Deel A. Wiskunde. voor het hoger onderwijs. Sieb Kemme Wim Groen Caroline Koolen Theo van Pelt Jan Walter. Gewijzigde vijfde editie

Transcriptie

1 Deel A Wiskue voor het hoger oerwijs Sie Kemme Wim Groe Crolie Koole Theo v Pelt J Wlter Gewijzige vije eitie

2

3 Wiskue voor het hoger oerwijs Deel A Noorho Uitgevers v

4 Wiskue voor het hoger oerwijs Deel A Sie Kemme Wim Groe Crolie Koole Theo v Pelt J Wlter Eerste ruk Noorho Uitgevers Groige/Houte

5 Colopho Otwerp omslg: The Imge Bk, All Bxter Beelreserh: B e U Itertiol Piture Servie, Dieme Opmk e tekewerk: Eutieve Avieze Kemme BV Evetuele op- e merkige over eze o ere uitgve kut u rihte : Noorho Uitgevers v, Aelig Hoger Oerwijs, Atwoorummer, 9700 VB Groige, e-mil: io@oorho.l / 009 Noorho Uitgevers v Groige/Houte, The Netherls. Behoues e i o krhtes e Auteurswet v 9 gestele uitzoerige mg iets uit eze uitgve wore verveelvouig, opgeslge i ee geutomtiseer gegevesest o oper gemkt, i eige vorm o op eige wijze, hetzij elektroish, mehish, oor otokopieë, opme o eige ere mier, zoer voorge shritelijke toestemmig v e uitgever. Voor zover het mke v reprogrishe verveelvouigige uit eze uitgve is toegest op gro v rtikel 6h Auteurswet 9 iet me e rvoor vershulige vergoeige te voloe Stihtig Reproreht (postus 060, 0 KB Hooorp, Voor het overeme v geeelte() uit eze uitgve i loemlezige, reers e ere ompiltiewerke (rtikel 6 Auteurswet 9) k me zih wee tot Stihtig PRO (Stihtig Pulitie- e Reproutierehte Orgistie, postus 060, 0 KB Hooorp, All rights reserve. No prt o this pulitio my e reproue, store i retrievl system, or trsmitte, i y orm or y y mes, eletroi, mehil, photoopyig, reorig, or otherwise, without the prior writte permissio o the pulisher. ISBN (eook) ISBN NUR 98

6 Voorwoor Bij eetie oerwijs hoort e mogelijkhei om sel e tie over e elgrijkste iormtie kue eshikke. Mk kort e kerhtig uielijk wr het om gt e g iret op het oel. Met ie gehte is het ieuwe stuiemteril v Wiskue voor het Hoger Oerwijs otwikkel. Het hoooek De ker v it eel A is het hoooek met e theorie e e oeeige. De likerpgi s zij osequet gereserveer voor e theorie e e rehterpgi s voor e ijehoree oeeige. Theorie e oeeige st ltij iret ij elkr. Dit mkt ee zelstige e tieve mier v stuere mogelijk. Relevte hoostukke evtte ee sluitee prgr met Toepssige. A het ei v elk hoostuk stt ee prgr Hoozke. Dri st e oerwerpe ie het ei v het hoostuk prt moete zij. Met ee Toets over het hele hoostuk k zelstig wore geg i hoeverre e sto werkelijk eheerst wort. Het uitwerkigeoek Bij zelstuie is e mogelijkhei om jezel te kue otrolere e orrigere essetieel. Dt k llee ls er omplete uitwerkige per oeeig eshikr zij. Het uitwerkigeoek voorziet ri. Het evt e omplete uitwerkige v lle oeeige e oeetoetse. Oersteuig met ICT Met ee ilogoe krijgt e stuet toegg tot e wesite wrop extr oeeige met twoore te vie zij. Deze extr sto is eoel om og sel eve te oeee, ijvooreel kort voor ee tetme. De serie Wiskue voor het hoger oerwijs De ieuwe serie Wiskue voor het hoger oerwijs is opgeouw uit e ele A e B. Deel A is estem voor e overgg v hvo/mo r het HBO e evt e oige elemetire wiskuige keis e vrighee ie oig zij om met sues ee stuie op het HBO te egie. Deel B iet, st ee uitreiig v het wiskuige rsel, ee steviger wiskuige sis, uitgewerkt i prktishe toepssige.

7 Ihou Hoostuk : Alger. Hkjes wegwerke 8. De vermeigvuligtel 0. Merkwrige proute. Eevouige vergelijkige.5 Otie i tore e vergelijkige oplosse 6.6 Breukvorme 8.7 Rekeregels voor mhte 0.8 Geroke mhte.9 Omwerke v ormules Hoozke 6 Toets 7 Hoostuk : Futies. Wt is ee utie? 0. Formule, tel, griek. Domei e ereik. Kemerke v ee griek 6.5 Vererige 8 Hoozke 0 Toets Hoostuk : Lieire uties. y = x +. px + qy + r = 0 6. Formule opstelle 8. Vershuive 50.5 Vertil vermeigvulige 5.6 Sijpute erekee 5.7 Lieire ogelijkhee 56.8 Iverse 58.9 Toepsse 60 Hoozke 6 Toets 6 Hoostuk : Kwrtishe uties. Algemee vorm 66. Kwrt splitse 68. Uiterste wre 70. Nulpute 7.5 De isrimit 7.6 Drie ormulevorme 76.7 Vershuive 78.8 Vermeigvulige 80.9 Sijpute erekee 8.0 Ogelijkhee 8. Toepsse 86 Hoozke 88 Toets 89 Hoostuk 5 Geroke uties 5. Orthogole hyperole 9 5. Vermeigvulige e shuive 9 5. Twee ormulevorme Futievoorshrit opstelle Sijpute v lij e hyperool Ogelijkhee Toepsse 0 Hoozke 06 Toets 07 Hoostuk 6: Mhtsuties 6. Algemee vorm 0 6. Veeltermuties 6. Worteluties 6. Iverse v worteluties Vershuive Vertil vermeigvulige Futievoorshrit opstelle 6.8 Vergelijkige 6.9 Ogelijkhee Toepsse 8 Hoozke 0 Toets Hoostuk 7 Dieretiëre 7. Vererig op ee itervl 7. Lokle vererig 6 7. Terug r e griek 8 7. De geleie utie Regels voor het ieretiëre () 7.6 Regels voor het ieretiëre () 7.7 De kettigregel Stijge, le, extreme wre Toepsse 50 Hoozke 5 Toets 5

8 Hoostuk 8: Meetkue 8. Hoeke Zije e hoeke Berekeige i riehoeke De siusregel e e osiusregel Vetore Berekeige met vetore Iweig prout Omtrek e oppervlkte Ihou 7 Hoozke 7 Toets 75 Hoostuk 9: Goiometrishe uties 9. De eeheisirkel Rile e ooglegte Omrekee 8 9. Siusuties Cosiusuties Perioe, mplitue, evewiht Vershuive Vermeigvulige Tgesuties De geleie 96 Hoozke 98 Toets 99 Hoostuk 0: Goiometrishe ormules 0. Formules 0 0. Somormules e vershilormules 0 0. Siusvergelijkige Cosius- e tgesvergelijkige Ogelijkhee() Ogelijkhee() 0.7 Toepsse Hoozke 6 Toets 7 Hoostuk : Expoetiële uties. Expoetiële uties 0. De groeitor. Bewerkige met grieke. Futievoorshrit opstelle 6.5 Vergelijkige 8.6 Ogelijkhee 0.7 Toepsse Hoozke Toets 5 Hoostuk : Logritmishe uties. De logritme 8. Logritmishe uties 0. Formules. Trsormties.5 Futievoorshrit opstelle 6.6 Vergelijkige 8.7 Ogelijkhee 50.8 Toepsse 5 Hoozke 5 Toets 55 Hoostuk : Itegrere. Oppervlkte 58. De hoostellig v e itegrlrekeig 60. De oppervlkte tusse twee grieke 6. Oeple itegrle 6.5 Toepsse 66 Hoozke 68 Toets 69 Trewoorelijst 70

9 6 Hoostuk Alger Noorho Uitgevers v

10 Hoostuk Alger 7 Alger Omstreeks het jr 80 shree e wiskuige Al-Chwrizmi ee oek over het rekee met letters: his l-jr w l-muql. Zij systemtishe e logishe pk v het oplosse v lieire e kwrtishe vergelijkige g gestlte e lger. Verer levere hij grote ijrge geiee ls trigoometrie, stroomie e strologie, geogrie e rtogrie. Het iee v ee lgoritme ls vste rekeproeure i e wiskue komt ij hem v. Om eze ree wort hij wel e grootver v e iormti geoem. Het woor lgoritme is v zij m gelei e het woor lger vi je terug i e titel v zij oek. Op e likerpgi stt ee kopie v ee pgi v het oek.. Hkjes wegwerke. De vermeigvuligtel. Merkwrige proute. Eevouige vergelijkige.5 Otie i tore e vergelijkige oplosse.6 Breukvorme.7 Rekeregels voor mhte.8 Geroke mhte.9 Omwerke v ormules Hoozke Toets Noorho Uitgevers v

11 8 Hoostuk Alger. Hkjes wegwerke Bij het mke v erekeige he je te mke met e volgore v e ewerkige. Deze volgore is: mhtsverhee e worteltrekke i e volgore wri ze st, vermeigvulige e ele i e volgore wri ze st, optelle e trekke i e volgore wri ze st. Je kut hkjes geruike om e volgore v ewerkige te verere. Je reket eerst uit wt tusse hkjes stt. Vooreele + = + = ( + ) = 5 = 0 + = 5 = 0 : = 5 = 0 5 = 9 = 6 6 ( ) = = Hkjes wegwerke De oppervlkte v e rehthoek ku je op twee miere uitrekee. Je ereket eerst e totle legtes v e zije e rmee e oppervlkte: ( + 5) = 8 = ; Je ereket eerst e oppervlktes v e kleie rehthoeke e telt ie ij elkr op: + 5 = + 0 = Hier zie je t: ( + 5 ) = + 5. I e erekeig ku je e hkjes wegwerke oor lle vermeigvuligige prt op te shrijve. Dit gelt ook ls er ee miteke stt: 7 ( 5) = 7 7 = = 8 5 = 9 Dezele regels gele voor ormules met letters. ( + ) = + ( ) = Vooreele 0 (p + q) r = r (p + q) = r p + r q = p r + q r (s + t) = () (s + t) = () s +() t = s t Je kut vergissige voorkome oor eerst oogjes te zette ij e proute. Je kut i éé keer e uitwerkig opshrijve. Vooreel ( + ) = + o? Vermeigvuligige wore met het -teke gegeve. I e wiskue is het geruikelijk om i plts rv ee put te zette. Soms wort zels e put weggelte, ijvooreel tusse letters ie vriele voorstelle. 5 Noorho Uitgevers v

12 Hoostuk Alger 9 Oeeige Bereke i e juiste volgore. + 6 ( + ) e Bereke. () + () + () + () ( ()) ( 0,5) e 5 + : g (6 + ) : (6 ) h : 5 i ((5 + 7) (6 )) j 5 g h 9 i 9 Bereke. 0,5 0,5 0, 0, 0,5 0,5 e 0, 0, 5 Shrij zoer hkjes. ( p 6) ( ) ( ) 6( 7 x) e 6( h ) 5 Shrij zoer hkjes. 8( ) ( + p)(p) (( + p)(p)) pq( r s t) ( e e) g ( x 5) h 5( ) i s( s 5) j (8 m) e ( x y) ( y 7 z) ( x y 7 z) g ( uw ( ( v )) h x( y( z)) 6 Bereke e wre v e volgee uitrukkige ls x =. x( x) x( x( x)) x( x( x( x))) x( x( x( x( x)))) e x( x( x( x( x( x))))) Noorho Uitgevers v

13 0 Hoostuk Alger. De vermeigvuligtel Met ehulp v oppervlktes i rehthoeke ku je het wegwerke v hkjes i igewikkeler situties lte zie. I e iguur ku je leze t: (x + y) (s + t) = x (s + t) + y (s + t) = x s + x t + y s + y t Door hkjes weg te werke, mk je v ee prout ee optellig o trekkig. I e volgee vermeigvuligtel geeurt hetzele. s t + x x s x t x s + x t y y s y t y s + y t x s + y s + x t + y t Deze methoe werkt ook met egtieve getlle. Bij het vereevouige v het resultt geruik je e vermeigvuligregels voor plus e mi: x s x s y y s t x t y t Vooreel Je kut e hkjes wegwerke i (uv w) ( uv w) met e tel. Let erop hoe je i e tel met e mitekes werkt. Bij het optelle v het eiresultt eem je e gelijksoortige terme ij elkr. u v w + u u u v 6u w u + u v 6u w v u v v v w u v v + v w w u w 8v w w u w + 8v w w u + 5u v v + v w 0u w w Algemee Je kut hkjes wegwerke oor e volgee regels toe te psse: A(B + C) = A B + A C (A + B) C = A C + B C A(B C) = A B A C (A B) C = A C B C (A + B)(C + D) = A C + A D + B C + B D (A B)(C + D) = A C + A D B C B D (A + B)(C D) = A C A D + B C B D (A B)(C D) = A C A D B C + B D Hieri zij A, B e C getlle o ormules met letters e getlle. Noorho Uitgevers v

14 Hoostuk Alger Oeeige De vermeigvuligtel is geeeltelijk igevul. + u v Welke vermeigvuligig ku je uitrekee met eze tel? Neem e tel over e ereke rmee e ieuwe uitrukkig zoer hkjes. Doe hetzele ls i oeeig met ehulp v e volgee tel. x y z + x y Shrij zoer hkjes. ( 7)( ) ( p)( q) x ( )( x 5) (7 s)( s 5) e ( h7)( h 7) Shrij zoer hkjes. ( x)( x 6) ( x y)( x y) (x y) (x y) e ( )( ) 5 Shrij zoer hkjes. ( x y)( x) p( p q) ( h)( h h ) ( t)( t t ) e (x y)( x y) ( v 7)( ) g ( 8)( ) h ( )( ) i j ( x 9) ( t ) p (p ) g (t)(t 5) h (q p)( q p) i (p5 q)( 5q p) j h(h6)( h) (pq )( p q) g ( s t)( s t) h (m q)( m q) i j ( x y z) ( ) 6 Shrij zoer hkjes e vereevouig zover mogelijk. ( x)( x) ( x)( xx x ) ( x)( x x ) 99 ( x)( xx... x ) Noorho Uitgevers v

15 Hoostuk Alger. Merkwrige proute Ee pr ijzoere herleiige zul je regelmtig tegekome. Ze wore e merkwrige proute geoem. Je geruikt ze i twee situties: om hkjes weg te werke o om te otie i tore. De merkwrige proute om hkjes weg te werke zij: (x + y) = x + x y + y (x y) = x x y + y (x y)(x + y) = x y (x + p) (x +q) = x + (p+q) x + p q I e oeeige op e volgee pgi ku je v eze eigeshppe ee ewijs geve. Vooreele (hkjes wegwerke) ( + ) = + + ( p ) = p + p 99 0 = (00 )(00 + ) = 00 = 9999 (x + 5)(x + 7) = x + x + 5 Boveste merkwrige proute ku je ook i omgekeere rihtig geruike. Je voert hkjes i e mkt v ee optellig o trekkig v terme weer ee prout. Dt heet otie i tore. x + x y + y = (x + y) x x y + y = (x y) x y = (x y)(x + y) x + (p + q) x + p q = (x + p) (x + q) Vooreele (otie i tore) 5 r + r + = (r + ) 6 5 0p + p = (5 p) 7 6 = (6 )(6 + ) 8 x + 7x + 0 = (x + )(x + 5) I vooreel 8 stt ee methoe om kwrtishe rieterme te otie. Dit is e prout-som methoe. Bij x + x + zoek je twee getlle p e q zot p q = e p + q =. Je krijgt : x + x + = x + (p + q) x + p q = (x + p)(x + q). Vooreele 9 x + 7x + 0 = x + ( + 5)x + 5 = (x + )(x + 5) 0 y y0 y (5) y( ) 5 ( y5)( y ) p p p p p p ( ) ( )( ) ( )( ) Algemee De vier merkwrige proute ku je geruike om hkjes weg te werke o om te otie i tore (hkjes i te voere). De prout-som methoe is ee mier om kwrtishe rieterme te otie. Noorho Uitgevers v

16 Hoostuk Alger Oeeige Bewijs oor wegwerke v hkjes. (x + y) = x + x y + y (x y) = x x y + y (x y)(x + y) = x y (x + p) (x +q) = x + (p+q) x + p q Shrij zoer hkjes. ( x)( x 6) ( x y)( x y) (x y) (x y) e (x y)(y x) (t)(t 5) g h (q p)(q p) ( s 5 t) i (p5 q)( 5q p) j ( uw ) Oti i zoveel mogelijk tore met e eerste twee merkwrige proute. 9x 0xy 5y 5 0t t g q q 9x 6x sts t h e w 8vw v i p p Ps het ere merkwrige prout toe op e volgee uitrukkige e vereevouig zover mogelijk. x ( ) 8 8 e (x) ( x ) 5 w w 6 t (t ) 5 Oti i zoveel mogelijk tore met het viere merkwrige prout (e prout-som methoe). x x q q s s e 5 r r p p 6 Hershrij eerst e volgee vergelijkige zot het rehterli 0 wort e oti r het ieuwe likerli i tore. x 6 y 8y6y 9 y y g 8 t t h q q58q 5 i x 5x x 8 e p p6 j y y7 y 5y Noorho Uitgevers v

17 Hoostuk Alger. Eevouige vergelijkige De lsmethoe Lieire vergelijkige e sommige ere vergelijkige ku je pkke met e lsmethoe. Bij eze methoe voer je systemtish liks e rehts v het gelijkteke ezele ewerkig uit tot je e vergelijkig het omgewerkt tot e vorm oekee =. Wrshuwig: ls je liks e rehts eelt oor ee term ie e oekee evt, ku je oplossige kwijtrke. G ltij o ie term ook oplossige evt. Vooreel x x (liks e rehts 6 om e reuke kwijt te rke) x 8 x (liks e rehts + x om x r liks te rege) 5x 8 (liks e rehts + om het getl r rehts te krijge) 5x 0 (liks e rehts ele oor 5) x 6 Vergelijkige v e vorm A B = 0 Als A B = 0 is A = 0 o B = 0. Ee vergelijkig v e vorm A B = 0, wrij e oekee zowel i A ls i B voorkomt, ku je us splitse i e twee vergelijkige A = 0 o B = 0 Vooreel (x)( x) 0 ; x + = 0 o x = 0; x o x = Vergelijkige v e vorm A C B D Oer e voorwre t B 0 e D 0 ku je eze vergelijkige met e lsmethoe hershrijve tot A D = B C. Als e oekee voorkomt i B o D, ku je hiermee extr oplossige krijge ie iet voloe e oorsprokelijke vergelijkig. Cotroleer us ltij je twoore. Vooreel x x x ml : x ml x + x x( x ). x x Dus: 8x x x 0 x 6x xx ( 6) 0. Je vit: x = 0 o x = 6. Cotrole i e oorsprokelijke vergelijkig: voor x = 0 krijg je 0 = 0, voor x = 6 krijg je 6, us eie oplossige voloe. 8 De - ormule Vergelijkige v e vorm x x 0 ku je pkke met e ormule: x,. Je krijgt twee oplossige ls D = 0 e éé oplossig ls D = 0. I lle ere gevlle is er gee oplossig. D = heet e isrimit. Noorho Uitgevers v

18 Hoostuk Alger 5 Oeeige Los op met e lsmethoe. x x y y (7s ) 7 ( ) e ( t) 9 ( t ) ( p) (6 p6) 0 Los op. x x x x Los op. ( p)( p) 0 (p)( p) 0 Los op. x x x x x xx ( ) x 5 Los op. r 0 r 0 6 Los op. ( s) s 5 t 6t x 0 x x x ( )( ) 0 p p ( )( ) 0 p p x x 6 ( x ) ( x) ( r ) 0 ( r ) 0 6 ( u) u ( v ) 8 v 7 Los op. x x x 0 x 0 x x x 0 x 0 Noorho Uitgevers v

19 6 Hoostuk Alger.5 Otie i tore e vergelijkige oplosse Ook e regel A (B + C ) = A B + A C ku je ersom geruike. V A B + A C mk je A (B + C). Je het i t gevl e vorm A B + A C otoe i e tore A e B + C. Je zegt ook wel: Je het e tor A uite hkjes gehl. Hieri stelle A, B e C weer getlle voor o ormules met letters e getlle. Op ezele mier gelt: A C + B C = (A + B) C. Nu is C e gemeeshppelijke tor ie r uite wort gehl. Meestl zet je ie tor voor, us: A C + B C = (A + B) C = C (A + B) Je kut het resultt v het uite hkjes hle ltij weer otrolere oor e hkjes weg te werke. Vooreele x + y=(x + y), e gemeeshppelijke tor is uite hkjes gehl. pq p q + pqr = pq(q p + r ), u is pq e gemeeshppelijke tor = ( + ) + ( + ) = ( + ) (+), let op e twee stppe ie je hier mkt. r s = (r s)(r + s), met ee merkwrig prout. 5 x 5x + 6 = (x ) (x ), met e prout-som methoe Vergelijkig oplosse Soms ku je vergelijkige hig oplosse oor eerst te otie i tore. Je mkt geruik v e eigeshp t ls A B = 0 is A = 0 o B = 0. Vooreel 6 Om e vergelijkig x x 0op te losse, oti je eerst het likerli i tore: x x x ( x) 0 Je krijgt : x ( x) 0ls x = 0 o x =. Algemee De eigeshppe: A B + A C = A (B + C) A C + B C = (A + B) C ku je geruike om te otie i tore. Hieri stelle A, B e C getlle voor o ormules met letters e getlle. Soms ku je ee vergelijkig hig oplosse oor eerst te otie i tore. Herke je ee merkwrig prout, ku je t iret geruike om te otie. Noorho Uitgevers v

20 Hoostuk Alger 7 Oeeige Oti i zoveel mogelijk tore. 8 8x 5x 5t 75t g 8q 8 h 6x x h h i 8s 6 e 9p 7p j 0e 60e Oti i zoveel mogelijk tore. x 8x 8t 6t g 8q h 5xy 5x y h h e 8p 7p i j rs t 9r st 5rst x( x y) y( x y) Oti i zoveel mogelijk tore. 0m 6 xy(5 z) (5 z) g x x x h pqr qrs rst i e ( h) h j ( w) ( w ) ( ) x ( pq) x pq x 5r 0r Los op oor otie i tore (zie vooreel 6). x 6x 0 h h 0 6g0g 0 g r9r 0 e 7 0 t 8t 0 5x 0x 0 h i p ( p) r r 0 5 Los op oor otie i tore (zie vooreel 6). x 9x ( x) x 8g 0g g ( w) w 5 5 h p ( p) t t i r r r e 7y 56y 0 j t t t 0 Noorho Uitgevers v

21 8 Hoostuk Alger.6 Breukvorme Breuke v e vorm 5, 7,,.., t wrij t e gehele getlle zij, hete ee ehte reuk. Breuke v e vorm 5, 7,,.. hete gemege reuke. De gemege reuk 7 ku je shrijve ls + 7. De regels voor het rekee met reuke zij: Ee reuk ku je vereevouige oor teller e oemer oor ezele tor te ele o met ezele tor te vermeigvulige. Gelijkmige reuke hee ezele oemer. Gelijkmig mke v e geet e. (De eerste reuk he je oer e ove vermeigvulig met, e tweee reuk met ). Optelle v gelijkmige reuke: (ogelijkmige reuke mk je eerst gelijkmig). Vermeigvulige v reuke: (e reuke hoeve iet gelijkmig te zij). A Aq Aq q Dele v reuke: p p A q q q p p (Dele oor ee reuk is hetzele ls vermeigvulige met zij omgekeere.) Vooreele Vereevouige (teller e oemer ele oor ezele tor): 7 xy x x 6xy 6y y y Vereevouige (teller e oemer vermeigvulige met ezele 5 5 tor): Gelijkmig mke e optelle: v v v v v v Vermeigvulige: pq p p( pq) r qr r( qr) 5 Dele oor ee reuk: x : x x y x y xy y x x Noorho Uitgevers v

22 Hoostuk Alger 9 Oeeige Bereke zoer rekemhie e g h 0 0, 0,6 0,, 0,0 Shrij e volgee reuke zo eevouig mogelijk. e ( ) ( ) ( x y) ( x y) g y 5 xy 5x yz zyz h 0x yz x Shrij e volgee reuke zo eevouig mogelijk. x y z e p pq p 5p q 5 p p Shrij ls éé reuk. x 5 x y e y x xx ( ) x ( ) 5 x x g h Noorho Uitgevers v

23 0 Hoostuk Alger.7 Rekeregels voor mhte Vooreele (77) (777) (6 ) Rekeregels voor mhte I e vooreele zie je e elgrijkste rekeregels voor mhte. eteket: ( tore ) ; is het grotl, is e expoet. m m m m 0 5 m m m m m 6 ( )... 7 ( ) 8 Mhte met egtieve grotlle De regels voor het rekee met mhte v egtieve getlle zij: 9 ( ) ls ee eve getl is. Vooreel: () = () () = = 0 ( ) ls ee oeve getl is. Vooreel: () = () () () = 8 = Weteshppelijke ottie Grote e kleie getlle shrij je vk i e weteshppelijke ottie. De strvorm is: 0 p, met ee eiml getl tusse e 0. Vooreel =,009 0 e 0, =,009 0 Noorho Uitgevers v

24 Hoostuk Alger Oeeige Shrij zo eevouig mogelijk ls éé mht o ls omitie v mhte ( ) 8 g (7 ) 6 e ( 6 ) h 7 Shrij zo eevouig mogelijk ls éé mht o ls omitie v mhte ( x yz) e pqr pqr ( pq) ( pq³) e 5 6 pr q r Shrij zo eevouig mogelijk ls éé mht o ls omitie v mhte. 0 ( ) p m g 8 5 z z z 8 p q 0 h p q p p i p x y 5 xy p 0 j e p ( x y ) p ( x) k Shrij i e weteshppelijke ottie De selhei v het liht is m/s De mss v ee stoeeltje is 0, kg 5 (50 ) (6 0 ) e 6 (7 0 ) (50 ) ( 0 ) 8 (6, 0 ) (, 0 ) (8,5 0 ) 5 De mss v e re is: m = 5,976 0 kg. De mss v e zo is M =, kg. Hoeveel keer zwrer is e zo te opzihte v e re? Noorho Uitgevers v

25 Hoostuk Alger.8 Mhte met geroke expoete Vooreel Volges e worteleiitie gelt: 5 5. Het getl 5 ku je ook shrijve ls Wt: ; mr ook (5 ) Wortel ls ee mht met ee geroke expoet Worteltrekke is ee omgekeere ewerkig v mhtsverhee. Is ee positie getl ( > 0) is het positieve getl p t oplevert ls je p tot e -e mht verhet. Dt eteket: ( ) p. Mr ook gelt:. Dus gelt:. Dt eteket: e wortel ku je ook shrijve ls (ee mht met ee geroke expoet). p p, wt ( p ) p p p p Verer is e ook. Allee positieve grotlle ku je tot ee geroke mht verhee. Rekeregels voor wortels Alle rekeregels voor mhte met gehele expoete gele ook voor mhte met geroke expoete. I het ijzoer: q p p q q q q Wortels vereevouige Wortels ku je soms vereevouige oor mhte v het grotl r uite te werke. Je hout over: ee getl (o uitrukkig) ml ee iet verer te vereevouige wortel. Bij reuke werk je e wortels uit e oemer weg. Zo ku je mkkelijker ee shttig mke v e grootte v e reuk. Vooreele , ( 5) ,75,7 0, , 75 Noorho Uitgevers v

26 Hoostuk Alger Oeeige Shrij e getlle oer het wortelteke ls mht, vervg e wortel oor ee geroke expoet e ereke e uitkomst. Vooreel: Herlei, iie mogelijk, tot ee zo eevouig mogelijke vorm (e letters stelle positieve getlle voor). 9 e pq pq 8 7( ) Shrij met hele o geroke expoete (e letters stelle positieve getlle voor). s 5 s pq p pq e 7 r q 5 x yz p q r Shrij zo eevouig mogelijk (, e zij positieve getlle): 0,6 ( ) 7 5 Vereevouig zols i e vooreele tot e met e g h 5 Noorho Uitgevers v

27 Hoostuk Alger.9 Omwerke v ormules Vooreel I ee stroomr gelt e wet v Ohm: U = I R. Deze ormule geet het ver tusse e spig U, e stroomsterkte I e e weerst R. Met eze ormule ku je U iret erekee ls je I e R weet. Je kut ook e weerst R erekee ls je U e I het gemete. I t U gevl is het hig om e ormule om te werke i e vorm: R. I U Evezo ku je met I e stroomsterkte i ee r erekee ls U e R R eke zij. Ahkelijk v welke vriele je wilt erekee, ku je e wet v Ohm us op rie miere shrijve. Vooreel Voor ee geslote hoeveelhei gs gelt e lgemee gswet: pv = ostt T Hieri is p e ruk i psl (P), V het volume i m e T e tempertuur i gre Kelvi. Je kut e ormule op rie miere omwerke: osttet p (e ruk ij gegeve ostte, T e V) V osttet V (het volume ij gegeve ostte, T e p) p pv T (e tempertuur ij gegeve ostte, V e p. ostte Vooreel De ewegigseergie v ee voorwerp is gegeve oor: E mv, wri m e mss is v het voorwerp i kg e v e selhei i m/s. Bij ee gegeve hoeveelhei eergie ereke je e selhei oor e ormule om te werke zot je v het uitrukt i e vriele E e m: E E mv E v v m m Vooreel De lezeormule luit:. v Wil je erekee ls e wre v e v gegeve zij, ku je e ormule ls volgt omwerke. v v v, us v v v v v. Algemee Bij het werke met ormules komt het regelmtig voor t je ie higer i ee ere vorm kut shrijve. Bijvooreel ij het oplosse v ee vergelijkig. O, ls t higer is, ij het erekee v e wre v ee vriele. Noorho Uitgevers v

28 Hoostuk Alger 5 Oeeige Het volume v ee ol is gegeve oor: V r Werk e ormule om zot je r kut erekee ij gegeve V. Werk e lezeormule om i ee vorm zot je iret kut erekee ls je e v weet. I ee prllelshkelig v twee elektrishe weerste gelt:. Rv R R Hieri is R v e vervgigsweerst v e weerste R e R. Werk eze ormule om zot je R v iret kut erekee. Gegeve is e etrekkig Druk m uit i e R. Druk R uit i e m. 00 R m R. 5 Druk uit i e overige groothee: M H 6 Gegeve is e etrekkig: P vm ( m ) h Druk m uit i e overige groothee. 7 Het vermoge v ee elektrish pprt ereke je met P = U I (P i wtt, U i volt e I i mpère). I omitie met e wet v Ohm U = I R ku je ij ee gegeve vermoge e weerst e stroomsterkte erekee ie oor het pprt gt. Gee ee ormule wri I is uitgerukt i P e R. 8 Ee voorwerp op hoogte h heet ee zwrte-eergie gegeve oor Ez mg h. (m is e mss i kg, g e ostte v e zwrtekrht i m/s e h e hoogte i m). Als je het voorwerp loslt, wort e zwrte-eergie omgezet i ewegigseergie: E k m v (oer verwrlozig v e luhtweerst). Drmee ku je e selhei erekee wrmee het voorwerp op e gro komt. Werk eie ormules om tot ee ormule wri v is uitgerukt i e overige groothee. Hoe ku je het resultt zie t i vuüm twee voorwerpe met ogelijke mss eve sel op e gro terehtkome ls ze v ezele hoogte wore losgelte? Noorho Uitgevers v

29 6 Hoostuk Alger Hoozke Je kut hkjes wegwerke oor e volgee regels toe te psse: A(B + C) = A B + A C (A + B) C = A C + B C A(B C) = A B A C (A B) C = A C B C E oor twee keer oveste regels toe te psse: (A + B)(C + D) = A C + A D + B C + B D (A B)(C + D) = A C + A D B C B D (A + B)(C D) = A C A D + B C B D (A B)(C D) = A C A D B C + B D Hieri zij A, B,C e D getlle o ormules met letters e getlle. De vier merkwrige proute zij: (x + y) = x + x y + y (x y) = x x y + y (x y)(x + y) = x y (x + p) (x +q) = x + (p+q) x + p q De eigeshppe: A B + A C = A (B + C) e A C + B C = (A + B) C ku je geruike om te otie i tore. Hieri zij A, B e C getlle o ormules met letters e getlle. Herke je ee merkwrig prout, ku je t iret geruike om te otie. Ee vergelijkig v e vorm A B = 0 ku je splitse i e twee vergelijkige A = 0 o B = 0. Ee vergelijkig v e vorm A C ku je herleie tot e gete B D A D = B C. Cotroleer ltij o e gevoe oplossige voloe e oorsprokelijke vergelijkig. Vergelijkige v e vorm x x 0 ku je pkke met e -ormule: x,. De vorm heet e isrimit. Als < 0 heet e vergelijkig gee oplossig. eteket: ( tore ) is het grotl, is e expoet. De rekeregels voor mhte zij: m m 5 ( ) m 0 m m m 6 ( ) 7 Noorho Uitgevers v

30 Hoostuk Alger 7 Toets Bereke met ehulp v e merkwrige proute: (x 7 y) ( x)( x 5) ( r)( r)( r 9) e ( t 6) (5 p)(5 p)(5 p ) ( ) Oti i zoveel mogelijk tore: x 5x 6 e s s y 6y t 9t 8t t 9t g p 5q h Shrij e volgee reuke zo eevouig mogelijk: x xy ( x y) x y y xy xy y xy y 9x y xy y x Bereke: 8 0 (0 ) 6(0 0) 5 Shrij zo eevouig mogelijk ls mhte: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Shrij zo eevouig mogelijk: ( ²) Los op (kijk eerst goe wt ee hige pk is): x 5x6 0 w0 00 6w p 0 p5 0 r r5r r 8 Los op: x x 0 x x x x x x 9 Druk uit i e ere vriele: Noorho Uitgevers v