TECNISCE UNIVERSITEIT EINDOVEN FACULTEIT TECNISCE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Ttam Stroming & Diffusie (3D3) op vrijdag 9 juni 29, 4.-7. uur. Opgave Beantwoord de volgde vrag met ja of nee geef daarbij e korte argumtatie. Bij e goed antwoord met goede argumtatie krijgt m per vraag punt. Bij e ernstige fout in de argumtatie wordt ge punt toegekd. Voor e correct antwoord zonder argumtatie wordt slechts e 2 punt toegekd. (a) Beschouw e tweedimsionale stroming in het x, y-vlak met snelheidscompont u = αx 2 y v = αxy 2, met α e constante. Kan deze stroming met e stroomfunctie Ψ word beschrev? (b) Is de stroming van vraag (a) rotatievrij? (c) Is het waar dat voor het stromingsveld van (a), aannemde dat de vloeistof Newtons is, de viskeuze schuifspanning gelijk zijn aan 4αµxy? (d) Beschouw het tijdsafhankelijke snelheidsveld v = (u, v) in het x, y-vlak, met u = A sin ωt, v = 2A cos ωt, met ω de frequtie A e constante. Is het waar dat de deeltjesban rechte lijnstukk zijn? (e) Is het waar dat het Strouhal-getal de verhouding weergeeft van de instationaire versnellingsterm de viskeuze term in de Navier-Stokes-vergelijking? (f) Is het waar dat m in e Stokes-stroming de vergelijking van Bernoulli mag toepass om e verband tuss snelheid V druk p te bepal? (g) E dolfijn zwemt met constante snelheid V = 6 m/s door water (ρ = 3 kg/m 3 ). et frontaal aanstroomoppervlak A f wordt baderd door e ellips met ass 2a =,45 m 2b =,3 m (zie figuur), zodat A f = πab. De weerstandscoëfficiënt C D is gedefinieerd volgs C D = weerstandskracht 2 ρv 2 A f bedraagt C D =,6. Is het waar dat de dolfijn voor het zwemm met deze snelheid e vermog moet lever van ongeveer P = 69 Nm/s = 69 J/s?
(h) M laat e vloeistof strom door e laag poreus materiaal met e permeabiliteit k p = 6 m 2. Om e gemiddelde stroomsnelheid u = 2 m/sec te verkrijg is e drukverschil p = N/m 2 vereist. Is het waar dat bij e materiaal met k p = 5 m 2 voor ezelfde stroomsnelheid e drukverschil van p = N/m 2 nodig is? (i) Beschouw e stroming in e divergerd kanaal. Aan de kanaalwand do zich grslag voor. Is het waar dat de kans op grslaagloslating hier kleiner is dan in het geval van e convergerd kanaal? (j) E bolletje (diameter 2 cm) oplosbaar materiaal (stof A) wordt geplaatst in e waterachtige omgevingsvloeistof (stof B). De diffusiecoëfficiënt van stof A is D A = 8 m 2 /s. E microprobe geplaatst op e afstand d = 2 mm van het oppervlak van het bolletje meet het conctratieverloop C A (t) van stof A. Is het waar dat de probe al na ongeveer τ = 25 s iets van de conctratieverhoging meet? Opgave 2 E zgn. viscositeits-pomp bestaat uit e roterde cilinder (straal R, axiale lgte L A, hoeksnelheid Ω) in e co-axiale cilindrische behuizing, zie schets. In de nauwe ruimte (spleetbreedte h) tuss cilinder behuizing bevindt zich e viskeuze vloeistof met dichtheid ρ kinematische viscositeit ν. Tgevolge van de rotatie stroomt de vloeistof van de oping bij A (x = ) naar de oping bij B (x = L = 2πR). De druk bij B is hoger dan bij A (p B > p A ). De stroming is stationair; zwaartekrachtseffect alsmede eindeffect (in axiale richting) zijn verwaarloosbaar. Omdat de spleetbreedte h erg klein is (h << R) kunn krommingseffect verwaarloosd word, zodat de stroming kan word baderd als e stroming tuss twee evwijdige vlakke plat, zoals geschetst in onderstaande figuur. We hanter e Cartesisch coördinatstelsel (x, y) met de snelheid v = (u, v). Er wordt aangom 2
dat de stroming in x-richting volledig ontwikkeld is, dat eindeffect (bij A B) ge rol spel. (a) Toon aan dat v =. (b) Gebruik de y-compont van de Navier-Stokes-vergelijking om aan te ton dat de druk p p(y). (c) Druk de drukgradiënt dp uit in term van het drukverschil p = p B p A de straal R. (d) Gebruik de x-compont van de Navier-Stokes-vergelijking om de differtiaalvergelijking op te stell waarmee u(y) bepaald kan word. (d) Formuleer de randvoorwaard, bepaal de oplossing u(y) in term van p,ω,r h. (e) Leid e uitdrukking af voor het volumedebiet Q V, geef aan bij welke rotatiesnelheid Ω dit debiet Q V >. (f) oe groot is de kracht die de vloeistof op de cilinderwand (y = h) uitoeft? (g) oe groot is het krachtkoppel het bodigd vermog dat m moet lever om de cilinder met hoeksnelheid Ω te lat roter? Opgave 3 Aan e initieel zuurstofarme vloeistof (c(t =,x,y,z) = ) wordt in e speciaal daarvoor ontworp apparaat zuurstof toegevoegd. iervoor wordt met e constante flow e andere, volledig met zuurstof verzadigde vloeistof gepompt in e configuratie zoals in de figuur is weergegev. Deze verzadigde vloeistof stroomt tuss twee evwijdige semi-permeabele plat (met flow Q) die op e afstand 2h van elkaar gepositioneerd zijn. Op e afstand bevind zich de volgde twee semi-permeabele plat waar eves e constante flow Q doorhe geleid wordt. De gehele configuratie bestaat y L Q x 2h 3
uit 2N parallele plat van hoogte L (L ) waardoor in totaal dus e hoeveelheid N Q verzadigde vloeistof stroomt. In de overige ruimtes bevindt zich de initieel zuurstofarme vloeistof. Door diffusie (gekarakteriseerd door e diffusieconstande D) zal de conctratie zuurstof in deze vloeistof in de tijd (t) toem. Er geldt dat de constante flow Q groot goeg is om de zuurstof conctratie aan het oppervlak van de semi-permeabele plat op de saturatieconctratie (c ) te houd. Vervolgs wordt na e vaste tijd t = T de nu niet meer zo zuurstofarme vloeistof instantaan ververst. We zijn nu geïnteresseerd in de tijd T die nodig is om de gemiddelde zuurstof conctratie tot 9% van de saturatieconctratie te lat stijg. (a) We kunn het probleem reducer tot e -dimsionaal diffusie probleem gedefinieerd op x waarbij x = in het symmetrievlak ligt x = in de semi-permeabele wand. Geef aan welke randvoorwaard geld op x = x = schets de te verwacht oplossing als functie van de plaats voor verschillde tijdstipp. (b) Geef de partiële differtiaalvergelijking die het diffusieproces bescrhijft maak met behulp van e dimsieanalyse e schatting voor de bodigde tijd T. Om e analytische oplossing te vind zull de differtiaalvergelijking de randvoorwaard in dimsieloze vorm geschrev moet word. (c) Druk zowel de randvoorwaard als de differtiaalvergelijking uit in de dimsieloze groothed τ = Dt/ 2, ξ = x/ Θ = (c c)/c. De oplossing wordt gevond m.b.v. scheid van variabel. Dit houdt in dat de oplossing wordt geplitst in e deel dat van de plaats afhankelijk is e deel dat van de tijd afhankelijk is, Θ(ξ,τ) = f(ξ)g(τ). E algeme oplossing is nu: Θ(ξ,τ) = (Asin (λξ) + B cos (λξ))e λ2 τ, λ. (d) Bepaal gebruik makd van de randvoorwaard de constante A de reeks voor λ (λ,λ,λ 2,...). Er geldt nu voor de totale oplossing: ( ) n Θ(ξ,τ) = 2 cos (λ n ξ)e λ2 nτ. λ i n= Voor τ >.3 blijkt echter dat deze reeks in goede badering door de e -orde term (n = ) beschrev kan word. (e) Berek de dimsievolle flux aan de semi-permeabele plaat als functie van de tijd voor τ >.3. (f) Berek de uiteindelijke tijd (T) die nodig is om de gemiddelde zuurstof conctratie tot 9% van de saturatieconctratie te lat stijg. 4
TECNISCE UNIVERSITEIT EINDOVEN FACULTEIT DER TECNISCE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Uitwerking ttam Stroming & Diffusie (3D3) van 9 juni 29. Opgave (a) Ja. De stroming kan met e stroomfunctie Ψ word beschrev als wordt voldaan aan u x + v u v y =. Aangezi x = 2αxy y = 2αxy wordt hier aan voldaan. (b) Nee, er geldt: ω z = v x u y = αy2 αx 2 (c) Nee. De viskeuze normaalspanning word gegev door τ xx τ yy = 2µ u x = 4αµxy = 2µ v y = 4αµxy, doch de viskeuze schuifspanning zijn: ( u τ xy = τ yx = µ y + v ) = µα(x 2 y 2 ). y (d) Nee. Deeltjesban berek we met u(t) = dy v(t) = dt. Integratie van Asin ωt = dt levert (x x ) = A cos ωt. ω Evzo, na integratie van vind we dy 2Acos ωt = dt (y y ) = 2A ω sin ωt. Eliminatie van t leidt dan to (x x ) 2 + (y y ) 2 /4 = A 2 /ω 2. Deze vergelijking beschrijft ellips met exctriciteit 2. (e) Nee. et Strouhal-getal beschrijft de verhouding tuss instationaire convectieve versnellingsterm in de Navier-Stokes-vergelijking. (f) Nee. De vergelijking van Bernoulli mag alle word toegepast in e nietviskeuze stroming. E Stokes-stroming is juist viskeus-gedomineerd. 5
(g) Ja. De weerstandskracht is: D = C D 2 ρv 2 A f 5 N. et bodigd vermog is P = V D = 69 Nm/s. (h) Ja. ier geldt de relatie van Darcy: u = φv A = k p p. Als (bij gelijk blijvde µ l overige parameters) de k p -waarde met e factor wordt vergroot, wordt p e factor kleiner. (i) Nee. In e divergerd kanaal vertraagt de hoofdstroming ), < zal dp er e positieve drukgradiënt heers: >. Er bestaat dan e grote kans op loslating. In e convergerd kanaal is dp <, treedt ge grslaagloslating op. (j) Ja. De diffusie-indringdiepte wordt in goede badering gegev door δ(t) = 4 D A t. De micro-probe neemt op t = τ e conctratie-verandering waar, met andere woord dus δ(τ) = 4 D A τ = d, τ = d2 = 4 6 = 25s. 6D A 6 8 ( dv u Opgave 2 (a) Stroming ontwikkeld, d.w.z. x =. Uit de continuïteitsvergelijking volgt dan u x + v y = v y = v = constant. Met de voorwaarde v(y = ) = ( v(y = h) = ) volgt dan v =. (b) Met v = wordt de y-compont van de NS-vergelijking: = p ρ y p p(y). (c) De drukgradiënt is dp = p B p A = p L 2πR. (c) De x-compont van de NS-vergelijking wordt met v = u = u(y) verevoudigd tot = p ρ x + ν 2 u y 2 d2 u dy 2 = dp () µ (d) Randvoorwaard: u(y = ) = u(y = h) = ΩR. Na integratie van () vindt m: u(y) = dp 2µ y2 + ay + b. De integratieconstant a b word bepaald door substitutie van de randvoorwaard, met als resultaat: u(y) = p 2µ 2πR (y2 yh) + ΩR y h 6
(e) h Q V = L A u(y)dy = L Ah 3 p 24µπR + ΩRhL A. 2 Voorwaarde voor Q V > is: Ω > h2 P 2µπR 2. (f) Schuifspanning op cilinderwand: τ yx (y = h) = µ du dy y=h = h p 4πR + µωr h. De totale kracht is dan: L F = L A τ yx (y = h) = L A [ 2πµΩR2 h p + ]. 2 h (g) et aandrijfkoppel is M = FR, het bodigd mechanisch vermog P = MΩ = FRΩ. Opgave 3 (a) Er is symmetrie rond het vlak x = wat betekt dat de flux door dit vlak gelijk aan nul moet zijn. Op x = wordt door de voldode hoge flow (Q) de conctratie aan de saturatiewaarde gehoud, m.a.w.: c(t,x = ) = c, J x (t,x = ) = D x = dus t,x= x =. t,x= En de oplossing kan als volgt grafisch weergegev word..2.8 c/c.6.4.2.2.2.4.6.8 x/ (b) Alle gradit in y z-richting word verondersteld gelijk aan nul te zijn. Er is dus slechts diffusie in x-richting er geldt: t = D 2 c x 2, 7
met Dus O ( ) = c t T O ( ) D 2 c x 2 = Dc 2. T 2 D. (c) Uit de gegev definities τ = Dt/ 2, ξ = x/ Θ = (c c)/c volgt t = Dc Θ 2 τ, x = c Θ ξ, 2 c x 2 = c 2 Θ 2 ξ 2. Dus Θ τ = 2 Θ ξ 2. De randvoorwaard transformer nu in Θ(τ,ξ = ) =, Θ ξ =. τ,ξ= (d) Differtier van de algeme oplossing naar ξ geeft Θ ξ = λ(acos (λξ) B sin(λξ))e λ2 τ, waar op ξ = alle aan voldaan wordt wanneer A =. Uit Θ(τ,ξ = ) = volgt Θ(τ,ξ = ) = B cos (λ)e λ2 τ =, wat slechts ( geldt wanneer λ = n + ) π n {,,2,...}. 2 (e) De nulde orde badering wordt nu gegev door Θ(τ,ξ) = 4 ( ) τ π π cos 2 ξ e π2 4, of in dimsievolle vorm c = c 4 ( D πx )e π cos π2 4 2 t. Er geldt nu voor x = 2c ( D πx )e sin π2 4 2 t, Voor de flux op de plaat (x = ) geldt dus J x (t,x = ) = D x = 2Dc π 2 D t,x= e 4 2 t, 8
(f) Op tijdstip t = T moet geld c(t = T,x) =.9c, dus c 4 ( D πx )e π cos π2 4 2 T =.9c, ( D 4 πx )e π cos π2 4 2 T =.9, π 2 D 4 π e 4 2 T ( ) πx cos =., met de integraal ( ) πx cos = π, wordt dit π 2 D 8 π 2 e 4 2 T =., ( ) π2 D 4 2 T = ln. π2. 8 Na wat rekwerk vind we dus voor T T = 4 π 2ln (. π2 8 ) 2 D.852 D, wat niet zo ver af ligt van de schatting van (b) ook voldoet aan de voorwaarde τ >.3. 9