Studiehandleiding Lineaire Algebra voor Werktuigbouwkunde wi1311wb Dr. R. Koekoek gebouw ITS, kamer HB 04.300 tel. 015-2787218 (tst. 87218) e-mail : R.Koekoek@ITS.TUDelft.NL website : http://aw.twi.tudelft.nl/ koekoek 1
Boek David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications Second Edition, Addison-Wesley, 1997, ISBN 0-201-76717-1 Updated Second Edition, Addison-Wesley, 2000, ISBN 0-201-34774-1 Inhoud Hfdst. 1 : Stelsels lineaire vergelijkingen Hfdst. 2 : Matrixrekening (matrixalgebra) Hfdst. 3 : Determinanten Hfdst. 4 : Vectorruimten Hfdst. 5 : Eigenwaarden en eigenvectoren Hfdst. 6 : Orthogonaliteit en kleinste kwadraten Hfdst. 7 : Symmetrische matrices en kwadratische vormen Schema Deel 1 (tweede kwartaal) : Hfdst. 1, 2, 3 en 6 Deel 2 (derde kwartaal) : Hfdst. 4, 5 en 7 2
Notatie- en woordenlijst in Lay : vertaling : Notaties : v : v Span{u, v} : Span{u, v} 0 (zero vector) : o (nulvector) 0 (zero matrix) : O (nulmatrix) m n matrix : (m n)-matrix Hfdst. 1 : linear equation : lineaire vergelijking coefficients : coëfficiënten system of linear equations : stelsel (lineaire) vergelijkingen solution : oplossing solution set : oplossingsverzameling (algemene oplossing) consistent : oplosbaar inconsistent : strijdig (niet oplosbaar) coefficient matrix : coëfficiëntenmatrix augmented matrix : aangevulde matrix size : afmeting(en) row equivalent : rij-equivalent (reduced) echelon form : (gereduceerde) echelonvorm (reduced) echelon matrix : (gereduceerde) echelonmatrix row reduced : gereduceerd pivot : pivot (spil/as) basic variable : basisvariabele free variable : vrije variabele general solution : algemene oplossing (column) vector : (kolom)vector scalar multiple : (scalair) veelvoud weights : gewichten (ook : coëfficiënten) (sub)set : (deel)verzameling spanned/generated by : opgespannen/voortgebracht door identity matrix I : eenheidsmatrix (identiteit) I homogeneous : homogeen (non)trivial solution : (niet-)triviale oplossing parametric vector equation : vectorvoorstelling (linear) (in)dependent : (lineair) (on)afhankelijk (linear) transformation : (lineaire) afbeelding image : beeld range : bereik (of beeldruimte) onto : surjectief (op) one-to-one : injectief (1-1) (linear) difference equation : (lineaire) differentievergelijking recurrence relation : recurrente betrekking 3
Hfdst. 2 : (diagonal) entries : diagonaal(elementen) main diagonal : hoofddiagonaal transpose : getransponeerde invertible : inverteerbaar (non)singular : (niet) singulier upper triangular matrix : bovendriehoeksmatrix lower triangular matrix : benedendriehoeksmatrix partitioned matrix : blokmatrix LU factorization : LU-decompositie (of LU-ontbinding) subspace : deelruimte column space : kolomruimte null space : nulruimte rank : rang Hfdst. 3 : cofactor expansion across/down : ontwikkeling naar adjugate (classical adjoint) : geadjungeerde (of getransponeerde van de cofactormatrix) Hfdst. 4 : vector space : vectorruimte negative (of a vector) : tegengestelde (van een vector) kernel : kern range : beeldruimte V en W vectorruimten en T : V W een lineaire afbeelding : Ker T := {x V T (x) = o} heet de kern van T Im T := {y W y = T (x) voor zekere x V } heet de beeldruimte van T coordinate vector : coördinaatvector (of coördinatisering) coordinate mapping : coördinaatafbeelding change-of-coordinates matrix : overgangsmatrix (of coördinatentransformatiematrix) isomorphism : isomorfisme row space : rijruimte auxiliary equation : karakteristieke vergelijking probability vector : kansvector (of waarschijnlijkheidsvector) stochastic matrix : stochastische matrix (of Markov-matrix) Markov chain : Markov-keten state vector : toestandsvector steady-state vector : evenwichtstoestand(svector) (or equilibrium vector) submatrix : ondermatrix 4
Hfdst. 5 : dynamical system : dynamisch systeem eigenvalue : eigenwaarde characteristic equation : karakteristieke vergelijking algebraic multiplicity : algebraïsche multipliciteit similar : gelijkvormig similarity transformation : gelijkvormigheidstransformatie diagonizable : diagonaliseerbaar an eigenvector basis : een basis bestaande uit eigenvectoren A is een (n n)-matrix en λ is een eigenwaarde van A : E λ := {x R n Ax = λx}, de verzameling van alle eigenvectoren van A aangevuld met de nulvector, heet de eigenruimte van A behorende bij de eigenwaarde λ dim E λ heet de meetkundige of geometrische multipliciteit van λ fundamental set : fundamentaalverzameling initial value problem : beginwaardenprobleem attractor (sink) : attractor/aantrekker (put) repellor (source) : afstoter (bron) power method : machtmethode (of powermethode) Hfdst. 6 : inner product : inwendig product dotproduct : inwendig product in R n unit vector : eenheidsvector orthogonal : orthogonaal orthonormal : orthonormaal approximation : benadering least-squares problem : kleinste kwadraten probleem inner product space : inwendig productruimte Hfdst. 7 : symmetric matrix : symmetrische matrix orthogonally diagonizable : orthogonaal diagonaliseerbaar spectral decomposition : spectraaldecompositie projection matrix : projectiematrix quadratic form : kwadratische vorm principal axes : hoofdassen positive/negative (semi)definite : positief/negatief (semi)definiet indefinite : indefiniet singular value decompostion : singuliere waardendecompositie left/right singular vectors : linker/rechter singuliere vectoren condition number : conditiegetal 5
Werkschema Lineaire Algebra voor Werktuigbouwkunde (wi1311wb) Deel 1 (tweede kwartaal) : week 1 : 1.1 t/m 1.3 week 2 : 1.4 t/m 1.6 week 3 : 2.1 en 2.2 week 4 : 3.1 t/m 3.3 week 5 : 6.1 t/m 6.3 week 6 : 6.4 t/m 6.6 Deel 2 (derde kwartaal) : week 1 : 4.1 t/m 4.3 week 2 : 4.4 t/m 4.7 week 3 : 5.1 t/m 5.3 week 4 : 5.5 en 5.7 week 5 : 4.8, 4.9 en 5.6 week 6 : 7.1 en 7.2 week 7 : 7.3 en 7.4 Paragrafen die niet worden vermeld, met uitzondering van 2.9, behoren niet tot de tentamenstof (dat zijn de 1.7 t/m 1.9, 2.3 t/m 2.8, 6.7, 6.8 en 7.5). Van 2.9 worden alleen de begrippen behandeld die nodig zijn voor hoofdstuk 6. Ook de appendices A en B van het boek behoren niet tot de tentamenstof. De verklarende woordenlijst ( glossary ) op de pagina s A9 tot en met A19 is overigens erg handig voor het vinden van de juiste definitie van de in het boek gebruikte termen. Jammer is wel dat hier verwijzingen naar de tekst zelf ontbreken. Sommige delen van de stof zijn veel belangrijker dan andere. Aan de hand van de lijst van geselecteerde vraagstukken op de volgende bladzijden zou u redelijk in staat moeten zijn om te onderscheiden wat (zeer) belangrijk en wat minder belangrijk is. 6
Overzicht van de belangrijkste vraagstukken Hieronder treft u een selectie aan van de vraagstukken uit het boek van Lay. Elk hoofdstuk wordt afgesloten met een aantal zogenaamde Supplementary Exercises. Deze paragraafjes worden in onderstaand overzicht aangegeven met een S. De belangrijkste (concrete) vraagstukken staan zonder haakjes vermeld. Deze vraagstukken dient u zeker te beheersen. Dergelijke vraagstukken worden ook bij het tentamen gevraagd. Vraagstukken tussen rechte haakjes [ ] zijn theoretisch getinte waar/onwaar-vragen, waarmee u uw theoretische kennis kunt testen. U wordt door deze vraagstukken gewezen op allerlei belangrijke details. Hoewel er van u verwacht wordt dat u ze beheerst zullen bij het tentamen dergelijke vragen niet gesteld worden. De vraagstukken tussen ronde haakjes ( ) zijn ook theoretisch van aard. Deze zijn niet van het type waar/onwaar, maar ook dergelijke vraagstukken komen bij een tentamen niet aan de orde. Tenslotte zijn er nog de vraagstukken tussen accolades { }. Dit zijn toepassingen, die vaak veel bewerkelijker zijn. Gebruik van computerapparatuur wordt dan ook vaak geadviseerd. Hoewel u de principes uiteraard moet kennen zijn deze vraagstukken ook niet geschikt voor een tentamen omdat er vaak lastig rekenwerk (uitdaging?) voor nodig is. Hfdst. 1 : 1.1 : 1 t/m 32, [33,34], {35,36} 1.2 : 1 t/m 22, [23,24], (25 t/m 33), {35,36} 1.3 : 1 t/m 26, {27 t/m 29}, 30, [31,32] 1.4 : 1 t/m 28, [29,30], 31 t/m 38, (39 t/m 42) 1.5 : 1 t/m 20, [21, 22], (23 t/m 34) 1.6 : 1 t/m 24, (25, 26), [27, 28], 29 t/m 36, (37 t/m 40), {41 t/m 44} S. 1 : [1 a t/m o], (2), 5, 6 a en b, 7 a en b Hfdst. 2 : 2.1 : 1 t/m 12, (13), 14, [15, 16], 17 t/m 26, (27 t/m 32), {37, 38} 2.2 : 1 t/m 7, [9, 10], 11 t/m 19, (20 t/m 24), 25, 26, 29 t/m 35, 37, 38 2.9 : 1 t/m 26, 45, 46 S. 2 : [1], 2 t/m 6, {18} Hfdst. 3 : 3.1 : 1 t/m 14, 19 t/m 30, 37, 38, [39, 40], 41, 42 3.2 : 1 t/m 26, [27, 28], 29 t/m 42 3.3 : 19 t/m 25, 29 S. 3 : [1 a t/m k en m t/m p], 2 t/m 9, 11 Hfdst. 6 : 6.1 : 1 t/m 18, [19, 20], 21 t/m 31 6.2 : 1 t/m 22, [23, 24], 25, (26), 27, (28), 29, {33} 6.3 : 1 t/m 20, [21, 22] 6.4 : 1 t/m 16, [17, 18], (19, 20), {22, 23} 6.5 : 1 t/m 16, [17, 18], 19, 25 6.6 : 1 t/m 4, 7 t/m 10 S. 6 : [1], (4 t/m 6), 7 7
Hfdst. 4 : 4.1 : 1 t/m 22, [23, 24], (25 t/m 31), 32 t/m 34 4.2 : 1 t/m 24, [25, 26], 27 t/m 34, (35, 36), 37, 38 4.3 : 1 t/m 20, [21, 22], 23 t/m 26, (29 t/m 32), 33 4.4 : 1 t/m 14, [15, 16], 17, 18, (19, 20), 21 t/m 24, (25, 26), 27 t/m 34 4.5 : 1 t/m 18, [19, 20], 21 t/m 24, (25 t/m 30), {33} 4.6 : 1 t/m 16, [17, 18], 27 t/m 32 4.7 : 1 t/m 10, [11, 12], 13, 14, (16, 19) 4.8 : 1 t/m 5, 7, 8, 10 t/m 16, 25 t/m 30 4.9 : {1 t/m 4}, 5 t/m 10, {11 t/m 14}, 17, 18 S. 4 : [1], 2 Hfdst. 5 : 5.1 : 1 t/m 20, [21, 22], (23, 24), 25 t/m 27, (28 t/m 32), {35 t/m 38} 5.2 : 1 t/m 20, [21, 22], (23), 24 t/m 27 5.3 : 1 t/m 20, [21, 22], 23 t/m 30, {31 t/m 34} 5.4 : 1 t/m 23, (28, 29), {30 t/m 32} 5.5 : 1 t/m 24 5.6 : 1 t/m 4, 7 t/m 15 5.7 : 1 t/m 18 S. 5 : [1], 2 t/m 6, 13 Hfdst. 7 : 7.1 : 1 t/m 24, [25, 26], 27 t/m 29, 33 t/m 36 7.2 : 1 t/m 20, [21, 22], 23, (24 t/m 28) 7.3 : 1 t/m 10, (11, 12), {14 t/m 17} 7.4 : 1 t/m 13, (14 t/m 20) S. 7 : [1], 2 8
Nog enkele opmerkingen over de notatie Naast de eerder genoemde (kleine) verschillen tussen de notatie van het boek en de notatie die gebruikt wordt tijdens de colleges en bij de tentamens is er nog een belangrijk verschil bij de notatie van aangevulde matrices en bij het vegen. In het boek wordt geen scheidingsstreep gebruikt bij de notatie van aangevulde matrices. Dit is onoverzichtelijk en daarom niet handig. Verder wordt bij het vegen in het boek niet aangegeven wat er in elke stap gebeurt. Dit is typografisch ook erg lastig. Wij zullen een notatie gebruiken die eenduidig is en daarom geen aanleiding kan geven tot verwarring. Het is daarom belangrijk dat u alleen deze notatie gebruikt (ook bij de tentamens). Bij aangevulde matrices maken we dus wel gebruik van een scheidingsstreep om de overzichtelijkheid te vergroten. Nog enige tips en spelregels met betrekking tot de tentamens Bij een tentamen worden volledige uitwerkingen van de vraagstukken verwacht. Een antwoord zonder enige motivatie levert géén punten op. Sterker nog : de antwoorden zijn eigenlijk helemaal niet zo belangrijk. Het tentamen is bedoeld om te testen of u het begrepen heeft. Goede methodes en redeneringen zijn daarom veel belangrijker dan antwoorden en uitkomsten. Let u ook vooral op de notatie. Maak zoveel mogelijk gebruik van de notatie die u tijdens het college hebt geleerd (zie ook de eerder gemaakte opmerkingen). Als u gebruik maakt van een andere (zelf bedachte en/of slechte) notatie, dan is dat geheel voor uw eigen rekening! Elk tentamen wordt door twee docenten nagekeken. Als alle resultaten binnen zijn wordt de uitslag via de examenadministratie bekend gemaakt. Dit gebeurt in de regel na een week of drie/vier. Daarna heeft u de mogelijkheid om het gemaakte werk en de beoordeling in te zien. Als u daarvan gebruik wilt maken dient u contact op te nemen met uw docent. In principe kan dit gedurende het gehele cursusjaar waarin het tentamen is gehouden. 9