Onfhnkelijk vn mimumscore 5 f ' ( x) = e + ( + ) e f' ( x ) = 0 voor x = f ( ) = (dus P (, ) ) e e Hieruit volgt dt lle punten P dezelfde y-coördint hebben, dus liggen l deze punten op één (horizontle) lijn www. - - www.exmen-cd.nl
mimumscore 5 De oppervlkte vn driehoek OAB is De oppervlkte vn het gebied begrensd door de grfiek vn f, de x-s en de y-s is 0 ( + ) e dx Een primitieve vn ( + ) e is x e 0 x e = e (dus deze oppervlkte is e ) De oppervlkte vn het gebied begrensd door de grfiek vn f en het lijnstuk AB is dus, dus de verhouding is ( ): = ( ):, e e e e e dus onfhnkelijk vn De oppervlkte vn het gebied begrensd door de grfiek vn f, de x-s en de y-s is 0 ( + ) e dx Een primitieve vn ( + ) e is x e 0 x e = e (dus deze oppervlkte is e ) De oppervlkte vn driehoek OAB is De verhouding vn deze oppervlkten is onfhnkelijk vn, dus is ook de gevrgde verhouding onfhnkelijk vn De grfiek vn f en het bijbehorende lijnstuk AB ontstn uit de grfiek vn f en het drbij behorende lijnstuk AB door vermenigvuldiging ten opzichte vn de y-s met fctor Hierbij worden zowel de oppervlkte vn de driehoek ls de oppervlkte vn het gebied begrensd door de grfiek vn f, de x-s en de y-s vermenigvuldigd met De verhouding vn deze oppervlkten is dus onfhnkelijk vn en drmee ook de gevrgde verhouding www. - - www.exmen-cd.nl
Het stndrd proefgls mimumscore 4 Het volume (in mm ) is ( f x ) 55, π ( ) dx 0,0 Beschrijven hoe deze integrl (met de GR) berekend kn worden De uitkomst vn deze integrl is (ongeveer) 7994 Het ntwoord: 8 (cm ) 4 mimumscore 5 (C (87,5;,5) is de top vn de prbool, dus) een formule voor kromme CD is vn de vorm y= ( 87,5) +,5 D (55,0;,0) is een punt vn de kromme CD, dus,0 = (55,0 87,5) +,5 Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kn worden Dit geeft voor de wrde 0,00 ( nuwkeuriger) (dus een formule voor kromme CD is y =0,00 ( x 87,5) +,5 ) 87,5 (De coördinten vn C zijn (87,5;,5), dus) OC =,5 ( OE = OD OC, dus) de coördinten vn E zijn (67,5; 9,5) De kromme OE heeft een formule vn de vorm y =, dus 9,5= 67,5 Dit geeft voor de wrde 0,00 ( nuwkeuriger) Dus een formule voor kromme CD is y =0,00 ( x 87,5) +,5 5 mimumscore 6 50 ml = 50000 mm Gevrgd wordt de wrde vn h wrvoor ( ) π gx ( ) dx= 50000, wrbij h de x-coördint vn P is Een primitieve vn x + 75x 6600 is x + 87,5x 6600x (( ) ( )) π h + 87,5h 6600h 55, + 87,5 55, 6600 55, = 50000 Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kn worden ( h 8, dus) de x-coördint vn P is 8 h 55, www. - - www.exmen-cd.nl
Lijn en cirkel 6 mimumscore 6 (ltijd lle punten toekennen) Een vergelijking vn de lijn k door P en S (met x-coördint s) is x y 4x+ s y 4s = 0 ( s + 4 4 + s 04s Dit geeft = 6 + s Dit herleiden tot Dit geeft 8 4s = 6 + s (8 4 s) = 4(6 + s ) Dit herleiden tot s 6s = 0 Hieruit volgt (omdt s > 0 ) s = (dus de x-coördint vn S is 5 ) 5 PS = s + 6 (met s de x-coördint vn S) MQ PO = (omdt driehoek MQS gelijkvormig is met driehoek POS) MS PS 4 Dit geeft s = s 6 Dit herleiden tot 4( s + 6) = 6( s 4s+ 4) Dit herleiden tot s 6s = 0 Hieruit volgt (omdt s > 0 ) s = (dus de x-coördint vn S is 5 ) 5 QS = ( s ) = s 4s (met s de x-coördint vn S) MQ PO = (omdt driehoek MQS gelijkvormig is met driehoek POS) QS OS 4 Dit geeft = s 4s s Dit herleiden tot 4s = 6( s 4 s) Dit herleiden tot s 6s = 0 Hieruit volgt (omdt s > 0 ) s = (dus de x-coördint vn S is 5 ) 5 www. - 4 - www.exmen-cd.nl
7 mimumscore 8 Een vergelijking vn de gegeven cirkel is ( x ) + y = 4 De coördinten vn A (, p ) invullen in deze vergelijking geeft ( ) + ( p) = 4 Omdt OA = geldt + ( p) = 9 Beschrijven hoe op lgebrïsche wijze met behulp vn bovengenoemde vergelijkingen de wrde vn gevonden kn worden = 9 4 Invullen in + ( p) = 9 geeft 7 p = 9 Hieruit volgt (omdt p > 0) p = ( een gelijkwrdige vorm) 7 Een vergelijking vn de gegeven cirkel is ( x ) + y = 4 Punt A is een snijpunt vn de gegeven cirkel en de cirkel met middelpunt O en strl, die ls vergelijking heeft x + y = 9 Beschrijven hoe op lgebrïsche wijze met behulp vn bovengenoemde vergelijkingen de x-coördint vn A gevonden kn worden De x-coördint vn A is 9 4 De y-coördint vn A is dus 9 p (omdt A op de lijn y px 4 Dit geeft: ( 9) + ( 9 p) = 9 4 4 Dit herleiden tot 7 p = 9 Hieruit volgt (omdt p > 0) p = ( een gelijkwrdige vorm) 7 Het inzicht dt p = tn α met MOA =α Toepssen vn de cosinusregel in driehoek MOA geeft = + cosα Hieruit volgt cosα= 4 Een npk wrbij α een hoek is in een rechthoekige driehoek met schuine zijde 4 en rechthoekszijden en 7 Hieruit volgt tn α= 7 (en dus p = 7 ) ( een gelijkwrdige vorm) www. - 5 - www.exmen-cd.nl
Tussen twee sinusgrfieken 8 mimumscore 4 De oppervlkte vn V is ( ) 4 π f ( x ) gx ( ) d x π Een primitieve vn f( x) gx ( ) is cos x+ cos( x+ π ) De oppervlkte vn V is dus 4π + + π = cos x cos( x ) π 9 mimumscore 4 (ltijd lle punten toekennen) f( x) + gx ( ) = 0 geeft sin( x) = sin( x+ π ) Dit geeft x= 6 π+ k π, dus (bijvoorbeeld) b = 6 π Een toelichting dt het mimum vn f + g ligt bij x = Hieruit volgt (omdt ( f g ) 6 ( π+ ) ( π ) = en omdt sin( π+ π ) = ) = π www. - 6 - www.exmen-cd.nl
Drie vierknten in een rechthoek 0 mimumscore 9 Een npk wrbij (bijvoorbeeld) de zijde vn A x wordt genoemd De lengte vn de zijde vn B is 0 x De lengte vn de zijde vn C is gelijk n 0 (0 x) = x 0 De oppervlkte vn D is 0 0 x (0 x) ( x 0) (0 x) = 900 60x+ x en ( x 0) = x 0x+ 00 Dus de oppervlkte vn D is 600 x 900 + 60xx x + 0x 00 Deze uitdrukking vereenvoudigen tot x + 80x 400 Beschrijven hoe op lgebrïsche wijze berekend kn worden voor welke wrde vn x (in het intervl [0, 0]) dit miml is De gevrgde lengte is 40 ( ) Een npk wrbij (bijvoorbeeld) de zijde vn A x wordt genoemd De lengte vn de zijde vn B is 0 x De lengte vn de zijde vn C is gelijk n 0 (0 x) = x 0 De oppervlkte vn D is miml ls de totle oppervlkte vn A, B en C miniml is De totle oppervlkte vn A, B en C is x + (0 x) + ( x 0) (0 x) = 900 60x+ x en ( x 0) = x 0x+ 00 Dus de totle oppervlkte vn A, B en C is x 80x+ 000 Beschrijven hoe op lgebrïsche wijze berekend kn worden voor welke wrde vn x (in het intervl [0, 0]) dit miniml is De gevrgde lengte is 40 ( ) Een npk wrbij (bijvoorbeeld) de zijde vn A x wordt genoemd De lengte vn de zijde vn B is 0 x De lengte vn de zijde vn C is gelijk n 0 (0 x) = x 0 De oppervlkte vn D is 0 0 x (0 x) ( x 0) D' ( x) = x + (0 x) ( x 0) Dit geeft D' ( x) = 6x + 80 Er moet (in het intervl [0, 0]) gelden D' ( x ) = 0, dus 6x + 80 = 0 De gevrgde lengte is 40 ( ) www. - 7 - www.exmen-cd.nl
Lus mimumscore 6 t De snelheidsvector op tijdstip t is t Op de tijdstippen t = en t = is de snelheidsvector respectievelijk en Dus de rklijnen zijn evenwijdig ls t =(t ) t = t t = t geeft ( t = ) t =, dus de benodigde tijd om vn O nr A te bewegen is t =(t ) geeft ( t = ) t =, dus de benodigde tijd om vn B nr O te bewegen is Hieruit volgt: de benodigde tijd om vn A nr B te bewegen is en dit is) ook ( t De snelheidsvector op tijdstip t is t Op de tijdstippen t = en t = is de snelheidsvector respectievelijk en De drie benodigde tijden zijn (smen, dus zijn ze) even lng ls elk vn deze tijden is Om n te tonen dt de drie benodigde tijden even lng zijn, is het dus voldoende om n te tonen dt het punt zich op het tijdstip t = in A bevindt en dt het punt zich op het tijdstip t = in B bevindt Op de tijdstippen t = en t = is de snelheidsvector respectievelijk en Hieruit volgt dt de rklijn n de bn op de tijdstippen t = en t = dus evenwijdig is met een vn de rklijnen in O (zodt het punt zich dn inderdd in A respectievelijk B bevindt) (en dus geldt het gestelde) www. - 8 - www.exmen-cd.nl
Lijn door perfortie mimumscore 7 (ltijd lle punten toekennen) x= b is een nulpunt vn zowel de noemer ls de teller, dus lleen voor x= b is een perfortie mogelijk xb xb = = (met x b en x b) x b ( x b)( x+ b) x+ b xb xb (: lim = lim = lim ) x b x b x b ( x b)( x+ b) x b x+ b Voor x = b is gelijk n x+ b b (: lim = ) (, dus (, b ) is x b b x+ b b een perfortie) Er geldt: 4b b = + Dit herleiden tot 8b + b = 0 ± 48 (b+ )(4b ) = 0 ( b = ) 6 Dit geeft b = b = 4 www. - 9 - www.exmen-cd.nl
Verschoven plten mimumscore 4 Driehoek POA is gelijkvormig met driehoek PQ'Q PQ' PO p+ q p = en PA = p + 5 geeft = PQ PA p + 5 80p 80p Hieruit volgt p+ q=, dus q = p p + 5 p + 5 4 mimumscore 4 p 80 p + 5 80p p + 5 q' ( p) = p + 5 Dus 80( p + 5) 80p q' ( p) = ( p + 5) p + 5 De rest vn de herleiding 5 mimumscore 6 q' ( p ) = 0 geeft 4 000 = 0 ( p + 5) p + 5 Dit geeft ( p + 5) = 4 000 Hieruit volgt p + 5 = 4900 Dit geeft p = 675 ( p = 5 ) Het ntwoord: q = 675 ( q = 05 ) www. - 0 - www.exmen-cd.nl