Fourieranalyse. J. Hulshof November 17, 2011

Transcriptie

1 Fourieranalyse J. Hulshof November 7, 0 Inleiding. Dit onderwerp begint met het inzicht dat π-periodieke (reele of complexe) functies f(x) met x IR te schrijven zijn als sommen van de standaard π-periodieke functies. Complex geschreven: f(x) = n= c n e inx (op het eerste gezicht een Laurentreeks in ζ = e ix ), met, zo zal blijken, c n = π f(x)e inx dx. Het begrip uniforme convergentie en de maximumnorm f = max x IR f(x) komen hierbij langs, maar ook de -norm f = f(x) dx en convergentie in die norm. De Fouriercoefficienten zijn in feite de coordinaten van f ten opzichte van een orthonormale basis in een oneindig dimensionale complexe vectorruimte met een inwendig produkt. We werken dit eerst in een reele setting uit. Deze Fourierrepresentatie van een π-periodieke f kunnen we ook schrijven als met f(x) = π ˆf(n) = n= ˆf(n)e inx, f(x)e inx dx. Op deze manier zien we de Fouriercoefficienten c n (modulo de factor π) als een nieuwe functie ˆf : IZ C. Het verband tussen c n en ˆf(n) is dat πc n = ˆf(n).

2 De functie heet ˆf de Fouriergetransformeerde van f : [, π] C, waarbij we f stilzwijgend π-periodiek uitbreiden tot f : IR C. Wat voor π-periodieke functies kan ook voor R-periodieke functies, en in de limiet R worden Fourierreeksen (gezien als Riemannsommen) Fourierintegralen. Deze overgang maken we precies voor zogenaamde testfuncties: functies die oneindig vaak differentieerbaar zijn en identiek aan nul in de buurt van oneindig zodat bij partieel integreren de stoktermen altijd wegvallen. Voor zo n testfunctie φ(x) krijgen we zo in plaats van een Fourierreeks een Fourierintegraal φ(x) = ˆφ(λ) e iλx dλ, π waarin de rol van ˆf(n) is overgenomen door deze Fouriergetransformeerde ˆφ(λ) = φ(x)e iλx dx, een functie van een continue parameter λ IR. Interessant om veel redenen, bijvoorbeeld omdat, via partieel integreren, ˆφ (λ) = iλ ˆφ(λ), ˆ φ (λ) = λ ˆφ(λ),... Differentiëren wordt zo een algebraische operatie! Fourierintegralen van dit type kunnen we met de residustelling vaak uitrekenen. Zie Secties 80 en 8 van Churchill & Brown. In dit verband speelt ook de dichtheidsfunctie van de normale verdeling een opvallende rol. Fourierreeksen De functie f 7 (x) = sin x sin x sin 3x 3 sin 4x 4 sin 5x 5 sin 6x 6 sin 7x 7 is periodiek met periode π. Op het interval (, π) ligt de grafiek van f 7 vlakbij de grafiek van de oneven functie f(x) = x. Kennelijk is maar alleen voor < x < π. x = k sin kx ( ), (.) k Exercise Er is een verband met machtreeksen: het rechterlid in (.) is het imaginaire deel van ( ) k ζ k, ζ = e ix. k Bepaal de som van deze machtreeks voor ζ <. Hint: differentieer naar ζ, sommeer en primitiveer.

3 Exercise Volgens de complexe versie van het criterium van Leibniz convergeert de machtreeks in in Opgave voor alle ζ met ζ = behalve ζ =. Aangenomen dat de somfunctie die je in Opgave hebt gevonden ook geldig is voor alle ζ met ζ = waar de reeks convergeert, verifieer (.). Op de complexe versie van het criterium van Leibniz en de aanname komen we nog terug in Sectie??. De reeks in (.) heet een Fouriersinusreeks. Maken we van de minnen plussen dan vinden we dat de grafiek van de functie h 7 (x) = sin x sin x sin 3x 3 sin 4x 4 sin 5x 5 sin 6x 6 sin 7x 7 op het interval (0, π) vlakbij de grafiek van de functie f(x) = π x ligt. De functie g 7 (x) = cos x cos x 4 cos 3x 9 cos 4x 6 cos 5x 5 cos 6x 36 cos 7x 49 heeft een grafiek op het interval (, π) vlakbij de grafiek van de even functie ligt. Kennelijk is g(x) = π x 4 x 4 = π k cos kx ( ) k. Het rechterlid, inclusief de constante term, heet een Fouriercosinusreeks. Invullen van x = 0 geeft π = We zullen zien dat bij even π-periodieke functies Fouriercosinusreeksen horen, en bij oneven π-periodieke functies Fouriersinusreeksen. Omdat elke functie te splitsen is in een even en een oneven functie, f(x) = f(x) f( x) f(x) f( x), hoort zo bij een algemene π-periodieke functie de som van een Fouriercosinusreeks en een Fouriersinusreeks. Zo n som heet een Fourierreeks. Schrijven we de cosinussen en sinussen uit in complexe e-machten, cos x = eix e ix, sin x = eix e ix, i 3

4 dan wordt een algemene Fourierreeks een reeks van de vorm k= c k e ikx = a 0 (a k cos kx b k sin kx) (.) Uiteindelijk zullen we er voor kiezen om met de complexe vorm te werken, het linkerlid in (.) dus, een Laurentreeks in ζ = e ix. Uit de Cauchy integraal formules hebben we Laurentreeksen van de vorm k= c k ζ k (.3) zien verschijnen voor complex differentieerbare functies f(ζ) op een annulus waarbij het plusstuk {ζ C : R < ζ < R }, c k ζ k k=0 convergent is voor ζ < R en het minstuk c k ζ k convergent is voor ζ > R. Als R = 0 dan heeft f(ζ) in ζ = 0 een al dan niet ophefbare singulariteit. Omgekeerd, als we met een willekeurige Laurentreeks van de vorm (.3) beginnen dan zijn er bijbehorende R en R zodat het plusstuk convergeert naar een complex differentieerbare functie op {ζ C : ζ < R } en het minstuk naar een complex differentieerbare functie op {ζ C : ζ > R }. A priori kunnen zowel R als R ook 0 of zijn, en in het algemeen kan R groter of kleiner zijn dan R. Laurentreeksen die verschijnen als Fourierreeksen van π-periodieke functies f(x) via ζ = e ix hebben meestal R = R =. In het vervolg zullen we zulke π-periodieke functies zien als functies f : (, π) C. Fourierreeksen gaan terug tot Daniel Bernouilli, die de golfvergelijking u t = u x voor bijvoorbeeld 0 < x < π en met randvoorwaarde u = 0 voor x = 0 en x = π, met Fouriersinusreeksen probeerde op te lossen. Later was Fourier de eerste die voor een gegeven functie f de coefficienten in integralen wist uit de drukken, toen hij Fouriersinusreeksen gebruikte om de warmtevergelijking u t = u x 4

5 op te lossen. Tegenwoordig zien we de functies en, cos x, sin x, cos x, sin x,...,..., e 3ix, e ix, e ix, e 0ix =, e ix, e ix, e 3ix,... als orthonormale bases in een (Hilbert)ruimte van functies, en de Fouriercoefficienten als coordinaten ten opzichte van deze basis. Voor een grote klasse van functies f : (, π) IR zijn de Fouriercoefficienten a k, b k en c k als coordinaten van f ten opzichte van deze bases gedefinieerd. De N-de partiële som van de Fourierreeks van f is S N f(x) = met Fouriercoefficienten a n = π N k= N c k e ikx = a N 0 (a k cos kx b k sin kx), (.4) f(x) cos nx dx, b n = π c n = π f(x) sin nx dx, (.5) f(x)e inx dx. (.6) Het volgende programma is bedoeld om vertrouwd te raken met Fourierreeksen. Gebruik Maple/Mathematica voor de plotjes. De integralen kun je beter met de hand doen. Exercise 3 Bereken cos nx cos mx dx en m en n. cos nx sin mx dx voor gehele Exercise 4 Laat f : (0, π) IR gegeven zijn door f(x) = en kies een πperiodieke uitbreiding f : IR IR die even is (i.e. f(x) = f( x)). Bereken alle Fouriercoefficienten a n en b n. Exercise 5 Laat f : (0, π) IR gegeven zijn door f(x) = en kies een πperiodieke uitbreiding f : IR IR die oneven is (i.e. f(x) = f( x)).. Bereken alle Fouriercoefficienten a n en b n.. Plot f en S N f (voor een aantal waarden van N) in een grafiek. 3. Onderzoek numeriek wat er gebeurt met de grootte en plaats van het maximum van S N f als N. 4. Vereenvoudig S N f in x = π. Vergelijk dit met f( π ). Van welke gewone reeks is, aangenomen dat S N f( π ) naar f( π ) convergeert, nu de som te bepalen? 5

6 5. Idem voor x = π 4. Exercise 6 Laat f : (0, π) IR gegeven zijn door f(x) = sin x. Kies een even π-periodieke uitbreiding f : IR IR. Bereken alle Fouriercoefficienten a n en b n.. Bereken alle Fouriercoefficienten a n en b n.. Plot f en S N f (voor een aantal waarden van N) in een grafiek. 3. Vereenvoudig S N f in x = 0. Vergelijk dit met f(0). Van welke gewone reeks is, aangenomen dat S N f(0) naar f(0) convergeert, nu de som te bepalen? 4. Idem voor x = π. 5. Idem voor x = π 4. Exercise 7 Laat f : (0, π) IR gegeven zijn door f(x) = cos x en kies een oneven π-periodieke uitbreiding f : IR IR.. Bereken alle Fouriercoefficienten a n en b n en plot f en S N f (voor een aantal waarden van N) in een grafiek.. Vergelijk het gedrag bij x = 0 voor N groot met dat in som Neem nu de oneven π-periodieke uitbreiding f(x) = cos x (het verschil van de functie in som 5 en de functie in deze som). Onderzoek numeriek het gedrag van S N f bij x = 0 voor N. Exercise 8 Laat f : (0, π) IR gegeven zijn door f(x) = π x en kies een oneven π-periodieke uitbreiding f : IR IR.. Bereken alle Fouriercoefficienten a n en b n en plot f en S N f (voor een aantal waarden van N) in een grafiek.. Differentieer S N f(x) naar x en noem de afgeleide d N (x). Zijn er waarden van x waarvoor d N (x) convergeert als N? Exercise 9 Laat f : (0, π) IR gegeven zijn door f(x) = x(π x) en kies een oneven π-periodieke uitbreiding f : IR IR.. Bereken alle Fouriercoefficienten a n en b n en plot f en S N f (voor een aantal waarden van N) in een grafiek.. Vereenvoudig S N f in x = π. Vergelijk dit met f( π ). Van welke gewone reeks is, aangenomen dat S N f(x) naar f(x) convergeert, nu de som te bepalen? 3. Differentieer S N f(x) naar x en noem de afgeleide g N (x). Laat zien dat g N (x) op IR uniform convergeert naar een limietfunctie. 4. Bepaal die limietfunctie numeriek. 5. Vergelijk g N (0) met zijn limietwaarde. Welke som van welke gewone reeks vinden we nu? 6

7 Convergentie van Fourierreeksen Bij de vraag of, en in welke zin, de Fourierreeks convergeert, en ook als limiet f heeft, m.a.w. of f(x) = k= c k e ikx = a 0 (a k cos kx b k sin kx), speelt het begrip convolutie een belangrijke rol. Exercise 0 Laat zien dat S N f(x) = π D N (y)f(x y)dy, de convolutie van de functies D n en f op (, π), waarbij D N (x) = sin(n )x sin x = N k= N Maak plotjes van D N voor een aantal waarden van N. e ikx. (.7) De functie D N heet de Dirichlet kern. Voor grote N concentreert deze functie zich bij 0 met een steeds smallere piek waarvan de oppervlakte naar π gaat. Dat is de reden dat S N f(x) naar f(x) convergeert als f voldoende netjes is. Omdat D N voor grotere N steeds meer tekenwisselingen heeft is dit lastig om te bewijzen. Het gemiddelde van D 0,..,D N, F N (x) = N (D 0(x) D N (x)) = N sin (N)x sin x, (.8) is een veel mooiere functie. Geen tekenwisselingen, integraal π, en gepiekt in 0. Exercise Leidt de laatste gelijkheid in (.8) door sin x sin (N )x als imaginair deel van een eindige meetkundige reeks te schrijven. Verifieer ook dat F N (x)dx = π, en dat F N (x) 0 als N behalve in veelvouden van π. Preciezer: 0 < δ x π 0 F N (x) N sin δ Voor vaste δ is de bovengrens klein te maken door N groot te maken. Merk op dat F N (x) even en π periodiek is. Maak plotjes van F N voor een aantal waarden van N.. 7

8 Als een rij getallen a n convergeert naar een limiet A, dan convergeren ook de gemiddelden a a a n n naar A. De laatste limiet kan ook bestaan als de rij a n zelf niet convergeert. Als we de rij a n gebruiken om een A te benaderen dan kunnen we dus net zo goed eerst naar de gemiddelden kijken. Dat is het idee achter de Cesarosommen: Exercise Definieer σ N f = N (S 0f S f S N f), de Cesarosommen van f. Laat zien dat σ N f(x) = π F N (y)f(x y)dy. Exercise 3 Laat f een integreerbare (lees: begrensde stuksgewijs continue) π-periodieke functie zijn. Laat zien dat dan σ N f(x) f(x) = π F N (y) (f(x y) f(x)) dy Exercise 4 Laat f een integreerbare π-periodieke functie zijn, met f(x) M voor alle x, waarbij M 0 vast is. Neem aan dat voor x vast en y δ geldt dat f(x y) f(x) ɛ. Laat zien dat dan σ N f(x) f(x) = F N (y) f(x y) f(x) dy ɛ M. π N Hint: splits de integraal in 3 integralen. sin δ Exercise 5 Laat f een π-periodieke continue functie zijn. Dan is f uniform continu en begrensd. Waarom? Bewijs dat σ N f uniform naar f convergeert als N. Exercise 6 Laat f een π-periodieke begrensde stuksgewijs continue functie zijn met de eigenschap dat in elk punt de linker en de rechterlimiet bestaan. Bewijs dat voor elke x de rij σ N f(x) convergeert als N. Wat is de limiet? Hint: splits de integraal in 4 integralen. Exercise 7 Laat f : [, π] IR keer continu differentieerbaar zijn met f(±π) = f (±π) = f (±π) = 0. Bewijs dat f in elk punt de som van zijn (uniform convergente) Fourierreeks is. Hint: laat met partieel integreren en schatten zien dat de Fouriercoefficienten a n en b n sommeerbare rijen vormen. 8

9 Opgave 5 laat zien dat in de ruimte van continue functies π-periodieke functies voorzien van de maximumnorm f = max x IR f(x) geldt dat de Cesarosommen van f naar f convergeren: σ N f f 0 als N. Maar hoe zit het met S N f zelf? Daartoe is een andere norm veel geschikter. Bij lineaire algebra of topologie zijn ongetwijfeld verschillende normen van -vectoren x = ( x x ) behandeld, bijvoorbeeld x = max(x, x ), x = x x, x = ( x x ). Als we in de laatste norm elke door p vervangen (niet de subscript!) dan krijgen we de p-norm. De p-norm is een norm als p. Je kunt er mee rederen zoals je dat gewend bent bij de absolute waarde. De normaxioma s zijn, voor vectoren x en y, en scalairen λ: x 0; x = 0 x = 0; λx = λ x ; x y x y. Alleen de -norm is een inprodukt norm. Met x y = x y x y geldt x = x x. Om ook voor functies de -norm in te voeren maken we eerst een inprodukt. Hieronder zijn f en g steeds π-periodieke stuksgewijs continue functies f, g : IR IR. We doen dus alles eerst nog reeel. Met stuksgewijs continu bedoelen we dat op elk begrensd interval er slechts eindig veel punten zijn waar de functie niet continu is en dat in die punten linker- en rechterlimieten bestaan. De integraal f g = f(x)g(x)dx (.9) heet het inprodukt van de functies f en g. We zien f en g als vectoren. Voor elke x zou je dan f(x) en g(x) als coordinaten van f en g kunnen zien. Daar heb er dan wel heel veel van, voor elke x één van f en één van g. Overeenkomstige coordinaten vermenigvuldigen en sommeren gaat niet, maar integreren wel. Vandaar de inproduktnotatie. Omdat we alles nog reeel doen kunnen we nu gebruik maken van onze intuitie voor gewone reele vectorruimten en inprodukten daarop. Als f g = 0 dan zeggen we dat f en g loodrecht op elkaar staan. De -norm van f wordt gedefinieerd door f = f f, (.0) 9

10 zeg maar de lengte van f gezien als vector. Er geldt de volgende implicatie (Pythagoras) f g = 0 f g = f g. (.) Hieronder schrijven we S N g(x) = c N 0 (c k cos kx d k sin kx), (.) dus f heeft reele Fouriercoefficienten a k en b k, en g heeft reele Fouriercoefficienten c k en d k. Je kunt nu het volgende programma afwerken. Exercise 8 De Cauchy-Schwartz ongelijkheid zegt dat f g f g.. Bewijs deze ongelijkheid voor functies f en g met f = g = door 0 (f(x) g(x)) dx =... uit te werken.. Bewijs de Cauchy-Schwartz ongelijkheid. Hint: pas onderdeel toe op f(x)/ f en g(x)/ g. 3. Bewijs de driehoeksongelijkheid voor de -norm Exercise 9 Laat zien dat Exercise 0 Laat zien dat f g f g. (.3) S N f = π ( a 0 S N f S N g = π ( a 0c 0 ) N (a k b k) ) N (a k c k b k d k ) Exercise Definieer R N f = f S N f en, met ook ρ N f = f σ N f.. Laat zien dat R N f S N f = 0.. Laat zien dat R N f σ N f = Laat zien dat σ N f = N (S 0f S f S N f), S N f R N f = f, zodat S N f f, en dat (Bessel s ongelijkheid) a 0 N (a k b k) π f(x) dx. (.4) 0

11 4. Laat zien dat R N f σ Nf S N f = ρ Nf. 5. In Opgave 5 is bewezen dat als f continu en π-periodiek is dat dan σ N f f uniform op IR als N. Bewijs dat in dat geval ook R N f 0 en dat dus (gelijkheid van Parceval) a 0 (a k b k) = f(x) dx. (.5) π Hint: gebruik onderdeel Laat zien dat f g = (S N f R N f) (S N g R N g) = S N f S N g R N f R N g. 7. Bewijs dat als f en g continu en π-periodiek zijn, dat a 0c 0 (a k c k b k d k ) = f(x)g(x)dx = f g. (.6) π π Hint: gebruik onderdeel 6, som 0 en pas de Cauchy-Schwartz ongelijkheid toe op R N f R N g. Exercise In deze som laten we zien dat de gelijkheid van Parceval (.5) ook geldt voor π-periodieke stuksgewijs continue functies. Laat f : IR IR zo n functie zijn. Hint: laat zien dat er een rij π-periodieke continue functies f k : IR IR bestaat met f k f = (f k (x) f(x)) dx 0 als k. Als f discontinu is in x 0, vervang f(x) dan op het interval (x 0 k, x 0 k ) door een lineaire functie, zó dat de nieuwe functie f k continu is en lineair op (x 0 k, x 0 k ). Exercise 3 Bewijs de gelijkheid van Parceval (.5) voor f. Hint: de gelijkheid van Parceval is equivalent met R N f 0. Schrijf R N f = f f k f k S N f k S N f k S N f = (f f k ) R N f k S N (f k f) en gebruik de driehoeksongelijkheid (.3) en som 3 voor S N (f k f) om R N f klein te krijgen. Kies hiertoe, gegeven een ɛ > 0, eerst een vaste k groot genoeg, en redeneer dan verder. Exercise 4 (Het Gibbs verschijnsel) De Fouriersinusreeks van f(x) = π x heeft b n = n. De oneven π-periodieke uitbreiding van f heeft f(0 ) = π en f(0 ) =. De N-de Fouriersinussom is S N f(x) = N n= sin nx. n

12 . Laat zien dat x S N f(x) = x 0 D N (s)ds.. De integraal in het rechterlid heeft extrema in de nulpunten van D N. Het eerste maximum M N rechts van x = 0 is dus in x = x N = π N. Laat zien dat M N = 0 π N sin((n )s sin s ds = 0 sin( sin t t N ) N dt 3. Laat zien dat uniform op t [0, π]. 4. Laat zien dat als N. = 0 sin t t t N t sin( t N t N )dt. sin( N ), M N 0 sin t dt t 5. De functie S N f(x) heeft in x = x N een negatieve afgeleide. Leg uit waarom ook het eerste maximum van S N f(x) rechts van x = 0 naar convergeert als N sin t dt t Dat is groter dan π = f(0 ) met een factor Exercise 5 De integraal sin t 0 t dt is en wel uit te rekenen, met behulp van de complexe functie eiz z, zie Sectie 8 en 8 van Churchill & Brown. Exercise 6 (De Fourierreeks van de afgeleide en van de primitieve) Lees eerst dit zorgvuldig. Alle uitspraken die we doen gaan over Fourierreeksen van periodieke functies. Vaak is dat een functie die eerst alleen op een interval is gedefinieerd en daarna wordt uitgebreid tot een periodieke functie op heel IR. Zo n uitbreiding kan sprongen introduceren, vandaar ook onze standaardaanname dat de (eventueel uitgebreide) f een π-periodieke stuksgewijscontinue functie is. De door term voor term differentiatie van een Fourierreeks van een discontinue π-periodieke f verkregen reeks is nooit de Fourierreeks van een functie!

13 . Laat met voorbeelden zien wat er mis gaat als f sprongen heeft.. Neem aan dat f een π-periodieke continue functie is met f stuksgewijs continu. Druk de Fouriercoeffienten van f uit in die van f. 3. Ga in de situatie van onderdeel na dat de Fourierreeks van f uit die van f verkregen kan worden door term voor term te differentiëren. 4. In de situatie van onderdeel convergeert de Fourierreeks van f uniform naar f: S N f(x) f(x) uniform in x als N. Laat F (x) = x 0 f(s)ds. Is F (x) de som van een Fourierreeks? Wanneer wel en wanneer niet? 5. Neem nu alleen aan dat f een π-periodieke stuksgewijs continue functie is en laat F (x) = x f(s)ds. Is F (x) de som van een Fourierreeks? Wanneer 0 wel en wanneer niet? Zoja, wat is het verband tussen de Fourierreeks van F en die van f? 3 Van Fourierreeksen naar Fourierintegralen Voor f : [, π] IR stuksgewijs continu schrijven we dus f(x) n= f(x)e inx dx π }{{} c n e inx (3.7) waarin de x in de integraal een dummy-variabele is. Exercise 7 Laat zien dat (.5) in deze vorm leidt tot n= c n = f(x) dx. (3.8) π Afgezien van de factor met π zijn de -norm van de functie f en de bijbehorende rij c = (..., c, c, c 0, c, c,...) van Fouriercoefficienten hetzelfde. We transformeren (3.7) en (3.8) naar formules op [ R, R] door Rx = πy, f(x) = g(y), λ n = nπ R, δλ = λ n λ n = π R. Dit geeft voor (3.7) g(y) π n= R g(y)e iλny dy R }{{} ĝ(λ n) as R e iλny π, (3.9) }{{} R δλ met ĝ(λ) = g(y)e iλy dy, 3

14 de Fourier getransformeerde van g, die goed gedefinieerd is als g : IR IR continu is en een compacte drager heeft. In dat geval is dus voor R groot genoeg g(y) ĝ(λ n ) e iλny δλ ĝ(λ) e iλy dλ, (3.0) π π n= } {{ } Riemann som } {{ } integraal als R, mits de aftelbare Riemann som hierboven inderdaad de integraal ĝ(λ) e iλy dλ als limiet heeft. Er moet dus een stelling te formuleren zijn die deze overgang rechtvaardigt en die van de een = maakt. De uitspraak van de stelling moet zijn dat g(y) = ĝ(λ) e iλy dλ, ĝ(λ) = g(y)e iλy dy. (3.) π Let op de symmetrie in de formules. Afgezien van de min en de voorfactor zijn ze hetzelfde. Van g maar ĝ is dus vrijwel hetzelfde als van ĝ (terug) naar g! De minimale aannamen op g zijn vrij technisch en lastig te onthouden. Een manier om de stelling te bewijzen is eerst hele sterke aannamen te doen, en daarvoor de stelling te bewijzen. De grenzen van de geldigheid van (3.) kunnen dan daarna met limietprocedures worden verkend. Dat laatste laten we hier achterwege, maar is volledig vergelijkbaar met de manier waarop de rekenkundige operaties in de rationale getallen worden uitgebreid tot de reele getallen. Exercise 8 Laat zien dat als g continu is op IR en nul buiten [ R, R], dat g(y) = π n= ĝ(λ n ) δλ. In de afleiding hierboven hebben we al aangenomen dat g compact gedragen is. Daarmee bedoelen we dat buiten een zeker begrensd interval g(y) gelijk aan nul is. We zullen nu ook aannemen dat g oneindig vaak differentieerbaar is. Zulke oneindig vaak differentieerbare en compact gedragen functies worden testfuncties genoemd en meestal met een φ of ψ aangegeven. Voor testfuncties φ geldt op grond van Opgave 7 zeker dat φ(y) gelijk is aan een oneindige Riemannsom waarin ˆφ voorkomt: φ(y) = π n= ˆφ(λ n ) e iλny δλ λ 0 = 0, λ n λ n = δλ = π R, (3.) i.e. er is een R zo dat g(y) = 0 voor alle y met y > R. 4

15 goed voor elke R groot genoeg. De som is een aftelbare Riemannsom voor ˆφ(λ) e iλy dλ. Voor vaste y is dit een oneigenlijke integraal van een continue functie, vanwege: Exercise 9 Laat zien dat ˆφ(λ) = φ(y)e iλy dy continu is als φ(y) begrensd is en compact gedragen. We weten dat gewone integralen over begrensde intervallen de limiet zijn van benaderende Riemannsommen. Onder wat voorwaarden geldt dit ook voor oneigenlijke integralen? Exercise 30 Als f : IR C continu is en voldoet aan een schatting van de vorm f(x) M x dan is Bewijs dit. f(x)dx = lim h 0 ( h n= f(nh) ). Geldt zo n schatting ook voor ˆφ(λ)? Met andere woorden, is er voor een gegeven φ een M zo dat ˆφ voldoet aan ˆφ(λ) M λ? Exercise 3 Laat zien dat voor testfuncties geldt dat ˆφ (λ) = iλ ˆφ(λ), ˆ φ (λ) = λ ˆφ(λ). Hint: partieel integreren. Exercise 3 Verzamel alle informatie hierboven en leg uit waarom voor testfuncties geldt dat φ(y) = π ˆφ(λ) e iλy dλ, ˆφ(λ) = φ(y)e iλy dy, (3.3) en ook φ(y) dy = π ˆφ(λ) dλ. (3.4) 5

16 De factor met π verstoort de symmetrie in de formules een beetje. Met de definitie ˆφ(λ) = φ(y)e iλy dy, π volgt φ(y) = π φ(λ) e iλy dλ, φ(y) dy = ˆφ(λ) dλ. voor testfuncties. De afbeelding φ ˆφ breidt op een natuurlijke manier uit tot een isometrie van de ruimte H van kwadratisch integreerbare complexe meetbare functies naar zich zelf. De norm op H is de -norm f = f(x) dx, en de algemenere definitie van ˆf is ˆf(λ) = R lim φ(y)e iλy dy, π R R waarin de integraal over [ R, R] eigenlijk de Lebesgue integraal is, die bij het vak maattheorie wordt behandeld. Limieten van integralen van dit type worden in Churchill & Brown uitgerekend met de residustelling en het Lemma van Jordan. 6