Prioriteitswachtlijnen met gelimiteerde opslagcapaciteit voor de hoge prioriteitsklasse

Transcriptie

1 Faculteit Ingenieurswetenschappen Vakgroep Telecommunicatie en Informatieverwerking Voorzitter: Prof. dr. ir. H. Bruneel Onderzoeksgroep: SMACS Prioriteitswachtlijnen met gelimiteerde opslagcapaciteit voor de hoge prioriteitsklasse door Thomas Demoor Promotor: Prof. dr. ir. H. Bruneel Scriptiebegeleiders: Dr. Ir. J. Walraevens, Lic. T. Maertens Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van Licenciaat in de Informatica Academiejaar

2

3 Faculteit Ingenieurswetenschappen Vakgroep Telecommunicatie en Informatieverwerking Voorzitter: Prof. dr. ir. H. Bruneel Onderzoeksgroep: SMACS Prioriteitswachtlijnen met gelimiteerde opslagcapaciteit voor de hoge prioriteitsklasse door Thomas Demoor Promotor: Prof. dr. ir. H. Bruneel Scriptiebegeleiders: Dr. Ir. J. Walraevens, Lic. T. Maertens Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van Licenciaat in de Informatica Academiejaar

4 Voorwoord De dag van vandaag is het belang en de impact van digitale communicatie toegenomen tot ongekende hoogten. De laatste jaren merken we vooral een ongebreidelde groei van het aantal real-time toepassingen op het internet. Denk maar aan alle internetradio s, de filmpjes op Youtube, de mogelijkheid om het nieuws online te bekijken, video-conferenties, online telefoneren,... Gebruikers verwachten hierbij een vloeiende toepassing zonder vertraging en zonder onderbrekingen. Vanzelfsprekend verwachten ze ook dat de meer klassieke toepassingen van internet, zoals bvb. een bestand of een versturen, hier geen merkbare hinder van ondervinden. Door het grote verschil tussen de verwachte performantie, qua snelheid en aankomstgarantie, tussen real-time pakketten en data-pakketten wordt er zeer veel druk gelegd op netwerkelementen bvb. routers. Deze netwerkelementen kunnen wiskundig gemodelleerd worden als buffers en door het gedrag van deze buffers te analyseren kunnen we het echte gedrag min of meer voorspellen. Ondanks het analytische karakter van deze scriptie zijn de toepassingen van dit soort werk hoogtechnologisch. Als student toegepaste wetenschappen draag ik dus maar al te graag mijn steentje, hoe klein hij ook moge zijn, bij tot het bestuderen van deze materie. Dit werk is er niet alleen gekomen door mijn interesse in het vakgebied, er zijn nog tal van mensen die, elk op hun manier, bijgedragen hebben tot dit werk. Ik wens eerst en vooral mijn promotor te bedanken voor het vertrouwen en de geboden kans. Tevens wens ik mijn thesisbegeleiders te bedanken voor de grote hoeveelheid tijd en energie die ze in mij en dit werk stopten. In het bijzonder bedank ik Joris Walraevens voor de nuttige tips en de uren doorgebracht in de computerzaal als Maple weer eens maandagmorgen-gedrag vertoondde. Verder wens ik ook Prof. Sabine Wittevrongel te bedanken voor het ter beschikken stellen van haar cursus. Uiteraard bedank ik ook mijn ouders. Omdat ik de kans gekregen heb om te studeren en mezelf te ontplooien de voorbije jaren. Ook mijn vriendin, Céline, verdient een woordje van dank. Ook door haar gewichtige taak als hoofd spellingscontrole maar vooral voor de onvoorwaardelijke steun die ze mij nu al meer dan zes jaar biedt. Tenslotte wil ik nog een aantal mensen bedanken die hier niet bij naam vermeld zijn maar die, door hun positieve invloed, bijgedragen hebben tot wie ik ben. Bedankt.

5 Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie. Thomas Demoor, juni 2007

6 Prioriteitswachtlijnen met gelimiteerde opslagcapaciteit voor de hoge prioriteitsklasse door Thomas Demoor Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van Licenciaat in de Informatica Academiejaar Promotor: Prof. dr. ir. H. Bruneel Scriptiebegeleiders: Dr. Ir. J. Walraevens, Lic. T. Maertens Faculteit Ingenieurswetenschappen Universiteit Gent Vakgroep Telecommunicatie en Informatieverwerking Voorzitter: Prof. dr. ir. H. Bruneel Samenvatting In dit werk bestuderen we een buffersysteem met twee prioriteitsklassen. De hoge prioriteitspakketten komen toe in een eindige buffer, de lage prioriteitspakketten in een oneindige buffer. We geven absolute prioriteit aan de hoge prioriteitspakketten en analyseren de invloed hiervan op het buffersysteem. We doen dit eerst zonder correlatie tussen beide prioriteitsklassen en introduceren daarna correlatie tussen beiden. Voor het ongecorreleerde geval worden uitdrukkingen bekomen voor de genererende functies van alle belangrijke performantiematen. We bekomen dat de belasting van de hoge prioriteitsbuffer de invloed op de lage prioriteitsbuffer bepaalt. Hoe lager de belasting hoe kleiner de buffergrootte van de hoge prioriteitsklasse moet zijn om eenzelfde performantie te bekomen. Voor het gecorreleerd geval wordt een methode uiteengezet om de gezamelijke genererende functie van de bufferbezetting van de hoge en de lage prioriteitsbuffer numeriek te bepalen. Trefwoorden discrete-tijd wachtlijntheorie, prioriteiten, eindige buffergrootte, genererende functie

7 Priority queues with limited storage capacity for the high priority class Thomas Demoor Supervisors: Prof. dr. ir. H Bruneel, Dr. ir. J. Walraevens Abstract In this article we consider a discrete-time queueing system with head-of-line priority and two priority classes. The system can only contain a limited number of high-priority packets. We obtain expressions for probability generating functions pgfs and moments of the system contents and the delay of both priority classes and for the packet loss ratio of the high-priority class. Keywords Discrete-Time Queueing, Priority, Finite Buffer Size, Probability Generating Function I. INTRODUCTION We study the effect of head-of-line delay-priority scheduling. Consider a discrete-time queueing system with one transmission line serving two buffers. A finite-size buffer for the highpriority packets class 1 and a buffer with infinite size for the low-priority packets class 2. Class-1 packets have absolute priority over packets of class 2. Within each class the queueing discipline is FCFS First-Come-First-Served. Figure 1 shows an abstract representation of our buffer model. We assume that the transmission time of a packet is always equal to 1 slot, that the numbers of arrivals of both classes are i.i.d. independant and identically distributed from slot to slot and that the arrival processes of class 1 and class 2 are statistically independant. This allows us to study both buffers seperately. The class-1 buffer is not influenced by class-2 packets and can consequently be studied as if it was the only buffer in the system. The class-2 buffer can be analyzed as a buffer with random server interrruptions as in [?]: the transmission line is available for the class-2 buffer when the class-1 buffer is empty and is blocked for the class-2 buffer during the busy periods of the class-1 buffer. II. MODEL We assume that the class-1 buffer is finite of size N server exclusive and that the class-2 buffer has infinite size. We define a 1,k and a 2,k as the number of arrivals, during slot k, of class 1 and class 2 respectively. They have A 1 z and A 2 z as probability generating functions The buffer contents of class 1 and 2 at the beginning of slot k are defined as u 1,k and u 2,k respectively. Their probabilty generating functions are U 1 z and U 2 z respectively. Finally we define ã 1,k as the number of class-1 packets that is effectively allowed into the system during slot k. This random variable is clearly influenced by the class-1 system contents at the beginning of slot k and its probability density function is denoted by a n 1 l, the probability that l class-1 packets are allowed into the system if the buffer contents of class 1 at the beginning of the slot equal n. III. BUFFER ANALYSIS Due to the finite buffer size the buffer contents of the class-1 buffer in steady-state are easily obtained by solving a system of Fig. 1. Buffer representation equations characterized by the normalization condition and and the following expressions with i from 0 to N 1 u 1 i = u 1 N = i j=0 N 1 j=0 a i+1 j 1 ju 1 i + 1 j + a 0 1iu 1 0, a N j 1 j + 1u 1 N j + a 0 1Nu 1 0. Again due to the finite nature of the buffer size the delay of a random tagged packet is easily obtained. Its probability density function in steady-state is P rob[d 1 = n] = u 1 0fn n u 1 ifn i. 2 i=1 with fn, which can be found as s function of a 1 i, the number of packets that arrived before the tagged packet during the arrival-slot of the tagged packet. We also easily obtain the packet loss ratio of the class-1 bufffer as P LR = A 11 1 u 1 0 A In order to analyse the class-2 buffer content, we first study the busy periods of the class-1 buffer. In order to determine these busy periods we first define R n z as the conditional probability generating function of the remaining busy period, at the beginning of a slot in a busy period, if the class-1 buffer content at the beginning of that slot equals n. The considered class-1 buffer

8 content is at least 1, because during a busy period the buffer content is always larger than 0, and at most N, due to the finite buffer size. In steady state we find N n+1 R n z = z R n 1+l za n 1 l, 1 n N. 4 l=0 We can thus express every R n z in function of R n 1 z to R N z. We note that R 0 z=1. This leaves us with a system of N + 1 lineair equations with N + 1 unknowns R 0 z to R N z that we can solve. Notice that a busy period is nothing else than a remaining busy period in a random slot that is predeceded by a slot with empty system contents at the beginning of the slot and a number of arrivals larger than 0. Thus we obtain as probabilty generating function for the busy period of the class-1 buffer N l=1 Bz = R lza 0 1l 1 a The idle period of the class-1 buffer is clearly geometrically distributed with parameter a 1 0. Finally we define σ as the probability that the transmission line is available for class-2 packets during a random slot in steady state and is given by E[idle period] σ =. Now we can 1 E[idle period]+e[busy period] = 1+ 1 a 10 B 1 determine the pgf of the class-2 buffer contents as in [?]. We obtain U 2 z = σ A 21 z 1A 2 z 1 A2 z 1 A 2 z [ a a 1 0 B A 2 z ] z A 2 z [ a a 1 0 B A 2 z ]. The delay of class-2 packets is also clearly influenced by the class-1 packets. In [?] a more complex system with generally distibuted service times is studied. We define S A z as the pgf of the number of slots, counting from the slot where the considered packet becomes the next class-2 packet to be served, until the slot where the packet leaves the buffer. We have 6 S A z = a 1 0z + 1 a 1 0 zbz. 7 We define q k,a as the probability that the transmission line is available during the kth slot following a slot during which the transmission line was avialable. Its probability generating function is given by Q A z = a 10z + 1 a 1 0 zbz 1 a 1 0z 1 a 1 0 zbz. 8 By using the results of [?] the class-2 packet delay can be found as σ 1 1 σ 21 z A A 2 SA z 1 S A z D 2 z = A 2 1Q Az A 2 SA z 9 z S A z 1 From the pgfs obtained in this section all moments can be calculated. Fig. 2. Mean Buffer Contents Class 2 Fig. 3. Mean Buffer Delay Class 2 IV. NUMERICAL EXAMPLE Let us consider a geometric arrival process with parameter 0.4 for class 2. In Fig. 2 we have placed a class-1 buffer with a geometric arrival process with parameter 0.4 in the same system. In Fig. 3 we have placed a class-1 buffer with a geometric arrival process with parameter 0.2 in the same system. The graph in Fig. 3 converges much faster to the value corresponding with an infinite buffer size than the graph in Fig. 3. We see that the mean buffer contents of class-2 are clearly influenced by the difference in load of the class-1 buffer. V. CONCLUSIONS We have studied a discrete-time queueing system with headof-line priority and two priority classes. The influence of the high-priority buffer size on the low priority buffer was examined and we conclude that how higher the class-1 load how larger the class-1 buffer size must be to reach the same level of performance. ACKNOWLEDGMENTS The author would like to acknowledge Prof. dr. ir. Bruneel for supervising my thesis and Dr. ir. J. Walraevens for his continuous support. REFERENCES [1] Herwig Bruneel, Analysis Of Buffer Behaviour For An Integrated Voice- Data System, Electronics Letters, 1983, 192, [2] Dieter Fiems, Bart Steyaert, Herwig Bruneel, Discrete-Time Queues With Generally Distributed Service Times And Renewal-Type Server Interruptions, 2004, Performance Evaluation 55,

9 Inhoudsopgave Voorwoord Toelating tot bruikleen Overzicht Extended abstract Inhoudsopgave i ii iii iv vi 1 Inleiding Kort geschetst Wat is wachtlijntheorie? Modelleren van buffers Aankomstproces Uitgangsproces Opslagcapaciteit Wachtlijndiscipline Performantiematen voor buffers Bufferbezetting Vertragingstijd Verlieskans Actieve en Passieve periode Basiseigenschappen Evenwichtsvoorwaarde Stelling van Little Uitgewerkt voorbeeld Bufferbezetting Ongecorreleerde aankomsten Inleiding Model Bufferbezetting klasse Vertragingstijd klasse Verliesfractie klasse vi

10 Inhoudsopgave vii 2.6 Actieve en passieve periode klasse Passieve periode Actieve periode Bufferbezetting klasse Vertragingstijd klasse Toepassing Zware belasting klasse-1 buffer Lichte belasting klasse-1 buffer Conclusie Gecorreleerde aankomsten Inleiding Model Bufferbezetting Buffergrootte Buffergrootte Buffergrootte N Toepassing Besluit en verderzetting 49 Bibliografie 50

11 Hoofdstuk 1 Inleiding In dit inleidende hoofdstuk schetsen we eerst kort waarover deze scriptie handelt en wat wachtlijntheorie nu net is. Vervolgens zetten we uiteen hoe buffers wiskundig voorgesteld kunnen worden en welke grootheden van belang zijn bij de analyse van een buffersysteem. We werken ook een simpel voorbeeld uit ter introductie voor de lezer met minder ervaring in het vakgebied. Bij het schrijven van deze inleiding heb ik veelvuldig gebruik gemaakt van de cursussen [1], [2] en [3]. 1.1 Kort geschetst In deze scriptie zullen we wachtlijnsystemen in discrete tijd bestuderen waarbij we de te bedienen pakketten indelen in verschillende prioriteitsklassen. Hoe hoger de prioriteitsklasse van een pakket hoe sneller we deze willen verwerken, dit natuurlijk liefst zonder de pakketten uit lagere prioriteitsklassen uit het oog te verliezen. Dit is een actueel relevante studie want ze is zeer goed van toepassing op digitale communicatienetwerken. In elk knooppunt van zo n netwerk is een buffer aanwezig waar de pakketten even bewaard kunnen worden als ze hun weg door het netwerk niet onmiddellijk kunnen voortzetten. Het is in deze buffers dat de wachtfenomenen, die we gaan bestuderen, zich voordoen. In digitale communicatienetwerken worden pakketten getransporteerd met behulp van netwerkprotocollen zoals, het alom gekende, IP-protocol of het ATM-protocol Asynchronous Transfer Mode. Dit is een connectie georiënteerd protocol dat met zekerheid de gevraagde QoS Quality of Service verleent aan elke connectie en vaak gebruikt wordt in WAN s Wide Area Network. Voor het verlenen van deze QoS wordt veelvuldig gebruik gemaakt van prioriteiten. ATM is gemakkelijker te analyseren in discrete-tijd want de lengte van een pakket ligt vast op 48 bytes. Voor het bestuderen van IP-netwerken moet men rekening houden met berichten die een variabel aantal pakketten kunnen bevatten. Real-time pakketten internettelefonie, streaming video moeten zo snel mogelijk over het netwerk verstuurd worden terwijl de meer klassieke data pakketten , www vooral ge- 1

12 Hoofdstuk 1. Inleiding 2 garandeerde ontvangst vergen en dus zo weinig mogelijk verloren mogen gaan. Over het algemeen kan men twee types prioriteiten onderscheiden: vertragingsprioriteit en verliesprioriteit. Vertragingsprioriteit probeert de vertragingstijd van de vertragingsgevoelige real-time pakketten te minimaliseren door deze voorrang te geven op de data pakketten. Verliesprioriteit daarentegen probeert de verlieskans van de data pakketten te beperken. Real-time pakketten heten vertragingsgevoelig / verliesongevoelig en data pakketten zijn dan weer vertragingsongevoelig / verliesgevoelig. Wij zullen ons in deze scriptie concentreren op vertragingsprioriteit met twee prioriteitsklassen. De pakketten uit de hoge prioriteitsklasse komen terecht in een eindige wachtlijn en deze uit de lage prioriteitsklasse in een oneindige wachtlijn. Door het gebruik van een eindige wachtlijn voor de hoge prioriteit is het mogelijk dat pakketten zich aanbieden terwijl de wachtlijn al volzet is en deze pakketten dus door het systeem geweigerd worden en verloren gaan. Er zijn twee redenen waarom dit niet zo erg is. Eerst en vooral zijn de hoge prioriteitspakketten verliesongevoelig. Ten tweede, indien er zeer veel hoge prioriteitspakketten in het systeem zouden zitten dan worden de lage prioriteitspakketten helemaal niet meer bediend omdat ze steeds voorrang moeten verlenen aan de oneindig lijkende stroom hoge prioriteitspakketten en dit is in de praktijk helemaal niet gewenst. Door dus het aantal hoge prioriteitspakketten, dat gelijktijdig in het systeem kan zitten, te beperken wordt verliesprioriteit gecreëerd voor de andere pakketten. 1.2 Wat is wachtlijntheorie? Wachtlijntheorie is de wiskundige studie van wachtfenomen. Deze fenomenen zijn onvoorspelbaar van aard en worden dus best beschreven met probabilistische modellen. Wachtlijntheorie is dus eigenlijk een tak van de toegepaste probabiliteitstheorie. Enkele bekende voorbeelden van wachtlijnproblemen zijn de rij wachtende mensen aan een loket, de rij auto s aan een verkeerslicht,... Dit zijn allemaal voorbeelden van wachtlijnen in continue tijd. Wij zullen wachtlijnsystemen in discrete tijd analyseren. Dit wil zeggen dat een element het systeem alleen kan verlaten op een rij van discrete tijdstippen en deze methode is uitermate geschikt voor het analyseren van telecommunicatienetwerken. 1.3 Modelleren van buffers We schetsen nu kort hoe we een buffer in een telecommunicatiesysteem kunnen modelleren. We maken gebruik van synchrone transmissie. De tijd wordt ingedeeld in slots van vaste lengte zoals in Figuur 1.1. Er kan dus per slot een vaste hoeveelheid informatie verstuurd worden, gesynchronizeerd op de slotgrenzen. De informatie wordt opgesplitst in pakketten, van vaste of variabele grootte, met dus respectievelijk een vaste of variabele transmissietijd.

13 Hoofdstuk 1. Inleiding 3 Figuur 1.1: Discrete indeling van de tijd Meestal werken we met pakketten van vaste lengte en kiezen we de slotlengte zodat een pakket precies in een slot verstuurd kan worden. Voor pakketten met variabele lengte kunnen eventueel meerdere slots vereist zijn. De slotgrenzen vormen een rij van discrete tijdstippen en daarom zijn buffermodellen in discrete tijd uitermate geschikt om buffers in telecommunicatienetwerken te bestuderen. Figuur 1.2 toont een schematische voorstelling van een buffersysteem. Figuur 1.2: Abstracte voorstelling buffersysteem De pakketten komen het systeem binnen via één of meerdere ingangslijnen, wachten in de wachtlijn / buffer tot ze aan de beurt zijn en worden dan bediend door de server die ze, via de uitgangslijnen, naar hun bestemming verstuurt. We gaan nu even dieper in op de verschillende factoren die het gedrag van het buffersysteem beïnvloeden.

14 Hoofdstuk 1. Inleiding Aankomstproces Het aankomstproces beschrijft de mate waarin pakketten het systeem betreden langs de ingangslijnen. Dit gebeurt meestal op onregelmatige wijze en wordt dus best op stochastische wijze beschreven. Gewoonlijk gebeurt dit met een rij niet-negatieve discrete toevalsgrootheden, één per slot, die aanduiden hoeveel pakketten er zich aan het systeem aanbieden. Deze toevalsgrootheden kunnen al dan niet identisch gedistribueerd zijn. Als deze grootheden onderling statistisch onafhankelijk zijn dan spreken we van een ongecorreleerd aankomstproces. Anders heet het aankomstproces gecorreleerd. Men zegt vaak dat toevalsgrootheden i.i.d. independent and identically distributed zijn. Dit betekent dus dat de grootheden dezelfde probabiliteitsditributie hebben en dat ze onafhankelijk van elkaar zijn. Indien er meerdere ingangslijnen zijn kan men ofwel een algemene beschrijving geven van alle lijnen samen of per ingangslijn apart de aankomsten karakteriseren. Let er wel op dat de synchrone transmissie die we hierboven ondersteld hebben enkel van toepassing is op de transmissie, dus het uitgangsproces. Over het ingangsproces maken we in deze scriptie geen veronderstellingen en er kunnen dus gelijk wanneer gedurende een slot pakketten aankomen Uitgangsproces Het uitgangsproces beschrijft de mate waarin pakketten het systeem verlaten. Net na een slotgrens wijst de server de transmissielijnen een pakket ter versturing toe indien dit mogelijk is. Dit proces wordt niet enkel beïnvloed door het aantal uitgangslijnen maar ook de transmissietijd van elk pakket en de mate waarin de lijnen beschikbaar zijn voor transmissie. De transmissietijd van een pakket is het aantal slots dat een uitgangslijn bezet is door het versturen van dit pakket. Deze kan dus beschreven worden door een positieve discrete toevalsgrootheid. De onbeschikbaarheid van de uitgangslijnen wordt meestal gekarakteriseerd aan de hand van een rij toevalsgrootheden, één per slot, die aangeven hoeveel lijnen er beschikbaar zijn. Ook hier kunnen deze grootheden al dan niet statistisch onafhankelijk zijn en spreekt men van een ongecorreleerd uitgangsproces. De transmissie gebeurt synchroon en kan dus enkel starten op een slotgrens. Hierdoor moeten pakketten die de buffer binnenkomen tijdens een slot minimum tot het volgende slot wachten tot hun transmissie kan beginnen. Zelfs als de buffer leeg is en er dus geen transmissie bezig is moeten pakketten die aankomen wachten tot het volgende slot. Transmissielijn en server hebben vaak, zeker in het geval dat er maar één transmissielijn is, dezelfde betekenis Opslagcapaciteit De opslagcapaciteit of buffergrootte is het maximaal aantal pakketten dat in de buffer kan worden opgeslagen. In de praktijk zijn buffers natuurlijk eindig en kunnen er dus pakketten verloren gaan indien zij zich aanbieden aan een buffersysteem dat reeds volzet is. Bij eindige buffers moet ook duidelijk vermeld worden of de plaatsen in de server meegeteld wordt

15 Hoofdstuk 1. Inleiding 5 worden. In mathematische modellen wordt de buffergrootte soms oneindig ondersteld. Dit vergemakkelijkt de analyse aanzienlijk en met behulp van staartprobabiliteiten kunnen we uit de oneindige buffer vrij accuraat het gedrag van een corresponderende voldoende grote eindige buffer afleiden. In deze scriptie zullen we voor de pakketten uit de hoge prioriteitsklasse een eindige buffer gebruiken en voor de lage prioriteitspakketten een oneindige buffer. Dit omdat we zo de modellen die men in de praktijk gebruikt het best benaderen Wachtlijndiscipline De wachtlijndiscipline beschrijft de volgorde waarin de pakketten in de buffer toegang krijgen tot de uitgangslijnen. De meest bekende wachtlijndiscipline is first-come-first servedfcfs. Hierbij worden de pakketten bediend in dezelfde volgorde waarin zij in het systeem binnegekomen zijn. Meer complexe wachtlijndisciplines maken vaak gebruik van prioriteiten. De pakketten worden dan in verschillende klassen ingedeeld. Dan wordt aan de hand van een planningsalgoritme scheduling algorithm de volgorde van verwerken van de pakketten bepaald. In deze scriptie gebruiken we een simpel algoritme dat absolute voorrang verleent aan pakketten van een hogere klasse. In de praktijk werden in de jaren 90 verschillende complexe algoritmes ontwikkeld, die de prioriteiten dynamisch aanpassen aan het aanwezige aantal pakketten van de verschillende klassen. Weighted Fair Queueing bijvoorbeeld wordt in de praktijk vaak gebruikt in belangrijke netwerkelementen zoals routers. 1.4 Performantiematen voor buffers Nu weten we hoe een buffer beschreven wordt en kunnen we overgaan tot het bestuderen van de buffer. We schetsen nu kort waar we eigenlijk in geïnteresseerd zijn bij de analyse van een buffersysteem Bufferbezetting Eerst en vooral zijn we natuurlijk geïnteresseerd in de bufferbezetting buffer contents, het aantal in de buffer opgestapelde pakketten. Het is niet altijd duidelijk wat men hiermee bedoelt. Indien enkel de pakketten die op bediening wachten worden geteld spreekt men van wachtlijnbezetting queue contents. Als de pakketten die zich in de server bevinden, omdat hun transmissie al aan de gang is, ook worden meegeteld dan spreekt men van de systeembezetting system contents. In deze scriptie wordt telkens duidelijk gespecifiëerd wat we nu net bedoelen met bufferbezetting. De bufferbezetting kan geobserveerd worden op verschillende tijdstippen. Meestal gebeurt dit op eigenlijk vlak na de slotgrenzen maar observatie op dit is, vlak voor aankomsttijdstippen en op dit is, vlak na vertrektijdstippen is ook mogelijk.

16 Hoofdstuk 1. Inleiding Vertragingstijd De vertragingstijd delay is, zeker in deze scriptie, een zeer belangrijke maat voor de prestatie van de buffer. Hiermee bedoelt men het aantal slots dat de pakketten doorbrengen in de buffer. Ook hier is er een onderscheid tussen systeemtijd system time en wachttijd waiting time alnaargelang de transmissietijd van het pakket al dan niet meegerekend wordt Verlieskans De verlieskans loss probability in een eindige buffer is de kans dat een pakket geweigerd wordt omdat de buffer reeds volzet is. Soms spreekt men ook van verliesfractie loss ratio, de fractie van alle pakketten die zich aanbieden aan het systeem maar toch geweigerd worden Actieve en Passieve periode De actieve periode active / busy period is het aantal slots dat de buffer na elkaar pakketten verstuurd. Dit is dus het aantal slots na elkaar dat de bufferbezetting aan het begin van het slot dit is, net na de slotgrenzen niet leeg is. De inactieve of passieve periode idle period is dan natuurlijk het aantal slots na elkaar dat de buffer leeg is aan het begin van het slot en dus het aantal opeenvolgende slots dat er geen transmissie plaatsvindt. 1.5 Basiseigenschappen Nu vermelden we kort een aantal eigenschappen van wachtlijnsystemen in discrete tijd waarop in deze scriptie beroep zal gedaan worden tijdens de analyse Evenwichtsvoorwaarde Bij het bestuderen van buffersystemen wordt ondersteld dat het buffersysteem in staat is om, eventueel na een overgangsverschijnsel afhankelijk van de beginvoorwaarden, te evolueren naar een toestand van stochastisch regime of stochastisch evenwicht. Dit noemen we de regimetoestand steady state en deze heeft als belangrijkste kenmerk dat, gemiddeld gezien, er per slot even veel pakketten de buffer verlaten als er de buffer effectief binnenkomen. Om een regimetoestand te bereiken moet voldaan zijn aan de evenwichtsvoorwaarde equilibrium condition. Deze luidt als volgt: Het gemiddeld aantal pakketten dat per slot effectief het systeem binnenkomt mag niet groter zijn dan en meestal ook niet gelijk zijn aan het aantal pakketten dat, gemiddeld gezien, per slot verstuurd kan worden. In een oneindige buffer loopt, indien niet aan de evenwichtsvoorwaarde voldaan is, de bufferbezetting oneindig hoog op. In een eindige buffer is de bufferbezetting altijd geldig, maar in

17 Hoofdstuk 1. Inleiding 7 de praktijk eisen we toch dat het gemiddeld aantal pakketten dat zich per slot aan het systeem aanbiedt kleiner is dan de gemiddelde transmissiecapaciteit omdat er anders ontoelaatbaar veel pakketten verloren zouden gaan Stelling van Little Beschouw een willekeurig discrete-tijd buffersysteem dat een regimetoestand bereikt heeft. Stel E[u] gelijk aan het gemiddeld aantal pakketten in het systeem aan het begin van een willekeurig slot, λ gelijk aan het gemiddeld aantal effectieve aankomsten per slot en E[d] gelijk aan de gemiddelde vertragingstijd van een willekeurig pakket. De stelling van Little poneert E[u] = λe[d], 1.1 ongeacht de precieze karakteristieken van het buffersysteem zoals wachtlijndiscipline, aankomsten uitgangsproces, opslagcapaciteit, enzovoort. De enige voorwaarde is dat de grootheden E[u], E[d] en λ definieerbaar zijn. Aangezien niet beschreven werd wat men precies verstaat onder een systeem en een pakket geldt deze stelling niet alleen voor het gehele buffersysteem maar ook voor elke deelentiteit. In het kader van deze thesis is bijvoorbeeld interessant dat de stelling van Little geldt voor elke prioriteitsklasse afzonderlijk, ongeacht de afhankelijkheden tussen deze klassen. 1.6 Uitgewerkt voorbeeld We zullen nu een simpel geval van een buffer in discrete tijd bestuderen ten einde de lezer vertrouwd te maken met de grootheden en analysetechnieken die verder in deze scriptie gebruikt worden. Voor het begrijpen hiervan is een elementaire kennis van discrete toevalsgrootheden en generende functies vereist. We beginnen met het beschrijven van alle elementen die de te bestuderen buffer beïnvloeden. We beschouwen een buffer met een oneindige opslagcapaciteit, één uitgangslijn die permanent beschikbaar is, transmissietijden die steeds gelijk zijn aan één slot, een FCFS-wachtlijndiscipline en een aankomsproces waarbij de aantallen opeenvolgende pakketten in opeenvolgende slots gemodelleerd worden aan de hand van een reeks van i.i.d. discrete toevalsveranderlijken. Deze toevalsgrootheden hebben volgende massafunctie en genererende functie en = P rob[n aankomsten in een slot], n 0, Ez = enz n. n=0 1.2

18 Hoofdstuk 1. Inleiding Bufferbezetting We beginnen met het bepalen van de bufferbezetting bij het begin van een slot. We definiëren u k en e k als u k = bufferbezetting bij het begin van het k-de slot, e k = aantal pakketten die in de buffer aankomen tijdens het k-de slot. 1.3 De rij e k vormt een rij van i.i.d. toevalsgrootheden met massafunctie an en genererende functie Ez. Voor elke waarde van k gelden nu de zogenaamde systeemvergelijkingen die de overgang van slot k naar slot k + 1 beschrijven. Figuur 1.3: Tijdsevolutie van het buffersysteem Als de buffer niet ledig is komen er nul of meer pakketten toe in de buffer en op het einde van het slot vertrekt er een pakket. In een lege buffer komen er nul of meer pakketten toe in de buffer. Dit geeft u k+1 = u k + e k 1, u k > 0, u k+1 = e k, u k = Samengevat hebben we u k+1 = u k e k. 1.5 Hier betekent... + hetzelfde als max0,.... We gaan nu over op genererende functies. Dit geeft U k z = E[z u k ]. 1.6

19 Hoofdstuk 1. Inleiding 9 Uit vergelijking 1.4 volgt U k+1 z = E[z e k+u k 1 + ] 1.7 of, wegens de onafhankelijkheid van e k ten opzichte van u k, U k+1 z = E[z e k ]E[z u k 1 + ] = Ez u k nz n 1+ = Ez n=0 u k 0 + u k nz n 1 n=1 = Ez u k u k nz n z n=1 = Ez u k z u k nz n u k 0z 0 n=0 = Ez U k z [U kz U k 0] 1.8 = Ez U kz + z 1U k 0. z We zijn vooral geïnteresseerd in de regime-distributie en laten dus k naar oneindig toenemen. U k z en U k+1 z gaan beiden naar een gemeenschappelijke limietfunctie Nz, deze stelt de gemiddelde bufferbezetting op een slotgrens voor in stochastisch regime. We vinden Nz + z 1N0 Nz = Ez z N0z 1Ez =. z Ez 1.9 Nu moeten we enkel nog de onbekende factor N0 bepalen. Wegens de normeringsvoorwaarde voor genererende functies moet N1 = 1. We zien dat N1 evalueert tot 0 0 en we passen dus de regel van de l Hopital toe. Dit geeft N1 = N0 1 E = We stellen de gemiddelde aankomstintensiteit E 1 = λ en vinden dan N0 = 1 λ 1.11 en tenslotte Nz = 1 λz 1Ez z Ez

20 Hoofdstuk 2 Ongecorreleerde aankomsten 2.1 Inleiding In dit hoodstuk bestuderen we buffers met vertragingsprioriteit. We beschouwen een Head- Of-Line prioriteitsbuffersysteem waar 1 transmissielijn gebruikt wordt voor het bedienen van 2 buffers: een eindige buffer voor de vertragingsgevoelige pakketten klasse 1 en een oneindige voor de vertragingsongevoelige pakketten klasse 2. In de praktijk zal natuurlijk ook de buffer van klasse 2 eindig zijn maar toch groot genoeg zodat we deze hier oneindig onderstellen teneinde de analyse te vergemakkelijken. Het systeem geeft bij transmissie absolute voorrang aan de klasse-1 pakketten teneinde deze zo snel mogelijk te bedienen en dus hun vertraging te minimaliseren. De transmissietijd van een pakket is steeds gelijk aan één slot. Binnen elke klasse is de wachtlijndiscipline FCFS First-Come-First-Served. Figuur 2.1 geeft een abstracte voorstelling van het beschouwde buffermodel. Bij het begin van een slot kunnen de volgende scenarios zich voordoen: ˆ De buffer van klasse 1 is niet leeg: een klasse-1 pakket wordt bediend. ˆ De buffer van klasse 1 is leeg maar deze van klasse 2 niet: een klasse-2 pakket wordt bediend. ˆ Beide buffers zijn leeg: er is geen transmissie gedurende het beschouwde slot. Er wordt ondersteld dat de aantallen aankomsten in beide buffers i.i.d. zijn van slot tot slot en ook dat binnen een zelfde slot de aankomsten van klasse 1 onafhankelijk zijn van de aankomsten van klasse 2. Door deze onafhankelijkheid kunnen we beide klassen afzonderlijk analyseren. Deze laatste voorwaarde zal in hoofdstuk 3 verdwijnen, wat aanleiding zal geven tot een meer gecompliceerde analyse. De klasse-1 bufferbezetting hangt niet af van de klasse-2 pakketten waardoor de klasse-1 buffer geanalyseerd kan worden alsof ze de enige in het systeem is. We beginnen met het bepalen 10

21 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 11 van de bufferbezetting, de vertragingstijd en de verliesfractie van de klasse-1 pakketten. Vervolgens bestuderen we de actieve en passieve periodes van de klasse-1 buffer. Deze periodes helpen ons bij het analyseren van de klasse-2 buffer. De buffer van klasse 2 kunnen we bestuderen als een buffer met onderbrekingen van het transmissiekanaal zoals in [4]. De transmissielijn is beschikbaar voor de buffer van klasse 2 als de klasse-1 buffer ledig is. Dus de periode dat de tranmissielijn geblokkeerd is voor de buffer van klasse 2 is net de actieve periode van de buffer van klasse 1. We analyseren eerst de bufferbezetting van klasse 2, nadien bekijken we de vertragingstijd. 2.2 Model Figuur 2.1: Buffervoorstelling De buffer van klasse 1 onderstellen we eindig met grootte N exclusief de server en die van klasse 2 beschouwen we als oneindig. We definiëren a 1,k en a 2,k als het aantal aankomsten in slot k van klasse 1 respectievelijk klasse 2. Deze toevalsgrootheden hebben als massa- en

22 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 12 genererende functies a 1 n = P rob[n aankomsten van klasse 1 gedurende een slot], = P rob[a 1,k = n], A 1 z = a 1 nz n, n=0 a 2 n = P rob[n aankomsten van klasse 2 gedurende een slot], = P rob[a 2,k = n], A 2 z = a 2 nz n. n=0 2.1 We gaan even dieper in op de eindige klasse-1 buffer. We beschouwen een willekeurig slot k. Onmiddelijk na het begin van het slot vertrekt er, indien er zich minstens 1 pakket in de wachtlijn bevindt, een pakketje naar de server. Gedurende het slot komen er eventueel nieuwe pakketjes aan. We definiëren ã 1,k als het aantal effectief toegelaten klasse-1 pakketten in slot k. Deze toevalsveranderlijke hangt natuurlijk af van de bufferbezetting bij het begin van slot k en heeft als massafunctie a n 1 l, de kans dat er l klasse-1 aankomsten zijn, die effectief tot de buffer toegelaten worden, als aan het begin van het slot de bufferbezetting gelijk is aan n. Wegens de synchrone transmissie moeten we een onderscheid maken tussen de twee volgende gevallen. Voor een ledige buffer bij het begin van het slot hebben we a 1 l, 0 l N 1 a 0 1l = i=l a 1i, l = N 0, l > N. 2.2 Alle pakketten worden eerst opgeslagen in de klasse-1 wachtlijn en op het einde van het slot verhuist er dan één klasse-1 pakket naar de server. In dit geval kunnen er dus maximaal N klasse-1 pakketten gelijktijdig in het systeem aanwezig zijn. Voor een niet-ledige buffer n 1 hebben we a 1 l, 0 l N n a n 1 l = i=l a 1i, l = N n + 1 0, l > N n Inderdaad, indien er bij het begin van het slot n klasse-1 pakketten in het systeem aanwezig zijn zit er één hiervan in de server en de overige n 1 zitten in de klasse-1 wachtlijn. Er kunnen dus maximaal N n 1 nieuwe klasse-1 pakketten opgenomen worden gedurende het slot. De klasse-1 en klasse-2 bufferbezetting aan het begin van slot k noemen we respectievelijk

23 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 13 u 1,k en u 2,k. Deze hebben als massa- en genererende functies u 1 n = P rob[n pakketten in de klasse-1 buffer bij het begin van een slot], = P rob[u 1,k = n], N U 1 z = a 1 nz n, n=0 u 2 n = P rob[n pakketten in de klasse-2 buffer bij het begin van een slot], = P rob[u 2,k = n], U 2 z = u 2 nz n. n=0 2.4 Met de bufferbezetting aan het begin van een slot bedoelen we het totaal aantal pakketten in het systeem, vooraleer er aankomsten zijn in het beschouwde slot. 2.3 Bufferbezetting klasse 1 Aangezien de buffer van klasse 1 eindig is kunnen we u 1 = lim k u 1,k, de bufferbezetting in regime, theoretisch gemakkelijk bepalen m.b.v. probabiliteitsrekening. Er geldt voor een buffer met grootte N in regimetoestand dat u 1 i = u 1 N = i j=0 N 1 j=0 a i+1 j 1 ju 1 i + 1 j + a 0 1iu 1 0, i = 0,.., N 1 a N j 1 j + 1u 1 N j + a 0 1Nu Immers de bufferbezetting in een slot is gelijk aan de bufferbezetting in het vorig slot, verminderd met 1 indien er een pakket vertrekt en vermeerderd met het aantal aankomsten dat effectief toegelaten wordt. In het geval waarin de bufferbezetting gelijk is aan de bufferggrootte moet men rekening houden met de mogelijkheid dat pakketten verloren gaan. Dit geeft ons een stelsel van N + 1 vergelijkingen met N + 1 onbekenden maar slechts N vergelijkingen hiervan zijn onderling onafhankelijk. We hebben dus nog een vergelijking nodig en halen deze uit de normeringsvoorwaarde. Deze zegt dat N u 1 i = Nu kunnen we het stelsel oplossen en vinden we u 1 0 tot u 1 N. Een simpele z-transformatie geeft ons de genererende functie en daaruit kunnen we dan de verwachtingswaarde en hogere momenten van de bufferbezetting bepalen. Omdat de buffer eindig is kunnen we deze momenten ook gemakkelijk rechtstreeks uit de massafunctie bepalen. We hebben bijvoorbeeld

24 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 14 voor de verwachtingswaarde E[u 1 ] = N iui Vertragingstijd klasse 1 We kunnen in regimetoestand de vertragingstijd van de klasse-1 pakketten gemakkelijk analyseren want hij wordt niet beïnvloed door de pakketten van klasse 2. We beschouwen een willekeurig klasse-1 pakket en noemen het slot waarin dit pakket aankomt slot I. We definiëren w 1 als de wachttijd, en d 1 als de vertragingstijd van het beschouwde pakket. bufferbezetting aan het begin van slot I is u 1,I. We definiëren f I als het aantal aankomsten in slot I dat aankomt voor het beschouwde pakket en deze heeft als massafunctie fn = i=n+1 De a 1 i 2.8 A 1 1. De vertragingstijd van het beschouwde pakket is minimaal 1 slot, namelijk als het beschouwde pakket in een lege buffer aankomt, en maximaal N slots, als na aankomst van het pakket de buffer vol zit. Aangezien w 1 = u 1,I 1 + f I hebben we P rob[d 1 = n] = P rob[w 1 = n 1], n = 1,.., N n 1 = P rob[u 1,I 1 + = i, f I = n 1 i] n 1 = P rob[u 1,I 1 + = i]p rob[f I = n 1 i] = u 1 0fn 1 + n u 1 ifn i. i=1 2.9 De eerste overgang steunt op het feit dat de transmissietijden deterministisch gelijk zijn aan 1 slot en er dus geldt dat d 1 = w Wegens de onafhankelijkheid van f I en u 1,I geldt de derde gelijkheid. Door de onderlinge onafhankelijkheid van de aankomsten van klasse 1, van slot tot slot, geldt dat u 1,I dezelfde massafunctie heeft als u 1 en kunnen we de laatste overgang maken. De corresponderende generende functie kunne we als volgt berekenen D 1 z = N d 1 iz i i=1 We kunnen opnieuw de momenten bepalen uit de massafunctie en uit de genererende functie. Voor het berekenen van de verwachtingswaarde van de delay kunnen we ook beroep doen op de stelling van Little. We definiëren λ 1 als het gemiddeld aantal klasse-1 aankomsten per

25 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 15 slot, λ eff 1 als het gemiddeld aantal klasse-1 aankomsten per slot, dat effectief in de buffer opgenomen wordt. De stelling van Little luidt dan E[d 1 ] = E[u 1] λ eff Wat ons een uitdrukking oplevert voor de gemiddelde tijd dat een klasse-1 pakket in de buffer verblijft. 2.5 Verliesfractie klasse 1 We bepalen de verliesfractie in regimetoestand. We definiëren ν 1 als het gemiddeld aantal transmissies van klasse 1 per slot. De verliesfractie is de verhouding van het aantal klasse- 1 pakketten dat zich aan het systeem aanbied maar geweigerd wordt tot het totaal aantal klasse-1 pakketten dat zich aanbiedt. We hebben als verliesfractie P LR = λ 1 λ eff λ 1 Aangezien we ons in regimetoestand bevinden geldt dat, per slot, het gemiddeld aantal effectief in de buffer aankomende pakketten gelijk moet zijn aan het gemiddeld aantal uit de buffer vertrekkende pakketten en dus dat λ eff 1 = ν 1. Er vertrekt telkens juist 1 pakket van klasse 1 uit de buffer behalve als de klasse-1 buffer leeg is, of nog ν 1 = 1 u 1 0. Dit geeft uiteindelijk P LR = λ 1 ν 1 λ Actieve en passieve periode klasse 1 = A u 1 0 A De onderbrekingen van het transmissiekanaal voor de klasse-2 buffer vinden plaats als de klasse-1 buffer actief is en het kanaal is beschikbaar om klasse-2 pakketten te verzenden als de klasse-1 buffer passief is. We analyseren nu eerst beide perioden voor de klasse-1 buffer en gebruiken deze dan later voor de analyse van de klasse-2 bufferbezetting en vertragingstijd Passieve periode De passieve periode is het aantal opeenvolgende slots waarin de klasse-1 buffer leeg is aan het begin van de slots. Als er geen klasse-1 aankomsten zijn in een bepaald slot gaat de passieve periode verder in het volgende slot en indien er wel aankomsten zijn stopt de periode op het einde van het huidige slot. De passieve periode is dus duidelijk verschoven geometrisch verdeeld met parameter a = a 10. Ze heeft dus als massafunctie pn = 1 a 1 0 a 1 0 n 1, n

26 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten Actieve periode Figuur 2.2: Resterende actieve periode We analyseren eerst, voor een random slot in de actieve periode met een bufferbezetting van n bij het begin van het slot, de resterende actieve periode in regimetoestand. Aan de hand hiervan kunnen we dan uiteindelijk de lengte van een willekeurige actieve periode bepalen. We nemen aan dat slot k in een actieve periode ligt. De resterende actieve periode vanaf slot k noemen we R k. In Figuur 2.2 hebben we duidelijk aangegven wat we hieronder verstaan. We hebben N n+1 E[z R k u 1,k = n] = z E[z R k+1 ã 1,k = l, u 1,k = n]a n 1 l l=0 N n+1 = z E[z R k+1 ã 1,k = l, u 1,k = n, u 1,k+1 = n 1 + l]a n 1 l l=0 N n+1 = z E[z R k+1 u 1,k+1 = n 1 + l]a n 1 l, n 1. l= Bij de eerste overgang conditioneren we op het aantal aankomsten gedurende slot k. Deze steunt verder op het feit dat we een slot in een actieve periode beschouwen. We relateren R k en R k+1 in deze overgang. Omdat u 1,k+1 R k+1 volledig bepaalt kunnen ã 1,k = l en u 1,k = n geschrapt worden in de derde overgang. We definiëren nu R n z als de voorwaardelijke genererende functie van de resterende actieve periode, vanaf het begin van een slot in een actieve periode in regime, als de huidige bufferbezetting n is. Die huidige bufferbezetting is minimaal 1, anders zou de actieve periode al afgelopen zijn, en maximaal N want de bufferbezetting, bij het begin van een slot, is maximaal

27 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 17 N. Dit geeft R n z = lim k E[zR k u 1,k = n] = lim k z N n+1 l=0 E[z R k+1 u 1,k+1 = n 1 + l]a n 1 l N n+1 = z lim k E[zR k+1 u 1,k+1 = n 1 + l]a n 1 l l=0 N n+1 = z R n 1+l za n 1 l, 1 n N. l= We kunnen dus elke R n z schrijven in functie van R n 1 z tot R N z. Nu weten we ook dat een actieve periode eindigt indien R k 0 wordt. Deze heeft als genererende functie R 0 z en is gelijk aan 1 wegens R k = 0. Zo bekomen we een lineair stelsel van N +1 vergelijkingen met N + 1 onbekenden R 0 z tot R N z dat we als volgt oplossen. We substitueren R 0 z = 1 in R 1 z. R 1 z staat nu in functie van R 1 z tot R N z. We lossen deze vergelijking op naar R 1 z en substitueren dit in R 2 z. R 2 z staat nu in functie van R 2 z tot R N z. We lossen deze vergelijking op naar R 2 z en substitueren dit in R 3 z enzovoort tot aan R N z. We vinden op deze manier een uitdrukking voor R N z. Nu substitueren we deze uitdrukking in R N 1 z waarna we hiervoor ook een uitdrukking bekomen. Vervolgens substitueren we R N z en R N 1 z in R N 2 z enzoverder tot een uitdrukking bekomen is voor alle onbekenden. We merken nu op dat een actieve periode equivalent is met een resterende actieve periode in een willekeurig slot dat voorafgegaan wordt door een slot met een bufferbezetting gelijk aan 0 bij het begin van het slot en met minstens 1 aankomst. We definiëren ã 1 = lim k ã 1,k als het aantal effectief toegelaten pakketten van klasse 1 in een slot in regime. Deze toevalsgrootheid heeft als massafunctie ook a n 1 l zoals gedefinieerd in sectie 2.2. De genererende functie van de volledige actieve periode in regime bekomen we dan als Bz = = N E[z R u 1 = l]p rob[ã 1 = l ã 1 > 0] l=1 N l=1 R lza 0 1 l 1 a Bufferbezetting klasse 2 Nu we de actieve en passieve perioden van klasse 1 kennen, kunnen we de bufferbezetting van klasse 2 analyseren zoals in [4]. De perioden dat de transmissielijn beschikbaar is zijn verschoven geometrisch verdeeld met parameter a 1 0. De perioden dat de transmissielijn onbeschikbaar is zijn i.i.d toevalsveranderlijken met als genererende functie Bz die we hiervoor bepaald hebben. In [4] is nu net een buffersysteem met verschoven geometrisch verdeelde

28 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 18 beschikbare periodes en i.i.d. onbeschikbare periodes geanalyseerd. Door gebruik te maken van de formules in dat artikel kunnen we dan ook de klasse-2 bufferbezetting analyseren. We berekenen eerst σ, de probabiliteit dat de transmissielijn beschikbaar is in een willekeurig slot in regime. We hebben E[transmissielijn beschikbaar] σ = E[transmissielijn beschikbaar] + E[transmissielijn onbeschikbaar], = a 1 0 B 1. De verwachtingswaarde van een verschoven geometrisch verdeelde toevalsgrootheid met parameter a 1 0 is immers gelijk aan De verwachtingswaarde van de 1 onbeschikbare 1 a 1 0. periode is natuurlijk B 1. De genererende functie van de bufferbezetting van klasse 2 kunnen we nu uitdrukken als U 2 z = σ A 21 z 1A 2z 1 A 2 z [ a a 1 0 B A 2 z ] 1 A2 z z A 2 z [ a a 1 0 B ] A 2 z Door deze genererende functie af te leiden en te evalueren in z = 1 kunnen we alle gewenste momenten van de bufferbezetting berekenen. 2.8 Vertragingstijd klasse 2 De vertragingstijd van de klasse-2 pakketten hangt natuurlijk ook af van de pakketten van klasse 1. In [4] werd enkel de bufferbezetting geanalyseerd. In [5] wordt de vertragingstijd geanalyseerd voor een systeem met uitgangsonderbrekingen, zelfs voor een meer algemeen model, nl. waarbij de transmissietijd van een pakket meerdere slots kan bedragen en pakketten gegroepeerd zitten in berichten. Omdat in ons model de transmissietijden steeds gelijk zijn aan 1 slot kan de transmissie van een pakket niet onderbroken worden en vereenvoudigen de formules aanzienlijk. De genererende functie S A z uit het artikel correspondeert met de transmissietijd van een willekeurig bericht, als de buffer beschikbaar was in het slot voorafgaand aan de transmissietijd. In ons geval correspondeert dit met het aantal slots vanaf dat het beschouwde pakket het volgend te bedienen klasse-2 pakket wordt tot en met het slot waarin het pakket de buffer verlaat. We merken op dat dit niet steeds gelijk is aan 1 slot. Stel dat in een random slot de transmissielijn beschikbaar is voor klasse-2 pakketten. We bedienen bijgevolg een klasse-2 pakket en een ander pakket wordt het volgend te bedienen klasse-2 pakket. Indien er geen klasse-1 aankomsten zijn gedurende dit slot dan blijft de transmissielijn gedurende het volgend slot beschikbaar voor klasse-2 pakketten en zal dit pakket in het volgende slot worden bediend. Als er daarentegen pakketten van klasse 1 in het buffersysteem toekomen dan wordt

29 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 19 de transmissielijn gedurende het volgend slot onbeschikbaar voor klasse-2 pakketten en deze onbeschikbaarheid duurt tot de klasse-1 buffer ledig is, dus gedurende een actieve periode van de klasse-1 buffer. Dit leidt dus tot S A z = a 1 0z + 1 a 1 0 zbz We stellen net zoals in het artikel q k,a gelijk aan de kans dat gedurende het kde slot na een slot waarin het transmissiekanaal beschikbaar was het transmissiekanaal opnieuw beschikbaar is. De corresponderende genererende functie is dan Q A z = a 10z + 1 a 1 0 zbz 1 a 1 0z 1 a 1 0 zbz Als vertragingstijd van klasse 2 hebben we σ A 2 1 z A 2 SA z 1 S A z D 2 z = A 2 1Q Az A 2 SA z z S A z Toepassing We passen onze resultaten toe op enkele buffersystemen met concrete aankomstprocessen. We bekijken de resultaten voor verschillende combinaties van de belasting van de klasse-1 en de klasse-2 buffer van ons systeem. De belasting van een buffer is het gemiddeld aantal aankomsten dat zich aan de buffer aanbiedt per slot en is dus gelijk aan de verwachtingswaarde van het aantal aankomsten per slot. Deze zijn gedefinieerd als λ 1 voor de klasse-1 buffer en λ 2 voor de klasse-2 buffer. We merken op dat in volgende voorbeelden steeds de evenwichtsvoorwaarde geldig is en dus λ 1 + λ 2 = 1. We analyseren eerst de resultaten voor een zwaar belaste klasse-1 buffer en bekijken daarna wat de invloed van deze klasse-1 buffer is op een klasse-2 buffer met zware, repectievelijk lichte, belasting als we deze samen met de klasse-1 buffer in eenzelfde buffersysteem plaatsen. Vervolgens herhalen we dit maar voor een licht belaste klasse-1 buffer. We vergelijken ook steeds onze resultaten met de resultaten van het gelijkaardig buffersysteem maar met een oneindig grote klasse-1 buffer. We bekomen de referentieresultaten voor de oneindige buffer uit [6] Zware belasting klasse-1 buffer Stel dat de klasse-1 pakketten zich aan de buffer aanbieden volgens een geometrisch aankomstproces met parameter 0.4. We hebben dan als massa- en genererende functie a 1 n = 0.4 n 0.6, A 1 z = z, λ 1 =

30 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 20 Figuur 2.3: Verwachtingswaarde van de klasse-1 bufferbezetting In Figuur 2.3 ziet men de verwachtingswaarde van de klasse-1 bufferbezetting t.o.v. de buffergrootte. De grafiek heeft een vertraagd stijgend verloop en voor N convergeert ze naar de verwachtingswaarde voor een oneindige buffer, nl Figuur 2.4: Verwachtingswaarde van de klasse-1 vertragingstijd De verwachtingswaarde van de klasse-1 vertragingstijd hebben we in Figuur 2.4 uitgezet in functie van de buffergrootte. Het verloop is volledig analoog als dat van de verwachtingswaarde van de bufferbezetting en convergeert naar de verwachtingswaarde voor een oneindige

31 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 21 buffer, nl voor grote N. Figuur 2.5: Verwachtingswaarde van de actieve periode van klasse 1 In Figuur 2.5 ziet men de verwachtingswaarde van de actieve periode van klasse 1 t.o.v. de buffergrootte. De grafiek stijgt zeer snel voor kleine N en vertoont verder een vertraagd stijgend verloop met convergentie in 5.00, de verwachtingswaarde voor een oneindige buffer. Figuur 2.6: Variantie van de actieve periode van klasse 1 Figuur 2.6 toont de variantie van de actieve periode van klasse 1 in functie van de buffergrootte. Het verloop is eerst versneld stijgend tot in het buigpunt en daarna vertraagd stijgend.

32 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 22 De grafiek convergeert naar 60.0, de variantie van de actieve periode in een oneindige buffer. Figuur 2.7: Verliesfractie van klasse 1 In Figuur 2.7 hebben we de verliesfractie van klasse 1 uitgezet tegen de buffergrootte. Zoals verwacht is dit een vertraagd dalende functie die naar 0 gaat voor N. Het is de verliesfractie die aanleiding geeft tot het verloop van de andere grafieken. Als er meer pakketten verloren gaan zitten er natuurlijk minder pakketten in de buffer en hebben we bijgevolg een kleinere bufferbezetting. Aangezien er minder pakketten in de buffer zitten worden de pakketten die wel tot de buffer toegelaten zijn natuurlijk sneller bediend en hebben deze dus een kleinere vertragingstijd. Ook de kortere actieve periode valt hierdoor te verklaren. De pakketten die verloren gaan geven geen bijdrage aan de actieve periode en deze eindigt dus sneller. We bestuderen nu de impact van deze klasse-1 buffer op een klasse-2 buffer in hetzelfde systeem. We bekijken eerst een klasse-2 buffer die ook behoorlijk zwaar belast wordt, teneinde een zeer zware totale systeembelasting te bekomen. Daarna beschouwen we een licht belaste klasse-2 buffer en vergelijken we beide scenario s. A Zware totale belasting Stel dat de klasse-2 pakketten zich aan de buffer aanbieden volgens een geometrisch aankomstproces met parameter We hebben dan als massa- en genererende functie a 2 n = 0.24 n 0.76, A 2 z = z, λ 2 =

33 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 23 De totale systeembelasting is nu meer dan 98%. Figuur 2.8: Verwachtingswaarde van de klasse-2 bufferbezetting In Figuur 2.8 hebben we de verwachtingswaarde van de klasse-2 bufferbezetting uitgezet t.o.v. de buffergrootte van klasse 1. Het verloop is eerst versneld stijgend en vervolgens vertraagd stijgend. De grafiek convergeert naar 42.0 voor grote N. Figuur 2.9: Verwachtingswaarde van de klasse-2 vertragingstijd De verwachtingswaarde van de klasse-2 vertragingstijd in functie van de buffergrootte van klasse 1 is uitgezet in Figuur 2.9. Het verloop is volledig analoog als dat van de klasse-2 bufferbezetting en gaat naar voor grote N.

34 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 24 We zien duidelijk de invloed van de klasse-1 buffer. Als de klasse-1 buffergrootte klein is dan is de verliesfractie groot. Een kleine verhoging van de buffergrootte brengt een aanzienlijke stijging van het aantal tot de buffer toegelaten klasse-1 pakketten teweeg. Hierdoor stijgt de grafiek van de actieve periode van klasse 1 sterk voor kleine buffergroottes. Dit betekent dat de transmissielijn veel meer geblokkeerd is voor klasse-2 pakketten en deze stapelen zich dus zeer snel op in de buffer. Dit verklaart het versneld stijgend verloop van de verwachtingswaarde van de klasse-2 bufferbezetting en de klasse-2 vertragingstijd voor kleine buffergroottes. Voor grotere buffergroottes is het verschil in de verliesfractie van klasse 1 veel kleiner voor een verhoging van de klasse-1 buffergrootte. Een verhoging van de klasse-1 buffergrootte correspondeert wel nog altijd met een toegenomen aantal klasse-1 pakketten en dus een grotere opstapeling van pakketten in de klasse-2 buffer en dit geeft dus aanleiding tot een vertraagd stijgend verloop voor de verwachtingswaarde van de klasse-2 bufferbezetting en de klasse-2 vertragingstijd. B Lichte totale belasting Stel dat de klasse-2 pakketten zich aan de buffer aanbieden volgens een geometrisch aankomstproces met parameter We hebben dan als massa- en genererende functie a 2 n = 0.1 n 0.9, A 2 z = z, λ 2 = De totale systeembelasting is nu meer dan 77%. Figuur 2.10: Verwachtingswaarde van de klasse-2 bufferbezetting

35 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 25 In Figuur 2.10 hebben we de verwachtingswaarde van de klasse-2 bufferbezetting uitgezet t.o.v. de buffergrootte van klasse 1. Het verloop is eerst versneld stijgend en vervolgens vertraagd stijgend. De grafiek convergeert naar voor N. Figuur 2.11: Verwachtingswaarde van de klasse-2 vertragingstijd De verwachtingswaarde van de klasse-2 vertragingstijd in functie van de buffergrootte van klasse 1 is uitgezet in Figuur Het verloop is volledig analoog als dat van de klasse-2 bufferbezetting en gaat naar voor grote N. De verklaring voor het verloop van beide figuren is volledig analoog als hiervoor uiteengezet voor het systeem het hoge totale systeembelasting in A. We merken wel op dat het versneld stijgend deel van de grafiek veel kleiner geworden is. Dit komt omdat er gemiddeld minder klasse-2 pakketten in het systeem aankomen en het daardoor minder voorkomt dat een klasse- 2 pakket voorrang moet verlenen aan klasse-1 pakketten waardoor de klasse-2 bufferbezetting minder sterk toeneemt. We besluiten dat, voor kleine buffergroottes van klasse 1, het verloop van de grafieken beïnvloed wordt door de grootte van λ Lichte belasting klasse-1 buffer Stel dat de klasse-1 pakketten zich aan de buffer aanbieden volgens een geometrisch aankomstproces met parameter 0.2. We hebben dan als massa- en genererende functie a 1 n = 0.2 n 0.8, A 1 z = z, λ 1 =

36 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 26 Figuur 2.12: Verwachtingswaarde van de klasse-1 bufferbezetting In Figuur 2.12 ziet men dat de verwachtingswaarde van de klasse-1 bufferbezetting stijgt t.o.v. de buffergrootte. De verwachtingswaarde voor een oneindige buffer, nl , wordt al zeer snel benaderd. Voor N = 11 klopt de gevonden waarde al tot 5 cijfers na de komma en voor N = 20 al tot 10 cijfers na de komma. Figuur 2.13: Verwachtingswaarde van de klasse-1 vertragingstijd In Figuur 2.13 ziet men de verwachtingswaarde van de klasse-1 vertragingstijd in functie van de buffergrootte. We zien dat de vertragingstijd langer wordt voor een hogere buffergrootte en dat de verwachtingswaarde corresponderend met een oneindige buffer, nl , net zoals

37 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 27 bij de bufferbezetting zeer snel benaderd wordt. Figuur 2.14: Verwachtingswaarde van de actieve periode van klasse 1 De verwachtingswaarde van de actieve periode van klasse 1 t.o.v. de buffergrootte ziet men in Figuur De verwachtingswaarde voor een oneindige buffer, nl , wordt zeer snel benaderd. Figuur 2.15: Variantie van de klasse-1 vertragingstijd In Figuur 2.15 ziet men de variantie van de klasse-1 vertragingstijd in functie van de buffergrootte. We zien dat hoe groter de buffergrootte is, hoe meer variantie er geïntroduceerd wordt voor de actieve periode. Het verloop is vertraagd stijgend tot we 1.481, de variantie corresponderend met een oneindige buffer, benaderen. We stijgen zo snel dat het versneld

38 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 28 stijgend deel van de grafiek, zoals in 2.9.1, volledig verdwenen is. Figuur 2.16: Verliesfractie van klasse 1 In Figuur 2.16 hebben we de verliesfractie van klasse 1 uitgezet tegen de buffergrootte. Zoals verwacht is dit een vertraagd stijgende functie die zeer snel naar 0 gaat voor stijgende buffergrootte. De verklaring van het verloop van de grafieken is volledig analoog als in A Zware totale belasting Stel dat de klasse-2 pakketten zich aan de buffer aanbieden volgens een geometrisch aankomstproces met parameter We hebben dan als massa- en genererende functie a 2 n = 0.42 n 0.58, A 2 z = z, λ 2 = De totale systeembelasting is meer dan 97%.

39 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 29 Figuur 2.17: Verwachtingswaarde van de klasse-2 bufferbezetting In Figuur 2.17 ziet men dat de verwachtingswaarde van de klasse-2 bufferbezetting stijgt t.o.v. de buffergrootte van klasse 1. De verwachtingswaarde voor een oneindige buffer van klasse 1, nl , wordt snel benaderd. Figuur 2.18: Verwachtingswaarde van de klasse-2 vertragingstijd De verwachtingswaarde van de klasse-2 vertragingstijd in functie van de buffergrootte van klasse 1 hebben we uitgezet in Figuur We zien dat de klasse-2 vertragingstijd langer wordt voor een hogere klasse-1 buffergrootte en dat de verwachtingswaarde corresponderend met een oneindige klasse-1 buffer, nl , al snel benaderd wordt.

40 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 30 De verklaring van het verloop van de grafieken is volledig analoog als in Alleen is hier het versneld stijgend deel verdwenen omdat al voor kleine N de waarden corresponderend met een oneindige buffergrootte bereikt worden. Doordat de klasse-1 buffer ongelooflijk snel convergeert heeft hij enkel voor zeer kleine buffergroottes een significante invloed op de klasse- 2 buffer. B Lichte totale belasting Stel dat de klasse-2 pakketten zich aan de buffer aanbieden volgens een geometrisch aankomstproces met parameter 0.1. We hebben dan als massa- en genererende functie a 2 n = 0.1 n 0.9, A 2 z = z, λ 2 = De totale systeembelasting is nu slechts 36%. Figuur 2.19: Verwachtingswaarde van de klasse-2 bufferbezetting In Figuur 2.19 ziet men dat de verwachtingswaarde van de klasse-2 bufferbezetting stijgt t.o.v. de buffergrootte van klasse 1. De verwachtingswaarde voor een oneindige buffer van klasse 1, nl , wordt al snel benaderd.

41 Hoofdstuk 2. Ongecorreleerde aankomsten 31 Figuur 2.20: Verwachtingswaarde van de klasse-2 vertragingstijd In Figuur 2.20 ziet men de verwachtingswaarde van de klasse-2 vertragingstijd in functie van de buffergrootte van klasse 1. We zien dat de klasse-2 vertragingstijd langer wordt voor een hogere klasse-1 buffergrootte en dat de verwachtingswaarde corresponderend met een oneindige klasse-1 buffer, nl , al snel benaderd wordt. We zien opnieuw dat de klasse-1 buffer zo snel convergeert dat hij enkel voor zeer kleine buffergroottes een significante invloed op de klasse-2 buffer heeft Conclusie In dit hoofdstuk hebben we een Head-Of-Line prioriteitsbuffersysteem geanalyseerd waar 1 transmissielijn gebruikt wordt voor het bedienen van 2 buffers: een eindige buffer voor de vertragingsgevoelige pakketten klasse 1 en een oneindige voor de vertragingsongevoelige pakketten klasse 2. De aankomstprocessen van beide klassen zijn ongecorreleerd. We hebben generende functies bepaald voor alle belangrijke performantiematen zoals de bufferbezetting en delay voor beide klassen. Hieruit kunnen we gemakkelijk alle momenten bepalen. We besluiten dat de invloed van de klasse-1 buffer op de klasse-2 buffer bepaald wordt door de grootte van het gemiddeld aantal klasse-1 aankomsten per slot. Hoe groter de belasting van de klasse-1 buffer hoe groter de buffer moet zijn vooraleer de resultaten die bekomen worden met een oneindige klasse-1 buffer benaderd worden.

42 Hoofdstuk 3 Gecorreleerde aankomsten 3.1 Inleiding In dit hoodstuk bestuderen we opnieuw buffers met vertragingsprioriteit. We beschouwen een buffersysteem dat bijna identiek is aan het systeem gebruikt in hoofdstuk twee. Wederom bekijken we een Head-Of-Line buffersysteem waar 1 transmissielijn gebruikt wordt voor het bedienen van 2 buffers: een eindige buffer voor de vertragingsgevoelige pakketten klasse 1 en een oneindige voor de vertragingsongevoelige pakketten klasse 2. Het systeem geeft bij transmissie absolute voorrang aan de klasse-1 pakketten teneinde deze zo snel mogelijk te bedienen en dus hun vertraging te minimaliseren. De transmissietijd van een pakket is steeds gelijk aan één slot. Binnen elke klasse is de wachtlijndiscipline FCFS First-Come- First-Served. Figuur 3.1 geeft een abstracte voorstelling van het beschouwde buffermodel. Bij het begin van een slot kunnen de volgende scenario s zich voordoen: ˆ De buffer van klasse 1 is niet leeg: een klasse-1 pakket wordt bediend. ˆ De buffer van klasse 1 is leeg maar deze van klasse 2 niet: een klasse-2 pakket wordt bediend. ˆ Beide buffers zijn leeg: er is geen transmissie gedurende het beschouwde slot. Er wordt ondersteld dat de aantallen aankomsten in beide buffers i.i.d. zijn van slot tot slot. In een slot echter, en hier zit het grote verschil met het buffersysteem bestudeerd in hoofdstuk twee, zijn het aantal klasse-1 aankomsten en het aantal klasse-2 aankomsten met elkaar gecorreleerd. Dit model sluit veel beter aan bij de praktijk. Denk bijvoorbeeld aan een gebruiker die, tijdens zijn dagelijkse ritueel van s lezen en versturen, naar een internetradio luistert of aan een gebruiker die een zeer groot bestand aan het binnenhalen is en terwijl hij wacht even 32

43 Hoofdstuk 3. Gecorreleerde aankomsten 33 wat filmpjes bekijkt op bijvoorbeeld Youtube. Een meer technisch voorbeeld is een ATM output-queueing switch waar we later in dit hoofdstuk dieper op ingaan. Deze correlatie brengt extra moeilijkheden met zich mee voor de analyse. Aangezien nu de klasse-1 pakketten afhankelijk kunnen zijn van klasse 2 pakketten kunnen we de klasse-1 buffer niet meer analyseren alsof het de enige buffer in het systeem is. We moeten de beide buffers gezamelijk analyseren. een gelijkaarig systeem maar met een oneindige klasse-1 buffer werd reeds bestudeerd in [6]. 3.2 Model Figuur 3.1: Buffervoorstelling De buffer van klasse 1 onderstellen we eindig met grootte N exclusief de server en die van klasse 2 beschouwen we als oneindig groot. We definiëren a 1,k en a 2,k als het aantal aankomsten in slot k van klasse 1 respectievelijk van klasse 2. Deze toevalsgrootheden hebben als gezamenlijke massafunctie am, n = P rob[m klasse-1 en n klasse-2 aankomsten gedurende een slot], = P rob[a 1,k = m, a 2,k = n]. 3.1