Vergelijking van verschillende groeptest-modellen en hun toepassingen

Transcriptie

1 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR Vergelijking van verschillende groeptest-modellen en hun toepassingen Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur Stephanie Balloey onder leiding van Prof. Herwig Bruneel + Joris Walraevens

2

3 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR Vergelijking van verschillende groeptest-modellen en hun toepassingen Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur Stephanie Balloey onder leiding van Prof. Herwig Bruneel + Joris Walraevens

4 Permission Ondergetekende verklaart dat de inhoud van deze masterproef mag geraadpleegd en/ of gereproduceerd worden, mits bronvermelding. Stephanie Balloey

5 Woord vooraf Hierbij wil ik mijn oprechte dank betuigen aan een aantal mensen die bijgedragen hebben tot het realiseren van deze masterproef. Vooreerst gaat mijn dank uit naar mijn promotor prof. dr. ir. H. Bruneel en copromotor J. Walraevens die me de kans gegeven hebben me kennis te laten maken met wachtlijntheorie en vooral om deze verhandeling te maken. Bovendien zou ik graag mijn begeleider D. Claeys willen bedanken die me keer op keer met raad en daad bijstond. Mijn familie en vrienden wil ik bedanken voor hun morele steun, hun interesse en hun bemoediging tijdens mijn opleiding en gedurende dit eindwerk in het bijzonder. I

6 Inhoudsopgave Gebruikte afkortingen... V Lijst van tabellen en figuren... VI Inleiding... 1 Hoofdstuk 1: Literatuurstudie Groeptesten Oorsprong groeptesten Specifieke kenmerken groeptest-modellen Probabilistische versus combinatorische groeptest-modellen Adaptieve versus niet-adaptieve groeptest-modellen Statische versus dynamische groeptest-modellen Classificatieprobleem versus schattingsprobleem Groep-individuele versus groep-subgroep testprocedure Betrouwbare versus onbetrouwbare groeptesten Wachtlijntheorie Toepassingen Hoofdstuk 2: Methodiek Statisch model Parameters Groep-individuele procedure Formules Optimale groepsgrootte Groep-subgroep procedure Formules Optimale groepsgrootte Subonderzoeksvraag II

7 2.2. Dynamisch model Beschrijving model Parameters Bepaling onbekenden Distributies Groep-individuele procedure Formules Optimale groepsgrootte Groep-subgroep procedure Formules Optimale groepsgrootte Subonderzoeksvraag Hoofdstuk 3: Resultaten en interpretatie Statisch model Groep-individuele procedure Groep-subgroep procedure Dynamisch model Poisson distributie Groep-individuele procedure Groep-subgroep procedure Bernoulli distributie Groep-individuele procedure Groep-subgroep procedure Geometrische distributie Groep-individuele procedure Groep-subgroep procedure Effect van distributie Hoofdstuk 4: Vergelijking statisch en dynamisch model III

8 4.1. Groep-individuele procedure Groep-subgroep procedure Intuïtieve redenering Besluit Lijst van geraadpleegde werken... VIII IV

9 Gebruikte afkortingen A(z) B c c opt E(T) E[T c ] f FCFS G G-I G-S LCFS N N mod c P p pgf Prob r RSS T j (z) c (z) U(z) V(z) genererende functie van aantal aankomsten gedurende een willekeurig slot Bernoulli distributie verzameling van complexe getallen (maximale) groepsgrootte optimale groepsgrootte verwachte aantal benodigde testen om alle items uit een batch te screenen verwachte aantal benodigde testen om een groep van c items te screenen utilisatiefactor first-come-first-served geometrische distributie groep-individuele testprocedure groep-subgroep testprocedure minimale groepsgrootte last-come-first-served aankomstintensiteit verzameling van natuurlijke getallen populatiegrootte rest bij deling van N door c Poisson distributie besmettingsgraad probabiliteitsgenererende functie probabiliteit voerstraal random-selection-for-service poolhoek genererende functie van de servicetijd van een groep van j items aantal benodigde testen om een groep van c items te screenen systeem inhoud genererende functie van de tijd nodig om een test uit te voeren V

10 Lijst van tabellen en figuren Figuur 1.1. Structuur van een wachtlijnsysteem... 8 Figuur 1.2. Discrete indeling van de tijd... 9 Figuur 2.1. Verloop van in functie van c (N = 1000 groep-individueel) Figuur 2.2. Verloop van in functie van c (N = groep-individueel) Figuur 2.3. Verloop van in functie van c (N = 1000 groep-subgroep) Figuur 2.4. Verloop van in functie van c (N = groep-subgroep) Figuur 2.5. Voorstelling complex getal Figuur 2.6. Verloop van in functie van c ( = 0.01 groep-individueel Poisson) Figuur 2.7. Verloop van in functie van c ( 0.1 groep-individueel Poisson) Figuur 2.8. Verloop van in functie van c ( groep-individueel Poisson) Figuur 2.9. Verloop van in functie van c ( groep-subgroep Poisson) Figuur Verloop van in functie van c ( groep-subgroep Poisson) Figuur Verloop van in functie van c ( groep-subgroep Poisson) Figuur 3.1. Verloop optimale groepsgrootte in functie van N (groep-individueel) Figuur 3.2. Verloop optimale groepsgrootte in functie van p (groep-individueel) Figuur 3.3. Verloop optimale groepsgrootte in functie van N (groep-subgroep) Figuur 3.4. Verloop optimale groepsgrootte in functie van p (groep-subgroep) Figuur 3.5. Verloop optimale groepsgrootte in functie van λ (groep-individueel Poisson) Figuur 3.6. Verloop optimale groepsgrootte in functie van p (groep-individueel Poisson) Figuur 3.7. Verloop optimale groepsgrootte in functie van (groep-subgroep Poisson) Figuur 3.8. Verloop optimale groepsgrootte in functie van p (groep-subgroep Poisson) Figuur 3.9. Verloop optimale groepsgrootte in functie van λ (groep-individueel Bernoulli) Figuur Verloop optimale groepsgrootte in functie van p (groep-individueel Bernoulli) Figuur Verloop optimale groepsgrootte in functie van λ (groep-subgroep Bernoulli) Figuur Verloop optimale groepsgrootte in functie van p (groep-subgroep Bernoulli) Figuur Verloop optimale groepsgrootte in functie van λ (groep-individueel geometrisch) Figuur Verloop optimale groepsgrootte in functie van p (groep-individueel geometrisch) Figuur Verloop optimale groepsgrootte in functie van λ (groep-subgroep geometrisch) Figuur Verloop optimale groepsgroottes in functie van p (groep-subgroep geometrisch) Figuur Verloop optimale groepsgrootte in functie van (Poisson Bernoulli geometrisch).. 43 Figuur Verloop optimale groepsgrootte in functie van p (Poisson Bernoulli geometrisch) VI

11 Tabel 4.1. Vergelijking optimale groepsgroottes (groep-individueel) Tabel 4.2. Vergelijking optimale groepsgroottes (groep-subgroep) VII

12 Inleiding De keuze van het onderwerp Vergelijken van verschillende groeptest-modellen en hun toepassingen voor mijn masterproef kan op verschillende manieren verantwoord worden. Eerst en vooral sprak de eerder wiskundige aanpak van het onderwerp me aan, gezien ik in het middelbaar ook reeds koos voor een soortgelijke richting, namelijk wiskunde-wetenschappen. De kans om verschillende modellen te onderzoeken en te vergelijken wou ik dan ook grijpen. Verder wekte het feit dat de bekomen resultaten ook op een correcte en logische manier zouden moeten geïnterpreteerd worden mijn aandacht. In het kader van deze masterproef werd me overigens aangeraden het vak Wachtlijntheorie te volgen. Dit wordt gedoceerd aan de faculteit Ingenieurswetenschappen door professor H. Bruneel, tevens mijn promotor. Desondanks dit een uitdaging vormde, bleek het wel een handige basis om verder op te bouwen gedurende het verloop van mijn masterproef. Bovendien leek het me ook boeiend om het domein van groeptesten te beproeven. Indien men een populatie bestaande uit goede en slechte items wil onderheven aan een test om de slechte items te detecteren, dan kan het interessant zijn om deze items op te delen in groepen en vervolgens groepen in de plaats van individuele items te testen. In het geval dat de groeptest geen besmetting aangeeft, dan kan besloten worden dat geen enkel item uit de groep besmet is. Wanneer het percentage aan slechte items in de populatie relatief laag is, dan kan het testen in groep heel wat voordelen met zich meebrengen, wat op zich een interessant gegeven is. Het aantal testen dat zal moeten uitgevoerd worden zal aanzienlijk dalen, wat een besparing van kosten en tijd betekent. Nu bestaat de uitdaging eruit een groepsgrootte te bepalen die deze kosten minimaliseert. Men spreekt dan typisch over de optimale groepsgrootte. Er wordt vanuit gegaan dat ik in mijn masterproef ook de nodige aandacht schenk aan verschillende bestaande toepassingen. In de literatuur spreekt men vaak over toepassingsgebieden zoals gezondheidszorg, industrie en computerwetenschappen. Er zullen dan ook enkele specifieke voorbeelden worden aangehaald. 1

13 Het doel van deze masterproef bestaat eruit een statisch en een dynamisch model met elkaar te gaan vergelijken (hoofdonderzoeksvraag). Voor het statische model werd gekozen voor het eerst ontwikkelde model betreffende groeptesten, namelijk dat van Dorfman (Dorfman R., 1943). Het geselecteerde dynamische model betreft het model uitgewerkt door Bruneel H., Claeys D., Laevens K. en Walraevens J. Bij een statisch model wordt het tijdsaspect niet in acht genomen. Er wordt namelijk geen rekening gehouden met het feit dat de populatie na verloop van tijd kan groeien of zich kan uitbreiden. Bij een dynamisch model komen de items wel op willekeurige tijdstippen toe. In deze masterproef wordt onderstaande structuur gehanteerd. In een eerste hoofdstuk (Hoofdstuk 1: Literatuurstudie) wordt het concept groeptesten uit de doeken gedaan. Hierbij komen ook enkele elementaire begrippen uit wachtlijntheorie aan bod. Verder worden, in de mate van het mogelijke, enkele toepassingen nader bekeken. De methodiek wordt behandeld in het volgende hoofdstuk (Hoofdstuk 2: Methodiek). Hier wordt een opsplitsing gemaakt tussen de twee gekozen modellen, namelijk het statische en het dynamische model. Aangezien een model gewoonlijk gekarakteriseerd wordt door een aantal parameters, worden deze voor beide modellen geformuleerd. Verder zullen ook bepaalde formules en specifieke testprocedures worden duidelijk gemaakt. Wanneer een groep na de test een besmetting aangeeft, zal er immers een hertest moeten plaatsvinden om te weten welke items uit de groep juist besmet zijn. De manier waarop deze hertesten worden georganiseerd, wordt beschreven door een zogenaamde testprocedure. Er kan een onderscheid gemaakt worden tussen verschillende soorten testprocedures (infra p. 6). Aangezien de items in een dynamisch model na verloop van tijd toekomen, wordt in dit hoofdstuk voor dit type model ook de soort van aankomst nader gespecificeerd. Om nu een antwoord te bieden op de bovenstaand beschreven hoofdonderzoeksvraag, moeten de beide modellen uiteraard over vergelijkbare parameters beschikken. Indien dit niet het geval zou zijn, dan zullen er parameters op elkaar moeten afgestemd worden om de vergelijking tussen beide modellen toch mogelijk te maken. Aangezien de vergelijking zal gebeuren aan de hand van de optimale groepsgroottes, is het daarom belangrijk eerst te onderzoeken welke invloed de respectievelijke parameters uitoefenen op de optimale groepsgrootte. Deze subonderzoeksvragen worden geformuleerd in dit hoofdstuk en in het volgende hoofdstuk komen de gevonden antwoorden hierop aan bod. In het derde hoofdstuk (Hoofdstuk 3: Resultaten en interpretatie) worden dus de subonderzoeksvragen, namelijk de invloed die de respectievelijke parameters hebben op de optimale groepsgrootte, 2

14 geanalyseerd en geïnterpreteerd, dit voor verschillende testprocedures. Daarenboven wordt er voor het dynamische model rekening gehouden met enkele soorten aankomstdistributies. Allerbelangrijkst wordt er getracht een vergelijking neer te zetten tussen deze twee verschillende soorten modellen, namelijk het statische en het dynamische. In het vierde en laatste hoofdstuk (Hoofdstuk 4: Vergelijking statisch en dynamisch model) zal worden nagegaan in welke mate de modellen verschilpunten of gelijkenissen vertonen. Hierbij wordt er gesteund op de bekomen resultaten uit voorgaande hoofdstukken. Teneinde voor deze hoofdonderzoeksvraag een geschikte en meer accurate conclusie te formuleren, wordt er bovendien rekening gehouden met twee verschillende soorten testprocedures. Tenslotte wordt het antwoord op de hoofdonderzoeksvraag verder gestaafd met een intuïtieve redenering. Als opmerking dient vermeld te worden dat er gedurende de totstandkoming van deze masterproef gebruik gemaakt is van de programma s Matlab, Maple en Excel om alle resultaten op een correcte manier te kunnen laten genereren en voor te stellen. 3

15 Hoofdstuk 1: Literatuurstudie Aangezien het hoofddoel van deze masterproef de vergelijking tussen verschillende groeptest-modellen omvat, start dit inleidende hoofdstuk met een weergave van groeptesten in het algemeen. Hier zal er eerst en vooral ingegaan worden op het ontstaan van groeptesten. Het eerst ontwikkelde groeptestmodel wordt dan ook aangehaald. Vervolgens worden er verschillende en tevens belangrijke soorten kenmerken betreffende groeptest-modellen vermeld en zal bovendien naar enkele modellen uit de literatuur verwezen worden. In een tweede deel wordt de nodige aandacht geschonken aan de voornaamste principes uit de wachtlijntheorie. En als laatste worden de belangrijkste toepassingsdomeinen beschreven Groeptesten Oorsprong groeptesten Het groeptesten werd in feite voor het eerst geïntroduceerd door economist Robert Dorfman (Dorfman R., 1943), dit om de efficiëntie van het testen van bloedstalen op bepaalde ziektes voor een grote populatie te verbeteren. Dorfman stelde deze methode voor aan de dienst volksgezondheid om syfilis te detecteren bij het leger van de Verenigde Staten gedurende de Tweede Wereldoorlog (Gilbert A. J., Iwen M. A., Strauss M. J., 2008). Het doel bestond eruit de besmette mannen uit het leger te halen om te vermijden dat deze soldaten het volk zouden infecteren met een toen nog onbehandelbare ziekte. (Gilbert A. J., Strauss M. J., 2007). Het idee van Dorfman vertaalt zich feitelijk in het gezamenlijk testen van een aantal bloedstalen (bijvoorbeeld vijf bloedstalen) in de plaats van alle stalen apart te gaan testen. Vervolgens worden de groepen getest op de aanwezigheid van het syfilis antigen via de Wassermann test (Wassermann M., Neisser A., Bruck C., 1906). Indien het resultaat positief is, dan weet men dat er ten minste één bloedstaal in de groep besmet. In dit geval zullen hertesten moeten plaatsvinden. Aangezien de kans op syfilis in de populatie (het leger) klein was, konden er namelijk grote besparingen doorgevoerd worden. Hoewel deze procedure voor het testen op syfilis vrij belovend is, werd er in de praktijk niet onmiddellijk iets ondernomen. Na lange tijd zijn er sinds de publicatie van Dorfman toch heel wat reacties (Enis P., 4

16 Pfeifer C. G., 1978) en verschillende modellen in de literatuur ontstaan. In de volgende paragraaf zal wat dieper worden ingegaan op een aantal typische kenmerken van groeptest-modellen Specifieke kenmerken groeptest-modellen Probabilistische versus combinatorische groeptest-modellen Eerst en vooral kan er een onderscheid gemaakt worden tussen probabilistische en combinatorische modellen. Bij de eerste soort zijn de items die getest moeten worden onafhankelijk van elkaar en deze hebben elk een bepaalde kans om defect of besmet te zijn. Er wordt dus een probabilistisch of stochastisch model gebruikt om de distributie van de defecte items te beschrijven. Het doel hierbij bestaat eruit het gemiddeld aantal benodigde testen te minimaliseren. Bij een combinatorisch model echter, wordt een deterministisch model gehanteerd. De modelparameters zijn enerzijds verondersteld gekend (er zijn bijvoorbeeld tien van de duizend items besmet) of er is anderzijds een bovengrens gekend. Het minimaliseren van het aantal testen bij het aller-slechtste (worst-case) scenario wordt hierbij als doel omschreven (Du D.-H., Hwang F. K., 2000) Adaptieve versus niet-adaptieve groeptest-modellen Vervolgens kan er nog een opsplitsing gemaakt worden volgens de manier waarop testen uitgevoerd worden. Enerzijds onderscheiden we adaptieve of sequentiële groeptesten waar een bepaalde uitkomst of uitslag bekomen wordt bij een eerste test. De volgende test is dan gebaseerd op de uitkomst van de vorige test. Anderzijds spreekt men van niet-adaptieve of nietsequentiële groeptesten wanneer alle uit te voeren testen gezamenlijk worden uitgevoerd (Rao P. S. S. N. V. P., Rao S. B., Sinha B. K., 2006) Statische versus dynamische groeptest-modellen Ook tussen enerzijds statische en anderzijds dynamische groeptest-modellen (Abolnikov L., Dukhovny A., 2003, Bar-Lev. S. K., Parlar M., Stadje W., Van der Duyn Schouten F. A., 2007) bestaan er significante verschilpunten. Bij een statisch model ligt de grootte van de populatie waarop getest moet worden vast of is deze oneindig groot. Er wordt geen rekening gehouden met het feit dat de populatie zich na verloop van tijd zou kunnen uitbreiden. Het tijdsaspect wordt derhalve niet in acht genomen. Bij een dynamisch model daarentegen start men niet met een vooraf opgegeven populatiegrootte, maar komen de items na verloop van tijd toe. 5

17 Aangezien items dus op willekeurige tijdstippen toekomen en wachten om bediend (getest) te worden, zal een dynamisch model typisch voorgesteld worden als een wachtlijnmodel. In paragraaf 1.2. zal hier verder op ingegaan worden Classificatieprobleem versus schattingsprobleem Vervolgens is het bij groeptest-modellen in vele gevallen de bedoeling om alle goede van de slechte items te onderscheiden. Wanneer men dus complete identificatie nastreeft, dan spreekt men van een classificatieprobleem. Men kan anderzijds groeptesten gebruiken om slechts een schatting weer te geven van het aantal besmette of defecte items in een populatie. Bij deze onvolledige identificatie (Bar-Lev S. K. et al, 1990, 2003, 2004) is het dan niet nodig om alle defecte items te identificeren en spreekt men bijgevolg over een schattingsprobleem. De extra nauwkeurigheid weegt namelijk niet op tegen de meerkost van te hertesten. Volgend voorbeeld illustreert dat het niet altijd noodzakelijk is om complete identificatie na te streven. Wanneer men in de voedingssector na het testen van een groep, bestaande uit verschillende stalen van een bepaald product, iets negatiefs of een afwijking vindt, dan kan het verantwoord zijn dit specifiek product uit de rekken te nemen. Hier is het dus niet de bedoeling om te weten welke staal uit de groep juist besmet was (Theobald C. M., Davie A. M., 2007) Groep-individuele versus groep-subgroep testprocedure Bij een bovenstaand beschreven classificatieprobleem zullen er in het geval dat een groeptest een besmetting aangeeft, hertesten moeten plaatsvinden om de defecten te lokaliseren. De manier waarop deze hertesten worden georganiseerd, wordt beschreven door een specifieke testprocedure. Wanneer bij de hertesten alle stalen individueel getest worden, dan spreekt men van een groep-individuele testprocedure. Er kunnen echter ook nieuwe, kleinere subgroepen gevormd worden die vervolgens getest zullen worden. Deze manier van testen heet dan typisch een groep-subgroep testprocedure. Pas als blijkt dat na de hertest ook een bepaalde subgroep als besmet wordt aangeduid, dan gaat men de bloedstalen of items van die subgroep individueel gaan testen. Ongeacht welke soort testprocedure gekozen wordt, bestaat de bedoeling eruit om een optimale groepsgrootte te vinden, zodanig dat de efficiëntie van het testen gemaximaliseerd wordt. 6

18 Wanneer nu de kans op infectie klein is, dan gaat de voorkeur uit naar groep-subgroep testen. Als bij het hertesten het resultaat echter negatief blijkt te zijn, dan is het door middel van één enkele test duidelijk dat geen enkele bloedstaal in de subgroep besmet is Betrouwbare versus onbetrouwbare groeptesten Vervolgens heerst er nog een belangrijk aspect bij groeptesten. Er wordt namelijk meestal verondersteld dat het resultaat van elke groeptest correct is. Men gaat er dan van uit dat er geen enkele slechte items in de groep aanwezig zijn, indien het resultaat van een groeptest negatief is. Hier spreekt men dan over betrouwbare testen. Jammer genoeg is dit niet altijd het geval. Het testen kan immers resulteren in onbetrouwbare resultaten, bijvoorbeeld een groep die verkeerdelijk als positief (besmet) is aangeduid of een groep die na het testen als negatief is aangeduid waar in feite wel positieve (besmette) items aanwezig waren (Bar-Lev et al, 2003, Graff L. E. en Roeloffs R., 1972). 7

19 1.2. Wachtlijntheorie Gezien de dynamische aard van enkele groeptest-modellen, en om het begrip wachtlijnmodel te kunnen vatten, worden in deze paragraaf enkele concepten uit de wachtlijntheorie aangehaald. Wachtlijntheorie is de wetenschap die de studie van wachtfenomenen als voorwerp heeft (Bruneel H., 2009, p.1). Aangezien deze wachtfenomenen een onvoorspelbare aard hebben, worden deze dus best probabilistisch of stochastisch gemodelleerd. Wachtlijntheorie kan in feite gezien worden als een onderdeel van de toegepaste probabiliteitstheorie. Een wachtlijnsysteem bestaat enerzijds uit een verwerkingseenheid en anderzijds uit een daarbij horende wachtlijn. Het is in feite een systeem waarbij entiteiten (klanten, bloedstalen, items ) uit een bepaalde bron of populatie zich aanbieden bij een verwerkingseenheid of servicestation met als doel een bepaalde dienst te verkrijgen. De verschillende servicestations vormen samen de service-eenheid. Deze stations, die geacht worden een bepaalde dienst te verstrekken, kunnen al dan niet parallel werken. Figuur 1.1. Structuur van een wachtlijnsysteem 8

20 Er kan een onderscheid gemaakt worden tussen enerzijds discrete en anderzijds continue tijdsmodellen. Bij een discreet tijdsmodel wordt, in tegenstelling tot een continu tijdsmodel, de tijd als het ware in vaste tijdsloten of intervallen onderverdeeld, zoals te zien is op figuur 1.2. Belangrijk om te vermelden is het feit dat een test in dit geval telkens start bij het begin van een slot en eindigt op het einde van een slot. Zo is de bediening of de service gesynchroniseerd op de slotgrenzen. Figuur 1.2. Discrete indeling van de tijd (Demoor T., 2007) Vanaf de jaren tachtig werd er eigenlijk meer tijd besteed aan de totstandkoming van deze discrete tijdsmodellen. Door de opkomst van digitale computers werd het mogelijk om het gedrag van buffers voor tijdelijke opslag van digitale informatie te onderzoek en te observeren, dit voor allerhande telecommunicatiesystemen en netwerken. Het voordeel van een discreet tijdsmodel is dat deze op een meer natuurlijke wijze belang hecht aan de synchrone aard van transmissiesystemen (Bruneel H., 2009). De wachtlijncapaciteit, namelijk het aantal wachtplaatsen, kan zich enerzijds beperken tot een eindig aantal plaatsen of anderzijds kunnen een oneindig aantal wachtplaatsen voorzien zijn. De reden voor het optreden van wachtlijn is dat er tijdelijk meer aanvragen voor een bepaalde dienst het systeem binnenkomen dan dat het systeem aankan. Indien de wachtlijn eindig is en bovendien volledig bezet is, dan kunnen er entiteiten (klanten, bloedstalen) geweigerd worden en kunnen dus bijgevolg verloren gaan (Bruneel H., 2009). Wachtlijnen worden onderverdeeld aan de hand van volgende criteria: De bron waaruit de entiteiten voorkomen kan enerzijds eindig of anderzijds oneindig zijn. Een populatie is oneindig wanneer de kans op een aankomst onafhankelijk is van het aantal reeds aanwezige items. Het woord oneindig mag dus niet letterlijk worden opgenomen. Wanneer de items die reeds aanwezig zijn in het wachtlijnsysteem, de aankomststroom van nieuwe items wel beïnvloeden, dan spreekt men van een eindige populatie. 9

21 Het aankomstpatroon of aankomstproces schetst wanneer en hoe items het systeem binnenkomen. Aangezien dit vaak op een onregelmatige manier gebeurt, is het gebruikelijk om dit op een probabilistische of stochastische manier te modelleren. Een toevalsgrootheid is een grootheid waarvan de exacte waarde afhangt van de uitkomst van een toevalsexperiment. Om nu het aankomstproces te modeleren, wordt gebruik gemaakt van de beschrijving van een rij niet-negatieve discrete toevalsgrootheden die duidelijk maken hoeveel items aankomen per tijdseenheid. Zo wordt het gemiddeld aantal aankomsten per tijdseenheid voorgesteld door. Bovendien staat dan voor de gemiddelde tijdsduur tussen twee aankomsten, wat ook wel de gemiddelde tussenaankomsttijd wordt genoemd. In de meeste modellen wordt er aangenomen dat de aantallen aankomsten en dus de discrete toevalsgrootheden statistisch onafhankelijk en identisch gedistribueerd zijn van slot tot slot. Wegens deze statistische onafhankelijkheid kan gesproken worden van een ongecorreleerd aankomstproces. Een volgend element van een wachtlijnmodel betreft het verwerkingsproces of serviceproces. Traditioneel wordt er één item per keer bediend, verwerkt of getest. Bij groepsbediening worden meerdere items per keer verwerkt, er worden dus verschillende items samen getest. De verwerkingstijd van een batch items is afhankelijk van het aantal items in die batch. Bij het groeptesten veronderstellen we in deze masterproef dat elke test één slot duurt. Er kan dus gesproken worden van een deterministisch proces aangezien de verwerkingstijden of testtijden onafhankelijk zijn van het aantal items. Bovendien zijn deze onafhankelijk en identiek verdeeld met een gemeenschappelijke genererende functie (infra p. 11). Belangrijk is dat de verwerking enkel kan aanvangen op de slotgrenzen, dit in het geval van een discreet tijdsmodel. Daardoor kan de verwerking van een item of van een groep items ten vroegste starten bij het begin van het slot na het aankomstslot van het/de item(s). Verder bepaalt de wachtlijndiscipline in welke volgorde de items in het systeem bediend zullen worden. De meest voorkomende disciplines zijn first-come-first-served (FCFS), last-come-first-served (LCFS) en random-selection-for-service (RSFS). Vervolgens kan opgemerkt worden dat een wachtlijnsysteem na een lange tijd een regimetoestand of evenwichtstoestand bereikt. Het systeem is dus stabiel indien limietdistributies bestaan voor alle toevalsgrootheden die het systeemgedrag beschrijven. De distributies zijn dan als het ware onafhankelijk van het precieze tijdstip. Bovendien moeten alle binnengekomen items uiteindelijk ook verwerkt worden. Men noemt deze toestand ook wel eens steady state (Bruneel H., 2009). 10

22 Als laatste wordt hier ingegaan op het begrip probabiliteitsgenererende functie (pgf). De waarschijnlijkheidsdistributie of simpelweg de distributie van een discrete toevalsgrootheid, heeft betrekking op de manier waarop probabiliteiten geassocieerd zijn met de waarden die de toevalsgrootheid kan aannemen. Deze distributie kan geheel gekenmerkt worden door de massafunctie, namelijk. Indien aangenomen wordt dat een complexe veranderlijke is, dan karakteriseert de genererende functie de distributie van de toevalsgrootheid, namelijk dit voor alle waarden van waarvoor de oneindige som convergeert (Bruneel H., 2009). De genererende functie stelt dus de getransformeerde voor van de massafunctie en wordt gekenmerkt door een paar belangrijke eigenschappen. Eerst en vooral kan vermeld worden dat voor, een analytische functie is van binnen de eenheidscirkel van het complexe -vlak. Een complexe functie wordt analytisch genoemd wanneer die overal in zijn domein differentieerbaar is. Bovendien is deze begrensd voor. Ten tweede stelt de probabiliteitsgenererende eigenschap het volgende. Wegens het feit dat de coëfficiënt is van in de Taylorreeksontwikkeling van rond de oorsprong ( ) geldt de onderstaande gelijkheid. Vervolgens geldt wegens de momentgenererende eigenschap dat de verwachtingswaarde van de toevalsgrootheid, gelijk is aan de eerste afgeleide in van de genererende functie van. Dit wordt weergegeven in onderstaande gelijkheid. 11

23 Verder kan ten gevolge van de normeringsvoorwaarde gesteld worden dat wanneer genererende functie gelijk is aan 1, namelijk, de Als laatste wordt de genererende functie van een som van statistich onafhankelijke toevalsgrootheden gegeven door het product van de genererende functies van deze toevalsgrootheden. Hieronder wordt dit verduidelijkt (Bruneel H., 2009). 12

24 1.3. Toepassingen Gedurende de jaren zijn al heel wat groeptest modellen onder de vorm van toepassingen in de literatuur en in de praktijk verschenen. Het valt namelijk op dat er een grote variëteit bestaat aan toepassingsgebieden. Zoals reeds vermeld was de toepassing van Dorfman de eerst ontwikkelde in de geschiedenis betreffende het groeptesten. Nog steeds wordt het testen van items in groep toegepast in de geneeskunde en in de gezondheidszorg in het algemeen. Bloedmonsters worden namelijk vaak in groep getest met als doel bijvoorbeeld HIV, hepatitis of andere virussen en bacteriën te detecteren. Het wordt evenzeer gehanteerd om DNA te onderzoeken en om geneesmiddelen te ontwikkelen (Xie M., Tatsuoka K., Sacks J., Young S. S., 2001). Opmerkelijk is dat de methode zelfs aangewend wordt om personeelsleden te testen op druggebruik (Gastwirth J. L., Johnson W. O., 1994). Ook in de tak van entomologie (studie van insecten) worden aan de hand van groeptesten, insectgerelateerde ziektes nader bestudeerd (Chen C. L., Swallow W. H., 1990). In dit laatste geval gaat het dan wel eerder over een schattingsprobleem (supra p. 6). Het in groep testen van bloedmonsters wordt onder andere toegepast in ontwikkelingslanden (Emmanuel J. C., Bassett, M. T., Smith H. J. Jacobs J. A., 1988). Het testen volgens een groep-subgroep testprocedure kan in dit geval wel een probleem opleveren. De hoeveelheid beschikbaar bloed per bloedmonster is dan te klein, aangezien er getest moet worden op verschillende soorten ziekten (Gastwirth J. L., Johnson W. O., 1994). Niet alleen in de gezondheidszorg worden groeptesten aangewend, ook in de industriële sector kent deze manier van testen zijn toepassing, namelijk bij kwaliteitscontrole voor industriële productiesystemen. Bij elektronische apparaten, zoals condensatoren en resistoren, moet er in sommige gevallen een test uitgevoerd worden om er zeker van te zijn dat deze apparaten geen lekken vertonen. Aangezien de benodigde tijd voor een dergelijke test vrij groot is, bestaat het doel er namelijk uit het aantal testen te minimaliseren. Op deze manier is een vorm van groeptesten een geschikte en efficiënte keuze (Sobel M., Groll P. A., 1966). Een ander toepassingsgebied betreft het domein van de computerwetenschappen. Er bestaan tegenwoordig heel wat uitgebreide data sets bestaande uit verschillende soorten gegevens, met als doel deze te op te slaan, te analyseren, te verwerken en samen te vatten (Macula A. J., Popyack L. J., 2004). 13

25 Bij het ontwikkelen van algoritmen voor statistische recuperatie wordt ondermeer gebruik gemaakt van groeptesten (Gilbert A. J., Strauss M. J., 2007). 14

26 Hoofdstuk 2: Methodiek Zoals reeds vermeld, worden in dit hoofdstuk de gekozen modellen uitgebreid besproken. Het hoofddoel van deze masterproef bestaat er namelijk uit een vergelijking te maken tussen enerzijds een statisch en anderzijds een dynamisch model. Deze vergelijking zal gemaakt worden voor twee soorten procedures, namelijk voor de groep-individuele en voor de groep-subgroep procedure. Om dit te kunnen bereiken, zullen de modellen eerst in dit hoofdstuk afzonderlijk naast elkaar bekeken worden. Allereerst wordt het statische model geschetst. Hierbij komen de specifieke parameters en formules aan bod. In de volgende paragraaf is het de beurt aan het dynamisch model. Ook hier wordt het gekozen model uitvoering beschreven aan de hand van de parameters en de formules. Bij dit dynamisch model worden bovendien reeds verschillende distributies aangehaald die later (in Hoofdstuk 3) in rekening zullen worden gebracht. Verder zullen in dit hoofdstuk enkele subonderzoeksvragen geformuleerd worden, die dan ook in Hoofdstuk 3 zullen worden onderzocht. In Hoofdstuk 4 wordt vervolgens de hoofdonderzoeksvraag behandeld. Verder zijn in dit hoofdstuk alle figuren, uitgezonderd figuur 2.5., eigen werk Statisch model De keuze omtrent het statische model gaat uit naar het model van Dorfman (Dorfman R., 1943). Dorfman ontwikkelde een statisch groeptest model met de bedoeling syfilis op een efficiënte manier te detecteren bij het leger van de Verenigde Staten. In deze paragraaf zullen twee soorten groeptest procedures benaderd worden, namelijk de groep-individuele en de groep-subgroep procedure (supra p.6) Parameters Dit model werkt met drie parameters. Eerst en vooral is er de besmettingsgraad ( ), namelijk de kans dat een willekeurig item geïnfecteerd is. Verder is er de populatiegrootte (= ) en de laatste parameter betreft de grootte van de groepen (=c) waarop getest zal worden in de plaats van de items individueel te gaan testen. 15

27 Groep-individuele procedure Voor het dit model wordt, zoals vermeld, rekening gehouden met twee soorten procedures. In deze paragraaf beschouwen we de groep-individuele procedure, terwijl de groep-subgroep procedure in de volgende paragraaf wordt behandeld Formules Het verwachte aantal testen dat nodig is om alle items te kunnen classificeren als goed of als slecht wordt weergegeven door onderstaande formule. De redenering voor de opstelling van de formule gaat als volgt. In feite is dit de som van het aantal groepen met het aantal individuele items in de groepen die opnieuw getest moeten worden, dit omdat de groep besmet bleek te zijn. Hierbij wordt verondersteld dat, dit geeft namelijk de kans weer dat een willekeurige groep (van c items) minstens één besmet item bezit. Verder is gelijk aan het verwachte aantal besmette groepen uit de volledige populatie. In feite wordt bij deze formule impliciet verondersteld dat N deelbaar is door c. Maar aangezien er in de praktijk steeds sprake is van grote populaties, kan besloten worden dat de formule toch nauwkeurig is Optimale groepsgrootte De bedoeling is om, voor een gegeven populatiegrootte en een gegeven besmettingsgraad, de groepsgrootte te bepalen die E(T) minimaliseert. Dit noemen we de optimale groepsgrootte ( ). Het voorgaande wordt bevestigd door Abolnikov L. en Dukhovny A. die stellen dat wanneer de gemiddelde testtijden van de groepsfase gelijk zijn aan die van de individuele test, het geschikt is om een groepsgrootte te selecteren die het totaal aantal testen minimaliseert (Abolnikov L., Dukhovny A., 2003). 16

28 In figuur 2.1. en 2.2. wordt E(T) getoond als functie van de groepsgrootte voor verschillende waarden van p. In figuur 2.1. is de populatiegrootte gelijk aan 1000, terwijl er in figuur 2.2. voor een populatiegrootte van werd geopteerd. Er kan waargenomen worden dat de functie eerst een dalend verloop kent, vervolgens een minimum bereikt en daarna terug een stijgend verloop kent. Intuïtief kan men stellen dat wanneer men in grotere groepen gaat testen, weliswaar voor een vaste populatiegrootte en een vaste besmettingsgraad, de efficiëntie zal stijgen, omdat meer items in één test gescreend worden. Het verwachte aantal benodigde testen zal dus gaan dalen. Maar wanneer men echter een zodanig grote groep gaat nemen, dan wordt de kans heel groot dat er sowieso een besmet item in de groep aanwezig is. Men zal dus na de groeptest alle items individueel moeten testen. Bijgevolg gaat de efficiëntie bij het nemen van een te grote groep teniet en stijgt het verwachte aantal benodigde testen. Om de minima van de functie voor willekeurige N en p waarden te vinden wordt gebruik gemaakt van Matlab. Hier wordt namelijk een programma opgesteld waar voor een heel kleine groepsgrootte, de functiewaarde berekend wordt. Een volgende stap bestaat eruit de functiewaarde voor een nieuwe, weliswaar grotere groepsgrootte te berekenen. Wanneer het blijkt dat deze nieuwe functiewaarde groter is dan de voorgaande, dan is het minimum bereikt. verwachte aantal benodigde testen (E(T)) groepsgrootte (c) p=0,1 p=0,01 p=0,001 Figuur 2.1. Verloop van in functie van c (N = 1000 groep-individueel) 17

29 verwachte aantal benodigde testen (E(T)) groepsgrootte (c) p=0,1 p=0,01 p=0,001 Figuur 2.2. Verloop van in functie van c (N = groep-individueel) Als gevolg is het aanvaardbaar om de grootte van de groepen waarop men wil testen op te drijven zolang het verwachte aantal testen (= ) hiermee kleiner wordt Groep-subgroep procedure Formules Ook voor de groep-subgroep procedure wordt er hier een formule opgesteld voor het verwachte aantal testen dat nodig is om alle items te kunnen classificeren als goed of als slecht. Onderstaande formule geeft dit weer. Ook hier wordt impliciet verondersteld dat deelbaar is door. Het feit dat er steeds sprake is van grote populaties in de praktijk, verklaart waarom deze formule toch nauwkeurig is. Voor de opstelling van deze formule wordt er een analoge redenering gevold zoals in paragraaf (supra p. 16). Het gaat als volgt. kan berekend worden door het aantal groepen te vermenigvuldigen met,wat het gemiddeld aantal testen voorstelt om een groep van c items te screenen. Dit laatste is dus afhankelijk van de specifieke groeptest procedure. Onderstaande formule geeft dit weer. 18

30 De eerst term duidt aan dat er minstens één test nodig is om de groep van c items te testen. Indien blijkt dat deze groep positief is, dan wordt de groep opgesplitst in twee subgroepen met en als grootte, deze worden voor de gemakkelijkheid respectievelijk de eerste en de tweede subgroep genoemd. Deze ongebruikelijke vierkante haakjes zijn nodig indien de groep met c items oneven is. De tweede term van bovenstaande formule stelt dus de vermenigvuldiging voor van de kans dat de eerste subgroep minstens één besmet item bezit en dat de tweede subgroep bovendien alleen goede items bezit, met het aantal testen dat er in dat geval nodig zijn. Er zijn dan namelijk al twee testen nodig om de twee subgroepen te testen en verder zijn er nog individuele testen nodig om de eerste subgroep verder te screenen. Deze gedachtegang kan ook gevolgd worden voor de derde term in de formule, met dat verschil dat er enkel in de tweede subgroep minstens één besmet item aanwezig is. Vervolgens wordt er in de vierde term duidelijk gemaakt hoeveel testen er nodig zijn wanneer er in beide subgroepen minstens één items besmet is. De laatste term van bovenstaande formule valt echter weg aangezien er geen verdere testen meer nodig zijn wanneer blijkt dat beide subgroepen goed zijn Optimale groepsgrootte Ook voor de groep-subgroep procedure wordt gekeken hoe het verloop van in functie van de groepsgrootte eruit ziet. In onderstaande figuren wordt dit verloop geschetst voor enkele vaste besmettingsgraden (0.001, 0.01 en 0.1) en voor een populatiegrootte van respectievelijk 1000 en De groepsgrootte die minimaliseert stelt dan de optimale groepsgrootte ( ) voor. Analoog als voor de groep-individuele testprocedure wordt ook hier gesteund op een programma in Matlab om de optimale groepsgroottes te berekenen voor willekeurige p en N waarden. 19

31 verwachte aantal benodigde testen (E(T)) groepsgrootte (c) p=0,1 p=0,01 p=0,001 Figuur 2.3. Verloop van in functie van c (N = 1000 groep-subgroep) verwachte aantal benodigde testen (E(T)) groepsgrootte (c) p=0,1 p=0,01 p=0,001 Figuur 2.4. Verloop van in functie van c (N = groep-subgroep) Deze grafieken kunnen vergeleken worden met die van de voorgaande procedure, namelijk de groep-individuele procedure. Aangezien de hier bekomen grafieken sneller dalen, kan besloten worden dat voor eenzelfde groepsgrootte, er gemiddeld gezien minder testen nodig zullen zijn voor de groep-subgroep procedure Subonderzoeksvraag Er zal onderzocht worden in hoeverre de parameters (de populatiegrootte en de besmettingsgraad) in dit statisch model een invloed hebben op de optimale groepsgrootte (, dit voor beide groeptest procedures. 20

32 2.2. Dynamisch model Het geselecteerde dynamische model betreft het model ontwikkeld door Bruneel H., Claeys D., Laevens K. en Walraevens J. Zoals in vele praktische gevallen houdt dit model rekening met het feit dat items of groepen van items op willekeurige tijdstippen aankomen in het teststation. Zo kan het echter wel gebeuren dat op het moment een nieuwe groep getest kan worden, er minder items aanwezig zijn dan de optimale groepsgrootte Beschrijving model Er wordt een discreet tijdsmodel in acht genomen waar de tijd verdeeld is in vaste tijdsloten of intervallen (supra p.9) (Bruneel H. et al). Bovendien zijn het aantal aankomsten in een slot onafhankelijk van het aantal aankomsten in een ander slot. Qua aantal aankomsten heeft een vorig slot dus geen invloed op een volgend slot. De distributie van het aantal aankomsten per slot wordt gekarakteriseerd door een genererende functie p. 11). Deze distributie kan willekeurig gekozen worden. (supra Vervolgens situeert de grootte van de groepen die getest moeten worden zich tussen een minimale en een maximale waarde. Deze waarden worden aangeduid door respectievelijk en c. De servicetijd (bedieningstijd) is de tijd nodig om alle items van een bepaalde batch te classificeren als goed of als slecht. De service stelt dus de benodigde tijd voor om een volledige batch te screenen. Gedurende die tijd kunnen er meerdere testen plaatsvinden die bovendien meerdere tijdsloten in beslag kunnen nemen. Een belangrijk aspect is dat een test start bij het begin van een tijdslot en eindigt op het einde van een tijdslot. Op die manier zijn de bedieningstijden gesynchroniseerd volgens de grenzen van de tijdsloten (supra p. 9). Verder bestaat er een algemene afhankelijkheid tussen de servicetijd van een batch en het aantal items in die batch. De groepsgrootte heeft dus een invloed op de bedieningstijd. Bijgevolg wordt de servicetijd van een groep van items gekenmerkt door de genererende functie. Meer specifiek wordt het aantal testen om een groep van items te screenen gedefinieerd als waarbij. Bovendien wordt er in het model rekening gehouden met het feit dat de 21

33 tijd om een test uit te voeren kan verschillen. Verder wordt verondersteld dat de testtijden onafhankelijk zijn van het aantal items en onafhankelijk en identiek verdeeld zijn met de gemeenschappelijke genererende functie. Aangezien we in deze masterproef geïnteresseerd zijn in het aantal testen en niet in de duur van individuele testen, veronderstellen we telkens dat een test één slot duurt, met andere woorden, we stellen gelijk aan z Parameters Dit dynamisch model kent een aantal parameters. Eerst en vooral is er lambda ( ) die de aankomstintensiteit voorstelt. Het is in feite de verwachtingswaarde van het aantal aankomsten in een tijdslot. De besmettingsgraad ( ) of de kans dat een willekeurig item besmet is, is een volgende parameter. Als laatste is er de minimale groepsgrootte ( ) en de maximale groepsgrootte ( ) Bepaling onbekenden In het dynamisch model stelt de genererende functie de systeem inhoud voor bij het begin van een willekeurig tijdslot in steady state (supra p. 10). Dit is de inhoud van zowel de wachtrij als de server (Bruneel H. et al). met Deze functie bevat onbekende of onbepaalde constanten namelijk: met met Om deze onbekende constanten te bepalen wordt volgende redenering gevolgd. Met behulp van de stelling van Rouché kan aangetoond worden dat de noemer van nulpunten heeft binnen de gesloten complexe eenheidscirkel. Er kan verder beroep gedaan worden op de eigenschap dat genererende functies analytisch/begrensd zijn binnen de eenheidscirkel. Deze kunnen dus zeker geen polen hebben binnen dit gebied. Als gevolg kan besloten worden dat de teller eveneens de nulpunten van de noemer als nulpunten moet hebben. Omdat de teller lineair is in de te bepalen 22

34 constanten, bekomt men dan voor elk van de nulpunten (uitgezonderd voor z = 1, waarvoor de teller verdwijnt ongeacht de waarden van de onbekende constanten) exact één lineaire vergelijking. Samen met de normeringsvoorwaarde van de genererende functie bekomt men dus lineaire vergelijkingen. Door dit stelsel van Cramer op te lossen naar de onbekenden kan de volledige genererende functie bepaald worden. Uit de functie kunnen een aantal kostfuncties worden afgeleid, zoals de utilisatiefactor. Deze functie staat voor de fractie van het aantal tijdsintervallen gedurende dewelke items getest worden en is gelijk aan In het artikel is nog een performantiemaat afgeleid, namelijk de gemiddelde tijd totdat een item getest is. Er wordt echter gekozen om enkel de functie f te gebruiken. Deze keuze kan verantwoord worden doordat deze masterproef als doel heeft het statische met het dynamische model te vergelijken (zie Hoofdstuk 4). Hierbij is de utilisatiefactor een meer eerlijke vergelijkingsmaat. Om deze functie te berekenen, hebben we nodig, die dus gevonden kan worden door middel van het oplossen van het stelsel van Cramer. In wat volgt wordt, met behulp van twee stappen, dieper ingegaan op hoe dit praktisch werd aangepakt in deze masterproef. Stap 1: Berekenen van nulpunten van Ten eerste kunnen de nulpunten van middel van de methode van Newton Raphson. één voor één numeriek bepaald worden door Om de redenering te kunnen volgen wordt er even een basisprincipe aangehaald in verband met complexe getallen. Een complexe wortel (Cartesische notatie) kunnen we ook in een notatie schrijven met poolcoördinaten, namelijk. Hierbij stelt de poolhoek of het argument van het complexe getal voor. De voerstraal of modulus van wordt aangeduid met. 23

35 Figuur 2.5. Voorstelling complex getal (internetbron) Met behulp van de definitie van de machtswortels van een complex getal en de stelling van Rouché kan aangetoond worden dat iedere vergelijking ( ) exact één nulpunt heeft in en dat deze nulpunten gelijk zijn aan de nulpunten van. Er moet dus telkens Newton Raphson toegepast worden op iedere vergelijking. Vervolgens wordt de methode van Newton Raphson nader uitgelegd. Voor een gegeven functie met zijn afgeleide en voor een zekere startwaarde ( ), bestaat het doel eruit een te vinden waarvoor nul wordt. Door middel van onderstaande algemene formule kunnen de iteraties gevonden worden. Via het schrijven van een programma in Matlab wordt het mogelijk om de nulpunten te berekenen. Stap 2: Oplossen van het stelsel Een tweede stap bestaat eruit een stelsel op te lossen om en te bepalen. Het stelsel van Cramer omvat lineaire vergelijkingen (supra p. 23) waaronder volgende vergelijkingen waarbij het nulpunt van de noemer voorstelt en waarbij. 24

36 Daarenboven bevat het stelsel de normeringvoorwaarde:. Bij het uitwerken van deze voorwaarde bekomt men echter een onbepaaldheid van de vorm. Om deze te kunnen opheffen kan gebruik gemaakt worden van de regel van de l Hôpital. Deze regel moet bovendien tweemaal worden toegepast. Aan de hand van het programma Maple kan deze voorwaarde uitgewerkt en vereenvoudigd worden tot onderstaande vergelijking. Wanneer deze lineaire vergelijkingen omgezet worden in de vorm van matrices, dan kan de kolomvector met de constanten en bepaald worden via het schrijven van een programma in Matlab. Opmerking Zoals hierboven reeds vermeld wordt er af en toe gebruik gemaakt van de programma s Maple en Matlab. In dit laatste werden de voorgaande stappen geprogrammeerd. Het voordeel van Matlab is dat het uitermate geschikt is om te werken met matrices. Het is met name vrij gemakkelijk om een stelsel naar matrixvorm te vertalen Distributies Aangezien het doel van deze masterproef eruit bestaat de vergelijking tussen een statisch en een dynamisch model te onderzoeken, wordt gekeken in hoeverre er dan een verschil kan opgemerkt worden indien er verschillende aankomstprocessen voor het dynamisch model beschouwd worden. Er worden hier bijgevolg drie distributies aangehaald die dus in Hoofdstuk 3 en Hoofdstuk 4 verder zullen worden onderzocht. Als eerste brengt de Poisson distributie volgende genererende functie met zich mee:. Bij het berekenen van de utilisatiefactor f wordt dikwijls gebruik gemaakt van volgende afgeleide functies, namelijk en. Bij een Bernoulli distributie kunnen er enkel 0 (met kans ) of 1 (met kans ) item(s) toekomen. Merk op dat hier ook een kans is en dus niet groter mag zijn dan 1. De genererende functie van 25

37 dergelijke distributie is en.. Ook hier worden de afgeleide functies vermeld: Als laatste beschouwen we de geometrische distributie met als genererende functie. De afgeleide functies zijn in dit geval en. Opmerking Ongeacht de keuze van, moet vanwege de momentgenererende eigenschap van genererende functies (supra p. 11) gelijk zijn aan en bovendien gelijk aan Groep-individuele procedure Net zoals bij het statische model worden de groep-individuele en de groep-subgroep procedure beschouwd. Deze paragraaf behandelt de groep-individuele procedure, terwijl de groep-subgroep procedure in de volgende paragraaf wordt aangeraakt Formules Zoals reeds vermeld kunnen verschillende procedures bestudeerd worden in het model ontwikkeld door Bruneel H., Claeys D., Laevens K. en Walraevens J, door, namelijk het aantal testen nodig om een groep van c items te screenen, juist te definiëren. In dit dynamische model werd volgende formule afgeleid in geval van de groep-individuele procedure. De redenering voor de opstelling van deze formule schuilt in het feit dat er voor de groepindividuele procedure twee mogelijkheden zijn. Enerzijds kan het zich voordoen dat alle items goed zijn, met kans en anderzijds zijn er één of meer items besmet, dit met kans. In het eerste geval is er slechts één test nodig. In het tweede geval zijn er naast de groepstest ook nog individuele testen nodig Optimale groepsgrootte Terwijl bij het statische model de optimale groepsgrootte ( ) gelijk is aan deze die het gemiddeld aantal testen E(T) minimaliseert, wordt deze hier gedefinieerd als diegene die de 26