HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN

Transcriptie

1 HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN 1.1 Waarschijnlijkheidsrekening 1

2 Beschouw een toevallig experiment (de resultaten zijn aan het toeval te danken) Noem V de verzameling van alle mogelijke uitkomsten (of resultaten) van het experiment Voorbeelden 1. V = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2. Bepaling van de hoodfbloedgroep V = { O, A, B, AB } Definitie Een gebeurtenis is een verzameling uitkomsten in V (dus een deelverzameling van V), aangeduid door A, B,... Voorbeeld een even resultaat : A = { 2, 4, 6 } 2

3 Als A en B gebeurtenissen zijn definieert men: A en B A of B A en niet B niet A doorsnede vereniging verschil complement A B A B A \ B A 3

4 Definitie Twee gebeurtenissen, A en B, zijn uitsluitend (of disjunkt), wanneer geen enkele uitkomst van het experiment tegelijkertijd tot A en tot B behoort. Dit betekent dat de doorsnede van de twee verzamelingen leeg is: A B = 4

5 Beschouw de verzameling V van alle uitkomsten van een experiment. Men noteert Q(V) de verzameling van alle gebeurtenissen in V bepaald. Deze bevat altijd de lege verzameling en V zelf. Voorbeelden 1. Q(V) = {, {1}, {2}, {3}, {4},... { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 1, 4 },... { 1, 2, 3 },... { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } } 2. V = { O, A, B, AB } Q(V) = {, {O}, {A}, {B}, {AB}, {O,A}, {O,B}, {O,AB}, {A,B}, {A,AB}, {B,AB}, {O,A,B}, {O,A,AB}, {O,B,AB}, {A,B,AB} {O,A,B,AB}} 5

6 Definitie Een kans (waarschijnlijkheid, probabiliteit) is een functie waarbij met elke gebeurtenis A in Q(V) een reeel getal P(A) wordt geassocieerd en die voldoet aan de volgende regels (of axiomas): 1. Voor elke gebeurtenis A Q(V) geldt: 0 P(A) 1 2. P( ) = 0 ; P(V) = 1 3. Als A B = dan is: P(A B) = P(A) + P(B) 4. Als voor alle i,j met i j geldt dat Ai Aj = dan is: P( A1 A2... An) = P(A1) + P(A2) P(An) Als P(A) = 0 noemt men A is stochastisch onmogelijk Als P(A) = 1 zegt men dat A stochastisch zeker is 6

7 Eigenschappen en berekening 1. Als A B dan is P(A) P(B) 2. P(A) = 1 - P(A) 3. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Definitie van Laplace Indien V bestaat uit een aantal uitkomsten die alle met dezelfde waarschijnlijkheid optreden (dezelfde kans hebben) wordt de kans van een gebeurtenis gedefinieerd als: P(A) = # elementen ( A ) # elementen( V ) = (aantal gunstige gevallen)/(aantal mogelijke gevallen) Deze definitie heeft als nadeel te steunen op het concept dezelfde waarschijnlijkheid ) 7

8 Voorbeelden 1. P({1}) = P({2}) =... = P({6}) A = { 2, 4, 6 } P(A) = 3/6 = 0,5 2. Bloedgroep P({A,B,AB}) 3 4 (hebben niet dezelfde kans) 8

9 Onafhankelijkheid en voorwaardelijke kans Definitie De gebeurtenissen A en B zijn (stochastisch) onafhankelijk als P(A B) = P(A) P(B) Opmerking Er is een verschil met oorzakelijke onafhankelijkheid (hetgeen betekent dat er geen relatie van oorzaak en gevolg is). Definitie De voorwaardelijke kans van een gebeurtenis A, gegeven dat een gebeurtenis B is opgetreden : P(A B) = PA ( B ) PB ( ) ( Op voorwaarde dat P(B) 0 ) 9

10 Opmerkingen 1. Omgekeerd heeft men: P(B A) = P(A B) P(A) 2. 0 P(A B) 1 omdat de teller niet groter kan zijn dan de noemer (beide zijn positief) Eigenschappen 1. Als A en B onafhankelijk zijn dan is: P(A B) = P(A) en P(B A) = P(B) men zegt dat het optreden van B geen invloed heeft op het optreden van A 2. Produktregels: P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A) P(A B C) = P(A B C) P(B C) P(C) P(A B C) = P(B A C) P(A C) P(C) 10

11 De Stelling van Bayes Beschouw twee gebeurtenissen A en B. Men zoekt een uitdrukking voor P(B A) in functie van: P(A B), P(A B) en P(B) Vertrek van de definitie van voorwaardelijke kans: P(A B) = PA ( B ) PB ( ) en P(B A) P(B A) = P(A) Hieruit volgt: P(A B) P(B) = P(B A) P(A) of P(B A) = P(A B).P(B) P(A) (vergelijking 1) 11

12 Beschouw de verzameling A. Deze kan worden opgesplitst als: A = (A B) (A B) (omdat B B = V) Vermits (A B) en (A B) geen gemeenschappelijke uitkomsten bevatten: (A B) (A B) = heeft men: P(A) = P(A B) + P(A B) = P(A B). P(B) + P(A B). P(B) = P(A B). P(B) + P(A B). (1 - P(B)) Door deze uitdrukking te vervangen in vergelijking 1 bekomt men de stelling van Bayes voor 2 gebeurtenissen: P( BA ) = PAB ( ) PB ( ) PAB ( ) PB ( ) + PAB ( ) PB ( ) 12

13 Deze formule kan uitgebreid worden naar een reeks van n gebeurtenissen B 1, B 2,..., Bn die uitsluitend zijn en waarvoor geldt Bi = V : P(B i A) = P(A B i) P(B i) P(A B 1) P(B 1) + P(A B 2) P(B 2) P(A B n) P(B n) 13

14 Interpretatie A = resultaat van een medische test is positief B = ziekte P(A) = kans op een positief testresultaat P(B) = incidentie van toestand B, kans op voorkomen van de ziekte B De kans dat een persoon met een positieve testuitslag de ziekte zou hebben wordt gegeven als functie van: P(A B) = sensitiviteit van de test, kans op positief testresultaat voor mensen die de ziekte hebben P(A B) = kans op een positief testresultaat bij patienten die ziekte B niet hebben Dit is gelijk aan één min P(A B) (de specificiteit van de test of de kans op een negatief testresultaat bij patienten die de ziekte B niet hebben) P(B) = de incidentie van de ziekte in de onderzochte populatie 14

15 Oefening Men gebruikt een nieuwe test om te bepalen of een patient allergisch is. Bereken uit de volgende gegevens de kans dat een patient met een positieve testuitslag allergisch is. - De kans op een negatieve testuitslag bij een gezond persoon is 96%. - De kans op een positieve testuitslag bij een allergisch persoon is 95%. - De kans om allergisch te zijn in de beschouwde populatie bedraagt 1%. P(B A) = 095, 001, 0, 95 0, 01+ 0, 04 0, 99 0,19 15