Studie van MAC-mechanismen voor bi-directionele satellietverbindingen

Transcriptie

1 Faculteit Ingenieurswetenschappen Vakgroep Telecommunicatie en Informatieverwerking Voorzitter: Prof. Dr. Ir. H. BRUNEEL Studie van MAC-mechanismen voor bi-directionele satellietverbindingen door Sammy VERGEYLEN Promotor: Prof. Dr. Ir. S. WITTEVRONGEL Co-promotor: Prof. Dr. Ir. H. BRUNEEL Scriptiebegeleider: Dr. Ir. K. LAEVENS Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van licentiaat in de informatica Academiejaar

2

3 Faculteit Ingenieurswetenschappen Vakgroep Telecommunicatie en Informatieverwerking Voorzitter: Prof. Dr. Ir. H. BRUNEEL Studie van MAC-mechanismen voor bi-directionele satellietverbindingen door Sammy VERGEYLEN Promotor: Prof. Dr. Ir. S. WITTEVRONGEL Co-promotor: Prof. Dr. Ir. H. BRUNEEL Scriptiebegeleider: Dr. Ir. K. LAEVENS Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van licentiaat in de informatica Academiejaar

4 Any sufficiently advanced technology is indistinguishable from magic. Arthur C. Clarke s third law Voorwoord Satellieten die gebruikt worden om bijvoorbeeld tv-programma s de wereld rond te sturen, daar kijkt niemand nog van op. Een schotelantenne, een decoder en een tv is alles wat je nodig hebt om naar de hele wereld te kunnen kijken. Wat als we deze toch wel wonderbaarlijke techniek zouden kunnen gebruiken om niet alleen informatie te ontvangen, maar ook om zélf data de wereld in te sturen? Dat we dan in staat zouden zijn om interactief deel te nemen aan een programma, waar ook ter wereld, enkel door een paar knopjes op onze afstandsbediening in te drukken, is slechts één van de ontelbare mogelijkheden. Het enige wat op het eerste zicht nodig is om dit te realiseren, is de mogelijkheid om zelf informatie naar een satelliet te sturen. Om echter grote hoeveelheden gebruikers te laten genieten van deze nieuwe ontwikkeling, is er nood aan verkeersregels die er voor zorgen dat zoveel mogelijk informatie naar de satellieten kan gestuurd worden, zonder dat er zich al te veel ongelukken voordoen. In het bestuderen van enkele van deze verkeersregels, zag ik mijn kans om een steentje bij te dragen aan de magie van de bi-directionele communicatie via satellieten. Deze scriptie zou echter nooit geworden zijn wat ze nu is, zonder de hulp van mijn begeleiders. Een woord van dank is dan ook op zijn plaats. Prof. Dr. Ir. Sabine Wittevrongel en Dr. Ir. Koen Laevens hielpen mij week na week verder te bouwen aan deze scriptie. Niet alleen kon ik op hun hulp rekenen wanneer ik niet uit een berekening geraakte, ook voor het nalezen en verbeteren van volledige hoofdstukken kon ik bij hen terecht. Graag wil ik hen beide bedanken voor alle tijd en energie die ze staken in het tot stand komen van dit werk. Het was een plezier met hen te mogen samenwerken. Ik kon me geen betere begeleiders wensen. Ook Prof. Dr. Ir. Herwig Bruneel wil ik graag bedanken. Als co-promotor en voorzitter van de vakgroep bood hij mij de mogelijkheid om dit onderwerp te bestuderen.

5 Ik zie deze scriptie als de kroon op het werk van een jarenlange studentenloopbaan. Ik bedank dan ook heel erg graag mijn ouders die me de kans hebben gegeven een mooie opleiding te genieten. Mijn familie, schoonfamilie en vrienden verdienen ook een bedankje voor alle steun. Rest mij dan nog het bedanken van een persoon die heel erg veel voor mij heeft betekend, en dat ongetwijfeld nog lang zal doen. Ze heeft me gesteund tijdens de lange dagen van hard werken en studeren, maakte van de vrije momenten steeds weer iets moois. Voor al het geduld dat ze met me heeft gehad, voor alle steun die ze me gaf, voor elke lach die ze op mijn gezicht toverde, en voor nog zoveel meer... dankjewel Annemie. Sammy Vergeylen, 4 juni 2007

6 Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie. Sammy Vergeylen, 4 juni 2007

7 Studie van MAC-mechanismen voor bi-directionele satellietverbindingen door Sammy VERGEYLEN Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van licentiaat in de informatica Academiejaar Promotor: Prof. Dr. Ir. S. WITTEVRONGEL Co-promotor: Prof. Dr. Ir. H. BRUNEEL Scriptiebegeleider: Dr. Ir. K. LAEVENS Faculteit Ingenieurswetenschappen Universiteit Gent Vakgroep Telecommunicatie en Informatieverwerking Voorzitter: Prof. Dr. Ir. H. BRUNEEL Samenvatting We bestuderen in deze scriptie twee protocollen die de bi-directionele communicatie m.b.v. satellieten in goede banen moet leiden. Meer bepaald bestuderen we het minimaal aantal frequentiebanden dat per gebruiker nodig is om een goede Quality of Service te garanderen. We doen dit voor de protocollen Time and Frequency Division Multiple Access en Random Access. We vergelijken de resultaten voor deze protocollen en bepalen hieruit welk van de protocollen het meest aangewezen is in een bepaalde situatie. Trefwoorden Time and Frecency Divivision Multiple Access, Random Access, minimale kost, berichtlengte

8 Study of MAC-protocols for bidirectional satellite connections Sammy Vergeylen Supervisors: Sabine Wittevrongel, Herwig Bruneel, Koenraad Laevens Abstract We analysed two different MAC-protocols: TFDMA and Random Access. We started by studying the delay of messages that contain one packet for both protocols. These delays gave us the opportunity to examine the probability that the delay gets higer than a given value of x slots. To compare both protocols, we defined the cost as the amount of frequencies per user. The minimal cost is the minimal number of frequencies per user needed to fulfill a certain Quality of Service. We expressed this QoS in a way that the probability that the delay d gets higer then x slots, must be lower than ɛ. We followed the same procedure in the case of messages containing L packets. In the end we were able to determine witch protocol has the lowest minimal cost in terms of how much traffic the users want to send per slot and given the message length. Keywords TFDMA, Random Access, minimal cost I. INTRODUCTION TO be able to use a satellite network in a bidirectional way, instead of the usual oneway broadcast from the hub station to all users, a return channel from the user to the satellite is needed. This return channel is created by additional hardware on the user end that allows the users to send their data to the satellite. Since we consider a discrete-time system, we assume that time is divided into slots of equal size. All frequencies that are available for sending, are divided into freqency-bands. One packet can be sent during one slot, using a certain freqencyband. Such time- and frequency-slots are called frames. Because users cannot interact with each other, they cannot know whether the return channel is available or not. This results in the possibility of two or more users sending their data during the same frame. Due to this event, as so called collision, the data is lost. Therefore we need a protocol to regulate the access to the return channel, a so-called Medium Access Control protocol. The two discussed protocols are Time and Frequency Division Multiple Access (TFDMA) and Random Access. A third well known protocol, called Demand Assigned Multiple Access (DAMA), will not be discussed. The protocols mentioned are retrieved from [1]. The more frequencies a system needs, the more expensive it becomes. That is why we define the cost as the number of frequencies per user. We will demand that the probability that the delay d becomes longer than a certain number of slots x remains lower than a given value ɛ: Pr[d > x] ɛ Packets that arrive in the buffer will have to wait until they can be sent (TFDMA), or will have to be retransmitted several times due to collisions (Random Access). These are two main causes for the delay experienced by a message. The lowest number of frequencies per user needed to support the required quality of service is called the minimal cost. A. TFDMA II. PROTOCOLS STUDIED With TFDMA the time and frequency are divided amongst all users. This fixed schedule makes sure that the users can send one packet every K slots, and that no collisions will occur. We divide the consecutive slots in windows, each window containing K slots. Slot K can be used to send a packet. B. Random Access The opposite of applying a fixed schedule to the transmissions of all users, is leaving the access to the return channel completely free. This is what Random Access does. Users can send their data whenever they want, but there is no guarantee that the data reaches its destination. To be sure that the transmission was successful, the user will have to wait for an acknowledgement message. If after a round-trip-time no such message was received, the transmission is considered to have failed and the user tries to retransmit the same data. III. PACKET LEVEL We first study the protocols at the packet level, meaning that we consider the users to generate messages containing a single packet. The users will generate at most one message per slot. In this case, the message delay is the same as the packet delay. A. TFDMA First we focus on the number of packets in the buffer at the beginning of a slot of a certain window. We assume that the system reaches a steady state, under the condition that the average number of packets arriving in the buffer per slot is less than the average number of packets leaving per slot. This allows to determine the generating functions of the number of packets at the beginning of a certain slot. We then use these results to calculate the generating function of the number of packets in the buffer at the beginning of a random slot. To obtain the generating function of the packetdelay, we first calculate the generating function of a packet that arrives in the i-th slot of a window (1 i K). We need to distinguish between i = K and i < K, since during the K-th slot a packet can be sent. Based on these separate functions the generating function of the delay of an arbitrairy packet is then obtained as: D(z) = (1 Kp) z z K 1 (z E(z K ))K with E(z) the generating function of the number of packets arriving in a slot

9 From this result we get to Pr[d > x] ɛ by using tail probabilities. B. Random Access For an exact analysis we would have to consider all users, because the number of collisions depends on how many packets all users want to send during the same slot. It is obvious that this would lead to calculations of great complexity, so we isolate one user from the rest. By considering the number of other users and the number of frequencies to be infinitely large, the probability that a collision occurs will be the same for every packettransmission. We call this probability P e. The number of sent packets per slot by one user is here considered to be Bernoulli-distributed with parameter p. The sum of all packets sent during a slot (old and new ones) by an infinite number of users is thus Poisson-distributed with a parameter λ o. P e can be determined as follows: the probability that no collision occurs equals the probability that none of the other users send a packet during the same frame. In other words: P e = 1 λ o. The average number of attempts before a successful transmission is 1 1 P e. The average amount of packets that is sent per slot is the total average number of packets sent (old and new) multiplied by the number of frequencies F, but also the average number of new packets λ multiplied by the average number of attempts before a successful transmission, again multiplied by the number of frequencies. This observation leads to an equation fore which we can retrieve λ o : λ = λ o e λo. The average total amount of new packets per slot is λf, but also the number of users N times the probability that a users sends a new packet p, so λ (and thus λ o ) can be calculated given N,F and p. We calculate the complementary cumulative distribution (CCD) of the delay as: Pr[d > x] = P k e with k the floor function of x 1 T and T the one way round-triptime in slots. Note that in the previous calculations we assumed that packets never have to wait before they are sent. Also we did not take in account that it can appear that two packets want to be sent during the same slot. Despite these assumptions our results are good. We checked this using simulations. C. Minimal cost We already know the CCD of the delay in the Random Access protocol and used tailprobabilities to calculate the CCD of the delay with TFDMA. With these CCD s we can calculate the minimal cost so that the probability that the delay becomes longer than x slots remains smaller than given ɛ. If we set out these conditions, as in figure 1, we see that Random Access is cheaper for small p. IV. MESSAGE LEVEL Until now we assumed that users generate at most one packet per slot. In reality users will want to send messages containing several packets. The users still can only send one packet Minimal Cost Random Access TFDMA p (in %) Fig. 1. Minimal cost for small probability p that users want to send a message of length 1 per slot. We followed the same methods as before to calculate the adapted versions of the generating functions of the delay for TFDMA and Random Access. The delay of a message in case of TFDMA is the delay of the last packet sent, in case of Random Access the delay of a message is the delay of the packet that needed the most retransmissions. Again, we do not want that in a certain percentage of the cases the delay becomes longer than a given number of slots. The results are shown in figure 2. Minimal Cost Random Access TFDMA pl Fig. 2. Minimal cost for average number of packets that users want to send during a slot (L= 4) V. CONCLUSION If we compare figure 1 with figure 2 we see that the impact of the size of a message is bigger on TFDMA as on Random Access. Still, for larger p, TFDMA remains the cheapest solution. VI. FUTURE WORK The study can be done for other MAC-protocols, DAMA for example, to make a complete evaluation of the protocols. Also the numerous assumptions made, can be relaxed. For example the deterministic length of a message could be replaced with a probabilistic length. REFERENCES [1] Moshe Sidi, Dynamic Assignement in Multiple Acces Schemes, Departement of Electrical Engineering, Israel Institute of Technology Haifa, Israel

10 INHOUDSOPGAVE iii Inhoudsopgave Extended abstract Gebruikte afkortingen, notaties en symbolen i vi 1 Inleiding Bi-directionele satellietcommunicatie Protocollen Doelstelling en verwachtingen Situering Discrete-tijd-buffersysteem Discrete toevalsgrootheden en massafuncties Genererende functies Enkele discrete distributies TFDMA Mathematisch model en enkele veronderstellingen Bufferbezetting bij het begin van een slot Bufferbezetting bij het begin van het i-de slot van een venster Bufferbezetting bij het begin van een willekeurig slot in regime Gemiddelde bufferbezetting Delay Delay van pakketten die aankomen in een bepaald slot Delay van een willekeurig pakket Gemiddelde delay Variantie van de delay Complementaire cumulatieve distributiefunctie van de delay

11 INHOUDSOPGAVE iv 2.4 Bufferbezetting na een vertrek Bespreking Random Access Enkele veronderstellingen Kans op een collisie Aantal pakketten van alle anderen Aantal nieuwe pakketten Delay Genererende functie van de delay Complementaire cumulatieve distributiefunctie Controle van de resultaten Theoretische resultaten Simulatieprogramma s Controle Minimale kost Uitbreiding TFDMA Invloed van L op load en aantal aankomsten per slot Bufferbezetting bij het begin van een slot Delay van een bericht Minimale kost Random Access Veronderstellingen Traagste pakket Delay van een bericht Minimale kost Vergelijking invloed van berichtlengte Besluit 71 A Afgeleide in punt 1 73 B Regel van de l Hôpital 74

12 INHOUDSOPGAVE v C De complementair cumulatieve distributiefunctie 76 D Verband bufferbezetting bij het begin van een slot en na een vertrek 78

13 GEBRUIKTE AFKORTINGEN, NOTATIES EN SYMBOLEN vi Gebruikte afkortingen, notaties en symbolen Afkortingen ACK CCD i.i.d MAC RTT TFDMA QoS Acknowledgement Complementaire Cumulatieve Distributiefunctie Independent and Identically Distributed Medium Access Control Round Trip Time Time and Frequency Division Multiple Access Quality of Service Notaties x de floor functie: de waarde van x, afgerond naar beneden (x) + max(x, 0) Symbolen u i e i K p F N T C bufferbezetting bij het begin van slot i (in aantal pakketten) aantal pakketten dat aankomt in de buffer tijdens slot i om de K slots kan, bij TFDMA, een pakket verzonden worden rangnummer van het slot in een venster dat gebruikt wordt om te verzenden (TFDMA) kans dat een gebruiker een bericht wenst te versturen tijdens een slot aantal frequentiebanden aantal gebruikers round-trip-time uitgedrukt in slots kost uitgedrukt in aantal frequentiebanden per gebruiker

14 INLEIDING 1 Hoofdstuk 1 Inleiding 1.1 Bi-directionele satellietcommunicatie Traditioneel worden satellietontvangers vooral gebruikt voor telecommunicatie in één richting. Een server wenst iets uit te zenden, een televisieprogramma bijvoorbeeld, en stuurt daartoe zijn data naar de satelliet. De gebruikers zijn enkel in staat de data van de satelliet te ontvangen, in dit geval het uitgezonden programma. Op deze manier zijn de gebruikers niet in staat om te communiceren met elkaar of met de verzender van de data. De verbinding wordt uni-directioneel genoemd, waarbij 1 signaal gebroadcast wordt naar alle gebruikers of terminals (figuur 1.1). Figuur 1.1: Uni-directionele verbinding [1]

15 1.1 Bi-directionele satellietcommunicatie 2 Sinds een aantal jaren krijgen tv-kijkers meer en meer de mogelijkheid om deel te nemen aan interactieve televisieprogramma s. De Idool -zangwedstrijd waarbij de kijker zijn stem kan uitbrengen voor een favoriete zanger of zangeres was en is een wereldwijd succes; miljoenen mensen namen deel aan de stemming. Dit is slechts één voorbeeld van de vele interactieve diensten die (kunnen) aangeboden worden, andere zijn onder meer interactieve spelletjes, teleshopping, sms-diensten... Tot op de dag van vandaag leveren de meeste mensen feedback door het sturen van sms jes of via de telefoon. Idealiter zouden de mensen in staat moeten zijn om deze feedback door te geven via hun afstandsbediening (uit de inleiding van [2]). Om deze functionaliteit te kunnen voorzien via satelliet, hebben we nood aan een bi-directionele verbinding. Een bi-directionele verbinding tussen satelliet en gebruiker kan opgezet worden met behulp van een settop box extra hardware in de terminals. Het kanaal van de gebruiker naar de satelliet dat zo tot stand komt, noemen we het return channel. Aangezien gebruikers niet met elkaar kunnen communiceren, moet een protocol voorzien worden dat de toegang tot dit return channel reguleert: het Medium Access Control protocol of MAC-protocol. Figuur 1.2: Bi-directionele verbinding [1]

16 1.2 Protocollen Protocollen Zoals reeds vermeld, hebben we nood aan een protocol dat de toegang tot het return channel reguleert. We bespreken hier kort drie mogelijkheden: Time and Frequency Division Multiple Access, Random Access en Demand Assigned Multiple Access. Het laatste protocol zal niet in deze scriptie bestudeerd worden. Vooraleer we overgaan tot de bespreking van de protocollen lichten we een aantal gebruikte begrippen toe. De tijd wordt opgedeeld in intervallen van vaste lengte, slots genaamd, en het frequentiespectrum waarover verzonden kan worden, wordt opgedeeld in frequentiebanden. De data die tijdens een slot kunnen verstuurd worden, zitten in een pakket. Per slot kan over elke frequentieband één pakket verstuurd worden. Eén pakket heeft met andere woorden een slot lang een frequentieband nodig om verstuurd te kunnen worden, zo n tijd-freqentie-slot noemen we een frame. Dit wordt verduidelijkt in figuur 1.3. Figuur 1.3: Indeling van tijd en frequentie Eén mogelijkheid is om het kanaal op een vaste manier te verdelen onder de gebruikers. Het protocol wijst aan elke gebruiker om de K slots een frame toe. Het verzenden van pakketten kan enkel in de toegewezen frames. Het protocol houdt dus geen rekening met de momenten waarop een gebruiker data wenst te vesturen. Dit protocol heet Time and Frequency Division Multiple Access (TFDMA) en wordt bestudeerd in hoofdstuk 2. Op deze manier wordt een vast schema opgelegd aan de gebruikers, met als nadeel dat niet tijdens elk slot een pakket kan vertrekken, maar als voordeel dat de pakketten die verstuurd worden tijdens een toegewezen slot, zeker hun

17 1.3 Doelstelling en verwachtingen 4 bestemming bereiken. Een andere manier is om de toegang tot het kanaal volledig vrij te laten. Omdat gebruikers zich niet aan een schema hoeven te houden, en ze niet van elkaar kunnen weten of er nog iemand anders aan het sturen is, zal het voorkomen dat meerdere gebruikers tijdens een frame een pakket proberen te verzenden. In dit geval gaan de data verloren en spreken we van een collisie. De gebruikers zullen hun data opnieuw moeten sturen op een ander tijdstip, over een willekeurig gekozen frequentieband. Dit zogenoemde Random Access protocol wordt bestudeerd in hoofdstuk 3. Het derde protocol, Demand Assigned Multiple Access, legt de gebruikers geen vast schema op, maar laat ze ook niet helemaal vrij in hun toegang tot het return channel. Wanneer een gebruiker een aantal pakketten wenst te versturen, dan moet hij/zij eerst een frequentieband reserveren. Als alle banden reeds in gebruik zijn, dan moet er gewacht worden tot een band vrijkomt. Indien er een frequentieband beschikbaar is, krijgt de gebruiker een bevestiging en kan het verzenden beginnen. Op dit moment kan enkel de gebruiker aan wie de frequentieband is toegewezen deze band gebruiken om te verzenden. Afhankelijk van het gebruikte systeem mogen alle pakketten in de buffer verzonden worden, enkel diegene die reeds in de buffer zaten op het moment van de reservatie of een vooraf bepaald aantal. Eens alle pakketten (of het toegelaten aantal) verzonden zijn, geeft de gebruiker de band terug vrij zodat anderen de kans krijgen deze te reserveren. 1.3 Doelstelling en verwachtingen Het doel van deze scriptie is bepalen welk MAC-protocol, TFDMA of Random Access, het meest aangewezen is. Het gebruikte systeem zal aan bepaalde vereisten moeten voldoen, we moeten met andere woorden een bepaalde QoS garanderen. De vereiste waaraan voldaan moet worden, drukken we uit als volgt: de kans dat een bericht langer dan een aantal slots moet wachten om verstuurd te worden, zal kleiner moeten blijven dan een gegeven grenswaarde ɛ. Om dit te kunnen garanderen zullen we een aantal frequentiebanden nodig hebben. Het minimaal aantal frequentiebanden per gebruiker dat nodig is om de gevraagde QoS te kunnen garanderen, noemen we de minimale kost. We zullen deze bepalen in functie van het verwachte dataverkeer van de gebruikers, meer bepaald in functie van de intensiteit waarmee de gebruikers data over het return channel wensen te versturen. Tijdens een eerste studie van de protocollen gaan we ervan uit dat een gebruiker per slot

18 1.4 Situering 5 maximaal één bericht bestaande uit één pakket wenst te versturen. TFDMA en Random Access worden respectievelijk in hoofdstuk 2 en 3 onderzocht. We versoepelen de vereenvoudiging in het hoofdstuk 4 Uitbreiding waar we veronderstellen dat gebruikers per slot maximaal één bericht bestaande uit een aantal pakketten wensen te versturen. We verwachten dat Random Access goedkoper zal zijn als de gebruikers met een kleine kans p per slot een pakketje wensen te versturen. De kans dat meer dan één gebruiker tijdens een frame wil sturen zal immers heel klein zijn, waardoor met een klein aantal frequentiebanden per gebruiker aan de gevraagde QoS kan voldaan worden. TFDMA zal in dit geval minder efficiënt zijn omdat, ondanks het feit dat er veel vrije frames zijn, de gebruiker toch altijd zal moeten wachten op het toegekende frame om zijn of haar pakket te versturen. Als de gebruikers met een grotere kans p een pakket wensen te versturen, dan lijkt het beter om het versturen met behulp van een vast schema te regelen. Indien in dit geval toch gebruik wordt gemaakt van Random Access, dan is het duidelijk dat er veel collisies zullen optreden, tenzij het aantal frequentiebanden (en dus de kost) wordt verhoogd. Bij TFDMA zullen de gebruikers immers allemaal pakketten hebben die staan te wachten op verzending. Bijgevolg zal nagenoeg elk frame benut worden, wat uiteraard de laagst mogelijke kost tot gevolg heeft. 1.4 Situering We maken in deze studie veelvuldig gebruik van begrippen uit de wachtlijntheorie. In deze sectie worden de voorkomende begrippen kort toegelicht. De begrippen, definities en notaties zijn afkomstig uit het hoofdstuk Bufferanalyse in discrete tijd: voorafgaande begrippen in [3] Discrete-tijd-buffersysteem Bij zowel het gebruik van TFDMA als bij het gebruik van Random Access zullen pakketten moeten wachten. Er is dus nood aan een buffer waarin pakketten wachten op hun (re)transmissie. We hebben hier dus te maken met een buffersysteem en meer specifiek, aangezien we de tijd verdelen in slots, met een discrete-tijd-buffersysteem. De werking van een discrete-tijd-buffersysteem is in principe heel eenvoudig. De informatie die verstuurd dient te worden, wordt opgedeeld in pakketten van vaste grootte. Deze pakketten komen in het buffersysteem binnen op een onregelmatige manier en daarom worden de aankomsten van pakketten in een buffersysteem op een stochastische manier beschreven. Het aankomstproces wordt gekarakteriseerd aan de hand van een aantal niet-negatieve discrete toe-

19 1.4 Situering 6 valsveranderlijken, één per tijdsslot, die aanduiden hoeveel pakketten er tijdens de opeenvolgende slots in de buffer aankomen. Eenmaal aangekomen in de buffer, wachten de pakketten op hun verzending. De transmissietijd van een pakket is precies gelijk aan 1 slot en een pakket kan maar vertrekken in een slot indien het voor het begin van dit slot aankwam in de buffer. Figuur 1.4 verduidelijkt de levensloop van een pakket in een buffer. Figuur 1.4: Transmissie van een pakket Aangezien we geïnteresseerd zijn in het aantal pakketten dat zich in de buffer bevindt, moeten we een moment kiezen waarop we de buffer observeren. Als observatiepunten kiezen we de slotgrenzen, of beter het moment vlak na de slotgrenzen. Op deze tijdstippen zal het pakket dat tijdens het voorgaande slot werd verstuurd al uit de buffer verdwenen zijn en zal er (per veronderstelling) nog geen nieuw pakket toegekomen zijn in het geobserveerde slot Discrete toevalsgrootheden en massafuncties Vele van de grootheden die hier aan bod zullen komen, nemen enkel niet-negatieve gehele waarden aan. Bijvoorbeeld het aantal aankomsten in een slot, het aantal slots dat een pakket moet wachten in de buffer, enz. Deze grootheden worden gemodelleerd als discrete toevalsveranderlijken. Hun waarschijnlijkheidsdistributie wordt gekarakteriseerd aan de hand van hun massafunctie. De massafunctie van een discrete toevalsgrootheid X is een functie x(n) van een discrete veranderlijke n, met als betekenis x(n) = Pr[X = n], n 0

20 1.4 Situering Genererende functies Definitie We definiëren de genererende functie X(z) van een discrete toevalsgrootheid X als X(z) = E[z X ] = x(n)z n n=0 voor alle waarden van z waarvoor de oneindige som convergeert. Hierin is z een complexe variabele, E[...] de verwachtingswaarde van de stochastische grootheid tussen de haakjes en x(n) de hogervermelde massafunctie van X. We bespreken in de volgende paragraaf enkele eigenschappen van deze genererende functies. Eigenschappen van genererende functies Normeringsvoorwaarde Elke genererende functie X(z) voldoet aan de voorwaarde X(1) = 1. Dit is een gevolg van de normeringsvoorwaarde van de bijhorende massafunctie: X(1) = x(n)1 n = 1 n=0 Deze voorwaarde zal vaak gebruikt worden om resterende onbekenden in een genererende functie te helpen bepalen. Momentengenererende eigenschap Door de berekening van de opeenvolgende afgeleiden van X(z), in het punt z = 1, kan men de opeenvolgende momenten van X recursief berekenen. Enkele veelgebruikte formules: eerste moment: E[X] = dx(z) dz z=1 tweede moment: E[X 2 ] = d2 X(z) dz 2 variantie: σ 2 X = d2 X(z) dz 2 z=1 + dx(z) dz z=1 + dx(z) dz z=1 z=1 ( dx(z) dz ) 2 z=1 Som van onafhankelijke toevalsgrootheden statistisch onafhankelijke toevalsgrootheden X 1, X 2,..., X n, zijnde De genererende functie van een som Y van Y = n i=1 X i

21 1.4 Situering 8 wordt gegeven door het product van de genererende functies van deze toevalsgrootheden: Y (z) = Enkele discrete distributies n X i (z) We vermelden hier enkele discrete distributies die voorkomen in deze scriptie. i=1 Bernoulli-distributie Een discrete toevalsgrootheid die enkel de waarden 0 en 1 kan aannemen noemt men een Bernoulli-toevalsgrootheid. Zijn distributie wordt een Bernoulli-distributie genoemd en zijn massafunctie x(n) wordt gegeven door: x(0) = 1 p en x(1) = p waarbij p een reeël getal tussen 0 en 1 voorstelt dat de parameter van de Bernoulli-distributie wordt genoemd. De genererende functie van een Bernoulli-toevalsgrootheid met parameter p wordt gegeven door: X(z) = 1 p + pz de verwachtingswaarde E[X] van deze toevalsgrootheid is E[X] = p Bernoulli-toevalsgrootheden spelen een belangrijke rol in heel wat toepassingen vanwege hun direct verband met zogenaamde Bernoulli-experimenten. Dit zijn toevalsexperimenten met slechts twee mogelijke uitkomsten, succes en mislukking genoemd. Indien men het aantal successen dat optreedt bij de uitvoering van een Bernoulli-experiment X noemt en de kans op succes p bedraagt, dan is X een Bernoulligedistribueerde toevalsgrootheid met parameter p. Geometrische distributie Een discrete toevalsgrootheid X is geometrisch verdeeld met parameter α (0 α < 1) indien zijn massafunctie x(n) gegeven wordt door x(n) = (1 α)α n, n 0

22 1.4 Situering 9 De bijhorende genererende functie X(z), verwachtingswaarde E[X] en variantie σ 2 X luiden X(z) = 1 α 1 αz E[X] = α 1 α σx 2 α = (1 α) 2, voor z < 1 α Ook de geometrische distributie kan in verband gebracht worden met het concept Bernoulliexperiment. Beschouw met name een rij van onafhankelijke Bernoulli-experimenten met zelfde kans p op succes, dan is het aantal mislukkingen dat optreedt vóór het eerste succes, gerekend vanaf een zeker experiment in de rij, een geometrische toevalsgrootheid met parameter 1 p, terwijl anderzijds het aantal successen dat optreedt vóór de eerste mislukking geometrisch verdeeld is met parameter p. Ook de lengte van een mislukkingsperiode en een succesperiode, dit wil zeggen het totaal aantal mislukkingen tussen twee opeenvolgende successen en het totaal aantal successen tussen twee opeenvolgende mislukkingen, zijn geometrisch verdeelde toevalsgrootheden met respectievelijke parameters 1 p en p, indien men voor deze grootheden de waarde nul toelaat. Sluit men de waarde nul uit, dit wil zeggen dat men enkel sequenties met een positieve lengte telt, dan bekomt men gewijzigde of verschoven geometrische distributies met parameters 1 p en p respectievelijk. Hierbij wordt de gewijzigde of verschoven geometrische distributie met parameter α per definitie gekarakteriseerd door een massafunctie x(0) = 0 en x(n) = (1 α)α n 1, n 1 een genererende functie X(z), een verwachtingswaarde E[X] en een variantie σ 2 X (1 α)z X(z) = 1 αz E[X] = 1 1 α σx 2 α = (1 α) 2, voor z < 1 α Ook het totaal aantal vereiste pogingen tot het eerste succes of de eerste mislukking dat optreedt in een Bernoulli-sequentie met succeskans p heeft een verschoven geometrische verdeling met respectievelijke parameters 1 p en p.

23 1.4 Situering 10 Binomiale distributie Een discrete toevalsgrootheid X is binomiaal verdeeld met parameters m en p (m geheel 1, p reëel tussen 0 en 1) indien zijn massafunctie x(n) gegeven wordt door x(n) = C n mp n (1 p) m n, 0 n m met C n m de binomiaalcoëfficiënt die het aantal combinaties aangeeft van m elementen n aan n, met als uitdrukking C n m = m! n!(m n)! De bijhorende genererende functie X(z), verwachtingswaarde E[X] en variantie σ 2 X gegeven door worden X(z) = (1 p + pz) m E[X] = mp σ 2 X = mp(1 p) Ook de binomiale distributie kan in verband worden gebracht met het begrip Bernoulliexperiment, in die zin dat het aantal successen in een sequentie van m onafhankelijke Bernoulliexperimenten met kans p op succes binomiaal verdeeld is met parameters m en p. Anders gezegd: de som van m onafhankelijke en identisch verdeelde (afgekort i.i.d) Bernoulli-toevalsgrootheden met parameter p is een binomiaal verdeelde toevalsgrootheid met parameters m en p. Poissondistributie Een discrete toevalsgrootheid X heeft een Poissondistributie met parameter α indien zijn massafunctie gegeven wordt door α αn x(n) = e n!, n 0 De bijhorende genererende functie X(z), verwachtingswaarde E[X] en variantie σ 2 X gegeven door worden X(z) = e α(z 1) E[X] = α σ 2 X = α

24 1.4 Situering 11 Men kan aantonen dat de Poissondistributie met parameter α bekomen kan worden door limietovergang uit de binomiale distributie met parameters m en p, voor m en p 0, waarbij het product mp constant aan α wordt gehouden.

25 TFDMA 12 Hoofdstuk 2 TFDMA Bij gebruik van Time and Frequency Division Multiple Access worden, zoals reeds vermeld bij het bespreken van de protocollen in hoofdstuk 1, de tijd en de frequentie verdeeld om het pakketverkeer van de gebruikers naar de satelliet in goede banen te leiden. Om meerdere pakketten te kunnen versturen per slot, moet men er voor zorgen dat meerdere frequentiebanden beschikbaar zijn. Met meer dan 1 band is het mogelijk om meerdere gebruikers een pakket per slot te laten sturen, 1 gebruiker meerdere pakketten tegelijk te laten sturen, of een combinatie van beide. In deze studie gaan we er vanuit dat elke gebruiker om de K slots één pakket mag versturen. Figuur 2.1: Verdeling van tijd en frequenties

26 2.1 Mathematisch model en enkele veronderstellingen 13 De verdeling van de tijd en de frequenties wordt weergegeven in figuur 2.1. Eén vakje in deze figuur stelt een frame voor, met andere woorden een mogelijkheid om een pakket te versturen. De frequentie-as is verdeeld in 4 frequentiebanden, waardoor het mogelijk is dat per slot 4 pakketten gelijktijdig worden verstuurd. Stel dat de gebruikers om de K = 3 slots, één pakket mogen versturen. Op de figuur is deze situatie aangegeven door elk vakje dat aan de gebruikers werd toegewezen in te kleuren. In deze situatie kunnen 12 gebruikers om de K = 3 slots een pakket sturen. 2.1 Mathematisch model en enkele veronderstellingen We maakten reeds de veronderstelling dat elke gebruiker om de K slot slechts één pakket mag versturen. We voeren in deze sectie nog een paar veronderstellingen in. De vaste verdeling van de tijd en de beschikbare frequentiebanden waar de gebruikers zich dienen aan te houden, zorgt ervoor dat maximaal één pakket per frame wordt verstuurd. De tijd die pakketten in de buffer van een gebruiker doorbrengen zal dus enkel afhangen van deze verdeling, en niet van het aantal pakketten dat andere gebruikers wensen te versturen. Dit houdt in dat we voor de studie van dit protocol een gebruiker geïsoleerd mogen bestuderen. We houden dus op geen enkele manier rekening met andere gebruikers omdat deze toch geen invloed hebben op de geïsoleerde gebruiker. We gaan er vanuit dat gebruikers berichten wensen te versturen die bestaan uit één enkel pakket. We moeten dus vanaf nu enkel de pakketten beschouwen, wetende dat elk pakket een volledig bericht van een gebruiker voorstelt. Tijdens elk slot komt met kans p één pakket aan in de buffer, met kans 1 p biedt zich geen nieuw pakket aan. Het aantal aankomsten in een slot is dus een Bernoulli-verdeelde toevalsgrootheid met parameter p. We gaan er vanuit dat de buffer een oneindig grote capaciteit heeft, bijgevolg zal geen enkel pakket verloren gaan. Deze veronderstellingen worden samengevat in figuur 2.2 Figuur 2.2: het buffermodel

27 2.2 Bufferbezetting bij het begin van een slot 14 We vermoeden dat door het feit dat een gebruiker om de K slots een pakket mag versturen, er een zekere periodiciteit in het systeem zal naar voor komen. Daarom zullen we de tijdsas verdelen in vensters van K slots lang. In elk venster zijn de slots genummerd van 1 tot en met K. Slot K is hierbij het slot waarin een pakket verstuurd kan worden. Op elk slot K van een venster, volgt het slot 1 van het volgende venster. De mate waarin een gebruiker het systeem belast, noemen we de load en wordt genoteerd als ρ. Een gebruiker belast het systeem door pakketten te genereren die moeten verstuurd worden. Hoe meer pakketten een gebruiker wenst te versturen, hoe meer hij of zij het systeem belast. Omdat bij het gebruik van een TFDMA-systeem pakketten niet tijdens elk slot kunnen verstuurd worden, zal een buffer nodig zijn waarin pakketten wachten op hun vertrek. Het aantal aanwezige pakketten in de buffer is enkel afhankelijk van de mate waarin pakketten toekomen en de mate waarin pakketten kunnen vertrekken. Het toekomen van pakketten in de buffer wordt uitgedrukt door de kans p dat de gebruiker een pakket wil versturen in een slot. Het vertrekken van pakketten is afhankelijk van de parameter K die oplegt om de hoeveel slots een gebruiker een pakket kan versturen. We krijgen in ons geval dus dat de load ρ = p K. Om te voorkomen dat de buffer oneindig groot zou worden, en daardoor de delay oneindig groot zou worden, wat als gevolg heeft dat pakketten niet meer verstuurd geraken, zullen we er voor moeten zorgen dat aan bepaalde voorwaarden voor het bereiken van een regimetoestand voldaan wordt. Deze voorwaarden komen later aan bod. 2.2 Bufferbezetting bij het begin van een slot Een eerste aspect dat we onderzoeken is de bufferbezetting, d.i. het aantal pakketten dat aanwezig is in de buffer. Zoals reeds vermeld in het inleidende hoofdstuk, zullen we het aantal pakketten beschouwen dat zich in de buffer bevindt vlak na het begin van een slot. In deze sectie zullen we eerst de afzonderlijke genererende functies bepalen van de bufferbezetting bij het begin van slot 1 t.e.m. slot K, om vervolgens de genererende functie van de bufferbezetting bij het begin van een willekeurig slot te bepalen en uiteindelijk te komen tot de gemiddelde bufferbezetting. We werken in deze sectie eerst met een algemeen, i.i.d. aantal aankomsten per slot. Het is pas na de algemene berekeningen dat we de resultaten toepassen voor een Bernoulli-verdeeld aantal aankomsten.

28 2.2 Bufferbezetting bij het begin van een slot Bufferbezetting bij het begin van het i-de slot van een venster Veronderstel dat enkel in slot K van een venster een pakket kan verstuurd worden uit de buffer. Het aantal pakketten dat aankomt tijdens slot i van venster k wordt voorgesteld door e i,k, de bufferbezetting bij het begin van slot i van venster k door u i,k. We maken dan een onderscheid tussen de slots 2 t.e.m. K van venster k en slot 1 van venster k. Bufferbezettingen bij begin slot 2... K van venster k De bufferbezettingen bij het begin van slots 2 tot en met K kennen een gelijkaardige evolutie; zij worden telkens gegeven door de bufferbezetting bij het begin van het vorige slot plus het aantal pakketten dat aankwam in het vorige slot. Dit geeft aanleiding tot de volgende systeemvergelijkingen: u 2,k = u 1,k + e 1,k u 3,k = u 2,k + e 2,k = u 1,k + e 1,k + e 2,k. u K,k = u K 1,k + e K 1,k K 1 = u 1,k + i=1 e i,k Doordat het aantal aankomsten tijdens slots 1 t.e.m. K 1 onafhankelijk is van de bufferbezetting u 1,k, en deze aankomsten bovendien i.i.d. zijn, krijgen we voor de corresponderende genererende functies: U 2,k (z) = E[z u 2,k ] = E(z) U 1,k (z) U 3,k (z) = E[z u 3,k ] = (E(z)) 2 U 1,k (z). U K,k (z) = (E(z)) K 1 U 1,k (z) (2.1) waarbij E(z) de genererende functie van het aantal aankomsten in een slot voorstelt. U i,k (z) stelt de genererende functie van de bufferbezetting bij het begin van slot i (1 < i K) van venster k voor.

29 2.2 Bufferbezetting bij het begin van een slot 16 Bufferbezetting bij begin slot 1 van venster k Voor de bepaling van de bufferbezetting bij het begin van het eerste slot van een venster moeten we rekening houden met 2 gevallen: de buffer was bij het begin van het vorige slot leeg, of niet. Was de buffer niet leeg bij het begin van het vorige slot, dan werd tijdens dat slot (slot K van het vorige venster) een pakket verstuurd. Tijdens dit slot K kon echter ook een pakket aankomen. Bij het begin van slot 1 bevat de buffer dus het al dan niet aangekomen pakket en alle pakketten die reeds in de buffer aanwezig waren bij het begin van slot K van het vorige venster, met uitzondering van het verstuurde pakket. Als de buffer leeg was bij het begin van het vorige slot (dit is slot K van het vorige venster), dan is er op het einde van dit slot K geen pakket vertrokken. De bufferbezetting bij het begin van slot 1 bestaat dan enkel uit de pakketten aangekomen in slot K. Samengevat krijgen we de systeemvergelijking: u K,k 1 > 0 : u 1,k = u K,k 1 + e K,k 1 1 u K,k 1 = 0 : u 1,k = e K,k 1 u 1,k = e K,k 1 + (u K,k 1 1) + Hieruit leiden we de genererende functie van de bufferbezetting bij het begin van het eerste slot van venster k, U 1,k (z), af: U 1,k (z) = E[z u 1,k ] = E[z e K+(u K,k 1 1) + ] = E(z) E[z (u K,k 1 1) + ] We berekenen eerst afzonderlijk: E[z (u K,k 1 1) + ] = Pr[u K,k 1 = 0] z 0 + Pr[u K,k 1 = i]z i 1 i=1 = U K,k 1 (0) + 1 Pr[u K,k 1 = i]z i z i=1 ( = U K,k 1 (0) + 1 ) Pr[u K,k 1 = i]z i Pr[u K,k 1 = 0] z i=0 = U K,k 1 (0) + U K,k 1(z) U K,k 1 (0) z waaruit volgt: U 1,k (z) = ( U K,k 1 (0) + U ) K,k 1(z) U K,k 1 (0) E(z) (2.2) z

30 2.2 Bufferbezetting bij het begin van een slot 17 Genererende functie bufferbezetting bij begin slot i in regime We onderstellen nu dat het buffersysteem een regimetoestand kan bereiken waarbij lim U i,k(z) = lim U i,k 1(z) = U i (z), k k met U i (z) de genererende functie van de bufferbezetting bij het begin van slot i van een venster in regime. Merk op dat dit betekent dat in regime de distributie van de bufferbezetting periodisch varieert met periode K. Voorwaarde voor het bestaan van een regimetoestand is dat de gemiddelde hoeveelheid gegevens die per slot binnenkomt in het buffersysteem, de gemiddelde transmissiemogelijkheid per slot van het systeem niet mag overtreffen (uit het hoofdstuk Bufferanalyse in discrete tijd:voorafgaande begrippen van [3]). De gemiddelde hoeveelheid gegevens die per slot binnenkomt is hier het gemiddeld aantal pakketten dat per slot de buffer binnenkomt, nl. p (zie hoofdstuk 1, sectie voor verwachtingswaarde van een Bernoulli-gedistribueerde toevalsgrootheid). Het gemiddeld aantal pakketten dat de buffer kan verlaten per slot is 1 K. We vinden dus als voorwaarde voor het bestaan van een regimetoestand: p < 1 K Laten we de k-indices weg in de vergelijkingen (2.1) en (2.2), dan worden de genererende functies van de bufferbezettingen bij het begin van slots 1 t.e.m. K in regime bekomen uit volgend stelsel: ( U 1 (z) = U 2 (z) U 3 (z) U K (0) + U K(z) U K (0) z = E(z) U 1 (z) = E(z) 2 U 1 (z) ) E(z) U K (z). = (E(z)) K 1 U 1 (z) De genererende functies zijn dus gekend, op een constante U K (0) na. Om deze te bepalen, substitueren we U 1 (z) in de uitdrukking voor U K (z) en maken we gebruik van de normeringsvoorwaarde U K (1) = 1. De genoemde substitutie levert ons: U K (z) = (E(z))K (z 1) z (E(z)) K U K(0) Als we in deze uitdrukking z vervangen door 1, krijgen we de onbepaaldheid 0 0, en kunnen we de regel van de l Hôpital (zie bijlage B) toepassen: 1 = KE(z)K 1 de(z) dz (z 1) + E(z) K 1 KE(z) K 1 de(z) dz U K (0) z=1

31 2.2 Bufferbezetting bij het begin van een slot 18 Dit geeft: of nog: 1 = U K(0) 1 KE (1) U K (0) = 1 KE (1) Als we hierin E (1) = p invullen, dan zien we dat, aangezien de evenwichtsvoorwaarde eiste dat p < 1 K, U K(0) strikt groter is dan nul. Met andere woorden, een buffersysteem in regime zal af en toe geen enkel pakket meer in de buffer hebben. Nu U K (0) gekend is, zijn de genererende functies volledig bepaald: U i (z) = z 1 z E(z) K (1 KE (1)) E(z) i (2.3) Bufferbezetting bij het begin van een willekeurig slot in regime De genererende functie van de bufferbezetting bij het begin van een willekeurig slot, U(z), wordt bekomen door elke genererende functie, die we in de vorige paragraaf vonden, te vermenigvuldigen met de kans dat deze genererende functie van toepassing is, en vervolgens al deze termen te sommeren. De kans dat een willekeurig gekozen slot het i-de slot van een venster is, is gelijk aan 1 K. Dit leidt tot volgende uitdrukking: U(z) = 1 K = 1 K K U i (z) i=1 K (1 KE z 1 (1)) z E(z) K E(z)i i=1 = (1 KE (1))(z 1) K(z E(z) K ) = (1 KE (1))(z 1) K(z E(z) K ) = (1 KE (1))(z 1) K(z E(z) K ) K E(z) i i=1 ( K ) E(z) i 1 i=0 1 E(z)(K+1) (1 + E(z)) 1 E(z) waaruit de genererende functie van de bufferbezetting bij het begin van een willekeurig slot in regime volgt: U(z) = z 1 z E(z) K (1 1 E(z) K KE (1)) E(z) (1 E(z))K (2.4)

32 2.2 Bufferbezetting bij het begin van een slot Gemiddelde bufferbezetting Om tot de gemiddelde bufferbezetting te komen, nemen we de eerste afgeleide van (2.4) in z = 1. Hiervoor wordt de methode gebruikt, beschreven in bijlage A. We stellen namelijk: F 1 (z) = z 1 z E(z) K (1 KE (1)) F 2 (z) = E(z) F 3 (z) = 1 E(z)K (1 E(z))K Tonen we nu eerst aan dat F i (1) = 1 voor i = 1, 2, 3: F 1 (1) = 0 0 regel van de l Hôpital 1 KE (1) = 1 K E(1) K 1 E (1) = 1 KE (1) 1 KE (1) = 1 F 2 (1) = E(1) = 1 F 3 (z) = F 3 (E(z)) F 3 (z) = zk 1 K(z 1) F 3 (1) = 0 0 regel van de l Hôpital F 3 (1) = 1 F 3 (1) = F 3 (E(1)) = F 3 (1) = 1 Aangezien geldt dat F i (1) = 1 voor i = 1, 2, 3, en U(z) het product is van deze functies,

33 2.3 Delay 20 vinden we: U (1) = 3 i=1 F i (1) De berekening van de afgeleiden van F 1 (z) en F 3 (z) gebeurt via de regel van de l Hôpital (zie bijlage B). Meer bepaald, als we T (z) en N(z) gelijkstellen aan respectievelijk de teller en noemer van F i (z), dan geldt: F i (1) = T (1) N (1) 2N (1) Hieruit volgt dan de gemiddelde bufferbezetting: Ū = E (1) + K(K 1)E (1) 2 + KE (1) 2(1 KE (1)) + E (1) K 1 2 (2.5) In het bijzonder geval van een Bernoulli-aankomstproces, waarbij E(z) = 1 p + pz, E (z) = p en E (z) = 0, geeft dit voor de gemiddelde bufferbezetting: Ū = p + K(K 1)p2 2(1 Kp) + pk 1 2 (2.6) 2.3 Delay In deze sectie analyseren we de systeemtijd (delay) van een willekeurig pakket dat aankomt in de buffer tijdens een slot in regime. De delay van een pakket is de tijd tussen het einde van het slot waarin het pakket aankomt en het moment waarop het pakket verstuurd is, uitgedrukt in slots. Het begrip delay wordt verduidelijkt in onderstaande figuur. Figuur 2.3: Systeemtijd of delay van een pakket We bepalen eerst de genererende functie van de delay voor een pakket dat aankomt in een een slot met een gegeven rangnummer binnen een venster. De genererende functie van de delay voor een willekeurig pakket wordt vervolgens bekomen door uitmiddeling. We beschouwen in deze

34 2.3 Delay 21 sectie van in het begin een Bernoulli-aankomstproces om de berekenigen en resultaten zoveel mogelijk te kunnen vereenvoudigen Delay van pakketten die aankomen in een bepaald slot Het enige slot waarin een vertrek kan plaatsvinden, is slot K. Er kan echter maar een pakket verstuurd worden tijdens slot K als de buffer bij het begin van slot K niet ledig is. Een pakket dat aankomt in slot K kan niet meer uit de buffer vertrekken op het einde van dit slot. Tijdens alle andere slots kan enkel een pakket aankomen. Aankomst in slot K Net als bij de berekening van de bufferbezetting, wordt hier het onderscheid gemaakt naargelang de buffer bij het begin van slot K pakketten bevat of niet. In het geval van een niet-lege buffer bij het begin van slot K, moeten eerst alle reeds aanwezige pakketten verstuurd worden, vooraleer het pas aangekomen pakket kan verstuurd worden. Er wordt 1 pakket verstuurd tijdens dit slot K, waardoor er nog u K 1 oude pakketten in de buffer staan vlak na slot K. Het versturen van een reeds aanwezig pakket gebeurt telkens om de K slots. Als alle oude pakketten verstuurd werden, moet het pakket waarop wij ons hier concentreren, nog eens K 1 slots wachten tot de uitgangslijn weer beschikbaar is. Dit is te zien op figuur 2.4. Figuur 2.4: Delay van een pakket dat aankomt in een slot K In het geval van een lege buffer bij het begin van slot K kan het pakket niet in dit slot, maar wel in het slot K van het volgende venster verstuurd worden.