Lijnenspel. Remco van Groesen ( ) & Ellen Houbiers ( )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Lijnenspel. Remco van Groesen ( ) & Ellen Houbiers ( )"

Transcriptie

1 Lijnenspel Remco van Groesen ( ) & Ellen Houbiers ( ) Technische Universiteit Eindhoven Opdrachtgever: Benne de Weger Begeleider: Cor Hurkens 18 januari

2 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Probleemomschrijving 3 3 Basisspel 4 4 Algoritme 5 5 Uitbreidingen Een gemeenschappelijk holletje Vaste bewegingsvolgorde Vast holletje Afgebakend gebied Meerdere kevers Meerdere dimensies Algoritme voor spel in 3D Conclusie 10 2

3 Samenvatting The game of lines is a game where 3 bugs want to reach for their holes. Unfortunately, they re limited in their freedom of movement, because a single bug can only move parallel to the line through the other 2 bugs. We wanted to find the starting conditions so we can make sure the bugs will reach their holes. Also, we created an algorithm to solve this problem, which is severely depending on the surface of the triangle formed bij the bugs. This surface has to be exactly the same as the surface of the triangle formed bij the holes. Although, the value of this surface cannot be equal to 0. We also thought of some variants: For example, what happens if we add another bug, or we add a dimension. All together, we managed to check and discuss the solvability of 6 interesting variants. Most of the solutions were based on the surface of triangles formed by the bugs and holes, but nevertheless were they all (a little) different from the solution of the original problem. 1 Inleiding Het lijnenspel is een spel over drie kevertjes. Deze kevers zitten samen met drie holletjes in een plat vlak en iedere kever hoopt een van de holletjes te bereiken. Ze hebben alleen weinig bewegingsvrijheid. Ze mogen namelijk alleen parallel aan de verbindingslijn tussen de twee andere kevers bewegen. Voor dit spel zijn veel varianten/uitbreidingen te bedenken, namelijk: een afgebakend vlak een gemeenschappelijk holletje in plaats van een eigen holletje iedere kever een vast holletje een vaste bewegingsvolgorde meer dan 3 kevers hogere dimensies 2 Probleemomschrijving Het is natuurlijk leuk wanneer alle kevers een holletje kunnen bereiken en het lijnenspel uitgespeeld kan worden. Maar wanneer is dat dan mogelijk? Om dit uit te zoeken gaan wij opzoek naar de basiscondities die dan moeten gelden. Allereerst zullen we dit doen voor het basisspel, waarbij de kevers apart in een willekeurige volgorde bewegen. Nadat we een bewering voor de begincondities van het basisspel gevonden hebben, gaan we kijken of diezelfde bewering ook geldt voor de verschillende varianten. Zo niet, dan gaan we 3

4 opzoek naar nieuwe begincondities. Als een spel vervolgens aan deze basiscondities voldoet, dan is het natuurlijk ook leuk om te weten welke stappen je moet zetten om het spel te kunnen oplossen. Hiervoor gaan we opzoek naar een algoritme dat op iedere oplosbaar spel toegepast kan worden. 3 Basisspel Het spel is natuurlijk nooit oplosbaar als de drie kever op één lijn liggen en de holletjes niet. Omdat de kevers dan alleen maar op deze lijn kunnen bewegen en er nooit af kunnen komen. Hierdoor zullen ze nooit een van de holletjes kunnen bereiken die niet op deze lijn liggen. Als de drie holletjes op één lijn liggen en de kevers niet, dan geldt natuurlijk hetzelfde en is het spel ook niet oplosbaar. En het is triviaal dat als de kevers en de holletjes op één lijn liggen, dat het spel oplosbaar is. Maar omdat deze condities bij alle uitbreiding gelden, zullen we deze niet meer herhalen. Figuur 1: Gelijke oppervlakte De drie kevers vormen samen een driehoek in het platte vlak. De drie hoekpunten zijn dan de drie verschillende kevers. Stel je wilt kever 2 gaan bewegen, dan beweegt deze kever parallel aan de verbindingslijn van kever 1 en 3. Maar dan blijkt dat de oppervlakte van de driehoek, opgespannen door de drie kevers, gelijk blijft. Dit zullen we nu nader gaan uitleggen. De oppervlakte van een driehoek wordt berekend door: Oppervlakte = 1 Zijde Hoogte (1) 2 Neem dan als zijde de afstand tussen kever 1 en kever 3, deze blijft namelijk gelijk als je kever 2 gaat bewegen. De hoogte is dan de kortste afstand van kever 2 tot de lijn door kever 1 en 3. Maar aangezien kever 2 parallel aan de verbindingslijn tussen kever 1 en 3 beweegt, blijft de hoogte gelijk (zie figuur 1 op pagina 4). Dus bij iedere beweging zal de oppervlakte gelijk blijven. Maar als de kevers alle drie hun holletje willen bereiken, moet de 4

5 oppervlakte van de driehoek opgespannen door de holletjes gelijk zijn aan de oppervlakte van de driehoek opgespannen door de kevers. In hoofdstuk 4 op pagina 5 staat het algoritme waarmee het spel opgelost kan worden. Maar dit algoritme werkt natuurlijk alleen als de oppervlakte groter dan nul is. Want als de oppervlakte nul is, dan liggen de kevers alle drie op een lijn. Ze kunnen dan ook alleen maar op deze lijn bewegen, maar de holletjes kunnen dan alle drie op een andere lijn liggen. Maar dan kunnen de kevers nooit hun holletje bereiken en dan is het spel dus niet oplosbaar. Dus de conclusie voor het basisspel is: Gelijke oppervlakten 0 Oplosbaar (2) 4 Algoritme De manier van oplossen is bij elk (oplosbaar) spel hetzelfde, er staat in het begin van het spel alleen nog niet vast welke kever naar welk holletje moet. Maar als er eenmaal één kever in een holletje zit, dan staat altijd vast naar welk holletje de andere twee kevers moeten. Om te beginnen kiezen we één van de kevers die we als eerste naar een holletje gaan verplaatsen. Stel we kiezen hiervoor kever 1, dan verplaatsen we kever 2 of 3 zodanig dat de bewegingslijn van kever 1 door een van de holletjes gaat. Vervolgens verplaatsen we kever 1 in dit holletje, die we voor het gemak even holletje 1 noemen. Nu moeten we eerst gaan bepalen naar welk holletje kever 2 en naar welke kever 3 moet. Hiervoor trekken we een lijn van holletje 1 tussen de twee andere holletjes in, in de richting van de twee holletjes. Als we dan vanaf holletje 1 over deze lijn gaan lopen, noemen we het holletje dat links van deze lijn ligt h links en het holletje dat aan de rechterkant ligt h rechts. Vervolgens trekken we ook een lijn van holletje 1 tussen de twee kevers door. Dan noemen we de kever die aan de linkerkant van deze lijn ligt, gezien vanuit holletje 1, k links en de kever aan de rechterkant k rechts. Er geldt nu dat k links in h links moet en k rechts in h rechts moet. Dus nu verplaatsen we k rechts zodanig dat de verbindingslijn van k links door h links gaat en dan verplaatsen we k links in het holletje. Als laatste hoeven we alleen k rechts nog maar in zijn holletje te verplaatsen. Ter verduidelijking van de benoeming van kevers en de holletjes, zie afbeelding 2 op pagina 6. 5 Uitbreidingen Hieronder staan de uitwerkingen van de bedachte uitbreidingen. 5.1 Een gemeenschappelijk holletje Als we in plaats van drie holletjes één gemeenschappelijk holletje nemen, dan geldt natuurlijk de bewering van het basisspel niet meer. Er kan namelijk geen driehoek gevormd 5

6 Figuur 2: Benoeming van de kevers en holletjes voor algortime worden en er kunnen dus ook geen oppervlaktes vergeleken worden. Er kan altijd één kever het holletje bereiken. Hierbij doen de beginposities er niet toe, want men kan twee kevers zodanig verplaatsen dat de andere kever het holletje kan bereiken. Maar vervolgens kan geen enkele kever het holletje meer bereiken, dit zou namelijk alleen mogelijk zijn als ze dan alle drie op dezelfde lijn lagen. Maar dan lagen de kevers al voordat het spel begon op één lijn, maar die beginposities hadden we uitgesloten. Dus is deze uitbreiding nooit oplosbaar. 5.2 Vaste bewegingsvolgorde Als we eisen dat de kevers in een vaste volgorde moeten bewegen, dan verandert er vrij weinig. Als een kever aan de beurt is om te bewegen, kan het zijn dat men eigenlijk niet wil dat deze kever beweegt. Maar dan zou men de kever met een afstand van nul kunnen bewegen en dus verplaatst de kever niet. Maar dan gelden dus dezelfde basiscondities als bij het basisspel (zie bewering 2 op pagina 5). 6

7 5.3 Vast holletje Bij deze uitbreiding staat al vast welke kever naar welk holletje moet, dus we kunnen nu niet meer een kever naar een willekeurig holletje brengen. Er geldt nu natuurlijk weer dat het spel niet oplosbaar is als de oppervlaktes niet gelijk zijn. Maar het is logisch dat het spel nu ook niet oplosbaar kan zijn terwijl de oppervlaktes toch gelijk zijn. In hoofdstuk 4 op pagina 5 staat namelijk dat wanneer er een kever in een holletje zit, dat er dan vast staat naar welk holletje de overige twee kevers moeten. Dus het kan zijn dat als kever 1 al in zijn holletje zit dat volgens het algoritme in hoofdstuk 4 kever 2 naar het holletje van kever 3 moet en andersom. Dus dan is het niet oplosbaar terwijl de oppervlaktes wel gelijk zijn. Maar dat betekent dus dat er meer basiscondities moeten gelden. De oriëntatie van de drie kevers is de richting waarin we draaien als we van kever 1 via kever 2 naar kever 3 gaan. Dus de oriëntatie van de kevers kan met de klok mee zijn of tegen de klok in. Nu blijkt dat als we een van de kevers over zijn bewegingslijn verplaatsen dat dan de oriëntatie hetzelfde blijft. Dus tijdens het hele spel verandert de oriëntatie niet. Dus als de oriëntatie van de holletjes niet hetzelfde is als de oriëntatie van kevers dan is deze uitbreiding niet oplosbaar. Maar stel dat de oriëntaties wel hetzelfde zijn, is het spel dan wel oplosbaar (als de oppervlaktes gelijk zijn)? We noemen nu voor het gemak het holletje waar kever 1 in moet holletje 1, die van kever 2 holletje 2 en die van kever 3 holletje 3. We kunnen dan natuurlijk altijd één van de kevers in zijn holletje krijgen. Stel we willen kever 1 als eerste in zijn holletje krijgen, dan verplaatsen we kever 2 of kever 3 zodanig dat de bewegingslijn van kever 1 door holletje 1 gaat. Vervolgens kun je kever 1 dan in zijn holletje plaatsen. Met behulp van het algoritme in hoofdstuk 4 op pagina 5 bepalen we dan welke kever k links is en welke k rechts is. Stel kever 2 is k rechts en kever 3 k links, dan is de oriëntatie dus tegen de klok in. Maar omdat de oriëntatie van de holletjes hetzelfde is als die van de kevers, is holletje 2 h rechts en holletje 3 h links. Dus dan kunnen alle kevers in hun eigen holletje komen. Dit geldt natuurlijk ook als de oriëntatie met de klok mee is en kever 2 dus k links is en kever 3 k rechts. Dus voor deze uitbreiding, waarbij iedere kever een eigen holletje heeft, geldt het volgende: (Gelijke oppervlakten 0 en gelijke oriëntatie) Oplosbaar (3) 5.4 Afgebakend gebied In een afgebakend gebied is een kever beperkt in zijn beweging. Zo kan een kever niet op elke willekeurige plek in het omrande gebied staan. De oppervlakte is namelijk al bepaald door de holletjes in het vlak, en de kevers moeten een oppervlakte opspannen die hieraan gelijk is. Als 2 van die 3 kevers heel erg dicht bij elkaar staan, dan moet de 3 e kever heel ver van de andere vandaan staan, om dezelfde oppervlakte op te spannen. Het zou daarom kunnen dat de derde kever buiten het gebied valt. Dit is niet toegestaan. Dus de kevers mogen in het afgebakende gebied niet te dicht bij elkaar staan. Dit is ook te zien in figuur 3 op pagina 8. 7

8 Figuur 3: De middelste kever is weggezet, daarna zijn willekeurige plekken gegenereerd waar de tweede kever zou kunnen staan, op voorwaarde dat de derde kever binnen het speelvlak zou vallen. 5.5 Meerdere kevers Als er meerdere kevers in een vlak zitten, heeft een kever meer bewegingsmogelijkheden. Neem bijvoorbeeld 4 kevers. Kever 1 mag nu evenwijdig lopen aan één van de 3 lijnen die door de andere 3 kevers lopen. Als deze 3 andere kevers niet op dezelfde lijn liggen, dan zijn er dus verschillende plaatsen waar kever 1 naartoe mag. Kever 1 kan dus in principe het hele vlak aflopen, en dus kan kever 1 ook zijn holletje bereiken. Als de 3 andere kevers wel op dezelfde lijn liggen, dan beweeg je niet met kever 1, maar kies je één van de andere kevers om mee te bewegen. Hierdoor kun je ze van deze lijn afhalen en dan kunnen vervolgens alle kevers weer evenwijdig aan 3 verschillende lijnen bewegen. Als alle vier de kevers op dezelfde lijn liggen, heeft dit geen zin. Het spel is dan niet oplosbaar, behalve als de holletjes ook op dezelfde lijn liggen als de kevers. Voor 5 of meer kevers gelden dezelfde regels, maar zijn er nog meer lijnen mogelijk om over te bewegen. Over het algemeen zijn er bij n kevers ( ) n 1 2 verschillende bewegingslijnen. De situatie met meerdere kevers is de enige oplosbare situatie waarbij de oppervlakte tussen de kevers en holletjes geen rol speelt. 5.6 Meerdere dimensies Om het spel in drie dimensies te kunnen spelen, moeten we eerst een paar aanpassingen maken. Ten eerste moeten we het aantal kevers met 1 ophogen, want 3 kever in drie dimensies vormen samen een vlak waar ze nooit meer uit kunnen en als de holletjes ook in dit vlak liggen dan is dat weer gewoon het basisspel. Dus we hebben 4 kevers nodig. Ten tweede moet een kever nu parallel aan het vlak door de andere drie kevers bewegen. De vier kevers vormen samen een onregelmatig viervlak in drie dimensies, waarbij de vier 8

9 hoekpunten de vier kevers zijn. Als we dan een van de kevers gaan bewegen, we noemen deze kever voor het gemak kever 1, dan beweegt hij parallel aan het vlak opgespannen door kever 2, 3 en 4. Maar dan blijkt dat de inhoud van het viervlak, opgespannen door de vier kevers, gelijk blijft. We zullen dit nu nader gaan uitleggen. De inhoud van een viervlak wordt berekend met behulp van de volgende formule: Inhoud = 1 Oppervlakte grondvlak Hoogte (4) 3 Omdat kever 2, 3 en 4 op hun plek blijven als we kever 1 gaan bewegen, nemen we als grondvlak de driehoek opgespannen door de kevers 2, 3 en 4. De oppervlakte van het grondvlak, die we berekenen met behulp van formule 1 op pagina 4, zal dus gelijk blijven als kever 1 beweegt. De hoogte is nu de kortste afstand van kever 1 tot het vlak opgespannen door de andere 3 kevers. Maar aangezien kever 1 parallel beweegt aan het vlak door de andere drie kevers, blijft de hoogte gelijk. Dus dan blijft inhoud ook gelijk. Dit geldt natuurlijk ook als we in plaats van kever 1 kever 2, 3 of 4 bewegen. Dus dan blijft de inhoud bij iedere beweging gelijk. Maar als alle 4 de kevers hun holletje willen bereiken, dan moet dus de inhoud van het viervlak opgespannen door de holletjes even groot zijn als de inhoud van het viervlak opgespannen door de kevers. Voor de manier van oplossen zie dan paragraaf Net zoals bij het basisspel moeten we uitsluiten dat de inhoud nul is. Dan liggen alle vier de kevers namelijk in één vlak en kunnen ze ook alleen maar in dit vlak bewegen. Maar dan kan het zijn dat de holletjes alle vier in een ander vlak liggen waardoor de kevers nooit hun holletje zullen bereiken en dus is het spel niet oplosbaar. Dus de conclusie voor het spel in 3 dimensies is: Gelijke inhouden 0 Oplosbaar (5) Algoritme voor spel in 3D De manier van oplossen is bij elk (oplosbaar) spel in 3D hetzelfde, maar er staat in het begin nog niet vast welke kever naar welk holletje moet. Dit staat pas vast zodra er twee kevers in een holletje zitten. We beginnen met het kiezen van één van de kevers die we als eerste naar een holletje gaan verplaatsen. Stel we kiezen hiervoor kever 1, dan kunnen we de andere drie kevers zodanig verplaatsen dat het bewegingsvlak van kever 1 door een holletje gaat. Vervolgens kunnen we kever 1 dan in dit holletje verplaatsen. Dit holletje noemen we voor het gemak weer holletje 1. Nu kiezen we een andere kever die we in een leeg holletje willen krijgen, stel we kiezen kever 2. Dan moeten we kever 3 of 4 zodanig verplaatsen dat het bewegingsvlak van kever 2 door een leeg holletje gaat. Verplaatst dan kever 2 in dit holletje, dat we holletje 2 noemen. Nu kiezen we een van de holletje waar een kever in zit, stel holletje 1. De twee lege holletjes vormen dan samen met holletje 1 een vlak wat we het holletjesvlak noemen. Er geldt nu dat het vlak dat de kevers 1, 2 en 4 vormen niet evenwijdig is aan het holletjesvlak, want holletje 2 zit niet in het holletjesvlak en natuurlijk wel in het vlak gevormd door kever 1, 9

10 2 en 4, maar holletje 1 zit in beide vlakken. Dus is het bewegingsvlak van kever 3 ook niet evenwijdig aan het holletjesvlak waardoor deze vlakken elkaar dus snijden. Maar dan kunnen we kever 3 verplaatsen zodat hij in het holletjesvlak zit. Hetzelfde geldt voor kever 4 die we dus ook in het holletjesvlak kunnen zetten. De bewegingslijn van kever 3 in het holletjesvlak is de snijlijn tussen het holletjesvlak en het bewegingsvlak. Het vlak gevormd door kever 1, 2 en 4 snijdt het holletjesvlak in de lijn door kever 1 en 4. Maar omdat het bewegingsvlak van kever 3 evenwijdig is aan het vlak gevormd door kever 1, 2 en 4, is de bewegingslijn van kever 3 in het holletjesvlak evenwijdig aan de verbindingslijn van kever 1 en 4 in het holletjesvlak. Net zo is de bewegingslijn van kever 4 in het holletjesvlak evenwijdig aan de verbindingslijn van kever 1 en 3 in het holletjesvlak. Maar dan hebben we in het holletjesvlak het basisspel in 2D, waarin we dus het algoritme van hoofdstuk 4 op pagina 5 kunnen toepassen. Dus samengevat verplaatsen we eerst kever 1 en kever 2 in een holletje. Vervolgens verplaatsen we kever 3 en 4 in een van de twee holletjesvlakken, natuurlijk wel beide kevers in hetzelfde holletjesvlak. Vervolgens kunnen we dan in dit holletjesvlak het algoritme van hoofdstuk 4 op pagina 5 toepassen en zo alle kevers in een holletje plaatsen. 6 Conclusie Om het lijnenspel te kunnen uitspelen, moeten er dus basiscondities gelden. De eerste basisconditie, die voor zowel het basisspel als de uitbreidingen geldt, is dat de kevers niet op één lijn mogen liggen en holletjes niet. Hier hoort ook bij dat de holletjes geen lijn mogen vormen als een van de kevers niet op deze lijn ligt. De conditie die moeten gelden voor het basisspel is dat de oppervlakte opgespannen door de kevers gelijk moet zijn aan de oppervlakte opgespannen door de holletjes. Ook mag deze oppervlakte niet gelijk zijn aan nul. Vervolgens kan met behulp van het algoritme in hoofdstuk 4 op pagina 5 het spel worden opgelost. Dus voor het basisspel geldt bewering 2 op pagina 5. Het spel waarbij er een gemeenschappelijk holletje is, is nooit oplosbaar. En als de kevers een vaste bewegingsvolgorde hebben, dan is er geen verschil met het basisspel. Bij de uitbreiding waarbij de kevers een vaste holletje hebben, geldt er een extra beginconditie. Behalve dat de oppervlaktes gelijk moeten zijn, moeten nu ook de oriëntaties gelijk zijn. Het algoritme is hetzelfde als het algoritme van het basisspel. Het afgebakend gebied zorgt ervoor dat de kevers niet heel dicht op elkaar kunnen staan. De afstand die er minimaal tussen twee kevers moet zijn, is afhankelijk van de oppervlakte opgespannen door de holletjes. Met meerdere kevers is er zo veel vrijheid dat vrijwel alle situaties oplosbaar zijn, behalve waarbij de kevers of holletjes op 1 lijn staan. Dit is ook de enige variant op het spel waarbij de oppervlakte tussen kevers en holletjes er niet toe doen. Voor het spel in 3D zijn er 4 kevers nodig en in plaats van gelijke oppervlakten moeten de inhouden gelijk zijn. Ook mogen de inhouden niet gelijk zijn aan nul, tenzij de kevers en de holletjes allemaal in hetzelfde vlak liggen. Als er aan deze basiscondities voldaan is dan 10

11 kan het spel worden opgelost met behulp van het algoritme is paragraaf op pagina 9. Dus voor het spel in 3D geldt bewering 5 op pagina 9. Dus bij ieder spel zijn er begincondities waaraan het spel moet voldoen om oplosbaar te zijn en als hieraan voldaan is dan kan men het spel met behulp van het bijbehorende algoritme oplossen. 11

Classification of triangles

Classification of triangles Classification of triangles A triangle is a geometrical shape that is formed when 3 non-collinear points are joined. The joining line segments are the sides of the triangle. The angles in between the sides

Nadere informatie

My Inspiration I got my inspiration from a lamp that I already had made 2 years ago. The lamp is the you can see on the right.

My Inspiration I got my inspiration from a lamp that I already had made 2 years ago. The lamp is the you can see on the right. Mijn Inspiratie Ik kreeg het idee om een variant te maken van een lamp die ik al eerder had gemaakt. Bij de lamp die in de onderstaande foto s is afgebeeld kun je het licht dimmen door de lamellen open

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Examination 2DL04 Friday 16 november 2007, hours.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Examination 2DL04 Friday 16 november 2007, hours. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Examination 2DL04 Friday 16 november 2007, 14.00-17.00 hours. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk

Nadere informatie

The genesis of the game is unclear. Possibly, dominoes originates from China and the stones were brought here by Marco Polo, but this is uncertain.

The genesis of the game is unclear. Possibly, dominoes originates from China and the stones were brought here by Marco Polo, but this is uncertain. Domino tiles Dominoes is a game played with rectangular domino 'tiles'. Today the tiles are often made of plastic or wood, but in the past, they were made of real stone or ivory. They have a rectangle

Nadere informatie

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. 1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een

Nadere informatie

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE. Toets Inleiding Kansrekening 1 8 februari 2010

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE. Toets Inleiding Kansrekening 1 8 februari 2010 FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Toets Inleiding Kansrekening 1 8 februari 2010 Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als je een onderdeel

Nadere informatie

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Tentamen Bewijzen en Technieken 1 7 januari 211, duur 3 uur. Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe.

Nadere informatie

Werkblad Cabri Jr. Hoeken van een driehoek

Werkblad Cabri Jr. Hoeken van een driehoek Werkblad Cabri Jr. Hoeken van een driehoek Doel Het meten van de hoeken en de buitenhoeken van een driehoek. Definities Nevenhoeken zijn hoeken die twee benen gemeenschappelijk hebben en samen 180 zijn.

Nadere informatie

ANGSTSTOORNISSEN EN HYPOCHONDRIE: DIAGNOSTIEK EN BEHANDELING (DUTCH EDITION) FROM BOHN STAFLEU VAN LOGHUM

ANGSTSTOORNISSEN EN HYPOCHONDRIE: DIAGNOSTIEK EN BEHANDELING (DUTCH EDITION) FROM BOHN STAFLEU VAN LOGHUM Read Online and Download Ebook ANGSTSTOORNISSEN EN HYPOCHONDRIE: DIAGNOSTIEK EN BEHANDELING (DUTCH EDITION) FROM BOHN STAFLEU VAN LOGHUM DOWNLOAD EBOOK : ANGSTSTOORNISSEN EN HYPOCHONDRIE: DIAGNOSTIEK STAFLEU

Nadere informatie

Firewall van de Speedtouch 789wl volledig uitschakelen?

Firewall van de Speedtouch 789wl volledig uitschakelen? Firewall van de Speedtouch 789wl volledig uitschakelen? De firewall van de Speedtouch 789 (wl) kan niet volledig uitgeschakeld worden via de Web interface: De firewall blijft namelijk op stateful staan

Nadere informatie

Engels op Niveau A2 Workshops Woordkennis 1

Engels op Niveau A2 Workshops Woordkennis 1 A2 Workshops Woordkennis 1 A2 Workshops Woordkennis 1 A2 Woordkennis 1 Bestuderen Hoe leer je 2000 woorden? Als je een nieuwe taal wilt spreken en schrijven, heb je vooral veel nieuwe woorden nodig. Je

Nadere informatie

RECEPTEERKUNDE: PRODUCTZORG EN BEREIDING VAN GENEESMIDDELEN (DUTCH EDITION) FROM BOHN STAFLEU VAN LOGHUM

RECEPTEERKUNDE: PRODUCTZORG EN BEREIDING VAN GENEESMIDDELEN (DUTCH EDITION) FROM BOHN STAFLEU VAN LOGHUM Read Online and Download Ebook RECEPTEERKUNDE: PRODUCTZORG EN BEREIDING VAN GENEESMIDDELEN (DUTCH EDITION) FROM BOHN STAFLEU VAN LOGHUM DOWNLOAD EBOOK : RECEPTEERKUNDE: PRODUCTZORG EN BEREIDING VAN STAFLEU

Nadere informatie

Workflow en screenshots Status4Sure

Workflow en screenshots Status4Sure Workflow en screenshots Status4Sure Inleiding Het Status4Sure systeem is een ICT oplossing waarmee de transportopdrachten papierloos door het gehele proces gaan. De status kan gevolgd worden door de logistieke

Nadere informatie

Speed Skating Jumps. Schaatstraining advies & begeleiding Monique Vergeer-van den Heuvel

Speed Skating Jumps. Schaatstraining advies & begeleiding Monique Vergeer-van den Heuvel Speed Skating Jumps Schaatstraining advies & begeleiding Monique Vergeer-van den Heuvel M +31 6 53 94 43 43 E info@schaatstrainingadvies.nl I www.schaatstrainingadvies.nl 2012, May Why this book... 3 1.

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Maandag 27 mei 1.0 16.0 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

ICT. Meetkunde met GeoGebra. 2.7 deel 1 blz 78

ICT. Meetkunde met GeoGebra. 2.7 deel 1 blz 78 ICT Meetkunde met GeoGebra 2.7 deel 1 blz 78 Om de opdrachten van paragraaf 2.7 uit het leerboek te kunnen maken heb je het computerprogramma GeoGebra nodig. Je kunt het programma openen via de leerlingenkit

Nadere informatie

I.S.T.C. Intelligent Saving Temperature Controler

I.S.T.C. Intelligent Saving Temperature Controler MATEN & INFORMATIE I.S.T.C. Intelligent Saving Temperature Controler Deze unieke modulerende zender, als enige ter wereld, verlaagt het energieverbruik aanzienlijk. Het werkt in combinatie met de energy

Nadere informatie

Ontpopping. ORGACOM Thuis in het Museum

Ontpopping. ORGACOM Thuis in het Museum Ontpopping Veel deelnemende bezoekers zijn dit jaar nog maar één keer in het Van Abbemuseum geweest. De vragenlijst van deze mensen hangt Orgacom in een honingraatpatroon. Bezoekers die vaker komen worden

Nadere informatie

General info on using shopping carts with Ingenico epayments

General info on using shopping carts with Ingenico epayments Inhoudsopgave 1. Disclaimer 2. What is a PSPID? 3. What is an API user? How is it different from other users? 4. What is an operation code? And should I choose "Authorisation" or "Sale"? 5. What is an

Nadere informatie

Understanding and being understood begins with speaking Dutch

Understanding and being understood begins with speaking Dutch Understanding and being understood begins with speaking Dutch Begrijpen en begrepen worden begint met het spreken van de Nederlandse taal The Dutch language links us all Wat leest u in deze folder? 1.

Nadere informatie

Bijlage 2: Informatie met betrekking tot goede praktijkvoorbeelden in Londen, het Verenigd Koninkrijk en Queensland

Bijlage 2: Informatie met betrekking tot goede praktijkvoorbeelden in Londen, het Verenigd Koninkrijk en Queensland Bijlage 2: Informatie met betrekking tot goede praktijkvoorbeelden in Londen, het Verenigd Koninkrijk en Queensland 1. Londen In Londen kunnen gebruikers van een scootmobiel contact opnemen met een dienst

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2014 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Examen HAVO en VHBO. Wiskunde B

Examen HAVO en VHBO. Wiskunde B Wiskunde B Examen HAVO en VHBO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Vooropleiding Hoger Beroeps Onderwijs HAVO Tijdvak 1 VHBO Tijdvak 2 Dinsdag 23 mei 13.30 16.30 uur 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Paragraaf 4 Het inproduct om hoeken te berekenen Opgave a e hoek is kleiner dan 4, want het dak zelf staat onder een hoek van 45, en de kilgoot loopt schuin

Nadere informatie

Hoe groot is de kans?

Hoe groot is de kans? Hoe groot is de kans? 1 Met een witte en een grijze dobbelsteen gooien en het product maken Wat denk jij spontaan? Noteer je antwoord in de denkballon Welke producten zijn er allemaal mogelijk als je met

Nadere informatie

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want ANALYTISCHE MEETKUNDE: HERHALING DERDE JAAR OEFENINGEN Lees eerst de formules op het andere blad, en los vervolgens de oefeningen van het bijbehorende deel op. Wanneer je alles hebt opgelost, maak je de

Nadere informatie

Voorbeelden van machtigingsformulieren Nederlands Engels. Examples of authorisation forms (mandates) Dutch English. Juli 2012 Versie 2.

Voorbeelden van machtigingsformulieren Nederlands Engels. Examples of authorisation forms (mandates) Dutch English. Juli 2012 Versie 2. Voorbeelden van machtigingsformulieren Nederlands Engels Examples of authorisation forms (mandates) Dutch English Voorbeelden machtigingsformulieren standaard Europese incasso Examples of authorisation

Nadere informatie

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................

Nadere informatie

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen

Nadere informatie

Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken

Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken Doel Het construeren van bijzondere vierhoeken: parallellogram, ruit, vierkant. Constructies 1. Parallellogram (eerste constructie) We herhalen

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B havo I (oude stijl)

Eindexamen wiskunde B havo I (oude stijl) Een functie Voor 0 < = x < = 2π is gegeven de functie figuur 1 f(x) = 2sin(x + 1 6 π). In figuur 1 is de grafiek van f getekend. y 1 f 4 p 1 Los op: f(x) < 1. De lijn l raakt de grafiek van f in het punt

Nadere informatie

Introductie in flowcharts

Introductie in flowcharts Introductie in flowcharts Flow Charts Een flow chart kan gebruikt worden om: Processen definieren en analyseren. Een beeld vormen van een proces voor analyse, discussie of communicatie. Het definieren,

Nadere informatie

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] 2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen

Nadere informatie

Het Effect van Verschil in Sociale Invloed van Ouders en Vrienden op het Alcoholgebruik van Adolescenten.

Het Effect van Verschil in Sociale Invloed van Ouders en Vrienden op het Alcoholgebruik van Adolescenten. Het Effect van Verschil in Sociale Invloed van Ouders en Vrienden op het Alcoholgebruik van Adolescenten. The Effect of Difference in Peer and Parent Social Influences on Adolescent Alcohol Use. Nadine

Nadere informatie

Onbetwist-Toetsen Calculus

Onbetwist-Toetsen Calculus Onbetwist-Toetsen Calculus 1 Exercise 1. Op is het vectorveld gegeven door Bepaal de veldlijn door het punt in de vorm. Geef de functie. Exercise 2. The vector field on is given by Determine the field

Nadere informatie

Joos Vandewalle. wiskunde voor iedereen

Joos Vandewalle. wiskunde voor iedereen Joos Vandewalle wiskunde voor iedereen Hoe kan je het wiskundig denken laten groeien en bloeien bij alle leerlingen? Joos Vandewalle Op basis van de ideeën van Jo Boaler Youcubed Mythes over wiskunde Mythes

Nadere informatie

Opgave 2 Geef een korte uitleg van elk van de volgende concepten: De Yield-to-Maturity of a coupon bond.

Opgave 2 Geef een korte uitleg van elk van de volgende concepten: De Yield-to-Maturity of a coupon bond. Opgaven in Nederlands. Alle opgaven hebben gelijk gewicht. Opgave 1 Gegeven is een kasstroom x = (x 0, x 1,, x n ). Veronderstel dat de contante waarde van deze kasstroom gegeven wordt door P. De bijbehorende

Nadere informatie

This appendix lists all the messages that the DRS may send to a registrant's administrative contact.

This appendix lists all the messages that the DRS may send to a registrant's administrative contact. This appendix lists all the messages that the DRS may send to a registrant's administrative contact. Subject: 1010 De houdernaam voor #domeinnaam# is veranderd / Registrant of #domeinnaam# has been changed

Nadere informatie

DALISOFT. 33. Configuring DALI ballasts with the TDS20620V2 DALI Tool. Connect the TDS20620V2. Start DALISOFT

DALISOFT. 33. Configuring DALI ballasts with the TDS20620V2 DALI Tool. Connect the TDS20620V2. Start DALISOFT TELETASK Handbook Multiple DoIP Central units DALISOFT 33. Configuring DALI ballasts with the TDS20620V2 DALI Tool Connect the TDS20620V2 If there is a TDS13620 connected to the DALI-bus, remove it first.

Nadere informatie

Effecten van een op MBSR gebaseerde training van. hospicemedewerkers op burnout, compassionele vermoeidheid en

Effecten van een op MBSR gebaseerde training van. hospicemedewerkers op burnout, compassionele vermoeidheid en Effecten van een op MBSR gebaseerde training van hospicemedewerkers op burnout, compassionele vermoeidheid en compassionele tevredenheid. Een pilot Effects of a MBSR based training program of hospice caregivers

Nadere informatie

FRAME [UPRIGHT MODEL] / [DEPTH] / [HEIGHT] / [FINISH] TYPE OF BASEPLATE P Base plate BP80 / E alternatives: ZINC finish in all cases

FRAME [UPRIGHT MODEL] / [DEPTH] / [HEIGHT] / [FINISH] TYPE OF BASEPLATE P Base plate BP80 / E alternatives: ZINC finish in all cases FRAME XS UPRIGHT BASE PLATE UPRIGHT HORIZONTAL PROFILE DIAGONAL PROFILE DESCRIPTION A vertical structure consisting of 2 uprights, joined by a system of bracing profiles, and base plates intended to support

Nadere informatie

Davide's Crown Caps Forum

Davide's Crown Caps Forum pagina 1 van 6 Davide's Crown Caps Forum A Forum for Crown Cap Collectors Zoeken Uitgebreid zoeken Zoeken Forumindex Crown Caps Unknown Caps Lettergrootte veranderen vriend Afdrukweergave Gebruikerspaneel

Nadere informatie

Meetkunde en Lineaire Algebra

Meetkunde en Lineaire Algebra Hoofdstuk 1 Meetkunde en Lineaire Algebra Vraag 1.1 Het trapoppervlak is een afwikkelbaar oppervlak met oneindig veel singuliere punten. Vraag 1.2 Het schroefoppervlak is een afwikkelbaar oppervlak met

Nadere informatie

6 Ligging. Verkennen. Uitleg

6 Ligging. Verkennen. Uitleg 6 Ligging Verkennen Ligging Inleiding Verkennen Door in de applet het assenstelsel te draaien kun je nagaan of twee lijnen een snijpunt hebben. Je kunt ook andere lijnen proberen door de punten A, B, C

Nadere informatie

AE1103 Statics. 25 January h h. Answer sheets. Last name and initials:

AE1103 Statics. 25 January h h. Answer sheets. Last name and initials: Space above not to be filled in by the student AE1103 Statics 09.00h - 12.00h Answer sheets Last name and initials: Student no.: Only hand in the answer sheets! Other sheets will not be accepted Write

Nadere informatie

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Tentamen Analyse 6 januari 203, duur 3 uur. Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als je een onderdeel

Nadere informatie

Lichamelijke factoren als voorspeller voor psychisch. en lichamelijk herstel bij anorexia nervosa. Physical factors as predictors of psychological and

Lichamelijke factoren als voorspeller voor psychisch. en lichamelijk herstel bij anorexia nervosa. Physical factors as predictors of psychological and Lichamelijke factoren als voorspeller voor psychisch en lichamelijk herstel bij anorexia nervosa Physical factors as predictors of psychological and physical recovery of anorexia nervosa Liesbeth Libbers

Nadere informatie

Werkbladen voor leerlingen

Werkbladen voor leerlingen Magneetpolen Leerdoel: Begrijpen hoe de positieve en negatieve magnetische polen duw- en trekkrachten kunnen aantonen. 1 1. Noem vijf voorwerpen die een magneet aantrekt. 2. Hoe worden de uiteinden van

Nadere informatie

ATOS Viewer for Dental Frameworks User Manual

ATOS Viewer for Dental Frameworks User Manual ATOS Viewer for Dental Frameworks User Manual www.dentwise.eu Inhoud Content NEDERLANDS... 2 1. Installatie... 2 2. Algemene Functies... 2 3. Afstanden Meten... 3 4. Doorsneden Maken... 4 5. Weergave Aanpassen...

Nadere informatie

Country recognition. Assignment

Country recognition. Assignment Country recognition You are given a text file containing a list of countries, together with a description of their borders. Each line of the file contains the name of a country, followed by a tab and a

Nadere informatie

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5 2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook

Nadere informatie

1a. We werken het geval voor het tandenpoetsen uit. De concepten zijn (we gebruiken Engelse termen en afkortingen):

1a. We werken het geval voor het tandenpoetsen uit. De concepten zijn (we gebruiken Engelse termen en afkortingen): Uitwerking Huiswerkopgave Inleiding Modelleren Hoofdstuk 3 1a. We werken het geval voor het tandenpoetsen uit. De concepten zijn (we gebruiken Engelse termen en afkortingen): tube=[cap:{open,close},hand:{l,r,none}]

Nadere informatie

Script. Good health starts with good food. That s true for people as much as it is for animals.

Script. Good health starts with good food. That s true for people as much as it is for animals. Script Good health starts with good food. That s true for people as much as it is for animals. Livestock and fish health influence human health, since animal protein is an indispensable part of our food

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie

Handleiding Installatie ADS

Handleiding Installatie ADS Handleiding Installatie ADS Versie: 1.0 Versiedatum: 19-03-2014 Inleiding Deze handleiding helpt u met de installatie van Advantage Database Server. Zorg ervoor dat u bij de aanvang van de installatie

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:

Nadere informatie

Exercise P672 Lightweight Structures. A.P.H.W. Habraken. Report

Exercise P672 Lightweight Structures. A.P.H.W. Habraken. Report Exercise 2011-2012 7P672 Lightweight Structures A.P.H.W. Habraken Report Group 4: S.H.M. van Dijck J.C. Fritzsche J. Koeken T. Relker F.G.M. van Rooijen M. Slotboom M. Steenbeeke J.P.T. Theunissen Date:

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 009-010: tweede ronde 1 Wat is de straal van een cirkel met oppervlakte? () π π (C) π (D) π (E) π an de diagonaal [] van een vierkant met zijde 1, bouwt men links en rechts

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:00 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:00 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 2016 tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:00 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 20 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

De Sinn van fictie. Wouter Bouvy March 12, 2006

De Sinn van fictie. Wouter Bouvy March 12, 2006 De Sinn van fictie Wouter Bouvy 3079171 March 12, 2006 1 Inleiding Hoe is het mogelijk dat mensen de waarheid van proposities over fictie zo kunnen bepalen dat iedereen het er mee eens is? Kan een theorie

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-I

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-I Steeds meer vlees In wordt voor de periode 1960-1996 zowel de graanproductie als de vleesproductie per hoofd van de wereldbevolking weergegeven. Hiervoor worden twee verticale assen gebruikt. De ronde

Nadere informatie

Naam:... Nr... SPRONG 5. a Kleur het juiste percentage van de figuren en vul in hoeveel percent er overblijft.

Naam:... Nr... SPRONG 5. a Kleur het juiste percentage van de figuren en vul in hoeveel percent er overblijft. Naam:... Nr.... SPRONG 5 G G 1 Percenten T a Kleur het juiste percentage van de figuren en vul in hoeveel percent er overblijft. Kleur 20 % blauw. 25 % maak je geel. 50 % krijgt een groene kleur. Er blijft

Nadere informatie

After that, the digits are written after each other: first the row numbers, followed by the column numbers.

After that, the digits are written after each other: first the row numbers, followed by the column numbers. Bifid cipher The bifid cipher is one of the classical cipher techniques that can also easily be executed by hand. The technique was invented around 1901 by amateur cryptographer Felix Delastelle. The cipher

Nadere informatie

De grondbeginselen der Nederlandsche spelling / Regeling der spelling voor het woordenboek der Nederlandsche taal (Dutch Edition)

De grondbeginselen der Nederlandsche spelling / Regeling der spelling voor het woordenboek der Nederlandsche taal (Dutch Edition) De grondbeginselen der Nederlandsche spelling / Regeling der spelling voor het woordenboek der Nederlandsche taal (Dutch Edition) L. A. te Winkel Click here if your download doesn"t start automatically

Nadere informatie

Karen J. Rosier - Brattinga. Eerste begeleider: dr. Arjan Bos Tweede begeleider: dr. Ellin Simon

Karen J. Rosier - Brattinga. Eerste begeleider: dr. Arjan Bos Tweede begeleider: dr. Ellin Simon Zelfwaardering en Angst bij Kinderen: Zijn Globale en Contingente Zelfwaardering Aanvullende Voorspellers van Angst bovenop Extraversie, Neuroticisme en Gedragsinhibitie? Self-Esteem and Fear or Anxiety

Nadere informatie

Taco Schallenberg Acorel

Taco Schallenberg Acorel Taco Schallenberg Acorel Inhoudsopgave Introductie Kies een Platform Get to Know the Jargon Strategie Bedrijfsproces Concurrenten User Experience Marketing Over Acorel Introductie THE JARGON THE JARGON

Nadere informatie

S e v e n P h o t o s f o r O A S E. K r i j n d e K o n i n g

S e v e n P h o t o s f o r O A S E. K r i j n d e K o n i n g S e v e n P h o t o s f o r O A S E K r i j n d e K o n i n g Even with the most fundamental of truths, we can have big questions. And especially truths that at first sight are concrete, tangible and proven

Nadere informatie

Chess board distance $\max( x_0-x_1, y_0-y_1 )$

Chess board distance $\max( x_0-x_1, y_0-y_1 )$ Trail If you look up a route between two points $p_0$ and $p_n$ with Google Maps, the itinerary is given based on a number of intermediate points $$p_0, p_1, p_2, \ldots, p_n$$ If we write the distance

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Reynolds number. Laminar and turbulent flow in a cigarette's smoke.

Reynolds number. Laminar and turbulent flow in a cigarette's smoke. Reynolds number In hydraulics, hydrodynamics and aerodynamics, a distinction is made between laminar and turbulent flows. A laminar flow is characterised because the layers of the medium (a gas or a fluid)

Nadere informatie

1. In welk deel van de wereld ligt Nederland? 2. Wat betekent Nederland?

1. In welk deel van de wereld ligt Nederland? 2. Wat betekent Nederland? First part of the Inburgering examination - the KNS-test Of course, the questions in this exam you will hear in Dutch and you have to answer in Dutch. Solutions and English version on last page 1. In welk

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Cabri werkblad. Meetkundige plaatsen

Cabri werkblad. Meetkundige plaatsen Cabri werkblad Meetkundige plaatsen 1. Wat is een meetkundige plaats? We geven direct maar een Definitie Een meetkundige figuur heet meetkundige plaats van punten met een bepaalde eigenschap indien: 1.

Nadere informatie

Vergaderen in het Engels

Vergaderen in het Engels Vergaderen in het Engels In dit artikel beschrijven we verschillende situaties die zich kunnen voordoen tijdens een business meeting. Na het doorlopen van deze zinnen zal je genoeg kennis hebben om je

Nadere informatie

Ius Commune Training Programme Amsterdam Masterclass 22 June 2017

Ius Commune Training Programme Amsterdam Masterclass 22 June 2017 www.iuscommune.eu INVITATION Ius Commune Masterclass 22 June 2017 Amsterdam Dear Ius Commune PhD researchers, You are kindly invited to participate in the Ius Commune Amsterdam Masterclass for PhD researchers,

Nadere informatie

Een vrouw, een kind en azijn (Dutch Edition)

Een vrouw, een kind en azijn (Dutch Edition) Een vrouw, een kind en azijn (Dutch Edition) D.J. Peek Click here if your download doesn"t start automatically Een vrouw, een kind en azijn (Dutch Edition) D.J. Peek Een vrouw, een kind en azijn (Dutch

Nadere informatie

TEKENEN MET EEN DRIELUIK

TEKENEN MET EEN DRIELUIK PERSPECTIEFTEKENEN AFLEVERING 1 Evenwijdige lijnen worden op een foto zelden evenwijdig afgebeeld. Wat zit hier achter? Kunnen we begrijpen wat er op een foto met evenwijdige lijnen gebeurt? Het blijkt

Nadere informatie

Reading comprehension: The Tropical Rainforest

Reading comprehension: The Tropical Rainforest Auteur Laatst gewijzigd Licentie Webadres Patricia Termeer 05 februari 2016 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie https://maken.wikiwijs.nl/71971 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet.

Nadere informatie

wiskunde B havo 2015-II

wiskunde B havo 2015-II Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid

Nadere informatie

Vlakke meetkunde en geogebra

Vlakke meetkunde en geogebra Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster

Nadere informatie

Beetle Bit Glas Snij Systeem

Beetle Bit Glas Snij Systeem Beetle Bit Glas Snij Systeem Deze gebruiksaanwijzing is gebaseerd op het originele manual van Creator s Stained Glass Inc. en vertaald door Cuttersmate Europe Bezoek ons op www.cuttersmate-europe.com Note:

Nadere informatie

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan. Gevaar op zee Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek

Nadere informatie

Chromosomal crossover

Chromosomal crossover Chromosomal crossover As one of the last steps of genetic recombination two homologous chromosomes can exchange genetic material during meiosis in a process that is referred to as synapsis. Because of

Nadere informatie

News: Tours this season!

News: Tours this season! 1 Do you remember? Lees de zinnen en vul de juiste woorden in. Kies uit: like listen presenter too loud great show number next crowd singer. Let op: je houdt twee woorden over. Welcome back to the best

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 20 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 20 mei uur Examen HAVO 2008 tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B1,2 Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Dit bewijzen we met behulp van een recursieve opsomming

De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Dit bewijzen we met behulp van een recursieve opsomming Recursieve talen De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Echter, het is niet zo dat L recursief opsombaar is voor alle recursief opsombare talen L. Dit bewijzen we met behulp van

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

2 Vergelijkingen van lijnen

2 Vergelijkingen van lijnen 2 Vergelijkingen van lijnen Verkennen Meetkunde Lijnen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Gebruik de applet! Uitleg Meetkunde Lijnen Uitleg Opgave 1 Bestudeer de Uitleg. Laat zien

Nadere informatie

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg 1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem

Nadere informatie

Alistair LED stairwell luminaire Handleiding Alistair (UC03 sensor)

Alistair LED stairwell luminaire Handleiding Alistair (UC03 sensor) Alistair LED stairwell luminaire Handleiding Alistair (UC03 sensor) Let op: Als het flexibele draad van dit licht beschadigd is, dient het te worden vervangen door iemand van de technische service, of

Nadere informatie

Settings for the C100BRS4 MAC Address Spoofing with cable Internet.

Settings for the C100BRS4 MAC Address Spoofing with cable Internet. Settings for the C100BRS4 MAC Address Spoofing with cable Internet. General: Please use the latest firmware for the router. The firmware is available on http://www.conceptronic.net! Use Firmware version

Nadere informatie

TE KOOP BOUWGROND N201 VERMOGENWEG MIJDRECHT COLLIERS INTERNATIONAL REAL ESTATE B.V. TE KOOP BOUWGROND N201 VERMOGENWEG MIJDRECHT

TE KOOP BOUWGROND N201 VERMOGENWEG MIJDRECHT COLLIERS INTERNATIONAL REAL ESTATE B.V. TE KOOP BOUWGROND N201 VERMOGENWEG MIJDRECHT TE KOOP BOUWGROND N201 VERMOGENWEG MIJDRECHT COLLIERS INTERNATIONAL REAL ESTATE B.V. TE KOOP BOUWGROND N201 VERMOGENWEG MIJDRECHT COLLIERS INTERNATIONAL REAL ESTATE B.V. TE KOOP/ TE HUUR ADRES - PLAATS

Nadere informatie

ECHTE MANNEN ETEN GEEN KAAS PDF

ECHTE MANNEN ETEN GEEN KAAS PDF ECHTE MANNEN ETEN GEEN KAAS PDF ==> Download: ECHTE MANNEN ETEN GEEN KAAS PDF ECHTE MANNEN ETEN GEEN KAAS PDF - Are you searching for Echte Mannen Eten Geen Kaas Books? Now, you will be happy that at this

Nadere informatie