Vakgroep Telecommunicatie en Informatieverwerking Voorzitter : Prof. Dr. Ir. I. Bruyland

Transcriptie

1 Universiteit Gent Faculteit Toegepaste Wetenschappen Vakgroep Telecommunicatie en Informatieverwerking Voorzitter : Prof. Dr. Ir. I. Bruyland door Stijn DE VUYST Promotor : Prof. Dr. Ir. H. Bruneel Begeleiding : Dr. Ir. S. Wittevrongel Afstudeerwerk ingediend tot het behalen van het diploma Aanvullende Opleiding Informatica Acadmiejaar

2 Buersystemen met gecorreleerde groeps- of treinaankomsten door Stijn DE VUYST Afstudeerwerk ingediend tot het behalen van het diploma Aanvullende Opleiding Informatica. Academiejaar Promotor: Prof. Dr. Ir. H. Bruneel Faculteit Toegepaste Wetenschappen Universiteit Gent Vakgroep Telecommunicatie en Informatieverwerking Voorzitter : Prof. Dr. Ir. I. Bruyland Samenvatting : In moderne digitale communicatienetwerken, in het bijzonder ATM netwerken, is er een groeiende interesse voor de performantie van wachtlijnsystemen in discrete tijd met gecorreleerde aankomstprocessen. In dit werk wordt een statistische multiplexer beschouwd met een, in principe, oneindig aantal gebruikers, een oneindige buercapaciteit en een uitgangslijn die altijd beschikbaar is en een pakket per 'slot' verwerkt. De multiplexer opereert in een omgeving die zich in elk slot in een van twee toestanden kan bevinden. Deze omgevingstoestand is bepalend voor het aantal nieuwe berichten er door de gebruikers in het betreend slot wordt gegenereerd. De verblijftijd in elke omgevingstoestand wordt geometrisch ondersteld. De performantie van deze multiplexer wordt onderzocht op een analytische manier, dit zowel voor treinaankomsten als aankomsten in groep van de pakketten waaruit elk bericht bestaat. De gebruikte methode is in wezen een genererende functie-benadering van een meerdimensionale toestandsbeschrijving. Er wordt gezocht naar een uitdrukking voor de momenten van de buerbezetting en in het geval van groepsaankomsten ook voor de volledige distributie ervan. De invloed van de systeemparameters op deze performantiematen wordt nagegaan. De structuur is als volgt : In hoofdstuk 1 wordt het behandelde model aangebracht en gesitueerd. In de volgende hoofdstukken wordt voor een stijgende graad van complexiteit van de parameters van het aankomstproces een uitdrukking gezocht voor de de gemiddelde buerbezetting. Zo wordt in hoofdstuk 2 de methode gellustreerd voor een eenvoudig geval met groepsaankomsten. In hoofdstuk 3 wordt deze analyse uitgebreid tot het beschouwen van een willekeurig aantal nieuwe berichten in beide omgevingstoestanden. Hoofdstuk 4 behandelt treinaankomsten van berichten met een geometrische lengte en in hoofdstuk 5 wordt dit veralgemeend tot algemene berichtlengtes. In bijlage A tenslotte wordt kort ingegaan op een softwaresimulatie in C van de gemiddelde buerbezetting, die werd uitgevoerd ter vericatie van de bekomen analytische resultaten. Trefwoorden : Discrete-time queueing models, correlated arrivals, train arrivals, environment states. ii

3 Laatste revisie : 30 maart 1999 De auteur geeft de toelating dit afstudeerwerk voor consultatie ter beschikking te stellen en delen van het afstudeerwerk te copieren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit dit afstudeerwerk. Datum en handtekening, iii

4 Met dank aan Dr. Ir. Sabine Wittevrongel voor de uitstekende begeleiding iv

5 Inhoudsopgave 1 Inleiding Wachtlijntheorie Discrete wachtlijntheorie Performantiematen Probabiliteitsgenererende functies Een multiplexer met 2 omgevingstoestanden en onbeperkt aantal gebruikers Statistische multiplexer Pakketaankomsten : trein- vs. groepsaankomsten Omgevingstoestanden met geometrische verblijftijden Berichtgeneratie Stabiliteitsoverwegingen Methode van bueranalyse Groepsaankomsten met algemene berichtlengtes Systeembeschrijving Bueranalyse Een functionele vergelijking voor het gezamenlijk proces Aankomstproces Momenten van de buerbezetting Invloed van de systeemparameters op U 0 (1) De omgevingsparameters De berichtlengte Groepsaankomsten met een algemeen aantal nieuwe berichten Systeembeschrijving Bueranalyse via een functionele vergelijking Een functionele vergelijking voor de gezamenlijke pgf Aankomstproces Momenten van de buerbezetting De volledige distributie van de buerbezetting Bueranalyse via de transitieprobabiliteiten in het gezamenlijk proces Bespreking Invloed van de systeemparameters Toepassingen v

6 4 Treinaankomsten met geometrische berichtlengte Systeembeschrijving Bueranalyse Een functionele vergelijking voor het gezamenlijke proces Aankomstproces Momenten van de buerbezetting Bespreking Invloed van de systeemparameters Vergelijking van U 0 (1) bij groeps- en treinaankomsten Toepassingen Treinaankomsten met algemene berichtlengtes Systeembeschrijving Bueranalyse Een functionele vergelijking voor het gezamenlijk proces Aankomstproces Momenten van de buerbezetting Bespreking Vergelijking van U 0 (1) bij groeps- en treinaankomsten Toepassingen A Softwaresimulatie 78 vi

7 Lijst van gebruikte afkortingen en symbolen ATM iid pgf STD TG TP Asynchronous Transfer Mode independent and identically distributed, onafhankelijke TG'n met dezelfde distributie probabiliteitsgenerende functie State Transition Diagram : toestandstransitiediagram toevalsgrootheid, stochastische grootheid, toevalsveranderlijke toevalsproces, stochastisch proces, wordt genoteerd als, wordt gedenieerd als y is afhankelijk van hxi lijst van TG'n x die in de statenbeschrijving voorkomen 1 n=0 (n) Diracfunctie : (n) = 0 n6= 0 x vector, n-tuple a enkelvoudige toevalsgrootheid a A(z), a(z) genererende functie van TG a : E[z P (x) partiele afgeleide van P naar argument z d dz P (x) totale afgeleide van P naar z Prob[A] probabiliteitsmaat, de waarschijnlijkheid waarmee gebeurtenis A optreedt E[a] verwachting van TG a Var[a] variantie van TG a a j, a(j) Prob[a = j] Bern() Bernoulli distributie met parameter Geom() Geometrische distributie met parameter a(z) b(z) e k E(z) E i (z) K m k l j L(z) pgf van een Bern() TG pgf van een Bern(1 ; ) TG aantal pakketaankomsten in slot k pgf van het aantal pakketaankomsten in steady state tijdens een willekeurig slot pgf van het aantal pakketaankomsten in steady state tijdens een slot met omgevingstoestand, i =0 1 burstiness factor aantal nieuwe berichten in slot k Prob[l = j], kans op een bericht met lengte j pgf van de het aantal pakketten per bericht vii

8 M(z) M i (z) P (x) p 0 t k T (z) u k U(z) pgf van het aantal nieuwe berichten (leidende pakketten) in steady state tijdens een willekeurig slot pgf van het aantal nieuwe berichten in steady state tijdens een slot met omgevingstoestand, i =0 1 gezamenlijke pgfvan een aantal niet-onafhankelijke TG'n die samen de toestand van het systeem uitmaken Prob[u = 0], kans op een lege buer omgevingstoestand in slot k pgf van de omgevingstoestand in steady state van een willekeurig slot buerbezetting op het einde van slot k pgf van de buerbezetting in steady state tijdens een willekeurig slot viii

9 Voorwoord De inhoud van de opeenvolgende hoofdstukken is zodanig dat deze min of meer een chronologische weergaveisvan de resultaten zoals zij werden bekomen gedurende de laatste maanden. Dat wil zeggen dat we beginnen met een eenvoudig geval en zo geleidelijk aan de analyse veralgemenen en uitbreiden. De lezer dient vertrouwd te zijn met de elementaire begrippen uit de probabiliteitstheorie zoals toevalsgrootheid, toevalsproces en statistische afhankelijkheid. Er is getracht de benoeming van de relevante grootheden door symbolen doorheen de verschillende hoofdstukken zo uniform mogelijk te houden. Zo bedoelen we met 'E' of'e' steeds het pakketaankomstproces, met 'T ' of't' de omgevingstoestand en zo voort. De notaties die we gebruiken voor afgeleide begrippen van deze grootheden is echter minder consistent om de leesbaarheid niet te veel in het gedrang te brengen. Het gebruik van het subscript bijvoorbeeld heeft niet steeds dezelfde betekenis. Zo is e k de TG die het aantal pakketaankomsten in slot k voorstelt, maar l j =Prob[l = j]. Ook het gebruik van hoofdletters voor genererende functies en kleine letters voor toevalsveranderlijken is niet steeds in ere gehouden. In ieder geval zal de betekenis van een bepaalde notatie voldoende worden toegelicht doorheen de tekst. Voor het typograsch gedeeltewerd gebruik gemaakt van Leslie Lamport's L A TEX2e, dat is gebaseerd op Donald E. Knuth's TEX en uitstekend geschikt voor mathematische teksten. De diverse plots werden verkregen met behulp van Maple V r4, een zeer veelzijdig computeralgebra systeem dat voorziet in een goede communicatie met L A TEX. De tekeningen en schema's zijn gemaakt met PageDraw, dat net als L A TEXvrij beschikbaar is. ix

10 Hoofdstuk 1 Inleiding In dit inleidende hoofdstuk worden enkele algemene begrippen uit de discrete wachtlijntheorie aangebracht zoals multiplexer, buer, slots, pakket, bericht, verwerkingseenheid, aankomstproces, uitgangsproces, performantiemaat enz. Zie hiervoor ook [1]. Vervolgens wordt het model van de statistische multiplexer die we in dit werk zullen bestuderen uitgelegd. Daarbij hechten we vooral belang aan het feit dat het aantal aankomsten niet onafhankelijk is van slot tot slot. Deze correlatie wordt nog versterkt wanneer de berichten 'in trein' toekomen. Tot slot wordt ook de verderop gebruikte methode van bueranalyse kort geschetst. 1.1 Wachtlijntheorie Op het terrein van de stochastische modellering zal men steeds proberen systemen uit de praktijk te beschrijven aan de hand van een mathematisch/probabilistisch model. Met een dergelijk model is het dan mogelijk aan het rekenen te gaan en uitspraken te doen over het gedrag ervan. Deze resultaten zullen des te nuttiger zijn naarmate het model de werking van het praktisch systeem beter beschrijft. In het vervolg zullen we met systeem steeds het rekenmodel bedoelen. In de wachtlijntheorie gebruikt men steeds ingangs-/uitgangsmodellen. Aan de ingang komen entiteiten (`cellen' of `klanten') binnen die eventueel opgeslagen worden en daarna verwerkt. Meestal is de verandering van de aard op zich van deze entiteiten door het verwerkingsproces onbelangrijk voor de wachtlijntheoreticus. Daarentegen zal men zich wel interesseren aan het verloop in de tijd van deze verwerking en van andere relevante processen in het systeem. Meer in het bijzonder zal men proberen uitspraken te doen over de statistiek van deze processen in steady state, dus wanneer een evenwicht is bereikt. Een wachtlijnsysteem is bepaald door een geheel van gecorreleerde processen, waarvan de meeste toevalsprocessen kunnen zijn. Zo wensen we bijvoorbeeld niet op voorhand vast te leggen op welke tijdstippen een bepaalde entiteit zal aankomen in het systeem, noch wanneer dit zal verwerkt worden of precies hoe lang deze verwerking zal duren. Deze gegevens zijn slechts in statistische vorm beschikbaar. Natuurlijk zijn er ook deterministische processen die het systeem bepalen, anders zou het model nooit een nuttige machine kunnen beschrijven. Elk wachtlijnsysteem heeft dan ook een automaton-gedeelte die bepaalt hoe de relevante toevalsprocessen op mekaar inwerken. In guur 1.1 is een schema van een algemeen wachtlijnsysteem gegeven. Daarop zien we de twee hoofdaspecten van een wachtlijnsysteem duidelijk aangegeven : opslag en verwerking. In wachtlijnsystemen komen steeds een of meerdere buers voor die instaan voor de 1

11 wachtlijnsysteem buffering verwerkingsproces aankomstproces uitgangsproces Figuur 1.1: schema van een algemeen wachtlijnsysteem tijdelijke opslag van entiteiten die niet direct kunnen worden verwerkt. Een buer is op zichzelf ook een I/O-systeem. De uitgang kan via een kanaal verbonden zijn met een andere buer of met een of meerdere verwerkingseenheden. Aan de ingang ervan komen cellen binnen die worden opgeslagen indien de uitgang niet beschikbaar is of andere cellen in de buer voorrang hebben. Elke binnenkomende cel wordt dus toegevoegd aan een verzameling waaruit, telkens wanneer de uitgang beschikbaar is, de buer een aantal cellen selecteert en doorstuurt. De regels die de buer hanteert om deze cellen uit te kiezen noemen we de wachtlijndiscipline. Veelal is het zo dat de cellen de buer verlaten in de volgorde waarin zij erin zijn aangekomen, men noemt dit FIFO (First In, First Out) of FCFS (First Come, First Served). Andere mogelijkheden zijn LIFO (Last In, First Out) of disciplines gebaseerd op prioriteiten. Beschouwingen omtrent de wachtlijndiscipline zijn in dit werk minder belangrijk omdat we ons enkel zullen concentreren op de buerbezetting en niet op het bepalen van vertragingstijden van individuele cellen. Een praktische buer heeft steeds een eindige opslagcapaciteit, dwz. de buer kan slechts een maximaal aantal cellen stockeren. Wanneer cellen aankomen bij een buer die vol is zal er 'overow' optreden en gaan de cellen verloren. Het spreekt voor zich dat dit in de mate van het mogelijke moet worden vermeden, wat, tenminste wat de buer betreft, enkel kan gebeuren door de capaciteit uit te breiden. Men moet dus steeds de verlieskans afwegen tegenover de meerkost van een grotere buer. Zodoende is het bepalen van de verlieskans bij een bepaalde buergrootte een van de belangrijkste doelen van de theorie. Een ander belangrijk aspect van buers is stabiliteit. Niettegenstaande cellen tijdelijk kunnen worden opgeslagen is het steeds zo dat na verloop van tijd de aankomstintensiteit gelijk moet zijn aan de uitgangsintensiteit. Indien er gemiddeld gezien meer cellen toekomen dan de buer kan verdersturen zal het aantal opgeslagen cellen steeds verder stijgen en zal de evenwichtstoestand die we willen beschrijven er nooit komen. Bij praktische buers zal deze situatie onvermijdelijk leiden tot overow. Het is dus belangrijk erop toe te zien dat de systeemparameters van aankomstproces en uitgangsproces steeds op elkaar worden afgestemd zodat ze aanleiding geven tot een stabiel systeem. Nadat cellen zijn opgeslagen zullen ze worden verwerkt door een aantal verwerkingseenheden of servers. Dit verwerkingsproces is belangrijk voor het buergedrag omdat zij bepalend is voor diens uitgangsproces. De verwerking kan op verschillende punten 2

12 varieren. Van belang zijn ondermeer het aantal servers, hun beschikbaarheid en de verwerkingstijden nodig voor de verschillende soorten cellen. Doorheen dit werk zullen we echter de meest eenvoudige onderstellingen maken omtrent het verwerkingsproces. Daarom gaan hier niet verder in op deze aspecten. De in de wachtlijntheorie gebruikte modellen zijn meestal abstract en kunnen dus in principe toegepast worden op alle processen waarbij sprake is van een stochastisch aankomst- of verwerkingsproces en buers worden gebruikt om deze stochasticiteit op te vangen. Zo kan men bijvoorbeeld denken aan mechanische processen bij het beheer van productielijnen. Tegenwoordig is het belangrijkste toepassingsgebied echter de telecommunicatie, waarbij men de performantie van communicatiesystemen zoekt te evalueren. In het begin van deze eeuw, met de opkomst van het telefonienetwerk, werd de continue wachtlijntheorie heel belangrijk voor onder andere de dimensionering van telefooncentrales. Vooraanstaand werk hierover is geleverd door Erlang 1. De huidige communicatiesystemen werken op dit moment echter voor het grootste deel digitaal. Deze ontwikkeling heeft geleid tot de opkomst van de discrete wachtlijntheorie na de jaren '70. Algemeen wordt de ATM -technologie (Asynchronous Transfer Mode) aanvaard als de te gebruiken techniek voor informatietransmissie in de toekomstige breedbandige gentegreerde digitale netwerken (B-ISDN). Daarbij is het de bedoeling dat meerdere soorten van data (diensten) langs het zelfde kanaal worden getransporteerd. Men noemt deze techniek asynchroon omdat het voor elke datastroom mogelijk is het gehele kanaal tot zich te nemen. Toegangsconicten tot het kanaal tussen meerdere diensten worden dan opgevangen door een buersysteem. Deze oplossing is ecienter en exibeler dan reguliere transmissietechnieken waarbij het kanaal in stukken wordt gedeeld (hetzij in het frequentiedomein, hetzij in het tijdsdomein) en elke gebruiker nooit meer dan zijn toegewezen stuk kan gebruiken. Deze oplossing blijkt te rigide te zijn omdat het kan leiden tot een grote onderbezetting van het kanaal wanneer slechts enkele van de mogelijke diensten er wensen gebruik van te maken. 1.2 Discrete wachtlijntheorie In digitale communicatiesystemen wordt informatie meestal verzonden op synchrone wijze. De continue tijd wordt dan opgedeeld in stukken van vaste lengte die we in het vervolg `slots' zullen noemen. Een slot kan dan bijvoorbeeld de abstractie zijn van de klok-tijd of cyclustijd van een digitaal systeem. Evenals de tijd zal nu ook de te versturen data in blokken of `pakketten' van vaste lengte worden opgedeeld en wel zodanig dat de transmissie van een pakket in maximaal een tijdsslot kan gebeuren. Alle traek in het wachtlijnsysteem wordt nu gesynchroniseerd op de slotgrenzen. Het is dus tussen twee slots in dat het systeem zijn eigen toestand evalueert en beslissingen treft omtrent het trakeren van pakketten gedurende het volgende slot. Tussen twee opeenvolgende slotgrenzen in wordt enkel aan transmissie gedaan. Het is in bovenstaande onderstellingen dat men de overgang kan maken van continue naar discrete tijd (`slotted time') en van reele waarden naar positieve gehele waarden. Een hoeveelheid tijd bedraagt namelijk steeds een geheel aantal slots en een hoeveelheid data bestaat steeds uit een geheel aantal pakketten. Om deze grootheden te quanticeren zal men dus met voordeel kunnen gebruik maken van discrete toevalsgrootheden. Alle deelprocessen van het wachtlijnsysteem kunnen dan voorgesteld worden als een rij van discrete TG'n in plaats van een functie van de continue tijd : 1 Agner Krarup Erlang, 1878 { y 1929, Deens wiskundige. ::: a k;1 a k a k+1 ::: (1.1) 3

13 Dwz. een TG per slot, of beter, per slotgrens. In dit rest van dit werk wordt steeds uitgegaan van een synchrone transmissie in discrete tijd. Veel publicaties gebruiken modellen die gebaseerd zijn op onafhankelijke pakketaankomsten. Recent is men zich echter ook gaan interesseren aan aankomstprocessen waarbij bronnen data willen versturen die bestaat uit een variabel aantal pakketten. Een dergelijk geheel van pakketten verstuurd door een bron of een `gebruiker' zullen we in het vervolg een `bericht' (message) noemen en het aantal pakketten in een bericht de `berichtlengte'. In [8] wordt een aanwijzing gegeven voor het belang van de concepten `bericht' en `pakket' in ATM-netwerken. Daarbij is het meestal zo dat data getransporteerd wordt over verschillende soorten van netwerkimplementaties, netwerklagen, protocollen en zo voort. Elk van deze gedeeltes van het netwerk kan zijn eigen eisen opleggen aan het formaat van de data die het transporteert. Stel bijvoorbeeld dat een bepaalde netwerklaag een hoeveelheid data aangeboden krijgt in `extern' formaat en gevraagd wordt deze te verzenden. Daarvoor zal deze laag zal een beroep doen op een onderliggende laag die in zijn eigen dataformaat wenst aangesproken te worden. De eerste laag zal dus de data moeten converteren naar een `intern' formaat. Dit kan inhouden dat de data in stukken moet worden gedeeld omdat de onderliggende laag slechts kleine datapakketjes aanvaardt met een vaste lengte. Bij ontvangst vindt dan de omgekeerde communicatie plaats tussen deze twee lagen en worden de pakketten in intern formaat terug samengesteld tot de oorspronkelijke berichten in extern formaat. 1.3 Performantiematen Het is reeds aangehaald dat het voornaamste nut van de wachtlijntheorie erin bestaat de performantie van praktische wachtlijnsystemen te evalueren. Het bepalen van de zogenaamde performantiematen komt neer op het bestuderen van de evenwichtsdistributie van een of meerdere deelprocessen van het systeem. Wanneer het systeem stabiel is zal er namelijk na een eventueel overgangsverschijnsel er een regime- of evenwichtstoestand (steady state) optreden. In deze toestand worden alle processen stationair of toch zeker cyclostationair wat betreft hun statistische eigenschappen. Of anders gezegd : voor k ;! 1 zullen de discrete TG'n in een rij als (1.1) dezelfde distributie hebben. De index k wordt dan, althans wat de distributie betreft, overbodig. Aan enkele van de statistieken hecht men bijzonder belang omdat zij nuttige informatie leveren omtrent de dimensionering van de praktische systemen die het model beschrijft. Ergodiciteit. Men noemt een stationair toevalsproces ergodisch wanneer zijn statistische gemiddelden gelijk zijn aan zijn tijdsgemiddelden. Anders gezegd, deze gemiddelden zijn dezelfde wanneer zij nu op een bepaald moment over alle exemplaren van het ensemble worden genomen, of over de gehele tijdsduur van een exemplaar. Men gaat er steeds van uit dat wachtlijnsystemen ergodisch zijn. Hoewel deze onderstelling slechts van theoretisch belang is en in de praktijk zelden restricties oplevert, is het toch nuttig er even bij stil te staan. Men zal namelijk de statistisch bepaalde performantiematen gaan gebruiken om voorspellingen te doen omtrent het gedrag van een exemplaar uitgemiddeld over een langere tijd, dwz. een praktische implementatie van het model. We geven hier nu enkele voorbeelden van belangrijke performantiematen. Buerbezetting Het aantal pakketten dat zich in elk steady-state-slot k in de buer bevindt vormt een 4

14 discrete TG die we in het vervolg zullen aanduiden met `de buerbezetting' en noteren als u k. Iets nauwkeuriger denieren we voor TG u k : Prob[ u k = n ], Prob[ n pakketten in de buer op het einde van slot k ] (1.2) Het is reeds aangehaald dat kennis omtrent de te verwachten distributie van de buerbezetting uitermate belangrijk is voor het ontwerp van buers in praktische systemen. Verschillende statistische maten van de distributie kunnen van nut zijn voor de ontwerper : - het gemiddelde : het aantal pakketten dat zich uitgemiddeld over een groot aantal slots in de buer zal bevinden. - de variantie : in hoeverre zal de bezetting rond het gemiddelde schommelen. - de staartprobabiliteiten : De kans dat de bezetting een (groot) aantal pakketten X overschrijdt : Prob[ u k >X] (1.3) Het spreekt voor zich dat de parameters van alle andere deelprocessen (aankomsten, verwerking) van invloed zijn op de buerbezetting. Als de ontwerper quantitatieve kennis heeft van deze invloeden kan hij ook via deze parameters het buergedrag regelen. Verlieskans Dit is de kans dat een aankomend pakket verloren gaat omdat de buer vol is (ook wel : CLR, Cell Loss Ratio). Het bestuderen van wachtlijnmodellen met eindige buers is meestal een vrij moeilijke zaak. Het blijkt echter dat voor grote X in (1.3) de verlieskans nauw kan samenhangen met de staartprobabiliteiten van de buerbezetting, zodat een analyse gebaseerd op een oneindige buercapaciteit toch een idee kan geven over de verlieskansen. Vertragingstijd Door het feit dat een informatiestroom steeds eerst wordt opgeslaan in een buer verliest het tijd tegenover de situatie waarin het rechtstreeks op de verwerkingseenheid zou zijn aangesloten. Dit verschil, evenals zijn distributie, noemen we de'vertragingstijd'(delay) en bedraagt steeds een geheel aantal slots. Elk pakket wordt gedurende minstens een slot opgeslagen, dus de delay is steeds groter dan 1. Ten eerste is er de pakket-vertragingstijd (packet-delay). Dit is een discrete TG die het totale aantal slots weergeeft dat een willekeurig pakket in de buer verblijft. Het licht niet voor de hand, maar alvast voor de systemen beschouwd in dit werk blijkt er een zeer eenvoudig verband te bestaan tussen de buerbezetting en de packet-delay. In[9] is aangetoond dat voor GjDj1 wachtlijnsystemen 2 met wachtlijndiscipline FCFS geldt : D(z) = U(z) ; U(0) 1 ; U(0) (1.4) Daarbij is D(z) de pgf van de packet-delay en U(z) die van de buerbezetting. Ten tweede kan men ook de bericht-vertragingstijd beschouwen. Deze wordt gedenieerd als het aantal slots tussen de aankomst van het eerste pakket van een willekeurig bericht (leading-packet arrival) in de buer en de verwerking van het laatste pakket ervan. Het moge duidelijk zijn dat het bepalen van de vertragingstijden essentieel afhangt van de specicatie van de wachtlijndiscipline. 2 algemeen aankomstproces, vaste verwerkingstijden en 1 server 5

15 Op enkele uitzonderingen na zullen wij ons in dit werk voornamelijk beperken tot het bepalen van de gemiddelde buerbezetting. 1.4 Probabiliteitsgenererende functies De methode die we zullen gebruiken om de het buergedrag van een wachtlijnsysteem te analyseren maakt uitvoerig gebruik van genererende functies om de distributie van een toevalsgrootheid voor te stellen. In deze paragraaf overlopen we kort enkele handige eigenschappen voor genererende functies van discrete toevalsgrootheden. Zie hiervoor ook [1]. Stel y een positieve discrete TG met distributie Prob[ y = n ], y n. Dan komt de genererende functie Y (z) van y neer op de volgende z-transformatie : Y (z) = E[z y ] = +1X n=0 y n z n (1.5) Dit is een transformatie van de probabiliteiten y n naar een functie in het complexe vlak, geldig voor alle z waarvoor de reeks convergeert. Men ziet in dat deze transformatie bijectief is en een distributie kan dus zowel gespecieerd worden door zijn massafunctie y n als door de genererende functie Y (z) ervan. Normeringsvoorwaarde Uit denitie volgt : Y (1) = +1X n=0 y n = 1 Dit noemt men ook wel eens de wet van de totale probabiliteit. Deze eigenschap zal dikwijls worden gebruikt om bijvoorbeeld een distributie die op een factor na is gekend volledig te bepalen. Waarschijnlijkheid dat y =0 Door in de denitie z = 0 te stellen, ziet men dat : Y (0) = Prob[ y =0] Begrensd karakter Y (z) is een analytische (holomorfe) functie binnen de eenheidscirckel, dwz. voor jzj < 1. Als gevolg daarvan is Y (z) ook begrensd voor jzj 6 1. In dat gebied geldt immers : jy (z)j 6 +1X n=0 jy n jjzj n 6 +1X n=0 y n = 1 Dit impliceert onder andere dat de genererende functie geen polen kan hebben binnen de gesloten eenheidscirkel. Dit is een belangrijke eigenschap bij diverse concrete bueranalysemethodes. Probabiliteitsgenererende eigenschap De probabiliteiten y n kunnen steeds uit de generende functie teruggevonden worden door de reeks in (1.5) n keer af te leiden en het resultaat te evalueren in z =0: d n y n = 1 n! dz n Y (z) z=0 6

16 Vanwege deze eigenschap noemt men Y (z)ook de probabiliteitsgenererende functie (pgf : probability generating function). In principe kan deze eigenschap worden gebruikt om Y (z) te inverteren, wanneer men in staat is om een gesloten uitdrukking te vinden voor de opeenvolgende afgeleiden in z = 0. Momentgenererende eigenschap De afgeleiden van de reeks kunnen ook in z =1geevalueerd worden. Men kan eenvoudig aantonen dat dan geldt : d n dz n Y (z) z=1 = E[y (y ; 1) ::: (y ; n + 1)] Hieruit kunnen op recursieve wijze de momenten 3 bekomen worden van y. Zo volgt onder andere : E[ y ] = Y 0 (1) E[ y 2 ] = Y 00 (1) + Y 0 (1) Var[ y ] = E[ y 2 ] ; E 2 [ y ] = Y 00 (1) ; ; Y 0 (1) 2 + Y 0 (1) (1.6) Inverteren van Y (z) Om uit de genererende functie Y (z) terug de massafunctie y n te halen moet men er een inverse z-transformatie op toepassen. Uit (1.5) ziet men dat y n de coecient isvan z ;1 in de reeksontwikkeling van Y (z) z ;1;n rond haar pool z =0: Y (z) y n = Res z=0 z n+1 Deze residus kunnen dan door eender welke geschikte methode bepaald worden, bijvoorbeeld met de residustelling van Cauchy. Men kan ook de pgf beschouwen van meerdere TG'n. Stel bijvoorbeeld a en b twee TG'n met gezamenlijke massafunctie y(i j) = Prob[ a = i b= j ] De gezamenlijke probabiliteitsgenererende functie van a en b is dan deze tweevoudige z- transformatie van y(i j) : Y (z 1 z 2 ) = E z a 1 zb 2 +1X +1X = i=0 j=0 y(i j) z i 1 z j 2 (1.7) Verderop zullen we gezamenlijke pgf's beschouwen met meer dan twee en zelfs van een oneindig aantal argumenten. Voor gezamenlijke pgf's gelden in principe dezelfde eigenschappen als voor enkelvoudige pgf's. Zij zijn begrensd in het gebied waar hun argumenten een modulus kleiner dan 1 hebben. Zij zijn 1 in het punt waar al hun argumenten 1 zijn (normering) en zij laten de berekening van allerlei momenten van de gezamenlijke distributie toe door partiele 3 In dit werk wordt de benaming `moment' van een TG y verkeerdelijk ook gebruikt voor de afgeleiden van de generende functie geevalueerd in 1. 7

17 afgeleiden te beschouwen in datzelfde punt. Uit de denitie volgt ook dat de marginale pgf van elk der onderliggende TG'n vlot kan bepaald worden.zoisbvb. : A(z 1 )=Y (z 1 1) B(z 2 )=Y (1 z 2 ) (1.8) A 0 1 Y (1 1) B 0 2 Y (1 1) (1.9) A Y (1 1) B Y (1 1) (1.10) Verder zullen we ook graag gebruik maken van de volgende eigenschap : a en b zijn statistisch onafhankelijk () Y (z 1 z 2 ) = A(z 1 ) B(z 2 ) 1.5 Een multiplexer met 2 omgevingstoestanden en onbeperkt aantal gebruikers Statistische multiplexer Een statistische multiplexer is een systeem dat tot taak heeft de toegang te regelen tot een kanaal waarover meerdere bronnen pakketten wensen te versturen, zoals is geschetst op - guur 1.3. Deze bronnen (of gebruikers) zijn elk verbonden met het systeem via een ingangslijn en het kan nu gebeuren dat meerdere van hen tijdens het zelfde slot pakket(en) hebben te verzenden. Echter, het kanaal heeft een beperkte transmissiecapaciteit { bijvoorbeeld c pakketten per slot { waardoor er occasioneel meer paketten worden aangeboden dan het kanaal kan verwerken in hetzelfde slot. Om deze toegangsconicten te vermijden wordt een buffer aangebracht tussen de ingangslijnen en het kanaal die de pakketten opslaat tot een slot waarin voldoende transmissiecapaciteit beschibaar is om ze door te sturen. In wachtlijntermen gesproken kan het gemeenschappelijk kanaal worden aanzien als c verwerkingseenheden die samen met de buer en de bronnen een wachtlijnsysteem vormen waarover wenuvolgende eerste onderstellingen maken : I Er is 1buer, en deze heeft een oneindige capaciteit. I Er is 1 server (het kanaal) met een deterministische verwerkingstijd van juist 1 slot per pakket. Deze server is niet onderhevig aan onderbrekingen, zolang tijdens slot k er minstens een pakket in de buer zit, zal de server in slot k+1 een pakket ter verwerking aanvaarden. I Er zijn een oneindig aantal gebruikers mogelijk. Dit wil zeggen dat het aantal pakketten dat in een bepaald slot aankomt in de buer in principe onbeperkt is. Men spreekt ook wel van een oneindige gebruikerspopulatie. I Wat de buer betreft, worden alle pakketten onafhankelijk van elkaar behandeld. Het doet er voor de multiplexer niet toe van welke gebruiker een bepaald pakket afkomstig is, noch het hoeveelste van een bericht het is. We maken geen onderstellingen omtrent de wachtlijndiscipline. Vanuit de tweede onderstelling kunnen we ons nu een beeld vormen van de server als een simpele automaat die op elke slotgrens volgende handelingen uitvoert : 8

18 ... e k e k+1... slot k slot k+1 u k u k+1 Figuur 1.2: Betekenis van de toevalsveranderlijken e k en u k van slot tot slot Check aan het einde 4 van slot k;1 de buer. Deze bevat op dat moment u k;1 pakketten, wegens denitie (1.2). Wanneer u k;1 tijdens slot k. = 0 zijn er geen pakketten om te verwerken en blijft de server ijdel Wanneer u k;1 1, haalt de server een pakket uit de buer dat tijdens het komende slot { dit is slot k { zal worden verwerkt. Het aantal pakketten in de buer aan het begin van slot k is na verwerking dus max(0 u k;1 ; 1) en we noteren dit als : (u k;1 ; 1) + (1.11) Het moge duidelijk zijn dat het buergedrag van een systeem dat aan de bovenstaande onderstellingen voldoet volledig is bepaald door de parameters van het aankomstproces. Dit is ook onze bedoeling geweest. Het geeft ons de mogelijkheid om op duidelijke wijze enkele principes in de analyse van systemen met gecorreleerde deelprocessen te demonstreren, enkel aan de hand van het aankomstproces. Wegens bovenstaande onderstellingen zal het buergedrag enkel en alleen afhangen van de aankomsten. Omgekeerd echter, is { voor zover de stabiliteit is verzekerd { het aankomstproces volledig onafhankelijk van het buergedrag. In wat volgt zullen we dit aankomstproces verder aanbrengen Pakketaankomsten : trein- vs. groepsaankomsten Evenals de buerbezetting kan ook het pakketaankomstproces gekarakteriseerd worden door een ketting van discrete TG'n in de zin van (1.1). We noemen nu e k het aantal pakketten dat in de buer aankomt tijdens slot k : Prob[ e k = n ], Prob[ n pakketaankomsten tijdens slot k ] (1.12) E(z) = +1X n=0 Prob[ e k = n ] z n 4 In deze tekst maken we onderscheid tussen `het einde van slot k ;1' en `het begin van slot k', hoewel deze beide de slotgrens tussen slot k ; 1enslotk beduiden. Met het einde van een slot bedoelen we een abstract tijdstip waarop alle activiteiten die tijdens een slot gebeuren { zoals transmissie { ten einde zijn, maar dat voor de eigenlijke slotgrens ligt waarop het systeem zichzelf evalueert en traekbeslissingen neemt. Analoog beduidt het begin van een slot een tijdstip na de slotgrens, maar voor enige relevante gebeurtenis tijdens het slot. 9

19 Figuur 1.3: Werking van een statistische multiplexer met groepsaankomsten (a) en treinaankomsten (b) Omtrent het juiste tijdstip van aankomst van een pakket kan discussie ontstaan, aangezien de transmissie ervan over de toegangslijn een eindige tijd vergt. We maken daarom enkele afspraken : Ten eerste bedoelen we met een `pakketaankomst' of kortweg `aankomst' het moment waarop en het feit dat een pakket volledig beschikbaar is geworden voor de buer. Een pakket kan wat betreft de buer zich eigenlijk op eender welk moment aanbieden, maar feit is dat het pas op het einde van het slot waarin het aankomt (`arrival slot') zal opgeslagen worden. Met e k bedoelen we dus het aantal aankomsten tussen het begin en het einde van slot k. Merk op dat het toelaten van aankomsten tussen de slotgrenzen slechts conceptueel is. Wat betreft onze discrete tijdsanalyse (en in ATM-netwerken) gebeuren alle e k aankomsten tegelijk op het einde van slot k. Ten tweede spreken we af dat een pakket dat bij zijn aankomst een leeg systeem aantreft dwz.zowel de buer als de server zijn leeg ten vroegste tijdens het volgende slot voor verwerking in aanmerking komnt. Of anders gezegd : geen enkel pakket kan verwerkt worden tijdens het slot waarop het aankomt in de buer. Zoals gezegd accepteert de buer berichten met een variabel aantal pakketten van de bronnen. De lengte van een bericht stellen we voor door een positieve discrete TG l (van lengte) met als distributie: Prob[ l = n ], Prob[een bericht bevat n pakketten], l n (1.13) en met als pgf L(z) : L(z) = E[z l ] = +1X n=1 l n z n Uit deze laatste uitdrukking blijkt dat elk bericht minstens een pakket bevat (l 0 = 0), wat logisch is, een bericht zonder pakketten is geen bericht. We maken nu ook volgende belangrijke onderstellingen : 10

20 I Alle gebruikers hebben dezelfde distributie voor de berichtlengte en deze distributie is stationair. I Alle gebruikers zijn onafhankelijk van elkaar qua berichtlengte, dwz. het aantal pakketten in een bericht van de ene gebruiker (een realisatie van l) heeft geen invloedophet aantal pakketten in een bericht van een andere gebruiker (een andere realisatie van l). De berichtlengte op zich is eigenlijk geen toevalsproces. Het is te zien als de link tussen het pakketaankomstproces e k en het berichtaankomstproces m k. Deze laatste denieren we als de TG die weergeeft hoeveel gebruikers uit de populatie in slot k het eerste pakket van een bericht (leading packet-arrival) verzenden : Prob[ m k = n ], Prob[ n leading-packet arrivals in slot k ] (1.14) M(z) = E[z m k ] = +1X n=0 Prob[ m k = n ] z n Het proces m k is te interpreteren als het aantal nieuwe berichten waarvan de transmissie begint in slot k. Uit de denitie volgt ook dat indien de berichtlengte deterministisch 1 is (L(z) = z), het aankomstproces e k zich herleidt tot het berichtaankomstproces m k. Dit is intutief duidelijk vermits er in dit geval geen onderscheid meer is tussen pakketten en berichten. Voor andere verdelingen van de berichtlengte is het verband tussen e k en m k zwaar afhankelijk van de manier waarop de gebruikers een bericht versturen naar de buer. In deze tekst beschouwen we nu twee verschillende manieren waarop dit kan gebeuren : 1. Groepsaankomsten, batch arrivals In dit geval zijn de toegangslijnen van de bronnen breed genoeg en worden alle pakketten van een bericht tijdens een slot naar de buer gestuurd. Men spreekt ook wel van `fast acces lines'. In het geval van groepsaankomsten { geschetst in guur 1.3(a) { heeft elk nieuw bericht in slot k dus een l pakketaankomsten tot gevolg, bepaald door L(z). Aangezien dit aantal voor elk bericht onafhankelijk is, kunnen we schrijven voor het aantal aankomsten in slot k : e k = Xm k j=1 l (j) (1.15) waarbij l (j) iid (onafhankelijk en identiek gedistribueerde) grootheden zijn met dezelfde distributie als l. 2. Treinaankomsten, train arrivals Hiermee duidt men aan dat de berichten in de buer aankomen aan een tempo van een pakket per slot, zoals in guur 1.3(b). Daarbij onderstellen we dat er geen onderbrekingen in de transmissie voorkomen. Een bericht met lengte n zal dus gedurende n opeenvolgende slots een pakket versturen naar de buer. Het feit dat de pakketten van een bericht 'in trein' aankomen kan op twee dingen duiden : ofwel duurt het verzendensklaar maken van elk pakket door de bron een volledig slot (`slow message generation') ofwel ligt de bottleneck bij de toegangslijnen die dan { net als het uitgangskanaal { slechts een pakket kunnen versturen per slot (`low-speed acces lines'). Voor het buergedrag u k komt ditechter op hetzelfde neer. Men ziet in dat het gebruiken van meerdere slots voor een bericht een bijkomende slot 11

21 tot slot-correlatie introduceert in het pakketaankomstproces. Stel u bijvoorbeeld een situatie voor waarbij alle berichten minstens twee pakketten bevatten : l 0 = l 1 = 0. Wanneer dan tijdens slot k in de buer het eerste pakket van een bericht aankomt, is het zeker dat tijdens slot k +1 er ook een zal aankomen. De distributie van de TG e k+1 jfm k =1g is dus verschillend van die van de onvoorwaardelijke e k+1. Zo ziet men bijvoorbeeld in dat de eerste nooit 0 kan zijn, in tegenstelling tot deze laatste. Algemeen zien we dus dat e k afhangt van het verleden en een analoge uitdrukking als (1.15) is minder voor de hand liggend. Verderop komen we hierop terug. Treinaankomsten zijn in ATM-netwerken een veel voorkomende situatie. In het vervolg, wanneer we een slot beschouwen dat deel uitmaakt van een berichttrein uit een bepaalde bron, zullen we zeggen dat er een bericht `loopt', `bezig is' of nog, dat de bron `aan het zenden is'. Merk op dat de genoemde vorm van correlatie bij groepsaankomsten niet voorkomt. In de volgende paragraaf zullen we echter een bijkomend corelatiemechanisme invoeren zodat het aankomstproces ook bij groepsaankomsten is gecorreleerd Omgevingstoestanden met geometrische verblijftijden De `omgeving' van een wachtlijnsysteem kan opgevat worden als een concept dat mogelijks bepalend is voor een of meer deelprocessen van dit systeem. Omgekeerd echter, is het poces dat de omgeving modelleert zelf totaal onafhankelijk van het wachtlijnproces. Zoals in [12, 13], zullen we nu onderstellen dat de omgeving zich gedurende elk slot in een van twee mogelijke toestanden kan bevinden. We noemen deze omgevingstoestanden '0' en '1', elk slot is dan wat we noemen een '0'-slot, ofwel een '1'-slot. Tijdens het bedrijf van het buersysteem wisselen beide toestanden elkaar beurtelings af : gedurende enkele slots is de toestand '0', daarna enkele slots weer '1', vervolgens terug '0', '1', enzovoort. Het aantal opeenvolgende slots waarin de omgevingstoestand dezelfde blijft noemen we de verblijftijd (sojourn time) inn deze toestand. We spreken dan van '0'-tijden en '1'-tijden. Deze zijn te modelleren door (weeral) een positieve discrete TG en we onderstellen : I De distributies van de verblijftijden zijn geometrisch en net als de berichtlengte in vorige paragraaf zijn de verblijftijden in elk van beide toestanden stationair, dwz. hun distributie is onveranderlijk in de tijd. In de analyse van discrete wachtlijnsystemen zal men dikwijls met plezier parameters modelleren door geometrisch verdeelde TG'n. Dit geeft meestal aanleiding tot een sterk vereenvoudigde analyse van het wachtlijnproces, zoals zal blijken in hoofdstukken 4 en 5 voor de verdeling van de berichtlengte. De reden reden hiervoor is dat men met voordeel kan gebruik maken van wat men de `geheugenloze' eigenschap van de geometrische verdeling noemt. Onderstel bijvoorbeeld een TG y, dan kunnen we onafhankelijk van de distributie van y schrijven : Prob[ y = n ] = Prob[ q(y n +1)j y n ] Prob[ y n j y n ; 1] Prob[ y n ; 1 j y n ; 2] ::: Prob[ y 1 j y 0] (1.16) Stel nu dat y geometrisch verdeeld is met parameter, dwz. de massafunctie van y gegeven is door : Prob[ y = n ]=(1; ) n 12

22 Bernoulli-trial j x j =1 x j =0 1- Figuur 1.4: Realisatie van een geometrische toevalsgrootheid wat we ook nog zullen noteren als Geom(). Het is dan eenvoudig aan te tonen dat alle conditionele probabiliteiten uit voorgaande uitdrukking gelijk zijn aan, behalve de eerste welke dewaarde 1 ; heeft. Hierdoor is het mogelijk de realisatie van y op eenvoudige wijze te ontbinden in een aantal opeenvolgende stappen. De procedure, te beginnen bij stap j = 1, is als volgt : Bij stap j wordt een Bernoulli-experiment gedaanwelke dewaarde(0of1)van een TG x j oplevert met als pgf : x j (z) = Prob[ y j +1jy j ] z +Prob[ q(y j +1)jy j ] (1.17) = z +1; (1.18), x(z) j =0 1 2 ::: x j =1:gaover naar stap j +1. x j =0:beeindig de procedure en retourneer j als de waarde van y. De procedure gaat voort zolang x j de waarde 1 oplevert, zoals is gellustreerd in guur 1.4. We noemen deze procedure `geheugenloos' omdat de distributie van x j onafhankelijk is van in de hoeveelste stap van de procedure men zich bevindt. De index j kan dus gerust worden `vergeten' en de pgf x(z) bepaalty nu volledig. Men kan dus stellen dat met elke Geom() grootheid y een Bern() grootheid x correspondeert. De geheugenloze eigenschap maakt dat de rij x 1 x 2 ::: een rij van iid TG'n is. Het schema op guur 1.4 is ook op te vatten als een statentransitiediagram (STD) met twee staten : bezig en einde 5.Terloops merken we ook op dat de geometrische distributie de discrete tegenhanger is van de exponentiele verdeling waarvoor een gelijkaardige geheugenloze eigenschap geldt. Zoals uit (1.16) blijkt kan de ontbinding ook worden toegepast wanneer y niet geometrisch is. In dat geval echter zal de verdeling van elke x j wel bij iedere stap anders zijn. De distributie van y wordt dan in principe bepaald door een oneindig aantal andere distributies : y(z) fx j (z) j=1 2 :::g 5 de aanduiding `start' duidt enkel de begintoestand van het STD aan. 13

23 Op het eerste gezicht lijkt dit geen winst op te leveren, maar toch zullen we in hoofdstuk 5 hier handig gebruik van maken. Het schema van guur 1.4 zullen we in het vervolg ondermeer gebruiken om de geometrische verblijftijden van beide omgevingstoestanden te modelleren. Zo zijn de '0'-tijden en de '1'- tijden Geom(), respectievelijk Geom() verdeeld : Prob[ '0'-tijd is n slots ] = (1 ; ) n Prob[ '1'-tijd is n slots ] = (1 ; ) n De Bernoulli veranderlijken die krachtens bovenstaande bespreking deze distributies bepalen noemen we nu a j, en b j. Hun distributies zijn bepaald door de generende functies a(z) en b(z) : a(z) = z + 1 ; b(z) = (1 ; )z + Merk op dat b(z) niet geheel conform (1.18) is. Dat komt omdat we in de procedure op pagina 13 voor de '0'-tijden de betekenis van de Bernoulli veranderlijken b j hebben omgekeerd. Bij b j =0wordt overgegaan naar de volgende stap en bij b j = 1 eindigt de '0'-tijd. Aangezien de '0'-tijden en de '1'-tijden elkaar beurtelings afwisselen kunnen we nu hun transitiediagrammen aan elkaar hangen, en wel zodanig dat de toestand einde van de ene overeenkomt met de toestand bezig van de andere. Het resultaat daarvan is het STD te zien op guur 1.5. De waarde van de veranderlijken a j en b j heeft nu als betekenis de toestand die de omgeving zal aannemen in het volgende slot. Wanneer deze waarde 1 is, wordt de omgevingstoestand '1' en wanneer ze 0 is, wordt de toestand '0'. De overgangsprobabiliteiten in het STD hangen af van de verdelingen a(z) en b(z). We zien dus dat de omgevingstoestand wordt bepaald door een Markov-proces dat we in het vervolg zullen aanduiden met t k : Prob[ t k = i ] = Prob[ omgevingstoestand is 'i' in slot k ] i =0 1 (1.19) De toestand t k doorloopt het samengestelde STD van guur 1.5 en is een Bernoulli-veranderlijke 6 met ofwel distributie a(z) (a k ) ofwel distributie b(z) (b k ), naargelang de waarde van t k;1. t k = ak,alst k;1 =1 b k,alst k;1 =0 (1.20) Uit (1.20) volgt dat de omgevingstoestand inderdaad Markoviaans is. Om mee te rekenen is het handiger deze uitdrukking te schrijven als t k = Verder voeren we nog de pgf van t k in : tx k;1 j=1 a j + 1;t X k;1 j=1 T (z) = E[z t k ] = Prob[ t k =1] z + Prob[ t k =0] b j (1.21) Het is gemakkelijk deze distributie te vinden door bijvoorbeeld het STD doormidden te snijden. Bij evenwicht zal het aantal overgangen van '0' naar '1' gelijk zijn aan het aantal overgangen van '1' naar '0', zodat: (1;)Prob[ t k =1] = (1;) Prob[ t k =0] 6 Hier vergeten we even het onderscheid tussen de staat 'i' en de waarde i. 14

24 a j =1 t k a j = b j =1 1- b j =0 0 b 1 =0 a b2 =0 b 3 =0 b 1 =1 4=1 b 5 =0 a2 =1 a 3=0 a 4 =0 b6 =0 k Figuur 1.5: Statendiagram van de omgeving Samen met de normeringsvoorwaarde leidt dit tot : T (z) = (1;)z +(1;) 2;; (1.22) Berichtgeneratie Alles wel beschouwd kan het omgevingsproces gezien worden als de abstractie van een of andere `externe factor' die van invloed is op het wachtlijnsysteem. In het model dat wij beschouwen zal de omgevingstoestand t k van invloed zijn op het aankomstproces, dwz. op het gedrag van de gebruikerspopulatie. Meer bepaald onderstellen we dat de distributie van het aantal nieuwe berichten in slot k anders is in een '0'-slot dan in een '1'-slot. I Het aantal nieuwe berichten in slot k is enkel afhankelijk van de omgevingstoestand t k. Er geldt dus : m k = w 1 k,alst k =1 wk 0,alst k =0 (1.23) Daarbij zijn w 1 k en w0 k iid grootheden met als pgf M 1(z), respectievelijk M 0 (z). (1.23) kan ook geschreven worden als m k = t k X j=1 w 1 j + 1;t X k j=1 w 0 j (1.24) Dit gezegd zijnde kunnen we nu ook een uitdrukking voor M(z) { de distributie van het onvoorwaardelijk aantal nieuwe berichten { bepalen. Omdat we in de volgende hoofdstukken gelijkaardige manipulaties veelvuldig zullen uitvoeren geven we hier voldoende tussenstappen. M(z) = E[z m k ] 15

25 h P t k = E z j=1 w +P j 1 1;t k i j=1 w0 j 2 3 Yt k 4 z w z 1 0 w1 j 5 = E 2 j=1 z w0 j Yt k = E4 M0 (z) j=1 " M1 (z) = M 0 (z) E M 0 (z) M1 (z) = M 0 (z) T M 0 (z) M 1 (z) M 0 (z) 3 5 tk # (1.25) De derde en vierde stap volgen uit het feit dat de w 0 j en w1 j onafhankelijk zijn van t k en dat dus E w 0 j w 1 j t k [:::] = E t k [E w 0 j w 1 j [:::]] Stabiliteitsoverwegingen We hebben reeds eerder aangehaald dat de stabiliteit van het systeem een nodige voorwaarde is voor het bereiken van een stochastische regime. Voor ons model houdt deze stabiliteit in dat de parameters van het aankomstproces zodanig worden gekozen dat de intensiteit van het aantal pakketaankomsten de maximale verwerkingsintensiteit niet overtreft. Aangezien de server nooit wordt onderbroken bedraagt deze laatste 1. Het gemiddeld aantal pakketten per slot is E 0 (1) en er geldt dus : E 0 (1) 6 1 Intutief kan men ook inzien dat deze voorwaarde ook kan worden geschreven als : M 0 (1) L 0 (1) 6 1 (1.26) zowel voor groeps- als treinaankomsten. Inderdaad, L 0 (1) is de gemiddelde lengte van alle berichten, of die nu beginnen in een '0'-slot of in een '1'-slot. M(z) ishetonvoorwaardelijk aantal nieuwe berichten, dwz. rekening houdend met de toestandswisselingen. Er starten dus gemiddeld gezien M 0 (1) berichten per slot en elk van deze heeft gemiddeld L 0 (1) aankomsten tot gevolg, vandaar (1.26). Overigens zullen in een stabiel systeem met oneindige capaciteit de aankomst- en de verwerkingsintensiteit steeds aan mekaar gelijk zijn. We noemen deze grootheid de `bezettingsgraad' ofde`load', dwz. de gemiddelde hoeveelheid pakketten die het systeem per slot verwerkt. Uit (1.25) en (1.22) volgt dat deze bezettingsgraad kan geschreven worden als : E 0 (1) = (1;)M 0(1) 0 + (1;)M1(1) 0 L 0 (1) 6 1 (1.27) 2;; We zullen dus steeds de waarden, en de distributies M 0 (z), M 1 (z) en L(z) zo moeten kiezen dat aan deze voorwaarde is voldaan. Dit is een belangrijke beperking op de onderstelling die we maakten op pagina 8 dat het aantal aankomsten in een bepaald slot willekeurig groot kan zijn. Het kan aangetoond worden dat voor discrete-tijd buersystemen met 1 server volgend verband bestaat tussen de bezettingsgraad en de kans p 0 dat de buer leeg is tijdens een willekeurig slot in regime : p 0 = 1 ; E 0 (1) (1.28) 16