HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding"

Transcriptie

1 HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE IGNACE VAN DE WOESTYNE. Inleiding In zowel de theorie van het consumentengedrag als in de arbeidstheorie, beiden gesitueerd in het geheel van de micro-economie, wordt als uitgangspunt vertrokken van het optimaliseren (maximaliseren) van het nut. In de theorie van het consumentengedrag zal de consument zijn inkomen op een zodanige wijze besteden dat zijn nut, dat een functie is van de hoeveelheden van de verschillende goederen die hij kan aankopen, zo groot mogelijk wordt. In de arbeidstheorie zal de werknemer zijn nut, dat nu een functie is van de vrije tijd en het inkomen, zo groot mogelijk maken. Met vrije tijd wordt de tijd aangegeven dat de werknemer niet werkt. In deze publicatie zullen we ons beperken tot de laatst geschetste situatie van een arbeidsaanbod. De moeilijkheid die men in de praktijk ervaart is het vinden van een kwantitatief model voor de nutsfunctie. Het nut is immers een subjectief begrip dat moeilijk te vatten is in cijfers. Voor theoretisch onderzoek echter kan vertrokken worden van een denkbeeldig model. In de plaats van dit denkbeeldig model te schetsen en dus op een grafische wijze hieruit conclusies te trekken, zullen we in deze publicatie vertrekken van een mathematisch model. Een in de literatuur bekend model voor een nutsfunctie is het Cobb-Douglas model, ontwikkeld door de Amerikaanse wiskundige Charles Cobb en de Amerikaanse economist Paul Douglas. 2. Het Cobb-Douglas model Stel dat we het aantal uren vrije tijd per dag van een werknemer voorstellen met de variabele x en het inkomen van de werknemer voorstellen door. De Cobb-Douglas nutsfunctie heeft dan als vergelijking u = kx c d, waarbij u het nut voorstelt en k, c en d strikt positieve constanten zijn. Met een indifferentiecurve bedoelen we de kromme die ontstaat wanneer we het nut constant houden. Wiskundig betekent dit dat de indifferentiecurven de niveau-krommen zijn die horen bij de nutsfunctie. De expliciete vergelijking van de indifferentiecurven kan eenvoudig uit het Cobb-Douglas model berekend worden. We hebben immers dat = u k x c d zodat de indifferentiecurven gegeven worden door waarbij K een constante is en a = c d. = Kx a, In figuur zien we de grafiek van de Cobb-Douglas nutsfunctie voor c =.6, d =.3 en k =. Figuur 2 toont enkele indifferentiecurven horend bij dit model.

2 2 IGNACE VAN DE WOESTYNE u 2 2 x 2 Figuur. De grafiek van een Cobb-Douglas nutsfunctie x Figuur 2. De grafiek van enkele indifferentiecurven Zoals we kunnen zien in figuur 2 kennen de indifferentiecurven allen een dalend verloop. Dit volgt uit de vaststelling dat = akx a <. Ze hebben ook allen een convexe vorm, wat volgt uit = a(a + )Kx a 2 >. Dat geen enkele indifferentiecurve een andere zal snijden is logisch aangezien verschillende indifferentiecurven horen bij verschillende constante nutswaarden. Eén gemeenschappelijk punt impliceert dan meteen dat de betrokken indifferentiecurven moeten samenvallen. Tenslotte merken we op dat er voor een willekeurig punt (x, ) in het eerste kwadrant, dit wil zeggen dat zowel x als positief zijn, precies één indifferentiecurve bestaat waartoe dat punt behoort. Stel immers K = x a en het gewenste is bereikt. Met de loonlijn wordt de rechte bedoeld die het verband aangeeft tussen het inkomen (per dag bijvoorbeeld) dat een werknemer verdient en de beschikbare vrije tijd (eveneens per dag). De vergelijking van de loonlijn kan eenvoudig worden bepaald wanneer het uurloon bekend is. Stel dat het uurloon p bedraagt. Dan bepalen de punten (, p) en (, ) de loonlijn. We veronderstellen hierbij dat, wanneer men geen vrije tijd heeft men uren werkt en men bijgevolg p verdient. Eveneens veronderstellen we dat, wanneer men uren vrije tijd zou hebben men niet werkt en men dus ook niets verdient. De loonlijn heeft dus als vergelijking = p(x ). Het principe dat de werknemer zijn nut zal maximaliseren, gegeven het uurloon p, komt nu neer op het zoeken van de indifferentiecurve die hoort bij een zo groot mogelijk nut en die toch nog

3 HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE 3 een punt gemeen heeft met de loonlijn. Men ziet gemakkelijk in dat we de indifferentiecurve zoeken die raakt aan de loonlijn. Het raakpunt van de loonlijn en de indifferentiecurve bepaalt het aantal uren vrije tijd dat de werknemer voor het uurloon p wenselijk acht. Voor het zoeken van de gewenste indifferentiecurve met vergelijking = Kx a bepalen we eerst de vergelijking van de raaklijn in een willekeurig punt (x, ) van deze kromme. Aangezien het punt behoort tot de indifferentiecurve is = Kx a. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn wordt bepaald door de eerste afgeleide in x zodat de vergelijking van de raaklijn gegeven wordt door Kx a = akx a (x x ). We drukken nu uit dat deze raaklijn de loonlijn moet zijn die hoort bij het uurloon p. Dit wil zeggen dat de punten (, p) en (, ) moeten voldoen aan de vergelijking. Hieruit volgt dat x = a p en K = + a + a xa. De gezochte indifferentiecurve is hierdoor volledig bepaald en de optimale vrije tijd bij het uurloon p is gelijk aan x = a + a. Meteen valt op dat het uurloon p geen invloed heeft op de optimale vrije tijd van de werknemer. Dit betekent dat wanneer de werknemer meer of minder zou werken, zijn optimale vrije tijd dezelfde blijft. De meetkundige plaats van de optimale punten wanneer we het uurloon laten variëren, ook wel het expansiepad genaamd, is de verticale rechte met als vergelijking x = a +a. In figuur 3 wordt het voorgaande gevisualiseerd. De situatie is hierbij geschetst voor een uurloon van. Als waarde voor a werd 2 genomen inkomen vrije tijd Indifferentiecurve Loonlijn Optimum Expansiepad Figuur 3. Indifferentiecurve, loonlijn en expansiepad We stellen vast dat het Cobb-Douglas model leidt tot een eigenaardige en economisch weinig realistische situatie. Het is immers ongewoon dat het uurloon geen invloed heeft op de hoeveelheid vrije tijd en bijgevolg ook niet op het aantal uren te presteren arbeid. We stellen vast dat de arbeidsaanbodcurve van de werknemer, die het verband geeft tussen het inkomen (per dag

4 4 IGNACE VAN DE WOESTYNE bijvoorbeeld) en het aantal werkuren (per dag) dat de werknemer bereid is hiervoor te presteren, eveneens een vertikaal verloop kent. Immers, het aantal werkuren per dag bedraagt x met x zoals hiervoor het aantal uren vrije tijd. In economische termen wordt gezegd dat het arbeidsaanbod hier perfect inelastisch is, met andere woorden dat de aangeboden hoeveelheid arbeid constant is, ongeacht het inkomen. 3. Het verschoven Cobb-Douglas model Teneinde te komen tot een meer economisch realistisch model dat toch niet te veel afwijkt van het zuivere Cobb-Douglas model, beschouwen we de volgende nutsfunctie: u = kx c ( C) d, waarbij u weerom het nut voorstelt en k, c en d strikt positieve constanten zijn. Ook C is een constante, doch, mag zowel positief, negatief als nul zijn. We zullen dit model in wat volgt aangeven met de benaming verschoven Cobb-Douglas model. We zien dat voor C = het gewone Cobb-Douglas model verschijnt dat we in de voorgaande sectie behandelden. De indifferentiecurven van het verschoven Cobb-Douglas model vinden we eveneens als niveaukrommen van de nutsfunctie. Uit het model volgt dat de expliciete vergelijking van de indifferentiecurven gegeven wordt door = Kx a + C, waarbij K een constante is en a = c d. Hieruit blijkt dat de indifferentiecurven deze zijn van het gewone Cobb-Douglas model maar verschoven over een absis C in de -richting. Dit verklaart meteen de gebruikte benaming. In figuur 4 zien we de grafiek van de verschoven Cobb-Douglas nutsfunctie waarin we c =, 6, d =, 3, k = en C = 5 stelden. In figuur 5 zien we enkele bijhorende indifferentiecurven. u 2 2 x 2 Figuur 4. De grafiek van een verschoven Cobb-Douglas nutsfunctie De loonlijn van een werknemer heeft dezelfde vergelijking als in de vorige sectie, namelijk = p(x ), waarbij x staat voor het aantal uren vrije tijd (per dag) en voor het inkomen (eveneens per dag). Op basis van het principe dat de werknemer zijn nut zal maximaliseren bij een gegeven

5 HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE x Figuur 5. De grafiek van enkele bijhorende indifferentiecurven uurloon p dient weerom gezocht te worden naar de indifferentiecurve die hoort bij een zo groot mogelijk nut en die toch nog een punt gemeenschappelijk heeft met de loonlijn. Zoals voorheen dienen we dus de indifferentiecurve te zoeken die raakt aan de loonlijn. Het raakpunt van de loonlijn en de indifferentiecurve bepaalt het aantal uren vrije tijd dat de werknemer voor het uurloon p wenselijk acht. We zoeken de gewenste indifferentiecurve met vergelijking = Kx a + C door eerst de vergelijking van de raaklijn in een willekeurig punt (x, ) van deze kromme op te stellen. We weten dat = Kx a + C. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn wordt weerom bepaald door de eerste afgeleide in x zodat de volgende vergelijking van de raaklijn gevonden wordt Kx a C = akx a (x x ). Aangezien deze raaklijn de loonlijn moet zijn die hoort bij het uurloon p volgt dat C K = ax a ( x ) x a en dat K = p C ( + a)x a. Hieruit volgt dat C ax a ( x ) x a = p C ( + a)x a of nog dat C( + a)x a = (p C) ( ) ax a ( x ) x a. Na enig rekenwerk bekomen we dat x = a(p C) p( + a) en = ac + p + a. Aangezien de optimale waarde x moet gelegen zijn tussen en hebben we dat Hieruit volgt dat p C a(p C) p( + a). en p ac,

6 6 IGNACE VAN DE WOESTYNE of nog dat { } C p max, ac. De te zoeken indifferentiecurve is weerom volledig bepaald evenals de optimale vrije tijd bij het uurloon p. Om het expansiepad van dit model te bepalen zoeken we de meetkundige plaats van de optimale punten wanneer we het uurloon laten variëren. De parametervergelijking van het expansiepad wordt gegeven door { x(p) = a(p C) p(+a), (p) = ac+p +a waarbij het uurloon p de parameter is. De Cartesische vergelijking van het expansiepad kunnen we bekomen door de parameter p te elimineren. Uit de tweede coördinaatfunctie halen we dat p = ( + a) ac. Substitutie in de eerste coördinaatfunctie resulteert in x = a( C) ( + a) ac, wat in het bijzonder geval dat C = het resultaat uit de voorgaande sectie oplevert. In figuur 6 vinden we de voorstelling van het voorgaande voor een uurloon van. Als waarde voor a werd 2 genomen. Verder is C = inkomen vrije tijd Indifferentiecurve Loonlijn Optimum Expansiepad Figuur 6. Indifferentiecurve, loonlijn en expansiepad De arbeidsaanbodcurve van de werknemer, die zoals eerder aangegeven het verband geeft tussen het inkomen (per dag bijvoorbeeld) en het aantal werkuren (per dag) dat de werknemer bereid is hiervoor te presteren, kan uit de vergelijking van het expansiepad berekend worden. Noteer het aantal werkuren per dag van de werknemer met de variabele ˆx. Dan is ˆx = x zodat

7 HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE 7 a( C) ˆx = ( + a) ac = ( + a) ac. We kunnen de vergelijking ook oplossen naar. We bekomen dan ac ˆx = ( + a)ˆx. Figuur 7 toont de arbeidsaanbodcurve die hoort bij het laatste voorbeeld loonvoet arbeidsuren Arbeidsaanbod Figuur 7. De arbeidsaanbodcurve We stellen vast dat deze een stijgend verloop kent, wat van een normale aanbodcurve verwacht wordt. Dit is het geval voor elke waarde C <. Immers de eerste afgeleide van de aanbodfunctie bedraagt ac = (( + a)ˆx ) 2 zodat we eenvoudig zien dat > voor elke C < wat een stijgende aanbodcurve impliceert. Uit de eerste afgeleide vindt men ook dat voor C > geen economisch realistisch model wordt bekomen aangezien de overeenkomstige aanbodcurve dan steeds dalend verloopt. Met de software-applicatie ArbeidGraf van de auteur kan gesimuleerd worden hoe het verschoven Cobb-Douglas model verandert wanneer de parameters worden gewijzigd. Deze applicatie is te downloaden vanaf de website Topics uit wiskunde en economie, terug te vinden op de in dit artikel vermelde URL. Katholieke Universiteit Brussel, Faculteit ETEW, Vrijheidslaan 7, B-8 Brussel, België adres: URL:

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

x y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b

x y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a k: = x gaat door (0, ) ( 0 = ) en (, ) ( = ) l : x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b = x x = of x = of x = 6 of

Nadere informatie

auteursrechtelijk beschermd materiaal OPLOSSINGEN OEFENINGEN HOOFDSTUK 5

auteursrechtelijk beschermd materiaal OPLOSSINGEN OEFENINGEN HOOFDSTUK 5 OPLOSSINGEN OEFENINGEN HOOFDSTUK 5 Open Vragen OEFENING 1 a) We zien dat de budgetcurve de horizontale as snijdt bij q1 = 100. Dit wil zeggen dat indien de consument zijn hele budget besteedt aan goed

Nadere informatie

Inleiding tot de economie (HIR(b)) VERBETERING Test 14 november 2008 1

Inleiding tot de economie (HIR(b)) VERBETERING Test 14 november 2008 1 Inleiding tot de economie (HIR(b)) VERBETERING Test 14 november 2008 1 Vraag 1 (H1-14) Een schoenmaker heeft een paar schoenen gerepareerd en de klant betaalt voor deze reparatie 16 euro. De schoenmaker

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast

Nadere informatie

Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire

Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire Dr Didier Deses Samenvatting We bestuderen 1-parameterfamilies van parabolen. De klassieke families (bijv.: y = ax 2 ) komen aan bod alsook de parabolen

Nadere informatie

Deeltoets micro-economie propedeuse. 19 november Versie 1

Deeltoets micro-economie propedeuse. 19 november Versie 1 Deeltoets micro-economie propedeuse 19 november 2013 Versie 1 ü Deze toets bestaat uit 14 meerkeuzevragen. ü Op het antwoordformulier dient steeds - met potlood - het correcte antwoord te worden aangestreept.

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm. Lieve Lemmens en Andy Snoecx

De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm. Lieve Lemmens en Andy Snoecx De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm Doelstellingen Lieve Lemmens en An Snoecx Deze tekst stelt een voorbeeld van de analyse van een kromme met de Texas TI-NSpire (en/of computersoftware)

Nadere informatie

Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen

Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen 08 Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen Lijnen en cirkels bladzijde a k p // l p, dus p + p p p + (p + )(p + ) (p )(p ) p + 6p + p 6p + 8 p p b k p l p, dus rc kp rc lp p + p p p + p p p + p p p p

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Minimum-Maimumproblemen (versie 11 augustus 2008) Inleiding In heel wat vraagstukken gaan we op zoek naar het maimum of het minimum van een zekere grootheid.

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis Wiskunde voor economie drs. H.J.Ots Hellevoetsluis 15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nl Wiskunde voor economie Drs. H.J. Ots ISBN 90-70619-05-9 Webecon, Hellevoetsluis,

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra

Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra Guido Herweyers, KHBO Campus Oostende Dirk Janssens, K.U.Leuven 1. Inleiding Uitgaande van parametervergelijkingen van rechten en vlakken illustreren

Nadere informatie

Wisnet-HBO. update maart. 2010

Wisnet-HBO. update maart. 2010 Wat is Differentiëren? 1 Wat is differentiëren? Wisnet-HBO update maart. 2010 Differentiëren is eigenlijk het differentiaalquotient bepalen. Je begint met het delen van uiterst kleine verschillen op elkaar.

Nadere informatie

héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =

héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = = héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren. Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier

Nadere informatie

HOOFDSTUK 4: DE CONSUMENT 1. BEPALENDE FACTOREN VAN DE INDIVIDUELE VRAAG

HOOFDSTUK 4: DE CONSUMENT 1. BEPALENDE FACTOREN VAN DE INDIVIDUELE VRAAG 1 HOOFDSTUK 4: DE CONSUMENT 1. BEPALENDE FACTOREN VAN DE INDIVIDUELE VRAAG cfr H2: de algemene vraagfunctie van een individuele consument (i) naar een goed: q i V met = f i (p, p a, p b,, y, seizoen, gezinsgrootte,

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

HANDLEIDING MODEL EDITOR

HANDLEIDING MODEL EDITOR HANDLEIDING MODEL EDITOR Mei 2012 Yvonne Mulder en Ard Lazonder Universiteit Twente HOOFDSTUK 1: EEN MODEL SCHETSEN Met deze handleiding leer je werken met de SCYDynamics Model Editor. Dat doe je in 2

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

Eenparig rechtlijnige beweging met de NXT

Eenparig rechtlijnige beweging met de NXT Eenparig rechtlijnige beweging met de NXT Project tweede graad : VRIJ TECHNISCH INSTITUUT VEURNE Iepersesteenweg 90 8630 VEURNE e-mail: info@vtiveurne.be vzw Katholiek Secundair Onderwijs Veurne Nieuwpoort,

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

I. Vraag en aanbod. Grafisch denken over micro-economische onderwerpen 1 / 6. fig. 1a. fig. 1c. fig. 1b P 4 P 1 P 2 P 3. Q a Q 1 Q 2.

I. Vraag en aanbod. Grafisch denken over micro-economische onderwerpen 1 / 6. fig. 1a. fig. 1c. fig. 1b P 4 P 1 P 2 P 3. Q a Q 1 Q 2. 1 / 6 I. Vraag en aanbod 1 2 fig. 1a 1 2 fig. 1b 4 4 e fig. 1c f _hoog _evenwicht _laag Q 1 Q 2 Qv Figuur 1 laat een collectieve vraaglijn zien. Een punt op de lijn geeft een bepaalde combinatie van de

Nadere informatie

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking

Nadere informatie

Eenvoud bij tekenen en rekenen

Eenvoud bij tekenen en rekenen Eenvoud bij tekenen en rekenen Jan van de Craats In het decembernummer 2005 van Euclides doen Paul Drijvers, Swier Garst, Peter Kop en Jenneke Krüger verslag van een experimenteel project in vwo-5 wiskunde-b

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

wiskunde B pilot havo 2016-I

wiskunde B pilot havo 2016-I De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2 C liggen op c. Punt Q is het midden van

Nadere informatie

Extra opgaven hoofdstuk 15

Extra opgaven hoofdstuk 15 Extra opgaven hoofdstuk 15 Opgave 1 Veronderstel dat de oliemarkt wordt beschreven door het onderstaande model (1) q v = 20 p + 16.000 p prijs per vat olie in euro s (2) q a = 20 p q v, q a aangeboden,

Nadere informatie

LOONVORMING BIJ VOLKOMEN CONCURRENTIE. Els Jacobs

LOONVORMING BIJ VOLKOMEN CONCURRENTIE. Els Jacobs LOONVORMING BIJ VOLKOMEN CONCURRENTIE Els Jacobs 1. Definities 1.1. De arbeidsmarkt De arbeidsmarkt is het geheel van de vraag naar en het aanbod van arbeid. De vraag op de arbeidsmarkt gaat uit van de

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten... 1 2 Werken met indexcijfers... 3 3 Grafieken maken en lezen... 5 4a Tweedegraads functie: de parabool...

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Poolcoördinaten 1 2 Poolvergelijkingen 3 21 Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Complexe getallen: oefeningen

Complexe getallen: oefeningen Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 11 Minimum-Maximumproblemen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 11 Minimum-Maximumproblemen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 11 Minimum-Maimumproblemen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Theoretische achtergrond 1 2 Oefeningen 7 2.1 Basis (A- en B-programma)........................

Nadere informatie

Colhaize Goede service Lage prijs Goede service (A,8) (6,B) Lage prijs (8,C) (D,5)

Colhaize Goede service Lage prijs Goede service (A,8) (6,B) Lage prijs (8,C) (D,5) raag O de markt voor levensmiddelen zijn twee bedrijven actief, Delruyt en Colhaize. Om otentiële klanten te overtuigen om voor hun winkel te kiezen, kunnen beide bedrijven voor twee strategieën oteren.

Nadere informatie

Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5

Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5 Hoofdstuk 6: De afgeleide functie 6. Hellinggrafieken Opgave : als je vanuit punt A naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te komen, dus rc 6 b. c. d. x 0 4 helling 6,5 0, 5, 5 0,5 Opgave

Nadere informatie

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert). Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 2016 tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

5 Eenvoudige complexe functies

5 Eenvoudige complexe functies 5 Eenvoudige complexe functies Bij complexe functies is zowel het domein als het beeld een deelverzameling van. Toch kan men in eenvoudige gevallen het domein en het beeld in één vlak weergeven. 5.1 Functies

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3.1 Cirkels en hun middelpunt 3.2 Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 11 juni 2007 ( s morgens) Zakrekenmachine die niet grafisch en niet programmeerbaar is.

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 11 juni 2007 ( s morgens) Zakrekenmachine die niet grafisch en niet programmeerbaar is. EUROPEES BACCALAUREAAT 007 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 11 juni 007 ( s morgens) DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (40 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen. Zakrekenmachine

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht

ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Dr Didier Deses KA Koekelberg - VUB wiskak@yahoo.com Inleiding Wat omvat ICT in de wiskunde? Rekenmachine Wetenschappelijk Grafisch Symbolisch

Nadere informatie

auteursrechtelijk beschermd materiaal OPLOSSINGEN OEFENINGEN Hoofdstuk 11

auteursrechtelijk beschermd materiaal OPLOSSINGEN OEFENINGEN Hoofdstuk 11 OPLOSSINGEN OEFENINGEN Hoofdstuk Open Vragen OEFENING a) i. De vraagcurve van arbeid verschuift naar rechts. ii. Daar we in de korte termijn zijn, kan de kapitaalstock niet worden aangepast aan de stijging

Nadere informatie

WAARDOOR NEEMT DE VRAAG TOE OF AF?

WAARDOOR NEEMT DE VRAAG TOE OF AF? VRAAG & AANBOD WAARDOOR NEEMT DE VRAAG TOE OF AF? De vraag naar een product kan bepaald worden door: Ø Een toe of afname van de bevolking Ø Een toe of afname van het inkomen Ø Een toe of afname behoeften

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Domein D: markt (module 3) havo 5

Domein D: markt (module 3) havo 5 Domein D: markt (module 3) havo 5 1. Noem 3 kenmerken van een marktvorm met volkomen concurrentie. 2. Waaraan herken je een markt met volkomen concurrentie? 3. Wat vormt het verschil tussen een abstracte

Nadere informatie

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer. Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Extra opgaven hoofdstuk 7

Extra opgaven hoofdstuk 7 Extra opgaven hoofdstuk 7 Opgave 1 Een individuele vraagcurve geeft het verband aan tussen: a. de hoogte van het inkomen en de gevraagde hoeveelheid. b. de hoogte van de prijs en de gevraagde hoeveelheid.

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Rekenregels voor het differentiëren. deel 1

Rekenregels voor het differentiëren. deel 1 Rekenregels voor het differentiëren deel 1 Wisnet-HBO update febr 2010 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les "Wat is Differentiëren" gaan. Verder zijn er

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2008 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare,

Nadere informatie

Vraag 1: PRIJSVORMING

Vraag 1: PRIJSVORMING Naam:.. Datum: 03/12/2013 Klas:... Klasnummer: Vak: SEI Leerkracht: K. Wambeke Opdrachtenbundel ( /20) Vraag 1: PRIJSVORMING Een "mp3-speler" wil wel iedereen maar tegen welke prijs? Los hierover de volgende

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie

Algebra leren met deti-89

Algebra leren met deti-89 Algebra leren met deti-89 Werkgroep T 3 -symposium Leuven 24-25 augustus 2001 Doel Reflecteren op het leren van algebra in een computeralgebra-omgeving, en in het bijzonder op het omgaan met variabelen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

6 Geaggregeerde vraag en geaggregeerd aanbod

6 Geaggregeerde vraag en geaggregeerd aanbod 6 Geaggregeerde vraag en geaggregeerd aanbod Opgave 1 a Noem vier factoren die bij een gegeven prijsniveau tot een verandering van de Effectieve Vraag kunnen leiden. b Met welke (macro-economische) instrumenten

Nadere informatie

Werken met parameters

Werken met parameters Duur 45 minuten Overzicht Tijdens deze lesactiviteit leer je hoe de waarde van een parameter in een functievoorschrift de vorm of ligging van de functie kan beïnvloeden. Je gaat dit onderzoeken voor tweedegraadsfuncties.

Nadere informatie

(2de graad) Dr Didier Deses. Koninklijk Atheneum Koekelberg Vrije Universiteit Brussel T 3 diddesen@gmail.com. Wiskunde in een economische context

(2de graad) Dr Didier Deses. Koninklijk Atheneum Koekelberg Vrije Universiteit Brussel T 3 diddesen@gmail.com. Wiskunde in een economische context e e Dr Didier Deses Koninklijk Atheum Koekelberg Vrije Universiteit Brussel T 3 diddes@gmail.com Inhoud e 1 2 3 e Economie: x =aantal geproduceerde ehed Totale productiekost: K(x) = (var. kost) + (vaste

Nadere informatie

HOOFDSTUK 4: OEFENINGEN

HOOFDSTUK 4: OEFENINGEN HOOFDSTUK 4: OEFENINGEN Is onderstaande bewering juist of fout? Geef een korte verklaring bij je antwoord Kruiselingse elasticiteiten meten de rocentuele wijziging in de vraag naar een goed ten gevolge

Nadere informatie

Oefenzitting 2: Parametrisaties.

Oefenzitting 2: Parametrisaties. Oefenzitting : Parametrisaties. Modeloplossingen Oefening.5:. Beschouw vooreerst de cirkel C in het xz-vlak met straal r en middelpunt (x, y, z) = (R,, ) (zie Figuur ). De parametrisatie van C wordt dan

Nadere informatie

auteursrechtelijk beschermd materiaal OPLOSSINGEN OEFENINGEN HOOFDSTUK 7

auteursrechtelijk beschermd materiaal OPLOSSINGEN OEFENINGEN HOOFDSTUK 7 OPLOSSINGEN OEFENINGEN HOOFDSTUK 7 Open vragen OEFENING 1 Consumptietheorie Nutsfunctie Budgetrechte Indifferentiecurve Marginale substitutievoet Marginaal nut Inkomenseffect Productietheorie Productiefunctie

Nadere informatie

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkl zxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkl zxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkl zxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop Antwoorden webquest asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV

Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV WISKUNDIGE ANALYSE OEFENZITTING 0 c D. Keppens 2004 Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire ste orde DV Onderwerp : separabele differentiaalvergelijkingen van de eerste orde en vergelijkingen

Nadere informatie

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten.

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. Theorie lineair verband Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. In het dagelijks leven wordt vaak gebruik gemaakt van

Nadere informatie