Tentamen Biomechanica woensdag 6 augustus 2008, 9.00-12.00 u Code: 8W020, BMT 1.3 Faculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Dit examen bestaat uit 6 opgaven. Het aantal punten dat behaald kan worden met een opgave staat bij ieder opgave aangegeven (let op: dit is niet bij elke opgave hetzelfde!!). Bij het examen behoort een formuleblad, dat mag worden gebruikt bij de uitwerking. vraagstuk 1: 20 punten Patiënten die langdurig in een ziekenhuisbed moeten liggen lopen risico op het krijgen van doorligwonden (medische term: decubitus). In de loop der jaren is duidelijk geworden dat schuifkrachten op het contactvlak tussen huid en ondersteuning een extra risico vormen. Hoge schuifkrachten treden met name op als de patiënt in een half opgerichte houding in bed zit, op de manier zoals weergegeven in figuur (a). Ten behoeve van een rekenmodel wordt een xy-coördinatenstelsel e y e x H K B S F S (a) F H F K (b) F B gekozen waarvan e x evenwijdig is aan het horizontale deel van het bed. De krachten op bekende risico-plekken zijn berekend en daarbij is gevonden. F B = 300 e x + 400 e y ; F S = 100 e x + 200 e y [N] Bij B geldt, dat de buitennormaal op de huid is: n B = e y. Bij S geldt, dat de buitennormaal op de huid is: n S = 1 2 2 ex 1 2 2 ey. (a) Bereken de kracht in de richting van de normaal op het contactvlak (normaalkracht) en de kracht parallel aan het contactvlak (de schuifkracht) in punt B. (b) Bereken de de kracht in de richting van de normaal op het contactvlak (normaalkracht) en de kracht parallel aan het contactvlak (de schuifkracht) in punt S. 1
vraagstuk 2: 20 punten We willen op enig moment kunnen berekenen welke krachten een roeier moet uitoefenen op de roeispaan. Daarvoor maken we een model van de roeier, de boot en de roeispaan, als gegeven in de figuur. Er wordt een xyz-coördinatenstelsel R x R P x P e z e y e x x S S F S gedefinieerd. De oorsprong ligt in de punt van de boot. De y-as is evenwijdig aan de lengte as van de boot en de x-as staat daar loodrecht op en ligt horizontaal. De z-as is verticaal. Het punt S waar de roeispaan contact maakt met het water, wordt aangegeven met de positievector x s : x S = 3 e x 2 e y e z Het punt P waarom de roeispaan draait wordt gegeven door: x P = e x 2 e y Afstanden worden gegeven in meters. (a) De roeier houdt de roeispaan zo dicht mogelijk bij het einde vast. De afstand van het punt R tussen de handen van de roeier en het punt P is gelijk aan 5 [m]. Bereken de positievector x R die de oorsprong O met het punt R verbindt. (b) Verder is gegeven dat voor de reactiekracht F S van het water op de roeispaan geldt: F S = 100 e y. In het punt P kon men de component van de reactiekracht op de roeispaan in x-richting meten, F x,p = 20 [N]. Bereken de krachtvector F R die de roeier op de roeispaan uitoefent. Hint: Stel F R = F x,r e x +F y,r e y +F z,r e z en F P = 20 e x +F y,p e y +F z,p e z en gebruik het momenten- en krachtenevenwicht. 2
vraagstuk 3: 10 punten Een man wil een kist verplaatsen die aan een kabel hangt. De kracht waarmee de kist aan de kabel trekt o.i.v. zijn massa is gelijk aan 200 [N]. De man trekt in horizontale richting met een kracht van 100 [N] (zie figuur). A θ B (a) Hoe groot is de kracht in de kabel AB? (b) Hoe groot is de hoek θ vraagstuk 4: 10 punten De posities van de uiteinden A en B van een vezel worden in de onbelaste referentie toestand gegeven door: x 0,A = e x + e y x 0,B = 2 e x + 5 e y De vezel verplaatst en verlengt en in de vervormde configuratie worden de posities van de uiteinden gegeven door: x A = 2 e x + 3 e y x B = 2 e x + 9 e y De constante waarmee de kracht/lengte relatie wordt gedefinieerd is c = 300 [N]. Bereken de grootte van de kracht F nodig om de vezel deze verlenging te geven. 3
vraagstuk 5: 20 punten Voor een lineair visco-elastisch materiaal kan de krachtsresponsie F(t) bij een in de tijd variërende axiale rek ε(t) berekend worden als de relaxatiefunctie G(t) bekend is. Veronderstel: G(t) = E 0 τ 2 m(τ m + t) 2 met G 0 en τ m materiaalconstanten. Uitgaande van een rek- en spanningsloze referentie toestand voor t < 0 wordt vanaf tijdstip t = 0 aan het materiaal een rekpatroon opgelegd zoals weergegeven in onderstaande figuur. Verder geldt: E 0 = 3 [MPa], ε 0 = 0.001, τ m = 1 [s]. ε ε 0 0 1 2 3 4 5 6 7 t ε 0 (a) Bereken de krachtresponsie F(2) op tijdstip t = 2 (b) Bereken de krachtresponsie F(4) op tijdstip t = 4 (c) Bereken de krachtresponsie F(6) op tijdstip t = 6 4
vraagstuk 6: 20 punten Een onderzoeker wil een zeer nauwkeurige trekproef doen om het mechanisch gedrag van een stukje biologisch weefsel te meten. Daarvoor wordt het proefstuk ingeklemd en vervolgens belast door er een geijkt gewicht aan te hangen. De verlenging die daarvan een gevolg is wordt gemeten. In onderstaande figuur is dat schematisch weergegeven. De onderzoeker vraagt zich af of hij in de analyse rekening moet houden met het eigen gewicht van het stukje weefsel. Daartoe wil hij de verhouding berekenen van het deel van de verlenging dat veroorzaakt wordt door het eigen gewicht en het deel dat veroorzaakt wordt door de klem bij B en de massa die daar nog onder hangt. De onbelaste lengte van het proefstuk is l, de Young s modulus is E. Het proefstukje heeft een dwarsdoorsnede A, een soortelijke massa ρ. De zwaartekrachtsversnelling is g. De massa van de klem in punt B en het gewicht samen is M. Alle vervormingen mogen klein worden verondersteld. x A l g u B (a) Stel de differentiaalvergelijking op waarmee dit probleem kan worden doorgerekend, en geef daarbij de randvoorwaarden. (b) De verplaatsing van punt B ten gevolge van het eigen gewicht is u S. De verplaatsing ten gevolge van alleen de klem en de massa daaronder (dus geen rekening houdend met het eigen gewicht van het proefstuk) is u M. Druk de verhouding tussen u S en u M uit in ρ, A, l en M. 5
Tentamen Biomechanica (Answers) wednesday 6th August 2008, 9.00-12.00 u Code: 8W020, BMT 1.3 Faculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Problem 1 (a) F n = 400 e y ; F τ = 300 e x (b) F n = 150 e x + 150 e y ; F τ = 50 e x + 50 e y Problem 2 (a) x R = e x 2 e y + e z (b) F R = 20 e x + 100 e y 10 e z Problem 3 (a) F = 100 5 [N] (b) θ = arctan (2) Problem 4 F = 60 [N] Problem 5 (a) F(2) = 750 [N] (b) F(4) = -1312.5 [N] (c) F(6) = 458 [N] Problem 6 (a) d dx ( EA du ) + ρag = 0 dx Boundary conditions: u(0) = 0 EA du dx = Mg x=l (b) u S = ρla u M 2M 1