Lineaire algebra-b (2008)

Transcriptie

1 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 Lieaire algebra-b 508 (008) Samevattig Dit is mij samevattig/hadleidig bij het vak lieaire algebra-b. Dit vak wordt gegeve uit stewart H7 e appedix H e Lay H5 e H6. Hoop dat dit uttig is, e als dat zo is check da ook de samevattig va Calculus-C uit.

2 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 Appedix H: Complex umbers (Stewart 6th editio) + Fourier ad Laplace trasforms H... 3 H7 Secod order differetial equatios (Stewart 6 th editio) Secod-order liear equatios... 6 D.V. oplosse met behulp va begiwaarde (iitial value problem)... 7 D.V. oplosse met behulp va radvoorwaarde (boudary value problem) Nohomogeeous liear equatios... 7 Methode : Obepepaalde coëfficiëte... 8 Methode : Variatie va parameters... 9 H5 Eigevalues ad Eigevectors (Lay 3 th editio) Eigevectors ad Eigevalues... 0 Eigevectore e Differece equatios De karakteristieke vergelijkig... 0 De karakteristieke vergelijkig... Gelijkheid (Similarity)... Applicatie voor dyamische systeme Diagoaliserig Complexe eigewaarde... 3 Eigewaarde e eigevectore voor ee reële matrix welke igrijpt op C Oplosse va stelsels va differetiaal vergelijkige... 4 Otkoppele va ee dyamisch systeem... 5 Complexe eigewaarde... 5 H6 Orthogoality ad Least Squares I-product, legte e orthogoaliteit... 5 Orthogoale complemet... 6 Hoeke i de R e R Orthogoale sets... 6 Orthogoale projecties Orthogoale projecties... 8 Ee geometrische itepretatie va de orthogoale projectie Het Gram-Schmidt proces Kleiste kwadrate methode... 9 Oplosse va het kleiste kwadrate probleem... 0

3 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 3 Appedix H: Complex umbers (Stewart 6th editio) + Fourier ad Laplace trasforms H Rekeregels voor i: () i = () = i (3) 0i = 0 i (4) = i i i = = = i i i i ABC-formule met egatieve determiat M.b.v. complexe getalle ka de abc-formule ook worde toegepast als de determiat egatief is, bijv: x dus: 4x + 5 = 0 -(-4) ± (-4) ± 4 = hieruit volgt: ( )( ) ( x ( + i) x ( i) = x i x + i = x x x 4 i i ix Ee complex getal z bestaat uit ee z = a + ib 4 ± i 4 = = ± i )( ) ix = x x reëel e ee imagiair deel oftewel: z C, a, b R Als: z = 5 + ( ) i da: Re( z) = 5 e Im( z) = De complex gecojugeerde va z e het argumet va z. z = a + ib z = a ib zz = z = a + b φ = arg( z) = arg( z)

4 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 4 Uiteraard is het argumet iet uiek aagezie ( ) arg zw = arg( z) + arg( w) z arg = arg( z) arg( w) w arg( z ) = arg( z) De reke regels voor argumete zij dus hetzelfde als die voor logaritme. z = z e iφ iφ iφ arg( e ) = φ e e = e iφ z geschreve i expoetiele vorm, merk hierbij op dat: ligt dus op de eeheidscirkel Re z z + z e Im z z z = = i iφ iφ e = e k k k iφ ikφ iφ ( iφ ) e = e e = e ( ) Polaire vorm z = r(cosθ + i si θ ) waari: r = z = a + b dit wordt ook wel w de modulus of absolute waarde va z geoemd e θ = arg( z) = arcta( b / a) ( a 0) φ kπ + ook ee argumet is va z. Als z = r (cosθ + i si θ ) e z = r (cosθ + i si θ ) da: ( ) si ( zz = r r cos θ + θ + i θ + θ z r = cos( θ θ ) + i si ( θ z r θ ) z = r (cos θ + i si θ ) De wortel va ee complex getal z ) z e: 0 e:

5 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 5 Als z = w da w = s(cosφ + i si φ) e z = r(cosθ + i si θ ) da: / s = r oftewel: s = r w = s (cos φ + i si φ ) = r(cosθ + i si θ ) cos φ = cosθ oftewel: φ = θ + kπ si φ = siθ / Uiteidelijk volgt hieruit dat z, verschillede wortels heeft, gegeve door: θ + kπ θ + kπ = cos + si = 0,,,..., / wk r i k Euler s formule: ix e = cos x + isi x

6 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 6 H7 Secod order differetial equatios (Stewart 6 th editio) 7. Secod-order liear equatios Ee tweede orde lieaire differetiaal vergelijkig heeft de volgede vorm: Zo' differetiaalvergelijkig heet homogee () als g( x) = 0 voor alle x, aders heet deze ihomogee (). d y dy p( x) + p( x) + r( x) y = g( x) () dx dx De oderstaade homogee d.v. wordt ook wel de complemetaire fuctie geoemd va de iet homogee differetiaalvergelijkig () d y dy p( x) + p( x) + r( x) y = 0 () dx dx Stellig 3: Als y ( x) e y ( x) beide oplossige zij voor de homogee d.v. () e c e c zij willekeurig gekoze costate, da is elke lieaire combiatie va y e y ook ee oplossig, oftewel: Stellig 4: y( x) = y ( x) c + y ( x) c Als y ( x) e y ( x) beide lieair oafhakelijke oplossige zij voor de homogee d.v. () e p(x) is ooit ul, e c e c zij willekeurige costate, da wordt de algemee oplossig gegeve door: y( x) = y ( x) c + y ( x) c Normaal gesproke is het lastig om ee algemee oplossig te vide voor ee d.v. Maar dit is altijd mogelijk waeer de coefficiet fucties, p(x), q(x) e r(x) costate zij. I dit geval ka de d.v. og eevoudiger worde geschreve als: ay + by + y = 0 met a 0 Door te veradere va otatie ka deze differetiaalvergelijkig worde herschreve d dy d s = = ( iω), dus = y = sy dt dt dt as y + bsy + y = 0 ( as + bs + ) y = 0 met a 0 karakteristieke polyoom De karakteristieke vergelijkig wordt vervolges gegeve door: as bs a + + = 0 met 0 De waarde va s waarvoor de karakteristieke polyoom ul is wordt i de regeltechiek de pole geoemd. Vervolges zij er drie verschillede gevalle te oderscheide amelijk:

7 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 7 Case I : b - 4ac > 0 I dit geval zulle de pole: s e s reeel e verschilled, de algemee oplossig wordt da gegeve door: y = c e + c e sx sx Case II : b - 4ac = 0 I dit geval zij s e s reeel e gelijk, de algemee oplossig wordt da gegeve door: y = c e + c xe sx I dit geval zij s e s elkaars complexe gecojugeerde: s = α + iβ, s = α iβ de algemee oplossig wordt da gegeve door: α x y = e c cos β x + c si β x sx Case III : b - 4ac < 0 ( ) D.V. oplosse met behulp va begiwaarde (iitial value problem) Als je ee algemee oplossig hebt is meestal de volgede stap om ee uiteidelijke oplossig te vide voor (y) aa de had va ee aatal gegeve begiwaarde zoals: y 0 e c 0 zij hier gegeve (costate). y( x ) = y y ( x ) = c D.V. oplosse met behulp va radvoorwaarde (boudary value problem) I dit geval moet er ee oplossig voor (y) worde gevode waarbij ee aatal radvoorwaarde worde gesteld i de vorm: y( x ) = y y( x ) = y Nohomogeeous liear equatios I de vorige paragraaf hadde we te make met homogee d.v.. De algemee oplossig is da gelijk aa de homogee oplossig. Is het vide va de homogee oplossig slechts de eerste stap i het vide va de algemee oplossig. Hieroder is u ee overzicht va de diverse stappe die moete worde oderome voor het oplosse va ee iet-homogee lieaire e orde differetiaal vergelijkig.. Bepaal de homogee oplossig va de dv-vergelijkig. Vul de begivoorwaarde i 3. Bepaal obekede costate m.b.v.. 4. Bepaal de particuliere oplossig va de dv-vergelijkig. algemee oplossig = particuliere oplossig + homogee oplossig y( x) = y ( x) + y ( x) p h De particuliere oplossig ka worde gevode doormiddel va twee methode amelijk:. Methode : obepaalde coëfficiëte (method of udetermied coefficiets) a. Deze methode is relatief simpel maar werkt allee op voor ee beperkt aatal fucties g(x).. Methode : Variatie va costate (method of variatio of parameters) a. Deze methode is lastiger echter deze werkt voor elke fuctie g(x)

8 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 8 Methode : Obepepaalde coëfficiëte We hebbe ee d.v. i de volgede vorm: ay + by + y = g( x) met a 0 De methode va de obepaalde coëfficiete ka u worde gebruikt waeer g(x) ee fuctie is va éé va de volgede fucties. g( x ) probeerfuctie voor particuliere oplossig y ( x ) g( x) = a x + a x a x + a 0 y e p ( x) = is ook ee polyomiaal va de graad, met obekede coefficiete: = c x + c x c x + c kx 0 kx g( x) = Ce y ( x) = Ae met A = obeked p C si kx g( x) = y p ( x) = Acos kx + Bsi kx met A e B als obekede C cos kx p Waeer g(x) ee product is va twee (of meer) va de hierbove geoemde geoemde fucties da eme we als probeerfuctie voor y p ( x) ook ee product va de dezelfde fucties. Bijvoorbeeld: y + y + 4y = x cos 3x da wordt de probeerfuctie: p ( ) ( )( ) y ( x) = Ax + B cos 3x + Cx + D si 3x met: A, B, C e D als obekede Als g(x) ee som va twee of meer va bovestaade fucties, da kue moge de particuliere oplossige voor elke fuctie apart worde opgelost e aa het eid bij elkaar worde opgeteld Oftewel: Oftewel, waeer y e y de particuliere oplossige zij voor respectievelijk: p p p p ay + by + cy = g ( x) e ay + by + cy = g ( x) da is y ( x) + y ( x) ee particuliere oplossig voor: ay + by + cy = g ( x) + g ( x) LET OP!: Soms komt het voor dat aagerade probeerfuctie y p ee oplossig is voor de homogee differetiaalvergelijkig e hierdoor dus gee oplossig voor de iet-homogee d.v. vergelijkig ka zij. I dit geval moet de probeerfuctie worde vermeigvuldigd met x (of x idie odig) zodat gee ekele term i ( ) p y x de oplossig vormt voor de homogee d.v. (zie som 0)

9 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 9 Methode : Variatie va parameters (gee tetamesstof) De eerste stap is wederom het oplosse va de homogee d.v. vergelijkig (de complemetaire oplossig) Stel dat hier uitkomt: y( x) = c y ( x) + c y ( x) (4) Waarbij y (x) e y (x) twee lieair oafhakelijke oplossige zij. De costate c e c worde u vervage door twee willekeurige fucties u (x) e u (x). We zij u op zoek aar ee particuliere oplossig voor de iet-homogee d.v. ay + by + cy = g( x) i de vorm: y ( p x ) = u ( ) ( ) ( ) ( ) (5) x y x + u x y x Deze methode heet dus variatie va parameters omdat de costate c e c worde gevarieerd door er fucties va te make. Differetiëre va y p (x) levert: y ( p x ) = u ( ) ( ) ( ) ( ) x y x + u x y x + u( x) y ( x) + u( x) y ( x) (6) Aagezie u (x) e u (x) twee willekeurig gekoze fucties zij kue we twee codities oplegge Uiteraard is de eerste coditie dat y p (x) ee oplossig is voor de differetiaal vergelijkig; de tweede coditie wordt zodaig gekoze dat deze oplossig makkelijker wordt om te berekee door te stelle dat: Da y ( x) p u ( x) y ( x) + u ( x) y ( x) = 0 (7) og ee keer differetiëre levert: Substituere i de differetiaalvergelijkig levert: Of: y = u y + u y + u y + u y p [ ] [ ] [ ] a u y + u y + u y + u y + b u y + u y + c u y + u y = g( x) [ ] [ ] [ ] u ay + by + cy + u ay + by + cy + a u y + u y = g( x) (8) Maar y e y zij oplossige voor de homogee d.v. dus [ ay + by + cy ] = e [ ay by cy ] 0 Vergelijkig (8) ka dus worde vereevoudigd tot: [ ] + + = 0 a u y + u y = g( x) (9) Vergelijkige (7) e (9) vorme ee stelsel va vergelijkige voor de twee obekede vergelijkige u e u. Nadat deze is opgelost kue we deze itegrere zodat we u e u te wete kome. De particuliere oplossig wordt da gegeve door deze i de vergelijkig (5) i te vulle

10 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 0 H5 Eigevalues ad Eigevectors (Lay 3 th editio) 5. Eigevectors ad Eigevalues Defiitie: Als geldt dat: Ax = λ x x 0 Da is: λ = x = ee eigewaarde va A ee eigevector va t.o.v. λ De eigewaarde (λ) va ee matrix (A) kue worde gevode m.b.v. de volgede vergelijkig: ( A λi ) x = 0 (3) De set va oplossige voor (3) wordt de eigeruimte va A aar λ geoemd. Stellig : De eigewaarde va ee oder of bove driehoeks matrix staa op de diagoaal. Stellig : Als v,... v eigevectore zij t.o.v. oderlig verschillede eigewaarde λ,..., λ va ee matrix A, r { v v} da is de set,... lieair oafhakelijk. r Eigevectore e Differece equatios x = k Axk ( k = + 0,,,...) waari: x k waari: x 0 k = λ x 0 ee eigevector va A is met zij bijbehorede eigewaarde λ 5. De karakteristieke vergelijkig Voorbeeld : Gevraagd: Vid de eigewaarde va A Gegeve: A 3 = 3 6 Oplossig: ( A λi ) x = 0

11 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 3 λ 0 λ 3 A λi = λ = 3 6 λ λ 3 det ( A λi ) = det = λ dus: det ( A I ) λ = ( λ)( 6 λ) (3)(3) = = + + 6λ λ λ 9 De karakteristieke vergelijkig = λ + λ = λ λ + = λ = 3 e λ = 4 ( 3)( 7) 0 7 I voorbeeld werd de karakteristieke vergelijkig e daarmee de eigewaarde va A gevode door te stelle dat het volgede moet gelde: ( A λi ) det = 0 Dit wordt de karakteristieke vergelijkig geoemd. Voorbeeld 4: De karakteristieke polyomiaal va ee 6x6 matrix A is: λ 4λ λ λ λ λ λ λ λ 4 = ( 6)( + ) De eigewaardes zij dus: λ = 0 multipliciteit 4, λ = 6 multipliciteit e λ = multipliciteit Gelijkheid (Similarity) Als A e B beide x matrices zij e als er ee iverteerbare matrix P is zodat P - AP = B, of A = PBP - da is A gelijk aa B. Stellig 4: Als matrices A e B gelijk zij, da hebbe ze dezelfde karakteristieke vergelijkig e dus dezelfde eigewaarde (met dezelfde multipliciteit) Applicatie voor dyamische systeme 5.3 Diagoaliserig Vaak ka ee vierkate matrix A worde gefactoriseerd aar de vorm A=PDP -. Deze factorisatie maakt het mogelijk om A k sel uit te rekee. Stellig 5:

12 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 Ee matrix A ka allee worde gediagoaliseert waeer A, lieair oafhakelijke eigevectore heeft. - I feite is =, waarbij ee diagoaal matrix is, allee waar als de kolomme va A PDP D P zij opgebouwd uit lieair oafhakelijke eigevectore va A. I dit geval zij de diagoale 'etries' va D de eigewaarde va A die correspodere met de eigevectore va P. Voorbeeld 6: Gevraagd: Diagoaliseer de volgede matrix: Gegeve: A = Oplossig: A is ee diagoaal matrix dus de eigewaarde zij dus: λ = 5, λ = -3 ( A λi ) x = 0 Voor λ=5 wordt dit dus: x = x = = x + 8x3 + 6x4 = 0 x = 8x3 6x4 x 8x3 8x4 = 0 x = 4x3 + 4x x = x 3 + x Eigevectore voor λ=5 zij dus: v = e v 0 0 Dezelfde procedure volge voor λ=-3 levert

13 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6: v3 = e v P = v, v, v3, v 4, P, D = = = cotrolere met rekemachie levert iderdaad dat: PDP = A Stellig 7: zie blz Complexe eigewaarde Complexe eigewaarde kom je tege i reëele dyamische systeme welke te doe hebbe met ee periodieke bewegig of rotatie. De theorie zoals die tot dusver is besproke werkt ook voor C Dus ee complexe scalair λ is ee eigewaarde va A als geldt det( A λi) = 0. Hierbij wordt λ ee complexe eigewaarde geoemd e x ee complexe eigewaarde m.b.t. λ. De rekeregels voor complexe getalle zij ook va toepassig met het rekee va complexe matrices e complexe vectors. r x = r x, Bx = Bx etc... etc... Eigewaarde e eigevectore voor ee reële matrix welke igrijpt op C Als λ ee eigewaarde is va A (A heeft reële waarde) e x ee eigevector, da zal λ ook ee eigewaarde zij e x ee eigevector, met adere woorde Complexe eigewaarde e vectore kome altijd i complexe gecojugeerde pare voor Ax = λx Oftewel als x λ da x λ met A R, x C, λ C Ax = Ax = λ x = λ x Matrices met complexe eigewaarde hebbe daaraast og de aparte eigeschap dat ee vector x wordt geroteerd om ee put (meestal de oorsprog). Zie voorbeeld 6 e 7 i Lay (blz 339) Stellig 9: Laat A ee reele ɺɺ matrix zij met complexe eigewaarde λ = a + bi ( b 0) e met bijbehorede eigevector v i C. Da a b =, waar = [ Re Im ] e = b a A PCP P v v C

14 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 4 de trasformatie: x Cx roteert x over hoek φ e schaalt de met ee factor r, hierbij is φ = arg( λ) e r = λ Dit feomee hadhaaft zich ook i hogere dimesies bijv. als A ee matrix is figuur Oplosse va stelsels va differetiaal vergelijkige Deze paragraaf hadelt over stelsels va differetiaalvergelijkige i de vorm: x = a x a x x = a x a x x = a x a x Hier zij x,,x differetieerbare fucties aar t met afgeleide x,, x e costate a ij. Cruciaal is dat dit stelsel lieair is! I matrix otatie wordt dit: x = Ax [] waar x ( t) x ( t) a... a x( t) = :, x ( t) : e A : : = = x ( t) x ( t) a... a Ee oplossig va vergelijkig () is ee vector va fuctie welke voldoet aa () op ee bepaald iterval va t zoals bijvoorbeeld t 0. Zoals gezegd is () lieair e dus als u e v beide oplossige zij voor x = Ax da is cu + dv ook ee oplossig. Dit wordt ook wel superpositie va oplossige geoemd. De ulvector (0) is de triviale oplossig voor (). Dit is iet erg lastig te begrijpe aagezie 0 = 0 = A0. De verzamelig of set va alle oplossige va vergelijkig [] wordt ook wel de fudametele set va oplossige geoemd. Als A ee matrix is da zij er lieair oafhakelijke fucties i ee fudametele set, e elke oplossig va [] is ee uieke lieaire combiatie va deze fucties. Oftewel, ee fudametele set va oplossige vormt ee basis voor alle mogelijke oplossige va [], e de oplossigsset va [] is ee vectorruimte va de de -dimesie va fucties. Als ee vector x 0 wordt gegeve da spreekt me ook wel va ee begiwaarde probleem. Hierbij moet de uieke fuctie x(t) worde gevode zodat x = Ax e x(0) = x 0 Als A ee diagoaal matrix is da ka [] op de covetioele maier worde opgelost dit aagezie de diverse differetiaalvergelijkige oafhakelijk va elkaar kue worde opgelost. Zo stelsel wordt ook wel ee otkoppeld stelsel geoemd. De oplossig va [] is ee lieaire combiatie va fucties va de vorm x( t) = ve λt oftewel: x t c v e c v e λ ( ) = t waari: x(0) = c v c v λ t Hieri is λ ee eigewaarde va A met bijbehorede eigevector v 0 (als v = 0 da wordt de triviale oplossig verkrege x(t) = 0). Niet geheel overwachts worde dit da ook wel eigefucties geoemd (zie Lay, voorbeeld, blz 359)

15 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 5 Otkoppele va ee dyamisch systeem Ee dyamisch systeem i de vorm x = Ax, waarbij A = PDP -, da wordt de algemee oplossig voor x(t) gegeve door: x t c v e c v e λ ( ) = λ t t Deze oplossig ka worde herschreve aar de vorm: c e c y t y P x λt ce c hiervoor geldt: y ( t) = Dy( t) λt ( ) =, waar: = (0) = (0) waarbij: x( t) = Py( t) e x ( t) = PDy( t) Zie voor de uitwerkig hoe ze hieraa kome blz 358. Complexe eigewaarde Als ee matrix ee complex paar λ = a + ib e λ = a ib eigewaardes heeft met bijbehorede eigevectors v e v. Da heeft de vergelijkig x = Ax twee oplossige, amelijk: x ( t) = ve e x ( t) = ve λt λ t Dit is echter ee complexe oplossig wat meestal iet gewest is, de reële oplossig wordt gegeve door: ( ) ( ) ( ) ( ) y( t) = Re x ( t) = Re v cos bt Im v si bt e y( t) = Im x( t) = Re v si bt + Im v cosbt e Als b 0 da zij y (t) e y (t) lieair oafhakelijk. Zie Lay blz 359 voor het bewijs e ee voorbeeld. zie opdracht 0 H6 Orthogoality ad Least Squares at at 6. I-product, legte e orthogoaliteit Het i-product wordt gedefiieerd door: als u v als u = e v = da wordt het iproduct va u e v gegeve door: u v v T u v = u v = [ u u ] = uv uv v Stellig : Rekeregels voor het iproduct (dot-product)

16 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 6 Laat u, v e w vectore zij i R, e c ee scalair, da: a. b. u v = v u ( ) u + v w = u w + v w ( ) c. ( cu) v = c u v = u ( cv) d. u u 0, e u u = 0 allee da waeer u = 0 Defiitie: De legte (of orm) of modulus va ee vector v is de iet egatieve scalair v gegeve door: v = v v = v + v + + v v = v v... e Voor elke scalair c, geldt dat de legte va cv is c maal de legte va v. Oftewel: cv = c v Defiitie: De afstad tusse twee vectors u e v wordt geschreve als dist(u,v) is de legte va de vector u v oftewel: dist u, v = u v ( ) Twee vectore u e v zij orthogoaal of staa loodrecht (t.o.v. elkaar) als u v = 0 Stellig : stellig va Pythagoras, twee vectore u e v zij orthogoaal allee da waeer: u + v = u + v Orthogoale complemet Als ee vector z loodrecht staat op elke vector i ee deelruimte W va R da staat z loodrecht op W. De set va alle vectore die loodrecht staa op W wordt ook wel de orthogoale complemetair va W geoemd ofwel W of W-loodrecht.. Ee vector x zit i W allee da waeer x orthogoaal is t.o.v. va alle vectore welke W opspae.. W is ee deelruimte va R. Row A = Nul A e Col A = Nul A Stellig 3: ( ) ( ) Hoeke i de R e R 3. Als u e v iet de ulvector zij i R of R 3 da bestaat er ee relatie tusse het i-product e de hoek ϑ tusse de vectore u e v. u v = u v cosϑ 6. Orthogoale sets Ee set va vectore { u,, up} wordt ee orthogoale set geoemd als het i-product va elke mogelijke combiatie va deze vectore ul is, oftewel u i u j = 0, met i j. Stellig 4: Als S = {u,,u p } ee orthogoale set welke gee ulvectore bevat i R, da is S ee lieair oafhakelijke set e vormt dus ee basis voor ee deelruimte i de R. Defiitie: Ee orthogoale basis wordt gevormd door ee orthogaale set

17 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 7 Orthogoale projecties De orthogoale projectie va ee vector y op ee deelruimte L wordt gegeve door: y u yˆ = projly = u u u Stellig 6: Voor ee m x matrix U met orthoormale kolomme geldt dat U T U = I. Stellig 7: U is ee m x matrix met orthoormale kolomme e x e y zij vectore i de R, da geldt: a. Ux = x b. ( ) ( ) ( ) ( ) Ux Uy = x y b. Ux Uy = 0 allee da waeer x y = 0

18 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6: Orthogoale projecties Stellig 8: W is ee deelruimte va R. Da ka elke y i R worde geschreve als: y = yˆ + z Waarbij ŷ i W ligt e z ligt i W. Als { u,, up} y u y u yˆ = u + + u u u u u e z = y yˆ ee orthogoale basis is va W, da is: De vector ŷ is hier de orthogoale projectie va y op W. Ee geometrische itepretatie va de orthogoale projectie Het is iet verwoderlijk dat waeer y i W ligt dat da de projectie va y op W, y zelf is, oftewel: Als y i W ligt da proj ˆ W y = y = y Stellig 9: De beste beaderigs stellig W is zoals gewoolijk ee deelruimte va R, y is ee willekeurige vector i R, e y is de ˆ orthogoale projectie va y op W. Da is yˆ het put i W wat het dichtste bij y ligt, oftewel: y yˆ < y v voor alle v i W waarbij v yˆ Stellig 0: zie blz 399

19 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6: Het Gram-Schmidt proces Stellig : Het Gram Schmidt proces { p} Bij ee bepaalde basis x,, x voor ee deelruimte W va R, defiieer: v = x = v v = 3 v v v v p p p v v v v vp vp { v vp} spa{ v,, vp} = spa{ x,, xp} Da is,, x v v x v x v x v v x v v xp v xp v xp vp v = x v v v ee orthogoale basis voor W. Bovedie geldt: Stellig : QR factorisatie Als A ee m matrix is met lieair oafhakelijke kolomme, da ka A worde gefactoriseerd aar A = QR, waar Q is ee m matrix welke kolomme ee orthoormale basis vorm voor Col A e R is ee bovedriekhoeks matrix met positieve waarde op de diagoaal. Q wordt uiteraardt gefabriceerd met het Gram-Schmidt proces, daara wordt de volgede truck toegepast om R te bepale: A = QR ( ) T T T Q A = Q QR = Q QR = IR = R Zie voorbeeld 4 op blz Kleiste kwadrate methode Het wil og wel ees voorkome dat het stelsel Ax rest is om ee x te vide zodat Ax zo dicht mogelijk b beaderd. Defiitie: = b gee oplossig heeft. De mogelijkheid die da og Als A ee m matrix is i R da is ee kleiste kwadrate oplossig va Ax = b ee xˆ i R zoda dat. voor alle x i R b Axˆ b Ax

20 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 0 Oplosse va het kleiste kwadrate probleem Uiteraardt is de meest eevoudige situatie dat het stelsel Ax = b cosistet is e dus ee uieke oplossig heeft. b ligt da i de kolom ruimte va A. Uiteraardt ka zo stelsel op de ormale maier worde opgelost, e er geldt: bˆ = proj b = b Axˆ = bˆ ColA Als Ax = b icosiste is e dus gee uieke oplossig heeft zal ee beaderig moete worde gevode. Stellig 3: De verzamelig va de kleiste kwadrate oplossige voor T A Ax = T A b Zie voorbeeld Ax = b wordt gegeve door Stellig 4: T De matrix A A is allee iverteerbaar als de kolomme va A lieair oafhakelijk zij. I dit geval heeft Ax = b slechts ee ɺɺ oplossig xˆ, welke wordt gegeve door: T ( ) T xˆ = A A A b Zie voorbeeld 3 Stellig 5: Bij ee gegeve m matrix A met lieair oafhakelijke kolomme waarvoor geldt dat A = QR m waarbij QR ee factoristatie is volges stellig. Da heeft Ax = b voor elke b i R ee uieke kleiste kwardraat oplossig i de vorm: xˆ = T R Q b 6.6 Toepassig op lieaire modelle De kleiste kwadrate oplossig wordt gebruikt om bijv. ee grafiek (zoals ee rechte lij) te vide welke zo goed mogelijk door ee aatal pute heeloopt. Dit probleem doet zich voor waeer bij ee set meetwaarde ee fuctie moet worde gezocht welke zo goed mogelijk past bij de meetwaarde. I dit vakgebied ee adere otatie gehateerd, iplaats va Ax = b schrijve we Xβ = y. Hier wordt X de desig matrix geoemd, β wordt de parameter vector, e y is de observatievector. De methodiek is echter hetzelfde zoals besproke i paragraaf 6.5.

21 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 FORMULE BLAD COMPLEXE GETALLEN ( ) arg zw = arg( z) + arg( w) z arg = arg( z) arg( w) w arg( z ) = arg( z) iφ iφ e = e k k k iφ ikφ iφ ( iφ ) e = e e = e ( ) z = r(cosθ + i si θ ) θ = arg( z) = arcta( b / a) ( a 0) ( θ θ ) ( θ θ ) zz = r r cos + + i si + e: z r = cos ( θ θ ) + i si ( θ θ ) z 0 e: z r z = r (cos θ + isi θ ) z /, heeft verschillede wortels, gegeve door: θ + kπ θ + kπ = cos + si = 0,,,..., / wk r i k ix e = cos x + isi x e ORDE D.V. VERGELIJKINGEN Case I : b - 4ac > 0 I dit geval zulle de pole: s e s reeel e verschilled, de algemee oplossig wordt da gegeve door: y = c e + c e sx sx Case II : b - 4ac = 0 I dit geval zij s e s reeel e gelijk, de algemee oplossig wordt da gegeve door: y = c e + c xe sx I dit geval zij s e s elkaars complexe gecojugeerde: s = α + iβ, s = α iβ de algemee oplossig wordt da gegeve door: α x y = e c cos β x + c si β x sx Case III : b - 4ac < 0 ( ) H5 lay Stelsels va differetiaal vergelijkige

22 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 x t c v e c v e λ ( ) = λ t t ( ) ( ) ( ) ( ) y( t) = Re x ( t) = Re v cos bt Im v si bt e y( t) = Im x( t) = Re v si bt + Im v cosbt e c e c y t y P x λt ce c hiervoor geldt: y ( t) = Dy( t) λt ( ) =, waar: = (0) = (0) waarbij: x( t) = Py( t) e x ( t) = PDy( t) at at H6 Lay ( ) ( ) Row A = Nul A e Col A = Nul A u v = u v cosϑ y u yˆ = projly = u u u Gram schmidt proces v = x xp v xp v xp vp v = x v v v p p p v v v v vp vp QR factorisatie, bepaal Q met Gram-Schmidt e T Q A = R Kleiste kwadrate methode T De matrix A A is allee iverteerbaar als de kolomme va A lieair oafhakelijk zij. I dit geval heeft Ax = b slechts ee ɺɺ oplossig xˆ, welke wordt gegeve door: T ( ) T xˆ = A A A b Adere schrijfwijze X β = y dus: ( X X ) ˆ T T β = X y

23 Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 3