OPGVE NTWOOREN ) Gebruik de invrint I. G moet dn een rek ngeven vn b) e rekken zijn gegeven in twee verschillende ssenstelsels: 6,0 0 4. α e tensor componenten vn deze rekken zijn gegeven ls: 4 4 ε 6,0 0 ε,0 0 4 4 ε,0 0 ε 6,0 0 ε? ε? e hoek tussen beide ssenstelsels is α 5, grden. oor gebruik te mken vn de op het formulebld gegeven tensortrnsformtieformules kunnen de ontbrekende componenten worden bepld: ε ( ε + ε ) + ( ε ε )cosα + ε sinα ε ( ε ε ) ( ε ε )cosα ε sinα ε ε ε α ε α + ( )sin + cos met: dus: cosα 0, 6 sinα 0,8 9 6 7 α α α 5 5 4 4 sin α sinα cosα 0,96 5 5 5 cos cos sin 0, 8 et een vn de eerste twee tensortrnsformtieformules kn ε worden bepld: + + ε 4 4 4, 0 0, 0 0 4, 0 0 0, 8 ε 0,96 ( ) 4 4,0 0 + 0, 8, 0 0 0,96 e rektensor in het -- ssenstelsel wordt drmee: 4 ε ij 4 6,0,0 0, 0, 0-9 -
c) et de spnning-rek reltie kn hieruit de spnningstensor worden fgeleid: ( ) ( ) 60 0 6,0 + 0,5 (,0) 0 88,0 N/mm 4 60 0,0 + 0,5 (6,0) 0 8,0 N/mm 4 50 0 0 6 N/mm, 5 4 e spnningstensor wordt hiermee: ij 88,0 6,0 6,0 8,0 N/mm ( punten in de cirkel vn ohr ) () irkel vn ohr voor de spnningen 8,0 N/mm R r ( ; ) // -s m () ( ; ) r 60 N/mm m 40 N/mm // -s ( ) ( ; ) 40;60 m+ r 00,0 N/mm m r 0,0 N/mm 0 d) e spnningen op kunnen worden bepld met de cirkel vn ohr door de norml vn het vlk door het R te tekenen en het snijpunt met de cirkel te beplen. 60 N/mm 40 N/mm e) fschuifvervorming is per definitie : γ ε + ε ε 6,0 0-0 - f) et de gevonden hoofdspnningen kn de spnningssitutie worden getoetst n het von ises criterium: {( ) ( ) ( ) } γ + + f 0 6 γ 5 { 0 + 0 + 00 } γ, 0 6 4
OPGVE e constructie is hieronder nog eens weergegeven : S,0 m,0 m,0 m S,0 m,0 m -s z-s e bijbehorende invloedslijnen t.g.v. een eenheidslst zijn hieronder weergegeven.,0,0,0 Invloedslijn voor,0,5 Invloedslijn voor V -rechts,0 knikje,0 Invloedslijn voor w -S kromme lijn kromme lijn rechte lijn ongunstigste belsting configurtie voor 5,0 kn/m 5,0 kn/m 5,0 (,0 6,0) + 5,0 (,0,0) 67,5 knm m iguur : Invloedslijnen vn deelvrg Voor de bentwoording vn deelvrg wordt verwezen nr het dictt. - -
OPGVE ) e constructie is enkelvoudig sttisch onbepld. Er zijn plstische schrnier nodig om een mechnisme te lten ontstn. it schrnier kn op pltsen ontstn. rmee zijn er drie mogelijke mechnismen. Schetsen vn de drie mechnismen zijn hieronder weergegeven. Zonder duidelijke schets vn de kinemtic wordt de vrg niet beoordeeld! E R E echnisme R E echnisme E echnisme E R E iguur : ogelijke mechnismen - -
echnisme : 4 p δ p δ p δ p δ + p δ + p δ 0 p 5 stf stf E stf E belsting p echnisme : 5 p δ p δ p δ p 0+ p δ + p 0 0 p stf stf stf E belsting echnisme : 5 p δ p δ p δ p δ + p δ + p δ 0 p 7 stf stf E stf E belsting e lgste bezwijklst wordt geleverd door mechnisme. ls nergens in de constructie de sterkte vn de stfdelen wordt overschreden moet mechnisme het bezwijkmechnisme zijn. Ter controle wordt de momentenlijn behorende bij mechnisme getekend. TIP : e horizontle oplegrectie in kn gevonden worden door de momentensom te beplen vn de gehele constructie t.o.v. en deze gelijk n nul te stellen. Vervolgens kn met de vrijgemkte stf E met het bekende moment in E de verticle oplegrectie in worden bepld. p p 5 p 5 p 7 0 p 0 p p p E 4 iguur : Oplegrecties iguur : -lijn. - -
OPGVE 4 ) Ten opzichte vn de bovenrnd ligt het N op: z N t + t 5 50 mm 6 t 6 Ten opzichte vn de rechterrnd ligt het N op: N t + t 0 mm 6 t e trgheidsgrootheden kunnen nu worden bepld t.o.v. het N: E 6Et 04 EI E t 8 + t 4 + t 4 + t 4 Et 48 5 4 6 86 EI zz E t 6 + t + t 6 + t7 + t 6 Et 6 5 EI ( 4 z E t ) ( 6) + t ( ) ( 6) + t ( ) ( 6) Et Invullen vn de gegeven fmetingen levert: E EI EI EI 6 846 0 N; 8 8 8 0 Nmm ; zz 6784 0 Nmm ; z 068 0 Nmm b) e doorsnede wordt belst op buiging, de rek in de vezel door het N is dus 0! e krommingen in - en z-richting moeten worden bepld met de constitutieve reltie voor de doorsnede op buiging: 6 EI EI z κ 0 0 8 068 κ 0 6 EI z z EI zz κ z 0 0 068 6784 κ z zie formulebld - - κ mm κz mm 040 60480 κ z Het krommingsvlk stt onder een hoek: tnαk κ z Het belstingsvlk stt onder een hoek: tnα m e doorsnede kromt dus in hetzelfde vlk ls wrin deze wordt belst. t kn lleen ls deze richting de hoofdrichting is. Het profiel is immers niet-smmetrisch! c) Het rek- en spnningsverloop over de doorsnede in het -z-ssenstelsel is: z ε( z, ) ε + κ + κz z ; ( z, ) E ε( z, ) 040 60480-4 -
Op bsis vn de rekverdeling kunnen de spnningen in de punten R, S, T, U en V worden bepld: E N/mm z Spnning N/mm R 00000 90-50 -49,9 S 00000 0-50 -, T 00000-0 -50 6,8 U 00000 0 0 -,5 V 00000-0 0 -,5 it spnningsverloop kn worden getekend in de doorsnede wrbij de spnningen loodrecht worden uitgezet op het (dunne) pltmteril. d) e neutrle lijn die door het N gt wordt weergegeven door de vergelijking: z 0 In de onderstnde figuur zijn de hierboven gegeven ntwoorden weergegeven. Nmm 6 Nmm R S + T 6 Nmm - + 50 mm 49 Nmm - U N 0 mm z 0 mm - nl Nmm V 60 mm 0 0 iguur : Normlspnningen t.g.v. buiging erk op : e neutrle lijn gt i.v.m. de fwezigheid vn normlkrcht door het N. In U en V treedt dezelfde drukspnning op ngezien deze punten gelijke fstnden tot de neutrle lijn hebben. - 5 -
Schuifspnningen e doorsnede is niet-smmetrisch wrdoor er geen gebruik kn worden gemkt vn de gebruikelijke methode voor het beplen vn de schuifspnningen tenzij het -z-ssenstelsel smenvlt met de hoofdrichting. Er moet dus gebruik worden gemkt vn de lgmene methode: s R s b ( ) ( ) ( ) V; t ( ) Hierbij is het vn belng dt lleen de normlspnningen worden gebruikt t.g.v. het buigingsndeel. e eerder beplde spnningsverdeling voldoet hiern en kn dus worden gebruikt. e) e mimle schuifspnning treedt op wr de neutrle lijn t.g.v. lleen buiging de doornsede snijdt. Er zijn twee mogelijke punten. Uit de formule voor de ( ) schuifspnning blijkt dt de mimle schuifspnning optreedt dr wr de R miml is. Op bsis vn het normlspnningsverloop is in te zien dt het snijpunt in de bovenflens mtgeven zl zijn. it punt wr de normlspnning nul is wordt ngeduid met W. it punt heeft t.o.v. R een fstnd vn 65 mm hetgeen snel kn worden ingezien.h.v. de helling vn de neutrle lijn. e schuifspnning is nul n de rnd in R en miml in W. f) e grootte vn de schuifspnning in W kn worden bepld door de resultnte vn de normlspning te beplen op het fschuivende deel WTV. R ( ) (6,8,5) 80 + T 6,8 55 6896,8 N ( ) R t V ( ) b 6 0 0 0 Nmm + 0 5 0 N V + 6896,8 t V 0,95 N/mm t t W t iguur : Tekenfsprk t e positieve richting vn de schuifspnningen zijn in bluw in de figuur hiernst weergegeven (zie ook diktt). eze richting komt overeen met de richting vn de dwrskrcht in de -richting. e richting vn deze schuifspnning werd overigens niet gevrgd. V - 6 -