) = x op (, π), f (π) = e periodiek met periode. c [f ] = xe ix dx = (x e ix i = ( ) i, c [f ] = f (x) = ( ) + ( ) i e ix = 2 π e ix ) i dx si x ( ) = Ee iet cotiue zaagtad ka toch ooit limiet va S N zij! 2 Waarom zou je de c kue uitrekee! 3 Als je c al ka uitrekee, waarom zou c e ix covergere? 27 september 22 3 / 3 27 september 22 4 / 3 eerste atwoorde Dirichlet Dat hagt erva af wat je met covergetie bedoelt 2 Helaas, uitrekee ka iet voor alle fucties 3 Als je c al ka uitrekee, is covergetie iet gegaradeerd Figuur: Joha Peter Gustav Lejeue Dirichlet 27 september 22 5 / 3 27 september 22 6 / 3
Dirichlet s Stellig Dirichlet Ker Stellig (Dirichlet) f periodiek, begresd e stuksgewijs mootoo, da Lemma e iα = si(n + /2)α. si(α/2) f (x) = lim N S N[f ] = lim N c [f ]e ix S N [f ] = si(n + /2)s f (x s) ds si(s/2) De Dirichlet ker is de fuctie si(n+/2)s si(s/2) Bewijs. Likerlid is meetkudige reeks met rede e iα ; e iα = (e iα ) e iα = e inα ei(2n+)α e iα = ei(n+/2)α e i(n+/2) e iα/2 e iα/2 = si(n + )α/2 si(α/2) 27 september 22 7 / 3 27 september 22 8 / 3 formule voor S N [f ] Lieaire algebra Bewijs va Dirichlet s formule. c [f ]e ix = = = = ( π ) f (t)e it dt e ix ( N f (t) f (t) e i(x t) ) dt si((n + /2)(x t)) dt si((x t)/2) si((n + /2)s) ds si(s/2) f (x s) V N = {f : f (t) = 2N + -dimesioale vectorruimte over C Orthogoale basis voor V N < f, g >= c [f ]e it, c C} B N = {e it : N N} met c [f ]c [g] = f (t)g(t) dt Afstad f tot g : d(f, g) = (< f g, f g >) /2 27 september 22 9 / 3 27 september 22 2 / 3
Oeidig veel dimesies L 2 -theorie V = {f : f cotiu, f (t) = -dimesioale vectorruimte over C Orthogoale basis voor V met < f, g >= B = {e it : Z} c [f ]e it, c C} c [f ]c [g] = f (t)g(t) dt Afstad f tot g : d(f, g) = (< f g, f g >) /2 Stellig ( Fourier L 2 ) Zij f ee periodieke fuctie met periode e Da geldt I de zi dat f (t) 2 dt <, i.e f L 2 [, π] f (x) = lim N S N[f ] = lim N c [f ]e ix d(f, S N [f ]) 2 = f (t) S N [f ](t) 2 dt 27 september 22 2 / 3 27 september 22 22 / 3 Distributies, gegeeraliseerde fucties Differetiëre Voor ee goiometrisch polyoom f f (x) = c e ix vide we: f (j) (x) = (i) j c e ix Nu f oeidig vaak differetieerbaar f (x) = c e ix e: f (j) (x) = (i) j c [f ]e ix = c [f (j) ]e ix Figuur: Lauret Schwartz (Bija) iedere fuctie ka oeidig vaak gedifferetieerd worde Opgevat als gegeeraliseerde fuctie 27 september 22 23 / 3 Lemma Als f periodiek e oeidig vaak differetieerbaar da c [f ] = c [f (j) ]/(i) j dus j C > Z geldt c [f ] C( + ) j 27 september 22 24 / 3
oeidig vaak differetiëre De zaagtad Ook voor f L 2 [, π] kue we dit formeel doe f (x) = c e ix e f (j) (x) = (i) j c [f ]e ix = c [f (j) ]e ix Op (, π) is de zaagtad x = f (x) = ) + ( = f (x) = = f (j) (x) = ( ( ( ) i e ix = 2 si x ( ) = ) + ( ) + e ix ) + ( ) + (i) j e ix Ozi?? 27 september 22 25 / 3 27 september 22 26 / 3 fuctie=operator x R e y R : < y, x >= = x = T x (y) =< y, x > T x e x zij i -correspodetie f L 2 [, π] e g L 2 [, π] : < g, f >= = f = T f : L 2 [, π] C, T f (g) =< g, f > Ee lieaire operator; f f 2 da T f T f2 We teste f tege g Distributies Combieer < f, g >= c [f ]c [g] f oeidig vaak differetieerbaar, da j C > zodat c [f ] < C( + ) j voor f, g periodiek e differetieerbaar f (t)g(t) dt = ic [f ]c [g] = c [f ]ic [g] = f (t)g (t) dt < g, f > def = c [g]c [f ], g oeidig vaak differetieerbaar heeft betekeis als C, k met c [f ] < C k Als formeel f = h < g, f >=< g, h >= < g, h > ofwel T f [g] = T h (g) = T f (g ) We kue iedere fuctie i L 2 [, π] oeidig vaak differetiëre! 27 september 22 27 / 3 27 september 22 28 / 3
De zaagtad 2 Voor de zaagtad f moete we meeeme dat er iets gebeurt i π + 2k π. Neem g differetieerbaar. < g, f > = < g, f >= g (t)f (t)dt = g (t)t dt g (t)(t ) dt π ( = π ) g(t)t g(t)(t ) + g(t) dt = g(π) + g(t) dt π T f (g) = g(π) + g(t) dt f = + δ π δ π is de (periodieke) Dirac distributie: de operator g g(π) δ π = f = ( ) + e ix 27 september 22 29 / 3 27 september 22 3 / 3