Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics"

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Prijsbepaling Parijse optie met onderliggende waarde die een sprong-diffusie proces volgt (Engelse titel: Parisian Option Pricing When the Underlying Security Price Follows a Jump-Diffusion Process) Verslag ten behoeve van het Delft Institute of Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door R.W.B. VAN DER WEIJST Delft, Nederland Juli 2013 Copyright c 2013 door R.W.B. van der Weijst. Alle rechten voorbehouden.

2

3 BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE Prijsbepaling Parijse optie met onderliggende waarde die een sprong-diffusie proces volgt (Engelse titel: Parisian Option Pricing When the Underlying Security Price Follows a Jump-Diffusion Process ) R.W.B. VAN DER WEIJST Technische Universiteit Delft Begeleider Dr.ir. J.H.M. Anderluh Overige commissieleden Prof.dr.ir. A.W. Heemink Dr. J.G. Spandaw Juli, 2013 Delft

4

5

6 Samenvatting Een Europese calloptie is een recht om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde prijs, de uitoefenprijs, te kopen op de expiratiedatum. Een barrieroptie is een exotische optie waarbij de uitbetaling afhangt van het raken van koers van de onderliggende waarde van de barrière gedurende de looptijd. Bij Parijse barrieropties is het ook nog van belang hoe lang de excursie boven (of onder) de barrière is voor een knock-in dan wel een knock-out. De prijsbepaling van barrieropties, die van groot belang is in de financiële wereld, wordt dus bepaald door het prijsproces van de onderliggende waarde, waarbij niet enkel de prijs van de onderliggende waarde op het moment van expiratie, maar gedurende het hele prijsproces van belang is. Dit prijsproces kan worden gezien als een sprong-diffusieproces, waarbij het model gebruikmaakt van een aantal sprongen dat Poisson verdeeld is. In deze scriptie wordt de risiconeutrale prijs van opties bepaald met de Monte-Carlomethode die het gemiddelde neemt van de waarde van opties bij verschillende onafhankelijke prijsprocessen. Dit geeft een zuivere schatting van de optieprijs bij de sprong-diffusieprocessen. Bij de simulatie van een prijsproces voor het schatten van de prijs van een standaard barrieroptie kunnen effectprijzen worden berekend op verschillende tijdstippen en dan kan worden berekend of de barrière is geraakt gedurende een interval tussen twee tijdstippen. Voor de prijsbepaling van een Parijse optie zijn raaktijden van de barrière van belang. De exittijd op een bepaald moment, het laatste tijdstip voor dat moment waarop de barrière geraakt is evenals de raaktijden kunnen worden berekend voor een prijsproces zonder drift. Het aanpassen van de kansruimte zorgt ervoor dat het mogelijk is simulaties zonder drift te genereren die leiden tot een schatter, waarbij de koers van de onderliggende waarde wel drift heeft. Uit de resultaten blijkt dat stratificatie naar het aantal sprongen variantiereductie oplevert. Eveneens blijkt uit de resultaten dat het aantal sprongen van invloed is op de optieprijs en op de rekentijd. v

7

8 Voorwoord Een jaar of tien, elf moet ik zijn geweest toen ik de beurskoersen in de krant ging bijhouden. s Ochtends de krant openslaan, het nieuws lezen en de indices bijhouden was een standaard doordeweeks ochtendritueel. Aandelen waren de eerste financiële producten die me bezig hielden, later kwamen daar ook obligaties en opties bij. De passie voor het analyseren van patronen en structuren is een belangrijk aspect waarom ik Technische Wiskunde ben gaan studeren. Patronen en structuren zijn overal terug te vinden in de natuur en in de samenleving en wiskunde duidt verbanden aan en probeert inzicht te geven in structuren. De interesse voor de finaniciële markten, waar eveneens patronen en structuren in te herkennen zijn is nooit verdwenen en heeft er toe geleid deze scriptie te schrijven. Deze scriptie vormt het sluitstuk van de bachelor Technische Wiskunde aan de Technische Universiteit Delft. Hierbij dank ik mijn begeleider Dr.ir. J.H.M. Anderluh voor zijn ondersteuning bij het tot stand komen van deze publicatie. Verder rest mij niets dan u veel leesplezier toe te wensen. R.W.B. van der Weijst vii

9 Inhoudsopgave Samenvatting Voorwoord v vii Introductie 1 I Opties 3 I.0.1 Nomenclatuur I.0.2 Barrieroptie en Parijse optie II Prijsproces van de onderliggende waarde 7 II.1 Geometrische Brownse beweging II.1.1 Sprongen II.1.2 Rente II.1.3 Risico-neutraal III Algoritme van de standaard barrieroptie 9 III.1 Monte-Carlomethode III.2 Prijs van een Up-And-Out barrieroptie schatter III.3 Gestratificeerde schatter prijs van een Up-And-Out barrieroptie III.3.1 Geval 1, Geen sprongen III.3.2 Geval 2, een m aantal sprongen III.3.3 Geval 3, meer dan m sprongen IV Verandering van de kansmaat 15 IV.1 Kansruimte IV.2 Radon-Nikodym afgeleide IV.3 Girsanov transformatie V Eigenschappen van het prijsproces 18 V.1 Raaktijd barrière V.2 Simulatie exittijd V.3 Acceptatie-Rejectie methode V.4 Soorten Parijse opties VI Algoritme van een Parijse optie 22 VI.1 Stratificatie VII Resultaten 28 viii

10 VII.1 Variantie VII.2 Down-and-In VII.2.1 Gestratificeerde methode VII.3 Down-and-Out VII.4 Up-and-In VII.5 Up-and-Out Conclusie 36 Discussie 37 ix

11 Introductie Derivatives are financial weapons of mass destruction Warren Buffet Deze uitspraak van het Orakel van Omaha in zijn jaarlijkse brief aan aandeelhouders wees op de catastrofale risico s die Buffet voor kopers, verkopers en voor de economie als geheel, in derivaten zag. De snelle groei van de handel in derivaten de laatste jaren, die de Amerikaan zorgen baarde, heeft het aantal wiskundigen dat bezig is met het bepalen van de waarde en de risico s van opties flink doen toenemen. Opties zijn een type derivaten, financiële producten waarvan de waarde afgeleid is van een onderliggende waarde. Een onderliggende waarde is daarbij een goed waar waarde aan toegeschreven kan worden. Er zijn vele speciale opties die in vakjargon bekend staan als exotische opties, barrieropties zijn er hier een van. Een voorbeeld van een type barrieroptie is een optie die zijn waarde verliest indien de koers van de onderliggende waarde de barrière raakt. Vele wiskundigen hebben zich bezig gehouden met de prijsbepaling van opties. Zo publiceerden Fischer Black en Myron Scholes de bekende naar hun vernoemde formule reeds in 1973 in The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Myron Scholes kreeg hiervoor in 1997 de Prijs van de Zweedse Bank voor economie ter nagedachtenis aan Alfred Nobel, beter bekend als de Nobelprijs voor de Economie. Deze scriptie richt zich op de prijsbepaling van barrieropties in continue tijd, waarbij de koers van de onderliggende waarde een sprong-diffusie proces volgt. Behalve algoritmes voor de schatting van de prijs van standaard barrieropties wordt ook een algortime voor een speciaal type barrieroptie, de Parijse optie beschreven. De koers van de onderliggende waarde en de risicovrije rente zijn in dit model bepalend voor de uiteindelijke waarde van de optie op het tijdstip van uitgifte. Tenzij expliciet beschreven verwijst optie naar een calloptie. Waar in dit artikel over effectprijs of aandeelprijs gesproken wordt kan ook het algemenere onderliggende waarde worden gelezen. Schatting en (prijs)bepaling van de optieprijs worden als synoniemen gebruikt. In de financiële wereld waar derivaten op grote schaal worden verhandeld zijn accurate modellen voor de prijsbepaling van opties van groot belang. Het feit dat opties veelvuldig worden verhandeld en dat hier veel geld in omgaat maakt dat pragmatische modellen veelgevraagd zijn. Deze scriptie is opgebouwd uit een zeven tal hoofdstukken. In Hoofdstuk I bevat een algemene introductie in financiële opties, de standaard barrieroptie en de Parijse optie. Hoofdstuk II beschrijft hoe een prijsproces van een onderliggende waarde tot stand komt. In hoofdstuk III wordt beschreven hoe met de methode van Monte-Carlo een risico-neutrale prijs bepaald kan worden voor een optie aan de hand van de in het vorige hoofdstuk beschreven prijsproces. Vervolgens wordt een standaard en een gestratificeerd model van de prijsbepaling van een barrieroptie beschreven. Hoofdstuk IV verklaart de verandering van de kansmaat, zodat gerekend kan worden met een brownse beweging zonder drift. Genoemde verandering is nodig, daar uit een brownse 1

12 beweging zonder drift enkele eigenschappen afgeleid kunnen worden die gebruikt worden voor de prijsbepaling van een Parijse optie. Deze eigenschappen en de afleiding daarvan staan beschreven in hoofdstuk V. In Hoofdstuk VI wordt een algoritme beschreven om de prijs van een Parijse optie te bepalen. Het einde van dit hoofdstuk bevat een uitleg van een gestratificeerde schatter. Hoofdstuk VII beschrijft de gevonden resultaten van de methoden voor de prijsbepaling van de Parijse barrieroptie. Na deze hoofdstukken sluit het artikel af met de conclusie en de discussie. Op de bijgevoegde cd zijn implementaties te vinden in de softwareomgeving Matlab c (R2013a, The MathWorks, Natick, USA). De prijsbepaling van een Up-and-Out barrieroptie is hiermee mogelijk evenals de prijsbepaling van de vier soorten Parijse barrieropties beschreven in deze scriptie. Ook is de implementatie van de beschreven gestratificeerde Parijse optie schatter te vinden op de cd. In het README-bestand staat beschreven hoe de implementaties gebruikt kunnen worden voor de berekening van verschillende type opties met naar wens gekozen parameters. 2

13 I Opties De handel in financiële derivaten, producten die vaak tot doel hebben te speculeren of risico te dekken, heeft de laatste decennia een hoge vlucht genomen. Halverwege de zestiende eeuw ontstond in Amsterdam een systeem waarin particulieren schulden konden aangaan en deze schulden konden verhandelen. De eerste aandelen werden in Amsterdam verhandeld, deze waren van de Verenigde Oost-Indische Compagnie. De welvaart die in de Gouden Eeuw was ontstaan leidde tot de vraag naar luxe producten zoals tulpen, die rond 1550 in West Europa werden geïntroduceerd. Het aantal kopers oversteeg het aantal aanbieders waardoor de prijs van tulpen de pan uit rees. Speculanten begonnen met het sluiten van contracten, waarbij de verkoper van een contract de verplichting had om tulpenbollen te leveren in de volgende lente. Er waren ook contracten waarbij de koper verplicht werd tot afname van de bollen in de lente, deze vorm van zakendoen stond destijds bekend onder windhandel en noemt men nu optiehandel. De prijzen van tulpenbollen stegen tot recordhoogtes, zo werd èèn Viceroi, een paarswitte papegaaitulp, verhandeld voor gulden. Deze tulpenmanie kwam aan zijn einde op 3 februari 1637 toen de prijzen enorm daalden. Dit moment wordt wel gezien als de eerste financiële zeepbel. De handel in opties nam pas echt zijn toevlucht, nadat opties in 1973 op de Chicago Board Options Exchange (CBOE) verhandeld werden. Voordat het begrip optie wordt gedefinieerd worden de volgende twee begrippen verklaard: Onderliggende waarde - Een goed waar waarde aan toegeschreven kan worden. Dit kunnen bijvoorbeeld aandelen in een bedrijf zijn, grondstoffen, valuta of onroerend goed. Derivaat - Een derivaat is een financieel instrument dat is afgeleid van een onderliggende waarde id est de waarde van een derivaat is afhankelijk van de bijbehorende onderliggende waarde. Het begrip optie wordt nu als volgt gedefinieerd: Optie - Een optie is een derivaat. Het is een recht om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde prijs te kopen of verkopen op een specifieke datum of in een specifieke periode. Een summiere lijst van aanverwante begrippen wordt nu gegeven in de nomenclatuur. 3

14 I.0.1 Nomenclatuur Call-optie - Een optie die het recht geeft om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde prijs te kopen op een eveneens vooraf bepaalde datum of in een vooraf bepaalde periode. Put-optie - Een optie die het recht geeft om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde prijs te verkopen op een vooraf bepaalde datum of in een vooraf bepaalde periode. Uitoefenprijs - De vooraf bepaalde prijs waartegen de optiehouder een onderliggende waarde kan kopen (call) of verkopen (put). Schrijver - De schrijver van de optie is de persoon die de optie verkoopt. Houder - De houder ven een optie is de persoon die de optie koopt. Uitoefenen - Het uitoefenen van de optie houdt in dat de houder van de optie de onderliggende waarde koopt of verkoopt van de schrijver. Expiratiedatum - De expiratiedatum is de laatste datum, waarop een optie kan worden uitgeoefend. Looptijd - Het tijdsinterval tussen het schrijven van de optie en de expiratiedatum. Het uitoefenen van opties kan binnen een bepaalde periode of enkel op één moment. Indien ze enkel uitgeoefend kan worden aan het eind van de looptijd op de expiratiedatum worden ze Europese optie genoemd. Wanneer het mogelijk is de optie uit te oefenen of elk moment voor de expiratiedatum, dan worden ze Amerikaanse optie genoemd. Er worden drie situaties onderscheiden bij opties met betrekking tot de koers van de onderliggende waarde in verhouding met de uitoefenprijs. Figuur I.1 geeft de opbrengst van een optie weer. Dit is de waarde van de optie min de prijs van de optie. In-the-Money De koers van de onderliggende waarde is hoger (lager bij een put-optie) dan de uitoefenprijs van de call-optie. Het uitoefenen van deze optie levert geld op. At-the-Money De koers van de onderliggende waarde is exact gelijk aan de uitoefenprijs van de call-optie (of put-optie). Het uitoefenen van deze optie levert geen geld op. In figuur I.1 is dit bij de uitoefenprijs K. Out-of-the-Money De koers van de onderliggende waarde ligt lager (hoger bij een putoptie) dan de uitoefenrpijs, de call-optie heeft dan geen waarde. Het uitoefenen van deze optie zou geld kosten. Dat is niet verplicht, dus wordt de optie niet uitgeoefend en is hij waardeloos. 4

15 Figuur I.1: Winst/verlies van een optie met S de koers van de onderliggende waard en met K de uitoefenprijs I.0.2 Barrieroptie en Parijse optie Een Parijse optie is een exotische optie, een optie die complexe financiële structuren bevat in tegenstelling tot de standaard vanilla optie. Het is een type barrieroptie (van het Engelse barrier dat barrière betekent), een optie die pas kan worden uitgevoerd (of juist niet meer kan worden uitgevoerd) als de koers van de onderliggende waarde de vooraf vastgestelde barrière heeft aangeraakt. Er bestaan vier soorten barrieropties, de Up-and-Out, Up-and-In, Down-and-Out en Down-and-In optie. Bij een in-optie kan de optie alleen worden uitgevoerd na een knock-in. Een out-optie kan niet meer worden uitgevoerd na een knock out. Bij de Up-optie vindt er een knock-in of knock-out plaats, nadat er een excursie boven (up) de barrieère is geweest van een vooraf bepaalde lengte. En bij de Down-optie vindt er een knock-in of knock-out plaats, nadat er een excursie onder (down) de barrieère is geweest van een vooraf bepaalde lengte. Bij een standaard barrieroptie is deze lengte van de excursie niet van belang, het aanraken van de barrière is dan voldoende voor een knock-in dan wel een knock-out. Bij de Parijse optie moet de prijs van de onderliggende waarde wel boven of onder de barrière blijven voor een vooraf bepaalde periode, voordat de optie juist wel (of juist niet meer) uitgeoefend kan worden. Hierbij kan het vereist zijn dat de periode boven of onder de barrière aaneengesloten is voor de periode. 5

16 Het wel of niet meer kunnen uitoefenen van de optie na het raken of eronder/erboven blijven van de barrière wordt aangeduid met de volgende twee begrippen: knock-in - De optie kan uitgevoerd worden na de knock-in (bij Up-and-In- en bij Downand-In-opties). knock-out - De optie kan niet meer uitgevoerd worden na de knock-out (bij Up-and-Outen bij Down-and-Out-opties). Figuur I.2 laat zien wanneer een knock-out plaatsvindt bij een Up-and-Out barrieroptie en bij een Up-and-Out Parijse optie. In dit artikel zal enkel worden gekeken naar callopties. Bij de Parijse opties zullen de vier bovengenoemde typen worden beschreven, waarbij de periode boven of onder de barrière voor een knock-in of een knock-out aaneengesloten moet zijn. Figuur I.2: Knock-out bij een Parijse en standaard barrieroptie 6

17 II Prijsproces van de onderliggende waarde II.1 Geometrische Brownse beweging De koers van een aandeel of andere onderliggende waarde kan worden beschreven met een wiskundig model dat bekend is onder de naam Brownse beweging. In dit hoofdstuk wordt deze beweging afgeleid en beschreven. Het is belangrijk op te merken dat een Brownse beweging een continue beweging is. Voor het vinden van een model voor een aandeelprijs S, moet rekening worden gehouden met het volgende: Volatiliteit - De mate van bewegelijkheid van de koers van een onderliggende waarde. (Stochastische) Drift - De gemiddelde verandering in de tijd in een stochastisch proces. De drift wordt als µ geschreven. De volatiliteit als σ. De prijs van de onderliggende waarde is hier weergegeven als S in formulevorm geeft dit de volgende stochastische differentiaalvergelijking: ds = Sµdt + SσdW (t)) (II.1) Waarbij de stochast W(t) N(0,t). Om te kijken naar de relatieve verandering van de koers van de onderliggende waarde wordt de formule herschreven als: ds S Dit staat bekend als de Brownse beweging. = µdt + σdw (t) (II.2) Het oplossen van deze stochastische differentiaalvergelijking geeft: S(t) = s 0 e µt+σn(0,t) (II.3) Met het definiëren van N(t) N(µt, σt) kan dit worden geschreven als: S(t) = s 0 e N(t) (II.4) 7

18 II.1.1 Sprongen Als we stellen dat er ook sprongen kunnen plaatsvinden is deze beweging niet meer continu. Tussen twee sprongen in is de beweging natuurlijk nog wel steeds continu. Het aantal sprongen in de modellen in deze scriptie wordt gesteld als Poisson verdeeld met parameter λ. In figuur II.1 is een prijsproces van een onderliggende waarde met sprongen weergegeven. Figuur II.1: Enkele prijsprocessen met sprongen II.1.2 Rente In plaats van beleggen in opties kan men geld op de bank zetten. Voor het wiskundig model in deze scriptie wordt gesteld dat de bank een constante rente r geeft en er hierbij geen enkel risico is. Dus het plaatsen van een bedrag op de bank resulteert na verloop van tijd automatisch in een toename veroorzaakt door de rente. Het bedrag b 0 op tijdstip t = 0 resulteert dus in het bedrag b t op tijdstip t. De samengestelde interest is in formulevorm gegeven door: e rt d 0 = d t (II.5) Nu geldt andersom dat indien de optieprijs aan het eind van de looptijd bekend is, dit verdisconteerd dient te worden om de prijs op het moment van schrijven van de optie te verkrijgen, aangezien men het geïnvesteerde bedrag ook op de bank had kunnen zetten tegen de risicovrije rente. De waarde van de optie aan het begin van de looptijd moet dan ook worden vermenigvuldigd met de inverse van e rt, die e rt is. II.1.3 Risico-neutraal De verwachting van S(t) = s 0 e N(t) is gegeven door: s 0 e µt+ 1 2 σ2 (II.6) Voor de risico-neutrale prijsbepaling van opties moet de verwachting gelijk zijn aan de risicovrije rente. Dit in combinatie met de sprongen geeft een uitdrukking voor de drift: µ = r 1 2 σ2 + λ λe[j] (II.7) 8

19 III Algoritme van de standaard barrieroptie III.1 Monte-Carlomethode Voor het bepalen van de prijs van een optie wordt gebruik gemaakt van de Monte-Carlomethode. Deze bestaat eruit om aandeelpaden die onafhankelijk verdeeld zijn te simuleren, bij elk aandeelpad de waarde van de optie te berekenen en dan een gemiddelde nemen te van deze waarden om op een prijs uit te komen. De volgende formule geeft de methode weer voor het schatten van E[f(X)], waarbij X een aandeelpad is dat een Brownse beweging volgt met sprongen en waarbij f de functie is die de uitbetaling geeft bij een aandeelpad: 1 N N f(x i ) i=1 (III.1) Uit de wet van de grote aantallen volgt dat deze schatter van E[f(x i )] zuiver is id est de formule convergeert ) naar E[f(x i )] voor N. De centrale limietstelling geeft dat de fout dan N (0, σ2 N verdeeld is. III.2 Prijs van een Up-And-Out barrieroptie schatter De waarde van een Up-and-Out barrier calloptie (UOC) kan worden berekend met de formule: UOC = e rt E[(S(T) K) + 1 τb >T ] (III.2) Waarbij T= Expiratiedatum r= rente S(t)= De gesimuleerde prijs van de onderliggende waarde op tijdstip t 9

20 K= Uitoefenprijs τ B = inf{t > 0 : S(t) B} Het eerste tijdstip waarop S(t) groter of gelijk is aan de barrière Indien de prijs van de onderliggende waarde op twee tijdstippen onder de barrière ligt, is de kans bekend dat de koers van de onderliggende waarde in de tussentijd de barrière heeft aangeraakt. [7] Als X(t) een Brownse beweging is met drift µ, volatiliteit σ en met max(a, b) < c met a, b, c, R dan: ( ) (c a)(c b) P(u, c, a, b) P(sup(X(t) > c X(0) = a, X(u) = b) = exp 2 uσ 2 (III.3) Met X(t) de waarde van X op tijdstip t [0, u] [7] Indien de beginwaarde X(0) en de eindwaarde X(u) bekend zijn kan men dus de kans berekenen op dat X(t) het interval (0, u) boven de barrière is geweest. Het algoritme simuleert nu onafhankelijke prijsprocessen en geeft de bijbehorende uitbetaling. De Monte-Carlomethode geeft dan een schatting van de prijs van de optie gebaseerd op de verschillende prijsprocessen. Per prijsproces worden nu eerst het aantal sprongen en vervolgens de bijbehorende sprongtijden bepaald. Beginnend op tijdstip t = 0 met prijs van de onderliggende waarde S(0) = s 0 kan nu de prijs van de onderliggende op het moment van de eerstvolgende sprong (of het einde van de looptijd) t = JT 1 gesimuleerd worden met S(JT 1 ) = s 0 e N. Hierbij is N standaard normaal verdeeld met verwachting µjt 1 en met variantie σ 2 JT 1. Als de nieuwe prijs S(JT 1 ) boven de barrière ligt heeft er een knock-out plaatsgevonden en is de optie waardeloos geworden. Indien dat niet het geval is kan de kans worden bepaald dat de prijs van de onderliggende waarde toch de barrière heeft geraakt in tussenliggende tijd. Met een trekking uit de uniforme verdeling en deze kans wordt bepaald of de prijs van de onderliggende waarde inderdaad deze barrière heeft geraakt. Als dat het geval is, is de optie Out-of-the-Money. Indien dit niet zo is kan het algoritme worden herhaald tot aan het einde van de looptijd. Wanneer er tot op de expiratiedatum geen knock-out heeft plaatsgevonden wordt de optiewaarde behorend bij dit koersproces bepaald door: (S(T) K) + (III.4) Op de bijgevoegde cd is een implementatie van dit algoritme te vinden, de prijs van een Upand-Out barrieroptie met gekozen variabelen kan dan worden bepaald. 10

21 III.3 Gestratificeerde schatter prijs van een Up-And-Out barrieroptie Het stratificieren van deze schatter naar het aantal sprongen is mogelijk en dit kan variantiereductie geven en/of de rekentijd verkorten voor het verkrijgen van een even nauwkeurige schatter. Een gestratificeerd algortime onderscheidt drie gevallen voor het aantal sprongen N(T): Geval 1, Geen sprongen Geval 2, een m aantal sprongen Geval 3, meer dan m sprongen De verwachte opbrengst van de optie is dan gegeven door: E[UOC] = q m=0 = E[UOC N(T) = m]p m +E[UOC N(T) > q]p q (III.5) Met λt (λt)m P m = P(N(T) = m) = e m! P q = P(N(T) > q) De q moet zo gekozen worden dat P q klein genoeg is. Hier is q gekozen, zodat geldt: q λt + 3 λt (III.6) Het aantal onafhankelijke prijsprocessen dat gesimuleerd wordt voor de prijsbepaling van de optie is nu per sprongaantal (aantal P i ) afgerond op een geheel getal bij i sprongen. Waarbij aantal staat voor het totaal aantal runs voor de prijsbepaling van de optie. De Monte-Carlomethode geeft dan weer de uiteindelijke prijsbepaling gebaseerd op alle gesimuleerde onafhankelijke prijsprocessen. De simulatie bij de drie situaties die worden onderscheiden wordt nu nader verklaard. III.3.1 Geval 1, Geen sprongen In dit geval is de waarde van de optie analytisch te berekenen. Zoals beschreven door Rubinstein [10] geldt dan: UOC = s exp ((µ + σ 2 /2 r)t)((φ(d1) Φ(d2)) (B/s) (2(1+µ/σ2 )) (Φ(d3) Φ(d4))) K exp( rt)(φ(d5) Φ(d6)) (B/s) (2µ/σ2 )) (Φ(d7) Φ(d8)) (III.7) d5 = (ln(b/s 0 ) µt)/(σ T) d6 = (ln(k/s 0 ) µt)/(σ T) d1 = d5 σ T 11

22 d2 = d6 σ T d3 = d5 (2ln(B/s 0 ) + σ 2 T)/(σ T) d4 = d6 (2ln(B/s 0 ) + σ 2 T)/(σ T) d7 = d5 (2ln(B/s 0 ))/(σ T) d8 = d6 (2ln(B/s 0 ))/(σ T) Waarbij Φ de standaard normale distributie functie is. III.3.2 Geval 2, een m aantal sprongen Indien er wel sprongen zijn is de waarde niet analytisch te berekenen. De verwachting van UOC onder de voorwaarde dat er m sprongen zijn is hier: E m [UOC] = E[UOC N(T) = m] (III.8) Bij de simulatie hiervan wordt eerst de grootte van de m-sprongen, genoteerd als J m, gesimuleerd. Verder wordt J gedefinieerd als J = m n=1 J n De intrinsieke waarde van de optie is enkel positief (UOC > 0) indien K < S(T) < B. Er geldt daarom: E[UOC J] = E[UOC J, K < S(T) < B]P m (K < S(T) < B J) ( K = E[UOC J, K < S(T) < B]P J < S(T) < B ) J = E[UOC J, K < S(T) < B] Het is nu uit te rekenen wat [ ( ln( B Φ [ Φ s 0 J ) µt σ T ( ln( B s 0 J ) µt σ T ) Φ (III.9) ) ( ln( K s Φ 0 J ) µt )] σ T ( ln( K )] s 0 J ) µt σ is. Voor het berekenen van T E[UOC J, K < S(T) < B], worden eerst de sprongtijden JT berekend. Met JT i is de tijd behorend bij sprong i. Dit wordt gedaan door m keer onafhankelijk uniform te trekken uit [0, T]. Vervolgens worden de tijden geordend van laag naar hoog. Verder wordt JT 0 = 0 en JT m+1 = T gegeven. Dit geeft S(T) e X i = S(JT i) S(JT i 1 ) (III.10) m+1 S(T) = s 0 e i=1 X i (III.11) Alle X i s zijn onafhankelijke random variabelen met verwachting µ(jt i JT i 1 ) en met variantie σ 2 (JT i JT i 1 ) Definieer Y = m+1 X i, dan is de verwachting van Y gelijk aan µt en de variantie i=1 σ 2 T Verder is Y geconditioneerd. Het moet aan de voorwaarde voldoen, zodat K J < S(T) < B K B J. Dus Y moet tussen ln( s 0 J ) en ln( s 0 J ) liggen. Om dit te bewerkstelligen wordt eerst Y gegenereerd, waaruit vervolgens de X i s worden bepaald. Het volgende lemma maakt duidelijk hoe de X i s gekozen worden na het genereren van Y 12

23 Lemma 1. Laat X i met i = 1,..., n onafhankelijke normale random variabelen zijn. Met verwachting µ i en met variantie σ i. Definieer Y = n X i. Laat X1 de verdeling van X 1 hebben onder de voorwaarde Y = y. En laat voor i > 1, X i de verdeling van X i hebben on de voorwaarde X 1,...X i 1, dan X i is een normale random variabele met verwachting i=1 µ i + σ2 (Y i 1 j=1 X j n j=1 µ j ) nj=1 σ 2 j en met variantie σ 2 i ( 1 σ 2 i nj=1 σ 2 i ) Bewijs. De distributie van X i onder de voorwaarde: n i 1 X j = y X j j=1 j=1 Is gelijk aan de distributie van X i onder de voorwaarde X 1 = x 1,..., X i 1 = x i 1, Y = y Het lemma geldt nu, omdat de joint distributie van X i en van n X j bivariaat normaal is met correlatie σ i n j=1 σ2 j. Als Y bepaald is met verwachting µt en met variantie σ 2 T conditioneel op het feit dat het tussen ln(k/s 0 J) en ln(b/s 0 J) ligt. Dan kan nu met behulp van dit lemma, gegeven Y, de X 1 tot en met X m gegenereerd worden. Noteer Si = S i 1 e X i de waarde van S net voor de sprong en noteer S i = Si J i de prijs van de onderliggende waarde net na de sprong. Verder geldt S 0 = s 0. Indien niet alle waarden van Si en S i onder de barrière liggen is de waarde van de optie bij dit aandeelpad nul. Als deze waarden wel allen onder de barrière liggen moet nog worden gekeken of de barrière overschreden is tussen twee sprongen in. Dit is te berekenen met de formule gegeven bij III.3. Noteer met α n de conditionele kans dat de barrière niet is overschreden op het interval [JT i 1, JT i ] dan is de uitbetaling van het bijbehorende prijsproces gegeven door: j=1 e rt (S(T) K) + [Φ ( ln( B sj ) µt ) ( ln( K σ sj Φ ) µt )] m+1 T σ α n T n=1 (III.12) Merk hierbij op dat door term m+1 n=1 α n er eigenlijk niet één specifiek aandeelpad wordt gesimuleerd maar dat de optie met kans 1 m+1 n=1 α n waardeloos is en dus met nul vermenigvuldigd kan worden. En met de kans m+1 [ ( ) ( )] n=1 α n dat het de waarde e rt (S(T) K) + heeft. De factor ln( B ln( K Φ Φ is tot slot de kans waaronder het aandeelpad conditioneel sj ) µt σ T gesimuleerd is. sj ) µt σ T 13

24 III.3.3 Geval 3, meer dan m sprongen Om E[UOC N(T) > q] te simuleren, wordt per prijsproces het aantal sprongen Z uit de verdeling van het aantal sprongen getrokken onder de voorwaarde dat Z > q geldt. Vervolgens wordt de methode Geval 2 gevolgd met een Z aantal sprongen. Zo wordt E[UOC N(T) > q] geschat op basis van verschillende UOC onder de voorwaarde dat N(T) = Z voor Z die per prijsproces kan verschillen. 14

25 IV Verandering van de kansmaat Voor het berekenen van de raaktijd van de barrière evenals voor het berekenen van de exittijd, het moment waarop het prijsproces voor het laatst de waarde van de barrière heeft gehad, is het van belang dat de koers van de onderliggende waarde als een Brownse beweging zonder drift beschreven kan worden. Genoemde tijden zijn van belang voor het bepalen van de prijs van een Parijse optie. De hieronder beschreven verandering van de kansmaat zorgt ervoor dat de raaktijd en exittijd berekend kunnen worden aan de hand van een prijsproces zonder drift, hoewel het daadwerkelijke prijsproces wel drift vertoont. IV.1 Kansruimte Als (Ω, F,P) een kansruimte van een experiment is, dan is daar een kansmaat op te definiëren. Hierbij is Ω de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het experiment. Verder is de filtratie F gedefinieerd als de verzameling van alle mogelijke gebeurtenissen, waarbij een gebeurtenis een deelverzameling van Ω is. Er geldt dat F de structuur van een σ-algebra heeft. Tot slot is P een functie P : F [, ] Als het onderstaande bovendien geldt is dit een kansmaat: P(Ω) = 1 P( i=1 f i) = i=1 P(f i ) voor elke disjuncte rij f 1, f 2,... in F IV.2 Radon-Nikodym afgeleide De verwachting van een continue functie h(z) op de continue stochast Z gedefinieerd op kansruimte (Ω, F, Q) met kansdichtheidsfunctie g, geeft de volgende verwachting ten opzichte van kansmaat Q: E Q [h(z)] = h(z)g(z)dz met verdelingsfunctie Q(Z z) = z g(x)dx voor z R Een nieuwe kansmaat is nu te definiëren: [ ] f(z) f(z(k)) P(A) = E Q 1 A = g(z) g(z(k)) dq(k) (IV.1) k A 15

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e 1 Technische Universiteit Delft Fac. Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tussentoets Waarderen van Derivaten, Wi 3405TU Vrijdag november 01 9:00-11:00 ( uurs tentamen) 1. a. De koers van het aandeel

Nadere informatie

Het Browns algoritme voor prijsbepaling Parijse optie (Engelse titel: The Browns algorithm for pricing Parisian option)

Het Browns algoritme voor prijsbepaling Parijse optie (Engelse titel: The Browns algorithm for pricing Parisian option) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Het Browns algoritme voor prijsbepaling Parijse optie (Engelse titel: The Browns

Nadere informatie

LYNX Masterclass Opties handelen: de basis deel 1

LYNX Masterclass Opties handelen: de basis deel 1 LYNX Masterclass Opties handelen: de basis deel 1 Mede mogelijk gemaakt door TOM Tycho Schaaf 22 oktober 2015 Introductie Tycho Schaaf, beleggingsspecialist bij online broker LYNX Werkzaam bij LYNX vanaf

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

EXAMENVRAGEN OPTIES. 1. Een short put is:

EXAMENVRAGEN OPTIES. 1. Een short put is: EXAMENVRAGEN OPTIES 1. Een short put is: A. een verplichting om een onderliggende waarde tegen een specifieke prijs in een bepaalde B. een verplichting om een onderliggende waarde tegen een specifieke

Nadere informatie

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2DE18

Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/28 The delta functie Zij De eenheids impulsfunctie is: d ε (x) = { 1ε als ε 2 x ε 2 0 anders δ(x) = lim

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen

Nadere informatie

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers BASIC. Member of the KBC group. Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext.

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers BASIC. Member of the KBC group. Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. Brochure bestemd voor particuliere beleggers Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. p. 2 Index 1. Call en put opties 3 2. Koper en schrijver 4 3. Standaardisatie 5 Onderliggende

Nadere informatie

Het Heston model. Carlo Kuiper 27 augustus 2011. Bachelorscriptie. Begeleiding: dr. Peter Spreij

Het Heston model. Carlo Kuiper 27 augustus 2011. Bachelorscriptie. Begeleiding: dr. Peter Spreij Het Heston model Carlo Kuiper 27 augustus 2011 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Peter Spreij waarde 4 2 2 4 6 8 10 t 2 KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Nadere informatie

De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes

De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Verslag ten behoeve van

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Exposure vanuit optieposities

Exposure vanuit optieposities Exposure vanuit optieposities ABN AMRO is continue bezig haar dienstverlening op het gebied van beleggen te verbeteren. Eén van die verbeteringen betreft de vaststelling van de zogenaamde exposure (blootstelling)

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Optie strategieën. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Member of the KBC group

Optie strategieën. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Member of the KBC group Optie strategieën Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. p. 2 Index 1. Grafische voorstelling 4 2. Bull strategieën 5

Nadere informatie

OPTIES IN VOGELVLUCHT

OPTIES IN VOGELVLUCHT OPTIES IN VOGELVLUCHT Inleiding Deze brochure biedt een snelle, beknopte inleiding in de beginselen van opties. U leert wat een optie is, wat de kenmerken zijn van een optie en wat een belegger kan doen

Nadere informatie

OPTIE THEORIE. 1. Inleiding

OPTIE THEORIE. 1. Inleiding OPTIE THEORIE 1. Inleiding Het begrip aandeel is ongetwijfeld bij velen bekend. Je kunt op de financiële pagina van een willekeurige krant elke dag de aandelenkoersen van bekende en minder bekende ondernemingen

Nadere informatie

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur.

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Deze opdracht bestaat uit vier onderdelen; in elk onderdeel wordt gevraagd een Matlabprogramma te schrijven. De vier bijbehore bestanden stuur

Nadere informatie

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Member of the KBC group

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Member of the KBC group Brochure bestemd voor particuliere beleggers Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. p. 2 Index 1. Inleiding 3 2. Valutaopties 4 Twee valutaoptiecontracten 4 Waarom valutaopties

Nadere informatie

Van Cox-Ross-Rubinstein tot Black-Scholes

Van Cox-Ross-Rubinstein tot Black-Scholes Van Cox-Ross-Rubinstein tot Black-Scholes Peter Spreij Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Plantage Muidergracht 24 1018 TV Amsterdam spreij@science.uva.nl www.science.uva.nl/

Nadere informatie

AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options. 30 september 2010

AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options. 30 september 2010 AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options 30 september 2010 1 Agenda Huiswerk vorige keer Aandelen opties (H9) Optiestrategieën (H10) Vuistregels Volatility (H16) Binomiale boom (H11) 2 Optieprijs Welke

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Euronext.liffe. Inleiding Optiestrategieën

Euronext.liffe. Inleiding Optiestrategieën Euronext.liffe Inleiding Optiestrategieën Vooraf De inhoud van dit document is uitsluitend educatief van karakter. Voor advies dient u contact op te nemen met uw bank of broker. Het is verstandig alvorens

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke

Nadere informatie

Wat is een optie waard?

Wat is een optie waard? Hoofdstuk III Wat is een optie waard? Herold Dehling 1. Inleiding In het najaar van 1997 werd de Nobelprijs voor Economie uitgereikt aan de Amerikaanse hoogleraren Robert C. Merton en Myron S. Scholes

Nadere informatie

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Een onderneming van de KBC-groep

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Een onderneming van de KBC-groep Brochure bestemd voor particuliere beleggers Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. p. 2 Index 1. Inleiding 3 2. Valutaopties 4 Drie valutaoptiecontracten 4 Waarom valutaopties

Nadere informatie

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model)

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Verslag ten

Nadere informatie

Optie strategieën. Brochure bestemd voor particuliere beleggers BASIC. Member of the KBC group

Optie strategieën. Brochure bestemd voor particuliere beleggers BASIC. Member of the KBC group Optie strategieën Brochure bestemd voor particuliere beleggers Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. p. 2 Index 1. Basisstrategieën 2 2. Voorbeelden van toepassingen 2 3. Grafische

Nadere informatie

AEX-Sparen: sparen en beleggen in één (AEX-Sparen: a combination of saving and investing)

AEX-Sparen: sparen en beleggen in één (AEX-Sparen: a combination of saving and investing) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics AEX-Sparen: sparen en beleggen in één (AEX-Sparen: a combination of saving and investing)

Nadere informatie

Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics

Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics Vraag 1 Stel dat je 10 aandelen Fortis in portfolio hebt, elk aandeel met een huidige waarde van 31 per aandeel. Fortis beslist om een deel van haar

Nadere informatie

Appendices. Beleggen en financiële markten

Appendices. Beleggen en financiële markten Appendices bij Beleggen en financiële markten 4 e druk 2013 Hans Buunk 2014 Sdu Uitgevers, Den Haag Academic Service is een imprint van BIM Media bv. Deze publicatie behoort bij Titel: Beleggen en financiële

Nadere informatie

Aandelenopties in woord en beeld

Aandelenopties in woord en beeld Aandelenopties in woord en beeld 2 Aandelenopties in woord en beeld 1 In deze brochure gaan we het hebben over aandelenopties zoals die worden verhandeld op de optiebeurs van Euronext. Maar wat zijn dat

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de

Nadere informatie

The Midas Formula THE MIDAS FORMULA. Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk

The Midas Formula THE MIDAS FORMULA. Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk THE MIDAS FORMULA Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk 1 The Midas Formula Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk. Profielwerkstuk

Nadere informatie

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke Javiér Sijen Janine Sinke Griepepidemie Modelleren B Om de uitbraak van een epidemie te voorspellen, wordt de verspreiding van een griepvirus gemodelleerd. Hierbij wordt zowel een detailbenadering als

Nadere informatie

Wij willen u graag helpen bij het vergroten van uw kennis over de beurs en haar producten!

Wij willen u graag helpen bij het vergroten van uw kennis over de beurs en haar producten! Lesbrief opties Inleiding Door uw investering in het bestuderen van deze lesbrief vergroot u uw kennis over de mogelijkheden die opties bieden. Het rendement daarvan kan zijn dat u mogelijk een rol ziet

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

Convexe Analyse en Optimalisering

Convexe Analyse en Optimalisering Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,

Nadere informatie

Maatschappelijke kosten-batenanalyse Waterveiligheid 21e eeuw. Bijlage E: Methode kostentoedeling

Maatschappelijke kosten-batenanalyse Waterveiligheid 21e eeuw. Bijlage E: Methode kostentoedeling Maatschappelijke kosten-batenanalyse Waterveiligheid 21e eeuw Bijlage E: Methode Maatschappelijke kosten-batenanalyse Waterveiligheid 21e eeuw Bijlage E: Methode Jarl Kind Carlijn Bak 1204144-006 Deltares,

Nadere informatie

1. De optie theorie een korte kennismaking

1. De optie theorie een korte kennismaking 1. De optie theorie een korte kennismaking 1.1 Terminologie Een optie is een recht. Een recht om iets te kopen of verkopen. Dit recht kan worden verkregen tegen betaling van een bedrag in geld: de optiepremie.

Nadere informatie

Het prijzen en hedgen van opties met Lévy processen (Engelse titel: Pricing and hedging options under Lévy processes)

Het prijzen en hedgen van opties met Lévy processen (Engelse titel: Pricing and hedging options under Lévy processes) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Het prijzen en hedgen van opties met Lévy processen (Engelse titel: Pricing and hedging

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Mathematisch Instituut 333 CA Leiden Tentamen Inleiding Kansrekening augustus,. 3. uur Docent: F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische) rekenmachine

Nadere informatie

AG8! Derivatentheorie Les3! Swaps & options. 23 september 2010

AG8! Derivatentheorie Les3! Swaps & options. 23 september 2010 AG8! Derivatentheorie Les3! Swaps & options 23 september 2010 1 Agenda Huiswerk vorige keer Swaps (H7 1 t/m 4) Optie markt (H8) 2 Interest Rate Swaps Een interest rate swap (IRS) is een financieel contract

Nadere informatie

Het beleggingssysteem van Second Stage

Het beleggingssysteem van Second Stage Het beleggingssysteem van Second Stage Hoewel we regelmatig maar dan op zeer beperkte schaal (niet meer dan vijf procent van het kapitaal) - zeer kortlopende transacties doen, op geanticipeerde koersbewegingen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Optie-Grieken 21 juni 2013. Vragen? Mail naar

Optie-Grieken 21 juni 2013. Vragen? Mail naar Optie-Grieken 21 juni 2013 Vragen? Mail naar training@cashflowopties.com Optie-Grieken Waarom zijn de grieken belangrijk? Mijn allereerste doel is steeds kapitaalbehoud. Het is even belangrijk om afscheid

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 compex vwo 2008-I

Eindexamen wiskunde A1-2 compex vwo 2008-I Eindexamen wiskunde A-2 compex vwo 2008-I Beoordelingsmodel Tennisballen maximumscore 4 De diameter moet liggen tussen 2,575 en 2,700 inch Beschrijven hoe met de GR de bijbehorende kans kan worden berekend

Nadere informatie

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van

Nadere informatie

voorwaarden opties Informatie Beleggen November 2011 november 2011

voorwaarden opties Informatie Beleggen November 2011 november 2011 voorwaarden opties Informatie Beleggen november 2011 ABN AMROABN AMRO Voorwaarden Opties ABN AMRO Opties ABN AMRO De Voorwaarden Opties ABN AMRO bestaan uit de Voorwaarden Opties en de Voorwaarden Opties

Nadere informatie

Optie waardering: In vergelijking met

Optie waardering: In vergelijking met Black-Scholes model Optie waardering: In vergelijking met Neurale Netwerken Erasmus Universiteit Rotterdam Sectie Economie Bachelorthesis Door Randy van Hoek 66789 Onder begeleiding van dr. ir. J. van

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamenopgaven Statistiek 2DD71: UITWERKINGEN 1. Stroopwafels a De som S van de 12 gewichten is X 1 + X 2 + + X 12. Deze is normaal

Nadere informatie

VEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN

VEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN VEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN 4 Soorten berekeningen 12 AUGUSTUS 2013 IR. PAUL DURLINGER Durlinger Consultancy Management Summary In dit paper worden vier methoden behandeld om veiligheidsvoorraden te

Nadere informatie

SOFTWARE RELIABILITY

SOFTWARE RELIABILITY SOFTWARE RELIABILITY 1. Inleiding Het software-bedrijf MathWorks ontwikkelt wiskundige software voor bedrijven en overheidsinstellingen. Op dit moment is de software voor het statistische pakket StatWorks

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................

Nadere informatie

Europese Callopties. Arald de Wilde. ardwilde@cs.vu.nl. BWI-werkstuk

Europese Callopties. Arald de Wilde. ardwilde@cs.vu.nl. BWI-werkstuk Europese Callopties Arald de Wilde ardwilde@cs.vu.nl BWI-werkstuk Vrije Universiteit Faculteit der Exacte Wetenschappen Bedrijfswiskunde en Informatica De Boelelaan 1081a 1081 HV Amsterdam Juli 2006 Voorwoord

Nadere informatie

Wiskunde B - Tentamen 2

Wiskunde B - Tentamen 2 Wiskunde B - Tentamen Tentamen van Wiskunde B voor CiT (57) Donderdag 4 april 005 van 900 tot 00 uur Dit tentamen bestaat uit 8 opgaven, 3 tabellen en formulebladen Vermeld ook je studentnummer op je werk

Nadere informatie

Durft u het risico aan?

Durft u het risico aan? Durft u het risico aan? Hoe het uitkeringspercentage van de vernieuwde Nederlandse Lotto te schatten? Ton Dieker en Henk Tijms De Lotto is in Nederland een grote speler op de kansspelmarkt. Met onderdelen

Nadere informatie

Formules Excel Bedrijfsstatistiek

Formules Excel Bedrijfsstatistiek Formules Excel Bedrijfsstatistiek Hoofdstuk 2 Data en hun voorstelling AANTAL.ALS vb: AANTAL.ALS(A1 :B6,H1) Telt hoeveel keer (frequentie) de waarde die in H1 zit in A1:B6 voorkomt. Vooral bedoeld voor

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 Wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet

Nadere informatie

Informatiebrochure opties

Informatiebrochure opties Informatiebrochure opties Inleiding In deze brochure wordt bondig de werking van opties toegelicht en wordt er stilgestaan bij de mogelijke risico s die verbonden zijn aan het handelen in opties. Het lexicon

Nadere informatie

Het verhaal van de financiële staart Jan Beirlant, Goedele Dierckx Universitair Centrum voor Statistiek en Departement Wiskunde, KULeuven

Het verhaal van de financiële staart Jan Beirlant, Goedele Dierckx Universitair Centrum voor Statistiek en Departement Wiskunde, KULeuven Het verhaal van de financiële staart Jan Beirlant, Goedele Dierckx Universitair Centrum voor Statistiek en Departement Wiskunde, KULeuven In het secundair onderwijs wordt de 8-uur wiskunde nauwelijks nog

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Fiscale regels voor optieplannen

Fiscale regels voor optieplannen Tijdschrift voor Economie en Management Vol. XLIV, 1,1999 Fiscale regels voor optieplannen door P. SERCU* en C. VAN I-IULLE* I. INLEIDING Een executive oytionplan (EOP) voorziet in liet toekennen van opties

Nadere informatie

FX Derivatives. Valutaoptie. ING Financial Markets

FX Derivatives. Valutaoptie. ING Financial Markets FX Derivatives Valutaoptie ING Financial Markets Inhoud Algemene Informatie... 1 Productbeschrijving... 1 Belangrijkste productkenmerken... 1 Voordelen... 2 Risico s... 2 Optiepremie... 2 Kosten... 3 Voorbeeld

Nadere informatie

Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode

Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode Verslag Computational Physics Sietze van Buuren Begeleider: Prof.Dr. H. de Raedt 29 december 25 Samenvatting

Nadere informatie

Welke soorten beleggingen zijn er?

Welke soorten beleggingen zijn er? Welke soorten beleggingen zijn er? Je kunt op verschillende manieren je geld beleggen. Hier lees je welke manieren consumenten het meest gebruiken. Ook vertellen we wat de belangrijkste eigenschappen van

Nadere informatie

Proefles webklas Wiskunde. Universiteit van Amsterdam September 2002

Proefles webklas Wiskunde. Universiteit van Amsterdam September 2002 Proefles webklas Wiskunde Universiteit van Amsterdam September 2002 1 Inleiding Deze proefles van de webklas Wiskunde behandelt hetzelfde onderwerp als de echte webklas, alleen in een veel eenvoudiger

Nadere informatie

20 Maart : Risk reversal en verticals

20 Maart : Risk reversal en verticals Welkom bij de starters coachingclub! 20 Maart : Risk reversal en verticals Vragen? Mail naar training@cashflowopties.com Piet @ Chicago CBOE @ Chicago Today DAL : DELTA Airlines DAL steeg reeds 43 percent

Nadere informatie

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2.

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2. Het M/G/1 model In veel toepassingen is de aanname van exponentiële bedieningstijden niet realistisch (denk bijv. aan produktietijden). Daarom zullen we nu naar het model kijken met willekeurig verdeelde

Nadere informatie

Faculteit Wetenschappen. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica. De Fear Index. Joachim Hendrickx. Promotor: Prof. dr. D.

Faculteit Wetenschappen. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica. De Fear Index. Joachim Hendrickx. Promotor: Prof. dr. D. Faculteit Wetenschappen Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica De Fear Index Joachim Hendrickx Promotor: Prof. dr. D. Vyncke Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master

Nadere informatie

Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres. Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004

Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres. Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004 Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004 1 Inhoudsopgave 1 Thermaliseren 2 2 Waarde van λ max 2 3 Integreren

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni 13.3 16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal zijn 88 punten te behalen; het examen bestaat

Nadere informatie

Klimaat voor AAS. A. Smits (Ilja)

Klimaat voor AAS. A. Smits (Ilja) (Ilja) KNMI, WM/KD Postbus 201, 3730 AE De Bilt Tel: 030-2206874, Fax: 030-2210407 E-mail: Ilja.Smits@knmi.nl Datum: 2 augustus 2001 . Inhoud: Samenvatting... 2 1 Inleiding... 4 2 Aanpak... 5 2.1 Grenspercentage...

Nadere informatie

Putoptie. 1Productinformatie!

Putoptie. 1Productinformatie! Putoptie 1Productinformatie! Een valutatransactie is een overeenkomst tussen twee partijen om een afgesproken hoeveelheid van één valuta te ruilen tegen een afgesproken hoeveelheid van één andere valuta.

Nadere informatie

LYNX Masterclass: Opties handelen: handelsstrategieën deel 3. Tycho Schaaf 5 november 2015

LYNX Masterclass: Opties handelen: handelsstrategieën deel 3. Tycho Schaaf 5 november 2015 LYNX Masterclass: Opties handelen: handelsstrategieën deel 3 Tycho Schaaf 5 november 2015 Introductie Tycho Schaaf, beleggingsspecialist bij online broker LYNX Werkzaam bij LYNX vanaf 2007 Handelservaring

Nadere informatie

European Forward Extra

European Forward Extra European Forward Extra 1Productinformatie! Een valutatransactie is een overeenkomst tussen twee partijen om een afgesproken hoeveelheid van één valuta te ruilen tegen een afgesproken hoeveelheid van één

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1

Examen VWO. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 21 juni 13.30 16.30 uur 20 06 Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis. HET POISSON PROCES In veel praktische toepassingen kan het aaankomstproces van personen, orders,..., gemodelleerd worden door een zogenaamd Poisson proces. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson

Nadere informatie

EVALUATIE VAN RISICOMAATSTAVEN

EVALUATIE VAN RISICOMAATSTAVEN EVALUATIE VAN RISICOMAATSTAVEN Anti-VaR T.R. Bank 1114271 trbank@few.vu.nl Bedrijfswiskunde & Informatica April 2007 vrije Universiteit amsterdam INTENTIONALLY LEFT BLANK Voorwoord Aan het eind van de

Nadere informatie

Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst?

Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst? Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst? dr. H.P. Lopuhaä UHD Statistiek Opleiding Technische Wiskunde Faculteit Informatietechnologie & Systemen Technische Universiteit

Nadere informatie

Voorwaarden derivaten

Voorwaarden derivaten Voorwaarden derivaten 2 Artikel 1. Toepasselijkheid en definities 1.1 Deze voorwaarden regelen, in aanvulling op de Voorwaarden voor Beleggingsdienstverlening, de verhouding tussen Kempen & Co en Cliënt

Nadere informatie

I. Vraag en aanbod. Grafisch denken over micro-economische onderwerpen 1 / 6. fig. 1a. fig. 1c. fig. 1b P 4 P 1 P 2 P 3. Q a Q 1 Q 2.

I. Vraag en aanbod. Grafisch denken over micro-economische onderwerpen 1 / 6. fig. 1a. fig. 1c. fig. 1b P 4 P 1 P 2 P 3. Q a Q 1 Q 2. 1 / 6 I. Vraag en aanbod 1 2 fig. 1a 1 2 fig. 1b 4 4 e fig. 1c f _hoog _evenwicht _laag Q 1 Q 2 Qv Figuur 1 laat een collectieve vraaglijn zien. Een punt op de lijn geeft een bepaalde combinatie van de

Nadere informatie

voor uw Short Strangle Optiestrategie Hoog rendement bij neutrale markten

voor uw Short Strangle Optiestrategie Hoog rendement bij neutrale markten 7 De Tips voor uw Short Strangle Optiestrategie Hoog rendement bij neutrale markten Colofon Copyright 2013 FINODEX B.V. De 7 Tips voor uw Short Strangle Optiestrategie Hoog rendement bij neutrale markten.

Nadere informatie

R.B. Kappetein. Callcenters. Bachelorscriptie, 5 juli 2011. Scriptiebegeleider: Dr. F.M. Spieksma. Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden

R.B. Kappetein. Callcenters. Bachelorscriptie, 5 juli 2011. Scriptiebegeleider: Dr. F.M. Spieksma. Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden R.B. Kappetein Callcenters Bachelorscriptie, 5 juli 2011 Scriptiebegeleider: Dr. F.M. Spieksma Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding: callcenters met ongeduldige klanten

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 1 Dinsdag 14 September 1 / 34 Literatuur http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma,

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2004-I Bevolkingsgroei Begin jaren negentig verscheen in NRC Handelsblad een artikel over de bevolkingsgroei en de gevolgen van deze groei. Bij dit artikel werden onder andere de onderstaande figuren 1A, 1B,

Nadere informatie

Samenvatting (Summary in Dutch)

Samenvatting (Summary in Dutch) Samenvatting (Summary in Dutch) In dit proefschrift ontwikkel ik enige kwantitatieve methoden die gebruikt kunnen worden bij het nanciële risicomanagement van in de eerste plaats een levensverzekeraar

Nadere informatie

Handleiding. Opties. werkwijze en procedures 6.0015.58 (12-12-2013)

Handleiding. Opties. werkwijze en procedures 6.0015.58 (12-12-2013) Handleiding Opties werkwijze en procedures 6.0015.58 (12-12-2013) 1 Inhoud 1 Inleiding 2 2 Handelen in opties 2 2.1 Wat is een optie 2 2.2 Het kopen of schrijven (verkopen) van opties 2 2.3 Marginverplichting

Nadere informatie

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren

Nadere informatie

Cylinder. 1Productinformatie!

Cylinder. 1Productinformatie! Cylinder 1Productinformatie! Een valutatransactie is een overeenkomst tussen twee partijen om een afgesproken hoeveelheid van één valuta te ruilen tegen een afgesproken hoeveelheid van één andere valuta.

Nadere informatie

Participating Forward

Participating Forward Participating Forward 1Productinformatie! Een valutatransactie is een overeenkomst tussen twee partijen om een afgesproken hoeveelheid van één valuta te ruilen tegen een afgesproken hoeveelheid van één

Nadere informatie

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten... 1 2 Werken met indexcijfers... 3 3 Grafieken maken en lezen... 5 4a Tweedegraads functie: de parabool...

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie