Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Signalen en Transformaties Onderwijs Dinsdag: hoorcollege Donderdag: werkcollege Dinsdag: alternerend hoorcollege en werkcollege Twee uitzonderingen!!! Voor details zie Blackboard. 2/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Signalen en Transformaties Tentamen geen rekenmachine Men mag gebruik maken van 1 enkelzijdig vel met eigen (handgeschreven) aantekeningen. Dit vel mag niet groter zijn dan A4-formaat. 3/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Signalen en Transformaties Beoordeling De beoordeling vind plaats via een schriftelijk tentamen. Echter men ontvangt pas een tentamenbriefje als beide practica met een G zijn beoordeeld. 4/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
De luchttemperatuur in een destillatiekolom 1 waarneming per minuut gedurende 8 dagen, tijdeenheid 1 uur. 5/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 6/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We kijken nu naar een complexer voorbeeld. De tijdreeks bevat de water hoogte in de Westerschelde over de laatste 30 jaar. De waterhoogte wordt elk uur gemeten en we hebben dus 8760 metingen per jaar. De bemonsteringsperiode is dus gelijk aan: T s D 1 uur en we hebben 271:752 data punten. De eerste stap is om eerst de data te tekenen: 7/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
500 Waterlevel near Bath 400 300 200 Waterlevel in cm 100 0-100 -200-300 24-May-2001 26-May-2001 29-May-2001 8/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
500 Waterlevel near Bath 400 300 200 Waterlevel in cm 100 0-100 -200-300 09-Apr-2001 04-May-2001 29-May-2001 9/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Reële vectorruimte Een vectorruimte V is een verzameling van elementen, vectoren genoemd, waarvoor er twee operaties zijn: optellling en scalaire vermenigvuldiging ten opzichte waarvan aan de volgende 10 axiomas is voldaan: u; v 2 V impliceert u C v 2 V. u C v D v C u voor alle u; v 2 V..u C v/ C w D u C.v C w/ voor alle u; v; w 2 V. Er is een vector 0 2 V zodanig dat u C 0 D u voor alle u 2 V. Voor elke u 2 V is er een u 2 V zodanig dat u C. u/ D 0. 10/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
De scalaire vermenigvuldiging van u 2 V met c 2 R, aangegeven met cu, is in V. c.u C v/ D cu C cv voor alle u; v 2 V en c 2 R..c C d/u D cu C du voor alle u 2 V en c; d 2 R. c.du/ D.cd/u voor alle u 2 V en c; d 2 R. 1u D u voor alle u 2 V. 11/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Complexe vectorruimte In dit geval zijn de laatste vijf eigenschappen vervangen door: De scalaire vermenigvuldiging van u 2 V met c 2 C, aangegeven met cu, is in V. c.u C v/ D cu C cv voor alle u; v 2 V en c 2 C..c C d/u D cu C du voor alle u 2 V en c; d 2 C. c.du/ D.cd/u voor alle u 2 V en c; d 2 C. 1u D u voor alle u 2 V. 12/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld De ruimte van alle continue functies van Œ0; 1 naar R vormen een reële vectorruimte. Voor twee functies f en g is de optelling goed gedefinieerd:.f C g/.t/ D f.t/ C g.t/ Maar is de limiet goed gedefinieerd? lim f n D g t!1 13/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Stel: We hebben: voor alle t 2 Œ0; 1. f n.t/ D nte nt lim f n.t/ D 0 n!1 We hebben max jf n.t/j D e 1 0:3659 t2œ0;1 14/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
n=1 15/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
n=10 16/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
n=100 17/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Genormeerde lineaire deelruimte Zij V een reële of complexe vectorruimte. Een afbeelding k k van V naar R wordt een norm genoemd als voor alle x; y 2 V en voor elke scalar aan de volgende drie axioma s is voldaan: k xk D j jkxk, kx C yk 6 kxk C kyk kxk > 0 voor elke x 0. We noemen vectorruimte V met een norm k k een genormeerde vectorruimte 18/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld De ruimte van alle continue functies van Œ0; 1 naar R vormen een reële vectorruimte. We hebben verschillende mogelijke normen: kf k 1 D max jf.t/j t2œ0;1 v u Z1 kf k 2 D t jf.t/j 2 dt 0 kf k 1 D Z 1 0 jf.t/j dt 19/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Een norm levert een convergentiebegrip op: We hebben f n! g voor n! 1 als: lim kf n gk D 0 n!1 Maar niet elk convergentiebegrip is gekoppeld aan een norm! We kunnen definiëren: f n! g voor n! 1 als: lim f n.t/ D g.t/ n!1 voor alle t 2 Œ0; 1. Maar er is geen relateerde norm! 20/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voor: f n.t/ D nte nt geldt: lim kf nk 1 D 0 n!1 lim kf nk 2 D 0 n!1 lim kf nk 1 D e 1 n!1 21/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Cauchy rij Een rijtje vectoren fx n g in een genormeerde vectorruimte X wordt een Cauchy rij genoemd als voor elke " > 0 er een N 2 N bestaat zodanig dat: kx n x m k 6 " voor alle n; m > N 22/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Convergente rij Een rijtje vectoren fx n g in een genormeerde vectorruimte X wordt een convergente rij genoemd als er een x 2 x bestaat zodanig dat: lim kx n xk D 0: n!1 We noteren dit als: lim x n D x n!1 23/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Stelling Elke convergente rij is een Cauchy rij maar geldt het omgekeerde ook? 24/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Een genormeerde vectorruimte heet compleet als elke Cauchy rij een limiet heeft. Een complete genormeerde vectorruimte heet een Banachruimte. R n is een Banachruimte. Elke eindigdimensionale genormeerde vectorruimte is een Banachruimte. 25/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld De vectorruimte van continue functies van Œ 1; 1 naar R. f n.t/ D 8 0 t 2 Œ 1; 0 ˆ< nt t 2.0; 1 n / ˆ: 1 t 2 Œ 1 n ; 1 We hebben voor n; m > N : kf n f m k 1 D Z 1 jf n.t/ f m.t/j dt 6 1 N 1 Echter de rij heeft geen limiet: de enige kandidaat is niet-continu. 26/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld De vectorruimte van continue functies CΠ1; 1 van Π1; 1 naar R. Stel ff n g is een Cauchy rij (t.o.v. de norm k k 1 ). Dan bestaat er een continue functie f zodanig dat: lim kf n f k 1! 0 n!1 27/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
`1; `2 en `1 We bekijken de ruimte van oneindige rijtjes `.N; R/. 1X kvk 1 WD jv k j kvk 2 WD kd1 v ux t 1 kd1 jv k j 2 kvk 1 WD sup k jv k j 28/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
De volgende ruimtes zijn compleet ten aanzien van de respectivelijke norm: `1 WD f v 2 `.N; R/ j kvk 1 < 1 g `2 WD f v 2 `.N; R/ j kvk 2 < 1 g `1 WD f v 2 `.N; R/ j kvk 1 < 1 g 29/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld Geen Cauchy rijtje in `1. Cauchy rijtje in `2 en `1. v n D.1; 1 2 ; 1 2 ; : : : ; 1 n ; 0; 0; / 30/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Lebesgue ruimte L 1 We definiëren: met L 1 Œa; b WD f f W Œa; b! R j kf k 1 < 1g kf k 1 D Z b a jf.t/jdt Let op: Definitie integraal Is dit wel een norm? 31/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Lebesgue ruimte L 2 We definiëren: met L 2 Œa; b WD f f W Œa; b! R j kf k 2 < 1g kf k 2 D Z b a jf.t/j 2 dt Let op: Definitie integraal Is dit wel een norm? 32/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Stelling De ruimte L 1 met bijbehorende norm is een Banachruimte. De ruimte L 2 met bijbehorende norm is een Banachruimte. 33/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI