Aaloge Elektroika FEKWENTIEESPONSIE Als me aa ee lieair systeem ee sius aalegt, da meet me aa de uitgag ook ee sius, met dezelfde frekwetie maar met ee adere amplitude e ee adere faze (figuur ). (t) V i si t (t) V uit si (t ϕ) LINEAI SYSTEEM Fig. Hoe de amplitude e de faze a het uitgagssigaal eradere i fuktie a de frekwetie oeme we de frekwetieresposie a ee lieair systeem. Om deze frekwetieresposie te berekee moet eerst de trasferfuktie a het systeem worde opgesteld. Daara moet s erage worde door j: me bekomt da ee kompleks getal. De modulus a dit kompleks getal is da gelijk aa de erhoudig V uit /V i, de faze a dit kompleks getal is gelijk aa de fazeerschuiig ϕ a het uitgagssigaal. We illustrere deze methode aa de had a erschillede oorbeelde.. HET BEEKENEN VAN DE AMPLITUDE EN FAE Om de trasferfuktie a ee systeem op te stelle wordt gebruik gemaakt a komplekse impedaties. We illustrere dit aa de had a ee eeoudig -etwerk (figuur ). We trasformere dit aar ee etwerk met komplekse impedaties: we bekome da figuur 3. Fig. We bekome da : UIT IN Fig. 3 s H(s) s De weerstad blijft ee weerstad, maar de codesator wordt u oorgesteld door zij impedatie / s. Hieri is s de komplekse frekwetie of de Laplace ariabele. Het grote oordeel a te werke met impedaties is dat alle methodes oor het oplosse a etwerke gewoo geldig blije. I dit geal kue we gewoo de formule a de potetiometrische delig toepasse. We oeme H(s) de trasferfuktie. Om de frekwetieresposie te berekee stelle we s j. De trasferfuktie ka da worde geschree als olged kompleks getal jϕ e met ϕ - bg tg () j Deze hoek ϕ is u precies gelijk aa de fazeerschuiig a het uitgagssigaal bij de frekwetie. Frekwetieresposie / 7
Aaloge Elektroika Om te berekee hoe de amplitude a het uitgagssigaal V uit arieert i.f.. de frekwetie, moge we stelle: V V uit i ( ) Dit geeft da ee olged erloop (figuur 4) : V uit V i 0 ϕ 5 0 0,707 0,447 0,94 0, 5 0-45 -78,7-84,3 Fig. 4 Om beter te kue zie wat er bij de lage frekweties gebeurt, e tegelijkertijd toch de hoge frekweties i de tekeig te behoude, is het aageweze om i horizotale as oer te gaa a ee lieaire aar ee logarithmische schaal. We bekome da figuur 5. 0,995 0,707 V uit V i -5,7-45 ϕ 0 0, 0, 0-84,3 Fig. 5 I de elektroika wordt ee erhoudig dikwijls uitgedrukt i decibel (db). Voor ee erhoudig a spaige eemt me da 0 maal het logarithme a die erhoudig. We defiiëre bijgeolg de amplitudeerhoudig A als olgt : Vuit A 0log 0log 0log Vi ( ) I figuur 6 is de frekwetieresposie geteked. Bij / is A 0log - 3,0dB De frekwetie / wordt de breekfrekwetie of de -3dB-frekwetie geoemd. 0 db -3 db A Fig. 6 0 Frekwetieresposie / 7
Aaloge Elektroika 3. TWEE -NETWEKEN IN KASKADE I figuur 7 is het schema geteked a twee -etwerke i kaskade. Fig. 7 Om de trasferfuktie te berekee, werke we met komplekse impedaties (figuur 8). 3 4 Fig. 8 Deze trasferfuktie wordt gegee door de olgede formule (zie module etwerktheorie ) UIT IN 3 4 4 3 Met 3 e 4 /s, e als we stelle τ bekomt me H(s) τ s 3 τ s Als we u s erage door j bekome we H(j ) τ (j) 3τ j (τ) 3τ j Hieruit olgt e 3τ φ( ) bgtg (τ) [ (τ) ] [ 3τ] Bij de frekwetie /τ bekome we da: 3 3 H(j ) e φ( ) bgtg bgtg 90 τ 3 τ () Het erloop a de amplitude e de faze i.f.. de frekwetie is oorgesteld i figuur 9. 4 Frekwetieresposie 3 / 7
Aaloge Elektroika 4 Fig. 9 3. NOTH FILTE Ee otch filter ka worde gerealiseerd door ee dubbele T-cel zoals geteked i figuur 0. A B / Fig. 0 Om de trasferfuktie T te berekee, gebruike we de stellig a Millma om de olgede drie ergelijkige eer te schrije: ( met τ ) IN UIT IN UIT s IN s UIT IN UIT A B τs τ s τ s s s s / A s B s A τs B τ s ( IN UIT ) ( τ s ) ( τs) Frekwetieresposie 4 / 7
Aaloge Elektroika 5 Hieruit olgt de trasferfuktie : UIT H(s) τ s ( τs) ( τ s ) τ s τ s 4 τ s Uit - τ τ 4 τ j is duidelijk af te leide dat oor de frekwetie /τ de trasferfuktie gelijk wordt aa ul (figuur ). Dit wil zegge dat oor /τ de uitgagsspaig gelijk wordt aa ul I ee werkelijke schakelig is er altijd ee kleie afwijkig op de kompoetwaarde. Hierdoor zal de uitgagsspaig iet perfekt ul zij, maar toch zeer klei. /τ Fig. Deze schakelig wordt gebruikt oor het oderdrukke a ee sigaal op éé welbepaalde frekwetie, b. het 50 Hz stoorsigaal. 4. L-SHAKELING We beschouwe de schakelig a figuur. L Fig. De spoel i deze schakelig heeft ee impedatie L Ls. De trasferfuktie ka dadelijk worde opgeschree door de formule a de potetiometrische delig: H(s) s Ls s s L s L L We kue deze trasferfuktie schrije i de olgede ormaalorm: H(s) s ζ s zodat L e ζ L We oeme de atuurlijke frekwetie e ζ de relatiee dempig. Met s j wordt de trasferfuktie H(j ) - ζ j Frekwetieresposie 5 / 7
Aaloge Elektroika 6 De modulus a dit kompleks getal is ( - ) (ζ ) Als da is H(j ) ( - ) (ζ ) Als bijoorbeeld ζ 0, da is de modulus gelijk aa 5! Is dit de maximale waarde a de modulus? De modulus ertoot ee maximum als de eelterm die oder het wortelteke staat ee miimum ertoot. De frekwetie waarbij dit gebeurt oeme we de resoatiefrekwetie r. Deze frekwetie kue we berekee door de afgeleide a de eelterm gelijk aa ul te stelle. We bekome da d [( - ) (ζ ) ] ( - ) (ζ ) 0 d Hieruit olgt r ζ Uit deze formule kue we afleide dat er slechts ee maximum (e dus ee resoatie) zal optrede als ζ < /. Dit maximum ka me berekee als me r iult i de formule a de modulus : H(j r ) 4 4 ( ζ ) 4ζ ( ζ ) 4ζ 4ζ 8ζ ζ ζ ζ De frekwetieresposie is geschetst i figuur 3. Naarmate de relatiee dempig ζ kleier is, is de resoatiepiek groter e ligt de resoatiefrekwetie dichter bij de atuurlijke frekwetie. Voor ζ 0 gaat het maximum aar oeidig! De faze a het komplekse getal erloopt olges de formule φ( ) bg tg ζ - 0 db A ϕ r Fig. 3 /ζ /ζ ζ Deze faze gaat a 0 aar 80. Voor is ϕ -90 (zie figuur 4). Hoe kleier de relatiee dempig ζ, hoe steiler de oergag gebeurt a 0 aar 80. -90-80 Fig. 4 Frekwetieresposie 6 / 7
Aaloge Elektroika 7 5. HET SALLEN-KEY FILTE Het schema a dit filter is geteked i figuur 5. We herkee de iet-ierterede ersterker met ersterkigsfaktor K. V V - Fig. 5 Door gebruik te make a de stellig a Millma kue we de olgede ergelijkige eerschrije: IN UIT s K s s s Door de obekede e te elimiere bekome we de olgede ergelijkig: UIT ( s) K IN UIT/K UIT s s Herschikke a deze ergelijkig geeft os [(s)(s)--k.s] K zodat de trasferfuktie wordt K H(s) UIT IN s () 3 K s () s K ζ s Door deze trasferfuktie te ergelijke met de ormaalorm kue we de atuurlijke frekwetie e de relatiee dempig bepale: e 3 K ζ Als we de weerstad erage door ee potetiometer, da ka me hiermee de relatiee dempig ζ istelle. De frekwetieresposie is precies dezelfde als die a de orige schakelig (figure 3 e 4). Frekwetieresposie 7 / 7