1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24 4 1 1 1 20 20 5 Werk eerst de helen weg en vermenigvuldig dn. Als je twee breuken vermenigvuldigd hoeven de noemers vn beide breuken NIET gelijk te zijn. Hl bij het ntwoord de helen er weer uit en vereenvoudig zoveel ls mogelijk. 1

1.0 Voorkennis Rekenen met mchten: Let op het teken vn de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op lfbetische volgorde. Vermenigvuldigen is exponenten optellen: 3 5 = 8 Optellen lleen bij gelijknmige termen: 3 3 + 4 3 = 7 3 Bij mcht vn een mcht exponenten vermenigvuldigen: ( 5 ) 4 = 20 Delen is exponenten ftrekken: Mcht vn een product: (2 3 ) 4 = 16 12 8 6 2 2

Voorbeeld 3: Hoeveel is 48% vn 560? Dit is 0,48 560 = 268,8 1.0 Voorkennis Voorbeeld 4: Op een school zijn vn de 87 leerlingen er 78 geslgd. Bereken hoeveel procent vn de leerlingen geslgd is. 87 leerlingen is 100% 1 1 leerling is 100 % 87 78 78 leerlingen is 100 % 87 Op deze school zijn dus 78 100 % 89, 7 % 87 vn de leerlingen geslgd.

1.0 Voorkennis In 2004 zijn er 3070 groentewinkels in Nederlnd. In 2014 zijn dit er nog 1625. Absolute verndering = Antl 2014 Antl 2004 = 1625 3070 = -1445 Reltieve verndering = Nieuw Oud Antl 2014 Antl 2004 100% 100% Oud Antl 2004 1.625 3.070 100% 47,07% 3.070 Let op: * Een bsolute verndering is ltijd een ntl of een hoeveelheid; * Een reltieve verndering is ltijd in procenten: Nieuw Oud 100% Oud 4

1.0 Voorkennis Voorbeeld 5: Een broek vn het merk Reply kost in 2011 129,-. Doordt de gestegen loonkosten gt de prijs in 2012 met 6% omhoog. Hoeveel kost deze broek nu in 2012? Om de prijs in 2012 te berekenen moet je bij het bedrg vn 129,- de prijsstijging optellen. Er moet dus 6% vn 129,- bijgeteld worden. 6% vn 129 = 0,06 129,- = 7,74 De prijs in 2012 wordt nu: 129,- + 7,74 = 136,74 Dit vlt ook in één keer uit te rekenen: 1,06 129,- = 136,74 Algemeen: Bij een toenme vn 6% geldt: 1) NIEUW = 1,06 OUD 2) NIEUW = OUD + 0,06 OUD

1.0 Voorkennis Voorbeeld 6: Een broek vn het merk Reply kost in 2012 136,74. Doordt de gestegen loonkosten is de prijs 6% hoger dn in 2011. Hoeveel kostte deze broek nu in 2012? Om de prijs in 2012 te berekenen moet je bij de onbekende prijs uit 2011 6% optellen. 100% + 6%= 106%. Dit is een groeifctor [g] vn 1,06. NIEUW = g OUD Prijs in 2012 = g Prijs in 2011 136,74 = 1,06 Prijs in 2011 Prijs in 2011 = 136, 74 1, 06 129, Let op: Je kent nu wel de nieuwe, mr niet de oude prijs. 6

1.1 Mtsystemen [1] In 2004 zijn er 3070 groentewinkels in Nederlnd. In 2014 zijn dit er nog 1625. Absolute verndering = Antl 2014 Antl 2004 = 1625 3070 = -1445 Reltieve verndering = Nieuw Oud Antl 2014 Antl 2004 x100% x100% Oud Antl 2004 1.625 3.070 x100% 47,07% 3.070 Let op: * Een bsolute verndering is ltijd een ntl of een hoeveelheid; * Een reltieve verndering is ltijd in procenten: Nieuw Oud x100% Oud 7

1.1 Mtsystemen [1] Voorbeeld 1: In 2014 zijn 50 groentewinkels dicht gegn. Hoeveel procent vn het totl is dit? Dicht 2014 50 x100% x100% 3,1% Totl 2014 1625 Voorbeeld 2: In 2014 is 3,1% vn de groentewinkels dicht gegn. Hoeveel groentewinkels zijn dit? 0,031 x Totl 2014 = 0,031 x 1625 = 50 groentewinkels. Voorbeeld 3: Vn lle specilzken in 2014 is 13% een groentewinkel. Hoeveel specilzken zijn er in 2014? Groentewinkels = 13% vn het ntl specilzken 1625 = 0,13 x ntl specilzken Antl specilzken = 1625 12.500 0,13 8

1.1 Mtsystemen [1] Voorbeeld 4: In 2014 wren er 12.500 specilzken. Sinds 2012 is het ntl specilzken fgenomen met 7%. Bereken hoeveel specilzken er in 2012 wren. Antl 2014 = 0,93 Antl 2012 12.500 = 0,93 Antl 2012 Antl 2012 = 12.500 13.441 0,93 Let op: Als het oude ntl bekend is, kun je met behulp vn de gegeven toenme (of fnme) het nieuwe ntl uitrekenen: NIEUW = (1 + p/100) OUD Als het nieuwe ntl bekend is, kun je met behulp vn de gegeven toenme NIEUW (of fnme) het oude ntl uitrekenen: OUD = p 1 100 9

1.1 Mtsystemen [1] Vuistregels bij procentberekeningen: Rond procenten f op één deciml; Geef kleine geldbedrgen in centen nuwkeurig; Rond tijdens de berekening zo weinig mogelijk tussentijds f; Geef gevrgde hoeveelheden in dezelfde nuwkeurigheid ls de gegeven hoeveelheden; Lees de opgve GOED door. Voorbeeld: In 2014 ws het ntl groentewinkels 1.625. In 2015 nm het ntl winkels met 2,6% f. In 2016 wordt een fnme vn nog eens 1,7% verwcht. Bereken het verwchte ntl groentewinkels n het eind vn 2016 Antl winkels 2016 = 0,974 0,983 Antl winkels 2014 = 0,974 0,983 1.625 = 1.556 Let op: Hierboven is berekend zonder tussentijds f te ronden. 10

Voorbeeld 1: 1 miljoen = 1.000.000 1.1 Mtsystemen [2] In dit getl komen zes nullen voor. Om deze reden geldt: 1.000.000 = 10 6 Voorbeeld 2: 700.000 = 7 100.000 In dit getl komen vijf nullen voor. Om deze reden geldt: 700.000 = 7 10 5 (7E5 op de GR) Voorbeeld 3: 1.650.000 = 1,65 1.000.000 In dit getl komen zes nullen voor. Om deze reden geldt: 1.650.000 = 1,65 10 6 (1.65E6 op de GR) Om dit in gewone nottie te schrijven moet de komm 6 pltsen nr rechts. Deze mnier vn nottie heet de wetenschppelijke nottie en is vn de vorm: 10 b wrbij een getl tussen 1 en 10 is. 11

Voorbeeld 4: 1 1 0,01 10 2 100 10 Voorbeeld 5: Voorbeeld 6: 1.1 Mtsystemen [2] 2 1 1 0,00001 10 5 100.000 10 5 0,0000008 8 0,0000001 8 10 7 (8E-7 op de GR) Voorbeeld 7: 0,000000000314 3,14 0,0000000001 3,14 10 10 (3.14E-10 op de GR) Om dit in gewone nottie te schrijven moet de komm 10 pltsen nr links. 12

1.1 Mtsystemen [3] Millimeter, centimeter, meter en kilometer zijn lengte-eenheden. De volgende lengte-eenheden moet je kennen: km hm dm m dm cm mm Een stp nr rechts betekent 10, Een stp nr links betekent : 10, dus 1 m = 10 dm dus 10 cm = 1 dm km = kilometer dm = decmeter dm = decimeter mm = millimeter hm = hectometer m = meter cm = centimeter 13

1.1 Mtsystemen [3] Vierknte millimeter, vierknte centimeter en vierknte meter zijn oppervlkte-eenheden. De volgende oppervlkte-eenheden moet je kennen: km 2 hm 2 =h dm 2 =re m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Een stp nr rechts betekent 100, dus 1 m 2 = 100 dm 2 Een stp nr links betekent : 100, dus 100 cm 2 = 1 dm 2 km 2 = kilometer 2 hm 2 = hectometer 2 (hectre) dm 2 = decmeter 2 (re) m 2 = meter 2 dm 2 = decimeter 2 cm 2 = centimeter 2 mm 2 = millimeter 2 14

1.1 Mtsystemen [3] Kubieke decimeter, liter en milliliter zijn inhouds-eenheden. De volgende inhouds-eenheden moet je kennen: km 3 hm 3 dm 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Een stp nr rechts betekent 1000, dus 1 m 3 = 1000 dm 3 Een stp nr links betekent : 1000, dus 1000 cm 3 = 1 dm 3 dm 3 cm 3 l dl cl ml Verder geldt: 1 liter (dm 3 ) = 10 dl = 100 cl = 1000 ml (cm 3 ) 15

1.1 Mtsystemen [4] 1 km/uur = 1000 m/uur = 1000 m/3600 s = 1 m/3,6 s = 1 uur = 60 60 = 3600 seconden. 1 m/s = 3600 m/uur = 3,6 km/uur. 1 m / s 3,6 Voorbeeld 1: Peter doet bij een hrdloopwedstrijd over een fstnd vn 400 meter, 50 seconden. Hoeveel km/uur ws zijn gemiddelde snelheid. 400 meter in 50 seconden = 400 400 m / s 3,6 km / uur 28,8 km / uur 50 50 Een lichtjr is de fstnd die het licht in een jr flegt. De snelheid vn het licht in een lege ruimte is ongeveer 300.000 km/s. Een lichtjr is 300.000 365 24 60 60 9,46 10 12 16

1.1 Mtsystemen [4] Voorbeeld 2: De fstnd vn de zon nr de rde is ongeveer 8,3 lichtminuten. Hoeveel km is dt? Geef het ntwoord in miljoenen km. Gebruik dt de snelheid vn het licht 300 duizend km/s is. 8,3 minuten = 8,3 60 = 498 seconden. De fstnd is 498 300.000 = 149,4 miljoen km. 17

1.2 Mchten en wortels [1] Herhling rekenregels voor mchten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: 3 5 = 8 Optellen lleen bij gelijknmige termen: 3 3 + 4 3 = 7 3 Bij mcht vn een mcht exponenten vermenigvuldigen: ( 5 ) 4 = 20 Delen is exponenten ftrekken: 8 6 2 Mcht vn een product: (2 3 ) 4 = 16 12 Algemeen: p p q p q p q 1) 2) q 3)( ) 4)( b) b p q pq p p p 18

1.2 Mchten en wortels [1] Meer rekenregels: 5) 0 = 1 wnt n 1 6) n wnt 6 6 6 0 1 6 2 2 1 7 7 5 5 Voorbeeld 1: Schrijf ls mcht vn : 1 8 : : 3 8 3 8 3 5 Voorbeeld 2: Schrijf zonder negtieve exponenten: 3 3 1 1 243 243 9 7 3 27 243 27 7 243 3 3 3 3 19

1.2 Mchten en wortels [2] Rekenregels voor mchten: p p q p q p q [1] [2] q p q pq p p p ( ) [3] ( b) b [4] Voorbeeld 1: Herleid de formule N = 300 1,176 3t +2 in de vorm N = b g t N = 300 1,1763t +2 N = 300 1,176 3t 1,176 2 Rekenregel [1] N = 300 (1,176 3 ) t 1,383 Rekenregel [3] N = 300 1,383 1,626 t N = 415 1,626 t 0 = 1 [5] n 1 [6] n 20

1.2 Mchten en wortels [2] Rekenregels voor mchten: p p q p q p q [1] [2] q p q pq p p p ( ) [3] ( b) b [4] Voorbeeld 2: Herleid de formule y = 15 6 y 15 27x 9 27x 1 y 405x 6 x 27 15 9 15(3 x ) 5 3 6 (3 x ) 3 3 Rekenregel [4] Rekenregel [6] 0 = 1 [5] n 1 n [6] in de vorm y = x n y 90x 6 Rekenregel [1] 21

1.2 Mchten en wortels [3] De functie x 2 = p heeft twee oplossingen ls p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing ls p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen ls p < 0; Het bovenstnde geldt bij elke even exponent. 22

1.2 Mchten en wortels [3] De functie x 3 = p heeft ltijd één oplossing; Het bovenstnde geldt bij elke oneven exponent. 23

1.2 Mchten en wortels [3] Voorbeeld 1: x 2 = 9 x = 9 x = - 9 x = 3 x = -3 Voorbeeld 2: x 4 = -81 Geen oplossingen. Voorbeeld 3: x 3 = 27 x = 3 27 = 3 Voorbeeld 4: x 3 = -27 3 x = 27 = -3 Let op: Wortels die mooi uitkomen, moet je ltijd herleiden. 24

Herhling: 1.2 Mchten en wortels [3] n n n b b en b b Voorbeeld 1: Bereken 9 169 3 100 9 169 3 100 9 13 3 10 117 30 147 Voorbeeld 2: Schrijf de formule A 4 256b 4 4 A 256 b. 4 A 16 b 4 4 A 256b in de vorm A c b 25

Herhling: 1.2 Mchten en wortels [3] n n n b b en b b Voorbeeld 3: Herleid de formule 5 5 5 B 3 35p 40p tot de vorm B c p met c in twee decimlen nuwkeurig. 5 5 B 3 35p 40p 5 5 5 5 B 3 35 p 40 p 5 5 B 3 2,036... p 2,091... p B 8,20 5 p 26

1.2 Mchten en wortels [4] Meer rekenregels voor mchten: 7) 1 q q 8) p q q p Voorbeeld 1: Schrijf zonder negtieve en gebroken exponenten: 6 1 1 3 3 3 6 6 3 4 b 3 4 3 4 b b Voorbeeld 2: Schrijf ls mcht vn x: 2 2 2 2 5 2 2 5 5 27

1.3 Breuken en verhoudingen [1] Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 6x 2x 2 6x( 2x 2) 6( 2x 2) 12x 12 2 2 7 x 7x 7x 7x Voorbeeld 3: 6 9 b 24 ( 9 b) 216 24b 72 8 4 b 3 3b 3b b 28

1.3 Breuken en verhoudingen [2] 3 7 en 2 7 hebben dezelfde noemer. Deze breuken zijn gelijknmig. 4 6 en 2 5 hebben niet dezelfde noemer. Deze breuken zijn niet gelijknmig. Voorbeeld 1: 3 7 2 7 5 7 Gelijknmige breuken kun je meteen optellen Voorbeeld 2: 4 2 4 5 2 6 6 5 6 5 5 6 20 12 32 2 1 1 1 30 30 30 30 15 Niet gelijknmige breuken moet je eerst gelijknmig mken, voordt je ze op kunt tellen. Vereenvoudig uitkomst en hl helen eruit. 29

1.3 Breuken en verhoudingen [2] Voorbeeld 3: 6 7 p q 6q 7p 6q 7p pq pq pq Voorbeeld 4: 5 7 2x 3y 15 y 14x 15 y 14x 6xy 6xy 6xy Voorbeeld 5: 1 6 b 6 1 1 b 6b 1 6b 1 b b b 30

1.3 Breuken en verhoudingen [3] Voorbeeld 1: Bij het telecombedrijf TELBEL betl je 10 euro voor 100 belminuten. Hierbij hoort de volgende verhoudingstbel: Belminuten 50 100 200 400 bedrg ( ) 5 10 20 40 Als je ntl belminuten met 2 vermenigvuldigt, wordt het te betlen bedrg ook twee keer zo groot. Dit zijn evenredige grootheden. De verhouding 50 : 5 is gelijk n de verhouding 400 : 40. Wnneer je deze verhoudingstbel in een grfiek tekent, krijg je een rechte lijn door de oorsprong. 31

1.3 Breuken en verhoudingen [3] Voorbeeld 2: Een groenteboer heeft ppels, peren en bnnen in de nbieding in de verhouding 8 : 6 : 4. Hij 100 peren meer dn hij bnnen heeft. Bereken hoeveel fruit de groenteboer in de nbieding heeft. In totl zijn er 8 + 6 + 4 = 18 gelijke delen. Het verschil tussen peren en bnnen is 2 delen. 2 delen is gelijk n 100 stuks fruit. 1 deel is dus gelijk n 50 stuks fruit. In totl heeft de groenteboer 18 50 = 900 stuks fruit in de nbieding. 32

1.4 Werken met vribelen [1] Herhling hkjes wegwerken: (b + c) = b + c ( + b)(c + d) = c + d + bc + bd (b) 2 = 2 b 2 Voorbeeld 1: ( + 5)( 6) (2 + 5)(- + 7) = 2 6 + 5 30 ( 2 2 + 14 5 + 35) = 2 6 + 5 30 + 2 2 14 + 5 35 = 3 2 10 65 33

1.4 Werken met vribelen [1] Herhling merkwrdige producten: ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 ( b) 2 = 2 2b + b 2 ( + b)( b) = 2 - b 2 Voorbeeld 2: (5) 2 (2-3b) 2 = 25 2 (4 2 12b + 9b 2 ) = 25 2 4 2 + 12b 9b 2 = 21 2 + 12b 9b 2 Voorbeeld 3: 4(x 7) 2 5(x 3)(x + 2) = 4(x 2 14x + 49) 5(x 2 + 2x 3x 6) = 4x 2 56x + 196 5x 2 10x + 15x + 30 = -x 2 51x + 226 Let op de hkjes!!! Let op de volgorde vn berekenen: Eerst mchtsverheffen en dn vermenigvuldigen. 34

1.4 Werken met vribelen [2] Voorbeeld 1: Gegeven is A = 30B + 50. Mk B vrij. A = 30B + 50 30B + 50 = A 30B = A 50 1 50 B A 30 30 1 2 B A 1 30 3 Voorbeeld 2: Gegeven is 6(b + 3) 4(c 6) = 30. Druk b uit in c. 6( b 3) 4( c 6) 30 6b 18 4c 24 30 6b 4c 42 30 6b 12 4c 2 b 2 c 3 35