Deel A Clculus Anbevolen ctergrondlitertuur met veel opgven (en oplossingen): Frnk Ayres: (Scum s Outline of Teory nd Problems of) Clculus. McGrw-Hill Compnies, 999, 578 p., ISBN: 749736. Micel Spivk: Clculus. Addison Wesley World Student Series, 967, 588 p., ISBN: 853935.
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 Les Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid erlen we voor de meest belngrijke begrippen de definities. We zullen ons beperken tot reële functies, dus functies die op (een deel vn) de reële getllen gedefinieerd zijn.. Functies Een reële functie is een voorscrift dt n ieder element D vn een deelverzmeling D R een functiewrde f() R toewijst. We noemen D et domein vn de functie f en de verzmeling {f() D} vn lle functiewrden et bereik vn de functie f. Merk op dt we ier nog niets over de structuur vn et domein D ebben geëist, dit kn inderdd een willekeurige deelverzmeling vn R zijn. Belngrijke voorbeelden zijn: (i) lle reële getllen, dus D = R, (ii) lle reële getllen belve één, bijvoorbeeld R \ {}, (iii) intervllen, ierbij ondersceiden we: () fgesloten intervllen zols D = [, ] := { R }, (b) open intervllen zols D = (, ) := { R < < }, (c) lfopen intervllen zols D = (, ] := { R < }, (iv) de vereniging vn (fgesloten, open of lfopen) intervllen. Een specil type vn lfopen intervllen zijn intervllen die in een ricting onbegrensd zijn. Een voorbeeld iervoor zijn de niet-negtieve reële getllen D = { R }. Deze worden vk met D = [, ) genoteerd. Er zijn ecter ook rre domeinen mogelijk, bijvoorbeeld D = {+b, b Q}. Dit is (net ls de rtionle getllen Q) een deelverzmeling vn R wr tussen elk pr vn punten uit D overftelbr veel punten uit R liggen die niet in D bevt zijn. An de ndere knt liggen de punten vn Q willekeurig dict bij elkr, dus geldt dit ook voor D. Dit soort rre domeinen komen we in de prktijk zelden tegen, mr ze zijn in de wiskunde belngrijk om de fundmentele begrippen zuiver te definiëren. Een functie f wordt bescreven door zijn domein D en een fbeeldingsvoorscrift, dt zegt oe je n een D zijn functiewrde f() toewijst. Dit wordt vk gescreven ls f : D R, y ls y de wrde vn f in et punt is, dus ls y = f() geldt. Hier zijn een pr voorbeelden vn functies, die lten zien dt et soms om redelijk gekke dingen gt: (i) D = R, f :, 4
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 (ii) D = R, f() := (dit eet soms ook de signumfunctie), ls < ls = ls > (iii) D = R, f() := { ls Q ls R \ Q (iv) D = R \ {, }, f : 3+ nooit nul wordt), (merk op dt voor D de noemer (v) D = R \ {n π n Z}, f : sin(), 8 y 6 4 8 6 4 4 6 8 4 6 8 Figuur A.: f() := sin() (vi) D = R, f() := n ls n et ntl vn 7en in de decimle ontwikkeling vn is en f() := π ls er oneindig veel 7en in de decimle ontwikkeling zitten. Om ingewikkeldere functies te bouwen, worden vk eenvoudigere functies gecombineerd. Hierbij wordt belve vn et optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen vn functies ook de smenstelling vn functies gebruikt. Voor een functie f met domein D f en bereik B f en een functie g met domein D g wrvoor D g B f geldt, definiëren we de smengestelde functie g f met domein D f door g f : D f R, g(f()). Bijvoorbeeld kunnen we de functie f : R R, + bescrijven ls f = g met : R R, en g : R R, +, mr ook door f = g met : R R, + en g : R R, en zelfs door f = g 3 g met g 3 : R R, +. Merk op dt = g 3 en g = g 3 g, dus is ( g 3 ) g = (g 3 g ). Omdt ook in et lgemeen geldt dt de smenstelling vn functies ssocitief 5
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 is, d.w.z. dt ( g) f = (g f), oeven we in de smenstelling vn drie of meer functies niet op kjes te letten. Om een vergelijking f() = y nr op te lossen, moeten we bij een functie f een punt vinden die een gegeven wrde y oplevert. Hiervoor ebben we een soort vn omkering vn f nodig. Zo n omkering kunnen we voor willekeurige y vinden, ls er voor de functie f een functie g bestt, zo dt g f() = voor lle in et domein vn f. Dn geldt nmelijk = g(f()) = g(y). Als zo n functie g bestt noemen we g de inverse functie vn f en noteren deze ls f. Merk op dt et domein vn f et bereik vn f is. Merk op: De inverse functie f kn lleen mr bestn ls f n verscillende punten ook verscillende functiewrden f( ) f( ) toewijst. Voor f( ) = f( ) is nmelijk = f (f( )) = f (f( )) =, dus zou voor f( ) = f( ) met de inverse functie twee verscillende wrden n f( ) moeten toewijzen, en dt mg niet omdt een functie een eenduidige wrde n een punt toewijst. Een functie met f( ) f( ) eet een injectieve functie. We ebben dus gezien dt lleen mr injectieve functies een inverse functie ebben. We kunnen de grfiek vn de inverse functie gemkkelijk uit de grfiek vn f fleiden: De grfiek vn f bestt uit de punten (, f()) in et y-vlk, en omdt f (f()) =, bestt de grfiek vn f uit de punten (f(), ). Dit is dus de gespiegelde vn de grfiek vn f in de digonl = y. We zien nu ook meteen in dt f injectief moet zijn, wnt nders is er een orizontle lijn = die twee (of meer) snijpunten met de grfiek vn f eeft, en dn eeft de verticle lijn y = twee snijpunten met de grfiek vn f en dit kn niet voor een functie. f() := ^.8.6.4. f^( )() y.8.6.4...4.6.8..4.6.8 Figuur A.: f() := eeft voor de inverse functie f () := 6
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7. Continue functies Een belngrijke klsse vn functies zijn functies die we intuïtief gld zouden noemen, omdt we un grfiek kunnen tekenen zonder de pen f te zetten. Dit wil zeggen, dt er geen sprongen in de grfiek zijn. Omdt wiskundigen soms eel rre functies verzinnen wrvoor we niet eens weten oe we de grfiek zouden kunnen tekenen, ebben we een iets lgemenere definitie vn gldeid nodig. Bijvoorbeeld scommelt de functie f() := sin( ) in de buurt vn = sneller en sneller tussen en en we kunnen niet zeggen wt voor een wrde we n moeten toewijzen..5.....5 Figuur A.3: f() := sin( ) in de buurt vn = We zeggen dt een functie f : D R continu in et punt D is, ls de functiewrden in een klein stukje om een lleml dict bij f() liggen. Dit wordt door de beroemd-beructe ε δ-definitie uitgedrukt: A. Definitie Een functie f : D R eet continu in et punt D ls er voor lle ε > een δ > bestt, zo dt uit < δ volgt, dt f() f() < ε is. Deze definitie betekent, dt er voor een in continue functie f voor een willekeurig klein intervl (f() ε, f() + ε) rond de functiewrde f() een intervl I = ( δ, + δ) om een bestt, zo dt lle functiewrden f() voor I in et gekozen ε-intervl rond f() liggen. In et voorbeeld vn de functie f() := sin( ) neemt de functie tussen n en n elke wrde tussen en n. Voor elke mogelijke wrde die we voor f() zouden kiezen, vinden we dus l voor ε = geen δ > zo dt lle 7
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 functiewrden in et intervl (f(), f()+ ) liggen, wnt δ zou kleiner dn n voor elke n moeten zijn. Dit betekent dt sin( ) niet tot een in continue functie voortgezet kn worden. An de ndere knt is de functie { sin( f : R R, ) ls ls =. wel continu, wnt sin(), en dus is f() f() = sin( ), dus kunnen we ltijd δ = ε kiezen..6.4...8.6.4...4.6.8...4.6.8 Figuur A.4: f() := sin( ) Dt de bstrkte definitie vn continuiteit met onze intuïtie vn gldeid overeenkomt, zien we n et feit dt een functie in een punt, wr een sprong is, inderdd niet continu is. Voorbeeld: We kijken nr de signum-functie ls < sign : R R, ls = ls > Als we ε = kiezen, zien we dt sign() niet continu in is, wnt voor elke δ > is sign( δ ) = en sign( δ ) =, dus liggen de functiewrden niet in et ε-intervl om f() =. We ebben nu gezien wt et betekent dt een functie continu in een punt is. We noemen een functie een continue functie ls ij continu in ieder punt vn zijn domein is. 8.
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 A. Definitie Een functie f : D R eet continue op D ls f in ieder punt D continu is. In toepssingen ebben we et meestl met continue functies te mken, mr er zijn ook situties wr we functies met sprongen nodig ebben. Een voorbeeld iervoor is et volgende eperiment: we willen de intensiteit vn et lict op een lijn bescrijven, wr in = een gloeilmp stt en in = een niet-trnsprnte muur. De intensiteit vn et lict in een fstnd r vn de lmp is /r{. Dus wordt de intensiteit bescreven door de functie ls I : R \ {} R,. Voor de bescrijving vn dit soort ( ) ls > { ls functies is de Heviside-functie H ndig: H : R R, ls >. We kunnen de functie I dn bescrijven ls I() =.3 De fgeleide vn een functie H() ( ) voor. Het meest belngrijke bij een functie zijn ntuurlijk de wrden, mr soms zijn we ook nog in ndere dingen geïnteresseerd, bijvoorbeeld of een functie rond een gegeven punt fneemt of toeneemt. Bijvoorbeeld willen we weten of de tempertuur stijgend of dlend is en vrgen we ons f of et eell eeuwig epndeert of uiteindelijk weer in elkr stort. (Eigenlijk willen we zelfs weten of de sneleid vn de epnsie fneemt of toeneemt.) Als we nr de grfiek vn een functie kijken, kunnen we ntuurlijk in de meeste gevllen meteen zien, wt er met stijgen en dlen n de nd is. Mr soms is et voorscrift vn een functie te ingewikkeld om er een grfiek vn te mken, en soms zijn zelfs de grfieken zo comple, dt we niet kunnen zeggen of een functie stijgt of dlt. Drom ebben we ook ier (net ls bij de continuiteit vn functies) een precieze definitie nodig. Het idee is, dt we een functie in een punt door een lijn benderen, die de grfiek vn de functie in et punt rkt. Als deze rklijn een positieve rictingscoëfficiënt eeft, noemen we de functie stijgend, ls ij negtief is noemen we de functie dlend. Mr oe vinden we de rictingscoëfficiënt vn de rklijn in een punt? Hiervoor kijken we nr de functiewrden vn f in de buurt vn, dus we kijken nr f( + ) voor kleine wrden vn. Als we nu een koorde door de punten (, f()) en (+, f(+)) trekken, eeft deze lijn de rictingscoëfficiënt f(+) f(). Als we kleiner lten worden, lijkt de koorde door (, f()) en ( +, f( + )) steeds meer op een rklijn in et punt, dus vinden we de rictingscoëfficiënt ls de limiet vn f(+) f() ls nr gt. We moeten nu eerst definiëren, wt et betekent dt een functie een limiet voor gt nr eeft. Dit lijkt erg op de definitie vn continue functies. A.3 Definitie Een functie f : D R eeft voor de limiet b, ls er voor lle ε > een δ > bestt, zo dt uit < δ volgt, dt f() b < ε is. We noteren dit ls lim f() = b. 9
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7.4..8 y f().6.4 f() f(+). - -.5 +.5.5 Figuur A.5: Bendering vn de rklijn in een punt door een koorde Merk op dt we niet eisen dt in et domein vn f ligt. Als de limiet lim f() bestt en de wrde b eeft, betekent dit, dt we door f() := b een functie definiëren die continu in is. We kunnen et nu over limieten vn functies ebben, en we gebruiken deze nieuwe definitie meteen voor de definitie vn de fgeleide. A.4 Definitie Zij f : D R een continue functie. (i) De functie f eet in et punt D differentieerbr, ls de limiet f( + ) f() lim bestt. In dit gevl noteren we de limiet met f () en noemen dit de fgeleide vn f in et punt. (ii) We noemen de functie f een differentieerbre functie ls de fgeleide f () voor elke D bestt. In dit gevl eet de functie f : D R, f () de fgeleide functie vn f. We kunnen de differentieerbreid ook nog iets nders formuleren: Een functie f eeft in et punt de fgeleide f () ls de functie : D R, in et punt = continu is. { f(+) f() ls f () ls = We ebben gezien dt continue functies geen sprongen ebben. Mr dit betekent nog niet dt een continue functie ook differentieerbr is.
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 Voorbeeld: De bsoluutwrde-functie f : R R, is continu, mr in et punt = niet differentieerbr. Er geldt nmelijk f(+) f() = voor > en f(+) f() f(+) f() = voor <, dus bestt lim in dit gevl niet. Het probleem ligt in et feit dt de bsoluutwrde-functie in et punt = een knik eeft. Differentieerbre functies zijn dus functies die geen knikken ebben..8.6.4..8.6.4...4.6.8 Figuur A.6: f() := is voor = niet differentieerbr Men zou misscien denken, dt continue functies, lleen mr een pr knikken kunnen ebben, mr in de meeste punten wel differentieerbr zijn. Hels is dit niet zo. Het is inderdd mogelijk een functie n te geven, die in elk punt continu, mr in geen punt differentieerbr is. Zo n functie bestt dus lleen mr uit knikken..8.6.4. 4 4 Figuur A.7: Een zg-functie Het idee voor zo n functie begint met een zg-functie zo ls in Figuur A.7. Vervolgens wordt elk lijnsegment tussen twee knikken in drie even grote delen onderverdeeld. Voor een lijnsegment met rictingscoëfficiënt c krijgt et eerste stuk de oude rictingscoëfficiënt c, et tweede de rictingscoëfficiënt c en et derde de rictingscoëfficiënt 3c. Op deze mnier komen er twee nieuwe knikken in elk rect lijnsegment.
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 Als we deze constructie oneindig vk erlen, leidt dit tot een limietfunctie die inderdd continu mr in geen punt differentieerbr is. Stijgen en dlen vn functies We komen nu terug op de vrg, of een functie stijgend of dlend is. In principe kunnen we dit ook voor lgemene functies definiëren, die niet eens continu oeven te zijn. A.5 Definitie Zij f : [, b] R een functie: (i) f eet stijgend, ls > f( ) f( ). (ii) f eet strikt stijgend, ls > f( ) > f( ). (iii) f eet dlend, ls > f( ) f( ). (iv) f eet strikt dlend, ls > f( ) < f( ). Voor differentieerbre functies kunnen we dit nu vertlen nr een criterium voor de fgeleide. Zij f op een intervl [, b] differentieerbr: (i) Is f () voor lle [, b] dn is f stijgend op [, b]. (ii) Is f () > voor lle [, b] dn is f strikt stijgend op [, b]. (iii) Is f () voor lle [, b] dn is f dlend op [, b]. (iv) Is f () < voor lle [, b] dn is f strikt dlend op [, b]..4 Regels voor differentitie Als we een functie f : D R ebben, dn is f vk verkregen uit eenvoudigere functies, die we door optellen, ftrekken, vermenigvuldigen, delen en smenstellen combineren. Het zou ndig zijn om regels voor de fgeleide vn dit soort combinties te ebben, wnt et toepssen vn de definitie vn differentieerbreid is vk erg onndig. We gn ervn uit, dt de functies die we bekijken in de ngegeven punten ook inderdd differentieerbr zijn. () Constnte functies f() = c ebben fgeleide, de functie f() = eeft de fgeleide. () Optellen: (f + g) () = f () + g (). Dit geldt omdt (f + g)( + ) (f + g)() = (f( + ) f()) + (g( + ) g()) is. Hierbij ebben we nog nodig, dt lim (f + g)() = lim f()+lim g() ls de twee limieten op de recterzijde bestn.
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 () Vermenigvuldigen met een fctor c R: (cf) () = cf (). Hier gebruiken we dt (cf)( + ) (cf)() = c(f( + ) f()) is. (3) Vermenigvuldigen (productregel): (f g) () = f ()g() + f()g (). We ebben f(+)g(+) f()g() = f(+)g(+) f()g(+)+ f()g(+) f()g() = (f(+) f())g(+)+f()(g(+) g()), dus is f(+)g(+) f()g() = f(+) f() g(+)+f() g(+) g(), en dus = f ()g() + f()g (). lim f(+)g(+) f()g() (4) Delen (quotiëntenregel): ( ) f () = f ()g() f()g () g g. () Hiervoor lten we eerst zien dt ( g ) () = g () : Uit (3) volgt dt = g () (g g ) () = g () g() + g()( g ) (), dus is g()( g ) () = g () g(). Dit pssen we nu smen met (3) op f g toe, dn geldt: ( f g ) () = f () g() f()g (), g () en dit geeft de bewering. [Een mnier om de quotiëntenregel te ontouden is et woord NAT-TAN, dt een fkorting voor noemer fgeleide teller - teller fgeleide noemer is en de term in de teller vn de quotiëntenregel ngeeft.] (5) Smenstelling (kettingregel): g(f(+)) g(f()) f(+) f() (g f) ()= (g f)()f () = g (f())f (). In plts vn een voedzme die we bij de productregel gebruikt ebben, (g f)(+) (g f)() gebruiken we nu een voedzme : = g(f(+)) g(f()) = f(+) f() f(+) f(). = g(f()+(f(+) f()) g(f()) f(+) f() Als we k := k() = f( + ) f() definiëren, gt wegens de continuïteit vn f voor ook k. Dus is lim (g f)(+) (g f)() lim g(f()+k) g(f()) k f(+) f() = g (f()) f (). = We ebben ier op één plek gesjoemeld, wnt f(+) f() kn ook voor gelijk n zijn en dn mogen wie ier niet door delen. Mr dit kunnen we erstellen, door in et gevl dt f(+) f() = de quotiënt g(f(+)) g(f()) f(+) f() te vervngen door g (f()). Het lt zic ntonen dt de zo gedefinieerde functie continu is en et rgument gt door. Toepssing: Een slimme toepssing vn de kettingregel geeft de fgeleide vn de inverse functie f (): Er geldt (f f )() =, dus volgt met de kettingregel dt f (f ()) f () = en dus geldt f () = f (f ()). 3
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 We lten nog een pr belngrijke voorbeelden vn fgeleiden zien, die we eenvoudig kunnen beplen. Voor n N is de fgeleide vn f n () = n de functie f n() = n n. Dit is duidelijk voor n = en ls we et voor een n ebben bewezen dn geldt f n+ () = (f nf ) () = f n ()f () + f n ()f () = nn + n = (n + ) n. Dus klopt et ook voor n + en dus per volledige inductie voor lle n N. Mr dezelfde formule geldt ook voor f n () = n = voor n N. n We ebben f n() = ( f n ) () = nn = ( n) n. n En dezelfde formule klopt zelfs voor n =. Er geldt nmelijk + = + ++ = ++, en dus is lim + =. Dus zien we dt ook ier geldt, dt f () =. Voor de wortelfunctie f() := geldt dus: f() = f () =. Het vermoeden ligt nu voor de nd, dt de formule voor de fgeleide vn n ook voor lgemene mctsfuncties f() := c met c R klopt. Dit is inderdd et gevl, er geldt: f() = c f () = c c. Wij gn dit ier lleen mr voor rtionle mcten c = m n ntonen. Hiervoor gebruiken we de formule voor de fgeleide vn de inverse functie. We weten dt fn () = n = n de inverse functie vn f n () = n is, drom geldt fn () = n = n ( n ). n( n ) n = n n We kunnen nu met de kettingregel de fgeleide vn f() = m n = ( m ) n berekenen ls f () = n (m ) ( n ) m m = m n ( m n m) m = m n ( m n ). Om vn rtionle mcten c = m n nr lgemene reële mcten te komen, gebruikt men et feit dt een reëel getl willekeurig goed door een rtionl getl benderd kn worden. Belngrijke begrippen in deze les functies, domein, bereik, inverse functie continuïteit fgeleide vn een functie stijgen en dlen vn functies 4
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 productregel, quotiëntenregel, kettingregel fgeleide vn de inverse functie Opgven. Bepl de limiet n y n lim y y op twee mnieren: rectstreeks (met beulp vn een strtdeling) en vi fleiden.. Een functie f eet even ls f() = f( ) voor lle en oneven ls f() = f( ) voor lle in et domein vn f. De grfiek vn een even functie is symmetrisc ten opzicte vn een spiegeling in de y-s, de grfiek vn een oneven functie is symmetrisc ten opzicte vn een puntspiegeling in de oorsprong. (i) Lt zien dt voor een differentieerbre functie f, die even is, geldt dt f () = f ( ) (dus de fgeleide vn een even functie is oneven). (ii) Lt zien dt voor een differentieerbre functie f, die oneven is, geldt dt f () = f ( ) (dus de fgeleide vn een oneven functie is even). 3. Bepl voor de volgende functies de intervllen wr de functies stijgen en wr ze dlen: (i) D = R, f() =, (ii) D = R, f() = ( 3), (iii) D = [, ], f() =, (iv) D = [4, ), f() = 4, (v) D = R, f() = 5 + 6. 4. Zij f : R R, 7 + 5 3. Bepl de inverse functie vn f. 5. Bepl de fgeleiden vn: (i) f () := +, (ii) f () := 3 3 +, (iii) f3 () := 3 5 + 7, (iv) f 4 () := +, (v) f 5 () := ( 3 ) 4 3. + 5
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 Les Specile functies We ebben in de vorige les een ntl elementire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen fleiden. In wezen wren lle deze functies smengesteld uit mctsfuncties f() := c met c R. In deze les ebben we et over verscillende ndere elementire functies die een belngrijke rol in lle soorten vn toepssingen spelen.. Eponentiële functie en ntuurlijke logritme Als we de ontwikkeling vn een popultie bescrijven, ebben we et vk met de volgende situtie te mken: Er is een beginpopultie vn C konijnen en elk jr verdubbelt et ntl konijnen. Dn zijn er n floop vn één jr C konijnen, n twee jr 4C, n drie jr 8C enzovoorts. N floop vn jr zijn er dn C konijnen. Het zou dus ndig zijn, iets meer over functies ls f() := voor R te weten. Om te beginnen, moeten we iets erover zeggen oe we de functiewrden vn zo n functie berekenen. Voor breuken = m n kunnen we wel berekenen, wnt in dit gevl is = m n = n m. Hier zien we dt > moet zijn, nders zouden we (voor oneven m) uit negtive getllen de wortel moeten trekken. Omdt we grg willen dt f() := een continue functie wordt, ebben we nu geen keuze meer bij de berekening vn voor een willkeurige R. Als we nmelijk door breuken m n steeds beter benderen, moet n m een steeds betere bendering vn de functiewrde zijn (dt is juist de definitie vn continuiteit). 5 ^ 4 e^ y 3.5^ -4-4 Figuur A.8: De functies f() := voor =.5, e, Zo ls we dt uit de grfieken in Figuur A.8 zouden verwcten, lt zic ntonen dt de functie f : R R, voor > in et punt = differentieerbr is. Er lt zic ook lgemeen bewijzen dt de fgeleide f () 6
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 groter is nrmte groter is. Mr ls we de fgeleide vn in kennen, kunnen we de fgeleide vn in elk punt berekenen, wnt + = en dus f () = f (). De eponentiële functie met bsis e Als we nu voor verscillende wrden vn de fgeleide vn f() := in et punt = berekenen, kunnen we door een benderingsproces een wrde voor vinden, zo dt f () = is. Op die mnier vinden we et Euler-getl e.788 met de eigenscp dt de functie f() := e in de fgeleide eeft. Zo ls boven opgemerkt volgt uit et feit dt de fgeleide vn f() := e voor = gelijk n is, dt f () = e f () = e = f(). Dit betekent dt f() := e een functie is die n de vergelijking f() = f () voldoet. De functie e eet de eponentiële functie en wordt vk ook met f() := ep() genoteerd. Smenvttend ebben we dus: ep() = e met e.788 ep () = ep() en ep() = ep () =. Er lt zic zelfs ntonen dt de eponentiële functie door de eigenscppen f () = f() en f() = eenduidig bepld is: Neem n dt f() een functie is met f () = f() en f() =, dn beplen we de fgeleide vn de functie g() := f() ep(). Hiervoor geldt g () = f () ep() f() ep () ep() = f() ep() f() ep() ep() = omdt ep () = ep() en f () = f(). Mr ieruit volgt dt g() een constnte functie is, dus is f() = c ep() en uit f() = ep() = volgt c =, dus f() = ep(). De eponentiële functie speelt in veel toepssingen een rol, bijvoorbeeld (zo ls eerder l gezegd) bij de ontwikkeling vn populties of in de bescrijving vn rdioctief vervl. Mr ook bij et remmen vn een uto of bij et verloop vn de tempertuur tussen twee kmers met verscillende temperturen is de functie ep() vn toepssing. We weten (uit ervring) dt we met evenveel remkrct niet zo snel vn nr 8 km per uur kunnen fremmen ls vn 5 nr 3. De verndering vn de sneleid bij et remmen is dus fnkelijk vn de sneleid zelfs. Ook bij de tempertuur zien we een soortgelijk effect: ls we een kmer vn nst een kmer vn 5 ebben, zullen de temperturen sneller vernderen dn bij kmers vn en 3. Bij veel processen vinden we dus een fnkelijkeid tussen de sneleid vn de verndering vn de functie en de wrde vn de functie, d.w.z. een fnkelijkeid vn de vorm f () = C f(), 7
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 wrbij C een constnte is. Er lt zic ntonen dt lle functies die n deze vergelijking voldoen vn de vorm f() := ep(c) zijn, wrbij door de rndvoorwrde = f() bepld is (bijvoorbeeld de tempertuur of positie op et tijdstip = ). Algemeen noemt men een vergelijking tussen een functie f() en zijn fgeleiden f (), f () enz. een differentilvergelijking. De ntuurlijke logritme Uit et feit dt e > volgt dt ep() > voor lle R en ep() > voor lle >, drom is ep(y) ep() = (ep(y ) ) ep() > voor y >. Dit toont n dt ep() een op R strikt stijgende functie is. Het bereik is (, ), dus kunnen we op et open intervl (, ) de inverse functie vn ep() definiëren. De inverse functie vn de eponentiële functie ep() noemen we de ntuurlijke logritme of kort logritme en noteren deze met log(). 4 ep() y = + log() -4 - y 4 - -4 Figuur A.9: Eponentiële functie en ntuurlijke logritme Merk op: De omkeerfunctie vn de lgemene functie f() := eet de logritme met bsis en wordt met log() genoteerd. Soms (bijvoorbeeld op de middelbre scool of bij ingenieurs) wordt met log() de logritme met bsis bedoeld, de ntuurlijke logritme wordt dn met ln() ngegeven. In de wiskunde wordt ecter met log() steeds de logritme met bsis e bedoeld en dit ouden we ook in deze cursus zo. Bij een logritme met een ndere bsis zullen we de bsis steeds epliciet ngegeven (bijvoorbeeld log() en log() voor de logritmes met bsis en ). Ook zkrekenmcines kunnen tot verwrring leiden: Vk is ln de toets voor de ntuurlijke logritme terwijl de toets log voor de logritme met bsis stt. 8
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 We kunnen logritmes tussen verscillende bses mkkelijk omrekenen, wnt er geldt: log() = log() log(). We ebben nmelijk e log() = = log() = (e log() ) log() = e log() log() en dus log() = log() log(). Hiermee volgt ook voor twee willekeurige bses en b vn de logritme dt wnt b log() log() b log() = log(b) log() log(b) log() = = log() log() = log(). b log() b log() Uit de formule f () = voor de fgeleide vn de inverse functie f (f ()) kunnen we de fgeleide vn log() mkkelijk berekenen, er geldt log () = ep (log()) = ep(log()) =. We ebben iermee een belngrijk gt gevuld: We dden in de vorige les gezien dt we voor een geeel getl n Z de fgeleide vn f() := n vinden ls f () = n n. In et bijzonder vinden we elke vn de functies n ls fgeleide vn een ndere mctsfunctie, nmelijk ls fgeleide vn n+ n+. De enige uitzondering ierbij is et gevl n =, wnt de fgeleide vn is ntuurlijk. Mr nu ebben we een functie gevonden, die = ls fgeleide eeft, nmelijk de ntuurlijke logritme log(). Om de lgemene eponentiële functie f() := f te leiden is et ndig om de reltie = e log() en dus = e log() = ep(log() ) te gebruiken. Met de kettingregel volgt dn nmelijk dt ( ) = ep(log()) log() = log(). Tenslotte nog twee belngrijke relties voor et optellen en vermenigvuldigen bij ep en log: ep( + y) = ep() ep(y) en log(y) = log() + log(y).. Trigonometrisce functies De trigonometrisce (of goniometrisce) functies zijn gebseerd op de meetkunde vn rectoekige drieoeken. Als in een rectoekige drieoek de scuine zijde lengte eeft, en één vn de niet-recte oeken is, dn noemen we de lengte vn de zijde tegenover de sinus vn, genoteerd met sin() en de lengte vn de ndere rectoekzijde de cosinus vn, genoteerd met cos(). In et pltje vn Figuur A. is B de scuine zijde in de drieoek BC en we ebben sin() = BC en cos() = C. Een vn de belngrijkste relties voor sinus en cosinus volgt meteen uit de stelling vn Pytgors, nmelijk sin () + cos () =. 9
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7.6.5.4.3 y. A B...4.6.8 C Figuur A.: sin() = BC, cos() = C De fgeleiden vn sin() en cos() Om de fgeleide sin () vn sin() te beplen moeten we iets over et quotiënt sin(+) sin() zeggen. Mr oe kunnen we de sinus vn een som vn twee oeken beplen? Hiervoor geeft Figuur A. een nleiding. (cos(+), sin(+)) (cos(), sin()) (-sin(), cos()) Figuur A.: De sinus vn de som vn twee oeken ( ) cos( + ) We scrijven de vector w = ls de som vn zijn ortogonle sin( + ) ( ) ( ) cos() sin() projecties op de twee vectoren v = en v sin() = die loodrect cos() op elkr stn. Mr de lengte vn de projectie vn w in de ricting vn v is cos() en de lengte vn de projectie in de ricting vn v is sin(). Dus geldt: ( ) ( ) cos( + ) cos() cos() sin() sin() = cos() v sin( + ) + sin() v =. sin() cos() + cos() sin()) Dit geeft de twee belngrijke optelteorem s: cos( + ) = cos() cos() sin() sin(), sin( + ) = sin() cos() + cos() sin().
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 We ebben dus sin( + ) sin() = sin() cos() + cos() sin() sin() = sin()(cos() ) + cos() sin() en ieruit volgt dt sin( + ) sin() = sin() cos() + cos() sin(). We weten dt lim sin() = en lim cos() =, mr dit is nog niet voldoende om de limiet vn sin(+) sin() te berekenen. Merk op: Vk worden oeken niet in grden mr in rdilen ngegeven. Het idee ierbij is, een oek door de lengte vn de bijorende cirkelboog in een cirkel vn strl te bescrijven. Een oek vn 36 eeft een volle cirkel ls boog en die eeft lengte π. Omgekeerd oort een boog vn π bij een oek vn 8. Dus komen we vn grden nr rdilen door de oek in π 8 grden met 8 te vermenigvuldigen en vn rdilen nr grden door met π te vermenigvuldigen. We zullen oeken meestl in rdilen ngeven. Als we de oek en de strl r vn een cirkelboog kennen, kunnen we de lengte vn de cirkelboog ngeven, dit is nmelijk r, wrbij we veronderstellen dt de oek in rdilen ngegeven is. In Figuur A. eeft dus de boog vn B nr lengte en de boog vn A nr C lengte cos(). Omdt de boog AC korter is dn de lijn BC geldt cos() < sin() en omdt de lijn BC korter is dn de boog B geldt sin() <. Hieruit volgt (voor oeken met π ) dt cos() < sin() <. Omdt lim cos() =, volgt ieruit rectstreeks dt Verder is cos() sin() lim =. (cos() )(cos() + ) = (cos() + ) = sin() sin() cos() + = cos () (cos() + ) = sin () (cos() + ) en omdt sin() cos()+ voor nr = gt, volgt ieruit Als we lles bij elkr nemen volgt dus cos() lim = =. sin( + ) sin() lim = lim sin() cos() + lim cos() sin() = sin() + cos() = cos(). Kort en goed: de fgeleide vn de sinus is de cosinus, ofwel sin () = cos().
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 We kunnen de fgeleide vn de cosinus nu op dezelfde mnier beplen ls bij de sinus, mr met een klein trucje gt et sneller. We weten dt sin () + cos () = is, dus geldt = (sin () + cos ()) = cos() cos () + sin() sin () = cos()(cos () + sin()). Hieruit volgt meteen: cos () = sin(). cos().5 sin() 4 3 3 4.5 Figuur A.: Sinus- en cosinus-functie Net zo ls we de eponentiële functie ep() door de differentilvergelijking f () = f() ebben gekrkteriseerd, kunnen we ook sinus en cosinus door een differentilvergelijking krkteriseren. Het is duidelijk dt voor de tweede fgeleiden geldt dt sin () = sin() en cos () = cos(). De bewering is nu, dt een functie f() met f () + f() = een lineire combintie vn sin() en cos() is, preciezer gezegd: f () + f() = f() = sin() + b cos() met = f () en b = f(). Neem eerst n we ebben een functie f() met f () + f() =, f() = en f () =. Dn is = f ()(f () + f()) = (f () + f() ), dus is f () + f() een constnte functie. Mr omdt f () = f() =, is f () + f() = voor lle. Mr een som vn kwdrten is lleen mr ls lle kwdrten zijn, dus volgt ieruit dt f() = voor lle, dus is f() de constnte -functie. Neem nu n dt f () + f() =, f () = en f() = b. Dn geldt voor g() := f() sin() b cos() dt g () + g() =, g () = f () = en g() = f() b =. Dus is g() = en dus f() = sin() + b cos(). Differentilvergelijkingen vn de vorm f () = C f() spelen bijvoorbeeld bij de bescrijving vn trillingen een belngrijke rol. Uit de functies sin() en cos() wordt een ntl verdere functies fgeleid, de belngrijkste iervn is de tngens die gedefinieerd is door tn() := sin() cos(). Het domein vn de tngens zijn de punten R met cos(), dus π +nπ met n Z. Voor de functie tn() geldt de reltie + tn () = cos () + sin () cos () = cos ().
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 Toevllig geeft dit juist ook de fgeleide vn de tngens, wnt tn () = ( sin() cos() cos() sin()( sin() cos() ) = cos () = cos (). We ebben dus: tn () = + tn () = cos (). 4 3 y 4 3 3 4 3 4 Figuur A.3: Tngens-functie Inverse functies vn de trigonometrisce functies De inverse functies vn de trigonometrisce functies eten rcus-functies en worden ls rcsin() := sin (), rccos() := cos () en rctn() := tn () genoteerd. De fgeleiden vn deze functies kunnen we mkkelijk met de formule beplen. f () = f (f ()) Het bereik vn sin() is et intervl [, ] dus eeft rcsin() dit intervl ls domein. Met beulp vn et trucje cos() = sin () vinden we: rcsin () = cos(rcsin()) = sin (rcsin()) =. Het domein voor rccos() is ook [, ] en met beulp vn sin() = cos () tonen we n dt rccos () = sin(rccos()) = cos (rccos()) =. 3
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 We ebben dus: rcsin () =, rccos () =. De meest belngrijke toepssing vn de rcussinus en de rcuscosinus ligt in de integrtie vn functies. We zullen zien dt de integrtie de omkering vn de differentitie is, dus ebben we de functie rcsin() nodig om integrlen over functies zo ls f() := te berekenen..5 3.5.5.5.8.6.4...4.6.8.5.5.5.8.6.4...4.6.8 Figuur A.4: Arcussinus- en rcuscosinus-functie Het bereik vn tn() is R, mr de functie is lleen mr injectief op een intervl ( π, π ) (of een verscuiving iervn om nπ). De rcustngens-functie is dus op R gedefinieerd en eeft wrden tussen π en π. Voor de fgeleide vinden we met de formule voor de fgeleide vn de inverse functie en de reltie cos () = +tn () : rctn () = ( cos (rctn()) ) = cos (rctn()) = = +. + tn (rctn()) De rcustngens-functie wordt (nst zogeeten sigmoid-functies) vk gebruikt om eperimentele wrden nr een genormeerd intervl f te 4
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7.5 4 3 3 4.5 Figuur A.5: Arcustngens-functie beelden. Bijvoorbeeld wil men ls wrden, die een zoekmcine voor de kwliteit vn een zoekresultt ngeeft, meestl wrden tussen en (of tussen % en %). Mr de intern in een zoekmcine gebruikte metode levert vk wrden die niet eens nr beneden of boven begrensd zijn. Dn is et ndig om deze wrden f te beelden met de functie f : R [, ], π (rctn() + π ) die strikt stijgend is en ls bereik et intervl [, ] eeft..3 Hyperbolisce functies Een verdere klsse vn belngrijke functies zijn de yperbolisce functies. Deze zijn fgeleid vn de eponentiële functie, mr ebben eigenscppen die op eigenscppen vn sin() en cos() lijken. We definiëren de sinusyperbolicus en cosinusyperbolicus door sin() := (ep() ep( )), cos() := (ep() + ep( )). Met beulp vn ep () = ep() gt men eenvoudig n dt sin () = cos(), cos () = sin(). Verder vinden we dt cos () sin () =. De nm vn de yperbolisce functies eeft betrekking tot de yperbolisce meetkunde. Terwijl we in de Euclidisce meetkunde fstnden in et vlk door + y berekenen, wordt dit in de yperbolisce meetkunde met y gedn. In de Euclidisce meetkunde liggen de punten met fstnd r vn et nulpunt op een cirkel die we met r(cos(t), sin(t)), t π kunnen ngeven. Een nloge constructie levert in de yperbolisce meetkunde de punten r(cos(t), sin(t)), die op een yperbool liggen (vndr de nm). Een vn de meest belngrijke toepssingen vn de yperbolisce meetkunde is de ruimtetijd uit de specile reltiviteitsteorie. Anloog met de tngens-functie wordt ook een tngensyperbolicus gedefinieerd: tn() := sin() cos(). 5
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 3 cos() y - - - sin() - Figuur A.6: Sinusyperbolicus en cosinusyperbolicus We ebben tn () = cos () sin () cos () tn () = cos () sin () cos () = cos (), dus tn () = tn () = = cos () cos (). en voor de fgeleide geldt.5 4 3 3 4.5 Figuur A.7: Tngensyperbolicus Merk op dt ook de functie tn() net ls rctn() voor et normliseren vn eperimentele wrden gebruikt kn worden. Inverse functies vn de yperbolisce functies Ook de yperbolisce functies ebben inverse functies, deze eten de refuncties en worden met rsin() := sin (), rcos() := cos () en rtn() := tn () genoteerd. We kunnen deze inverse functies epliciet beplen, wnt uit y = sin() = (ep() ep( )) volgt door vermenigvuldiging met ep() dt ep() y ep() =. Dit geeft de oplossingen ep() = y ± y +, mr wegens ep() > is lleen mr et plusteken mogelijk. Het domein vn rsin() is R omdt dit et bereik vn sin() is. Dus geldt voor R: rsin() = log( + + ). 6
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 Voor de fgeleide vinden we met beulp vn cos() = + sin (): rsin () = cos(rsin()) = + sin (rsin()) = +. Het trucje vn sin() toegepst op cos() geeft ep() y ep()+ =, dus ep() = y ± y. In dit gevl moeten we erop letten, dt cos() niet injectief is, we kunnen dus of een inverse functie voor > of voor < ngeven. Voor de inverse functie vn cos() met > geldt et plusteken, dus is rcos() = log( + ). De fgeleide vn rcos() vinden we net ls voor rsin(), mr deze keer gebruiken we de reltie sin() = cos () : rcos () = sin(rcos()) = cos (rcos()) =. 3 8 6 4 4 6 8 3 3 8 6 4 4 6 8 Figuur A.8: Aresinusyperbolics en recosinusyperbolics Tenslotte kijken we nr de inverse functie vn de tngensyperbolicus, de retngensyperbolicus rtn(). Uit y = tn() = sin() cos() = ep() ep( ) ep()+ep( ) volgt + y = ep() ep()+ep( ) en ep( ) y = ep()+ep( ), dus geldt + y = ep()( y) = ep() ( y) en dus ep() = +y y. Hieruit volgt ( ) + rtn() = log = ( ) + log. De fgeleide vn rtn() vinden we met beulp vn cos () = tn () door rtn () = = cos (rtn()) = = tn (rtn()), dus is tn (rtn()) rtn () =. Ook in dit gevl is et belngrijkste rgument om de functie rtn() te bendelen, dt we iermee de integrl over functies zo ls kunnen oplossen. Deze les wordt smengevt door een tbel die de bendelde functies en un fgeleiden ngeeft. 7
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 3.8.6.4...4.6.8 3 Figuur A.9: Aretngensyperbolicus f() f () ep() ep() log() sin() cos() cos() sin() tn() cos () rcsin() rccos() rctn() + sin() cos() cos() sin() tn() cos () rsin() + rcos() rtn() Belngrijke begrippen in deze les eponentiële functie, logritme trigonometrisce functies inverse trigonometrisce functies yperbolisce functies inverse yperbolisce functies 8
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 Opgven 6. Lten f, g : R R de functies zijn met f() := log( + ) en g() := ep(3). Bereken de smengestelde functies f g en g f en de fgeleiden f (), g (), (f g) () en (g f) (). 7. Toon n dt voor lle (, ) geldt dt log(). 8. Lt zien dt sin + tn > voor lle (, π/). (Hint: Differentiëren.) 9. Definieer f : R R door f() := + sin + rctn(3). Toon n dt f een inverse functie met domein R bezit. Drvoor moet je bewijzen dt f strikt stijgend of dlend is en et geeel vn R ls bereik eeft.. Bereken voor f() := + de functies g() := f(f ()) en () := f (f()).. Bepl de fgeleiden vn de volgende functies: (i) f() := sin( + ), (ii) f() := sin() + sin( ), (iii) f() := sin(cos()), ( ) cos() (iv) f() := sin(sin()), (v) f() := sin, (vi) f() := sin(cos()), (vii) f() := sin( + sin()),. Bepl de fgeleiden vn: (viii) f() := sin(cos(sin())). (i) f () =, (ii) f () = sin(), (iii) f 3 () = log(cos() + sin()), (iv) f 4 () = sin ( 3 cos( 3 ) ), (v) f5 () = ep( ), (vi) f 6 () = ep(rctn()), (vii) f 7 () = 5 cos(), (viii) f 8 () = log ( ), (i) f9 + () = rcsin ( ). + 3. Als je gewone fgeleiden vervelend vindt, zou je et misscien interessnter vinden om vn de volgende functies de fgeleide f () te berekenen: (i) f() := sin(( + ) ( + )), (iii) f() := sin (( + sin()) ), (ii) f() := sin 3 ( + sin()), ( ) 3 (iv) f() := sin cos( 3, ) (v) f() := sin( sin()) + sin(sin( )), (vi) f() := sin () sin( ) sin ( ), (vii) f() := ( + sin 5 ()) 6, (viii) f() := sin(sin(sin(sin(sin())))), (i) f() := sin((sin 7 ( 7 ) + ) 7 ), () f() := ((( + ) 3 + ) 4 + ) 5, (i) f() := sin( +sin( +sin( ))), (iii) f() := sin( ) sin (), (iv) f() := sin + sin() (ii) f() := sin(6 cos(6 sin(6 cos(6)))), ( ) 3 sin( 3 sin() ). 9
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 Les 3 Minim en mim vn functies Een reden wrom we de fgeleide vn een functie bekijken is dt we iets over et stijgen of dlen vn de functie willen weten. Als we met een differentieerbre functie te mken ebben, is de functie stijgend ls de fgeleide positief is en dlend ls de fgeleide negtief is. Mr soms zijn we ook geïnteresseerd in de verndering vn et stijgen en dlen vn een functie. Bijvoorbeeld gt et er in de economie vk niet om of een bedrijf een groei in de omzet eeft, mr lleen mr of de groei groter is dn de fgelopen jren. De groei wordt bescreven door de fgeleide vn de omzet-functie, de verndering vn de groei door de fgeleide vn de groei-functie, dus door de tweede fgeleide vn de omzet-functie. We kijken dus voor een functie f() niet lleen mr nr de eerste fgeleide f () mr ook nr de tweede fgeleide f () := (f ()) en ook nr ogere fgeleiden f () enz. Omdt et onndig wordt, meer en meer streepjes te scrijven, gebruiken we een nieuwe nottie: We scrijven f (3) () voor f () en in et lgemeen f (n) () voor de n-de fgeleide. Merk op: Hogere fgeleiden oeven niet ltijd te bestn, zelfs ls de functie f() differentieerbr is. Bijvoorbeeld eeft de functie { ls < f() := ls de fgeleide f () = en is dus een differentieerbre functie, mr de tweede fgeleide bestt voor = niet. Men zegt soms dt een functie bijvoorbeeld drievoudig differentieerbr is, om n te duiden dt de derde fgeleide f () bestt. De beste functies (d.w.z. de meest gldde functies) zijn functies die willekeurig vk differentieerbr zijn. Hierbij is et toegestn dt de n-de fgeleiden f (n) () vnf een zekere n lle gelijk n de constnte -functie zijn. Dit is bijvoorbeeld bij veeltermfuncties vn grd n et gevl. Een belngrrijke toepssing vn de ogere fgeleiden is de krkterisering vn minim en mim vn functies. Dit zullen we in deze les uitvoerig bekijken. 3. Minim en mim vn gewone functies In veel toepssingen komt een probleem er op neer een wrde te beplen zo dt een functie f() een minimle (of mimle) wrde nneemt. Bijvoorbeeld wordt er in de productie vn blikken nr gekeken, een zo klein mogelijke oeveeleid mteril voor een gegeven volume te gebruiken. In de economie ngt de vrg nr een object ntuurlijk ook vn de prijs f. Die wordt dus zo gekozen dt et product vn de prijs en et (verwcte) ntl verkocte objecten miml wordt. De definitie vn (bsolute) minim en mim vn een functie in zijn domein is eel voor de nd liggend: 3
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 A.6 Definitie Een functie f : D R eeft in een bsoluut minimum ls f() f() voor lle D. Anloog eeft een functie een bsoluut mimum ls f() f() voor lle D. Soms is et ook interessnt om nr lokle minim en mim te kijken. Dt zijn punten D zo dt f voor een klein intervl om een een bsoluut minimum/mimum in eeft. Preciezer zeggen we: A.7 Definitie Een functie f eeft in D een lokl (of reltief) minimum ls er een δ > bestt zo dt f() f() voor lle ( δ, + δ). Een functie eeft een lokl mimum ls er een δ > bestt zo dt f() f() voor lle ( δ, + δ). Voor willekeurige functies f kunnen we niet veel verder dn deze definities, mr ls f een differentieerbre functie is, zegt de fgeleide inderdd iets over minim en mim. Stel dt f in een lokl minimum eeft en differentieerbr in is. Dn geldt voor kleine < dt f( + ) f() en dus is f(+) f(). Mr ook voor kleine > is f( + ) f() en dus f(+) f(). Omdt de fgeleide f f(+) f() () lleen mr bestt ls de limiet lim voor < en > bestt en dezelfde wrde eeft, is noodzkelijk f () =. Dezelfde redenering geeft ook voor een lokl mimum dt f () = is. We ebben dus gezien: A.8 Stelling Voor een functie f : D R, die in D differentieerbr is en een lokl minimum/mimum in eeft, geldt f () =. Hels geldt de omkering vn deze stelling niet: Bijvoorbeeld is voor f() = 3 de fgeleide f () = 3 en dus is f () =, mr is geen lokl minimum of mimum, omdt f() < voor < en f() > voor >. Mr tenminste kunnen we met beulp vn deze stelling vk een lijstje vn kndidten mken, wr een functie mogelijk een minimum/mimum eeft, nmelijk de punten wrvoor f () = is en we noemen zo n punt een kritiek punt. Andere kndidten wr een functie een lokl minimum/mimum kn ebben mr wr we dt niet met beulp vn de fgeleide kunnen zien, zijn punten wr f() niet differentieerbr is. Bijvoorbeeld is f() = in = niet differentieerbr, mr zijn (bsoluut) minimum zit in =. Ook punten die op rndpunten vn et domein D liggen, moeten we prt onderzoeken. Hierbij noemen we een punt een rndpunt ls in een klein intervl links of rects vn geen verdere punten vn D liggen, dus ls [ δ, ) D = of (, + δ] D =. A.9 Definitie Voor een functie f() : D R noemen we D een kritiek punt vn f() ls: (i) f() in differentieerbr is met f () = ; (ii) f() in niet differentieerbr is; 3
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 (iii) een rndpunt vn D is. De kritieke punten zijn de kndidten voor lokle minim of mim vn f(). Hoe kunnen we nu flezen of een functie in een punt ect een lokl minimum of mimum eeft? Voor een lokl minimum weten we l dt f () = moet zijn. Verder weten we dt f() dlend is ls f () en stijgend ls f (). Als we dus zien dt f () voor < en f () voor >, eeft f() inderdd in een lokl minimum. Omgekeerd eeft f() een lokl mimum in ls f () =, f () voor < en f () voor >. Kort gezegd eeft een functie f() een lokl minimum of mimum in et punt ls et teken vn de fgeleide f () in verndert. Merk op dt we de ongelijkeden f () en f () slects in een klein intervl rond oeven te bekijken. Om een lokl minimum te identificeren, kunnen we soms ook de tweede fgeleide gebruiken: Als f () = en f () > voor ( δ, + δ), dn is f () een op dit intervl strikt stijgende functie en dus is f () < voor < en f () > voor >. Net zo vinden we een lokl mimum door f () = en f () < op ( δ, + δ). Dit ouden we in de volgende stelling vst: A. Stelling Een differentieerbre functie f() eeft een lokl minimum in ls er een δ > bestt zo dt f () =, f () voor ( δ, ) en f () voor (, + δ). Dit geldt in et bijzonder ls f () = en f () > voor ( δ, + δ). Een differentieerbre functie f() eeft een lokl mimum in ls er een δ > bestt zo dt f () =, f () voor ( δ, ) en f () voor (, + δ). Dit geldt in et bijzonder ls f () = en f () < voor ( δ, + δ). Voorbeeld We gn n oe we de oogte vn een (gesloten) blik moeten kiezen zo dt et gebruikte mteril (de oppervlkte) miniml wordt. Een blik nemen we n ls een cilinder vn oogte met ls grondvlk een cirkel vn strl r. Dn is et volume V vn de cilinder gegeven door V = πr en de oppervlkte O door O = πr + πr = πr(r + ). Bij een gegeven volume willen we nu de minimle oppervlkte vinden. Uit de vergelijking voor et volume vinden we = V π r, dus kunnen we O scrijven ls een functie vn r door O(r) = πr(r + V π r ) = πr + V r. Voor de fgeleide vn O(r) geldt O (r) = 4πr V r en we ebben O (r) = 4πr = V r πr 3 = V = πr. 3
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 9 8 7 6 5 4 6 8 r Figuur A.: Oppervlkte vn een blik vn 85ml fnkelijk vn de strl vn et grondvlk Het gevl r = kunnen we rustig negeren (dn is et volume V = ), dus volgt dt r = en dus is de strl vn de cirkel lf zo groot ls de oogte vn de blik.voor een blik met een typisc volume vn 85ml vinden we dus r = 3 V π 5.3cm en.7cm. Dit zijn inderdd ongeveer de fmetingen vn een stndrdblik vn dit volume. Voorbeeld De kosten vn een uto zijn bepld door de kosten vn de benzine en de vste kosten die lleen mr fnkelijk zijn vn de tijd die de uto rijdt. Neem n dt de kosten voor de benzine met et kwdrt vn de sneleid stijgen. Wt is dn de optimle sneleid om een gegeven fstnd zo goedkoop mogelijk f te leggen? Als in de tijd t de fstnd s met sneleid v gereden wordt, dn geldt v = s t. De kosten voor de benzine op een fstnd s zijn dus k b = cv t = cv s v = csv (wrbij c de benzineprijs ngeeft) en de vste kosten voor dezelfde fstnd zijn k v = dt = d s v (voor een constnte d). De totle kosten fnkelijk vn de sneleid v zijn dus k(v) = csv + dsv en de fgeleide iervn is k (v) = cs dsv. We ebben k (v) = voor v = d c, dus is de meest economisce sneleid v = d c. Dit kunnen we ook kwlittief bevestigen, wnt ls de vste kosten reltief oger worden, is et goedkoper om sneller te rijden. 33
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 Voorbeeld 3 We ebben n punten,..., n op de -s gegeven en willen een punt beplen zo dt de som f() := ( ) +... + ( n ) vn de kwdrtisce fstnden vn vn de gegeven punten miniml wordt. Voor de fgeleide f () geldt f () = ( ) +... + ( n ) = n ( +... n ). We ebben dus f () = ls = n ( +..., n ), dus ls et rekenkundig gemiddelde vn de i is. 3. Functies vn meerdere vribelen en de prtiële fgeleide Tot nu toe ebben we lleen mr nr functies gekeken die vn één vribel fngen. Mr in de prktijk komen we vk functies tegen die vn een ntl prmeters fngen. Bijvoorbeeld is de fstnd vn de oorsprong vn een punt (, y, z) in de 3-dimensionle ruimte gegeven door de functie f(, y, z) = + y + z die drie vribelen eeft. Het is nu niet meer onmiddellijk duidelijk, oe we een fgeleide vn zo n functie moeten definiëren. Het zou ndig zijn ls de fgeleide weer de rictingscoëfficient vn de rklijn n de grfiek vn de functie is, mr et probleem is dt er in één punt rklijnen voor elke mogelijke ricting zijn. We moeten dus ook de ricting ngeven in die we de rklijn n de grfiek willen leggen. Het belngrijkste zijn de fgeleiden in de rictingen vn de coördintenssen. Deze vinden we door lle vribelen tot op één n ls constnt op te vtten. Dn is de functie slects nog een functie vn de overgebleven vribel en die kunnen we met de gewone regels fleiden. Voor een functie vn twee vribelen kunnen we dit ook grfisc interpreteren: De grfiek vn zo n functie kunnen we zien ls de verzmeling vn punten (, y, f(, y)) in de 3-dimensionle ruimte, net zo ls we de grfiek vn een gewone functie ls de verzmeling vn punten (, f()) in et -dimensionle vlk bekijken. Als we nu y tot een constnte y verklren, dn kijken we nr de doorsnede vn de grfiek (, y, f(, y)) met et vlk dt bepld is door de vergelijking y = y, dus nr de punten (, y, z) met z = f(, y ). Dit is een gewone grfiek vn een functie in één vribel zo ls in de pltjes in Figuur A. te zien. Mr voor zo n doorsnede kunnen we ntuurlijk zeggen wt de fgeleide zou zijn, nmelijk de rictingscoëfficiënt vn de rklijn n deze gewone grfiek. Deze fgeleide noemen we de prtiële fgeleide nr. Als we nu terug gn nr de definitie vn de gewone fgeleide, zien we dt de prtiële fgeleide nr in dit gevl gegeven is door de limiet lim f( +, y) f(, y). Omdt we voor de prtiële fgeleide nr lleen mr nr de verndering vn f(, y) in de ricting vn kijken, noemen we dit ook de rictingsfgeleide in de ricting vn. 34
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7.5.5 - -.5.5 -.5.5 -.5 - - -.5 y -.5.5 - - Figuur A.: Functie f(, y) en snede door deze functie voor y =.5 Anloog definiëren we nu de prtiële fgeleide voor een lgemene functie f(,..., n ) vn n vribelen. Voor de prtiële fgeleide nr i bendelen we de vribelen,..., i, i+,..., n ls constnten (d.w.z. net zo ls de constnten 5 of π) en interpreteren f zodnig ls een functie vn één vribel (nmelijk i ). Als we op de zo geïnterpreteerde functie de definitie vn de gewone fgeleide toepssen krijgen we de volgende lgemene definitie voor de prtiële fgeleide: A. Definitie Voor een functie f(,,..., n ) vn n vribelen eet f f(,..., i +,..., n ) f(,..., n ) := lim i de prtiële fgeleide vn f nr i, ls deze limiet bestt. Vk wordt de prtiële fgeleide f i ook kort ls f i gescreven. Ntuurlijk gebruiken we nooit deze limiet-definitie om een prtiële fgeleide te berekenen, mr pssen de gewone regels voor functies vn één vribel toe (wrbij we gewoon een pr constnten meer in de functie ebben). Voorbeeld: Zij f(, y, z) de functie vn drie vribelen, gegeven door f(, y, z) := log(yz), dn geldt: f = log(yz), f y = (yz) z = y, f z = (yz) y = z. Merk op dt we ook prtiële fgeleide kunnen itereren, dus we kunnen f = log(yz) weer prtieel fleiden. Als we dit bijvoorbeeld prtieel nr y fleiden, scrijven we dit ls y ( f ) = f y = (yz) z = y. 35
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 6/7 Omgekeerd kunnen we ook f y prtieel nr fleiden, dit geeft y ) = f y = y. We zien dus dt et geen verscil mkt of we eerst prtieel nr en dn nr y fleiden, of ndersom. f y = f ( f Merk op: Het is eleml niet vnzelfsprekend dt y geldt, mr dit is inderdd ltijd (belve in kunstmtig geconstrueerde gevllen) zo en eet de Stelling vn Scwrz. We oeven dus bij et cter elkr uitvoeren vn meerdere prtiële fgeleiden niet op de volgorde te letten. Nottie: We ebben l gezien dt we een tweede prtiële fgeleide y ( f scrijven ls f y. fgekort met f ) Als we twee keer in dezelfde ricting fleiden, wordt dit := f. In de vorige les ebben we gezien, dt sommige belngrijke functies door relties met un fgeleiden gekrkteriseerd kunnen worden. Zo is de eponentiële functie een oplossing vn de differentilvergelijking f () = f() en de sinus en cosinus zijn oplossingen vn de vergelijking f() + f () =. Dit soort vergelijkingen bestt ook voor de prtiële fgeleiden, we noemen zo n vergelijking een prtiële differentilvergelijking. Als voorbeeld kijken we nr de vergelijking: f + y f y + y f y =. We lten zien dt de functie f(, y) := y y We ebben f = y( y) y ( y) = y ( y) Hieruit volgt f f y = ( y) 3 voldoet. = y ( y), 3 en f y een oplossing iervn is: = ( y)+y ( y) = ( y). f y = ( y) ( y) ( y) = y 4 ( y) en 3 en we zien dt f(, y) inderdd n de vergelijking In et lgemeen is et oplossen vn prtiële differentilvergelijkingen een ingewikkeld probleem, meestl lten zic oplossingen lleen mr door numerieke benderingsmetoden vinden. Soms spelen bij de bescrijving vn problemen verscillende soorten vn vribelen een rol, bijvoorbeeld ruimtelijke coördinten en tijd of tempertuur en druk. Als voorbeeld iervoor bekijken we de functie Hiervoor geldt: f f t f(, y, t) := ep( t)(sin() + cos(y)). f = ep( t) cos(), f y = ep( t) sin(y), dus ebben we = ep( t) sin() en f = ep( t) cos(y). An de ndere knt geldt y = ep( t)(sin() + cos(y)), dus voldoet de functie n de vergelijking f + f y = f t. Deze vergelijking bescrijft de uitbreiding vn de itte (de prmeter t) op een gegeven oppervlk (met coördinten en y) en eet de ittevergelijking. 36