. Gegeven een Lineair Stationair Systeem in continue-tijd. Als aan het systeem het ingangssignaal { 0 t u(t) = 0 elders aangelegd wordt, dan is het corresponderende uitgangssignaal t 0 t y(t) = 2 t t 2 0 elders Gevraagd wordt het uitgangssignaal van dit systeem te bepalen wanneer een stap als ingangssignaal wordt aangelegd. Om deze oefening makkelijk op te lossen is het handig om te weten dat de convolutie van 2 blokken een trapezium of driehoek teruggeeft. y = h u, dus h is ook een blok die als volgt gedefinieerd is { 0 t h(t) = 0 elders Een controle levert dan y = h u = 0 = H(t τ) H(t τ) dτ t 0 t 2 t t 2 0 elders Nu nog de uitgang bepalen voor een stap als ingang y = h H = 0 H(t τ) dτ = th (t )H(t )
2. Gegeven de differentiaalvergelijking: y + y + y = 2u + u. Via de stelling van Bézout is met een dergelijke vergelijking een signaal l te associëren. Gevraagd wordt naar de uitdrukking voor de afgeleide l van dit signaal. Bovenstaande uitdrukking herschrijven als een integraaluitdrukking geeft D 2 y + D y + y = 2D 2 u + D u De bijhorende canonieke vorm ziet er dan als volgt uit, in dit geval bevindt het signaal l zich onderaan. u x x 2 y l 2 Figuur : Canonieke vorm Hiermee kunnen de volgende vergelijkingen worden opgesteld. y = x 2 + 2l l = x 2 x 2 = x x = u x 2 l Als we verderwerken met de laatste wordt dit x = u x 2 l y 2l = u x 2 l y 2l = u l y l 2 l = 2 3 u + 3 y + 2 3 y 2
3. Gegeven een filtersysteem beschreven door de differentiaalvergelijking τy + y = u, met τ een nader te bepalen reële parameter. Gevraagd wordt de waarden van de parameter τ te bepalen zodat voldaan is aan de conditie: H(50) = 2 H(0). Indien we het signaal e iωt toevoeren aan het systeem verkrijgen we H(ω) = + iωτ Uitdrukken dat H(50) = 2 H(0), is hetzelfde als Waaruit volgt dat τ = 3 50 2 = + (50τ) 2 4. Beschouw het toestandsmodel [A, B, C, D] die een continue tijd, niet BIBO stabiel systeem beschijft. Veronderstel nu dat ditzelfde model een discrete tijdsysteem beschrijft en noem de overeenkomstige transferfunctie H. Wat is niet mogelijk Alle polen van H liggen buiten de eenheidscirkel Alle polen van H liggen in het gesloten linkerhalfvlak De graad van de teller is strikt groter dan die van de noemer Het systeem is BIBO stabiel Voor een continue tijd, niet BIBO stabiel systeem geldt er dat de imaginaire as niet gelegen is in het convergentiegebied. Merk echter op dat er staat, het gesloten linkerhalfvlak, aldus kunnen alle polen gelegen zijn op de imaginaire as, zonder BIBO stabiliteit te impliceren. Hieruit volgt dat enkel de derde mogelijkheid zich niet kan voordoen, doordat bij het ABCD model geldt dat y(n + ) = Cx(n) + Du(n), of de uitgang y hangt dus enkel af van gebeurtenissen uit het verleden causaliteit. 3
5. Onderzoek van een nieuw elektronisch element met veelbelovende eigenschappen voor digitale computers gebruikt signalen van de vorm D α T S 2π cos, waarbij α R niet op voorhand gekend is en de afronding naar boven (tot -, 0, of ) voorstelt. De onderzoekers kunnen dit signaal (delta-)samplen met hoekfrequenties k π 4 rad s, met k, 2,..., 8. Verder kunnen ze kiezen uit zero-order hold, lineaire interpolatie of een ideaal laagdoorlaatfilter met afsnijhoekfrequentie instelbaar binnen [ 2, 0]. Er geldt dan voor alle α: (a) Perfecte reconstructie is mogelijk via zero-order hold. (b) Perfecte reconstructie is mogelijk via lineaire interpolatie. (c) Perfecte reconstructie is mogelijk met het ideaal laagdoorlaatfilter. (d) Het signaal kan niet perfect gereconstrueerd worden. Het signaal ziet er als volgt uit 2 2 2 2 Figuur 2: signaal D α T S 2π cos Omwille van de discontinuïteiten in het signaal zal het spectrum hoge harmonischen bevatten. Bijgevolg zal de reconstructie met het laagdoorlaatfilter het signaal vervormen. Indien het signaal via lineaire interpolatie gereconstrueerd wordt zullen de discontinuïteiten nooit meegenomen worden, ook dit is dus geen goeie techniek. Ten slotte zal bij zero-order hold het signaal tussen 2 samples verbonden worden via een rechte lijn. De discontinuïteit heeft geen breedte, dus ook via deze methode kan het signaal niet perfect gereconstrueerd worden. Het juiste antwoord is dus het laatste. 4
6. Gegeven, een LTI systeem met volgend impulsantwoord 0.5 0.5 0.5 0.5 Figuur 3: Impulsantwoord h Indien H de overeenkomstige transferfunctie is, dan geldt er Het gebied van absolute convergentie bevat 0 niet H is een rationale functie H is een continue functie Hoeveel van bovenstaande uitspraken zijn waar? Een eerste mogelijkheid om deze vraag op te lossen is door de transferfunctie rechtstreeks te berekenen. Anderzijds heb je opnieuw de trapeziumvorm, dus weet je dat h geschreven kan worden als de convolutie van 2 blokfuncties. In dit geval geldt er h(x) = 2 H ( ) 4 x H ( ) 3 4 x Zodat { H(s) = 2 L = H ( )} { ( )} 3 4 x L H 4 x 2 es/4 e s/4 s e3s/4 e 3s/4 s 6 4 s 0 s = 0 Waaruit volgt dat enkel de laatste uitspraak correct is. Het voordeel van deze werkwijze boven het expliciet uitrekenen van de overdrachtsfunctie door h uit te schrijven als combinaties van H is dat de convergentie direct in orde is. 5
7. Gegeven is een causaal BIBO stabiel continue tijd LTI-systeem met volgende eigenschappen: De toestandsmatrix A R 3 3 van het betrokken systeem is diagonaliseerbaar. Het systeem is in rust op t = 0. De regime respons voor signalen van de vorm e st H(t) is 0, s C. Figuur 4: Uitgangssignaal We beweren dat de ingang die bij deze uitgang hoort Een impuls kan zijn H kan zijn sin H kan zijn Hoeveel beweringen zijn correct? Er geldt voor een continue tijd systeem in rust dat zijn overdrachtsfunctie gegeven wordt door H(s) = c(si A) b + d, De polen van H komen voor als det(si A) = 0, dit is als s σ(a). Bijgevolg kunnen we H(s) ontbinden als H(s) = a + b + c + d s λ s λ 2 s λ 3 Omwille van de BIBO stabiliteit en de causaliteit liggen λ,2,3 in het linkherhalfvlak. Het uitgangssignaal bevat een niet gedempte trilling, dus in de uitgang Y komen termen van de vorm voor. De polen van deze term liggen op de imaginaire as, maar de polen s ± i van H liggen er links van. Bijgevolg kan er enkel een niet gedempte trilling voorkomen als deze al in het ingangssignaal zit. Verder wordt er ook nog een constante opgeteld bij het uitgangssignaal. Aldus heb je ook nog een pool in de oorsprong nodig. Deze zit niet in het in- of uitgangssignaal, dus geen enkele van de gegeven signalen voldoet. 6
8. S x is het vermogenspectrum van een signaal x, dan geldt er S x is reëlwaardig voor alle x Als x reëlwaardig is, dan is S x reëlwaardig Als R v x reëlwaardig is, dan is S x reëlwaardig Hoeveel uitspraken zijn correct? Het vermogenspectrum van een signaal x is de Fourier getransformeerde van de vermogenautocorrelatie van x, of dus Maar ook Rx(t) v T/2 = lim x(t + τ)x(τ) dτ S x T T T/2 X T 2 S x (f) = lim T T Zodat S x reël is over zijn hele domein. In het geval je dit laatste vergeten zou zijn, kon je het ook afleiden uit de volgende redenering, stel R v x(t) = u + iv, dan geldt er dat u even en v oneven is. De Fouriergetransformeerden leveren hierbij respectievelijk een reël even en oneven signaal op. Concreet gaat dit als volgt. Stel R v x(t) = u(t) met u reël, dan is Rx( t) v T/2 = lim T T = lim T T = lim T T T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 x( t + τ)x(τ) dτ x(u)x(u + t) du x(u + t)x(u) du = R v x(t) Of R v x is dus even. Verder geldt er dan voor de spectraalcomponenten X(k) = X( k) = X( k) Zodat S x reëlwaardig is. De redenering loopt volkomen analoog voor het zuiver imaginair component v. Alles samen zijn alle uitspraken dus correct. 7
9. Gegeven een terugkoppelring in discrete tijd met systeem S, met bijhorend toestandsmodel [A, B, C, D ] en systeem S 2 met bijhorend toestandsmodel [A 2, B 2, C 2, D 2 ]. Gegeven de conditie h (0) = 0 voor de impulsresponsie van systeem S. De systemen S en S 2 zijn asymptotisch stabiel verondersteld. u S y S 2 Figuur 5: Terugkoppelring Hoeveel van onderstaande uitspraken zijn correct S is asymptotisch stabiel als C = 0 S is asymptotisch stabiel als B 2 = 0 S is asymptotisch stabiel als D 2 = 0 De overdrachtsfunctie van bovenstaand systeem wordt gegeven door Voor H,2 geldt er H H(z) = H H 2 H,2 = C,2 (zi A,2 ) B,2 + D,2 Verder is een systeem volgens het ABCD model steeds causaal, er geldt immers y(n + ) = Cx(n) + Du(n), of de uitgang hangt dus enkel af van de ingang uit het verleden. Aldus volgt er voor H (z) Want h (0) = 0. Hierdoor is ook H (z) = 0 = lim z H (z) n= h (n) z n = lim z C (zi A ) B + D = D Want in de noemer van (zi A ) komt een n e graads polynoom te staan, terwijl in de teller enkel lineaire termen voorkomen. Hieruit volgt de algemene vorm voor H(z) H(z) = C (zi A ) B (C (zi A ) B ) (C 2 (zi A 2 ) B 2 + D 2 ) 8
Beschouw nu de volgende differentievergelijking a 0 y + a Dy + a 2 D 2 y +... + a n D n y = b 0 u + b Du +... + b m D m u a(d)y = b(d)u Dan geldt er voor de matrix A dat de eigenwaarden gevonden kunnen worden uit a ( z ) = 0. Voor de overdrachtsfunctie geldt er H(z) = b 0 + b z +... b m z m a 0 + a z +... + a n z n Of met andere woorden, de polen zijn een deelverzameling van de eigenwaarden van H. Hieruit volgt dan: causaal en asymptotisch stabiel BIBO stabiel. BIBO stabiliteit is verder gelijk aan h(n) < n= Zodat BIBO stabiel H() <. Deze 2 implicaties samenbrengen geeft dan H() niet asymptotisch stabiel (en causaal) De causaliteit is sowieso vervult vanwege het gebruik van het ABCD model, waardoor de implicatie een nodige voorwaarde geeft voor het asymptotisch stabiel zijn. De waarde H() is verder C (I A ) B H() = (C (I A ) B ) (C 2 (I A 2 ) B 2 + D 2 ) Merk hierbij op dat de matrices steeds kunnen geïnverteerd worden. De afzonderlijke systemen zijn asymptotisch stabiel zodat det(zi A) = 0 als z σ(a) waarbij z <. Indien B 2 = 0 kan D 2 zodanig gewijzigd worden zodat je in een pool terechtkomt en H() =. Analoog voor D 2 = 0 kan er met de matrices C en B voor gezorgd worden dat je opnieuw in een pool terechtkomt. Stel als laatste dat C = 0, dan is H() = 0. De eerder afgeleide implicatie kan je hier dus niet gebruiken. Merk echter op dat als C = 0, dat H(z) 0 of y(n) = 0, n. De definitie van asymptotische stabiliteit zegt dat als alle ingangen wegvallen dat y(n) = 0 voor n, aldus is voldaan aan deze vereiste waardoor de eerste uitspraak correct is. 9
0. Gegeven de differentievergelijking y Dy = Du + αd 2 u die een causaal LTI-systeem beschrijft. Voor hoeveel mogelijke waarden van de reële parameter α kan een waarneembare canonieke vorm (Directe Filterrealisatie) met slechts delay-element opgesteld worden. De overdrachtsfunctie wordt gegeven door H(z) = z + αz 2 z Wat na het splitsen in partieelbreuken overeenkomt met H(z) = z + αz z αz Om slechts delay-element over te houden moet van de 2 termen wegvallen. Dus de enige 2 mogelijkheden zijn α = 0 en α =. 0