TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Stroming & Diffusie (3D3) op donderdag 26 augustus 21, 14. - 17. uur. Opgave 1 Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend. (a) Gegeven een stationaire stroming in het x, y-vlak met snelheidscomponenten u = αx en v = αy. Is het waar dat de stroomlijnen rechte lijnen zijn? (b) In de stationaire stroming van onderdeel (a) wordt in het punt (x, ) een klein tracer-deeltje losgelaten. Is het waar dat dit deeltje een versnelling in x-richting krijgt ter grootte α 2 x? (c) Beschouw een instationaire stroming in het x, y-vlak met snelheid v = (u, v) = ( Ax cos ωt, Ay cos ωt), met A een constante en ω een frequentie. Is deze stroming incompressibel? (d) Is het waar dat de deeltjesbanen in de stroming van onderdeel (c) een hyperbolische vorm hebben? (e) Beschouw een volledig ontwikkelde oscillerende stroming (als gevolg van een harmonisch-variërende axiale drukgradiënt p z = A cos(ωt), met ω de frequentie) in een lange cilindrische buis met diameter 2a. Deze stroming kan worden gekarakteriseerd door het Womersley-getal α a ω/ν, met ν de kinematische viscositeit. Is het waar dat in de limiet α << 1 de snelheidsprofielen v z (r, t) van deze buisstroming (r is de straal; z is de axiale coördinaat) parabolisch zijn? (f) Kan men de wet van Bernoulli toepassen in een stationaire Couette-stroming? (g) Beschouw een laminaire stroming in een divergerend kanaal. De stroming wordt gekarakteriseerd door een groot Reynolds-getal Re >> 1, zodat zich aan de wanden dunne grenslagen voordoen. Is het waar dat het gevaar voor loslating van de grenslagen in dit geval groter is dan in een convergerend kanaal? (h) Een massief bolletje met diameter 2R = 5 mm zakt met een constante snelheid V = 4 mm/sec door een viskeuze vloeistof (glycerine met kinematische viscositeit ν = 18, 5 cm 2 /sec). Is het waar dat de stromingsweerstand die het bolletje ondervindt door de Stokes-formule D = 6πµV R wordt beschreven? (i) Beschouw de stationaire, één-dimensionale diffusie van een materiaal waarbij de (constante) concentratieflux wordt gegeven door j = D dc, met c = c(x) de concentratie en D = D(x) de plaatsafhankelijke diffusiecoëfficiënt. Is het waar dat bij D = α/x het concentratieverloop wordt gegeven door c(x) x? 1
(j) Men verandert de partiële zuurstofspanning boven een stilstaande vloeistoflaag ter dikte d waardoor vanaf t = de bovenzijde van de vloeistoflaag op een hogere zuurstofconcentratie c 1 wordt gehouden. Voor t < heerst overal een concentratie c. Het zuurstoftransport in de vloeistoflaag is op te vatten als een diffusieproces beschreven door de 1D diffusievergelijking: c t = D 2 c x 2, met D de diffusiecoëfficiënt. Is het waar dat men pas vanaf t = d 2 /D aan de andere zijde van de vloeistoflaag (op x = d) iets merkt van de concentratieverandering? c 1 y x= x c x=d 2
Opgave 2 Beschouw de stationaire stroming van een onsamendrukbare vloeistof (dichtheid ρ, kinematische viscositeit ν) tussen twee parallelle vlakke platen met lengte L en breedte B (loodrecht op het vlak van tekening). De onderlinge afstand tussen de (horizontale) platen bedraagt d. Er wordt een Cartesisch x, y-stelsel gedefinieerd zoals aangegeven in de figuur. Op x = heerst een uniforme snelheid u 1 (x = ) = U en een druk p 1. De platen zijn poreus en er wordt vloeistof door afgezogen met een uniforme snelheid V. Aan de platen ontwikkelen zich laminaire grenslagen zodanig dat op x = L de stroming zich (juist) volledig ontwikkeld heeft tot een parabolische snelheidsverdeling u 2 (x = L) = α(y 2 yd). De druk aldaar is gegeven door p(x = L) = p 2 ( p 1 ). (3 pnt) (1 pnt) (a) Bepaal m.b.v. de integrale massabalans de factor α in de snelheidsverdeling u 2 (y) op x = L; bepaal tevens de maximale snelheid û op x = L voor een gegeven intree-snelheid U. (b) Bepaal het drukverschil (p 1 p 2 ) bij gegeven U. (c) Bereken m.b.v. de integrale impulsbalans de totale wrijvingskracht W die beide platen samen op de stroming uitoefenen. Volg daarbij de volgende stappen: c1. definieer de voor de balans benodigde contour, en geef deze duidelijk in een tekening aan; geef tevens de lokale normaalvectoren aan, alsmede de lokale snelheidsvectoren. c2. bepaal alle afzonderlijke termen in de integrale impulsbalans, en geef aan waarom bepaalde termen nul zijn. c3. bepaal de grootte en de richting van de wrijvingskracht W. 3
Opgave 3 Aan een lange, met vloeistof gevulde, bak wordt aan één zijde (gearceerde vlak op x = ) d.m.v. een gecontroleerde influx J = α/ t een stof toegevoegd (α een constante groter dan nul en t de tijd). Voor de initiele concentratie van deze toegevoegde stof geldt C(t = ) =. Ook geldt dat transport door de vloeistof alleen door diffusie plaatsvindt welke wordt gekarakteriseerd door een constante diffusiecoefficient D. Aangenomen wordt dat er geen stofuitwisseling aan de overige zijden van de bak plaatsvindt (a) Laat zien dat op de impermeabele zijvlakken y =constant en z =constant, respectievlekijk geldt dat / y = en / z =. (b) Er is dus alleen transport in de x-richting van de bak. Geef de 1-dimensionale diffusievergelijking die dit probleem beschrijft en bepaal m.b.v. een dimensieanalyse, de tijd die het ongeveer zal duren voordat een verandering in concentratie in het einde van de bak (x = L) merkbaar is. We zijn nu geinteresseerd in de concentratie op x = en zoeken de analytische oplossing van de diffusievergelijking die het transport beschrijft. Ook veronderstellen we nu dat de bak oneindig lang is, m.a.w. op x = geldt C =. We introduceren de gelijkvormigheidsvariabele η = x 4Dt. (1 pnt) (c) Laat zien dat de verkregen differentiaalvergelijking nu reduceert tot d 2 C dc + 2η dη2 dη =. (d) Om het systeem op te lossen zijn de beginconditie en twee randvoorwaarden nodig. De beginconditie en de randvoorwaarde op x = zijn al gegeven. Bepaal de tweede randvoorwaarde op x = en formuleer de beginconditie en beide randvoorwaarden in termen van η. 4
(e) Laat zien dat de concentratie C als functie van x en t nu wordt beschreven door [ ( )] π x C(x, t) = α 1 erf D 4Dt Het concentratieprofiel uit opgave (e) kon alleen worden gevonden door gebruik te maken van de randvoorwaarde C(x = ) =. In werkelijkheid heeft de bak een eindige lengte L. Het berekende concentratieprofiel zal dus slechts gelden zolang de concentratie op x = L relatief klein is. (1 pnt) (f) Bereken de maximale tijd T waarin de in (e) gevonden oplossing bruikbaar is als we aannemen dat de concentratie op x = L niet groter mag zijn dan 1% van de concentratie op x =. 5
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Uitwerkingen tentamen Stroming & Diffusie (3D3) van 26 augustus 21. Opgave 1 (a) Nee. Stroomlijnen worden berekend volgens: u = dy v Integratie levert: αx = dy αy. ln x = ln y + const. xy = constant. De stroomlijnen hebben dus de vorm van hyperbolen. (b) Ja. Op de x-as is v =, zodat het deeltje alleen langs de x-as zal bewegen. De bijbehorende versnelling is: Du Dt = u t + u u x = + α2 x. Het bewuste deeltje ondervindt in (x, ) dus een versnelling ter grootte α 2 x. (c) Ja, immers v = u x + v y = A cos ωt + A cos ωt = (d) Ja. De deeltjesbanen worden beschreven door u Ax cos ωt = dy Ay cos ωt = dt. Voor de x-coördinaat vinden we: met dus x Evenzo: = dy v = A cos ωtdt ln x = A ω sin ωt + C 1 C 1 = ln x, x = x(t = ), ( ) x A = exp x ω sin ωt y y = exp. = dt, dus ( +A ω sin ωt ). Eliminatie van t leidt dan tot: x x = y y xy = x y = constant. De deeltjesbanen zijn dus hyperbolisch. (e) Ja. Als het Womersley-getal α << 1 is het effect van de tijdsafhankelijkheid gering (lage frequentie ω), en zal de stroming die van een traag-variërende Poiseuille-stroming zijn, met een parabolische snelheidsverdeling. (f) Nee. Een Couette-stroming is volledig gedomineerd door viskeuze krachten. De vergelijking van Bernoulli geldt niet in een viskeuze stroming. 6
(g) Ja. In een divergerend kanaal neemt de snelheid in stromingsrichting af (volgt dv direct uit massabehoud): <. Volgens Bernoulli is dan in de hoofdstroming dp >, d.w.z. de druk neemt in stromingsrichting toe. Derhalve kunnen de grenslagen mogelijk loslaten. (h) Ja. De Stokes-weerstandsformule is geldig in een Stokes-stroming, d.w.z. indien Re = V 2R ν << 1. Hier is: Re = 2 18,5 1 2, dus er wordt voldaan aan de voorwaarde Re << 1. (i) Nee. Immers uit j = α 1 dc dc x = constant volgt x, en dus c(x) x2. (j) Ja. De indringdiepte leidt men direct af met behulp van schaalargumenten: c t = D 2 c x 2 1 t D δ 2 δ Dt. De indringdiepte δ is gelijk aan de wanddikte d op tijdstip t = d 2 /D. 7
Opgave 2 (a) Behoud van massa: ρudb = 2ρV LB + ρb met u 2 (y)dy = α d u 2 (y)dy (y 2 yd)dy = αd3 6. Dan volgt: α = 6 (2V L Ud). d3 Maximale snelheid û = u(y = 1 d) = αd2 2 4 = 3 2 U 3V L. d (b) Bernoulli mag worden toegepast op y = 1 2d voor x L (omdat de stroming op de as voor dat traject nog niet-viskeus is), dus: p 1 p 2 = 1 2 ρû2 1 2 ρu 2 = 1 [ 5 2 ρ 4 U 2 9UV L + 9V 2 L 2 ] d d 2. (c) Integrale impulsbalans: ρvdv + t V }{{} = (stationair) i. v 1 n 1 = U ii. v 2 n 2 = +u 2 (y) iii. v 3 n 3 = +V iv. v 4 n 4 = +V S ρv(v n)ds = pnds + ΣF S De x-impulsbalans wordt dan: ρb U Udy + ρb L u 2 2(y)dy + ρb u 3 (y = )V +ρb u 4 (y = d)v = p 1 Bd p 2 Bd + W Aangezien u 3 (y = ) = u 4 (y d) = en u 2 2(y)dy = α2 d 5 3 8 ( )
Opgave 3 gaat ( ) over in: [ W = (p 1 p 2 )bd ρb U 2 d α2 d 5 ] 3 = 1 [ 17 2 ρbd 2 U 2 + 3 ] 5 (UV L/d V 2 L 2 /d 2 ) dus wrijvingskracht in negatieve x-richting als U > 2V L d (a) Er geldt op de zijvlakken dat er geen stofuitwisseling plaatsvindt dus zijn op deze vlakken de fluxen gelijk aan en de gradient van de concentratie in de normaal richting dus ook. (b) De concentratie (C) in de bak wordt beschreven door de diffusievergelijking t = D 2 C. Wanneer er geen concentratiegradienten in de y en z richting zijn, geldt t = D 2 C x 2. Orde grootte afschatting van deze 1-dimensionale diffusievergelijking levert ( ) c O = C ( ) en O D 2 C t τ x 2 = DC L 2, met C een karakteristieke concetratiewaarde. Dus τ L2 D. (c) Schrijf de afzonderlijke termen van t = D 2 C x 2, in termen van η t = dc η dη t = 1 2t x = dc η dη x = 1 dc 4Dt dη, [ ] 2 C r 2 = x 1 dc 4Dt dη x dc 4Dt dη = η 2t = [ η Invullen in de vergelijking leidt dan tot en D d 2 C 4Dt dη 2 = η dc 2t dη, d 2 C dc + 2η dη2 dη =. dc dη, 1 dc 4Dt dη, ] η x = 1 d 2 C 4Dt dη 2.. 9
(d) Er geldt C(x =, t) = C(η = ) =, en de beginconditie C(x, t = ) = C(η = ) =. Op x = geldt J = D x = α x= t x = α x= D t, ook geldt dus x = 1 dc 4Dt dη, dc dη = 2α. η= D (e) Om de tweede orde niet lineaire gewone differentiaalvergelijking (DV) op te lossen wordt eerst g(η) = dc/dη geïntroduceerd. de DV wordt nu dg dη + 2ηg =. De oplossing van deze eerste orde niet lineaire DV wordt gegeven door g(η) = Ae f(η), waarin A een volgt uit de randvoorwaarden. Invullen in de DV levert df/dη = 2η en dus f = η 2 (plus een constante maar die wordt in A verdisconteerd). Dus dc dη = Ae η2, waarin A volgt uit de randvoorwaarde op η =. A = 2α D. na integratie naar η volgt C(η) = A η ˆη= e ˆη2 dˆη + B = A π 2 erf(η) + B Met behulp van de tweede randvoorwaarde volgt nu [ ( )] π x C(x, t) = α 1 erf D 4Dt 1
(f) Omdat geldt erf(2).99 volgt voor T dus L 4DT 2 T L2 16D 11