Containers stapelen. M.L. Koning april 2013

Transcriptie

1 Technische Universiteit Eindhoven 2WH03 - Modelleren C Containers stapelen L. van Hees M.L. Koning april 2013 Y.W.A Meeuwenberg Inleiding De NS vervoert dagelijks grote hoeveelheden containers. Echter moeten deze containers gedurende de dag verplaatst worden van trein. Meestal moeten de containers opgeslagen worden omdat we treinen niet precies op elkaar aansluiten. Je wil dit opslaan zo handig mogelijk doen natuurlijk. Als een container aan het einde van de dag pas opgehaald word door een trein wil je die natuurlijk niet boven op een container zetter die eerder weg gaat. Gegeven is een containerterminal waar containers binnenkomen en weer opgehaald worden. De volgorde waarin de containers aankomen en vertrekken is vooraf bekend en het maximale aantal containers dat in de terminal past is beperkt. Een container die aankomt wordt door een hijskraan op een nog vrije plaats in de terminal gezet. Een container die opgehaald wordt, moet op gelijke wijze door de hijskraan verplaatst worden. Echter kan de hijskraan alleen containers verplaatsen die bovenaan een stapel staan. Als de container die als volgende de terminal moet verlaten niet bovenaan een stapel staat, zal de hijskraan deze container eerst uit moeten graven, ofwel alle containers die erboven staan verplaatsen. Iedere handeling van binnenkomen, verplaatsen, dan wel vertrekken van een container is kostbaar wegens de kosten van het gebruik van de hijskraan. Gevraagd is dan hoe we de hijskraan optimaal in kunnen zetten om dit aantal handelingen te minimaliseren. Welke methodes zijn hiervoor geschikt? En is het mogelijk om een optimale stappelplan te bepalen? 2 Hoofdtekst 2.1 Modelbeschrijving Gegeven is dat de capaciteit van de terminal beperkt is, dit wil zeggen dat er bij iedere instantie van het probleem een maximale hoogte en breedte wordt aangegeven. Dit zijn positieve gehele getallen welke respectievelijk overeenkomen met de maximale stapelhoogte Department of Mathematics and Computer Science 1

2 en het aantal stapels. We beschouwen de terminal daarom vanaf nu als een grid met deze afmetingen. We nemen aan dat iedere container van gelijke grootte is en precies in 1 vakje van dit grid past. Daarnaast nemen we aan dat iedere handeling (verplaatsen, binnenkomen en vertrekken van een container) gelijk is. De afstand van iedere verplaatsing van containers wordt dus verwaarloosd. Ook nemen we aan dat wanneer de terminal vol is er geen nieuwe containers aankomen en wanneer deze leeg is, er geen containers meer uit hoeven. In de gegeven volgorde van aankomsten en vertrekken, betekent de eerste keer dat een container nummer voorkomt dat deze de terminal binnenkomt, de tweede keer dat deze de terminal weer verlaat. Een verplaatsing van een container noteren we als volgt: i : I j betekent dat container i binnenkomt op stapel j, i : j U houdt in dat container i vanaf plaats j de terminal verlaat en met i : j k wordt aangeduide dat container i van positie j naar positie k wordt verplaatst Voorbeeld We beschouwen een terminal met 4 stapels en een maximale stapelhoogte van 3. containers komen de terminal binnen en verlaten deze weer in onderstaande volgorde: De 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 5, 1, 2, 4, 3, 8, 7, 9, 6, 11, 10 De containers met nummers 1 t/m 11 arriveren in volgorde, in Figuur 1 is te zien hoe de eerste 4 containers in de terminal worden geplaatst: 1 : I 1 2 : I 2 3 : I 3 4 : I 3 Figuur 1: De eerste 4 containers worden geplaatst. Omdat container 4 eerder de terminal verlaat dan container 3, is het verstandig deze container bovenop container 3 te zetten. In het vervolg zullen we daarom letten op deze combinaties van containers met aflopende prioriteit en deze slim bovenop elkaar plaatsen. Om deze reden plaatsen we container 5 op container 1. De containers 6, 7 en 8 plaatsen we allen op dezelfde stapel, (Zie Figuur 2) Department of Mathematics and Computer Science 2

3 5 : I 1 6 : I 4 7 : I 4 8 : I 4 Figuur 2: Containers 5,6,7 en 8 worden geplaatst. Nu plaatsen we container 2 op container stapel 3, zodat de containers 9,10 en 11 uiteindlijk gesorteerd op prioriteit op elkaar gestapeld kunnen worden. (Zie figuur 3.) 2 : 2 3 Figuur 3: Container 2 wordt verplaatst naar stapel 3. Vervolgens plaatsen we container 9 plaatsen eerst op een reserve positie, namelijk stapel 1. Nu kunnen containers 10 en 11 op stapel 2 geplaatst worden. (Zie Figuur 4) 9 : I 1 10 : I 2 11 : I 2 Figuur 4: Containers 9, 10 en 11 worden geplaatst. Tot slot plaatsen we container 9 op stapel 2 zodat alle containers achtereenvolgens uit de terminal kunnen worden gehaald. (Zie Figuur 4) Department of Mathematics and Computer Science 3

4 9 : 1 2 Figuur 5: De containers kunnen nu achtereenvolgens de terminal verlaten. We concluderen nu dat wanneer de bovenstaande lijst met handelingen wordt gevolgd, de 11 containers met een totaal van 24 verplaatsingen door de terminal gesluisd kunnen worden. 2.2 Het programma Randominstanties Om een goed beeld te krijgen hoe de heuristieke methodes werken is het handig om random instaties te generaliseren in een computerprogramma. Met deze randominstanties is het namelijk mogelijk om het gemiddeld aantal handelingen te geven voor een heuristieke methode. Een vorm van input kan zijn dat er herhaaldelijk een random aantal containers binnen komen en een random aantal containers de terminal weer verlaten. Hierbij kunnen er natuurlijk niet meer containers de terminal verlaten dan dat er binnen gekomen zijn. Om voor een gegeven terminal en containervolgorde het minimale aantal verplaatsingen te vinden hebben we een programma geschreven. Het programma is zo opgebouwd dat het eerst input leest, dan een algoritme uitvoert dat de containers slim stapelt en vervolgens output levert. Deze output kan eveneens gebruikt worden als input voor de grafische user interface die dan voor iedere handeling laat zien wat er in de statusterminal gebeurt. Voor het algoritme dat de containers stapelt hebben we 2 implementaties: zo simpel mogelijk en brute force Simpel algoritme Dit algoritme is erg snel, maar houdt geen rekening met de consequenties van de handelingen die het uitvoert. Wanneer de eerste container die binnenkomt ook als eerste weer de terminal uit moet, krijgen we geen resultaten. Een hele grote terminal of een grote hoeveelheid containers is geen enkel probleem, het algoritme geeft nog steeds snel een oplossing. Wanneer een container de terminal binnenkomt zet het algoritme deze container op de eerste vrije plaats die het tegenkomt. Als een container uit de terminal moet verplaatst het eerst, zo nodig, alle containers die bovenop de gewenste container staan. De te verplaatsen containers worden ook weer op de eerst gevonden beschikbare plaats gezet. Het komt dan ook regelmatig voor dat containers herhaaldelijk verplaatst moeten worden. Department of Mathematics and Computer Science 4

5 2.2.3 Brute force Het brute force algoritme houdt eveneens nergens rekening mee, maar probeert gewoon alle mogelijke oplossingen. Daarom neemt de snelheid van het programma hard af bij grotere terminals en/of grotere hoeveelheden containers. Wegens die reden is het algoritme alleen geschikt voor kleine terminals en containervolgordes van maximaal 24 lang. Voor die lengte loopt de running time al snel op tot maximaal n!. Met n het aantal plaatsen in de terminal (aantal plaatsen * maximale stapelhoogte). Het grote voordeel van dit algoritme is dat het altijd een optimale oplossing levert. Deze methode is gebaseerd op recursie, bij iedere keuze die we tegenkomen gaan we dieper de zogenaamde boomstructuur in. We kiezen eerst altijd het gemakkelijkste pad en volgen dit helemaal tot onderin de boom. Vervolgens komen we terug uit de recursie, we gaan omhoog in de boom tot we een keuzemoment vinden. Hier maken we een andere keuze dan we de eerste keer gemaakt hadden en volgen het pad weer tot het einde. Zo gaan we de hele boom af en vinden alle mogelijke oplossingen. Hieruit selecteren we de oplossing met het minimale aantal handelingen en dat wordt teruggegeven als resultaat. De keuzes zoals hierboven genoemd zijn de momenten dat er een container binnenkomt of een container verplaatst moet worden. We kunnen de container dan op n respectievelijk n 1 plaatsen neerzetten, waarbij n het aantal stapels van de terminal is. Het algoritme gaat ieder van deze mogelijke paden dus proberen. Daarnaast hebben we een extra keuzemoment ingebouwd na het toevoegen van een container aan de terminal. Hier proberen we of het verplaatsen van 1 van de containers in de terminal voor het toevoegen van de volgende container een betere oplossing levert. 3 Toekomst plannen Met behulp van de brute force methode is het mogelijk om een optimale oplossing te vinden voor kleine instanties. Voor grotere intstanties zullen we gebruik moeten maken van slimme benaderingsmethodes die ervoor zorgen dat het aantal handelingen geminimaliseerd wordt. Bij het handmatig uitwerken van het voorbeeld zijn we een aantal van deze methodes tegen gekomen. Hoofdzakelijk hebben we kunnen zien dat de containers het beste op aflopende prioriteit geplaatst kunnen worden. Om hier voor te zorgen, is het noodzakelijk om de containers onderling te rangschikken. Het zoeken naar paren of langere combinaties van containers in aflopende volgorde is een specifiek geval hiervan. Dit zullen we in een computerprogramma uitwerken. Het zal echter wel een heuristieke methode worden. Om meer inzicht in het probleem en de oplossingmethoden te krijgen willen we gaan kijken naar eigenschappen van de input, zoals symmetrie. Met behulp van een ondergrens van de optimale oplossing kunnen we vervolgens het resultaat analyseren. Daarnaast kunnen we een methode zoeken die een gevonden oplossing kan verbeteren. Op de gevonden oplossing voeren we een kleine verandering op het stappelplan uit. Als Department of Mathematics and Computer Science 5

6 de nieuwe oplossing een kleiner aantal handelingen heeft, dan proberen we vervolgens de nieuwe oplossing te verbeteren door weer een kleine verandering toe te passen. Elke verbetering na een verandering gebruiken we weer als oplossing die we kunnen verbeteren. Een andere optimale methode kunnen we verkrijgen door het gebruik van AIMMS. Hiervoor moeten we een model van ons probleem schijven. Op dit moment zijn we bezig om een voorbeeldprogramma te bestuderen. We denken namelijk dat dit programma zodanig op ons probleem lijkt dat we een deel van dit programma kunnen gebruiken. Ons voorbeeld programma heeft als input de aankomst- en vertrektijden van vliegtuigen. Ook heeft elk vliegtuig een type nummer. Dit komt overeen met een gate type. Het programma zoekt een optimale oplossing om alle vliegtuigen bij de juiste gate neer te zetten en zo weinig mogelijk gates te gebruiken. Dit programma kunnen we waarschijnlijk ombouwen naar ons probleem. Zo kunnen we het type nummer weg halen. Ook kunnen we zeggen dat er bij elke gate meerdere (gelijk aan de maximale stapel hoogte) vliegtuigen mogen staan. We hebben dan ook een vast aantal gates(gelijk aan het aantal stapels). Een restrictie die we moeten opleggen is dan dat het vliegtuig wat het laatste binnenkomt als eerste weg moet. We willen nu bij dit programma niet het aantal gebruikte gates optimaliseren, maar het aantal keren dat een vliegtuig wisselt van gate. 4 Conclusie Tot nu toe hebben we het model van het containers stapelen geanalyseerd. We hebben meer inzicht gekregen in het probleem en in eventuele oplosmethoden. Zo hebben we een voorbeeld instantie met de hand uitgewerkt om meer inzicht te krijgen in het stapelen. Ook hebben we een simpel algoritme gemaakt om te zien wat er bij een instantie gebeurt. Deze geeft alleen absoluut geen optimale oplossingen. Dit is dan ook een heuristieke oplossing. We zijn ook bezig geweest aan een brute force methode om een optimale oplossing te krijgen. Dit werkt goed voor kleine instanties. Echter loopt de rekentijd dusdanig op als we meer containers toevoegen dat de rekentijd te lang wordt. In de toekomst gaan we proberen om een nieuwe heuristieke methode te schijven en een optimale oplossing te zoeken via AIMMS. De heuristieke methode gaat gebruik maken van paren containers die first in first out binnenkomen. De optimale oplossing proberen we te verkrijgen door een voorbeeld programma uit AIMMS om te bouwen. Als er nog tijd over is en we geen optimale oplossing vinden via AIMMS gaan we proberen om onder en bovengrenzen te zoeken voor ons heuristiek programma. Ook gaan we dan proberen om gevonden oplossingen te verbeteren. Department of Mathematics and Computer Science 6