Het Browns algoritme voor prijsbepaling Parijse optie (Engelse titel: The Browns algorithm for pricing Parisian option)

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Het Browns algoritme voor prijsbepaling Parijse optie (Engelse titel: The Browns algorithm for pricing Parisian option) Verslag ten behoeve van het Delft Institute of Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door Mitchell Boelee Delft, Nederland Augustus 2012 Copyright 2012 door Mitchell Boelee. Alle rechten voorbehouden.

2

3 BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE Het Browns algoritme voor prijsbepaling Parijse optie (Engelse titel: The Browns algorithm for pricing Parisian option ) Mitchell Boelee Technische Universiteit Delft Begeleiders Dr.ir. J.H.M. Anderluh Dr.ir. L.E. Meester Overige commissieleden Prof.dr.ir. C.W. Oosterlee Dr. J.G. Spandaw Augustus, 2012 Delft

4

5 Voorwoord Voor u ligt het verslag van mijn bachelorproject als onderdeel van de bachelor Technische Wiskunde aan de Technische Universiteit Delft. Dankzij de minor Finance is mijn interesse in het vakgebied de financiële wiskunde ontstaan. Het project wat ik gekozen heb, sprak mij vooral aan omdat ik een nieuw algoritme kon ontwikkelen voor de prijsbepaling van de Parijse optie. Via dit voorwoord wil ik mijn beide begeleiders Dr.ir. J.H.M. Anderluh en Dr.ir. L.E. Meester bedanken voor hun inzet en begeleiding met betrekking tot het onderwerp. Tot slot wens ik u veel plezier bij het lezen van het verslag van mijn bachelorproject. Mitchell Boelee Delft, Augustus

6 Inhoudsopgave 1 Introductie in financiële wiskunde Aandelen Opties Model voor aandeelpad Brownse beweging Geometrische Brownse beweging Prijzen van Europese opties Rente Optieprijzen als verwachte waarde De Parijse optie Exotische opties De Parijse optie De Monte Carlo methode Monte Carlo schatter voor α Monte Carlo algoritme voor Parijse optie Verandering van kansmaat Kansruimte De Radon-Nikodym afgeleide Girsanov transformatie Eigenschappen van de standaard Brownse beweging Eerste raaktijdstip van de barrière Excursie onder de barrière Het Browns algoritme Knock-in gebeurtenis exact vaststellen Aanpassingen Browns algoritme Numerieke resultaten van Browns algoritme Kwaliteit Browns algoritme Optimalisatie Browns algoritme

7 INHOUDSOPGAVE 6 7 Conclusie 48 8 Matlab-implementaties 50 Literatuur 55

8 Hoofdstuk1 Introductie in financiële wiskunde 1.1 Aandelen Het begrip aandeel is vaak te horen en te lezen in de media. In de huidige sectie zal betekenis gegeven worden aan dit zeer bekende financiële product. Een aandeel is een risicodragende deelneming in het kapitaal van de onderneming. De waarde van een aandeel is afhankelijk van de onderliggende onderneming. Wanneer een onderneming winst maakt neemt het eigen vermogen toe, als gevolg ook de waarde van de uitstaande aandelen. De uitgifte van aandelen geeft de onderneming extra kapitaal. Deze uitgifte gaat via de nominale waarde van het aandeel. De nominale waarde van een aandeel is het bedrag dat bij uitgifte betaald moet worden. Ieder aandeel geeft de houder een stukje belang in de onderneming. Een aandeelhouder van een onderneming heeft bepaalde rechten. Deze zijn onder andere: Als de onderneming besluit om een deel van haar winst uit te keren aan de aandeelhouders, dan heeft iedere aandeelhouder recht op een zogenaamde dividenduitkering. De grootte van het dividend hangt samen met de deelname van de aandeelhouder in de onderneming. De aandeelhouder heeft afhankelijk van het type aandeel ook een inschrijvingsrecht, waardoor hij voorrang krijgt als er eventueel nieuwe aandelen worden uitgegeven. Vanaf het moment dat je ook maar één enkel aandeel bezit, heb je het recht om de algemene vergadering van de onderneming bij te wonen. Hier krijgen aandeelhouders de toekomstige plannen te horen van de onderneming en mogen over deze beslissingen stemmen. Het rendement van aandelen bestaat uit twee delen: een eventuele waardestijging van het aandeel en de periodieke dividenduitkering. Het aandeel wordt (normaal gesproken) verhandeld op een effectenbeurs voordat een eventuele waardestijging van het aandeel ontvangen kan worden. De aandelen van één bedrijf kunnen op meerdere beurzen tegelijk verhandeld worden. Bijvoorbeeld de aandelen van de Nederlandse bankverzekeraar ING worden verhandeld op de beurs in Amsterdam en New York. Een aandeel van een onderneming is een voorbeeld van wat men noemt een asset. Assets zijn financiële producten waarvan de huidige waarde bekend is maar in de toekomst onderhevig zal 7

9 HOOFDSTUK 1. INTRODUCTIE IN FINANCIËLE WISKUNDE 8 Figuur 1.1: Koersverloop aandeel Delta Lloyd. zijn aan verandering. In figuur 1.1 vindt u een voorbeeld van de koers van het aandeel Delta Lloyd gedurende 3 november 2009 tot 25 november Het mag duidelijk zijn dat het aandeel Delta Lloyd aanzienlijk fluctueert. Er zijn wiskundige modellen opgesteld die het aandeelprijs proces simuleren. Later zullen we hier verder op ingaan en met name een model geven voor de toekomstige prijsontwikkeling van het aandeel. De onbekende prijs van het aandeel op tijdstip t wordt genoteerd met S(t). We noteren s t als de prijs van het aandeel (d.m.v. van de financiële markt) bekend is op tijdstip t. We nemen hierbij aan dat de huidige aandeelprijs alle informatie uit het verleden bevat en de financiële markten direct reageren op nieuwe informatie over het aandeel. De bovenstaande aanname wordt ook wel de efficiënte markt hypothese genoemd. Als we voorspellingen willen doen van de prijs van een aandeel op een toekomstig tijdstip dan geldt onder de hypothese dat alleen de huidige aandeelprijs hiervoor nodig is. In de komende sectie zullen we het hebben over financiële producten waarvan de waarde afhankelijk is van een onderliggend prijsproces. Deze producten worden ook wel derivaten genoemd. In het bijzonder zijn we geïnteresseerd in de volgende derivaat: de Parijse optie op één onderliggend aandeel. Als eerste lichten we de Europese opties toe. 1.2 Opties De bekendste optie is voor de meeste mensen waarschijnlijk de optie op een huis. U bent van plan een huis te kopen en heeft daarvoor een aantal panden op het oog. Nadat u één van de panden bekeken heeft en het lijkt u wel wat, vraagt u aan de makelaar of hij het huis een paar dagen voor u vast wil houden, zodat u de gelegenheid heeft om het te vergelijken met een aantal andere huizen en eventueel een beslissing kunt nemen. Op dat moment krijgt u een optie op dat huis. We zien dus dat een optie een recht vertegenwoordigd om binnen een gestelde termijn (bij dit huis een paar dagen) een bepaalde onderliggende waarde (het huis) te kopen. Het huis is hier een asset omdat de huidige waarde bekend is, maar de toekomstige niet.

10 HOOFDSTUK 1. INTRODUCTIE IN FINANCIËLE WISKUNDE 9 De opties waar wij het over zullen hebben zijn de opties die verhandeld worden op de beurs in Amsterdam. Bekende opties zijn de Europese call en put optie. Laten we deze opties definiëren en daarna de Europese call optie illustreren met een voorbeeld. Definitie (Europese call optie): Een Europese call optie geeft zijn houder het recht (maar niet de verplichting) om op een toekomstig tijdstip een voorgeschreven hoeveelheid aandelen te kopen van de schrijver tegen een van tevoren afgesproken prijs. Definitie (Europese put optie): Een Europese put optie geeft zijn houder het recht (maar niet de verplichting) om op een toekomstig tijdstip een voorgeschreven hoeveelheid aandelen te verkopen aan de schrijver tegen een van tevoren afgesproken prijs. Belangrijke elementen uit de omschrijving van een Europese call en put optie zijn: Het toekomstig tijdstip oftewel de expiratiedatum T ; Een van tevoren afgesproken prijs oftewel uitoefen/strike prijs E; Het vastgestelde onderliggende aandeel; De koper van een optie wordt ook wel de houder van een optie genoemd; De verkoper van een optie wordt ook wel de schrijver genoemd. Aan de hand van de definitie kunnen we de vraag stellen: wanneer zal een optiehouder zijn recht uitoefenen? Deze keuze zullen we illustreren voor een houder van een Europese call optie. Er wordt een Europese call optie contract afgesloten waarbij in het contract de uitoefenprijs en expiratiedatum vastgelegd zijn. De optiehouder kan zich in twee situaties bevinden op de expiratiedatum: 1. Als de marktwaarde van het aandeel op de expiratiedatum groter is dan de uitoefenprijs van de optie, oftewel s T > E. De optiehouder zal in dit geval zijn recht uitoefenen. Het aandeel wordt voor prijs E gekocht en direct verkocht voor de waarde s T. Dan is de winst s T E voor de optiehouder. Als de gebeurtenis s T > E plaatsvindt dan is de optie in-the-money. 2. Als de marktwaarde van het aandeel op de expiratiedatum kleiner of gelijk is aan de uitoefenprijs van de optie, oftewel s T E, dan zal de optiehouder in dit geval zijn recht niet uitoefenen. Er is voor de optiehouder geen winst te behalen. Het aandeel is namelijk in de markt goedkoper dan de afgesproken prijs in het contract. Als de gebeurtenis s T < E plaatsvindt dan is de optie out-the-money. De laatste mogelijkheid op de expiratiedatum is s T = E, dan is de optie at-the-money. De waarde van een Europese call optie, op tijdstip t met bijbehorend bekende aandeelprijs s t, wordt genoteerd met C(s t, T t). De resterende tijd van de optie wordt aangeduid met T t. Aan de hand van de twee situaties uit het voorbeeld kunnen we waarde van een call optie op de expiratiedatum definiëren. Deze waarde wordt genoteerd met C(s T, 0) en is gelijk aan C(s T, 0) = max(s T E, 0). (1.1) De waarde C(s T, 0) wordt ook wel de uitbetaling van de call optie op de expiratiedatum genoemd.

11 HOOFDSTUK 1. INTRODUCTIE IN FINANCIËLE WISKUNDE 10 Voor een Europese put optie geldt het voorbeeld analoog. Het enige verschil is dat het aandeel voor prijs E wordt verkocht. Dus de houder van een Europese put optie oefent zijn recht alleen uit als de marktwaarde van het aandeel op de expiratiedatum kleiner is dan de uitoefenprijs, oftewel s T < E. Als houder van een Europese optie is er geen verplichting om de voorgeschreven hoeveelheid aandelen te kopen. De optiehouder verliest geen geld hierdoor op de expiratiedatum. Bij een Europese call optie geldt uit scenario 1 dat de houder winst maakt en bij scenario 2 verliest de houder niks. De schrijver van de call optie maakt geen winst en kan mogelijk geld verliezen op de expiratiedatum uit deze twee scenario s. Om ook het verkopen van opties aantrekkelijk te maken, betaalt de optiehouder voor de huidige waarde van de optie bij het afsluiten van het contract. De huidige waarde van een Europese call optie wordt genoteerd met C(s 0, T ). In de huidige waarde van opties zijn we geïnteresseerd want hoeveel moet een optiehouder nu betalen bij het afsluiten van het contract? Met name wat is nu een eerlijke prijs om te vragen als schrijver van de optie? Voordat we dit interessante onderwerp gaan bespreken, leiden we eerst een model voor de koers van het aandeel af. 1.3 Model voor aandeelpad De toekomstige koers van een aandeel is een verschijnsel dat gekenmerkt wordt door onzekerheid. In feite zijn we op zoek naar een model dat zich in de tijd afspeelt met als uitkomsten stochastische variabelen m.a.w. een stochastisch proces. Een stochastisch proces is een verzameling {Y (t) : t {τ}} van stochastische variabelen waarbij τ een willekeurige indexverzameling (N, Z, [0, 1],... ) is. In ons geval is de indexverzameling τ de tijd. Definieer het interval [0, T ] als de looptijd van de optie. Voor het model van het aandeelpad nemen we de indexverzameling τ gelijk aan het interval [0, T ]. Voordat we dit model gaan presenteren, moeten we eerst de definitie van het stochastisch proces de standaard Brownse beweging geven Brownse beweging Definitie (standaard Brownse beweging): Een standaard één dimensionale standaard Brownse beweging op het interval [0, T ] is een stochastisch proces {W (t), t [0, T ]} met de volgende eigenschappen: 1. W (0) = 0; 2. W (t) hangt met kans 1 continu van t af. 3. De incrementen {W (t 1 ) W (t 0 ), W (t 2 ) W (t 1 ),..., W (t k ) W (t k 1 )} zijn onafhankelijk voor alle k en 0 t 0 < t 1 <... < t k T ; 4. W (t) W (s) N(0, t s) voor elke 0 s < t T. Aan de hand van 1 en 4 kunnen we concluderen dat W (t) N(0, t) t [0, T ]. (1.2)

12 HOOFDSTUK 1. INTRODUCTIE IN FINANCIËLE WISKUNDE 11 Uit (1.2) volgt dat E[W (t)] = 0 en V ar[w (t)] = t voor alle tijdstippen t uit het interval [0, T ]. Voor de constanten µ en σ > 0 noemen we het proces X(t) een Brownse beweging met drift µ en diffusiecoëfficiënt σ als X(t) µt N(0, t) t [0, T ]. σ We zijn nu in staat om X(t) te construeren met behulp van W (t) namelijk door Uit (1.3) volgt dat X(t) N(µt, σ 2 t). X(t) = µt + σw (t) t [0, T ]. (1.3) Geometrische Brownse beweging In de huidige sectie zal het klassieke model gepresenteerd worden dat de koers van een aandeel simuleert. De toepassing van dit model is van groot belang bij de theoretische prijsbepaling van opties. Dit model wordt ook wel de geometrische Brownse beweging genoemd. De geometrische Brownse beweging is het meest fundamentele model voor het modelleren van de toekomstige waarde van een aandeel. In de revolutionaire thesis van Louis Bachelier [5] wordt een model voor aandeelprijzen gegeven. Het model van Bachelier presenteert, beschrijven we op dit moment als Brownse beweging. Het nadeel van de Brownse beweging is dat negatieve waarden aangenomen kunnen worden en als model voor aandeelprijzen is dit niet gewenst. Het gebruik van geometrische Brownse beweging is afkomstig van Paul Samuelson rond Het doel is een uitdrukking te vinden voor het aandeelprijs proces {S(t) : t [0, T ]}. Deze uitdrukking kan gevonden door de volgende stochastische differentiaalvergelijking (SDV) op te lossen: ds = µdt + σdw (t). (1.4) S ds is de prijsverandering van het aandeel S(t) op tijdstip t over een klein tijdsinterval dt m.a.w. ds = S(t + dt) S(t). ds geeft in feite aan hoeveel het aandeel in prijs gestegen is. Als gevolg dat ds S de relatieve prijsverandering van het aandeel wordt genoemd. De constante µ wordt de drift parameter genoemd en heeft als gevolg dat µdt het deterministisch deel van de SDV is. Ten slotte de constante σ wordt de volatiliteitsparameter genoemd en dw (t) is gelijk aan de verandering van de Brownse beweging over het kleine tijdsinterval dt, oftewel W (t + dt) W (t). Samen vormen σ en dw (t) het stochastische deel van de SDV. Uitdrukking (1.4) kan worden omgeschreven naar: ds = µdts + σdw (t)s. (1.5) Om een vergelijking voor S(t) te krijgen uit (1.5), maken we gebruik van een bekend lemma uit de stochastische calculus namelijk Ito s lemma. Zie [2] voor een algemene introductie van stochastische calculus. In woorden zegt dit lemma als S(t) een bepaald type proces is (Ito proces) en de functie h(s(t), t) is een C 2,1 - gladde functie (continue in h S, 2 h S en h 2 t ) dan volgt h(s(t), t) hetzelfde type proces als S(t). Het lemma geeft ons in het bijzonder een analytische uitdrukking voor dh. We kiezen de functie h(s(t), t) gelijk aan log(s(t)). Het is nu een kwestie van integreren

13 HOOFDSTUK 1. INTRODUCTIE IN FINANCIËLE WISKUNDE 12 van uitdrukking dh en gelijk te stellen aan de functie log(s(t), t). Als gevolg dat we de gewenste uitdrukking voor S(t) kunnen vinden. Deze uitdrukking is gegeven door S(t) = s 0 e (µ 1 2 σ2 )t+σw t. (1.6) en geldt voor alle tijdstippen t in het interval [0, T ]. Als voor het proces {S(t) : t [0, T ]} gebruik van (1.6) wordt gemaakt, noteren we S GBM(µ, σ 2 ). Uitdrukking (1.6) zal dienen als model voor de prijsontwikkeling van het aandeel gedurende het interval [0, T ]. Kies nu een equidistant grid t i = i t voor i = 0,..., n in het interval [0, T ] zodat 0 = t 0 < t 1 <... < t n = T. Zet t = t i+1 t i voor i = 0,... n 1. De incrementen van W (t) zijn onafhankelijk en normaal verdeeld. Door de eigenschappen van de incrementen is simulatie van S(t) op t i voor i = 0,..., n mogelijk door, S(t i+1 ) = S(t i )e (µ 1 2 σ2 ) t+σ tz i, i = 0,..., n 1 (1.7) waarbij Z i N(0, 1). In Figure 1.2 is door middel van (1.7) een aandeelpad gesimuleerd. Als figuur 1.2 en figuur 1.1 met elkaar worden vergeleken dan ziet u dat de geometrische Brownse beweging dezelfde fluctuerende gedrag als het aandeel Delta Lloyd vertoond. Figuur 1.2: Simulatie van S(t) De stochast S(t) op tijdstip t is een geëxponeerde normale verdeling. Iedere stochast van deze vorm is lognormaal verdeeld. We noteren Y LN(µ, σ 2 ) als Y de verdeling van de vorm e (µ+σz), Z N(0, 1), heeft. De cumulatieve verdelingsfunctie van Y is gegeven door ( P (Y y) = P Z log(y) µ ) ( log(y) µ ) = Φ σ σ waarbij Φ(x) de cumulatieve verdelingsfunctie van de standaard normale verdeling is. Door (1.8) the differentiëren met respect tot y vinden we de kansdichtheid van Y, (1.8) 1 ( log(y) µ ) yσ φ. (1.9) σ

14 HOOFDSTUK 1. INTRODUCTIE IN FINANCIËLE WISKUNDE 13 Als S GBM(µ, σ 2 ) dan is S(t) s 0 LN([µ 1 2 σ2 ]t, σ 2 t). Aan de hand van (1.8) kunnen we ook voor S(t) de cumulatieve verdeling vinden en differentiëren. Dan is de kansdichtheid van S(t) op tijdstip t gegeven door 1 ( yσ t φ log(y/s0 ) [µ 1 2 σ2 ]t) σ, y > 0. (1.10) t 1.4 Prijzen van Europese opties Tot nu toe zijn onderwerpen besproken als: waarde van een Europese optie op de expiratiedatum, S GBM(µ, σ 2 ) als model voor aandeelprijs proces. In de huidige sectie zullen deze twee middelen gecombineerd worden en ervoor zorgen dat er een analytische uitdrukking gevonden kan worden voor de huidige waarde van een Europese optie. Als eerst gaan we het begrip continue samengestelde rente kort bespreken Rente Stel we hebben geld gestort op een bankrekening waarop een risicovrije rente van toepassing is. Als het geldt toeneemt volgens een continue samengestelde rente r dan groeit het bedrag met een factor e rt gedurende tijdsperiode t. In het bijzonder een bedrag d 0 op t = 0 is d t = e rt d 0 (1.11) waard op tijdstip t. Andersom als het toekomstig bedrag bekend is en we willen de huidige waarde weten dan moet er verdisconteerd worden met een factor e rt Optieprijzen als verwachte waarde De economie waarin we optieprijzen gaan uitrekenen, bestaat uit een bankrekening en een aandeelprijs proces. Veronderstel dat de continue samengestelde rente r op de bankrekening risicovrij is. Laat {S(t) : t [0, T ]} het aandeelprijs proces zijn. Uit de voorgaande sectie is dit prijs proces gegeven door de geometrische Brownse beweging. In het bijzonder is de economie waarin we werken compleet. Dit houdt in dat voor iedere optie uitbetaling dat uitgedrukt kan worden in termen van het aandeelproces, er een replicerend zelf financierend handelsstrategie bestaat. Een zelf financierend handelsstrategie heet replicerend voor een optie uitbetaling als op de expiratiedatum T de waarde van het portfolio, deze bestaat uit aandelen en een bankrekening, geconstrueerd door de handelsstrategie gelijk aan deze uitbetaling is. Daarnaast veronderstellen we dat de economie arbitrage-vrij is. Zie [1] voor de betekenis van arbitrage-vrij. Als een economie zowel compleet als arbitrage vrij is, dan is de replicerende strategie uniek en de prijs van de optie gelijk aan de beginkosten van het replicerende strategie. In de huidige sectie zijn we geïnteresseerd in de prijsbepaling van C(s 0, T ). We definiëren de uitbetaling functie van een Europese call optie als Λ : S(T ) max(s(t ) E, 0). (1.12) Uit (1.12) blijkt dat Λ(S(T )) een functie van de onbekende prijs S(T ) is. Waarom nemen we de prijs van een Europese call C(s 0, T ) niet gelijk aan de verdisconteerde verwachting van Λ(S(T ))?

15 HOOFDSTUK 1. INTRODUCTIE IN FINANCIËLE WISKUNDE 14 Dit geeft ons de waarde e rt E[max(s 0 e (µ 1 2 σ2 )T +σw (T ) E, 0))]. (1.13) We willen uitdrukking (1.13) gelijkstellen aan C(s 0, T )? neutrale aandeelprijs proces, weergegeven door Hiervoor introduceren we de risico S(t) = s 0 e (r 1 2 σ2 )t+σw (t) t [0, T ]. (1.14) Dit is in feite een prijsproces gegeven door de geometrische Brownse beweging waarbij µ = r. Als µ = r dan noemen we dit de risiconeutraliteits aanname. Onder de risiconeutraliteits aanname zijn de beginkosten van het replicerend portfolio, oftewel de prijs van een Europese call optie C(s 0, T ) gelijk aan C(s 0, T ) = e rt E[max(s 0 e (r 1 2 σ2 )t+σw (t) E, 0))] (1.15) Voor meer over het prijzen van derivaten door middel van de risiconeutraliteits aanname verwijs ik naar [1]. De verwachting bij (1.15) kunnen we uitschrijven met behulp van (1.10) waarbij µ = r. C(s 0, T ) = e rt 0 1 ( yσ 2πT max(y E, 0) exp log(y/s0 ) (r 1 2 σ2 )T ) σ dy (1.16) T De integraal bij (1.16) kan geëvalueerd in termen van de standaard normale cumulatieve verdelingsfunctie. Vanwege het bereik van dit project, is een verdere uitwerking van (1.16) hier niet nodig. Het resultaat dat bij (1.16) gevonden wordt, is gelijk aan de zogenaamde Black-Scholes formule [4] voor een Europese call optie. We noteren de Black-Scholes formule voor een Europese call optie met BC(s 0, T ), oftewel BC(s 0, T ) = C(s 0, T ). We kunnen concluderen dat we de prijs van een Europese call optie dankzij BC(s 0, T ) exact kunnen uitrekenen. In [4] wordt er over een relatie tussen de prijs van een Europese call optie en een Europese put optie besproken, de zogenaamde put-call parity. Hierdoor kunnen we de prijs van een Europese put optie ook exact uitrekenen. In dit hoofdstuk is een algemene introductie van aandelen en opties gegeven. Met name is het model voor de toekomstige koers van het aandeel besproken en zijn we in staat om de huidige waarde van een Europese optie analytisch uit te rekenen. In het komende hoofdstuk wordt er een grotere klasse van opties besproken namelijk de exotische opties. Met name staat de Parijse optie hier centraal.

16 Hoofdstuk2 De Parijse optie 2.1 Exotische opties Het soort opties waarover tot nu toe is gesproken, worden de Europese stijl opties genoemd. Hierbij is de uitbetaling functie van de optie Λ(S(T )) alleen afhankelijk van de onbekende aandeelprijs op de expiratiedatum. Gedurende de looptijd van de optie [0, T ] is alleen de aandeelprijs op de expiratiedatum T van belang. Om een grotere klasse van opties te verkrijgen, laten we de prijs van het aandeel op meerdere tijdstippen van [0, T ] invloed uitoefenen op de uitbetaling van de optie. Aan de hand van deze constructie is er een klasse van exotische opties ontstaan. Een exotische optie is gekenmerkt door: De uitbetaling van de optie hangt af van het gedrag van de aandeelprijs S(t) gedurende 0 t T. De optie wordt hierdoor padafhankelijk. Afhankelijk van het type optie kan de optiehouder de mogelijkheid hebben om gedurende de looptijd [0, T ] vervroegd te mogen uitoefenen. De handel in exotische opties wordt in het algemeen gedaan tussen banken en grote zakelijke klanten. De populariteit van exotische opties komt doordat de koper een optiecontract kan afsluiten die helemaal op zijn behoeften wordt bepaald. Zij mogen zelf de keuze maken hoe padafhankelijk de optie mag zijn of wanneer vervroegd uitoefenen is toegestaan. Hierdoor is de klasse van exotische opties in de loop van tijd toegenomen. Banken proberen ondanks de complexiteit van de exotische opties de huidige waarde te bepalen. Om een exotische optie te illustreren, bespreken we de down-and-in barrière call optie. De down-and-in barrière call optie heeft geen Europese call uitbetaling op de expiratiedatum tenzij het aandeelpad op een willekeurig tijdstip van [0, T ] een barrière B overschrijdt. De waarde van B R 0 wordt bij het afsluiten van het contract vastgelegd. Het tijdstip wanneer het aandeelprijs proces de barrière voor het eerst raakt is stochastisch. We definiëren het stochastische tijdstip T B als de eerste keer wanneer het aandeelprijs proces de barrière B raakt, T B = inf{u : S(u) = B} (2.1) 15

17 HOOFDSTUK 2. DE PARIJSE OPTIE 16 We noteren {T B = } als de eerste raaktijd van B nooit voorkomt. De beschrijving van de barrière optie laat zien dat het raken van de barrière de uitbetaling activeert. Hierdoor is de uitbetaling van de down-and-in barrier optie B(s T, 0) gelijk aan B(s T, 0) = 1 {TB T } max(s T E, 0), (2.2) waarbij 1 {TB T } de indicatorfunctie van de gebeurtenis {T B T } is. Met dezelfde opzet als in de sectie risiconeutraliteit hebben we een uitdrukking voor de prijs van een down-and-in barrière optie B(s 0, T ), B(s 0, T ) = e rt E[1 {TB T } max(s(t ) E, 0)]. (2.3) In [4] is er een analytische formule voor de prijs van een down-and-in barrière optie. Uitdrukking (2.3) moet dan gelijk zijn aan deze analytische formule. We kunnen de prijs B(s 0, T ) exact uitrekenen. Barrière opties komen voor in alle soorten: down/up-and-out/in call/put opties, dubbele barrière opties, etc. Er is één type barrière optie waarvan de prijsbepaling interessant is: de Parijse optie. 2.2 De Parijse optie In de voorgaande sectie is de Europese call optie besproken waarbij de aandeelprijs een barrière B moest overschrijden voordat max(s(t ) E, 0) ontvangen kon worden. We willen nu de klasse van barrière opties uitbreiden door ook tijd als voorwaarde mee te laten tellen voordat max(s(t ) E, 0) ontvangen kan worden. Door deze extra voorwaarde wordt de down-and-in barrière call optie uitgebreid naar een down-and-in Parijse call optie. In de scriptie wordt alleen de down-and-in Parijse call optie besproken dus voor ons gemak noemen we dit de Parijse optie. Laten we nu de definitie geven van de Parijse optie. Definitie (Parijse optie): De optiehouder van de Parijse optie ontvangt niet max(s(t ) E, 0) tenzij het aandeelpad gedurende de looptijd [0, T ] een bepaalde aaneengesloten tijd D onder de barrière B blijft. Bij het afsluiten van het contract wordt de tijd D R 0 expliciet vastgelegd. Het tijdstip wanneer de aandeelprijs voor de eerste keer een bepaalde tijd D onder de barrière blijft is stochastisch. Voordat we deze stochast definiëren moeten we eerst een andere stochast bespreken. Veronderstel dat de aandeelprijs S(t) voor een willekeurig tijdstip t [0, T ] zich onder de barrière B bevindt. Daarnaast heeft het aandeelprijsproces {S(t) : t [0, t)} de barrière B één of meerdere keren geraakt. De stochast γ B (t) is de laatste keer voor tijdstip t dat de aandeelprijs S(t) de barrière B heeft geraakt, γ B (t) = sup{u t : S(u) = B} (2.4) Door de constructie van de stochast γ B (t) geldt dat S(t) voor alle t (γ B (t), t) zich onder de barrière B bevindt. We spreken ook wel over een excursie onder de barrière B van lengte t γ B (t). Onze interesse ligt in het tijdstip t zodat de excursie van lengte t γ B (t) D en dan met name het eerst moment waarop deze gebeurtenis plaatsvindt. Deze twee aspecten definiëren de stochast TB D, TB D = inf{t > 0 : 1 {St<B}[t γ B (t)] D}. (2.5)

18 HOOFDSTUK 2. DE PARIJSE OPTIE 17 Analoog als bij de barrière optie noteren we {TB D = } als de excursie niet voorkomt. Als in het bijzonder {TB D T } dan spreken we over een zogenaamde knock-in gebeurtenis binnen de looptijd van de optie. De definitie van de Parijse optie beschrijft dat de optiehouder max(s T E, 0) ontvangt als eerder de knock-in gebeurtenis heeft plaatsgevonden. Als gevolg dat de uitbetaling van de Parijse optie P (s T, 0) is, P (s T, 0) = 1 {T D B T } max(s T E, 0) (2.6) Figuur 2.1 illustreert de uitbetaling van de Parijse optie. Er is aangenomen dat de huidige aandeelprijs s 0 = 100, de expiratiedatum T = 1 jaar en de uitoefenprijs E = 110. De lengte van de gele lijn is de tijdsvoorwaarde D (ongeveer 28 dagen) van de Parijse optie. Figuur 2.1 laat zien dat het aandeelpad minstens tijd D onder de barrière B heeft doorgebracht. Als gevolg dat de knock-in gebeurtenis heeft plaatsgevonden. De winst voor de optiehouder is op de expiratiedatum s T E. Daarnaast heeft de optiehouder een extra winst gemaakt door aanschaf van de Parijse optie i.p.v. Europese call optie. De prijs van zo n optie is goedkoper dan een standaard Europese call optie vanwege de knock-in afhankelijke uitbetaling op de expiratiedatum. Figuur 2.1: Uitbetaling van de Parijse optie We zijn met name geïnteresseerd in de prijsbepaling van de Parijse optie, deze wordt uitgedrukt met P (s 0, T ). Het is alvast een geruststelling dat we een uitdrukking kunnen vinden voor P (s 0, T ) door middel van argumenten uit de sectie risiconeutraliteit. Door de risiconeutraliteits aanname toe te passen geldt voor P (s 0, T ), P (s 0, T ) = e rt E[1 {T D B T } max(s(t ) E, 0)], (2.7) waarbij 1 {T D B T } de indicatorfunctie van de knock-in gebeurtenis beschrijft. Tot op heden is er nog geen analytische formule gevonden waar (2.7) gelijk aan moet zijn. Onder de veronderstelling dat een financiële instelling een Parijse optie verkoopt, kunnen we ons afvragen of de prijs wel correct is? In het algemeen wordt een probleem numeriek opgelost als er geen analytische formule voor bekend is. Voor ons probleem wordt door simulatietechnieken een schatting voor P (s 0, T ) gegenereerd. In de komende sectie wordt de techniek besproken die banken het meest toepassen bij de waardebepaling van exotische opties: de Monte Carlo methode.

19 HOOFDSTUK 2. DE PARIJSE OPTIE De Monte Carlo methode Monte Carlo schatter voor α Veronderstel dat we geïnteresseerd zijn in het volgende probleem: het schatten van de volgende integraal, α = 1 0 f(x)dx, waarbij α de onbekende waarde is. Om de waarde α te schatten willen we gebruik maken van de Monte Carlo methode. We kunnen de integraal representeren als α = E[f(U)], U U(0, 1). Veronderstel dat U 1, U 2,..., U M een rijtje onafhankelijke en uniform verdeelde stochasten op het interval [0, 1] zijn. We nemen hierbij aan dat het rijtje onafhankelijke stochasten gesimuleerd kan worden. Vervolgens evalueren we de functie f met de M gesimuleerde stochasten en door het gemiddelde te nemen, produceren we de volgende Monte Carlo schatter, ˆα M = 1 M M f(u i ). i=1 Volgens de wet van grote aantallen [6] convergeert ˆα M α met kans 1 als M. In deze wet geldt E[f(U i )] = α voor i = 1,..., M. Hierdoor is E[ˆα M ] = α. Als schatters in het algemeen voldoen aan deze gelijkheid dan worden zij zuiver genoemd. Voor het schatten van een onbekende grootheid is een zuivere schatter zeer gewenst. Met name in de prijsbepaling van exotische opties is een zuivere schatter aanbevolen. Volgens de centrale limitietstelling [6] is de fout ˆα M α in de Monte Carlo schatter ongeveer N(0, σ2 σ M ). De fout kan worden gezien als een N(0, 1) geschaald door σ M. De factor M wordt vaak de standaard error genoemd. Dit suggereert dat de schatter ˆα M voor grote waarden van M een benadering voor α geeft dat correct is tot O( 1 M ). σ is in het algemeen onbekend maar de geschaalde standaard deviatie van het gemiddelde is een zuivere schatter voor de onbekende parameter, ˆσ = 1 n (f(u i ) ˆα M ) n 1 2. i=1 Dus vanuit de functiewaarden f(u 1 ),..., f(u n ) vinden we niet alleen een schatting voor α geven maar ook van de statistische fout. Door gebruik te maken van ˆα M en ˆσ is (ˆα M 1.96 ˆσ, ˆα M ˆσ ) M M een 95% betrouwbaarheidsinterval voor de onbekende parameter α Monte Carlo algoritme voor Parijse optie De procedure bij het creëren van de Monte Carlo schatter ˆα M voor α willen we nu toepassen op de onbekende prijs van de Parijse optie P (s 0, T ). In (2.7) is de prijs P (s 0, T ) gerepresenteerd.

20 HOOFDSTUK 2. DE PARIJSE OPTIE 19 Voor de constructie van de Monte Carlo schatter ˆP M voor P (s 0, T ) zijn we in feite geïnteresseerd in het simuleren van de stochast 1 {T D B T } max(s(t ) E, 0). Om max(s(t ) E, 0) te mogen ontvangen, moeten we nagaan of de knock-in gebeurtenis optreedt. In (1.7) is een procedure beschreven om aandeelprijzen S(t i+1 ) voor i = 0,..., n 1 te kunnen simuleren. Het idee is om M aandeelpaden te simuleren en bij elk aandeelpad te controleren of de knockin gebeurtenis is opgetreden. Als bij het i de gesimuleerde aandeelpad de knock-in gebeurtenis plaatsvindt dan is de stochast P i = e rt max(s(t ) E, 0). Indien er geen knock-in gebeurtenis is dan ontvangt de optiehouder geen uitbetaling m.a.w. P i = 0. De schatter ˆP M neemt het gemiddelde van P i voor i = 1,..., M. Het volgende Monte Carlo algoritme vat het idee samen. Kies een stapgrootte t en definieer hiermee het grid t j = j t in het interval [0, T ] voor j = 0,..., n waarbij t 0 = 0 en t n = T. We nemen aan D = c t waarbij c {0,..., n}. Voor i = 1,..., M herhaal de procedure; 1. Genereer Z j N(0, 1) voor j = 1,..., n; 2. Zet S(t j+1 ) = S(t j )e (r 1 2 σ2 ) t+σ tz j+1 voor j = 0,..., n 1; 3. Controleer of er een k {0,..., n c} bestaat zodat het rijtje aandeelprijzen S(t k ),..., S(t k+c ) < B; Zet P i = e rt max(s(t n ) E, 0) als k {0,..., n c}; Zet P i = 0 als k / {0,..., n c}. De Monte-Carlo schatter ˆP M = P1+...+P M M voor P (s 0, T ). Kunnen we nu opnieuw de wet van grote aantallen toepassen en concluderen dat ˆP M P (s 0, T ) convergeert met kans 1 als M? Om een knock-in gebeurtenis vast te stellen, moet het gehele continue aandeelpad onder de barrière bekend zijn. Uit het Monte-Carlo algoritme blijkt het aandeelpad slechts gediscretiseerd wordt met stapgrootte t. De ontwikkeling van het aandeelpad tussen twee gesimuleerde stochasten S(t i ) en S(t i+1 ) is hierdoor onbekend. Vanwege de onbekende ontwikkeling maakt het Monte-Carlo algoritme een discretisatiefout ɛ t in de i de replicatie. Hierdoor is de schatter ˆP M niet zuiver, oftewel E[ ˆP M ] = P (s 0, T ) + ɛ t. Het Monte Carlo-algoritme stelt een knock-in gebeurtenis te snel vast en hierdoor betaalt de optie onrechtmatig uit. Als gevolg dat de schatting voor de prijs van P (s 0, T ) te hoog is. Hoeveel invloed heeft ɛ t op de overschatte prijs van P (s 0, T )? Uit [4] blijkt dat het fluctuerende gedrag van de geometrische Brownse beweging invariant is voor de tijd m.a.w. het proces heeft dezelfde fluctuatie ongeacht het bekeken tijdsinterval. Voor het Monte Carlo algoritme heeft dit de consequentie dat bij een vast aantal replicaties M er een ontzettend kleine stapgrootte t nodig is om de schatting in de buurt te laten komen bij de correcte prijs. Het gevolg is dat de rekentijd alsmaar toeneemt bij het verkleinen van t. Met het oogpunt op de financiële instellingen waarbij binnen seconden correcte prijzen (zonder ɛ t ) gegenereerd moeten worden is dit niet gewenst. Het doel van dit project is hiermee duidelijk geworden, namelijk het creëren van een algoritme waarin een zuivere schatter voor P (s 0, T ) wordt gegenereerd en wat bruikbaar is voor de snelheid van de financiële markten. In het komende hoofdstuk rekenen we (2.7) uit onder een andere kansmaat. Als eenmaal dit behaald is, kunnen we toewerken naar het creëren van het gewenste algoritme.

21 Hoofdstuk3 Verandering van kansmaat In hoofdstuk 2 is de knock-in gebeurtenis {TB D T } van de Parijse optie besproken. Om een knock-in gebeurtenis met zekerheid vast te stellen, moet het gehele continue aandeelpad onder de barrière B bekend zijn. Het Monte Carlo algoritme discretiseert slechts het aandeelpad en maakt hierdoor een zogenaamde discretisatiefout ɛ t in de schatting voor P (s 0, T ) = e rt E[1 {T D B T } max(s 0 e (r 1 2 σ2 )T +σw (T ) E, 0)]. (3.1) Dit leidt tot het creëren van een nieuw algoritme waarin de excursie lengte onder de barrière exact wordt bepaald. In hoofdstuk 4 zal blijken dat door middel van specifieke eigenschappen van de standaard Brownse beweging {W (t) : t [0, T ]} we deze excursie lengte exact kunnen bepalen. We willen dus de knock-in gebeurtenis vaststellen aan de hand van de standaard Brownse beweging. Als eerste moeten we de knock-in gebeurtenis formuleren in termen van standaard Brownse beweging. Bekijk de gebeurtenis S(t) < B op een tijdstip t [0, T ]. Onder het huidige aandeelprijs model geldt, ( ) B log S(t) = s 0 e (r 1 2 σ2 )t+σw (t) s 0 (r 1 2 σ2 )t < B W (t) < =: b t. (3.2) σ Door de ongelijkheid in termen van standaard Brownse beweging te beschrijven, lijkt het probleem ingewikkelder te zijn geworden. De barrière b t voor W (t) blijkt uit (3.2) tijdafhankelijk te zijn. Het proces {W (t) : t [0, T ]} moet dan binnen de de looptijd [0, T ] een excursie van minstens lengte D onder de tijdafhankelijke barrière b t hebben voordat de Parijse optie uitbetaalt. Het vaststellen van deze knock-in gebeurtenis in termen van {W (t) : t [0, T ]} is uitermate lastig. 20

22 HOOFDSTUK 3. VERANDERING VAN KANSMAAT 21 We zullen zien door het toepassen van de Girsanov stelling ons het mogelijk maakt de verwachting bij (3.1) uit te rekenen onder een andere kansmaat waar het prijsproces {S(t) : t [0, T ]} geschreven wordt als S(t) = s 0 e σz(t) t [0, T ], (3.3) waarbij {Z(t) : t [0, T ]} een standaard Brownse beweging is. Onder de gewenste kansmaat is de gebeurtenis S(t) < B op een tijdstip t [0, T ] te schrijven als, S(t) = s 0 e σz(t) Z(t) < 1 ( B ) σ log := b. (3.4) s 0 Het gevolg van (3.4) is dat proces {Z(t) : t [0, T ]} voor een excursie van minstens lengte D onder de constante barrière b moet hebben voordat de Parijse optie uitbetaalt. Voordat we de Girsanov stelling toepassen en vervolgens de knock-in gebeurtenis in termen van {Z(t) : t [0, T ]} formuleren waarbij de barrière b constant is, bespreken we eerst het onderwerp verandering van kansmaat. 3.1 Kansruimte In de huidige sectie zullen we de definitie geven van een kansruimte. Het concept filtratie wordt ook besproken. Ten slotte zullen alle besproken begrippen kort geïllustreerd worden. Definitie (kansruimte): Een kansruimte van een bepaald experiment wordt gegeven door (Ω, F, P) waarbij, Ω is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het desbetreffende experiment; F is de verzameling van alle mogelijke gebeurtenissen. Een gebeurtenis is een deelverzameling van Ω. F heeft de structuur van een σ-algebra: 1. F; 2. Als A F = A C F; 3. A 1, A 2,... F = i=1 A i F. P is een functie die iedere A F associeert met een getal P(A). De afbeelding P heet een kansmaat als deze aan de volgende eigenschappen voldoet: 1. P(Ω) = 1; 2. 0 P (A) 1; 3. Voor een disjunct rijtje A 1, A 2,... in F geldt P( i=1 A i) = i=1 P(A i). De eigenschappen van P zijn zeer gewenst. De kans op alle mogelijke uitkomsten van een experiment is intuïtief al gelijk aan één. De tweede eigenschap laat zien dat P : F [0, 1].

23 HOOFDSTUK 3. VERANDERING VAN KANSMAAT 22 De toegewezen kansen bij de gebeurtenissen hoeven niet uniek bepaald te zijn. Dit betekent dat de kansmaat P niet uniek is voor (Ω, F). Het is mogelijk om een kansmaat Q op (Ω, F) te creëren die bij dezelfde gebeurtenissen andere kansen toekent. Veronderstel dat er twee keer met een munt wordt getost. De uitkomstenruimte Ω = {KK, KM, MK, MM} waarbij K voor kop staat en M voor munt. We zien dat de uitkomsten van het experiment een rijtje ω = ω 1 ω 2 vormen waarbij w i de waarde K of M aanneemt. Veronderstel dat het tossen onafhankelijk gebeurt. Bekijk de gebeurtenis eerste keer kop gooien, H = {w Ω : w 1 = K} = {KK, KM}. De verzameling van alle gebeurtenissen F is bij het desbetreffende experimente gelijk aan de machtsverzameling 2 Ω. Als onder kansmaat P de kans op K gelijk is aan p [0, 1]. Dan is de kans op de gebeurtenis P(H) = p. We kunnen een kansmaat Q creëren op dezelfde (Ω, F) waarbij de kans op K gelijk is aan p = 1 p. In feite is onder kansmaat Q de kans op K hetzelfde als de kans op M onder kansmaat P. Hieruit volgt dat Q(H) = p. Het voorbeeld laat zien dat er verschillende kansmaten op dezelfde ruimte (Ω, F) kunnen werken. We zijn nu in staat om stochasten op een bepaalde kansruimte te definiëren. Een stochast op (Ω, F, Q) is een functie van Ω naar R. Onder kansmaat Q heeft de stochast een bepaalde cumulatieve verdelingsfunctie, oftewel Q(Z z) voor alle z R is gedefinieerd. Door het creëren van een nieuwe kansmaat P op (Ω, F) kan dezelfde stochast een andere cumulatieve verdelingsfunctie krijgen. In de komende sectie staat het creëren van een nieuwe kansmaat P op (Ω, F) door middel van een speciale stochast gedefinieerd op (Ω, F, Q) centraal. Deze stochast wordt de Radon-Nikodym afgeleide genoemd. Met de bespreking van het concept filtratie wordt de huidige sectie afgesloten. Bij het tossen komt er informatie vrij met betrekking tot de waarden die de munt aanneemt. Als er nog niet met de munt getost dan zijn in feite alle uitkomsten mogelijk. Bij het starten van een experiment is namelijk nog niet de mogelijkheid om gebeurtenissen te kunnen verifiëren. De gebeurtenissen die we bij het begin kunnen verifiëren zijn, F 0 = {, Ω} De lege verzameling zit in F 0 vanwege de σ-algebra structuur. Als bijvoorbeeld na één keer tossen de waarde K is gevallen dan geeft dit een beperking in het aantal toekomstige uitkomsten. Dus het aantal gebeurtenissen dat we na één keer tossen kunnen verifiëren neemt hierdoor toe, F 1 = {, Ω, H, H C }, waarbij de gebeurtenis H C het complement van de gebeurtenis H is. In ons voorbeeld is het experiment afgelopen na twee keer tossen. Als gevolg dat de verzameling van alle mogelijke gebeurtenissen na twee keer tossen verifieerbaar is, F 2 = 2 Ω. Dit rijtje F 0, F 1, F 2 is een voorbeeld van een zogenaamde filtratie. In het algemeen kunnen we op een willekeurig (Ω, F, P) een filtratie {F t : t {τ}} definiëren zodat F 0 F 1... F i... waarbij τ een willekeurige index verzameling is. Na verloop van tijd komt er informatie vrij van het desbetreffende experiment. Het gevolg is dat het aantal gebeurtenissen toeneemt die met de huidige informatie verifieerbaar zijn.

24 HOOFDSTUK 3. VERANDERING VAN KANSMAAT De Radon-Nikodym afgeleide Voordat we de Radon-Nikodym afgeleide presenteren, gaan we eerst de verwachting van een stochast bespreken. Veronderstel dat een continue stochast Z gedefinieerd is op de kansruimte (Ω, F, Q) en de kansdichtheidsfunctie van Z gegeven is door g. We introduceren de volgende notatie, E Q [Z] = Z(ω)dQ(ω) = zg(z)dz (3.5) voor de verwachting van de stochast Z ten opzichte van de kansmaat Q. Ω Ten slotte de verwachting van de stochast h(z), een positieve en continue functie van de stochast Z, ten opzichte van de kansmaat Q is gedefinieerd als, E Q [h(z)] = h(z(ω))dq(ω) = h(z)g(z)dz. Ω We zijn nu in staat om de Radon-Nikodym afgeleide te illusteren. De verdelingsfunctie van Z onder kansmaat Q is gegeven door, Q(Z z) = z g(x)dx, z R. (3.6) Als f een willekeurige kansdichtheidsfunctie is met de eigenschap dat g(z) = 0 = f(z) = 0 dan kunnen we een nieuwe kansmaat P op (Ω, F) definiëren door de volgende constructie, [ f(z) ] P(A) = E Q 1 A = g(z) Ω 1 A (ω) f(z(ω)) g(z(ω)) dq(ω) = f(z(ω)) dq(ω), (3.7) ω A g(z(ω)) waarbij 1 A de indicatorfunctie van een willekeurige gebeurtenis A F is. De constructie bij (3.7) laat zien dat de kansen onder P uitgedrukt worden d.m.v een verwachting ten opzichte van kansmaat Q van een functie van de stochast Z. In de voorgaande sectie is de definitie van een kansruimte gegeven. Hierin staan de drie eigenschappen vermeld waaraan een kansmaat moet voldoen. Deze eigenschappen gaan we na om aan te tonen dat P een kansmaat op (Ω, F) is. [ ] 1. P(Ω) = E f(z) Q g(z) = f(z(ω)) Ω g(z(ω)) dq(ω) = f(x) g(x) g(x)dx = f(x) = 1; [ ] f(z) 2. Zij A F willekeurig. Er geldt 0 P(A) = E Q 1 A f(z(ω)) Ω g(z(ω)) dq(ω) = 1; [ 3. Als A B = dan P(A B) = E Q E Q [ f(z) 1 A g(z) ] + E Q [ 1 B f(z) g(z) ] E Q [ f(z) 1 A B g(z) 1 A 1 B f(z) g(z) ] = E Q [ g(z) ] = P(A) + P(B). = ω A ] max(1 A, 1 B ) f(z) g(z) = f(z(ω)) g(z(ω)) dq(ω) Het bewijs van P(A B) = P(A) + P(B) kan worden uitgebreid naar een rijtje disjuncte gebeurtenissen A 1, A 2,... in F.

25 HOOFDSTUK 3. VERANDERING VAN KANSMAAT 24 De constructie van (3.7) gaan we toepassen op de gebeurtenis Z z. kansmaat P geldt, f(z(ω)) P(Z z) = g(z(ω)) dq(ω) = = {w:z(w) z} z z f(x) g(x) g(x)dx Onder de de nieuwe f(x)dx (3.8) Uit (3.8) kunnen we concluderen dat de stochast Z de kansdichtheidsfunctie f onder kansmaat P heeft. Veronderstel dat g(x) = 1 2πt e x2 2t, oftewel een normale kansdichtheid gecentreerd rond nul en met variantie t. Als de keuze van f gelijk is aan een normale kansdichtheid gecentreerd rond mt en met variantie t dan geldt, f(x) g(x) = emx m 2 2 t. De keuze om kansdichtheid f rond mt te centreren waarbij m R zal later duidelijk worden. m2 mz We concluderen als Z N(0, t) onder kansmaat Q dan zorgt de stochast e 2 t voor een connectie met de nieuwe kansmaat P als volgt, m2 mz P(A) = E Q [1 A e 2 t ], A F. (3.9) Onder kansmaat P is Z N(mt, t) en Z mt N(0, t). Uit het voorbeeld blijkt dat je een speciale stochast op kansruimte (Ω, F, Q) kunt gebruiken om een nieuwe kansmaat P te definiëren. Deze speciale stochast op kansruimte (Ω, F, Q) heet de Radon-Nikodym afgeleide en wordt genoteerd met dp dq. In het algemeen kunnen twee willekeurige kansmaten op dezelfde (Ω, F) in connectie worden gebracht door de Radon-Nikodym afgeleide, mits zij aan een bepaalde eigenschap voldoen. Deze bijzondere connectie tussen twee kansmaten wordt de stelling van Radon-Nikodym genoemd. Stelling (Radon-Nikodym): Veronderstel dat P en Q kansmaten zijn op (Ω, F) zijn met de eigenschap P(A) > 0 = Q(A) > 0 voor A F. Het gevolg is dat er een unieke en bijna altijd positieve stochast dp dq onder kansmaat Q bestaat zodanig dat [ dp ] P(A) = E Q 1 A. (3.10) dq Het mag duidelijk zijn dat P(A) > 0 = Q(A) > 0 geldt voor de gebeurtenis Z z waarbij Z N(mt, t) onder P en Z N(0, t) onder Q. Dus de stochast, dp dq = emz m 2 2 t (3.11) geeft de unieke connectie d.m.v. (3.9) tussen de kansmaten P en Q. Als vanuit kansmaat Q d.m.v. de stochast dp dq een nieuwe kansmaat P wordt gedefinieerd, dan refereren we naar constructie (3.10).

26 HOOFDSTUK 3. VERANDERING VAN KANSMAAT 25 Er is nog één eigenschap van dp dq die voor ons doeleinde van belang is. Eerder hebben we gezien dat Z N(mt, t) onder kansmaat P. De verwachting E P [Z] is gelijk, mt = E P [Z] (3.12) = Z(ω)dP (ω) = = Ω zf(z)dz z f(z) g(z) g(z)dz = Z(ω) f(z(ω)) Ω g(z(ω)) dq(ω) [ = E Q Z dp dq ], (3.13) In hoofdstuk 1 is de definitie van de standaard Brownse beweging W (t) gegeven. Uit de eigenschappen van de standaard Brownse beweging volgt dat W (t) N(0, t) voor alle t [0, T ]. In de huidige sectie is er de connectie tussen kansruimten P en Q besproken zodat (3.12) gelijk kan worden gesteld aan (3.13). We zien dat voor een vast tijdstip t de verwachting onder kansmaat P van een Brownse beweging met drift m gelijk is aan een verwachting onder kansmaat Q van een standaard Brownse beweging vermenigvuldigd met (3.11). Deze gelijkheid tussen verwachtingen willen we uitbreiden zodanig dat deze voor alle tijdstippen t uit het interval [0, T ] geldig zijn. In de komende sectie zal deze vraag d.m.v het toepassen van de stelling van Girsanov beantwoord worden. 3.3 Girsanov transformatie In de huidige sectie geven we een versimpelde versie van de stelling van Girsanov. In [1] vindt u de algemene stelling van Girsanov. Het toepassen van deze stelling duiden we aan met een zogenaamde Girsanov transformatie. Stelling (Girsanov): Definieer de standaard Brownse beweging {W (t) : t [0, T ]} op de kansruimte (Ω, F, Q) en laat {F t : t [0, T ]} de filtratie voor deze standaard Brownse beweging zijn. Laat γ R. Definieer de stochast, X(t) = e 1 2 γ2 t+γw (t) (3.14) Dan definiëren we de nieuwe kansmaat P op (Ω, F T ) door middel van Onder kansmaat P is voor alle t [0, T ] het proces, een standaard Brownse beweging. dp = X(T ). (3.15) dq T W (t) = W (t) γt (3.16)

27 HOOFDSTUK 3. VERANDERING VAN KANSMAAT 26 Over het begrip filtratie in de stelling van Girsanov geven we een intuïtieve verklaring. Voor de exacte definitie van het begrip verwijs ik naar [2]. De filtratie {F t : t [0, T ]} van de standaard Browse beweging bevat alle kennis van het proces W (t) tot en met tijdstip t. De filtratie {F t : t [0, T ]} ontwikkelt zich analoog als in het voorbeeld van de sectie kansruimte. Voor ons doeleinde nemen we de γ uit de stelling van Girsanov gelijk aan de constante m. We definiëren een nieuwe kansmaat P door middel van de Radon Nikodym afgeleide, dp = e 1 2 m2 T +mw (T ). (3.17) dq T Onder kansmaat P is het stochastisch proces W (t) = W (t) mt voor alle t in het interval [0, T ] een standaard Brownse beweging. Hieruit volgt dat onder kansmaat P het proces {W (t) : t [0, T ]} een Brownse beweging met drift m is. We concluderen dat we opnieuw een connectie hebben tussen de kansmaten P en Q dankzij (3.17) voor alle t in het interval [0, T ]. Het gevolg is dat de verwachting onder kansmaat P van de Brownse beweging met drift m voor alle t in het interval [0, T ] geldt, [ dp ] mt = E P [{W (t)} 0 t T ] = E Q {W (t)} 0 t T (3.18) dq T Het bijzondere aan uitdrukking (3.18) is dat door een verandering van kansmaat [ te ondergaan] dp m.b.v. dq dp T we de verwachting E P [{W (t)} 0 t T ] kunnen omschrijven naar E Q dq T {W (t)} 0 t T waarin de drift m van de Brownse beweging is geëlimineerd. Deze toepassing van de Girsanov stelling duiden we aan met de Girsanov transformatie. We zijn nu in staat om de Girsanov transformatie toe te passen voor de gewenste herformulering van P (s 0, T ). Definieer het proces {Z(t) : t [0, T ]} als, Z(t) = mt + W (t), m = r 1 2 σ2 σ 2 (3.19) waarbij {W (t) : t [0, T ]} onder kansmaat P een standaard Brownse beweging [ is. Door gebruik] dp te maken van de Girsanov transformatie bij (3.18) geldt E P [{Z(t)} 0 t T ] = E Q dq T {Z(t)} 0 t T waarbij {Z(t) : t [0, T ]} onder kansmaat Q een driftloze Browse beweging is. Onder kansmaat P veronderstellen we dat het model voor het aandeelpad gegeven is door S(t) = s 0 e (r 1 2 σ2 )t+σw (t) t [0, T ]. We willen het proces bij (3.19) in S(t) onder kansmaat P verwerken, S(t) = s 0 e (r 1 2 σ2 )t+σw (t) σ(mt+w (t)) = s 0 e = s 0 e σz(t) t [0, T ]. (3.20) Voor de knock-in afhankelijke uitbetaling van de Parijse optie definiëren we de functie Ψ : {S(t)} 0 t T R +. (3.21) Met andere woorden voor ieder willekeurig aandeelpad {S(t)} 0 t T bijbehorende Parijse uitbetaling. in (3.21), geven we de