STUDIE VAN WACHTLIJNMODELLEN VOOR KLANTEN MET DEADLINES

Transcriptie

1 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR STUDIE VAN WACHTLIJNMODELLEN VOOR KLANTEN MET DEADLINES Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur SOETKIN VERKEST onder leiding van Prof. H. BRUNEEL

2

3 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR STUDIE VAN WACHTLIJNMODELLEN VOOR KLANTEN MET DEADLINES Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur SOETKIN VERKEST onder leiding van Prof. H. BRUNEEL

4 Permission Ondergetekende verklaart dat de inhoud van deze masterproef mag geraadpleegd en/of gereproduceerd worden, mits bronvermelding. Soetkin Verkest i

5 Woord vooraf Tijdens mijn studies handelsingenieur heb ik al heel wat bijgeleerd over het reilen en zeilen in en rond bedrijven. Bedrijven bestaan uit verschillende afdelingen die elk hun verantwoordelijkheid hebben. Denk maar aan de afdelingen aankoop, logistiek, financiën, marketing & verkoop. Grote bedrijven zijn vaak slechts een schakel in de weg van grondstof naar eindproduct. Binnen deze bedrijfscontext gaat mijn interesse vooral uit naar de analyse van processen en systemen. Het optimaliseren en integreren van processen en systemen binnen de supply chain en zelfs binnen één bedrijfsschakel zijn taken waar altijd verbetering mogelijk is. Voor mijn masterproef wou ik dan ook graag een onderwerp dat hiertoe kon bijdragen. Aangezien tijd in deze maatschappij steeds meer als een schaarse factor wordt beschouwd, vond ik het onderwerp Studie van wachtlijnmodellen voor klanten met deadlines een interessante titel voor mijn masterproef. Het Time is what we want most, but... what we use worst. (Penn, 1682) leek me boeiend om wachtlijnsystemen, een fenomeen waar we dagelijks mee geconfronteerd worden, van naderbij te bestuderen. Om me meer in de materie in te werken, heb ik vorig jaar als keuzevak de cursus Wachtlijntheorie bij prof. Bruneel gevolgd (Bruneel, 2009). Verder wil ik via deze weg iedereen bedanken die mij bij het tot stand brengen van deze masterproef geholpen heeft. Eerst en vooral wil ik Tom Maertens bedanken voor de vele hulp die hij mij aangeboden heeft bij het schrijven van dit werk. Ik wil hierbij ook mijn promotor Prof. Dr. Ir. H. Bruneel bedanken voor het vertrouwen dat hij in mij heeft gesteld. Daarnaast wil ik ook nog enkele mensen bedanken die mij gesteund hebben tijdens het maken van deze masterproef, met name mijn ouders, mijn vriend en mijn kotgenoten. ii

6 Inhoudsopgave Hoofdstuk Inleiding Algemeen wachtlijnsysteem Wachtlijnsystemen voor klanten met deadlines De psychologie van het wachten Toepassingen Overzicht... 4 Hoofdstuk Literatuurstudie Modellen voor klanten met deadlines Discrete-tijd wachtlijnsysteem Hedendaagse telecommunicatienetwerken... 7 Hoofdstuk Mathematisch model Structuur van het wachtlijnsysteem Aankomstproces Bedieningsproces Wachtlijndiscipline Deadlines Verkorte notatie discrete-tijd wachtlijnsysteem Prestatiematen Hoofdstuk Analyse van de systeembezetting Systeemvergelijking Regimegedrag systeembezetting Bepaling onbekende constante iii

7 Hoofdstuk Momenten van de systeembezetting Gemiddelde waarde van de systeembezetting Eerste methode Tweede methode Variantie van de systeembezetting Hoofdstuk Analyse van het verliesproces Verliesproces Verliesdebiet Verlieskans Hoofdstuk Numerieke voorbeelden Binomiaal aankomstproces ATM-technologie ATM-schakelelement Verwachtingswaarde van de systeembezetting Variantie van de systeembezetting Verlieskans Stelling van Little Hoofdstuk De bedrijfscontext Hoofdstuk Besluit Bibliografie iv

8 Lijst van figuren 1.1 Elementaire structuur van een wachtlijnsysteem Eenvoudig voorbeeld synchrone transmissietijd Voorspelling wereldwijd gebruik internetverkeer Structuur van het wachtlijnsysteem Kans dat de deadline van klant A op het einde van een slot niet verloopt GI/1/1 Wachtlijnsysteem met verschoven geometrische deadline Toevalsgrootheden en op de tijdsas: illustratie Toevalsveranderlijke op de tijdsas: illustratie Een NxN-schakelelement Vereisten van een toepassing Verwachtingswaarden van de systeembezetting t.o.v de aankomstintensiteit Verwachtingswaarden van de systeembezetting t.o.v. de aankomstintensiteit bij en Verwachtingswaarden van de systeembezetting t.o.v. de kans dat een klant zijn deadline niet verloopt (σ) Variantie van de systeembezetting t.o.v. de aankomstintensiteit Variantie van de systeembezetting t.o.v. de kans dat een klant zijn deadline niet verloopt (σ) Verlieskans bij een wachtlijnsysteem met deadlines t.o.v. de aankomstintensiteit Verlieskans t.o.v. de kans dat een klant zijn deadline niet verloopt (σ) Gemiddelde vertragingstijd t.o.v. de aankomstintensiteit Gemiddelde vertragingstijd t.o.v. de kans dat de deadline van een klant niet verloopt (σ) Voorbeeld van een supply chain keten v

9 Lijst van tabellen 5.1 Afgeleiden F(z) en Ai(z) vi

10 Hoofdstuk 1 Inleiding 1.1 Algemeen wachtlijnsysteem Wachtlijnen zijn een bekend fenomeen in het dagelijkse leven. Iedereen kent de lange rijen van klanten die wachten op bediening bij de slager, de bakker, de bank, de ingang van een concertzaal of het treinloket. Het begrip klanten is in de wachtlijntheorie een algemene benaming voor entiteiten die in een wachtlijnsysteem binnenkomen en die bediening nodig hebben. De inrichting die de bediening aan deze klanten verstrekt, wordt in de wachtlijntheorie gewoonlijk als bedieningseenheid aangeduid. De term wachtlijn verwijst naar de plaats waar klanten hun beurt kunnen afwachten vooraleer ze bediend worden. Een wachtlijnsysteem duidt op het geheel van de bedieningseenheid en de bijhorende wachtlijn. Figuur 1.1: Elementaire structuur van een wachtlijnsysteem Een wachtlijn ontstaat wanneer, met de middelen waarover het systeem beschikt, er meer klanten in het systeem binnenkomen dan dat het systeem kan verwerken. Deze overbezetting van het systeem is meestal tijdelijk, waardoor het systeem alle wachtende klanten na verloop van tijd toch kan bedienen. 1

11 Klanten bieden zich bij het wachtlijnsysteem, voorgesteld in Figuur 1.1, aan om één of andere vorm van bediening te krijgen. De bedieningseenheid van het wachtlijnsysteem bestaat uit één of meerdere bedieningsstations die tegelijkertijd kunnen werken. Een bedieningsstation is een eenheid die één klant tegelijk de gevraagde diensten kan verstrekken. De wachtlijn waarin klanten terechtkomen als de bedieningseenheid volzet is, bestaat uit een aantal wachtplaatsen. Elke wachtplaats biedt ruimte voor één wachtende klant. Bij het aankomen van klanten in een klassiek wachtlijnsysteem kunnen zich drie verschillende situaties voordoen. Ten eerste kan een klant aankomen bij een wachtlijnsysteem en is er nog een bedieningsstation vrij. De klant zal onmiddellijk bediend worden. Ten tweede kan een klant aankomen bij een wachtlijnsysteem en vaststellen dat er geen bedieningsstation vrij is. De klant zal moeten wachten. Als laatste kan het voorkomen dat een klant niet wordt geaccepteerd in het wachtlijnsysteem omdat de wachtlijn reeds volzet is. Hierbij gaat de klant verloren. 1.2 Wachtlijnsystemen voor klanten met deadlines In klassieke wachtlijnsystemen kunnen klanten het systeem pas verlaten indien ze volledig bediend zijn. In deze masterproef bestuderen we wachtlijnsystemen waarbij klanten het systeem kunnen verlaten vooraleer ze (volledig) bediend zijn. In deze masterproef worden namelijk wachtlijnsystemen bestudeerd waarbij de aankomende klanten ieder een deadline hebben, met andere woorden, iedere klant heeft een maximum toelaatbare verblijftijd in het wachtlijnsysteem. Wanneer de deadline van een klant verstrijkt vóór de klant bediend kan worden, moet deze klant het systeem verlaten. Deze masterproef wil een antwoord bieden op twee onderzoeksvragen. Ten eerste zal worden nagegaan welke de invloed is van deadlines op wachtlijnsystemen. Belangrijke prestatiematen daarbij zijn de systeembezetting en het verliesproces. De verschillen en gelijkenissen met reeds bestudeerde wachtlijnsystemen zullen hier ook gemaakt worden. Als tweede doelstelling wordt de complexiteit van de wiskundige analyse nagegaan bij wachtlijnsystemen met deadlines. 2

12 1.3 De psychologie van het wachten Wachtlijnen kunnen voor de klant zichtbaar of onzichtbaar zijn. Deze twee soorten wachtlijnen lokken bij de klant een andere wachtreactie uit. Het onderstaande geval is een voorbeeld van een zichtbare wachtlijn waar de klant een deadline heeft tot het begin van de bediening. Indien een klant aankomt bij de bank, zal hij/zij eerst kijken hoeveel klanten voor hem bediend moeten worden. Indien deze geschatte wachttijd minder is dan de tijd die hij/zij wil wachten vooraleer hij/zij bediend wordt, zal de klant aanschuiven. Indien deze geschatte wachttijd meer is dan de tijd die deze klant wil wachten, zal de klant meestal onmiddellijk vertrekken en niet wachten. Eenmaal klanten besloten hebben om aan te schuiven, gaan ze de rij niet rap verlaten. Naarmate ze dichter bij het bedieningsloket komen, hebben ze meer geduld en zullen ze gemakkelijker langere bedieningstijden van klanten die voor hen zijn, tolereren. Dit geldt echter ook bij klanten met een deadline tot het einde van de bediening. Een voorbeeld hiervan is terug te vinden bij het downloaden van bestanden. Indien bestanden in het begin traag binnenkomen, zal de gebruiker waarschijnlijk afhaken. Indien bestanden eerst rap en erna trager binnenkomen, zal de gebruiker meer geduld hebben omdat het bestand al voor een deel gedownload is. Klanten die echter te maken hebben met een onzichtbare wachtlijn zullen meestal niet meteen het systeem verlaten. Denk maar aan een persoon die belt naar de klantendienst van een bedrijf. Indien de klant niet meteen binnengeraakt in het callcenter, zal hij/zij niet meteen opgeven. Na verloop van tijd kan de klant wel ontmoedigd geraken en afhaken. Deze wachtreactie is dus verschillend met de wachtreactie van een klant waarvoor de wachtlijn wel zichtbaar is, zoals het bovenstaande voorbeeld van de klant die naar de bank gaat. Dit verschil in reactie bij zichtbare of onzichtbare wachtlijnen komt enkel voor indien de klanten mensen zijn. Bij pakketten (bijvoorbeeld bits) is hier, logischerwijs, echter geen verschil. 1.4 Toepassingen Een wachtlijnsysteem met deadlines kan binnen de bedrijfscontext als model voor tal van praktische toepassingen gebruikt worden. Denk maar aan het stockeren van 3

13 bederfbare producten in winkels of distributiecentra. Deze producten mogen niet langer verkocht worden indien hun houdbaarheidsdatum verstreken is. De houdbaarheidsdatum stelt in dit geval de deadline van de productenverkoop voor. Naast goederenstromen, die het proces voorstellen van grondstof tot finaal product, zijn er in bedrijven ook heel wat informatiestromen. Deze zorgen ervoor dat data met betrekking tot bepaalde producten, productieprocessen, aankopen, verkopen of marketingacties zo snel mogelijk verstuurd worden naar de betrokken afdeling. Deze informatiestromen moeten steeds up-to-date zijn, zodanig dat alle afdelingen alles kunnen opvolgen en zodat ze kunnen inspelen op veranderingen. Informatiestromen zijn eveneens onderhevig aan deadlines. Enkele voorbeelden zijn real-time toepassingen en berekeningen, statistische procescontrole en geautomatiseerde fabricage (Movaghar, On queueing with customer impatience until the beginning of service, 1998). Een voorbeeld van statistische procescontrole is terug te vinden bij de fabricage van goederen. Indien foutmeldingen bij een productieproces namelijk niet op tijd worden doorgegeven aan de operator van een machine, zal de machine na verloop van tijd blokkeren en gaat er winst verloren. De rol van het internet als hedendaags telecommunicatienetwerk is bij deze informatiestromen van cruciaal belang. Wanneer de tijdsvertraging bij de doorstroom van gegevens te hoog oploopt, kan het gebeuren dat het niet meer zinvol is dat deze gegevens alsnog bij de eindgebruiker terecht komen. Het optimaliseren van deze wachtlijnsystemen zorgt ervoor dat bedrijven competitief kunnen blijven binnen hun sector. In deze inleiding gaan we hier niet verder op in. 1.5 Overzicht In hoofdstuk 2 wordt een beknopte literatuurstudie gegeven met betrekking tot dergelijke wachtlijnsystemen. Hoofdstuk 3 geeft een korte beschrijving van het mathematisch model dat in de daaropvolgende hoofdstukken geanalyseerd zal worden. In hoofdstukken 4 en 5 wordt de systeembezetting onderzocht. In hoofdstuk 6 gaan we nader in op het berekenen van de verlieskans. Numerieke voorbeelden waarbij enkele prestatiematen bestudeerd worden, zijn terug te vinden in hoofdstuk 7. In hoofdstuk 8 bespreken we wachtlijnsystemen in de bedrijfscontext en in hoofdstuk 9 trekken we enkele conclusies. 4

14 Hoofdstuk 2 Literatuurstudie 2.1 Modellen voor klanten met deadlines In deze masterproef bestuderen we wachtlijnsystemen waarbij klanten het systeem kunnen verlaten vooraleer ze (volledig) bediend zijn. De literatuur met betrekking tot dit onderwerp is beperkt. Toch zijn er heel wat toepassingen te vinden. In de literatuur wordt vaak verwezen naar het begrip impatient customers, hier vrij vertaald als ongeduldige klanten. Een ongeduldige klant heeft een deadline wanneer hij het wachtlijnsysteem binnenkomt. Indien de klant niet bediend wordt vooraleer zijn deadline verloopt, verlaat hij het systeem. Barrer was één van de eersten die een wachtlijnsysteem met deadlines bestudeerde. Hij ging hierbij uit van een wachtlijnmodel met Markoviaanse aankomst- en bedieningsprocessen, één bedieningsstation en een first-come-first-served (FCFS) wachtlijndiscipline. De bestudeerde deadline had een deterministische verdeling (Barrer, 1957). In heel wat modellen wordt de deadline algemeen (General) beschouwd. Via numerieke voorbeelden wordt dan gekeken naar de verschillen tussen specifieke verdelingen voor deadlines. De deterministisch verdeelde deadline is in deze numerieke voorbeelden het meest besproken. Enkele voorbeelden zijn terug te vinden in (Cohen, 1968) en (Barrer, 1957). Bij een deterministische verdeling bestaat de deadline van elke klant uit een vast aantal slots. Naast de deterministisch verdeelde deadline worden in de literatuur ook nog andere verdelingen onderzocht zoals bijvoorbeeld de exponentiële verdeling uit de continue tijd (Ancker & Gafarian, 1963). In de literatuur wordt er een onderscheid gemaakt tussen een deadline tot het begin van de bediening en een deadline tot het einde van de bediening. In het eerste geval kunnen klanten die bediend worden niet meer uit het wachtlijnsysteem verwijderd worden indien hun deadline verstrijkt tijdens de bediening. Zij kunnen enkel het 5

15 wachtlijnsysteem verlaten indien hun deadline verstreken is vooraleer de werkelijke bediening begonnen is (Movaghar, On queueing with customer impatience until the beginning of service, 1998). In het tweede geval loopt de deadline tot het einde van de bediening en kan de klant op elk moment het wachtlijnsysteem verlaten (Movaghar, On queueing with customer impatience until the end of service, 2005). De wachtlijnmodellen die in deze twee werkstukken van Movaghar bestudeerd worden, zijn van continue aard. 2.2 Discrete-tijd wachtlijnsysteem Zoals reeds hierboven vermeld, gaan we in deze masterproef uit van een discrete-tijd wachtlijnsysteem. De discrete tijdsschaal veronderstelt dat de tijd opgesplitst is in intervallen van een vaste lengte. Deze intervallen worden slots genoemd. Bediening kan enkel aanvangen op slotgrenzen, waardoor de bediening van een aangekomen klant ten vroegste kan starten bij het begin van het slot na zijn aankomstslot. De bedieningstijd wordt eveneens uitgedrukt in een geheel aantal slots, waardoor klanten het systeem enkel kunnen verlaten op slotgrenzen. Figuur 2.1: Eenvoudig voorbeeld synchrone transmissietijd De transmissie van een klant in de discrete tijd begint en eindigt dus steeds op een slotgrens. Dit wordt geïllustreerd aan de hand van Figuur 2.1. Een klant komt toe op tijdstip A. Indien er op dat moment geen andere klanten in de wachtlijn zijn, start de bediening van deze klant op tijdstip B. Als de bedieningstijd gelijk is aan één slot, verlaat de klant het systeem op tijdstip C. In de continue tijd kan de bediening van deze klant, indien er zich geen andere klanten in de wachtlijn bevinden, onmiddellijk beginnen op tijdstip A. Als de slots echter voldoende klein zijn, kan het discrete-tijd wachtlijnsysteem ook gebruikt worden als een benadering van gelijkaardige modellen in de continue tijd. 6

16 De discrete tijdsschaal krijgt steeds meer aandacht van de telecommunicatiesector, zeker nu de transmissie van informatie steeds sneller en in grotere hoeveelheden verloopt. Heel wat elementen in dit domein zijn immers gebaseerd op synchrone transmissie. Denk maar aan de centrale verwerkingseenheid in computersystemen en de communicatiekanalen die spraak, data of videobeelden versturen. Deze real-time informatiestromen worden steeds belangrijker voor bedrijven. In het volgende onderdeel gaan we kort in op deze hedendaagse telecommunicatienetwerken. 2.3 Hedendaagse telecommunicatienetwerken In telefoonnetwerken kunnen wachtlijnen ontstaan bij telefoonoproepen die op een vrije lijn in de centrale wachten. Indien klanten te lang moeten wachten om connectie te krijgen, geraken ze ontmoedigd en hangen ze op. Dit is een klassiek voorbeeld waarbij twee punten met elkaar verbonden worden. Met de blijvende stijging van het internetgebruik en de opkomst van 3G smartphones en het mobiel internet, staat de digitale telecommunicatiewereld voor een nieuwe uitdaging. Communicatiepatronen evolueren van netwerken waar twee gebruikers persoonlijk met elkaar verbonden zijn naar multidirectionele netwerken waar verschillende gebruikers met elkaar kunnen communiceren. Denk maar aan MySpace, Facebook, Youtube and Skype. Deze sociale netwerken zijn voorbeelden van platformen waar gebruikers onderling meningen, links, video s, foto s en andere multimedia delen. Volgens schattingen zullen er in 2011 meer dan twee miljard mensen actief gebruik maken van het internet. Figuur 2.2: Voorspelling wereldwijd gebruik internetverkeer

17 Op Figuur 2.2 is te zien dat in 2012 de verschillende vormen van online video (internet video to TV, internet video to PC en peer-to-peer netwerken) bijna 90% van het IPverkeer zullen innemen (Van den Dam, Nelson, & Lozinski, 2008). De hedendaagse digitale telecommunicatienetwerken zullen in de toekomst rekening moeten houden met deze stijgende vraag. Ze zullen er dus voor moeten zorgen dat de netwerkcapaciteit voldoende groot is om piekmomenten te overbruggen. Gebruikers kunnen video-bestanden verkrijgen via streaming (Youtube) of via downloaden (itunes). Bij streaming moet het bestand niet eerst gedownload worden en kan de gebruiker bijna onmiddellijk het bestand afspelen. Het mediabestand zal hierdoor wel nooit volledig bij de gebruiker aanwezig zijn. Bij downloaden kan de gebruiker het bestand pas afspelen als het volledig binnengehaald is. De tijd die nodig is om multimediabestanden te streamen of te downloaden is afhankelijk van de totale capaciteit van de server en het aantal gebruikers die tegelijkertijd deze capaciteit moeten delen. Indien dit, volgens de gebruiker te traag gaat, zullen klanten afhaken. We merken hier dus opnieuw het wachtlijnprobleem waarbij klanten deadlines hebben. In de paper het online ter beschikking stellen van TV diensten (Hoβfeld, Leibnitz, & Remiche, 2007) wordt deze problematiek nader onderzocht. In deze paper gaat men het effect op de server na van klanten die tijdens de bediening afhaken. Eerst geeft men een korte uitleg over de online TV diensten die men zal onderzoeken. In een tweede deel wordt een M/M/1 n -model in de continue tijd opgebouwd. De karakteristieken van dit model zijn: een Poisson-aankomstproces, exponentiële bedieningstijden en één bedieningseenheid die tot n klanten tegelijk kan bedienen. De bandbreedtebeperking van de klant zelf is eveneens in rekening gebracht. De wachtlijn voor klanten wordt oneindig groot beschouwd. Men gaat uit van een exponentieel verdeelde deadline. Dit model bestudeert men in het derde deel verder aan de hand van numerieke voorbeelden, waarbij men gegevens van de website OnlineTVRecorder.com gebruikt. Men besluit dat de kans dat een gebruiker niet afhaakt tijdens het downloaden tot op een bepaald punt exponentieel toeneemt bij een proportionele stijging van de capaciteit van de server. De bedoeling van deze paper is nu om dit resultaat te gebruiken om verdeelnetwerken te ontwerpen met een hogere betrouwbaarheid naar de gebruikers toe. 8

18 In de literatuur zijn nog heel wat toepassingen van klanten met deadlines terug te vinden waar telecommunicatienetwerken worden bestudeerd. Een ander voorbeeld waar men het effect van ongeduldige klanten nagaat, is te vinden in (Garnett, 1998). In deze thesis onderzoekt Garnett de invloed van ongeduldige klanten op de efficiëntie en het service level in callcenters. Efficiëntie wijst hier naar het minimaliseren van de kosten, terwijl service level refereert naar de snelheid en dus de kwaliteit waarmee callcenters hun klanten kunnen bedienen. De studie focust zich op het continue M/M/N model met exponentiële deadline. Zowel modellen met een eindige als oneindige opslagcapaciteit worden bestudeerd. In een latere studie (Garnett, Mandelbaum, & Reiman, 2002) gaat men hier verder op in en leidt men vuistregels af voor de personeelsplanning van grote callcenters, met als doelstelling de som van personeelskosten, wacht- en verlatingskosten van klanten te minimaliseren. Ze ontwikkelden met andere woorden een model waar men tracht een optimaal evenwicht te vinden tussen de efficiëntie en het service level in een callcenter. Gebaseerd op deze en andere werken, bestudeerde Zeltyn ook nog het M/M/N model met algemene deadlines (Zeltyn, 2004). Onderzoek met betrekking tot de personeelsplanning bij callcenters is nog steeds aan de gang. Recent kwam nog een paper uit waar men bovenop het M/M/N model met algemene deadlines, eveneens rekening hield met een kostenbeperking (Mandelbaum & Zeltyn, 2009). Nadat we in dit hoofdstuk kort hebben toegelicht wat er reeds te vinden is in de literatuur, zullen we in het volgende hoofdstuk het wachtlijnmodel beschrijven dat in deze masterproef onderzocht zal worden. 9

19 Hoofdstuk 3 Mathematisch model In dit hoofdstuk beschrijven we het wachtlijnmodel dat we in het vervolg van deze masterproef zullen analyseren. 3.1 Structuur van het wachtlijnsysteem We beschouwen een discrete-tijd wachtlijnsysteem met een oneindige opslagcapaciteit en één bedieningsstation. Dit wachtlijnsysteem wordt voorgesteld in Figuur 3.1. Figuur 3.1: Structuur van het wachtlijnsysteem De discrete-tijdsschaal veronderstelt dat de tijd opgesplitst is in intervallen van gelijke lengte, slots genaamd. Wachtlijnen worden gebruikt voor de tijdelijke opslag van klanten die wachten op bediening. Een oneindige opslagcapaciteit van een wachtlijn betekent dat klanten onbeperkt in het wachtlijnsysteem kunnen aankomen zonder dat klanten verloren gaan vanwege een vol wachtlijnsysteem. Een oneindige wachtlijn bestaat in werkelijkheid niet, maar is een realistische benadering voor een systeem met een grote, eindige wachtlijn die zelden volledig bezet is. Het bedieningsstation zorgt voor de bediening van een klant. Wachtlijnsystemen bevatten één bedieningseenheid die uit één of meerdere bedieningsstations bestaan. In deze masterproef beschouwen we een wachtlijnsysteem met één bedieningsstation. 10

20 3.2 Aankomstproces Het aankomstproces beschrijft de mate waarin en de manier waarop klanten aankomen in het systeem. Aangezien dit proces van een onzekere en onvoorspelbare aard is, drukken we het proces uit op een stochastische wijze. In deze masterproef veronderstellen we een ongecorreleerd aankomstproces. Het aantal aankomsten tijdens slot wordt aangeduid door. De zijn onafhankelijk en identisch gedistribueerd van slot tot slot. De massafunctie van wordt gedefinieerd als, i.e., (3.1) De distributie van kan eveneens gekarakteriseerd worden aan de hand van een probabiliteitsgenererende functie (pgf). Deze wordt gedefinieerd als. Hierbij is z een complexe veranderlijke. De pgf stelt de z-getransformeerde van de massafunctie voor, (3.2) De aankomstintensiteit geeft het gemiddeld aantal aankomsten per slot weer. Deze bekomen we via de momentgenererende eigenschap: door de pgf eenmaal af te leiden en z gelijk te stellen aan 1. De aankomstintensiteit wordt aangeduid door de parameter λ : = E (1). (3.3) In de numerieke voorbeelden zal het aankomstproces nader gespecificeerd worden zodanig dat we de invloed van de verschillende systeemparameters op de prestatiematen kunnen nagaan. 11

21 3.3 Bedieningsproces We vertrekken van een systeem met één bedieningsstation zonder onderbrekingen. Er kan dus slechts één klant per keer bediend worden. De tijdsas is ingedeeld in slots en de transmissietijd van één klant bedraagt één slot. De bediening kan enkel aanvangen (en eindigen) op slotgrenzen. Nieuw aankomende klanten worden dus verondersteld ten vroegste bij het begin van het slot volgend op het aankomstslot bediend te kunnen worden. 3.4 Wachtlijndiscipline De term wachtlijndiscipline wordt gebruikt om de volgorde aan te duiden waarin klanten bediend worden. De wachtlijndiscipline die we in dit wachtlijnmodel hanteren is First-Come-First-Served (FCFS). De klant die eerst aankomt in het systeem, zal eerst bediend worden. Naast deze heb je in de literatuur nog tal van andere wachtlijndisciplines. Enkele voorbeelden zijn Last-Come-First-Served (LCFS), prioriteitsdiscipline (PR), random selection for service (RSS) en processor sharing (PS). 3.5 Deadlines Zoals reeds vermeld in de inleiding heeft elke klant een deadline: elke klant die zich in de wachtlijn bevindt heeft op het einde van ieder slot, zonder hierbij te kijken naar de toestand van de server, een kans σ om in de wachtlijn te blijven en een kans om de wachtlijn te verlaten zonder bediend geweest te zijn. Merk op dat aankomende klanten het systeem niet kunnen verlaten op het einde van hun aankomstslot. Dit wordt geïllustreerd aan de hand van Figuur 3.2. Figuur 3.2: Kans dat de deadline van klant A op het einde van een slot niet verloopt 12

22 We hebben dus een verschoven geometrische deadline. De massafunctie kans weer dat de deadline van één klant gelijk is aan n slots: geeft de (3.4) De bijhorende probabiliteitsgenererende functie wordt hieronder weergegeven: (3.5) Aangezien de wachtlijn oneindig groot wordt verondersteld, kunnen eenheden enkel verloren gaan indien hun deadline verloopt. 3.6 Verkorte notatie discrete-tijd wachtlijnsysteem Het wachtlijnsysteem dat in deze masterproef bestudeerd wordt, wordt nog eens geïllustreerd in onderstaande Figuur 3.2. Figuur 3.3: GI/1/1 Wachtlijnsysteem met verschoven geometrische deadline We maken hierbij gebruik van de Kendall-notatie A B m K. Deze verkorte notatie wordt gebruikt om een type wachtlijnsysteem te specificeren. De symbolen A en B verwijzen naar de distributie van de aankomsten en de bediening. We beschouwen hierbij een algemene discrete aankomstdistributie waarbij de toevalsgrootheden onderling onafhankelijk zijn. De Kendall-notatie kort dit af als GI (general independent). Aangezien de bedieningstijd van één klant gelijk is aan één slot, kunnen 13

23 we constateren dat het bedieningsproces een deterministische distributie heeft, wat afgekort wordt als 1. Het symbool m duidt het aantal parallelle uitgangskanalen aan. Zoals hierboven reeds vermeld is, bevat dit wachtlijnsysteem slechts één uitgangskanaal. Het symbool K refereert naar de opslagcapaciteit van het wachtlijnsysteem. Indien deze grootheid oneindig groot is, wordt K niet opgegeven, wat hier het geval is. Samengevat geeft dit een GI 1 1 wachtlijnsysteem met verschoven geometrische deadline. 3.7 Prestatiematen De grootheden die van belang zijn bij het bestuderen van een dergelijk systeem zijn: Systeembezetting: het aantal klanten die zich in het systeem bevinden, Vertragingstijd: de tijd die een klant in het wachtlijnsysteem doorbrengt, Verliesproces: het aantal klanten die het systeem verlaten vooraleer ze bediend zijn. Aangezien het in- en uitgangsproces beschreven is door middel van een discreet toevalsproces, zijn de hierboven vermelde grootheden ook discrete toevalsgrootheden. De systeembezetting wordt beschreven in hoofdstuk 4 en 5. De gemiddelde vertragingstijd wordt in hoofdstuk 7 kort toegelicht aan de hand van de stelling van Little. Het verliesproces wordt beschreven in hoofdstuk 6. Kort samengevat vertrekken we bij dit model vanuit een wachtlijnsysteem met een oneindige wachtlijn, met één uitgangskanaal, een algemeen ongecorreleerd ingangsproces en bedieningstijden die deterministisch gelijk zijn aan één slot. De klanten zijn onderhevig aan deadlines, waardoor het mogelijk is dat een klant onbediend het wachtlijnsysteem verlaat. 14

24 Hoofdstuk 4 Analyse van de systeembezetting In dit hoofdstuk wordt het regimegedrag van de systeembezetting bij het begin van een slot bestudeerd. De systeembezetting geeft het aantal klanten weer die zich in het systeem bevinden. Eerst stellen we de systeemvergelijking van de systeembezetting op. Vervolgens zetten we deze systeemvergelijking om naar probabiliteitsgenererende functies. Daarbij veronderstellen we dat het systeem naar een evenwichtstoestand evolueert. Deze evenwichtstoestand is alleen bereikbaar als het systeem voldoet aan de evenwichtsvoorwaarde die zegt dat het gemiddeld aantal inkomende klanten gelijk moet zijn aan het gemiddeld aantal uitgaande klanten. Tenslotte bepalen we een numerieke procedure om de onbekende constante te berekenen. In hoofdstuk 5 leiden we de eerste twee momenten van de systeembezetting af met de daarbij horende variantie. In hoofdstuk 7 bestuderen we het effect van de systeemparameters op de gemiddelde systeembezetting en de variantie van de systeembezetting. 4.1 Systeemvergelijking We duiden de systeembezetting bij het begin van slot k aan met probabiliteitsgenererende functie van is gedefinieerd als:. De (4.1) De systeembezetting evolueert van slot k naar slot volgens: (4.2) 15

25 Deze toevalsgrootheden worden op de tijdsas voorgesteld in onderstaande Figuur 4.1. Figuur 4.1: Toevalsgrootheden en op de tijdsas: illustratie De toevalsgrootheid neemt de waarde 1 aan als de klant in het systeem blijft op het einde van slot en de waarde 0 als de klant het systeem verlaat op het einde van het slot. Elke klant die zich in de wachtlijn bevindt, heeft een deadline die op het einde van slot k met kans verstrijkt. In dat geval verlaat de klant het systeem zonder bediend te zijn. Anderzijds heeft elke klant een kans σ om, op het einde van slot k, in het systeem te blijven. De massafunctie wordt dus gedefinieerd als: (4.3) De zijn onafhankelijke Bernoulli-toevalsgrootheden met parameter σ. Aangezien de onafhankelijk en identisch verdeeld zijn, kunnen we de gemeenschappelijke probabiliteitsgenererende functie definiëren: (4.4) De notatie, die deel uitmaakt van de systeemvergelijking, wordt gebruikt om de grootheid aan te duiden. Van alle klanten die zich bij het begin van slot in het systeem bevinden, als er tenminste klanten aanwezig zijn op het einde van het voorgaande slot, gaat er één naar het bedieningsstation. Elke overige klant blijft in het systeem met kans σ en verlaat het systeem met kans De term geeft dan het aantal klanten weer die in het systeem zijn op het einde van slot. Deze term is gelijk aan 0 indien er zich bij de aanvang van slot geen klanten in de wachtlijn bevinden of doordat de deadline van alle klanten in de wachtlijn verstrijkt. 16

26 Daarnaast komen in slot ook nieuwe klanten toe. Zij worden in de systeemvergelijking weergegeven door de discrete toevalsveranderlijke. De rij vormt, bij onderstelling, een rij van onafhankelijk gelijk verdeelde toevalsgrootheden met algemene massafunctie en genererende functie. Deze werden reeds in het vorige hoofdstuk (vergelijking 3.1) beschreven, i.e., 4.2 Regimegedrag systeembezetting (4.5) Uitgaande van de systeemvergelijking (4.2) en de gekende distributies van en kan de distributie van de systeembezetting bepaald worden. Daarvoor zetten we de systeemvergelijking om naar pgfs: of wegens de statistische onafhankelijkheid van het aankomstproces van slot tot slot, (4.6) (4.7) De eerste factor van (4.7) wordt hieronder verder berekend met behulp van de wet voor de totale verwachtingswaarde: Met leidt dit verder tot: 17

27 (4.8) De tweede factor van vergelijking (4.7) is de genererende functie die het ingangsproces weergeeft. Door het samenvoegen van voorgaande berekeningen, bekomen we: (4.9) Indien we de tijdsparameter onbeperkt laten toenemen in vergelijking (4.9), convergeren de genererende functies en beiden naar de limietfunctie. Op die manier vinden we de volgende functionele vergelijking voor de pgf van de systeembezetting bij het begin van een willekeurig slot in stochastisch regime: (4.10) Om verdere berekeningen leesbaarder te maken wordt gedefinieerd als: Hierdoor kunnen we vergelijking (4.10) herschrijven als: (4.11) 18

28 Deze functionele vergelijking is eigenlijk niets anders dan een relatie tussen en. We gebruiken nu deze relatie om impliciet te bepalen, via een iteratieve procedure. Hiervoor definiëren we eerst : Gebruik makend van de definitie van kunnen we nu herschrijven als: (4.12) (4.13) In vergelijking (4.13) werken we volledig uit, weergegeven in het rood: (4.14) In vergelijking (4.14) werken we nu volledig uit, weergegeven in het groen: + (4.15) 19

29 In vergelijking (4.15) kan nu volledig uitgeschreven worden. Via deze iteratieve procedure bekomen we dan uiteindelijk het volgende resultaat: Voor geldt verder dat: (4.16) (4.16) wordt dan: (4.17) (4.18) Rekening houdend met het feit dat de limiet voor 1 gaande naar oneindig van 1 gaat doordat σ tussen 0 en 1 ligt, i.e., naar (4.19) 20

30 We krijgen uiteindelijk, samen met het invullen van de normeringsvoorwaarde, het volgend resultaat: (4.20) Vanuit deze vergelijking, waarbij afgezonderd is in het linkerlid, is het nu mogelijk om de onbekende constante te berekenen. In hoofdstuk 5 zullen we deze vergelijking verder gebruiken als vertrekpunt voor het berekenen van de eerste twee momenten van de systeembezetting. 4.3 Bepaling onbekende constante Door in vergelijking (4.20) gelijk te stellen aan 0, bekomen we voor : (4.21) We stellen echter vast dat de term naar 1 convergeert voor een grote waarde van, want (4.22) en dus voor grote waarden van i. Als gevolg hiervan zal de term eveneens naar 1 convergeren voor een grote waarde van. Stel voor dat, dan wordt : (4.23) (4.24) 21

31 Hierdoor hoeven we het product van de termen voor lopende van 0 tot enkel te laten lopen tot de waarde aangezien dit toch geen effect zal hebben op het resultaat en de berekening enkel bemoeilijkt wordt. geeft de kans weer op een ledig systeem. Deze is afhankelijk van het aankomstproces en de waarde voor σ. Aangezien de term deel uitmaakt van de systeembezetting, zullen we vergelijking (4.24) in hoofdstuk 7 nodig hebben bij de numerieke voorbeelden. 22

32 Hoofdstuk 5 Momenten van de systeembezetting In dit hoofdstuk worden de eerste twee momenten van de systeembezetting berekend, waaruit we de gemiddelde systeembezetting en de variantie van de systeembezetting bepalen. In hoofdstuk 7 zullen we deze formules gebruiken bij de numerieke voorbeelden. 5.1 Gemiddelde waarde van de systeembezetting Eerste methode De gemiddelde systeembezetting kan op twee manieren berekend worden. Eerst berekenen we de gemiddelde systeembezetting aan de hand van de functionele vergelijking (4.11). We zonderen daarvoor af: Vervolgens vervangen we door : (5.1) (5.2) Indien we in vergelijking (5.2) gelijk stellen aan 1, zijn zowel de noemer als de teller 0. Met behulp van de regel van de l Hôpital bekomen we uiteindelijk het volgend resultaat: (5.3) 23

33 Indien we in deze vergelijking z gelijk stellen aan 1 bekomen we: Door gebruik te maken van de definitie van, i.e., (5.4) (5.5) Kunnen we vergelijking (5.4), rekening houdend met en, als volgt schrijven: (5.6) Als we afzonderen, bekomen we een formule voor de gemiddelde systeembezetting: (5.7) Dit is een eenvoudige manier om de gemiddelde systeembezetting te berekenen. Via deze manier is het echter wel niet mogelijk om de variantie van de systeembezetting te berekenen. 24

34 5.1.2 Tweede methode Ten tweede kan de gemiddelde systeembezetting berekend worden, vertrekkende van vergelijking (4.11), die we hieronder nog eens neerschrijven: Na enig rekenwerk leidt dit tot de volgende afgeleide: (5.8) (5.9) Later in dit hoofdstuk zullen we verder bouwen op deze formule om de variantie van de systeembezetting te berekenen. Uit vergelijking (5.9) kan verder de gemiddelde systeembezetting berekend worden, door in deze vergelijking te stellen: Zoals verwacht zijn vergelijkingen (5.7) en (5.10) gelijk aan elkaar. (5.10) 25

35 5.2 Variantie van de systeembezetting De variantie van de systeembezetting kunnen we berekenen via volgende formule: (5.11) De laatste twee termen kunnen we aan de hand van vergelijking (5.7) gemakkelijk berekenen. De eerste term is de tweede afgeleide van, voor. De berekening van deze term is nogal complex en wordt hieronder weergegeven. Om de tweede afgeleide van te berekenen vertrekken we vanuit (5.9),i.e., We leiden deze vergelijking nogmaals af: (5.12) 26

36 Vervolgens stellen we z gelijk aan 1 in vergelijking (5.10): (5.13) Voor de functies en geldt dat: Tabel 5.1: Afgeleiden F(z) en A i(z) 27

37 Met behulp van Tabel (5.1) kan vergelijking (5.13) vereenvoudigd worden tot de volgende uitdrukking: (5.14) De term kunnen we als volgt uitwerken: (5.15) De term kan op een gelijke manier uitgewerkt worden: (5.16) 28

38 Dit geeft de volgende vergelijking voor : (5.17) De variantie van de systeembezetting bekomen we uiteindelijk door: Mits enige vereenvoudiging wordt dit: (5.18) (5.19) 29

39 Hoofdstuk 6 Analyse van het verliesproces 6.1 Verliesproces Om het verliesproces te bestuderen, bekijken we eerst wanneer klanten op het eind van een slot in het systeem blijven en wanneer ze het systeem verlaten. Van alle klanten die zich bij het begin van slot in het systeem bevinden, als er tenminste klanten aanwezig zijn, gaat er één naar het bedieningsstation. Elke overige klant die zich bij het begin van slot in het systeem bevindt, heeft een deadline die op het einde van het slot met kans verstrijkt waarbij de klant het systeem verlaat zonder bediening. Elke klant heeft dus een kans σ dat zijn deadline nog niet verstrijkt op het einde van slot en σ geeft dus de kans weer dat de klant in het systeem blijft. We definiëren als een toevalsgrootheid die weergeeft of een klant het systeem verlaat op het einde van een slot. De toevalsgrootheid neemt de waarde 1 aan als de klant het systeem verlaat en de waarde 0 als de klant in het systeem blijft. Merk op dat deze toevalsgrootheid het complement voorstelt van de toevalsgrootheid (zie supra 4.1). De massafunctie wordt gedefinieerd als: (6.1) De zijn onafhankelijke Bernoulli-toevalsgrootheden met parameter. Aangezien de onafhankelijk en identisch verdeeld zijn, kunnen we een gemeenschappelijke pgf definiëren: (6.2) 30

40 Om het verliesproces te bepalen, stellen we de toevalsgrootheid toevalsgrootheid geeft het aantal klanten weer dat verloren gaat in slot : op. De (6.3) De toevalsveranderlijke wordt visueel op de tijdsas voorgesteld in Figuur 6.1. De andere toevalsveranderlijken uit Figuur 6.1 zijn in hoofdstuk 4 gedefinieerd. Figuur 6.1: Toevalsveranderlijke op de tijdsas: illustratie. De term geeft het totaal aantal klanten weer die in het systeem waren in het begin van slot k en waarvan hun deadline verstrijkt op het einde van slot. Deze term is gelijk aan 0 indien er zich bij de aanvang van slot geen klanten in de wachtlijn bevinden of indien de deadline van alle klanten in de wachtlijn verstrijkt. Hieronder wordt weergegeven hoe de probabiliteitsgenererende functie L(z) wordt bekomen: (6.4) 31

41 Met wordt dit: (6.5) Deze vergelijking geeft het regimegedrag weer van het aantal klanten dat verloren gaat op het einde van een willekeurig slot. Alle factoren uit deze vergelijking zijn gekend. 6.2 Verliesdebiet Het verliesdebiet geeft het gemiddeld aantal klanten weer die verloren gaan in een willekeurig slot in regime. Het wordt berekend aan de hand van de volgende formule: Door eenmaal af te leiden, vinden we: (6.6) Als we in deze uitdrukking gelijk stellen aan 1, leidt dit tot: (6.7) Indien we in deze berekening invullen, geeft dit: (6.8) (6.9) 32

42 6.3 Verlieskans De verlieskans geeft de fractie weer van het aantal klanten die verloren gaan in een slot. De verlieskans geeft dus de verhouding van het verliesdebiet op de aankomstintensiteit weer: (6.10) Op het eerste zicht lijkt het dat de parameter σ geen invloed heeft op de verlieskans. Dit is echter maar schijn. Via de constante is dit namelijk wel het geval. De verlieskans varieert echter indien verschillende waarden van λ en σ optreden. We zullen dit in het volgende hoofdstuk aan de hand van numerieke voorbeelden illustreren. 33

43 Hoofdstuk 7 Numerieke voorbeelden In dit hoofdstuk worden de resultaten uit de vorige hoofdstukken toegepast. 7.1 Binomiaal aankomstproces We beschouwen een binomiale aankomstdistributie met parameters N en distributie wordt gekenmerkt door de massafunctie,. Deze en de probabiliteitsgenererende functie, (7.1) (7.2) Figuur 7.1: Een NxN-schakelelement Deze distributie beschrijft het aankomstproces in een uitgangswachtlijn van een ATMschakelelement met N ingangslijnen en N uitgangslijnen (Figuur 7.1). In dit onderdeel leggen we eerst kort uit wat ATM in het algemeen is. Daarna lichten we één ATMschakelelement toe, dat zich in een ATM-netwerk bevindt. Binnen de ATM-technologie spreekt men niet over klanten, maar over cellen. In deze masterproef nemen we deze terminologie enkel over bij de uitleg van de ATM-technologie en het ATM- 34

44 schakelelement. Om consistent te blijven met de berekeningen in de rest van deze masterproef, zullen we bij de bespreking van de gemiddelde systeembezetting, de variantie van de systeembezetting, de verlieskans en de gemiddelde vertragingstijd, terug gebruik maken van het begrip klant. 7.2 ATM-technologie ATM-technologie is een techniek om breedbandnetwerken te implementeren. Breedbandnetwerken zijn communicatielijnen die tegelijkertijd verschillende multimedia-toepassingen kunnen ondersteunen. Een ATM-netwerk bestaat uit verschillende ATM-schakelelementen die met elkaar verbonden zijn. Het aantal poorten van een schakelelement is beperkt. ATM wordt hierdoor niet gebruikt tussen eindstations (individuele gebruikers), maar voor verkeer tussen centrales onderling. Voor de verspreiding van ATM-verkeer op grote schaal, maakt men onder andere gebruik van het welgekende ADSL. Figuur 7.2: Vereisten van een toepassing 35

45 Zoals te zien is op Figuur 7.2 kunnen toepassingen met verschillende vereisten, uitgedrukt in duurtijd (seconden) en snelheid (bits per seconde), ondersteund worden door ATM. High quality video vereist de langste continue stroom van gegevens over het netwerk aan een snelheid van ongeveer 1 Gbps (Gigabits per seconde). High quality video is een real-time multimedia toepassing. Real-time multimedia vereist een hoge bandbreedte waar er bij het transporteren slechts een kleine vertraging wordt toegelaten. De tijd die een cel dus krijgt om van bron tot bestemming te geraken wordt beperkt door een deadline, die de maximale tijd weergeeft. Een cel die na deze deadline op zijn bestemming komt, is waardeloos. Er zijn twee oplossingen: ofwel moet er aan de verbinding een voldoende grote bandbreedte toegekend worden zodanig dat de tijdslimiet zeker gehaald wordt en de vertraging voldoende klein is; ofwel moet men gebruik maken van priorititeitsdisciplines waarbij cellen op basis van hun deadline voorrang krijgen ten opzichte van andere cellen (Ferdi). 7.3 ATM-schakelelement Een specifiek onderdeel van een ATM-netwerk is een ATM-schakelelement. Een schakelelement heeft een aantal ingangslijnen en een aantal uitgangslijnen. Cellen komen bij elke ingang aan met een snelheid van maximum één cel per slot. De aankomsten aan de ingangslijnen worden gegenereerd door i.i.d. Bernoulli-processen met aankomstintensiteit λ. Inkomende cellen worden dan gerouteerd naar de uitgangslijn die overeenstemt met hun bestemming, op een onafhankelijke en uniforme wijze. Het schakelelement zorgt er dus voor dat de cellen die aankomen worden doorgestuurd naar de juiste uitgang. Aangezien er in hetzelfde slot, door de aanwezigheid van verschillende ingangen, meerdere cellen kunnen aankomen voor eenzelfde uitgangslijn, kan er een conflict ontstaan. Cellen zullen in een bufferruimte voor de uitgang moeten wachten. Alle uitgangsbuffers gedragen zich onderling identiek doordat inkomende cellen, zoals reeds vermeld, op een onafhankelijke en uniforme wijze naar deze buffers gerouteerd worden. In dit hoofdstuk zal slechts één uitgangsbuffer, weergegeven door de rechthoek met stippellijn op Figuur (7.1), geanalyseerd worden. Het mathematisch model dat beschreven werd in hoofdstuk 3 wordt op deze uitgangsbuffer toegepast. Aankomende cellen kunnen tijdelijk opgeslagen worden in deze buffer. De wachtlijndiscipline in deze buffer is First-In-First-Out (FIFO). 36

46 Aankomende cellen in deze uitgangsbuffer worden gegenereerd volgens een binomiaal aankomstproces. We beschouwen een 16x16-schakelelement. In het vervolg van dit hoofdstuk wordt het effect van deadlines onderzocht op enkele performantiematen. Achtereenvolgens worden de gemiddelde waarden van de systeembezetting, de variantie van de systeembezetting, de verlieskans en de gemiddelde vertragingstijd besproken. Hierbij zullen we ook de verschillen bekijken tussen wachtlijnen waarbij klanten geen deadline hebben en tussen wachtlijnen waar klanten wel een deadline hebben. Dit gebeurt aan de hand van grafieken. Deze grafieken werden bepaald via een numerieke methode, waarbij voor iedere waarde van de x-as in de figuur een y-waarde moest gevonden worden. 7.4 Verwachtingswaarde van de systeembezetting De verwachtingswaarde van de systeembezetting werd in hoofdstuk 5 gedefinieerd als het gemiddeld aantal klanten die zich in het systeem bevinden bij het begin van een slot. De formule die de gemiddelde systeembezetting weergeeft, is: (7.3) De gemiddelde systeembezetting wordt dus bepaald door de parameters λ, σ en. De aankomstdistributie heeft niet alleen een invloed op via de aankomstintensiteit λ, maar ook via. Indien we namelijk van naderbij bekijken: (7.4) dan merken we op dat de aankomstverdeling verborgen zit in de term. In het vervolg van dit onderdeel zullen we de invloed van de aankomstintensiteit en van de parameter op de gemiddelde systeembezetting nagaan. In Figuur 7.3 wordt de verwachtingswaarde van de systeembezetting weergegeven in functie van de aankomstintensiteit λ. In deze figuur zullen we verschillende waarden van de parameter σ bekijken. We vergelijken wachtlijnsystemen met deadlines voor de 37

47 volgende waarden wachtlijnsysteem zonder deadline.. Hiernaast vergelijken we ook met een Wachtlijnsystemen met deadline (1) (2) (3) (4) (5) Wachtlijnsysteem zonder deadline (6) λ Figuur 7.3: Verwachtingswaarden van de systeembezetting t.o.v. de aankomstintensiteit Figuur 7.3 toont duidelijk de invloed van een wachtlijnsysteem waarbij klanten een deadline hebben. In een model waar klanten het systeem niet kunnen verlaten (grafieklijn 6) kan, naarmate de aankomstintensiteit naar 1 gaat, de server enorm overladen geraken. Het systeem wordt instabiel en de wachtlijn blijft maar groeien. Indien de aankomstintensiteit gelijk is aan één, gaat de gemiddelde systeembezetting zelfs naar oneindig. Wanneer klanten het systeem wel kunnen verlaten vooraleer ze bediend worden, gaat de gemiddelde systeembezetting niet naar oneindig. Dit schaadt echter wel het service level van de klanten waarvan hun deadline verlopen is. Ze zijn immers niet bediend. Hierdoor vermindert de systeembezetting wel, waardoor andere klanten die zich nog in de wachtlijn bevinden, rapper bediend kunnen worden. Bij 38

48 wachtlijnsystemen voor klanten met deadlines moet men dus rekening houden met de trade-off tussen efficiëntie en service level. De efficiëntie wijst hier op de tijd dat het systeem nodig heeft om al het onuitgevoerd werk uit te voeren. Het service level wijst hier op het verliesproces. We gaan hier verder op in bij het onderdeel m.b.t. de verlieskans. Wachtlijnsystemen met deadline (1) (2) λ Fig 7.4: Verwachtingswaarden van de systeembezetting t.o.v. de aankomstintensiteit bij en De gemiddelde systeembezetting van een wachtlijnsysteem zonder deadlines is steeds, onafhankelijk van de aankomstintensiteit, groter dan deze van een wachtlijnsysteem met deadlines. Voor heel lage aankomstintensiteiten merken we dit verschil amper. Dit komt omdat er weinig klanten in de wachtlijn moeten plaatsnemen. Vanaf een aankomstintensiteit van 0.2, merken we dat de gemiddelde systeembezetting van een wachtlijnsysteem zonder deadlines lichtjes aan exponentieel toeneemt naarmate de aankomstintensiteit verhoogt. 39