Numerieke Analyse. Prof. Dr. Guido Vanden Berghe

Transcriptie

1 Numerieke Anlyse Prof Dr Guido Vnden Berghe

2 Chpter 8 Numerieke Integrtie Kwdrtuurformules Doelstelling Numerieke integrtie is één vn de oudste onderwerpen in numerieke nlyse Er is veel litertuur beschikbr over dit onderwerp De bedoeling vn dit hoofdstuk is het nbrengen vn numerieke methoden voor het beplen vn de wrden vn benoemde integrlen Een vriëteit vn methoden zl besproken worden Vooreerst zl ndcht besteed worden n de methode vn de onbeplde coëfficiënten Vervolgens zullen de Newton Cotes formules vn het gesloten en open type n de orde komen: de welbekende trpezium en Simpson regel mken deel uit vn die klsse formules De meest nuwkeurige kwdrtuurformules vn Guss zullen in detil ngebrcht worden Andcht zl tevens geschonken worden n het zgn Romberg lgoritme, dt steunt op het principe vn Richrdson extrpoltie Het doel vn een kwdrtuurformule is het benderend berekenen vn de numerieke wrde vn de benoemde integrl f(x)dx met en b vste reële grenzen en f(x) een reële éénwrdige continue functie Deze werkwijze is ngewezen wnneer f(x) te ingewikkeld is opdt de integrl met de rekenregels vn de integrlberekening zou kunnen uitgedrukt worden in termen vn bekende reële getllen Om verscheidene redenen kn het vn belng zijn het integrndum te beschouwen ls opgesplitst in een produkt vn twee functies, nl w(x)f(x)dx ipv f(x)dx Hierin is w(x) de zg gewichtsfunctie, gedefinieerd in definitie 63 De kwdrtuurformules die we in de verdere prgrfen zullen bespreken, hebben lle de volgende 54

3 gednte : w(x)f(x)dx = A k f(x k ) (81) De x i zijn bscissen die verschillend zijn, reëel en behorend tot het intervl [, b] Ze kunnen éénduidig gerngschikt worden, bv in stijgende volgorde en niets belet ons te stellen x 1 < x < x n b De coëfficiënten A k zijn reële getllen die voor gegeven, b, w(x) en welbeplde gekozen x 1, x,, x n eens en voor goed berekenbr zijn Noteer dt de A k onfhnkelijk zijn vn f(x) Vermits het rechterlid in (81) een lineire combintie is vn n wrden vn de functie f(x) in n verschillende punten, noemt men dergelijke bendering een n puntsformule 81 Algemene eigenschppen vn kwdrtuurvergelijkingen 811 De grd vn lgebrïsche nuwkeurigheid vn een kwdrtuurformule Voor willekeurig gegeven f(x) stelt de kwdrtuurformule gewoonlijk slechts een bendering vn de wrde vn de integrl voor Evenwel is het bij de door ons beschouwde kwdrtuurformules, wrbij f(x) meestl polynomil zl benderd worden, kenmerkend dt de kwdrtuurformule de integrl exct voorstelt voor een beplde verzmeling reële functies, nl de verzmeling vn lle reële veeltermen vn grd, 1,, N Definitie 811 Indien de kwdrtuurformule systemtisch de integrl exct voorstelt voor lle reële veeltermen vn grd, 1,, N, meestl de integrl slechts benderend voorstelt voor lle ndere reële functies (di lle reële veeltermen met grd groter dn N en lle niet polynomile continue functies) met spordisch eens een excte gelijkheid, dn is N de zgn grd vn lgebrïsche nuwkeurigheid (GVAN) 55

4 Theorem 811 Opdt (81) een GVAN gelijk n N zou bezitten, is het nodig en voldoende dt w(x)x j dx = A k x j k (j =, 1,, N) (8) tezmen met w(x)x N+1 dx A k x N+1 k (83) Bewijs () voldoende Als (8) en (83) gelden, dn bezit (81) GVAN= N Beschouw hiertoe een gehele veelterm vn grd m N met willekeurige reële coëfficiënten, ie m p m (x) = c j x j met c m, j= dn geldt er m w(x)p m (x)dx = w(x) c j x j dx j= m = c j w(x)x j dx j= m n = c j A k x j k (wegens (8)) j= m = A k c j x j k (herschikken vn termen in een j= som vn een eindig ntl termen) = A k p m (x k ) Vndr dt voor lle reële veeltermen vn grd m =, 1,, N geldt : w(x)p m (x)dx = A k p m (x k ) ls (8) vn krcht is Rekening houdend met de definitie volgt hieruit dt de GVAN reeds minstens N is Uit (83) zien we dt er ten minste één veelterm vn grd N

5 bestt wrvoor de kwdrtuurformule niet exct de integrl voorstelt, nl x N+1 Vndr dt de GVAN vn (81) inderdd N is (b) nodige Is de GVAN vn (81) gelijk n N dn gelden (8) en (83) Angezien x, x 1, x,, x N behoren tot de verzmeling vn lle reële veeltermen vn grd, 1,, N, volgen de strenge gelijkheden (8) rechtstreeks uit de definitie vn GVAN Verder moet ook (83) gelden, wnt wre w(x)x N+1 dx = A k x N+1 k, dn zou dit smen met de gelijkheden (8) toelten de redenering onder () te hernemen, uitgnde vn een willekeurige veelterm vn grd N + 1 en zou er geconcludeerd worden dt (8) exct geldt voor lle reële veeltermen vn grd tem N + 1 De GVAN vn (81) zou dn minstens N + 1 zijn, hetgeen strijdig is met het gegeven 81 Inbouw in de kwdrtuurformule vn een minimum GVAN Theorem 81 Ongecht de ligging vn x 1,, x n in [, b] is het steeds mogelijk bij een n puntskwdrtuurformule A 1, A,, A n zo te berekenen dt de GVAN= n 1 Bovendien is dit equivlent met het benderen vn f(x) onder het integrlteken door de interpoltieveelterm vn Lgrnge p n 1 (x) met verdelingspunten x 1, x,, x n Bewijs Opdt de GVAN vn w(x)f(x)dx = A k f(x k ) minstens n 1 zou zijn, is het nodig en voldoende dt A k x j k = w(x)x j dx voor j =, 1,, n 1 57

6 Dit kn opgevt worden ls een lineir stelsel vn n vergelijkingen met n onbekenden A 1, A,, A n Druit kunnen A 1, A,, A n éénduidig opgelost worden ls het om een stelsel vn Crmer gt Drtoe dient de coëfficiëntendeterminnt onderzocht te worden, ie de volgende determinnt vn Vndermonde det = x 1 x x n x 1 x x n x n 1 1 x n 1 x n 1 n = (x i x j ) wegens i>j x i x j ls i j Dus de A i zijn te beplen en deze uitdrukkingen gepltst in de kwdrtuurformule zullen een GVAN verschffen groter of gelijk n n 1 Uit de regel vn Crmer volgt de lgemene vorm vn de oplossing A k = w(x)dx 1 x 1 x x k 1 xw(x)dx x n x n 1 1 x n 1 x n 1 k 1 x n 1 w(x)dx x n 1 n / det Wegens de lineriteit vn de integrlbewerking lsmede de definitie vn een determinnt volgt er dt : of A k = A k = of w(x)dx x 1 x x k 1 x x n x n 1 1 x n 1 x n 1 k 1 x n 1 x n 1 n det w(x)dx(x n x 1 )(x n x ) (x n x) (x n x n 1 )(x n 1 x 1 ) (x n 1 x) (x x 1 ) (x n x 1 )(x n x ) (x n x k ) (x n x n 1 )(x n 1 x 1 ) (x n 1 x k ) (x x 1 ) A k = w(x)dx(x x 1)(x x ) (x x k 1 )(x x k+1 ) (x x n ) (x k x 1 )(x k x ) (x k x k 1 )(x k x k+1 ) (x k x n ) Merk op dt A k effectief onfhnkelijk is vn f(x) Dit herleidt zich formeel wegens (57) en (58) tot A k = w(x)ψ(x)dx (x x k )Ψ (x k ) (84) 58

7 met dus hier Ψ(x) = (x x 1 )(x x ) (x x n ) een veelterm vn de n de grd Hiermee rekening houdend is dn A k f(x k ) = = w(x)ψ(x)dx Ψ (x k )(x x k ) f(x k) w(x) Ψ(x) Ψ (x k )(x x k ) f(x k)dx wt wegens (59) ook te schrijven is ls veelterm door de punten x 1,, x n Vndr dt w(x)p n 1 (x)dx met p n 1 (x) de Lgrnge w(x)f(x)dx = w(x)p n 1 (x)dx = A k f(x k ) (85) Opmerking 811 Merk op dt hier blijkt dt een bendering vn de beschouwde integrl bekomen wordt door het integrndum f(x) onder de integrl te vervngen door een veelterm pproximtie bekomen mbv het principe vn interpoltie Veeltermbenderingen vn f(x) kunnen ook op ndere mnieren gerelizeerd worden, bv door een Tylorveelterm (zie ook prgrf 61)) In die geest en steunend op theorem 61 is volgende fleiding vn een kwdrtuurformule zinvol: e x dx k= x k n k! dx = 1 (k + 1)k! k= Nochtns is het wenselijk lgemene werkwijzen te ontwikkelen wrbij enkel functieëvluties vereist worden vn het integrndum in een reeks knooppunten Methoden, die steunen op interpoltie vervullen om die wens Men kn echter ook f(x) onder het integrlteken vervngen door ndere veeltermbenderingen zols degene bekomen door Hermite interpoltie (zie prgrf 54) en door spline interpoltie (zie prgrf 55) Voorbeeld 811 Bepl een twee-puntskwdrtuursformule opgebouwd met een minimle GVAN voor de bendering vn f(x)dx Kies bovendien x 1 = en x = b Oplossing Volgens theorem 81 is de minimle GVAN gelijk n 1 en wordt f(x)dx p 1 (x)dx = A k f(x k ), 59

8 wrbij of A 1 = x (x x ) x 1 (x 1 x ) dx en A = A 1 = A = x x 1 De bekomen kwdrtuurformule luidt x (x x 1 ) x 1 (x x 1 ) dx, f(x)dx (b ) [f() + f(b)] (86) Voorbeeld 81 Steunend op theorem 81 is het mogelijk rechtstreeks formules vn de vorm (85) te bekomen dmv de methode vn de onbeplde coëfficiënten We kunnen bv, de kwdrtuurformule willen opstellen vn de vorm f(x)dx A 1 f() + A f( 1 ) + A 3f(1), die minstens een GVAN= bezit nodig en voldoende dt Gebruik mkend vn (8) is hiertoe 1 = 1 1 = = dx = A 1 + A + A 3 xdx = 1 A + A 3 x dx = 1 4 A + A 3 De oplossing vn dit stelsel vn drie vergelijkingen luidt: A 1 = 1 6 A = 3 A 3 = 1 6 Het is dn ook evident dt die formule excte wrden zl produceren voor lle integrlen met een integrndum vn de vorm f(x) = c + c 1 x + c x, wrbij c, c 1 en c willekeurige constnten zijn 6

9 Voorbeeld 813 Beschouw opnieuw de integrl f(x)dx mr vervng nu onder het integrlteken f(x) door de kubische Hermite veelterm (554) door de punten = en b = 1, di: H (x) = (x + 1)(x 1) f() (x 3 3x )f(1) + x(1 x) f () + (x 3 x )f (1) Dit resulteert in de volgende kwdrtuurformule f(x)dx H (x)dx = 1 (f() + f(1)) (f () f (1)) Door een eenvoudige substitutie vn vernderlijke bekomen we de volgende kwdrtuurformule geldig voor lgemene < b, (h = b ): f(x)dx h h (f() + f(b)) + 1 (f () f (b)) (87) 8 Kwdrtuurformules vn Newton Cotes vn het gesloten (open) type 81 Formlisme Voor de Newton Cotes kwdrtuurformules worden specile keuzen gemkt voor de gewichtsfunctie w(x) en voor de knooppunten x k, nl de gewichtsfunctie w(x) = 1 voor x [, b] de verdelingspunten worden bepld door de volgende regel : het intervl [, b] wordt verdeeld in p gelijke deelintervllen vn lengte x, di x = b p Zo ontstn de volgende verdelingspunten : en x k = + b k = + k x k =, 1,, p (88) p = x < x 1 < x < < x p 1 < x p = b 61

10 In tegenstelling tot de lgemene beschouwingen uit voorgnde prgrfen worden benevens de inwendige verdelingspunten x 1, x,, x p 1 nu ook de integrtiegrenzen expliciet in de kwdrtuurformules in cht genomen; vndr de terminologie kwdrtuurformules vn het gesloten type Er zijn dn uiterrd p+1 verdelingspunten, zodt we dn hier ook te mken hebben met een (p+1) puntsformule en de indexering voor deze verdelingspunten strt bij ipv bij 1 Merk op dt het integrtieintervl expliciet in deelintervllen wordt opgesplitst vnf p Evenwel kn p = 1 ook in de theoretische ontwikkeling opgenomen worden Dn zijn er twee verdelingspunten x = en x 1 = b (zie ook voorbeeld 811) Door deze geschetste werkwijze zijn in de kwdrtuurformules de verdelingspunten dus vstgelegd en blijven de gewichten te beplen We streven hierbij een zo hoog mogelijke GVAN n Vndr ls eerste stp hiertoe, komt er zols in vorige prgrf het volgende stelsel ter bepling vn de A k : p A k x j k = xp x j dx j =, 1,, p (89) k= x Uit (84) volgt dn, rekening houdend met w(x) = 1 : A k = = xp x xp Ψ(x)dx Ψ (x k )(x x k ) (x x )(x x 1 ) (x x k 1 )(x x k+1 ) (x x p ) x (x k x )(x k x 1 ) (x k x k 1 )(x k x k+1 ) (x k x p ) dx We kunnen dit hier verder vereenvoudigen door de substituties x = x + s x en x k = x + k x Zo verkrijgen we of p s(s 1) (s k + 1)(s k 1) (s p) A k = xds k(k 1) 1( 1) (k p) = ( x p x ) ( 1) p k p s(s 1) (s k + 1)(s k 1) (s p)ds p k!(p k)! A k = (x p x )B (p) k wrbij B (p) k met B (p) k dimensieloze reële grootheden zijn die eens en voor goed te tbelleren zijn = ( 1)p k p! p ( ) p p s(s 1) (s k + 1)(s k 1) (s p)ds (81) k De integrl is hier steeds integreerbr gezien het integrndum een veelterm in s is Aldus kunnen de Newton Cotes kwdrtuurformules vn het gesloten type genoteerd worden ls : xp x f(x)dx = (x p x ) p k= B (p) k f(x k) p = 1,, (811) 6

11 De B (p) k coëfficiënten zijn rtionle getllen (breuk met gehele teller en noemer), positief of negtief Lt ons ls voorbeeld enkele ervn berekenen : Voorbeeld 81 De bepling vn B (p) coëfficiënten is reltief eenvoudig, nl; B (1) = = (s 1)ds = [ s s] 1 = 1 [ 1] = 1 B (1) 1 = sds = [ s ] 1 = 1 B () = 1 ( ) (s 1)(s )ds = 1 (s 3s + )ds! 4 = 1[ s s + s] = 1 4 ( ) = 1 6 B () 1 = 1 ( ) s(s )ds = 1 (s s)ds = 1[ s 3! 1 3 s = 1 [8 3 4] = 3 B () = 1 ( ) s(s 1)ds = 1! 4 = 1 4 [8 3 ] = 1 6 (s s)ds = 1 4 [ s 3 3 s Voor de overige B (p) k coëfficiënten met p 8 verwijzen we nr de tbel 6 Uit deze tbel kunnen we de volgende symmetrie eigenschp flezen : B (p) k = B (p) p k Theorem 81 De coëfficiënten die in het rechterlid vn Newton Cotes kwdrtuurformules optreden vertonen de volgende symmetrie eigenschp: Bewijs B (p) k = B (p) p k Uit de definitie (81) volgt : ( ) B (p) p k = ( 1)k p p s(s 1) (s p + k + 1)(s p + k 1) (s p)ds, p!p p k ] ] 63

12 p B (p) k tbel 6 wt n de substitutie s p s te schrijven is ls ( ) B (p) p k = ( 1)k p (p s )(p s 1) ( s + k + 1)( s + k 1) p!p k p = ( 1)k p!p ( ) p k ( s )( ds ) p ( 1) p (s p)(s p + 1) (s k 1)(s k + 1) s ds = B (p) k Theorem 8 De coëfficiënten die in het rechterlid vn Newton Cotes kwdrtuurformules voorkomen voldoen n p k= B (p) k = 1 64

13 Bewijs Deze eigenschp is een rechtstreeks gevolg vn het feit dt de GVAN vn dergelijke Newton Cotes kwdrtuurformule minstens p is (p=1,, ) Vndr dt elke Newton Cotes formule exct is voor f(x) = x = 1, di xp x dx = (x p x ) p k= B (p) k, wruit het gestelde 8 Grd vn lgebrïsche nuwkeurigheid vn de Newton-Cotes formules vn het gesloten type Bij constructie zelf is de GVAN minstens p De vrg stelt zich nu of de GVAN effectief groter dn p kn zijn Indien GVAN= p + 1 dn zou er exct moeten gelden p k= A k x p+1 xp k = x p+1 dx (81) x Is er geen gelijkheid dn is GVAN=p en de A k coëfficiënten volgen uit het stelsel (89) Is er een gelijkheid dn zijn de vergelijkingen vn het stelsel (89) en de betrekking (81) slechts comptibel indien hun eliminnt gelijk is n nul, ie xp x dx xp x x 1 x p xdx x p+1 x p+1 1 x p+1 p x xp x x p+1 dx? = of of xp x x x 1 x p x dx =? x p+1 x p+1 1 x p+1 p x p+1 xp x (x x p ) (x x )(x p x p 1 ) (x p x ) (x 1 x )dx? = Indien deze eliminnt gelijk nul is dn is er comptibiliteit en dn is GVAN p + 1 In het nder gevl is er geen comptibiliteit en is GVAN = p We kunnen in de 65

14 voorgnde integrl lle vn nul verschillende fctoren schrppen en dn het gedrg tov nul onderzoeken vn xp x (x x )(x x 1 ) (x x p )dx = GVAN p + 1 GVAN = p wt door rekening te houden met de equidistntie vn de x k punten, di x = x +s x, zich herleidt tot p p s x(s 1) x (s p) x xds = ( x) p+ s(s 1) (s p)ds We dienen dus nu enkel het gedrg te onderzoeken vn I p = p s(s 1) (s p)ds (813) We onderscheiden twee gevllen : () p oneven N een grondige nlyse, die buiten het kder vn deze cursus vlt, kn ngetoond worden dt de integrl I p, j zelfs negtief is Dwz de Newton Cotes kwdrtuurformules vn het gesloten type met oneven p hebben een GVAN = p ; (b) p even : p = m (m = 1,, ) In dit gevl leest I p = I m ls I m = m s(s 1) (s m)ds, wt n substitutie s = u + m trnsformeert tot m m (u + m)(u + m 1) u (u m)du = m m u(u 1)(u 4) (u m )du Het integrndum is een oneven grdsveelterm De integrtie geschiedt tussen grenzen die symmetrisch liggen tov nul; druit volgt dt de integrl nul is Vndr dt voor p even (, 4, ) de GVAN vn de Newton Cotes kwdrtuurformules vn het gesloten type groter dn of gelijk n (p + 1) wordt Uiterrd dienen we nu nog te onderzoeken of de grd niet (p + ) kn worden Drtoe moeten we de eliminnt vn het stelsel (89) en de betrekking p k= x A k x p+ k = x p+ dx x 66

15 testen tov nul; deze luidt xp x dx x x p x x p x p p x p x p+ x p+ p x p+? = N een grondige nlyse blijkt dergelijke integrl ook steeds verschillend vn nul te zijn; wrdoor we kunnen besluiten dt de GVAN vn de Newton Cotes kwdrtuurformules voor even p, gelijk is n (p + 1) Conclusie Uit voorgnde blijkt dt het voordeliger is de Newton Cotes formules vn het gesloten type met een even ntl deelintervllen te gebruiken, boven degene met een oneven ntl deelintervllen Voorbeeld 8 Bepl de wrden vn de integrl 1 (4x 3 + 3x + x + 1)dx (814) mbv een Newton Cotes formule met p = en p = 3 Merk vooreerst op dt de wrde vn de integrl rechtstreeks te berekenen vlt en gelijk is n 6 Voor p = (even) is de GVAN = p + 1 = 3, voor p = 3 (oneven) is de GVAN = p = 3 In beide gevllen levert de kwdrtuurformule een exct resultt voor de integrl () p = ; Uit tbel 6 lezen we f dt x f(x)dx = (x x ) f(x ) + 4f(x 1 ) + f(x ) (815) x 6 In ons voorbeeld is x = 1, x 1 = 3/, x = en (4x 3 + 3x + x + 1)dx = 1 (4x 1 6[ 3 + 3x + x + 1) + x=1 ] 4(4x 3 + 3x + x + 1) + (4x 3 + 3x + x + 1) = 6 x=3/ x= (b) p = 3 ; Uit tbel 6 lezen we f dt : x3 f(x)dx = (x 3 x ) f(x ) + 3f(x 1 ) + 3f(x ) + f(x 3 ) (816) x 8 67

16 In ons voorbeeld is x = 1, x 1 = 4/3, x = 5/3, x 3 = en (4x 3 + 3x + x + 1)dx 1 = 8[ 1 (4x 3 + 3x + x + 1) +3(4x 3 + 3x + x + 1) + x=1 x=4/3 ] 3(4x 3 + 3x + x + 1) +(4x 3 + 3x + x + 1) = 6 x=5/3 x= Voor p = zijn slechts drie functieëvluties nodig, terwijl voor p = 3 er vier evluties moeten uitgevoerd worden 83 Foutformules Vermits men de Newton Cotes formules kn fleiden uit de toepssing vn de Lgrnge interpoltieveelterm ls bendering vn f(x) in [x, x p ] (zie (85)) is het logisch de constructie vn foutformules n te vngen met de beschouwing vn deze interpoltieveelterm met bijhorende foutterm (zie formule (56)), ie ngepst n de huidige nottie f(x) = p p (x) + f (p+1) (α)(x x )(x x 1 ) (x x p ) (p + 1)!, x x x p (817) wrbij α een functie is vn x, vriërend tussen x en x p ls x tussen dezelfde grenzen vrieert Drenboven moeten f(x), f (x),, f (p+1) (x) in [x, x p ] reële, enkelvoudige, continue functies vn x voorstellen Integreren we in bovenstnde betrekking beide leden vn x tot x p xp x f(x)dx = xp x p p (x)dx + xp x f (p+1) (α)(x x )(x x 1 ) (x x p ) (p + 1)! dx (818) Vermits gelet op (85) en (81) xp p p p p (x)dx = A k f(x k ) = (x p x ) B (p) k f(x k), (819) x k= k= is de foutterm (procesfout) bij de kwdrtuurformule gegeven door xp x f (p+1) (α)(x x )(x x 1 ) (x x p ) (p + 1)! dx (8) Teneinde de foutterm in meer expliciete vorm te vinden, denken we n de mogelijkheid vn toepssing vn een middelwrdestelling, nl f(x)g(x)dx = f(ξ) g(x)dx, ξ b (81) 68

17 wrbij f(x) minstens continu is in [, b] Een voldoende voorwrde om deze stelling te mogen toepssen is dt g(x) niet vn teken verndert in [, b] Dit toegepst op de bovenstnde foutterm levert : xp f (p+1) (α(x))(x x )(x x 1 ) (x x p ) dx x (p + 1)! f (p+1) (α(ξ)) (p + 1)! xp x (x x ) (x x p )dx, met x < ξ < x p en x < α(ξ) < x p (8) Zulks is slechts gewrborgd voor toepssing ls (x x ) (x x p ) niet vn teken verndert in [x, x p ] Men vindt echter op eenvoudige wijze dt (x x )(x x 1 ) (x x p ) negtief is ls x p 1 < x < x p positief is ls negtief is ls enz x p < x < x p 1 x p 3 < x < x p Slechts in één gevl verndert die uitdrukking niet vn teken in [x, x p ], nl voor p = 1 en slechts dn is de middelwrdestelling vn toepssing In dit bijzonder gevl wordt de foutterm f (α)! x1 (x x )(x x 1 )dx = f (α) 1 ( x) 3 s(s 1)ds =! f (α) 1 (x 1 x ) 3 (s s)ds = 1 1 f (α)(x 1 x ) 3 (83) x Aldus verkrijgen we voor p = 1, rekening houdend met de B (1) k 6 ls kwdrtuurformule coëfficiënten uit tbel x1 x f(x)dx = (x 1 x ) f(x ) + f(x 1 ) f (α) 1 (x 1 x ) 3, x < α < x 1 (84) figuur 6 Deze formule is in de litertuur bekend ls de trpeziumregel, omwille vn de meetkundige interprettie die men er kn n hechten (zie figuur 6) Deze trpeziumregel vertolkt dt de integrl benderd wordt door het oppervlk tussen x s, koorde en ophllijnen 69

18 Als α vrieert in [x, x 1 ] dn is f (α) begrensd, nl f (α) < M ; Uit (84) volgt : x1 x f(x)dx (x 1 x ) f(x ) + f(x 1 ) < M 1 (x 1 x ) 3 (85) wt ons een mt oplevert voor de bovengrens op de fout Uit het gedrg vn (84) volgt tevens dt de GVAN = 1 voor p = 1, wnt f (α) = ls f(x) een lineire functie is vn x Voor f(x) een kwdrtische of hogere grdsveelterm in x, is de foutterm steeds verschillend vn nul Dit is in volledige overeenstemming met de lgemene beschouwingen uit definitie 811 omtrent de GVAN Voor p > 1 dient een fouttermonderzoek doorgevoerd te worden, dt niet steunt op de middelwrdestelling, vermits die niet vn toepssing is Beplde methoden steunen op prtiële integrtietechnieken, ndere doen beroep op zgn Peno kernen 84 De foutvoorstelling vn Peno Bij de bespreking vn de procesfout bij een bendering vn een benoemde integrl door een kwdrtuurformule vn het type (81) is het interessnt de fout R(f) = f(x)dx A k f(x k ) (86) te beschouwen ls een lineire functionl gedefinieerd over een klsse functies Lineire functionlen R bezitten de eigenschp dt R(cf) = cr(f) (87) voor elke constnte c en R(f + g) = R(f) + R(g) (88) Voor de fleiding vn de procesfout volgens Peno zullen we vertrekken vn een lgemenere klsse kwdrtuurformules dn degene vn Newton-Cotes, mw we zullen beschouwen dt: b f(x)dx I(f) = + m n k= m k= k f(x k ) + m 1 k= k1 f (x k1 ) + kn f (n) (x kn ) (89) Voorbeelden hiervn zijn de Newton-Cotes formules wrbij kj = voor j = 1,, n en de formule (87) uit voorbeeld 813 wrbij kj = voor j =,, n De procesfout kn dn voorgesteld worden door R(f) = f(x)dx I(f) (83) 7

19 Theorem 83 (Theorem vn Peno) Veronderstel R(P ) = voor lle veeltermen P Π n, dwz elke veelterm met een grd kleiner of gelijk n wordt exct geïntegreerd door de kwdrtuurformule of mw GV AN = n, dn is de procesfout voor lle functies f C n+1 [, b] gegeven door: wrbij met R(f) = f (n+1) (t)k(t)dt, (831) K(t) = 1 n! R x[(x t) n +], (83) (x t) n + = { (x t) n ls x t ls x < t, (833) en R x [(x t) n +] stt voor de procesfout voor (x t) n + wnneer die ltste wordt beschouwd ls functie vn x De functie K(t) wordt de Peno kern vn de opertor R genoemd Bewijs Beschouw de Tylorreeksontwikkeling (61) voor f(x) rond x =, ie f(x) = f() + f ()(x ) + + f (n) () (x ) n + E n (x) (834) n! De restterm (63) kn in de volgende gednte geschreven worden: E n (x) = 1 n! = 1 n! x f (n+1) (t)(x t) n dt f (n+1) (t)(x t) n +dt Nu lten we de lineire opertor R inwerken op (834); dit geeft nleiding wegens R(P ) = voor lle P Π n tot: R(f) = R(E n (x)) = 1 n! R ( x f (n+1) (t)(x t) n +dt ) (835) Om nu R(f) verder om te vormen, dienen we de R x opertor te verwisselen met de integrtieopertor Wegens de eigenschppen (87)-(88) kn bewezen worden dt die beide opertoren commuteren (bewijs vlt buiten het kder vn deze not s), zodt R(f) = 1 n! = f (n+1) (t)r x (x t) n +dt f (n+1) (t)k(t)dt 71

20 Voorbeeld 83 We zullen Peno s theorem toepssen op de Newton-Cotes kwdrtuurformule vn het gesloten type met p = voor = 1 en b = 1 Dn is R(f) (zie tbel 6) gegeven door R(f) = 1 f(x)dx 1 (f( 1) + 4f() + f(1)) 3 We weten tevens dt elke veelterm P Π 3 exct wordt geïntegreerd; dwz dt het theorem toepsbr is voor n = 3 De Peno kern is in dit gevl: K(t) = 1 6 R x[(x t) 3 +] = 1 [ t) 6 1(x 3 +dx 1 ( )] ( 1 t) ( t) (1 t) 3 + Door te steunen op de definitie (833) vinden we voor t [ 1, 1] dt en 1 (x t) 3 +dx = t (x t) 3 dx = (1 t)4 4 ( 1 t) 3 + = (1 t) 3 + = (1 t) 3 ( t) 3 + = { ls t t 3 ls t < Met deze gegevens kunnen we de Peno kern expliciet fleiden: K(t) = 1 7 (1 t)3 (1 + 3t), (836) voor t 1 en K(t) = 1 7 (1 + t)3 (1 3t), (837) voor 1 t ; 7

21 We wensen op te merken dt de Peno kern K(t) voor een grote klsse vn kwdrtuurformules een vst teken bezit in het integrtieintervl [, b], dwz het middelwrdetheorem kn toegepst worden, di: R(f) = f (n+1) (ξ) K(t)dt (838) voor ξ ], b[ Vermits de integrl vn K(t) onfhnkelijk is vn f, kn zijn wrde gemkkelijk bepld worden door R te lten inwerken bv op de veelterm f(x) = x n+1, di of R(x n+1 ) = (n + 1)! K(t)dt R(f) = (n + 1)! f (n+1) (ξ) R(f) = R(xn+1 ) (n + 1)! f (n+1) (ξ) (839) 73

22 Voorbeeld 84 Voor de kwdrtuurformule uit voorbeeld 83 kunnen gemkkellijk ntrekken dt K(t) voor 1 t 1 Tevens weten we dt lle P Π 3 exct geïntegreerd worden Dit leidt tot Hierin is R(f) = R(x4 ) 4 f (4) (ξ) R(x 4 ) = 1 x 4 dx = 4 15, zodt de procesfout voor die kwdrtuurformule wordt 1 9 f (4) (ξ) Door nu de formules fgeleid in voorbeelden 83 en 84 te herleiden vn het intervl [ 1, 1] nr het lgemene intervl [, b] verkrijgen we de Newton-Cotes kwdrtuur formule voor p =, ie x f(x)dx = (x x ) f(x ) + 4f(x 1 ) + f(x ) (x x ) 5 f (iv) (α) x 6 88 met x < α < x (84) hetgeen in de litertuur bekend is ls Simpson regel ; ter referentie geven we hier ook het resultt voor p = 3: x3 f(x)dx = (x 3 x ) f(x ) + 3f(x 1 ) + 3f(x ) + f(x 3 ) (x 3 x ) 5 f (iv) (γ) x met x < γ < x 3 (841) Merk op dt in beide gevllen de foutterm en in het bijzonder de orde vn de fgeleide vn het integrndum in overeenstemming is met de corresponderende GVAN vn de kwdrtuurformule 74

23 85 Herhlde toepssing vn Newton Cotes kwdrtuurformules vn het gesloten type Niets belet ons bij de prktische berekening vn een Riemnn integrl in twee fsen te werk te gn () het gegeven integrtieintervl eerst op te splitsen in een ntl l of niet gelijke deelintervllen, nl f(x)dx = x1 x f(x)dx + x x 1 f(x)dx + + xm x m 1 f(x)dx (84) (b) op elk vn de resulterende integrlen een Newton Cotes formule met beplde p toe te pssen Vermits in fse () er geen gelijke deelintervllen vereist zijn, kn men de keuze zo mken dt er een sterkere concentrtie vn intervllen gekozen wordt dr wr f(x) snel vn wrde verndert Voorbeeld 85 Het gevl p = 1 Uit (84) volgt f(x)dx = m 1 j= (x j+1 x j ) f(x j) + f(x j+1 ) 1 1 m 1 j= f (α j )(x j+1 x j ) 3 Deze formule wordt reltief eenvoudig wnneer de eerste onderverdeling (fse ) vn [, b] in gelijke deelintervllen is uitgevoerd, nl x j+1 x j = b m Dn herleidt bovenstnde formule zich tot f(x)dx = b m m 1 j= f(x j ) + f(x j+1 ) (b )3 1m 3 m 1 j= f (α j ), x j < α j < x j+1 = b m [f() + f(x (b )3 1) + f(x ) + f(x m 1 ) + f(b)] f (ξ) 1m (843) met < ξ < b en wrbij m 1 j= f (α j ) = mf (ξ) 75

24 Voorbeeld 86 Het gevl p = Uit (84) volgt f(x)dx = m 1 j= (x j+ x j ) f(x j) + 4f(x j+1 ) + f(x j+ ) 6 1 m 1 f (iv) (β j )(x j+ x j ) 5, x j < β j < x j+ 88 j= Bij het gevl vn gelijkmtige verdeling in fse (), nl x j+ x j = b m wordt bovenstnde reltie f(x)dx = b m [ f() f(x 1) + f(x ) 6 m 1 (b )5 f (iv) (β 88m 5 j ) j= + f(x ) f(x 3) + + f(b) ] 6 = b 6m [f() + 4f(x 1) + f(x ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) + + (b )5 4f(x m 1 ) + f(b)] 88m f (iv) (η) 4 (844) met < η < b en wrbij m 1 j= f (iv) (β j ) = mf (iv) (η) Conclusie Uit (843) en (844) volgt dt bij de ontdubbeling vn de intervllen n een eerste toepssing, dwz m vervngen door m in bovenstnde formules, bij de trpeziumregel de fout ruwweg gelijk wordt n 1/4 vn de fout bij de eerste toepssing ; bij de Simpsonregel de fout ruwweg gelijk wordt n 1/16 vn de fout bij de eerste berekening 76

25 86 Newton Cotes formules vn het open type We zoeken nu nr een bendering vn de numerieke wrde vn vn de vorm : xp x f(x)dx xp x f(x)dx = p 1 C k f(x k ) wrbij net zols bij het gesloten type x k = x + x p x k p Het totle integrtieintervl wordt hier ook opgedeeld in p gelijke delen, mr in de som in het rechterlid zijn geen bijdrgen vn de vorm f(x ) en f(x p ) nwezig In de prktijk is p 3 We vereisen net zols voor het gesloten type terug de hoogst mogelijke GVAN die voor een formule vn dergelijk type nvrdbr is ; de te beplen coëfficiënten C k volgen ls oplossingen vn het volgende stelsel vn (p 1) vergelijkingen : xp x x j dx = p 1 C k x j k (j =, 1,, p ) (845) wt een GVAN p wrborgt De oplossing vn het stelsel (845) verloopt op nloge wijze ls beschreven voor de bepling vn de coëfficiënten A k in prgrf 81 en levert dt met C k = (x p x )D (p) k ( ) D (p) k = ( 1)p k 1 p p (s 1)(s ) (s k + 1)(s k 1) (p )! p k 1 (s p + 1)ds (846) De getlwrden vn de coëfficiënten D (p) k zijn net zols de coëfficiënten B (p) k bij het gesloten type eens en voor goed te tbelleren (zie tbel 7) De Newton Cotes kwdrtuurformule vn het open type kn dn ook lgemeen ls volgt genoteerd worden xp x f(x)dx = (x p x ) p 1 D (p) k f(x k) (847) Net zols de coëfficiënten B (p) k bezitten de coëfficiënten D (p) k Zij zijn lle rtionl ; voorts is D (p) k = D (p) p k een reeks eigenschppen (848) 77

26 p D (p) k tbel 7 Tevens geldt ook weer p 1 D (p) k = 1 Net zols voor de formules vn het gesloten type kn de GVAN voor de formules vn het open type meer in detil bestudeerd worden De resultten zijn echter zo nloog dt we ze enkel vermelden Voor een (p 1) puntsformule vn het type (845) of (847) is GVAN = p 1 ls p even is, en is GVAN = p ls p oneven is Ook de foutformules kunnen vnuit een nloog gezichtspunt behndeld worden Rekening houdend met de coëfficiënten D (p) k uit tbel 7 krijgen we : voor p = 3 x3 x f(x)dx = (x 3 x ) f(x 1) + f(x ) + (x 3 x ) 3 f (α), x < α < x 3 36 (849) voor p = 4 x4 x f(x)dx = (x 4 x ) f(x 1) f(x ) + f(x 3 ) 3 + 7(x 4 x ) 5 f (iv) (β) 34 x < β < x 4 (85) Merk wel op dt de procesfouten weergegeven in (849) en (85) op een nloge mnier kunnen fgeleid worden ls in het gevl vn het gesloten type 78

27 Deze formules worden in prktijk weinig of niet gebruikt bij het berekenen vn de numerieke wrde vn een convergente integrl Zij zijn wel nuttig voor gebruik in ndere numerieke methoden, bv in de methode vn Milne bij de numerieke integrtie vn gewone differentilvergelijkingen (zie hoofdstuk 9, prgrf 933) 83 Kwdrtuurformules vn het Gussische type of kwdrtuurformules met hoogste GVAN We streven hier uiterrd opnieuw nr een bendering voor een integrl vn de gednte (81), mw w(x)f(x)dx = A k f(x k ) (851) wrbij x 1 < x < x n b Een eerste groot verschil met de kwdrtuurformules vn Newton Cotes is dt de ligging vn de punten x 1,, x n willekeurig gelten wordt Er wordt slechts geëist dt ze om het even wr in [, b] zouden gelocliseerd zijn, ten einde een zo groot mogelijke GVAN de relizeren Bovendien is doorgns de gewichtsfunctie w(x) verschillend vn een constnte, dwz een effectieve functie vn x De n puntsformule (851) bezit n vrijheidsgrden, nl de ligging vn de knooppunten x 1, x,, x n en de n gewichtscoëfficiënten A 1, A,, A n Vndr de theoretische mogelijkheid om het volgende stelsel vergelijkingen in x i en A i voor te stellen : A k x j k = w(x)x j dx j =, 1,, n 1 (85) Indien men dit stelsel kn oplossen dn weten we uit theorem 811 dt de GVAN n 1, wt benderend tweeml groter is dn de GVAN vn de Newton Cotes formules Bovengenoemd stelsel is jmmer genoeg niet lineir in de n onbekenden, zodt men geen zekerheid bezit over het bestn vn een oplossing, noch over de enigheid vn de oplossing; drenboven is er ook geen voor de hnd liggende oplossingsmethode Vndr voor de oplossing vn het probleem, een ndere werkwijze die we in een reeks fsen kunnen indelen 831 Bepling vn A 1, A,, A n Vn de n voorgestelde vergelijkingen (85) kunnen we de n eerste beschouwen (di voor j =, 1,, n 1) teneinde A 1, A,, A n eruit op te lossen, ongecht de ligging der x i (i = 1,, n) Dit probleem werd reeds opgelost in prgrf 81 en heeft geleid tot A k = w(x)ψ(x)dx Ψ (x k )(x x k ) (853) 79

28 met Ψ(x) = (x x 1 )(x x ) (x x n ) Hiermee is bij constructie GVAN n 1 reeds bereikt 83 Bepling vn de ligging vn de verdelingspunten x 1, x,, x n We zoeken nr een mogelijkheid om de GVAN groter dn (n 1) te mken Drtoe beschouwen we in deze prgrf de verzmeling vn lle reële veeltermen vn grden n, n + 1,, n 1 en we beschouwen de kwdrtuurformule voor l deze veeltermen, dwz in de lgemene formule (851) wordt f(x) vervngen door één vn deze veeltermen die we p(x) zullen noteren en n gr(p(x)) n 1 Vooreerst construeren we op bsis vn priori willekeurig gekozen verdelingspunten x 1, x,, x n de interpoltieveelterm p n 1 (x) vn Lgrnge die bij p(x) behoort Er ontstt zeker p(x) = p n 1 (x) + foutterm Er is zeker een foutterm, vermits gr(p(x)) n en gr(p n 1 (x)) n 1 Steunend op (59) kunnen we dit explicieter schrijven ls p(x) = Ψ(x) Ψ (x k )(x x k ) p(x k) + s(x) (854) Hierin is s(x) een vn nul verschillende veelterm wrbij of gr(s(x)) = gr(p(x)) n gr(s(x)) n 1 Bij constructie zelf is het linkerlid vn (854) gelijk n de eerste term vn het rechterlid voor x = x 1, x,, x n Vndr dt s(x 1 ) =, s(x ) =,, s(x n ) = Dwz dt s(x) deelbr is door Ψ(x) = (x x 1 )(x x ) (x x n ) of s(x) = Ψ(x)q(x) wrbij voor de quotiëntveelterm q(x) gr(q(x)) n 1 8

29 Hierdoor herleidt (854) zich tot p(x) = Ψ(x) Ψ (x k )(x x k ) p(x k) + Ψ(x)q(x) (855) Vermenigvuldig nu beide leden vn (855) met w(x) en integreren we vn tot b, di w(x)p(x)dx = = w(x) ( Ψ(x) Ψ (x k )(x x k ) p(x k)dx + ) w(x)ψ(x)dx b p(x Ψ k ) + (x k )(x x k ) w(x)ψ(x)q(x)dx w(x)ψ(x)q(x)dx wt wegens (853) ook te schrijven is ls w(x)p(x)dx = A k p(x k ) + w(x)ψ(x)q(x)dx Het linkerlid is de integrl vn de reële veelterm p(x) die we wensen te berekenen De eerste term in het rechterlid is de bijhorende kwdrtuurformule Telkens de tweede term in het rechterlid gelijk wordt n nul is de kwdrtuurformule exct Anders gezegd, wensen we dt (851) exct zou gelden voor lle veeltermen vn grd kleiner of gelijk (n 1) dn moet w(x)ψ(x)q(x)dx = (856) voor lle q(x) behorend tot de verzmeling vn reële veeltermen met grd, 1,, n 1 Dit is de zgn orthogonliteitsvoorwrde wrn Ψ(x) moet voldoen Er dient opgemerkt te worden dt het niet uit de voorgnde redenering blijkt wrom de grd vn p(x) begrensd wordt door (n 1) Uit hetgeen volgt zl blijken dt het niet mogelijk is met een veelterm Ψ(x) vn de n de grd te voldoen n de voorwrde (856) ls q(x) een willekeurige reële veelterm vn grd n of groter mg zijn, dwz ls gr(p(x)) > n 1 Beschouwen we nu in het intervl [, b] een verzmeling orthogonle veeltermen {φ (x), φ 1 (x),, φ n (x)} gedefinieerd tov de gewichtsfunctie w(x) die voldoen n (617) met γ k = 1, di w(x)φ k (x)φ j (x)dx = δ jk (857) Vermits nu Ψ(x) een veelterm is vn de n de grd, volgt uit theorem 63 dt deze kn geschreven worden ls een lineire combintie vn φ, φ 1,, φ n, nl Ψ(x) = c φ (x) + c 1 φ 1 (x) + + c n φ n (x) met c n (858) 81

30 Uitdrukken dt (851) een formule is met GVAN = n leidt tot de voorwrde (856) met q(x), in dit gevl een willekeurige reële veelterm vn grd, dwz een willekeurige reële constnte of ook φ (x) In dit gevl herleidt (856) zich, rekening houdend met (858) tot w(x)[c φ (x) + c 1 φ 1 (x) + + c n φ n (x)]φ (x)dx = wt wegens (857) leidt tot c = Op nloge wijze uitdrukken dt (851) een kwdrtuurformule is met GVAN gelijk n n + 1 leidt tot (856) met q(x) een willekeurige veelterm vn grd 1, welke steeds te schrijven is ls een lineire combintie vn φ en φ 1, ie q(x) = g φ (x) + g 1 φ 1 (x) met g 1 Hierdoor luidt (856), steunend op (858) wrin c = : w(x)[g φ (x) + g 1 φ 1 (x)][c 1 φ 1 (x) + c φ (x) + + c n φ n (x)]dx = wt wegens (857) leidt tot g 1 c 1 = Hieruit volgt dt ook c 1 = dr g 1 Dezelfde redenering kn ldus herhld worden tem GVAN = n 1, mw gr(p(x)) = n 1, wruit gr(q(x)) = n 1, di q(x) = h φ (x) + h 1 φ 1 (x) + + h n 1 φ n 1 (x) met h n 1 wrbij reeds uit het voorgnde werd fgeleid dt c = c 1 = c = = c n = Aldus luidt (856) in dit gevl w(x)[h φ (x) + h 1 φ 1 (x) + + h n 1 φ n 1 (x)][c n 1 φ n 1 + c n φ n ]dx =, wruit wegens (857) h n 1 c n 1 =, en dus c n 1 = Dergelijke redenering toont dn dt Ψ(x) = c n φ n (x), (859) dwz de te nemen verdelingspunten x 1, x,, x n zijn dus de wortelpunten vn φ n (x) = Uit theorem 643 weten we bovendien dt deze n wortelpunten verschillend zijn en lle liggen in het intervl [, b] Merk tevens op dt indien men bovenstnde werkwijze zou verder zetten tot GVAN = n, we een reële veelterm q(x) moeten beschouwen vn de grd n, nl q(x) = s φ (x) + s 1 φ 1 (x) + + s n φ n (x) met s n 8

31 wrdoor (856) nleiding zou geven tot of w(x)[s φ (x) + s 1 φ 1 (x) + + s n φ n (x)]c n φ n (x)dx = s n c n = Dit leidt tot een strijdig resultt omdt noch s n, noch c n nul kunnen worden, wruit volgt dt de GVAN vn n punts Gussische kwdrtuurformules inderdd (n 1) is, de grootste GVAN die kn bereikt worden 833 Omvorming vn de formule (853) voor A k Vooreerst kunnen we opmerken dt zowel in de teller ls in de noemer vn (853) Ψ(x) (resp Ψ (x k )) kunnen vervngen worden door c n φ n (x) en c n φ n(x k ) Vermits bij constructie de coëfficiënt vn x n in Ψ(x) gelijk is n 1 zullen we in verdere uiteenzetting het volgend verbnd tussen Ψ(x) en φ n (x) nvrden : Ψ(x) = φ n (x)/r n wrbij r n de coëfficiënt is vn x n in φ n (x) (zie ook (65)), mw c n = 1/r n We noteren hier om verwrring te vermijden de hoogste grdscoëfficiënt in φ n (x) ls r n, dr wr we voor diezelfde grootheid in hoofdstuk 6 de nottie A n hebben gebezigd Op die wijze is (853) reeds te schrijven ls A k = w(x)φ n (x)dx φ n(x k )(x x k ) Deze integrlvoorstelling vn A k kn nog gevoelig vereenvoudigd worden door te steunen op de identiteit vn Christoffel Drboux, die geldt voor {φ, φ 1,, φ n } behorend bij w(x) (zie theorem 646) n 1 j= φ j (x)φ j (y) = r n 1 r n φ n (x)φ n 1 (y) φ n 1 (x)φ n (y) (x y) (86) met x, y R of C, x y en r n, r n 1 respectievelijk de coëfficiënten vn x n en x n 1 in φ n (x) en φ n 1 (x) Stel nu in (86) y = x k met x k de numerieke wrde vn de k de wortel vn φ n (x) =, dn krijgen we n 1 j= φ j (x)φ j (x k ) = r n 1 φ n (x)φ n 1 (x k ) r n (x x k ) 83

32 Hiermee rekening houdend kn de uitdrukking voor A k ls volgt herschreven worden : of A k = A k = 1 b w(x) r n 1 n 1 φ φ j (x)φ j (x k )dx n(x k ) r n 1 φ n 1 (x k ) j= = r n 1 n 1 φ j (x k ) b w(x)φ r n 1 φ n 1 (x k )φ j (x)φ (x)dx n(x k ) j= φ (x k ) r n 1 r n 1 φ n(x k )φ n 1 (x k ) (861) 834 Foutterm behorend bij de lgemene kwdrtuurformule vn Guss Deze foutterm is op grond vn theoretisch onderzoek gebleken vn dezelfde ntuur te zijn ls de foutterm bij Newton Cotes kwdrtuurformules, nl een coëfficiënt vermenigvuldigd met de (n) de fgeleide vn f(x) in een punt η ( < η < b) De orde vn deze fgeleide is in overeenstemming met de GVAN = n 1 De bepling vn deze bovengenoemde coëfficiënt kn op veel wijzen gebeuren Een mogelijkheid bestt erin f(x) in de kwdrtuurformule te vervngen door een willekeurige reële veelterm vn de grd n, di f(x) = c x n + c 1 x n c n, (c ) Dn is uiterrd f (n) (x) = c (n)! Mits rekening te houden met bovenstnde opmerking bezit de foutterm de vorm κ n c (n)! (κ n nog te beplen coëfficiënt) wnneer het integrndum een reële veelterm vn grd n is Nu kunnen we ook echter f(x) Euclidisch delen door φ n (x), nl f(x) = φ n (x)q(x) + r(x), (86) wrbij Q(x) een reële veelterm vn grd n is en r(x) de restveelterm met grd kleiner of gelijk n (n 1) Door vermenigvuldiging vn beide leden met w(x) en de integrtie vn nr b in (86) krijgen we w(x)f(x)dx = w(x)φ n (x)q(x)dx + w(x)r(x)dx (863) De veelterm Q(x) is ontwikkelbr in termen vn {φ, φ 1,, φ n }, nl Q(x) = α i φ i (x) i= 84

33 Hierdoor herleidt de eerste integrl in het tweede lid zich tot α n Kiest men n verschillende bscispunten x 1, x,, x n en construeert men de interpoltieveelterm vn Lgrnge p n 1 (x) zodt p n 1 (x k ) = r(x k ), dn ontstt wegens gr(r(x)) n 1 de gelijkheid p n 1 (x) = r(x) = Aldus wordt (863) w(x)f(x)dx = α n + Ψ(x) Ψ (x k )(x x k ) r(x k) Ψ(x)w(x) r(x k ) dx (864) Ψ (x k )(x x k ) Kiezen we nu voor x 1, x,, x n de wortels vn φ n (x) dn is Ψ(x) = φ n (x)/r n, Ψ(x)w(x) b Ψ (x k )(x x k ) dx = w(x)φ n (x) φ n(x k )(x x k ) dx = A k, f(x k ) = r(x k ), en (864) is te schrijven ls w(x)f(x)dx = A k f(x k ) + α n Hieruit blijkt dt α n de foutterm voorstelt ; α n is de coëfficiënt vn φ n in Q(x), dwz α n = c /r n Uit gelijkstelling vn de twee resultten bekomen voor de foutterm, volgt er κ n c (n)! = c r n of κ n = 1 (n)! rn Hiermee rekening houdend en tevens gebruik mkend vn (861) wordt de kwdrtuurformule vn Guss met foutterm : w(x)f(x)dx = r n r n 1 f(x k ) φ n(x k )φ n 1 (x k ) + f (n) (η), < η < b (865) (n)! rn Voorbeeld 831(Guss Legendre formules) In voorbeeld 641 werden de Legendre veeltermen P n (x) geconstrueerd Voor deze veeltermen is w(x) = 1, = 1, b = +1 Zols gedefinieerd in (619) voldoen ze n de orthogonliteitsbetrekking 1 P k (x)p l (x)dx = k + 1 δ kl 85

34 Om een orthogonliteitsbetrekking vn de gednte (857) te zijn dienen we φ n (x) te definiëren ls n + 1 φ n (x) = P n (x) (866) Uit (6) en (865) kunnen we tevens r n, de coëfficiënt vn x n in φ n (x) beplen, ie r n = (n)! n + 1 n (n!) Hiermee rekening houdend herleidt de lgemene vorm (865) zich tot de volgende Guss Legendre kwdrtuurformule 1 f(x)dx = n Wnneer een integrl vn de vorm f(x k ) P n(x k )P n 1 (x k ) + f (n) (η) n+1 (n!) 4 [(n)!] 3 (n + 1) f(x)dx (, b willekeurig) ngeboden wordt, dn kn deze steeds herleid worden tot een integrl wr de Guss Legendre formules kunnen op toegepst worden Het intervl [, b] kn steeds herleid worden tot een intervl [ 1, 1] door de substitutie x = 1 (b )t + 1 ( + b) en bovenstnde integrl herleidt zich tot f(x)dx = b 1 F (t)dt Voorbeeld 83(Guss Lguerre formules) De orthogonle Lguerre veeltermen kunnen ls volgt gedefinieerd worden (zie ook oefeningen) ls L n (x) = ex d n n! dx n (e x x n ) (867) en voldoen n e x L n (x)l m (x)dx = δ n,m 86

35 mw w(x) = e x, = en b = Om een orthogonliteitsbetrekking vn de gednte (857) te bekomen, stellen we φ n (x) = L n (x) Hiermee rekening houdend en steunend op (867) leidt men gemkkelijk f dt r n = ( 1)n n! en de Guss Lguerre formule leest e x f(x)dx = n 1 n f(x k ) L n(x k )L n 1 (x k ) + f (n) (η)(n!) (n)! (868) Voorbeeld 833(Guss Chebyshev formules) De Chebyshev veeltermen werden ingevoerd in voorbeeld 64 weten we dt Hieruit w(x) = 1/ 1 x, = 1 en b = +1 Bovendien geldt voor elke n 1 1 T n (x)t m (x)dx 1 x = π δ nm In prgrf 65 hebben we ngestipt dt de coëfficiënt vn x n in T n (x) n 1 is Bovengenoemde eigenschppen in cht nemend kunnen we vooropstellen dt φ n (x) = r n = π T n(x) π n 1 en en de formule (865) leest in dit bijzonder gevl 1 f(x)dx 1 x = π n f(x k ) T n(x k )T n 1 (x k ) + π (n)! n f (n) (η) (869) 87

36 In dit gevl kennen we de wrden vn x k Het zijn de wortelpunten vn T n (x) =, nl (zie theorem 651) x k = x k = cos ( k 1 n π), (k = 1,,, n) Steunend op formules uit prgrf (65) vinden we T n(x k ) = n sin ( k 1 π ) sin ( k 1 = n π) n( 1) k+1 sin ( k 1 n π) Anderzijds is T n 1 (x k ) bij definitie gelijk n T n 1 (x k ) = cos [ (n 1) ( k 1 n = cos ( k 1 π)] = ( 1) k+1 sin ( k 1 n π) π ) cos ( k 1 n π) + sin ( k 1 π ) sin ( k 1 n π) Hieruit volgt dt T n(x k )T n 1 (x k ) = n Dit introducerend in (869) levert f(x) dx = π ( f cos ( ) k 1 π 1 1 x n n π) + (n)! f (n) (η) n Merk op dt hieruit volgt dt in het hier beschouwde gevl, lle gewichtscoëfficiënten A k gelijk en constnt zijn, nl A k = π n Opmerking 831 Voor l deze belngrijke types vn Guss formules, en nog een reeks ndere, heeft men eens en voor ltijd gedetilleerde lijsten ngelegd, bevttende : de rij orthonormle veeltermen φ (x), φ 1 (x),, φ n (x) tot een behoorlijke hoge orde n ; de nulpunten x 1, x,, x n vn φ n (x) de numerieke wrden der bijbehorende coëfficiënten A 1, A,, A n, die men in de kwdrtuurformules nodig heeft Dit lles kn gerdpleegd worden in bv M Abrmowitz nd I Stegun, Hndbook of Mthemticl Functions, Ntionl Bureu of Stndrds, US Government Printing Office (1964) A Stroud nd D Secrest, Gussin Qudrture Formuls, Prentice-Hll, Englewood Cliffs, NJ (1966) Ter illustrtie geven we hiern respectievelijk de wortels en een reeks A k wrden behorend bij Legendre en Lguerre kwdrtuurformules uit bovengenoemde werken overgenomen (tbellen 8 en 9) 88

37 n x k A k ± ± ± ± ± ± ± ± ± tbel 8 (Guss Legendre) tbel 9 (Guss Lguerre) 89

38 84 Romberg integrtie Het lgoritme dt we in dit hoofdstuk zullen beschrijven drgt de nm vn Romberg, die ls eerste een recursieve vorm voor die methode gf We veronderstellen dt een benderende wrde vereist is voor de integrl I = f(x)dx (87) De functie f en het intervl [, b] blijven onvernderd gedurende de verdere discussie De beschrijving vn het lgoritme zl in verschillende fsen worden ngebrcht 841 Recursieve trpeziumregel Lt ons de herhlde trpeziumregel wrbij gebruik gemkt wordt vn n gelijke subintervllen met lengte h = (b )/n noteren ls T (n), dwz dt formule (843) kn geschreven worden ls T (n) = b [n 1 f( + i b n n ) + 1 (f() + f(b))] (871) i=1 Beschouwen we nu het intervl [, 1] en de expliciete formules voor T (1), T (), T (4) en T (8), di T (1) = 1 f() + 1 f(1) T () = 1 4 f() + 1 f(1 ) f(1) T (4) = 1 8 f() [f(1 4 ) + f(1 ) + f(3 4 )] f(1) T (8) = 1 16 f() [f(1 8 ) + f(1 4 ) + f(3 8 ) + f(1 ) + f( 5 8 ) + f(3 4 ) + f(7 8 )] f(1) Het is duidelijk dt wnneer T (n) berekend wordt, we voordeel kunnen hlen uit het werk verricht bij de berekening vn T (n) Enkel de termen optredend in T (n) die niet reeds nwezig zijn in T (n) moeten berekend worden Bijvoorbeeld uit de voorgnde berekeningen zien we dt: T () = 1 T (1) + 1 f(1 ) T (4) = 1 T () [f(1 4 ) + f(3 4 )] T (8) = 1 T (4) [f(1 8 ) + f(3 8 ) + f(5 8 ) + f(7 8 )] 9

39 Theorem 841 Met h = (b )/n kn de lgemene formule geldig voor elk intervl [, b] ls volgt genoteerd worden: of Bewijs ie T (n) = 1 T (n) + h[f( + h) + f( + 3h) + f( + 5h) + + f( + (n 1)h)] T (n) = 1 n T (n) + h f( + (i 1)h) (87) i=1 We bewijzen formule (87) door vooreerst T (n) te schrijven in termen vn T (n), T (n) = 1 T (n) + [T (n) 1 T (n)] Door gebruik te mken vn (871) kn de uitdrukking tussen rechte hkjes geschreven worden ls: T (n) 1 n 1 T (n) = h i=1 n 1 f( + ih) h f( + ih) = h f( + (i 1)h) i=1 i=1 Vermits elke term in de tweede som vn de vorm f( + ih) is, worden door de termen uit die tweede som lle even-genummerde termen in de eerste som geëlimineerd In de resulterende som, wordt het bereik vn i bekomen door vst te stellen dt in de eerste som de eerste oneven-genummerde term f( + h) is en de ltste overgebleven term f( + (n 1)h) De integrl I kn nu benderd worden door een recursieve trpeziumregel Als er n gelijke subintervllen zijn, levert (87) die regel, nl T ( n ) = 1 T (n 1 ) + b n n 1 i=1 f( + (i 1) b n ) 84 Het lgoritme vn Romberg De recursieve trpeziumregel wordt gebruikt in het Romberg lgoritme Lt R(n, ) een nottie zijn voor de trpeziumregel met n subintervllen Dn is R(, ) = 1 (b )[f() + f(b)] R(n, ) = 1 b n 1 R(n 1, ) + f( + (i 1) b (873) n ) n i=1 91

40 De schttingen R(, ), R(1, ), R(, ),, R(M, ) worden berekend voor een niet te grote wrde vn M, en er zijn geen duplicten in de functie evluties In de rest vn het Romberg lgoritme dienen bijkomende wrden R(n, m) berekend te worden Al deze wrden kunnen geïnterpreteerd worden ls benderingen vn de integrl I Meer evluties vn het integrndum f zijn niet noodzkelijk n de berekening vn het element R(M, ) De opeenvolgende kolommen vn de R-mtrix voor n 1 en m 1 worden geconstrueerd met de volgende formule (de fleiding vn die formule volgt in de volgende prgrf) R(n, m) = R(n, m 1) + 1 [R(n, m 1) R(n 1, m 1)] (874) 4 m 1 De berekening is zeer eenvoudig De bedoeling is een tbel op te bouwen vn de vorm R(, ) R(1, ) R(1, 1) R(, ) R(, 1) R(, ) R(3, ) R(3, 1) R(3, ) R(3, 3) R(4, ) R(4, 1) R(4, ) R(4, 3) R(4, 4) R(M, ) R(M, 1) R(M, ) R(M, 3) R(M, 4) R(M, M) 843 Afleiding vn formule (874) Het Romberg integrtielgoritme steunt op de zg Euler-Mclurin formule Deze ltste formule steunt op eigenschppen vn Bernoulli veeltermen De Bernoulli veeltermen vormen een oneindige rij met vele bruikbre eigenschppen De lgste-orde veeltermen zijn: B (t) = 1 B 1 (t) = t 1 B (t) = t t B 3 (t) = t 3 3 t + 1 t Zij worden gedefinieerd door de vergelijkingen ( ) n + 1 B k (t) = (n + 1)t n k= k (n =, 1,, ) (875) Voorbeeld 841 9

41 Bepl B (t) en B 1 (t) uit (875) Oplossing Vermits ( ) n = m n! m!(n m)! hlen we uit (875) voor n = dt B (t) = 1 Voor n = 1 volgt uit (875) dt B (t) + B 1 (t) = t wruit B 1 (t) = t 1 Het volgende theorem somt de eigenschppen vn de Bernoulli veeltermen op, die we voor de fleiding vn het Romberg lgoritme en de Euler-Mclurin formule nodig hebben Theorem 84 De Bernoulli veeltermen hebben de volgende eigenschppen: (i) B n = nb n 1 (n 1) (ii) B n (t + 1) B n (t) = nt n 1 (n ) ) (iii) B n (t) = n k= ( n k B k ()t n k (iv) B n (1 t) = ( 1) n B n (t) Bewijs Betrekking (i) wordt bewezen door inductie Het gevl n = 1 is verifieerbr uit het feit dt B 1 (t) = t 1 en B (t) = 1 Onderstel dt B k = kb k 1 voor k = 1,,, n 1 Dn bekomen we door vergelijking (875) f te leiden en opnieuw gebruik te mken vn vergelijking (875) dt: ( ) ( ) n + 1 n 1 B k k(t) = n(n + 1)t n 1 n = (n + 1) B k (t) (876) k= k Mbv de inductiehypothese kn vergelijking (876) in de volgende vorm gebrcht worden: (n + 1)B n + n 1 ( ) n + 1 kb k 1 = (n + 1) k 93 n 1 k= ( ) n B k k

42 Door beide leden te delen door n + 1 en gebruik te mken vn de identiteit ( ) k n + 1 n + 1 k verkrijgen we: B n + n 1 = ( ) n k 1 ( ) n B k 1 = k 1 n 1 k= ( ) n B k k N schrpping vn gelijke termen bekomen we (i) Om vergelijking (ii) te bewijzen gebruiken we (i) in herhling, di B n(t) = n(n 1)B n (t) B n (t) = n(n 1)(n )B n 3 (t) B (k) n (t) = n(n 1) (n k + 1)B n k (t) Aldus luidt de Tylorreeks voor B n ls volgt: B n (t + h) = k= 1 k! B(k) n (t)h k = k= Geef hierin h de wrde 1 en gebruik de identiteit ( ) ( ) n n = k n k en vergelijking (875) om vergelijking (ii) te bekomen, ie: B n (t + 1) = k= ( ) n B k (t) = B n (t) + k = B n (t) + nt n 1 ( ) n B n k (t)h k (877) k n 1 k= ( ) n B k (t) k Door t = en h = t in te voeren in (877), bekomen we vergelijking (iii) Om vergelijking (iv) f te leiden, gebruiken we (ii) met t vervngen door t Het resultt is B n (1 t) B n ( t) = n( 1) n 1 t n 1 Wnneer dit wordt geschreven in de vorm = ( 1) n 1 [B n (t + 1) B n (t)] ( 1) n B n (t + 1) B n ( t) = ( 1) n B n (t) B n (1 t) F (t) 94

43 herkennen we hierin een vergelijking vn het type F (1 + t) = F (t), welke impliceert dt F een periodieke functie is met periode 1 Vermits F een veelterm is moet het derhlve een constnte zijn, dwz ( 1) n B n (t) B n (1 t) = c n N fleiding vn die vergelijking verkrijgt men door gebruik te mken vn (i) ( 1) n B n(t) + B n(1 t) = ( 1) n nb n 1 (t) + nb n 1 (1 t) =, wt equivlent is met (iv) Theorem 843 De functie G(t) = B n (t) B n () bezit geen wortelpunten in het open intervl ], 1[ Bewijs We zetten t = in vergelijkingen (ii) en (iv) vn het voorgnde theorem Dit resulteert in: B n () = B n (1) = ( 1) n B n (), wt betekent dt B 3 () = B 5 () = B 7 () = = Veronderstel nu dt G een nulpunt bezit in ], 1[ Vermits G() = G(1) = zien we dmv Rolle s theorem dt G minstens twee nulpunten bezit in ], 1[ Vermits B n 1 een veelvoud is vn G, bezit B n 1 ook minstens twee nulpunten in ], 1[ Mr B n 1 verdwijnt ook bij en 1, zodt B n 1 minstens drie nulpunten bezit in ], 1[ Druit volgt dt B n ook minstens drie nulpunten bezit in ], 1[ Voort redenerend op die wijze, kunnen we concluderen dt B k, voor oneven indices k < n, tenminste twee nulpunten moet bezitten in ], 1[ Zo ook bezit B 3 minstens twee nulpunten in ], 1[ lsook de twee nulpunten in en 1 Dit is onmogelijk, vermits B 3 een kubische veelterm is Theorem 844 Als de functie f n continue fgeleiden bezit in [, 1], dn is wrbij f(t)dt = 1 n 1 [f() + f(1)] b k (k)! [f (k 1) (1) f (k 1) ()] + R (878) R = b n (n)! f (n) (ξ) ( < ξ < 1) en b k = B k () de Bernoulli getllen zijn Deze formule is bekend ls de Euler-Mclurin formule 95