Zeldzame en extreme gebeurtenissen

Transcriptie

1 Zeldzame en extreme gebeurtenissen Ruud H. Koning 19 March 29 Outline 1 Extreme gebeurtenissen 2 3 Staarten 4 Het maximum 5 Kwantielen Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 2 / 37

2 Extreme gebeurtenissen Vijf grootste rampen (verzekerd kapitaal) 1 Orkaan Katrina (25). 2 Orkaan Andrew (1992) 3 11 sep 21 (WTC). 4 Northridge aardbeving (1994). 5 Orkaan Ike (28). Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 3 / 37 Extreme gebeurtenissen Vijf grootste rampen (verzekerd kapitaal) 6 verlies (U$ 1e6) datum Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 4 / 37

3 Extreme gebeurtenissen Vijf grootste rampen (verzekerd kapitaal) 6 slachtoffers verlies (U$ 1e6) Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 5 / 37 Extreme gebeurtenissen Vijf grootste rampen (mensenlevens) 1 Overstromingen Bangladesh (197) (3). 2 Aardbeving China (1976) (255). 3 Tsunami Indonesia, Thailand (24) (22). 4 Cycloon Nargis Myanmar (28) (138). 5 Cycloon Gorky Bangladesh (1991) (138). (Gegevens uit Sigma (29-2), Swiss Re) Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 6 / 37

4 Extreme gebeurtenissen Aandelen: S&P SP datum Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 7 / 37 Aandelen: S&P5 Extreme gebeurtenissen.1 dag return SP datum Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 8 / 37

5 Extreme gebeurtenissen Aandelen: S&P5.1 dag return SP datum Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 9 / 37 Extreme gebeurtenissen Wiskunde, statistiek en extremen Waarnemingen zijn uitkomsten van een (vaak impliciet) kansexperiment. Weinig empirische informatie (gelukkig maar!). Extrapoleer vanuit waarnemingen, gebaseerd op theorie. Vandaag: maximum en hoog kwantiel. Opzet: waarnemingen X 1,...,X n zijn waarnemingen met een bepaalde kansverdeling F (x). We willen graag uitspraken doen over M n =max(x 1,...,X n ) (denk aan dijkhoogte). Ook willen we graag iets kunnen zeggen over q p in Pr(X apple q p )=F (q p )=1 p met p dicht bij. Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 1 / 37

6 Beschouw het volgende kansexperiment: gooi n keer met een dobbelsteen en noteer het gemiddeld aantal ogen. X n = 1 n X Xi, ook X n is een toevalsvariabele, met een kansverdeling. X i is uniform verdeeld op 1,...,6. n =1 x Pr( X 1 = x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 n =2 x Pr( X 2 = x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 x Pr( X 2 = x) 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37 n= kans gemiddelde Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37

7 n=2.15 kans gemiddelde Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37 n=5.1.8 kans gemiddelde Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37

8 n=1.6 kans gemiddelde Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37 Als n toeneemt, convergeert verdeling van X n naar een normale verdeling. Is dit toeval? Volgende experiment: exponentiële verdeling. Pr(X apple x) =1 exp( x). (parameter = 1). Wachttijden. X n = 1 n X Xi, maar nu is X continu, dus histogram in plaats van discrete kansverdeling. Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37

9 exponentiele verdeling, n=1 4 3 kans gemiddelde Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37 exponentiele verdeling, n= kans gemiddelde Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37

10 exponentiele verdeling, n= kans gemiddelde Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37 exponentiele verdeling, n= kans gemiddelde Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 2 / 37

11 exponentiele verdeling 5 1 n=1 n=5 kans n=1 n= gemiddelde Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37 Centrale limietstelling Als X 1,...,X n onderling onafhankelijk zijn, met eindige verwachting µ en eindige variantie 2,dan X n µ / p n = X n a n asy N(, 1). b n Met andere woorden: we hoeven niet zo veel te weten over de verdeling van X om toch iets te kunnen zeggen over de verdeling van X n. Let op: de centrering µ hangt niet van n af, de schaling / p n wel. Kunnen we iets vergelijkbaars afleiden voor de verdeling van het maximum M n =max(x 1,...,X n )? Wat is het maximum in het dobbelsteenvoorbeeld? Wat is het maximum in het wachttijdenvoorbeeld? Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37

12 Staarten Gemiddelde? Verrassing en grote impact. Extrapolatie normale verdeling fout, dikke staarten. Onbekende onbekenden. Maak systemen robuust tegen onverwachte, negatieve gebeurtenissen. Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37 Staarten Dunne staarten en dikke staarten Verliesmodel: S(t) =X X N(t). Start met kapitaal u en vraag premie c, dan is kapitaal op tijdstip t U(t) =u + ct S(t). Als nu dan Ee hx < 1, < h < h Pr(U(t) < ) apple e ku. (k > ). Kapitaal is een erg machtig middel om ruïne kans te beperken: verdubbel kapitaal, kwadrateer kans op ruïne. Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37

13 Staarten Dunne staarten en dikke staarten Praktijk: Ee hx < 1, < h < h geldt vaak niet! Gaat de staart van de kansverdeling exponentieel naar of niet? Dikstaartige verdelingen (Pareto): (wet van behoud van ellende). (rampen bepalen totaalresultaat). Pr(X > x + y X > x)! 1, x!1. Pr(S n x) Pr(M n x), x!1. Pr(U(t) < ) (1 + u) +1. Kwalitatief verschil: kans op ruïne gaat polynomiaal naar. Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37 Kansverdeling maximum Het maximum Algemeen raamwerk: X 1,...,X n onderling onafhankelijk en identiek verdeeld. Pr(M n apple x) =Pr(X 1 apple x,...,x n apple x) =Pr(X 1 apple x) Pr(X n apple x) =F n (x). Dus: lim Pr(M n apple x)= n!1 ( F (x) < 1 1 F (x) =1. Dit werkt niet, maar de verdeling van X n is ook niet goed bepaald als de steekproef onbeperkt toeneemt. Laten we kijken naar M n c n Pr apple x dus we centreren en schalen. d n Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37

14 Kansverdeling maximum Het maximum Voorbeeld: X 1,...,X n Exp(1): Pr(X apple x) =1 exp( x). Kies c n = log n en d n =1(voorkennis). Dan: Pr(M n log n apple x) =Pr(M n apple x + log n) =F n (x + log n) = 1 e x log n n e x n = 1 n Dus want lim Pr(M n log n apple x) = lim 1 n!1 n!1 lim 1 n!1 t n = e t. n e x n n = e e x, Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37 Kansverdeling maximum Het maximum Voorbeeld: X 1,...,X n Pareto verdeeld, X 1: Pr(X apple x) =1 x. ( >). Polynomiale staart, geen exponentiële staart. Kies c n = n 1/ en d n =. Dan: Pr(n 1/ M n apple x) =Pr(M n apple n 1/ x)=f n (n 1/ x) n 1 x n = 1 = 1 n 1/ x n! e x. Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37

15 Kansverdeling maximum Het maximum Als er reeksen c n en d n bestaan zodat lim Pr(M n c n )/d n apple x) =G(x), n!1 met G een nette verdeling, dan is G van de vorm ) 1/ x µ G(x) =exp( apple 1+. Gegeneraliseerde extreme waarde verdeling. Vergelijkbare rol als normale verdeling voor gemiddelde. Dus we kunnen iets zeggen over extremen in een steekproef. Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37 Laurens de Haan Het maximum Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 3 / 37

16 Kwantielen Kwantielen: hoe erg kan het worden Vaak willen we dingen weten als: Welk verlies wordt met kans 1% overschreden? Hoe hoog moeten de dijken zijn zodat ze eens in de 1 jaren worden overspoeld? Hoeveel verlies kunnen we verwachten als een hoog verlies wordt overschreden? Allemaal vragen die te maken hebben met de staart van de kansverdeling, met kwantielen: Pr(X apple q p )=F (q p )=1 p, met p dicht bij. Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37 Kwantielen Kwantielen: eenvoudige aanpak We gaan q p schatten. Verzamel gegevens X 1,...,X n. Orden P gegevens en zoek juiste kwantiel zodat 1 n i I ( 1,q p ](X i )=1 p. Probleem: n = 1 en 1 p =.999. Schat parameters van de kansverdeling, ˆ. ˆq p = F 1 (1 p; ˆ ). Probleem: hoe goed wordt de staart gemodelleerd? Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37

17 Kwantielen Kwantielen: moeilijke aanpak Theorie: we kijken naar Pr(X > x + u X > u), dus exceedances over a high level, ook wel POT. 6 verlies (U$ 1e6) datum Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37 Kwantielen Kwantielen: moeilijke aanpak Als er een nette verdeling voor de overschrijdingen bestaat, geldt Pr(X apple u + x X > u) / (x + u). (u) (u hoog genoeg). Gegeneraliseerde Pareto verdeling. grootheid verdeling X n normale verdeling M n gegeneraliseerde extreme waarde verdeling X u X > u gegeneraliseerde Pareto verdeling Gebruik dit theoretische model om een hoog kwantiel te schatten: " Pr(X q p = u+ > u) 1#. p (hoge) afkapgrens plus extrapolatie van staart. Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37

18 Kwantielen Kwantielen: voorbeeld I Bekende eigenschap van de exponentiële verdeling: geen geheugen. Inderdaad: Pr(X > x + u X > u) = = = e Pr(X > x + u) Pr(X > u) x =Pr(X > x). Pr(X > x + u, X > u) Pr(X > u) = e (x+u) e (u) De verdeling van X gegeven X > u is dezelfde als de verdeling van X zelf. Deze verdeling is inderdaad limietgeval van GPD, met!. Hoog kwantiel: Pr(X > u) q p = u + log. p Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37 Kwantielen: toepassing Kwantielen S& P rendementen vanaf 198. Gebruik alleen 2 om schatting te maken van kwantiel. p =.1, dus we willen het 99.9e percentiel weten. 252 waarnemingen. Verliezen, dus negatieve rendementen..1 dag return SP datum Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37

19 Kwantielen Kwantielen: toepassing Empirische 99e percentiel:.38. Normale benadering: µ + 1 (.999) = GPD, u = q.9 dus Pr(X > u) =.1, ˆ =.34, ˆ =.415. Dan " Pr(X q p = u + > u) 1#.653. p 195 tot en met 9 april 29: handelsdagen. Empirisch 99.9e percentiel:.585. Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March / 37