Inhoudsopgave. Allerlei verbanden

Transcriptie

1 Allerlei vernden

2

3 Inhoudsopgve Allerlei vernden Breuken Worels 8 Evenredig Toepssingen 5 Rekenen in de meekunde 7 Bundels grfieken 0 Anwoorden Eperimenele uigve 007 voor wiskunde D hvo, 0 slu Colofon 007 Siching De Wgeningse Mehode Aueurs Illusries Disriuie Leon vn den Broek, Mris vn Hndel, Dolf vn den Homergh, Afke Piekr, Dn vn Smlen Wilson Design, Uden Iddink voorgeze onderwijs v, Posus, 70 BA Ede ISBN Homepge Nies ui deze uigve mg verveelvoudigd en/of openr gemk worden door middel vn druk, fookopie, microfilm of op welke ndere wijze ook, zonder voorfgnde oesemming vn de houder vn he copyrigh.

4

5 He is n e evelen in geen enkele opgve he rekenmchienje e geruiken. Breuken Je herinner je de volgende sommejes vn de sisschool nog wel: ; 7 0 enzovoor. De gellen die ingevuld moeen worden, kun je ook schrijven ls: : ; 0 : 7 enzovoor of ls /, 0/ enzovoor of ls 0, enzovoor. 7 De gellen die je in moe vullen, hoeven nie geheel e zijn, ijvooreeld /. c kom op hezelfde neer ls c. Dus:. Di geld voor lle gellen, en c me 0. Wrom heef de uidrukking geen zin ls 0? Bereken (schrijf zo eenvoudig mogelijk): p p p Hierij zijn, en p gellen me 0 en p 0. Breuken

6 Allerlei vernden Vereenvoudig ) ( ) ( Welke vn de volgende formules zijn goed? (D wil zeggen, zijn ze wr voor lle en wrvoor ze zin heen?) Vernder in he lgemeen een reuk ls je ij eller en noemer hezelfde gel opel? ls je eller en noemer kwdreer? ls je vn eller en noemer he egengeselde neem? ls je vn eller en noemer he omgekeerde neem? ls je eller en noemer me hezelfde gel vermenigvuldig? Voor lle gellen, n en p me n 0 en 0 geld: p n p n

7 De som vn wee reuken De som vn wee reuken kun je ls één reuk schrijven door de noemers gelijknmig e mken. Vooreelden: Schrijf ls één reuk me zo eenvoudig mogelijke noemer ( ) 5 Los op: Breuken

8 Allerlei vernden Vereenvoudigen Nog wee vooreelden Schrijf zo eenvoudig mogelijk n n 8 Mk de reuk rechs vn he -eken f. 9 Schrijf ls enkelvoudige reuk, d wil zeggen zonder reuk in eller en noemer Welke vn de volgende formules zijn goed? d c d c d d Vereenvoudigen Vooreeld 5 ) )( ( ) )( (

9 Breuken 5 Vereenvoudig door eller en noemer eers e oninden Op de GR zi de oes. Een ndere schrijfwijze vn is. We noemen he omgekeerde vn. Er geld:. Als n dn is n. In he volgende is n. Er geld: n n n n : n n. Conclusie (di he je misschien op de sisschool l gehd): Bereken en schrijf zo eenvoudig mogelijk. : 9 : 0,7 : 0,0 : : : : : : : : : ) ( : : : Delen door een reuk is hezelfde ls vermenigvuldigen me he omgekeerde vn die reuk.

10 Los de volgende vergelijkingen in op. 0 0,, 8 Voorwerp en eeld Een lmpje is opgeseld voor een lens. Acher de lens evind zich een scherm wrop he eeld vn he lmpje word opgevngen. Als he lmpje verpls word, moe je he scherm meeewegen om een scherp eeld e houden. De fsnd lmpje-lens noemen we v. (de voorwerpsfsnd), de fsnd scherm-lens noemen we, (de eeldsfsnd), eide in dm. Voor onze lens geld:. v. Geef een formule voor uigedruk in v. Schrijf he nwoord ls één zo eenvoudig mogelijke reuk. De vergroing V vn de lens is v.. Geef een formule voor V uigedruk in v. Schrijf he nwoord ls één zo eenvoudig mogelijke reuk. c. Voor welke v is V? We ewegen he lmpje dm verder vn de lens f. d. Beweeg he eeld dn nr de lens oe of er vn f? Hoe kun je d n de formule zien? v He nl dm d he eeld zich verpls nr de lens, noemen we A. e. Geef een formule voor A uigedruk in v. Schrijf he nwoord ls één zo eenvoudig mogelijke reuk. 5 Een schkeling Ui de we vn Ohm volg d een prllelschkeling me wee weersnden R en R kn worden vervngen door één weersnd R, wrij:. R R R (D wil zeggen d ls je over de schkeling en over de weersnd R hezelfde spnningsverschil ze, er ij eide schkelingen dezelfde sroom zl lopen.) In de prllelschkeling hierns is R een weersnd vn 0 Ω en R een schuifweersnd die kn vriëren vn 0 o 0 Ω.. W geeur er me R ls R groer word?. Welke wrden kn R nnemen? Allerlei vernden

11 De schuifweersnd is geze op Ω. c. Druk R ui in. De schuifweersnd word Ω groer, dus R word. d. Druk he nl Ω d R groer word ui in.. G n d, enzovoor. Bekijk de formule. ( ). Voor welke heef de formule geen eekenis? c. Bewijs d formule juis is voor lle gellen wrvoor hij eekenis heef. Breuken 7

12 Worels De oppervlke vn een vierkn hng f vn de grooe vn zijn zijde. De zijde vn een vierkn me oppervlke A is A.. Vul in: ls de oppervlke 9 keer zo groo word, word de zijde zo groo. In formule: 9 A A.. Vul in: ls de oppervlke keer zo groo word, word de zijde zo groo. In formule: A A. c. Vul in: ls de oppervlke keer zo groo word, word de zijde zo groo. Geef deze ewering ook in formulevorm. Fcoren voor he woreleken rengen Vooreelden Schrijf zo ook me een zo klein mogelijk geheel gel onder he -eken , Leg ui d. Behndel zo ook:, en 5 c. Leg ui d geld:.. n d. Behndel zo ook:, 5 5 en 7 p q. De vrielen n, p en q zijn posiief geheel. 8 Allerlei vernden

13 Een worel in de noemer Vooreeld He kn ook zo: vn de noemer een kwdr mken Schrijf zonder worel in de noemer, me een zo klein mogelijk gel onder he -eken. 5 en zijn posiieve gehele gellen. Als worel vn één gel schrijven Vooreeld Schrijf ls worel vn één gel , 8 0, Toon n Tip. Kwdreer! Peer kwdreer 7 7 en vind. c. G n d Peer d goed gedn heef. Peer concludeer nu d 7 7. d. W is hierop je commenr? Worels 9

14 7 Vereenvoudig: : 8 0 : 8 Schrijf zonder hkjes, zo eenvoudig mogelijk. ( ) ( )( ) ( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( n n ) ( n n )( n n ) ( 0 ) ( 8 ) ( 7 ) ( ) ( 0 n 0 n ) n 0 n 9 Schrijf zo eenvoudig mogelijk, zonder worel in de noemer ( > 0) Allerlei vernden

15 0 Schrijf zonder hkjes, zo eenvoudig mogelijk. ( ) ( ) ( ). Reken n d Kun je nu ook 8 7 vereenvoudigen? En ?. Reken n d 5 Kun je nu ook 5 vereenvoudigen? En 5 5? c. Vul pssende gehele gellen in: 80 Los de volgende vergelijkingen op. 5 5 A, B, C en D zijn hoekpunen vn een vierkn me zijden vn lenge 8. P en Q liggen zó innen he vierkn d AP BQ CQ DP. Er word een wegenne ngelegd zols in de ekening hierns. De lenge vn he ne hng f vn de lenge vn PQ, die we noemen.. Druk AP in ui.. Bereken ls AP PQ. c. Bereken ls de lenge vn he ne is. Worels

16 Schrijf ls één zo eenvoudig mogelijke enkelvoudige reuk. Vooreeld Schrijf zonder worel in de noemer: 5 Schrijf zonder worel in de noemer... L d deze formule geld voor elke 0. Bekijk de formule: ( ) Bekijk de formule: ( ). Toon n d die voor posiieve gellen geld. L me een egenvooreeld zien d die nie voor negieve gellen geld. In de rechhoekige driehoek ABC hierns, lig M op AB, N op BC en Q op AC zó, d BM BN en BNQM een rechhoek is. De lenge vn AM noemen we. c. Toon n d CN. Tip. Geruik gelijkvormigheid. Door AC op wee mnieren in ui e drukken, kun je de formule oven n de ldzijde meekundig ewijzen. d. Doe d. Allerlei vernden

17 7 Bekijk de volgende formules: en.. Toon n d die voor posiieve gellen gelden. L me een egenvooreeld zien d die nie voor negieve gellen gelden. Bekijk nog eens de driehoek vn de vorige opgve. Hoek CAB noemen we α. Door in drie verschillende driehoeken e kijken, kun je cos α op drie mnieren in uidrukken.. L op die mnier meekundig zien d de formules juis zijn voor posiieve. 8 Nederlndse wiskunde olympide, 99 Vn rpezium ABCD is gegeven: DA AB BC en CD. Bereken de oppervlke vn de cirkel door de punen A, B, C en D. Worels

18 Evenredig Voedingswrde per 00 ml 00 kilo- 50 kilojoules clorieën eiwi koolhydren ve clcium,5 gr 5,0 gr,5 gr 0 mg Op een pk hlfvolle melk vn Melkunie is nevensnde informie e vinden.. Hoeveel grm eiwi zi er in een lier melk? En in een gls vn 0 cl?. In een kop melk zi 80 mg clcium. Hoeveel grm koolhydren zi er in? c. Jp moe vn de doker klkrijker gn een. Drom verhoog hij he nl ekers melk d hij drink vn één o drie per dg. Hoeveel keer zoveel klk (clcium) krijg hij hierdoor innen? De hoeveelheid clcium (in mg) in een hoeveelheid melk noemen we en de hoeveelheid koolhydren y. d. Mk de el en eken de grfiek ( horizonl en y vericl): e. Geef een formule voor he vernd ussen y en. De sus vn een vrouw in een mnnengezelschp neem rech evenredig oe me hr kennis vn en ineresse in voel. Selling proefschrif N. Tellegen, Amserdm De vriele y is evenredig me de vriele eeken: ls keer zo groo word, dn word y ook keer zo groo, ls keer zo groo word, dn word y ook keer zo groo, ls k keer zo groo word, dn word y ook k keer zo groo, voor elk gel k. y is evenredig me noeren we me: y ~. f. Is de hoeveelheid ve (in grm) in een gls melk evenredig me de hoeveelheid eiwi y (in grm) in een gls melk? Is de hoeveelheid clcium (in grm) in een kopje melk evenredig me de hoeveelheid melk (in cl) in d kopje? Wigoed-repreur vn Elen vrg 0 euro voorrijkosen. He reidsloon is 85 euro per uur. De firm Andriessen reken geen voorrijkosen, mr een reidsloon vn 0 euro per uur. He ole edrg d je ij vn Elen voor een reprie el, noemen we E, en ij Andries- Allerlei vernden

19 sen A. He nl uren d er voor een reprie nodig is, noemen we.. Is E evenredig me? Is A evenredig me?. Bij welke reprieijd is vn Elen voordeliger dn Andriessen? Als y ~, dn is er een consne c zó, d y c. Deze consne hee evenredigheidsconsne. We ekijken lle mogelijke vierknen. De oppervlke vn een vierkn noemen we A, de omrek O, de zijde z.. Mk een el voor z en A en ook voor z en O.. Is A evenredig me z? Is O evenredig me z? c. A is evenredig me een mch vn z. Me welke mch vn z? d. Druk z ui in A. e. Druk vervolgens O ui in A. Een klslokl heef een vloeroppervlke vn 0 m en een hooge vn m. He nl personen in he lokl noemen we A, he eschikre nl m per persoon M. Is A evenredig me M? In de nuurkunde kom je vk evenredige vernden egen. A (km) Vooreeld De mss vn een homogeen voorwerp is evenredig me zijn volume. Kor: mss ~ volume. De ijehorende evenredigheidsconsne hng f vn he soor meril wrvn d voorwerp gemk is. Die consne word dichheid genoemd. (uur) 5 Vn een schip word ijgehouden hoeveel kilomeer he in een eplde ijd fleg. In de grfiek hierns is de fgelegde fsnd A in km vericl uigeze egen de ijd in uur horizonl. A is evenredig me.. Hoe zie je n de grfiek d A ~?. Bepl de evenredigheidsconsne. c. W is de nuurkundige eekenis vn de evenredigheidsconsne? Evenredig 5

20 In de winkel kun je diverse profielen vn luminium op verschillende lenges krijgen. We ekijken een profiel d vn mm dik luminium gemk is. Hierns is de doorsnede vn zo n profiel geekend. De men sn erij. De dichheid vn luminium is,70 kg per dm.. W weeg he profiel per meer?. Twee profielen heen dezelfde fmeingen. He ene is uigevoerd in nikkel, he ndere in luminium. De dichheid vn nikkel is 8,90 (kg per dm ). He luminiumprofiel weeg 00 grm. Hoeveel weeg he nikkel profiel (in honderdse grmmen)? c. He gewich vn een luminium profiel noemen we en d vn eenzelfde profiel in nikkel y (eide in grm). Is y ~? Zo j, epl de ijehorende evenredigheidsconsne. 7 Oude klokken heen een slinger. Die zorg ervoor d he uurwerk regelmig loop. De slingerijd vn een klok is de ijd die nodig is voor één volledige slingereweging (ijvooreeld vn heleml links nr heleml rechs en erug). Hoe lnger de slinger is, hoe lngzmer hij heen en weer g, dus hoe groer de slingerijd is. Ui proeven lijk d de slingerijd evenredig is me de worel vn de lenge vn de slinger. In formule: T c L. Hierij is T de slingerijd in seconden en L de lenge vn de slinger in cm. We ekijken een eplde klok. Als de lenge vn de slinger cm is, is de slingerijd 0,8 seconden.. Geef de formule voor de slingerijd T, uigedruk in de lenge vn de slinger L.. L ~ T, dus de lenge vn de slinger is evenredig me he kwdr vn de slingerijd. L di zien en epl de ijehorende evenredigheidsconsne ij de klok hieroven. c. Hoeveel slingeringen mk de klok in een uur? d. Iemnd wil de klok één minuu per uur sneller len lopen. He nl slingeringen ui c moe dn in 59 minuen gehld worden. W word de nieuwe slingerijd? Hoeveel mm moe hij de slinger drvoor korer mken? Allerlei vernden

21 8 We ekijken lle mogelijke gelijkzijdige driehoeken. De oppervlke vn zo n driehoek noemen we O en de lenge vn een zijde z.. Bereken de ece hooge vn een gelijkzijdige driehoek me zijde. Voor O en z geld een formule in de gedne: O c z.. Bepl he gel c. c. Als vn een gelijkzijdige driehoek de zijde keer zo groo word, hoeveel keer zo groo word dn de oppervlke? Je zie d O nie evenredig is me z. Mr: O ~ z. 9 In de recher driehoek hieronder zijn de zijden keer zo groo ls in de linker. We zeggen: de linker driehoek is me fcor uivergroo o de recher. In he recher lok zijn de rien wee keer zo lng ls in he linker.. G n hoe vk de kleine driehoek in de groe ps.. G n hoe vk he kleine lok in he groe ps. In he oekje 5-Gelijkvormigheid he je he volgende gezien. Als een ruimelijke figuur me fcor f word vergroo, dn word de oppervlke vergroo me fcor f en de inhoud me fcor f. Evenredig 7

22 0 We ekijken eers een kuus me rie.. W is de inhoud en w is ole oppervlke vn de kuus? We vergroen de kuus me fcor r. Dn word de rie dus r. De ole oppervlke vn een kuus noemen we O en de inhoud I.. Druk I en O ui in r. c. Toon n: O ~ I en epl de ijehorende evenredigheidsconsne. Als je nneem d mensen gelijkvormig zijn, dn volg me een redenering ls hieroven ook d H ~ G, me H de huidoppervlke vn een mens en G zijn gewich. Meeh verriche ij mensen huidoppervlke-meingen door de huid sukje voor sukje me millimeerppier e edekken. Zo vond hij de formule H, G, G in kg en H in dm. De evenredigheidsconsne is dus,. Hierij moe je w lichmsouw eref uign vn een gemiddelde mens.. W is volgens Meeh de huidoppervlke vn een mens vn 80 kg?. Druk G ui in H. Om de mgsppen goed op he voedsel in e len werken, word he gekuwd. Hoe groer de verhouding oppervlke: inhoud vn he voedsel, hoe eer de spijsverering. De volgende ouwsels vn 8 kuussen sellen sukjes voedsel voor. We ekijken de verhouding O : I ; hierij is O de oppervlke vn he ouwsel en is I de inhoud. Deze consne hng nie f vn de fmeingen vn he ouwsel, mr lleen vn de vorm. We mogen dus nnemen d de rien vn de kuusjes zijn. 8 Allerlei vernden

23 . Proeer zonder e rekenen de ouwsels e rngschikken nr grooe vn hun verhouding O : I.. Bepl die verhouding voor elk vn de ouwsels. We ekijken lle sooren rechhoeken. De me wrin ze fwijken vn een vierkn, geven we n me de verhouding vn hun lenge en reede. Di gel noemen we e (de ecenriciei vn de rechhoek). Zo is e ls de lenge vn de rechhoek en de reede is. We zorgen ervoor d e.. Hoe groo is de wrde vn e voor een vierkn?. W kun je opmerken over rechhoeken me dezelfde e-wrde? De oppervlke vn een rechhoek noemen we A en de omrek O. c. Voor rechhoeken me e geld: A 5 O. Toon d n. d. Rechhoeken me dezelfde e-wrde zijn uivergroingen vn eenzelfde rechhoek. A e Toon n d voor die rechhoeken geld:. O ( e ) Meneer Broekem geef lessen vn 50 minuen. Drvn eseed hij 0 minuen n de espreking vn he huiswerk en uileg; de res vn de ijd help hij de leerlingen individueel. He nl leerlingen d hij in een lesuur heef, noemen we A. De ijd (in minuen) die hij voor elke leerling individueel heef, noemen we T.. Geef he vernd ussen A en T.. Meneer Broekem heef uigerekend d hij in een eplde kls 50 seconden voor elke leerling individueel heef per les. Hoeveel leerlingen heef hij in die kls? c. W geeur er me T ls A keer zo groo word? W geeur er me T ls A keer zo groo word? In een ndere kls is één leerling verrokken. Meneer Broekem heef uigerekend d hem d seconden per leerling individueel scheel. d. Noem he nl leerlingen d hij eers in de kls hd 0 0. Leg d ui., dn geld: ( )( ) 0 e. Los deze vergelijking op door de hkjes weg e werken en eide knen me e vermenigvuldigen. f. Hoeveel leerlingen heef hij nu nog in die kls? Evenredig 9

24 Als A k keer zo groo word, dn word T k keer zo klein en omgekeerd. A is dn evenredig me he omgekeerde vn T. We zeggen: A is omgekeerd evenredig me T. 5 Meneer de Vrij rijd 00 km over Duise uowegen nr zijn vknieesemming. De reisijd T (in uren) hng f vn de (gemiddelde) rijsnelheid v (in km/u).. Geef een formule voor he vernd ussen v en T. Teken de grfiek vn T ls funcie vn v op je GR.. Meneer de Vrij heef di jr een nieuwe uo gekoch. Zijn rijsnelheid ws vorig jr 90 km/u. Me zijn nieuwe uo wee hij de rijsnelheid op e voeren o 00 km/u. Hoeveel scheel d in zijn reisijd over de Duise uowegen? c. Mevrouw de Vrij zi op de erugweg cher he suur. Zij rijd, ook omd he w minder druk is, me een gemiddelde rijsnelheid vn 0 km/u. Meneer de Vrij reken voor, d de gemiddelde snelheid heen en erug dn 0 km/u is. Als volg: heen 00 km/u en erug 0 km/u. D is gemiddeld 0 km/u. Mevrouw is he hier nie mee eens. L zien d mevrouw gelijk heef. Jn vn den Heuy is forens. Hij rijd elke dg heen en weer ussen werk en huis. Zijn gemiddelde snelheid heen is 0 km/u. De gemiddelde snelheid erug 0 km/u. Bereken zijn gemiddelde snelheid over he rjec heen en erug. Doe di ls de weg nr he werk 0 km lng is en ook ls die 0 km lng is. Als y ~, dus y c voor een of nder gel c, dn is de grfiek vn y ls funcie vn een hyperool me de -s en de y-s ls sympoen. 7 Voor, y en z geld: ~ y en y ~ z. Als, dn y en z. Druk y ui in, druk y ui in z en druk z ui in. 0 Allerlei vernden

25 Toepssingen Alcoholpromillge Vn lcohol word je dronken. Hoe dronken je word, hng nie lleen f vn he nl glzen lcoholische drnk, mr ook vn je lichmsgewich. He nl glzen lcoholische drnk noemen we A, he gewich G (in kg) en he lcoholpromillge in je loed P. We nemen n d lle glzen evenveel lcohol even. Me de volgende vuisregel kun je P erekenen ls je A en G ken: P 8 A. Deze formule geld een hlf uur nd G je snel cher elkr de glzen he gedronken. Als je me een lcoholpromillge oven 0,5 n he verkeer deelneem, en je srfr.. Hoeveel glzen kn iemnd vn 7 kg miml drinken, wil hij nog n he verkeer deel mogen nemen?. Iemnd drink glzen snel cher elkr. P hng f vn zijn gewich G. Teken de grfiek vn P ls funcie vn G. c. Neem voor G he gel 7. Zijn A en P evenredige grooheden? d. Neem voor A he gel. Zijn P en G evenredige grooheden? e. Neem voor P he gel 0,5. Zijn A en G evenredige grooheden? In kleinere kmers sn meesl kleinere cv-rdioren dn in groere kmers. Di heef e mken me de Toepssingen

26 zogenmde cpciei vn de verwrming; di is een m voor de hoeveelheid wrme die een rdior f kn geven. De grooe vn de kmer epl hoeveel cpciei er nodig is. Hieronder zie je een grfiek wrui je de enodigde cpciei kun flezen ls je de inhoud vn de kmer ken. 000 Cpciei in kcl/uur ºC 8 ºC 5 ºC Verrek inhoud in m³ Om een kmer vn 80 m op een emperuur vn C e houden is volgens de grfiek een cpciei vn ongeveer 7500 kcl/uur nodig.. Welke cpciei is voldoende om de kmer op 8 C e houden?. Een kmer vn 8 m lng, m reed en,0 m hoog moe een emperuur vn 8 C heen. Welke cpciei is nodig? D de grfieken sijgend zijn is nie verwonderlijk. Ook nie d de grfieken ij hogere emperuren hoger liggen. Mr wrom lopen de grfieken nie prllel? c. Een kmer moe op 5 C gehouden worden. Hoeveel moe de cpciei sijgen ls de kmer m groer word? Een ndere kmer moe op 8 C gehouden worden. Hoeveel moe de cpciei sijgen ls deze kmer m groer word? d. Leg nu ui wrom de grfieken nie prllel lopen. e. Een rdior heef een cpciei vn 8000 kcl/uur. Op welke emperuur kn deze rdior een kmer vn 0 m ongeveer houden? f. Een rdior heef zo'n cpciei d een kmer vn 50 m op 8 C gehouden kn worden. Hoeveel m mg de kmer zijn die door dezelfde rdior op 5 C kn worden gehouden? g. Bereken voor iedere lijn cp. inh h. Een kmer vn 0 m heef een cpciei vn 800 kcl/uur nodig om hem op 8 C e houden. Allerlei vernden

27 Geruik je nwoord op vrg g om e erekenen hoeveel cpciei een kmer vn m nodig heef om hem op 8 C e houden. i. Sel voor elke lijn een formule op. Kies zelf leers voor de cpciei en de inhoud. Sel je voor, je rijd op een uoweg en voor je word ploseling geremd. Jij rem ook ui lle mch. Hoeveel meer leg je f (sinds he momen wrop je voorgnger remde) voord je sil s? D hng f vn wee fcoren: je recieijd (de ijd die versrijk ussen he momen d je voorgnger rem en he momen d jij rem) en de snelheid wrmee je rijd. M he nl meers d je f leg voord je sil s. R je recieijd (in seconden). Hieronder sn ij drie snelheden V (in km/u) de grfieken vn he vernd ussen M en R.. Sel een formule op voor de lijn V 90.. Neem n d jouw recieijd 0,5 sec edrg. Bij elke snelheid V hoor een wrde vn M. Hoe kun je ui de grfieken concluderen d he vernd ussen M en V nie lineir is? Toepssingen

28 Kimduiking Je s op een vuuroren n he srnd en je kijk over zee. Omd je je op een ehoorlijke hooge evind, lig de horizon (de kim) duidelijk onder je. Hoeveel hij onder je lig hee wel de kimduiking en word gemeen in minuen. Een minuu is he 0 -se deel vn een grd. In he plje hierns is ngegeven welke hoek de kimduiking is: de hoek ussen de horizonle lijn en en kijklijn wrlngs je de horizon zie. Duidelijk is d de kimduiking k fhng vn de hooge h wrop je je evind. Er geld de volgende merkwrdige formule: k h, wrij h gemeen word in voeen en k in minuen. Een voe is 0,5 cm.. Teken de grfiek vn k ls funcie vn h. Welk window kies je?. Hoe vernder k ls h wee keer zo groo word? Hoe moe je h vernderen ls je k wee keer zo groo wil mken? c. Iemnd verpls zich vn hooge voe nr hooge, voe. Hoeveel neem de kimduiking dn oe? Hoeveel is d gemiddeld per voe d de hooge oeneem? He is ouderwes om hoeken in minuen e rekenen en hooges in voeen. Als we de kimduiking gewoon in grden rekenen en de hooge in meers, word de formule minder mooi. d. Sel de nieuwe formule op. 5 Windenergie De hoeveelheid vermogen die een windmolen lever, is evenredig me de derdemch vn de windsnelheid. De windsnelheid noemen we w (m/s) en de geleverde energie E (w). Er is dus een evenredigheidsconsne c, zo d E c w. Een zekere molen lever 00 w ij een windsnelheid vn 0 m/s.. Bereken de evenredigheidsconsne c.. Teken de grfiek vn E ls funcie vn w. Kies ij he window: W zijn de ijehorende y-wrden? c. Hoe hrd moe he wien wil de geleverde energie 500 w edrgen? d. Als he hrder g wien neem de geleverde energie oe. De windsnelheid neem oe vn 0 o 0, m/s. Me hoeveel w neem de geleverde energie dn oe? Hoeveel is d gemiddeld per m/s d de windsnelheid oeneem? Allerlei vernden

29 Verze Als je egen een erg op fies of egen de wind in, kun je eer in een kleine versnelling rijden. In wielerermen: in een kleiner verze. Dn geruik je op he cherwiel een groo ndwiel, dus me veel ndjes. Vergelijk een groo me een klein verze. Bij eide rppen we de pedlen één keer rond.. Bij welk vn de wee rijden we he hrds? Bij welk vn de wee kos d he meese moeie? Hieronder s een undel grfieken, fkomsig ui he Prism Fiesoek. Bij wlf rpsnelheden is de grfiek geekend vn he vernd ussen de rijsnelheid en he verze. Hierij is he verze he nl meers d je fleg, ls je de pedlen één keer rond rp.. Anneke rp de pedlen elke seconde één keer rond me een verze vn,0 meer. Hoe hrd fies Anneke (in km/uur)? c. Anneke rijd in een zeker verze en zl nie schkelen (vn verze vernderen). Als ze wee keer zo hrd wil rijden, moe ze dn ook wee keer zo snel rppen? Onderzoek me de grfiek of d he gevl is. Algemener geld: ls Anneke p keer zo hrd wil gn rijden, moe ze ook p keer zo snel gn rppen. De rpsnelheid noemen we T, de rijsnelheid S. d. Teken de grfiek voor T en S, ij verze V (T vericl, S horizonl). e. Sel een formule op voor T uigedruk in S ij V. Toepssingen 5

30 5 Rekenen in de meekunde We rekken in een driehoek me zijden 5, en 8 een lijnsuk evenwijdig n een vn de zijden. Bereken in elk vn de gevllen. Een driehoek word door een lijnsuk evenwijdig n de sis verdeeld in wee sukken. De oppervlke vn elk vn de sukken is gegeven. De sis vn de driehoek is gegeven. Bereken de lenge vn he lijnsuk. ABCD is een prllellogrm. M is he midden vn CD. S is he snijpun vn AM en BD. Gegeven is d AM en BD 0.. Bereken AS, BS, MS en DS.. Bereken de verhouding vn oppervlken vn de vier sukken wrin he prllellogrm is verdeeld. In een driehoek zijn wee lijnsukken evenwijdig n de sis geekend. De lijnsukken heen lenge B en H. De sis heef lenge. Bereken de verhouding vn de drie sukken wrin de opsnde zijden worden verdeeld. 5 De wee driehoeken in de figuur hieronder zijn gelijkvormig. Verder zie plje. Bereken. In vierkn ABCD is M he midden vn AD en s CP loodrech op BM. Bereken de lenge vn CP. Allerlei vernden

31 7 Driehoek ABC is rechhoekig. CD is de hoogelijn op de schuine zijde.. Bewijs d de driehoeken ADC, CDB en ABC gelijkvormig zijn.. Bereken de sukken wrin D de schuine zijde verdeel. 8 Bereken in de figuur hieronder. 9 Op meer fsnd vn een huis s een viermeer hoge schuing. Een ldder s egen de gevel en seun precies op de schuing. Bereken hoe ver de voe vn de ldder voor de schuing s ls hij 0 meer hoog reik. 0 We iljren zonder effec vi de -s vn (,) nr (0,). De l verrek vn de nd onder dezelfde hoek ls hij er nkom. In welk pun moeen we de -s rken? ABCDE is een regelmige vijfhoek me zijden vn lenge. De digonlen AD en CE snijden elkr in S.. L zien d de driehoeken ACS en DES gelijkvormig zijn. De lenge vn AC noemen we.. L zien d. c. Bereken de ece wrde vn. Rekenen in de meekunde 7

32 De verhouding vn de sukken wrin de digonlen elkr verdelen sond l ij de oude Grieken in de elngselling. He is de zogenmde gulden verhouding. digonl groe suk groe suk kleine suk OABC EFGH is een kuus me O(0,0,0), A(,0,0), C(0,,0) en D(0,0,). Op de -s lig P(8,0,0) en op de z- s Q(0,0,9). Driehoek PQC snijd vier rien vn de kuus. De snijpunen noemen we R, S, T en U, zie plje.. Bereken de coördinen vn de snijpunen.. Welk deel vn de oppervlke vn driehoek PQC lig innen de kuus? Q eweeg over de z-s. Hierdoor vernder de lenge vn lijnsuk TR. c. Bereken de z coördin vn Q ls T (0,5,). d. W is de mimle lenge vn lijnsuk RT en ij welke z-coördin vn Q word die ereik? Vn driehoek ABC hierns is gegeven AB en AC BC 0.. Bereken de oppervlke vn driehoek ABC.. Bereken de srl vn de omgeschreven cirkel vn driehoek ABC. Tip. Sel een vergelijking op me ehulp vn de selling vn Pyhgors. De wee vericle plen vn lenge en 8 meer in he plje hieronder sn op een horizonl errein. Tussen de plen loop een srk gespnnen drd. De drd is verdeeld in drie even lnge sukken.. Hoe hoog liggen de verdeelpunen oven he errein?. Dezelfde vrg ls de plen en meer lng zijn (me < ). Vereenvoudig je nwoord. 8 Allerlei vernden

33 Bundels grfieken We ekijken voor elk gel de funcie y (). Als we ijvooreeld voor he gel kiezen, heen we de funcie y (). Als we voor he gel - kiezen, heen we de funcie y ().. Welke funcie krijg je, ls je voor he gel 0 kies?. De grfieken vn lle funcies y () heen dezelfde vorm. Welke vorm? W wee je vn de op vn de grfieken e verellen? c. Teken op de GR in één window de grfieken ij 0, - en. d. Hoe ons de grfiek vn y () ui de grfiek vn y? De formule y () leg een undel funcies vs. Voor elk gel krijg je een eemplr ui die undel. Al die funcies zijn fmilie vn elkr. In opgve onsn de grfieken ui elkr door horizonle verschuivingen. De leer in de formule y () is de prmeer vn de undel. We gn verder me de undel grfieken ui opgve. Een fri eeld vn de undel krijg je door de grfieken op de grfische rekenmchine e ekenen. D g zo: Y ({0,,,}).. Teken enkele eemplren op de GR. Je kun de funcies een voor een invoeren. Mr je kun ook de undel ls geheel invoeren.. In welke punen snijd y (7) de -s? c. Er zijn wee eemplren in de undel die door he pun (-5,) gn. Bereken de wrden vn de prmeer vn deze wee funcies. d. De grfiek vn y (7) verschuiven we eenheden nr links. W is de wrde vn de prmeer vn he eemplr d je dn krijg? Bundels grfieken 9

34 Hieronder s de grfiek vn de funcie y domein -. me Ui deze grfiek leiden we de undel y f.. Kun je op grond vn de formule zeggen hoe de grfieken in de undel erui zien?. Teken enkele eemplren vn deze undel op de GR. c. W heen lle grfieken in deze undel gemeenschppelijk? d. Voor welke wrden vn g de grfiek door he pun (,-)? e. Voor welke wrden vn heef de grfiek precies één pun gemeen me de lijn y? We ekijken de funcies y.. Bepl he gel zo, d de grfiek door he pun (,) g. Conroleer je nwoord op de GR.. Bepl he gel zo, d he ereik vn de funcie is: de verzmeling posiieve gellen die kleiner dn of gelijk n zijn. 5 We ekijken voor elk gel de funcie: y ().. Teken voor enkele wrden vn de grfiek op de GR.. Voor welk gel lig he pun (-,0) op de grfiek? c. Voor welk gel liggen de snijpunen vn de grfiek vn de funcie me de -s op fsnd 5 vn elkr? (Twee mogelijkheden) d. Voor welk gel is de lijn - symmerie-s? e. Voor welke lig de op vn de grfiek op de lijn y -9? 0 Allerlei vernden

35 We ekijken de funcies f() me > 0.. W voor soor grfiek heen deze funcies?. Teken enkele grfieken op de GR. c. Voor welke lig he pun (,-5) op de grfiek? d. Kies. De lijn y snijd de grfiek vn f() in wee punen. Bereken de fsnd vn deze wee punen. e. De lijn y snijd de grfiek vn f() in wee punen die een fsnd o elkr heen. Bereken de wrde vn in d gevl. 7 We ekijken de funcies f() () en de funcies g().. W voor soor grfiek heen de funcies f? Je zie d de grfieken vn lle funcies f door één pun gn.. Welk pun is d? Kun je d ook uileggen n de hnd vn de formule f() ()? c. W voor soor grfiek heen de funcies g? d. W heen de funcies g gemeenschppelijk? e. Er is één funcie die o eide undels ehoor. Welk funcie is d? W zijn de ijehorende wrden vn de prmeers en? Bundels grfieken

36 Anwoorden Prgrf Breuken p p p fou fou fou fou fou goed goed fou goed goed j j nee j nee ( )( ) ( 5) Allerlei vernden

37 ,, - geen oplossing n n fou goed fou fou ( ) v v Anwoorden

38 . V v c. d. Nr de lens oe. Als v groer word, dn word v kleiner, dus groer, dus kleiner. e. v(v ) 5. R word dn kleiner, dus ook, dus R word groer. R. Als R heel groo is, dn is R ijn 0, dus dn R 0. Als R ijn 0 is, dn is erg groo, dus dn R R R, dus R neem wrden ussen 0 en 0 n. c. 0 R d. ( )( ). 0 en Prgrf Worels.,,., c., A A , 5, n 5 n c. 9 9 d. 5, 5, pq 5 7 q Allerlei vernden

39 , 08 0, ( 7 ( 7 ) c. Zie. d. 7 7, wn 7 7 is negief n n(n ) n n 0 n 0 Anwoorden 5

40 . Kwdreren geef: en d klop. Omd 8 7 en 7 eide posiief zijn, geld: ( 7 ) 8 7, dus ( 7 ) Kwdreren geef: 5. Omd 5 en geld dus eide posiief zijn, 5. c. 5 5 en 5, en omd zowel 5 ls posiief zijn, geld: geen oplossing 0, 0 0, 0,, c., 7 Allerlei vernden

41 Anwoorden 7 5. ( ) en. ( ) En: (de lse gelijkheid volg ui.) Als je voor - neem, dn is he linkerlid en he recherlid 0. c. De driehoeken AMQ en QNC zijn gelijkvormig, dus: CN CN QN CN AM QM d. AB en AC. De selling vn Pyhgors in driehoek ABC geef: AC ( ). Selling vn Pyhgors in driehoek AMQ geef: AQ Selling vn Pyhgors in driehoek CNQ geef: CQ. Als je di invul in AQ QC AC krijg je de gelijkheid ( ).

42 R R M 7 en ( ) ( ) Bij de eerse gelijkheid krijg je voor - in he linkerlid een negief gel en in he recherlid een posiief gel. Bij de weede gelijkheid krijg je voor - in he linkerlid een negief gel en in he recherlid 0. NQ. In driehoek CQN: cos α, CQ AM in driehoek QAM: cos α, AQ AB in driehoek ABC: cos α AQ QC. 8 Zie plje. De hooge vn he rpezium is enerzijds: 5, nderzijds: R R. Hierij is R de srl vn de cirkel. Dus: R R 5. Kwdreren geef: R R R R 5, dus:. Nogmls kwdreren 00 0 R, dus R R 0 R geef: R 5R R 9 R. De oppervlke vn de cirkel is π R π Allerlei vernden

43 Prgrf Evenredig. 5 grm; 7 grm 80. 5,0 7,5 grm 0 c. drie keer zo veel. d.,5,75 5,0,5 7,5 8,75 0,0,5,5 5 e. y 0 f. j; j. nee; j. Als groer is dn uur en minuen.. nee; j c. me z d. z A e. O z A Nee, ls A k keer zo groo word, word M k keer zo groo. 5. He is een reche lijn door de oorsprong.. 0 : c. snelheid.,70 (0,0 0,0) 0,58 kg. 00 8, 90 9, grm, 70 c. j; 8, 9, 7 7. T 0, L. T 0,0 L, evenredigheidsconsne: 0,0 Je kun ook zeggen: L 00 T, dn is de evenredigheidsconsne 00. c. 00 : 0,8 500 d. 0,787 seconde ;,88,5 cm,5 mm 8.. O z z, dus c c. 9 keer 9. keer Anwoorden 9

44 . 8 keer 0. inhoud, oppervlke. I r en O r. c. O (r ) r, I (r ) r, evenredigheidsconsne. H, 80 07,9 dm. G H,. CADBE. 7 (A) ; 8 (B) ; (C) ; 8 (D) ; 8 (E).. gelijkvormig c. Als de kore zijde is, dn is de lnge zijde en A en O (0) 00, dus A 5 O. d. De zijden zijn,, e en e, dus O e (e) en A e, dus A O e ((e )) e (e ). A T 0. leerlingen c. T word keer zo klein; T word keer zo groo d. He nl minuen per leerling ws 0, d is nu 0 (wn seconden is 0 0 minuu) en he nl leerlingen nu is. e. 5 of - (de negieve oplossing vervl) f. leerlingen T V uur, dus 0 minuen c. He g ook om de ijdsduur. Op de heenweg rijden ze uur op de erugweg rijden ze 5 uur, dus 00 km in uur. De gemiddelde snelheid is: 00 09,09 km/u ( 0 0) : km/u, ( 0 0) : 5 km/u 7 y ; y z ; z 0 Allerlei vernden

45 Prgrf Toepssingen. A c. P 8 7A 0,5A P en A zijn evenredig d. P 5 grfiek is geen reche lijn door (0,0) G Dus nie evenredig. (zie grfiek ij ) e. 0,5 8A 0,5G 8A G en A evenredig G. 500 kcl/uur kcl/uur c. ongeveer kcl/uur; ongeveer 0 kcl/uur d. He kos meer er energie om m er op 8 C e rengen i.p.v. op 5 C. e. Ongeveer 9,7 C f. 97 m g. 5 C, kcl/uur per m 8 C, kcl/uur per m C,5 kcl/uur per m h. 800, 78 kcl/uur i. 5 C C, I C C, I 900 C C,5 I 500. V 90: M R. V 0 M 5 V 90 M 75 V 0 M 5 Als V 0 groer word, word M eers 0 groer en dn 50 dus geen gelijke oenmen.. Bijvooreeld: 0 00, 0 y 0. k word dn, keer zo groo. Vier keer zo groo. c. h k h, k,0 Dus me 0,0 minuu. Gemiddeld is d per voe: 0,0 : 0, 0,085. d. k 0,0 h 5. c 0,. 0 y 7500 c.,9 m/s d. w 0 E 00 w 0, E 57, Dus me 57, w. D is gemiddeld 57, : 0, 599,5 w per m/s. Anwoorden

46 . Groo verze ; klein verze.,5 km/h c. D klop. d e. T,8 S Prgrf 5 Rekenen in de meekunde 8.,,,. : : : 5 8:: 5 5 geef 5 7. CAB ACD 90 en DCB ACD 90, dus DCB CAB enzovoor. De drie driehoeken heen dezelfde hoeken.. en 5 5 8, 9 meer 0 ( 5,0). Vnwege symmerie is AC evenwijdig me DE.. Evenzo is CS evenwijdig me AB, dus is SCBA een prllellogrm, dus CS., dus SE. Omd ook CS SE geld: ( ). c. 5 (wn > 0) Allerlei vernden

47 . R (, 0, ), (, 0, ). 9 deel c. (0,0,0) d. Q ls ( 0, 0, ).,., S, ( 0,, ) T, U (, 0, ) Prgrf Bundels grfieken. y. Dlprool. De weede coördin vn de op is -. d. nr rechs verschuiven.. (9,0) en (5,0) c. -8 of - d. c. Voor lle grfieken geld: de y-s is symmerie-s; de -s is horizonle sympoo; er is één op, nl. voor 0. d. - e c. 5, -5 d. - e., -. Hyperolen (me - en y-s ls sympoo). c. -0 d. fsnd 8 e. 7. Reche lijnen.. (,) c. Reche lijnen. d. Richingscoëfficiën -. e. De funcie y 5 (); - en 5. Anwoorden