2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn een punt eplen Test jezelf Elke vrg heeft r één juist ntwoord. ontroleer je ntwoord in de orretiesleutel. hter elke vrg stt een verwijzing nr je vdeeu. 1 In welke tekening is de iddelloodlijn vn []? Verder oefenen? d 2 Hoe groot is hoek? 70 60 110 d 3 In welke tekening is d de issetrie vn hoek? d d d d 4 Wt is de oördint vn punt? y (2, 2) (2,2) ( 2,2) 1 1 x d it he je nodig leerwerkoek p. 21-42 oefenoek nr. 609-701 psser geodriehoek Inhoud M4 Spiegelingen herkennen en tekenen p. 22 M5 Eigenshppen vn de spiegeling p. 26 M6 Syetrie p. 28 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen p. 30 M8 Eigenshppen vn de vershuiving p. 34 M9 riingen herkennen en tekenen p. 36 M10 Eigenshppen vn de driing p. 38 M11 e puntspiegeling p. 40 21
M4 Spiegelingen herkennen en tekenen p verkenning Spiegelingen in de werkelijkheid gelijks word je geonfronteerd et spiegels en spiegeleelden. Je stt voor de spiegel. Je zwit et je rehterhnd. Wt doet je spiegeleeld? Mijn spiegeleeld zwit terug................................................................................................................ Geruikt je spiegeleeld ook de rehterhnd o te zwien? Neen, ijn spiegeleeld zwit et de linkerhnd. Je stt voor de spiegel. Je doet drie stppen hteruit. Wt doet je spiegeleeld? Mijn spiegeleeld doet ook drie stppen hteruit. Rk et één vinger de spiegel n. Wt doet je spiegeleeld? Mijn spiegeleeld rkt ook et één vinger de spiegel n. Het spiegeleeld vn een punt Teken het spiegeleeld vn het punt. Noe dit punt. Meet de fstnd vn tot en de fstnd vn tot. Wt stel je vst? d(, ) = d(', )........................................................................................................................... Teken het spiegeleeld vn het punt. Noe dit punt. ' Meet de fstnd vn tot en de fstnd vn tot. Wt stel je vst? d(, ) = d(', )........................................................................................................................... ' Wt is de onderlinge ligging vn en en? ' en ' iddelloodlijn........................................................................................................................... e rehte is de....................................................................................... vn [ ] en [ ]. Wiskundetl egrippen Het punt is het spiegeleeld vn het punt door een spiegeling ten opzihte vn (t.o.v.) spiegels ls en slehts ls (.s..) de iddelloodlijn is vn ['] eeld vn een punt door een spiegeling: s () = ' ' d(,) = d(',) Wiskundetl syolen spiegeling (kleine letter) s () = ' wt gespiegeld wordt (tussen ronde hkjes) spiegeleeld n vn de spiegels (wordt een eetje lger geshreven) S () = ' lees je ls het spiegeleeld vn door spiegeling t.o.v. spiegels is '. 22 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk
Stppenpln het spiegeleeld vn een punt tekenen et de geodriehoek Lt de loodlijn op de tekenzijde senvllen et de spiegels. Vershuif de geodriehoek zodt het punt op de tekenzijde ligt. Meet de fstnd vn tot n de spiegels en duid op gelijke fstnd, n de ndere knt vn de spiegels het punt n. Het spiegeleeld vn een figuur Teken het spiegeleeld vn de figuur F ten opzihte vn de spiegels. Hoe g je te werk? Teken het spiegeleeld vn lle hoekpunten. Verind de hoekpunten. fig. F F' Teken het spiegeleeld vn de irkel t.o.v. spiegels. Hoe g je te werk? Teken s () = ' en dn een irkel et iddelpunt en dezelfde strl ls de originele irkel. Wiskundetl egrippen Het spiegeleeld vn een figuur vind je door de eplende punten vn de figuur te spiegelen. s (Δ) = Δ''' s (Δ) = Δ''' lees je ls het spiegeleeld vn de driehoek t.o.v. de spiegels is de driehoek '''. 23
M4 Spiegelingen herkennen en tekenen (vervolg) efeningen 609 610-612 1 Teken het spiegeleeld t.o.v. de rehte vn de punten, en vn het lijnstuk vn de driehoek d vn het prllellogr e vn de irkel (,r) ' ' = ' ' ' d ' ' e ' ' ' ' ' ' 613 614 2 Teken de spiegels x ls je weet dt s x () = '. x x x' x'' x''' = 615 Hoeveel spiegelssen kun je tekenen? Hoeveel spiegelssen kun je tekenen? Eén.................................................................................................... iddelloodlijn x is de... vn [']. Verklr je ntwoord.... 3 Is figuur F' het eeld vn figuur F door een spiegeling? Zo j, teken dn de spiegels.. neindig........................... veel........................................................................ Elke rehte door is. een........... ogelijke............................. spiegels............................. oor................ één........... punt.... kun je oneindig veel rehten tekenen. fig. F fig. F fig. F fig. F fig. F fig. F J J Neen 24 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk
4 Kleur en vul n. e rehte F is de spiegels. Kleur het spiegeleeld vn de luwe driehoek groen. ekijk ndhtig het vooreeld en vul in. Vooreeld: s E ([]) = [F] [] s E ([F]) =... [FE] s ([]) =... [E] s F ([]) =... F E 616 5 Zijn de punten en t.o.v. dezelfde spiegels gespiegeld? Zo j, teken de spiegels. 617 d j = j = e j neen 6 Teken het spiegeleeld vn de rehte t.o.v. de rehte. 618 f neen neen y x x' y' ' x' x ' = ' y x = x' y' 619-621 2 punten Hoeveel punten oet je spiegelen o het spiegeleeld vn een rehte te kunnen tekenen?... ls de rehte de spiegels snijdt: Het snijpunt zelf één punt Wt is het spiegeleeld vn het snijpunt?................................................................................................................................. Hoeveel punten oet je nog extr spiegelen?... Wt erk je op ls de rehte loodreht op de spiegels stt? Het spiegeleeld vn de rehte vlt sen et de oorspronkelijke rehte.................................................................................................................................. Wt oet je kunnen? spiegeleelden herkennen het spiegeleeld tekenen vn een punt, lijnstuk, rehte, vlkke figuren de spiegels nduiden of tekenen ls een figuur en zijn spiegeleeld gegeven zijn 25
M5 Eigenshppen vn de spiegeling p verkenning Teken het spiegeleeld vn figuur E t.o.v. de rehte. Het spiegeleeld vn het punt is het punt, het spiegeleeld vn is, enz. ' ' E P P' E' ' ' d Lijnstukken Meet op de figuur de lengte vn de lijnstukken. 1,5 3 1,7 =... '' =... =... '' =... E =... 'E' =... Wt stel je vst?................................................................................................................................. Vergelijk in oefening 1, 1 en 1d op p. 24 telkens en. Wt kun je esluiten?................................................................................................................................. Hoeken Meet op de figuur de grootte vn de hoeken. =... =... =... ' =... ' =... ' =... Wt stel je vst?................................................................................................................................. Vergelijk in oefening 1 en 1d op p. 24 telkens en '. Wt kun je esluiten?................................................................................................................................. e onderlinge ligging vn rehten Wt is de onderlinge ligging vn de rehten op de figuur? Vul in............. Wt kun je esluiten?................................................................................................................................. e oriënttie vn hoeken Teken op de figuur de rehte P. 1,5 3 1,7 Het spiegeleeld vn de lijnstukken is even lng ls de originele lijnstukken. Elke spiegeling ehoudt de lengte vn een lijnstuk. 135 135 90 90 120 120 Het spiegeleeld vn de hoeken is even groot ls de originele hoeken. Elke spiegeling ehoudt de grootte vn een hoek. // // Elke spiegeling ehoudt de onderlinge ligging vn rehten. Neen Teken het spiegeleeld vn de rehte P. Moet je hiervoor het punt P spiegelen?................................................ 26 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk
Verklr je ntwoord. Een rehte wordt epld door twee punten. en zijn l gespiegeld. Strt ij punt en wndel in wijzerzin door de figuur. Welk hoekpunt ko je ls eerste tegen?...................... Strt ij punt en wndel in wijzerzin door het spiegeleeld. Welk hoekpunt ko je ls eerste tegen?... Wt stel je vst? e oriënttie vn de hoeken is ogekeerd. e punten stn in ogekeerde volgorde. E Eigenshppen de spiegeling Het spiegeleeld vn een rehte is een rehte. Het spiegeleeld vn een lijnstuk is een lijnstuk. Het spiegeleeld vn een hlfrehte is een hlfrehte. Elke spiegeling ehoudt: de lengte vn een lijnstuk; de grootte vn een hoek; (r keert de oriënttie vn de hoeken o); de evenwijdigheid vn rehten; de loodrehte stnd vn rehten. e vor en de grootte vn een figuur lijft dus ehouden ij een spiegeling. efeningen 7 Gegeven: s () = ' en = 34 ' =... Welke eigenshp vn de spiegeling he je toegepst o dit ntwoord te vinden? 8 Teken door zo weinig ogelijk punten te spiegelen het spiegeleeld vn een prllellogr. 1 Hoeveel punten oet je ten inste spiegelen o een prllellogr te spiegelen? 34 Elke spiegeling ehoudt de grootte vn een hoek. Twee................................................................................................................................. 2 Welke eigenshp(pen) he je toegepst? Elke spiegeling ehoudt de hoekgrootte, de lengte vn een lijnstuk en de evenwijdigheid................................................................................................................................................................................................................................................................... vn een vierknt. 1 Hoeveel punten oet je ten inste spiegelen o een vierknt te spiegelen? Twee................................................................................................................................. 2 Welke eigenshp(pen) he je toegepst?. Elke............. spiegeling.............................. ehoudt.......................... de........ grootte...................... vn............ een............ hoek,..... de lengte vn een lijnstuk en de evenwijdigheid.................................................................................................................................. 622-624 625 626 627-630 Wt oet je kunnen? de eigenshppen vn de spiegeling onderzoeken in oefeningen de eigenshppen vn de spiegeling ntonen n de hnd vn een vooreeld de eigenshppen vn de spiegeling verwoorden de eigenshppen vn de spiegeling toepssen o het spiegeleeld vn een figuur te tekenen 27
M6 Syetrie p verkenning Teken een gelijkenige driehoek et tophoek die n de volgende voorwrden voldoet. = 5 0 = = 4 4 ' = = ' 4 Wiskundetl egrippen = ' Een syetries vn een figuur is een rehte die de figuur op zihzelf spiegelt. Teken de issetrie vn de tophoek. Spiegel het punt t.o.v. de issetrie en noe het. Wt stel je vst? vlt sen et.................................................................................................................................. Spiegel het punt t.o.v. de issetrie en noe het. Wt stel je vst? vlt sen et.................................................................................................................................. Spiegel het punt t.o.v. de issetrie en noe het. Wt stel je vst? vlt sen et.................................................................................................................................. Teken het spiegeleeld vn t.o.v. de issetrie. Wt stel je vst? Het spiegeleeld vn de driehoek vlt sen et de originele driehoek.................................................................................................................................. is syetries vn fig. F Syetrishe figuren zijn figuren et één of eerdere syetriessen. S (fig. F) = fig. F fig. F efeningen 631-632 9 Zijn deze figuren syetrish? Indien j, teken dn de syetries(sen). d Neen J Neen............ J 28 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk
10 Teken de ndere helft vn de vlinder. 633 11 Teken de syetries(sen). 634 12 Teken in de syetrishe driehoeken lle syetriessen. Hoeveel syetriessen heen ongelijkenige driehoeken?.................................................................................... Hoeveel syetriessen heen gelijkenige driehoeken?.................................................................................... Hoeveel syetriessen heen gelijkzijdige driehoeken?.................................................................................... 0 1 3 635 E F G H 13 Teken de rest vn de figuur ls je weet dt x de syetries is. 636 x Wt oet je kunnen? een syetries herkennen in een figuur een syetries vn een figuur tekenen een figuur vervolledigen ls de syetries en een deel vn de figuur gegeven zijn 29
M7 Vershuivingen herkennen en tekenen p verkenning Vershuivingen in de werkelijkheid Tijdens een toneelstuk vn Finding Neo oet in het deor een shool vissen worden verpltst. e vissen hngen llel n elkr vst en zijn et een stfje n het punt vstgekt. ls het punt wordt verpltst nr het punt, dn vershuiven lle vissen in het deor. Zo gt de vis in punt nr de plts vn de vis in punt ', de vis in punt gt nr de plts vn de vis in punt ',... Nr welke plts gt de vis in punt F? Noe het punt F' en teken de vis op de juiste plts. E F E F Het shuifeeld vn een punt Teken in de ovenstnde figuur het lijnstuk, het lijnstuk, het lijnstuk, het lijnstuk en het lijnstuk FF. 3,2 3,2 3,2 3,2 e lijnstukken zijn llel even lng. Meet: =............................................... =..................................... =................................................... =............................................... EE =... FF =..................................................... Wt stel je vst?................................................................................................................................. Teken op [ ] een pijl vn nr. Teken op [ ] een pijl vn nr. oe dit voor lle lijnstukken. Wijzen lle pijlen nr dezelfde knt? f et ndere woorden: heen lle lijnstukken dezelfde zin? J, lle lijnstukken heen dezelfde zin.................................................................................................................................. Wt is de onderlinge ligging vn de rehte, de rehte, de rehte, de rehte ',... e rehten zijn evenwijdig. Wt kun je nu vertellen over de rihting vn, vn,... e drgers vn de lijnstukken heen dezelfde rihting. 3,2................................................................................................................................. Meet: =... Vergelijk dit et de lengte vn [ ], vn [ ], vn [ ],... Wt stel je vst? [] is even lng ls de ndere lijnstukken.................................................................................................................................. Vergelijk de rihting en de zin vn [] et de rihting en de zin vn de ndere lijnstukken. Wt stel je vst? [] heeft dezelfde rihting en zin ls de ndere lijnstukken.................................................................................................................................. lle lijnstukken et dezelfde lengte, rihting en zin ehoren tot dezelfde vetor. 3,2 3,2 Weetje Evenwijdige rehten heen dezelfde rihting. Wiskundetl egrippen Een vetor is een verzeling lijnstukken die llel dezelfde lengte, rihting en zin heen. Een vetor wordt voorgesteld door een pijl. P P lees je ls vetor. e pijl oven de letters geeft de zin n. w lees je ls vetor w., w, PP' stellen dezelfde vetor voor. 30 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk
Wiskundetl egrippen Een vershuiving wordt epld door een vetor. Het punt is het shuifeeld vn het punt door een vershuiving volgens vetor eeld vn een punt door een vershuiving: t () = '.s.. het lijnstuk evenwijdig is et het lijnstuk (de lijnstukken heen dezelfde rihting) EN het lijnstuk even lng is ls het lijnstuk (de lijnstukken zijn even lng) EN de pijl vn nr dezelfde zin heeft ls de pijl vn nr (de lijnstukken heen dezelfde zin). [ ] // [] EN ' = EN ['] en [] heen dezelfde zin Wiskundetl syolen vershuiving (= trnsltie) (kleine letter) t () = ' wt vershoven wordt (tussen ronde hkjes) shuifeeld de vetor die de vershuiving eplt (wordt een eetje lger geshreven) t () = ' lees je ls het shuifeeld vn door de vershuiving volgens vetor is '. Stppenpln het shuifeeld vn een punt tekenen et de geodriehoek Teken door het punt een evenwijdige et de rehte. Plts op de evenwijdige rehte het punt ' zodt = '. Let op de zin vn het lijnstuk. Het punt oet het eginpunt zijn en het punt ' oet het eindpunt zijn. Het shuifeeld vn een figuur Vershuif de figuur F volgens. Hoe g je te werk? Teken het shuifeeld vn elk hoekpunt.................................................................................................... Verind de shuifeelden.................................................................................................... F F Vershuif de irkel volgens. Hoe g je te werk? Teken S () = ' en een irkel et iddelpunt............................................................................................................ ' en dezelfde strl ls de originele irkel............................................................................................................. 31
M7 Vershuivingen herkennen en tekenen (vervolg) Wiskundetl egrippen Het shuifeeld vn een figuur vind je door de eplende punten vn de figuur te vershuiven. t (Δ) = Δ''' t (Δ) = Δ''' lees je ls het eeld vn de driehoek door de vershuiving volgens (de vetor ) is de driehoek. efeningen 637-640 14 Vershuif. 641-644 e vershuiving wordt epld door. Vershuif de punten,, en. e vershuiving wordt epld door TV. Vershuif de punten E, F, G en H. ' ' E G F T H E' G' F' V H' 645 ' ' 15 Werden de punten en door dezelfde vershuiving vershoven? Zo j, vershuif het punt volgens dezelfde vershuiving. Zo neen, verklr wro niet. ' d e f = = Neen, de lijnstukken zijn niet even lng, ze ehoren niet tot dezelfde vetor.................................................................................................................................. Neen, de lijnstukken zijn niet evenwijdig, ze ehoren niet tot dezelfde vetor.................................................................................................................................. J................................................................................................................................. Neen, de lijnstukken heen niet dezelfde zin, ze ehoren niet tot dezelfde vetor. d................................................................................................................................. Neen, de lijnstukken zijn niet even lng, ze ehoren niet tot dezelfde vetor. e................................................................................................................................. J f................................................................................................................................. 32 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk
16 nderzoek de figuren. Is fig. F het eeld vn fig. F door een vershuiving? Zo j, teken de vetor die deze vershuiving eplt. Zo neen, verklr wro niet. 646-649 d e fig. F fig. F fig. F fig. F fig. F fig. F fig. F fig. F fig. F fig. F J................................................................................................................................. Neen, de lijnstukken zijn niet even lng, ze ehoren niet tot dezelfde vetor.................................................................................................................................. J................................................................................................................................. J d................................................................................................................................. Neen, de lijnstukken zijn niet even lng, ze ehoren niet tot dezelfde vetor. e................................................................................................................................. 17 Vershuif de figuren telkens volgens de gegeven vetor. t u ( ) = ''' t v () = '''' 650 651 u ' ' v ' ' ' ' ' t () = '''' w ' ' w ' ' Wt oet je kunnen? het eeld vn een vershuiving herkennen het shuifeeld vn een punt, een lijnstuk, een rehte, de vetor die de vershuiving eplt nduiden of tekenen een vlkke figuur tekenen 33
M8 Eigenshppen vn de vershuiving p verkenning Teken het shuifeeld vn figuur E. e vershuiving wordt epld door. Het shuifeeld vn is, het shuifeeld vn is, enz. E E' P ' ' ' P' ' Lijnstukken Meet op de figuur de lengte vn de lijnstukken. 1,2 2,1 =................................................... =................................................... =................................................... =................................................... Wt stel je vst? Vergelijk in oefening 17, en op p. 33 en. Wt kun je esluiten? Hoeken Meet op de figuur de grootte vn de hoeken. 1,2 2,1 Het shuifeeld vn de lijnstukken is even lng ls de originele lijnstukken. Elke vershuiving ehoudt de lengte vn een lijnstuk. 127 127 90 90 =..................................................... =........................................................ ' =..................................................... ' =...................................................... Wt stel je vst? Het shuifeeld vn de hoeken is even groot ls de originele hoeken. Vergelijk in oefening 17, en op p. 33 en '. Wt kun je esluiten? Elke vershuiving ehoudt de grootte vn een hoek. e onderlinge ligging vn rehten Wt is op de figuur de onderlinge ligging vn de rehten? Vul in. // //............ Vergelijk in oefening 17 de onderlinge ligging vn de rehten in de figuren en hun shuifeelden. Wt kun je esluiten? Elke vershuiving ehoudt de onderlinge ligging vn rehten. Teken de rehte P in het rooster. Vershuif P volgens t. Moet je hiervoor het punt P vershuiven?.. Neen............................................................................................................................... Verklr je ntwoord. Het eeld vn een rehte is een evenwijdige rehte. Wt is de onderlinge ligging vn P en P? e rehte en hr eeld zijn evenwijdig. 34 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk
Eigenshppen de vershuiving Het shuifeeld vn een rehte is een (evenwijdige) rehte. Het shuifeeld vn een lijnstuk is een (evenwijdig) lijnstuk. Het shuifeeld vn een hlfrehte is een (evenwijdige) hlfrehte. Elke vershuiving ehoudt: de lengte vn een lijnstuk; de grootte vn een hoek; de evenwijdigheid vn rehten; de loodrehte stnd vn rehten. e vor en de grootte vn een figuur lijft dus ehouden ij een vershuiving. efeningen 18 Teken het eeld vn het prllellogr volgens t. Vershuif zo weinig ogelijk punten o je eeld te vinden. Eén Hoeveel punten oet je vershuiven?......................... Welke eigenshppen he je toegepst? e vershuiving ehoudt de lengte vn een..................................................................................................... lijnstuk. e vershuiving ehoudt de evenwijdig-..................................................................................................... ' ' ' ' 652 heid vn rehten. Een lijnstuk en zijn eeld n..................................................................................................... een vershuiving zijn evenwijdig...................................................................................................... 19 Vershuif de rehte volgens t. Wt is de onderlinge ligging vn een rehte en hr shuifeeld? Een rehte is evenwijdig et hr shuifeeld. Hoeveel punten oet je ten inste vershuiven..................................................................................................... Eén o het eeld vn een rehte te vinden?...................... ' ' 653 654 20 Vershuif [] volgens vetor w. M is het idden vn []. Is het eeld M vn M ook het idden vn [ ]? Verklr. J, de vershuiving ehoudt de lengte vn een lijnstuk............................................................................................................................................................................................................................. M ' M' ' 655 21 nderzoek. Kn vierknt het eeld vn vierknt zijn door een vershuiving? Verklr.. J,..... de..... zijden........... vn.......... zijn....... even......... lng.......... ls....... de...... zijden............. vn............ en...... de...... hoeken................. zijn........ even........... groot..... Kn fig. het eeld vn fig. zijn door een 656-658 659 660 vershuiving? Verklr.. Neen,............. de...... zijden............. vn............. zijn......... niet even lng ls de zijden vn...................................................................................................... Wt oet je kunnen? de eigenshppen vn de vershuiving onderzoeken in oefeningen de eigenshppen vn de vershuiving verwoorden de eigenshppen vn de vershuiving ntonen n de hnd vn een vooreeld de eigenshppen vn de vershuiving toepssen o het shuifeeld te tekenen 35
M9 riingen herkennen en tekenen p verkenning riingen in de werkelijkheid To en le zitten in een reuzenrd. Nog 90 grden drien en hun kje hngt helel ovenn. 5 4 6 3 7 2 1 8 In welk kje zitten ze ls het rd et de klok eedrit (in wijzerzin)?............................................. In welk kje zitten ze ls het rd niet et de klok eedrit (in tegenwijzerzin)?............................................. uid het punt (het entru) n wr het rd rond drit. Vergelijk de fstnd vn de kjes tot het entru. Wt stel je vst? e fstnd tussen het entru en de kjes is telkens gelijk.................................................................................................................................. Liesje zit in kje 6 en het rd drit in tegenwijzerzin. Hoe groot is de drihoek die Liesje nog oet fleggen voor ze kn uitstppen?. 225........................................... e klsdeur drit open. Wrrond drit de klsdeur? e shrnieren vn de deur zijn het entru vn de driing.................................................................................................................................. Welke drizin heeft de deur vn je kls ls de deur open gt? Wijzerzin of tegenwijzerzin. (fhnkelijk vn de deur.) In kje 3 In kje 7................................................................................................................................. Het drieeld vn een punt ls de uto 80 k/u rijdt, duidt de snelheidseter 80 n. Teken de nld voor 80 k/u. Meet =... en =... Is de nld vn lengte vernderd ls ze 80 k/u nduidt? Neen................................................................................................................................. Hoe groot is de hoek wrover de nld is gedrid vn 0 tot 80 k/u? 70 3 3................................................................................................................................. Wiskundetl egrippen Het punt is het drieeld vn het punt door een driing rond het punt over een hoek α. Het entru vn een driing is het punt wrrond wordt gedrid. e drihoek heeft een grootte (het ntl grden) en een zin (wijzerzin of tegenwijzerzin). Wijzerzin noteer je et een negtieve hoek. Tegenwijzerzin noteer je et een positieve hoek. eeld vn een punt door een driing: r (,α) () = ' ' = α = ' 70 (= tegenwijzerzin) 70 (= wijzerzin) wijzerzin: " = 70 tegenwijzerzin: ' = 70 36 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk
Wiskundetl syolen Weetje α is een letter uit het Griekse lfet en wordt in de wiskunde vk geruikt o hoekgrootten n te duiden. rottie = driing (kleine letter) wt gedrid wordt (tussen ronde hkjes) r (,α) () = ' drieeld driingshoek entru vn de driing r (,α) () = ' lees je ls het eeld vn door driing et entru en over een hoekgrootte α is '. Stppenpln het drieeld vn een punt tekenen et geodriehoek en psser Teken een irkel et entru en strl. Teken []. Teken hoek ' zodt ' op de irkel ligt. Let op de drizin. Het drieeld vn een figuur ri de figuur E rond entru over een hoek vn 120. Hoe g je te werk? Teken.................. het........... drieeld................................ vn............ lle........... hoekpunten. Verind de................. drieelden................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ E E Wiskundetl egrippen Het drieeld vn een figuur vind je door de eplende punten vn de figuur te drien. r (, 100 ) ( ) = ''' r (,α) ( ) = ''' lees je ls het drieeld vn de driehoek rond entru over hoek α is driehoek '''. 100 efeningen 661 662 22 epl de drihoek. r(,...) -30 F = F' Wt oet je kunnen? F F 23 Teken het drieeld vn de punten, en door r (, 40 ). het drieeld vn een punt, een lijnstuk, een rehte, een vlkke figuur tekenen een driing herkennen (het entru vn een driing vinden, de drihoek vn een driing eplen) ' ' ' 663-665 666-679 37
M10 Eigenshppen vn de driing p verkenning Teken het drieeld vn figuur E. e figuur wordt gedrid rond entru over een hoek vn 100. Het drieeld vn is, het drieeld vn is, enz. E P E P Lijnstukken Meet op de figuur de lengte vn de lijnstukken. 1,2 2 =................................................... =................................................... =................................................... =................................................... Wt stel je vst?................................................................................................................................. Vergelijk in oefening 22 de lengte vn de overeenkostige lijnstukken in de figuren en in hun drieeld. Wt kun je esluiten?................................................................................................................................. Hoeken Meet op de figuur de grootte vn de hoeken. =.............. ' =.............. =... ' =............... Wt stel je vst?................................................................................................................................. Vergelijk in oefening 22 de grootte vn de hoeken in de figuren en in hun drieeld. Wt kun je esluiten? 1,2 2 Het drieeld vn de lijnstukken is even lng ls de originele lijnstukken. Elke driing ehoudt de lengte vn een lijnstuk. 118 118 90 90 Het drieeld vn de hoeken is even groot ls de originele hoeken. Elke driing ehoudt de grootte vn de hoek.................................................................................................................................. e onderlinge ligging vn rehten Wt is op de figuur de onderlinge ligging vn de rehten? Vul in. // // Elke driing ehoudt de onderlinge ligging vn rehten............. Wt stel je vst?................................................................................................................................ Eigenshppen de driing Het drieeld vn een rehte is een rehte. Het drieeld vn een lijnstuk is een lijnstuk. Het drieeld vn een hlfrehte is een hlfrehte. Elke driing ehoudt: de lengte vn een lijnstuk; de grootte vn een hoek; de evenwijdigheid vn rehten; de loodrehte stnd vn rehten. e vor en de grootte vn een figuur lijft dus ehouden ij een driing. 38 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk
efeningen 24 Een irkel et een oppervlkte vn 20 ² wordt gedrid over een hoek vn 180. 20 ² Wt is de oppervlkte vn het eeld vn deze irkel?................................................................................................................... 680 681 Welke eigenshp he je geruikt o je ntwoord te vinden? e driing ehoudt de lengte vn een lijnstuk; de strl lijft even groot. 25 Gegeven: r (, 90 ) Gevrgd: Kleur het drieeld vn de luwe driehoek. 682 683 26 Teken door zo weinig ogelijk punten te drien r (o,110 ) () = '''' Hoeveel punten he je gedrid o het eeld te vinden?.................................................................................................. Welke eigenshp(pen) vn de driing he je geruikt? Twee e driing ehoudt de lengte vn een lijnstuk, de hoekgrootte en de loodrehte stnd of de evenwijdigheid vn rehten. 684 685-687 27 Het drieeld vn de driehoek is fout. n welke eigenshppen wordt niet voldn?. e......... grootte...................... vn............ de........ drihoek.............................. is...... vershillend............................ Hierdoor.......................... lijft.............. de........ lengte................... vn............................. de........ lijnstukken............................... en......... de........ grootte...................... vn............ de............... hoeken...................... niet............ ehouden,............................... dus............ verndert........................... de vor en de grootte vn de driehoek.......................................................................................................... 688 Wt oet je kunnen? de eigenshppen vn de driing onderzoeken in oefeningen de eigenshppen vn de driing ntonen n de hnd vn een vooreeld de eigenshppen vn de driing verwoorden de eigenshppen vn de driing toepssen o het drieeld vn een figuur te tekenen 39
M11 e puntspiegeling p verkenning e puntspiegeling ri driehoek over een hoek vn 180 et K ls entru. Het drieeld vn het punt is het punt, het drieeld vn is en het drieeld vn is. Meet de lengtes. 3,8 3,6 1,7 3,8 3,6 1,7 K =... K =................................................ K =... K =................................................ K =......................................... K =................................................ Wt stel je vst? K is het idden vn de lijnstukken, en................................................................................................................................. eze ijzondere driing wordt ook een puntspiegeling genoed. K Wiskundetl egrippen Een puntspiegeling is een driing et een drihoek vn 180 of 180. Het entru vn de driing is het spiegelpunt. r (,180 ) (F) = s (F) = F' is het spiegelpunt. F F Wiskundetl syolen spiegeling (kleine letter) s () = ' wt gespiegeld wordt (tussen ronde hkjes) spiegeleeld n vn het spiegelpunt ( wordt een eetje lger geshreven, hoofdletter) s () = ' lees je ls het spiegeleeld vn door puntspiegeling et spiegelpunt is '. Het syetrieiddelpunt Teken in vierknt de digonlen. Noe het snijpunt vn de digonlen M. Spiegel t.o.v. het punt M. Wt erk je op? Het spiegeleeld vlt sen et....................................................................................................................................................................................................... = ' = ' = ' M = ' 40 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk
Wiskundetl egrippen Een syetrieiddelpunt vn een figuur is het spiegelpunt dt de figuur op zihzelf spiegelt. is een syetrieiddelpunt vn figuur F. s (fig. F) = fig. F efeningen 28 Teken s (), s (), s () s (ruit ) Wt is het punt vn figuur?................................................................................................... het eeld vn het lijnstuk s ([]). Het punt is het syetrieiddelpunt vn deze zeshoek. 689 690 691-693 29 Een kunstwerk vn M.. Esher. Zoek het entru vn de driing die hond 1 op hond 2 feeldt. 180 Hoe groot is de drihoek?.......................................... 30 nderzoek. Teken in de figuren de syetrieiddelpunten in luw en de syetriessen in het rood. Let op! Niet lle figuren zijn syetrish of heen een syetrieiddelpunt. Heen lle syetrishe figuren een syetrieiddelpunt?.. Neen.................. Zijn lle figuren et een syetrieiddelpunt syetrish? Neen.................... 694 695 31 Test je kennis vn lle trnsforties verder in het oefenoek. Wt oet je kunnen? het eeld vn een punt, een lijnstuk, een rehte, een vlkke figuur tekenen door een puntspiegeling het syetrieiddelpunt vn een figuur eplen 696 697 698-701 41
Prolesolving 1 e regeltige vijfhoek (lle zijden zijn even lng en lle hoeken zijn even groot) wordt gespiegeld t.o.v. de s, wrij wordt fgeeeld op. e eeldvijfhoek wordt drn gespiegeld t.o.v., wrij wordt fgeeeld op. Zo g je verder. N hoeveel keer spiegelen krijg je vijfhoek voor het eerst terug? e so vn de hoeken vn een vijfhoek is 540. Eén hoek vn een regeltige vijfhoek edrgt 540 : 5 = 108. Eén keer spiegelen geeft hetzelfde resultt ls r(,108 ). Twee keer spiegelen kot overeen et een driing vn 216, pdt de vijfhoek terug op de eerste plts zou liggen oet de driingshoek een veelvoud vn 360 zijn. 2 360 = 720. it is geen veelvoud vn 108. 3 360 = 1080 = 10 108. e vijfhoek oet tien keer gespiegeld worden............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. '' ' 2 yln oet een vierknt leggen et een ntl puzzelstukjes zols hiernst. e puzzelstukjes ogen niet op elkr liggen. Hoeveel puzzelstukjes heeft yln nodig? 3 8 9 12 E 27. ls....... je.... een........ vierknt.................. wilt........ ekoen.................... oet............ het........ ntl.............. kleine............. vierkntjes.............. een kwdrt zijn. dt elk puzzelstukje uit drie vierkntjes estt, oet het totl ntl. vierkntjes....................... deelr................... zijn........ door.......... 3................................................................... Kwdrten: 1 4 9 16 25 36 49............................................................................................................................... Kwdrten deelr door 3: 9 36. Met......... 9... vierkntjes.......................(drie.......... puzzelstukjes)............................. kun......... je.... geen........... vierknt.................. leggen........... Met 36 vierkntjes wel. Hiervoor he je 36 : 3 = 12 puzzelstukjes nodig. 3 Mk de figuur syetrish door zo weinig ogelijk extr vierkntjes te kleuren. 4 e ijferointie vn dit slot vind je ls volgt. e eerste twee getllen zijn de oördintgetllen vn punt Q. Q(30, 80) e twee volgende ijfers zijn de oördintgetllen vn het spiegeleeld vn Q (= Q ). Het punt Q wordt gespiegeld t.o.v. de rehte et ls vergelijking x = 50. e twee ltste ijfers zijn de oördintgetllen vn het snijpunt vn [QQ ] en de spiegels. e ijferslotointie is: 30, 80, 70, 80, 50, 80................................................................................................................................. 42 Prolesolving 5 In een hine zitten twee tndwielen tegen elkr. e strl vn het grote tndwiel is 3 keer zo groot ls de strl vn het kleine tndwiel. Wt geeurt er et het kleine tndwiel ls het grote tndwiel één keer tegen de klok in rond drit? Het kleine tndwiel drit in tegengestelde rihting................................................................................................................................. vn het grote tndwiel.................................................................................................................................. trek kleine tndwiel: 2πr................................................................................................................................. trek grote tndwiel: 2π(3r) = 6πr................................................................................................................................. Het kleine tndwiel drit drie keer et de klok ee.