Functieonderzoek In dit hoofdstuk wordt de grfiek vn functies besproken. Voordt we het pltje kunnen tekenen moeten we ntl zken uitzoeken. Te denken vlt n domein, nulpunten, mim, minim, symptoten en buigpunten. In dit hoofdstuk zullen we op de meeste vn deze punten dieper ingn. We gn beginnen met de nieuwe onderdelen, het beplen vn mim, minim en buigpunten. Drn gn we in prgrf.4 complete functieonderzoeken uitvoeren. Het beplen vn mim en minim gn we in dit hoofdstuk doen met differentiëren.. Stijgen en dlen In de vorige module hebben we de fgeleide functie gedefinieerd. Deze functie geeft voor elke wrde vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn in het punt (,g()). We kunnen uit de eigenschppen vn de functie g'() uitsprken fleiden voor de functie g(). Neem n dt g een op het intervl V differentieerbre functie is. Als g'() > is voor elke V dn hebben lle rklijnen n de grfiek vn g een positieve richtingscoëfficiënt ofwel lopen vn linksonder nr rechtsboven. We zeggen dn dt g stijgend is op V. Als g stijgend is op V, horen bij grotere wrden vn V ook grotere functiewrden. b -s g() is stijgend op [,b] Neem n dt g een op het intervl V differentieerbre functie is. Als g'() < is voor elke V dn hebben lle rklijnen n de grfiek vn g een negtieve richtingscoëfficiënt ofwel lopen vn rechtsboven nr linksonder. We zeggen dn dt g dlend is op V. Als g dlend is op V, horen bij grotere wrden vn V kleinere functiewrden. b -s g() is dlend op [,b] J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz
smengevt: g'() > g'() < g() is stijgend de grfiek vn g() loopt omhoog g() is dlend de grfiek vn g() loopt omlg Voorbeeld g() - g'() - tekenschem vn g'() op R g'() - - (+)(-) - g' + - + - g st d st - Dus g() stijgend ls <- of > en dlend op het intervl [-,] Voorbeeld g() + 5 ( + 5) ( ) 6 + 6 + g'() ( + 5) ( + 5) ( + 5) tekenschem vn g'() op R: g'() nooit; noemer mg niet zijn, dus - 5 / + + g' - 5 / st st g - 5 / J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz
opgven opgve. Geef voor elk vn de volgende functies de intervllen wrop de functie stijgend respectievelijk dlend is. ) f() 4 b) f() + 6 + 8 c) f() ln() d) f() - e) f() f) f() + g) f() opgve. Welke vn de volgende functies zijn stijgend op hun domein? ) f() met Df R + b) f() + c) f() + + d) f() 5 +. Mim en minim Mim en minim smen orden in de wiskunde ook vk etreme wrden of etrem genoemd. In de vorige prgrf hebben we gezien dt een functie stijgend ws ls de fgeleide > is, en dlend ls de fgeleide kleiner dn is. Wt is er n de hnd ls de fgeleide gelijk is n nul? Als g'(), wt dn? g'() wil zeggen: punt wr rc rklijn d.w.z. rklijn horizontl Dn 4 mogelijkheden bij g (kijk nr de volgende 4 figuren: st d dn mimum d st dn minimum st st dn buigpunt d d dn buigpunt Bij tekenwisseling vn g'(): Bij geen tekenwisseling vn g'(): etreem buigpunt J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz
Voorbeeld g() - 4 + 5 g'() 6 4 g'() / - + g' / d st g / minimum ( / ;g( / )) ( / ; / ) In dit gevl gt het over een prbool en kunnen we ntuurlijk ook de top vn de prbool beplen met de l bekende rekenregels voor prbolen. Voorbeeld g() 4-6 + 4 g'() - 48 + 48 ( -4 + 4) (-)(-) g'() - + + g' d st st g dus minimum (;g()) (;) en buigpunt (;g()) (;6) TIPS: bij tekenwisseling vn g' vn + nr - bij : m (;g()) bij tekenwisseling vn g' vn - nr + bij : min (;g()) bij zelfde teken vn g' buigpunt (;g()) EIS is steeds wel g'() We kunnen ook nog rndetremen tegenkomen. Grootste m heet bsoluut m ndere reltief m Kleinste min heet bsoluut min ndere reltief min opgven opgve. Geef zo mogelijk de mim en minim en buigpunten met horizontle rklijn n vn de volgende functies: ) f() + 5 + 6 b) f() c) f() + d) f() 4 + 8 + 6 e) f() + f) f() + g) f() + + + 6 h) f() / + i) f() 5 + + j) f() J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 4
. Buigpunten Een functie kn vn boven f gezien een bergvorm (concf) of een dlvorm (conve) hebben. buigpunt Concf bergvorm conve dlvorm Het punt wr je een overgng hebt vn concf nr conve (of omgekeerd) heet een buigpunt. Hoe kunnen we zonder het pltje te tekenen uitvinden of we ergens een buigpunt hebben en de functie conve is of concf is. Hiervoor hebben we de tweede fgeleide nodig. Hoe vind je de tweede fgeleide? Als je bedenkt dt ls g() een functie vn is, dn is de fgeleide hiervn, g'() ook een functie vn. Deze functie kun je ook weer differentiëren. De fgeleide hiervn zou je eigenlijk moeten schijven ls : (g')'(). Dit doet men echter niet, men hnteert hiervoor de schrijfwijze g"(). Voor het uitvinden vn conve en concf in een punt met -coordint geld dn het volgende: g concf in g"() < g conve in g"() > g buigpunt in g"() en tekenwisseling bij g" in Voorbeeld Geef de vergelijking vn de rklijn in het buigpunt vn g ls g() -9 +4- Oplossing Eerst buigpunt beplen, hiervoor moeten we de -de fgeleide beplen en hiervn het tekenschem mken. g'() -8+4 g"() 6-8 g"() 6-8 - + g" Tekenwisseling en nulpunt vn g" voor, dus Buigpunt (;g()) (;-) De richtingscoëfficiënt vn de rklijn is te berekenen met rc rklijn g'() - Dit geeft ls vergelijking voor de rklijn: y - + b Gebruik mken vn het rkpunt geeft: (;-) - -9 + b b +7 Dus de gevrgde vergelijking vn de rklijn is: y -+7 J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 5
Voorbeeld Wr is de functie g conve/concf ls g ()? Oplossing: Om deze vrg te kunnen bentwoorden moeten we ook de -de fgeleide berekenen. Dr wr de -de fgeleide positief is is de functie g conve, en dr wr de -de fgeleide negtief is is de functie g concf. g'() g''() 9 + - g" Voor is de -de fgeleide niet gedefinieerd! (drom in het pltje boven de lijn) Dus g conve op < ;> en concf op intervl <; > Als je geen zin hebt een tekenoverzicht te mken vn de eerste fgeleide om vst te stellen of je in een nulpunt vn de eerste fgeleide een mimum, minimum of buigpunt hebt, kun je in dt punt ook nr de tweede fgeleide kijken: g'() en g"() < dn mimum voor g'() en g"() > dn minimum voor g'() en g"() dn is verder onderzoek nodig om vst te stellen of het een minimum, mimum of buigpunt is voor opgven opgve.4 Geef zo mogelijk de coördinten vn de buigpunten en de vergelijking vn de rklijnen in de buigpunten vn de volgende functies: ) f() b) f() 4 + 4 + c) f() 4-6 d) f() 4 + e) f() 6 5 f) f() - g) f() + J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 6
.4 Het tekenen vn grfieken Voordt de grfiek vn een functie getekend kn worden moeten we een ntl zken onderzoeken. Deze zijn: Domein bepling, voor welke wrden is de functie gedefinieerd nulpunten berekenen, voor welke wrden vn geldt g() symptoten (verticle en horizontle) tekenverloop vn g' en de etremen tekenverloop vn g" en de buigpunten tbel schets Al deze onderwerpen zullen in een ntl voorbeelden n de orde komen. Voorbeeld g() - Oplossing Domein: D g R, er stt geen beperking bij de functie en de functie heeft ook geen vreemde dingen Nulpunten: Hiervoor moet je oplossen de vergelijking g(), in dit gevl g() - (-) Asymptoten: Er zijn geen verticle symptoten, wnt D g R, en voor een verticle symptoot moet je een punt hebben wr de functie niet gedefinieerd is. Er zijn geen horizontle symptoten wnt g() gt nr min oneindig ls nr oneindig gt en g() gt nr oneindig ls nr min oneindig gt. Tekenschem g' en etremen g'() 6 (-) g'() Tekenschem: g'() - + - g() d st d Dus minimum ( ; ) en mimum ( ; 4) Tekenverloop g" en buigpunten g"() 6 6 6( ) g"() Tekenschem: g"() + - Tekenwisseling met nulpunt, dus buigpunt ( ; ) tbel - - 4 g() 4 4-6 J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 7
Schets Voorbeeld g() 9 Oplossing Domein: 9 - D g R \ {-, } Nulpunten: Hiervoor moet je oplossen de vergelijking g(), in dit gevl geen oplossingen, wnt de teller vn de breuk is en dit is nooit gelijk n nul. Asymptoten: Er zijn verticle symptoten - en en er is een horizontle symptoot y. Tekenschem g' en etremen ( 9) g'() ( 9) ( 9) g'() Tekenschem: g'() + + - - - g() st st d d - Dus mimum ( ; / 9 ) Tekenverloop g" en buigpunten ( 9) ( 9) ( 9) + 8 ( 9) g"() 4 (( 9) ) ( 9) J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 8
( ( 9) + 8 )( 9) ( 9) + 8 + 8 + 8 g"() 4 ( 9) ( 9) ( 9) g"() 6 + 8 6-8 - geen oplossingen Dus geen buigpunten. tbel -7-4 - - - 4 7 g() / 4 / 7 X - - 5 / 4 - / 9-5 / 4 - X / 7 / 4 Schets 6 ( + 8 9) Voorbeeld g() ln( ) Oplossing Domein: > > < - Dus D g < ; -> < ; > Nulpunten: g() ln( ) ± Asymptoten: verticl - en, wnt beide op rnd domein en ls nr vn de wrden gt gt g() nr - horizontl geen, wnt ls nr ± gt gt g() nr Etremen: g'() g'() hierbij geen etreem, wnt D g ( ) 4 Buigpunten: g''() ( ) ( ) ( ) g"() - - - - geen oplossingen, dus geen buigpunten J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 9
Tbel Schets 4,,5 g(),7,, -,6 -, Voorbeeld 4 g() e Oplossing: Domein: geen beperkingen Dus D g R Nulpunten: g() e e Asymptoten: verticl geen, wnt D g R horizontl dn g() dus dn geen - dn g(), dus dn H.A. y Etremen: g'() e + e ( + )e (+)e g'() + e - Tekenschem: g'() + - + - g() st d st - Dus m (- ; 4e - ) (- ;,54) en min ( : ) Buigpunten: g"() ( + )e + ( + )e ( + + + )e ( + 4 + )e g"() + 4 + geen oplossingen, dus geen buigpunten J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz
Tbel Schets -4 - - f(),,4,4,7 9,5 Voorbeeld 5 g() Oplossing Domein:, dus D g [, > Nulpunten: Asymptoten: geen Etremen: g'() g'() heeft geen nulpunten, en is voor niet gedef. Dus g stijgend en rndmin. (;) Buigpunten: g"() 4 is nooit nul, dus geen buigpunten Tbel: 4 9 g(),4,7 J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz
Schets: Voorbeeld 6 g() 6 Oplossing Domein: 6-, dus D g [-4;4] Nulpunten: 6 ±4 Asymptoten: geen, wnt gesloten domein en drom geen verticle symptoten en geen horizontle symptoten omdt en - niet in het domein zitten Etremen: g'() ( 6 ) ( ) 6 g'() - Tekenschem: g'() niet + - niet gedef -4 4 g() st d -4 4 Dus mimum (;4) en rndminimum (-4;) en (4;) Buigpunten: 6 g"() ( 6 ), dus geen buigpunten tbel -4 - - - 4 g(),6,5,9 4,9,5,6 J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz
Schets 5 4-4 -, -,4 -,6 -,8 y-s,8,6,4, 4 -s opgven opgve.5 Doe voor de volgende functies een compleet functieonderzoek: ) f() b) f() + c) f() 4 + 6 d) f() 4 e) f() 5 f) f() 5 g) f() + 8 h) f() ln( ) i) f() e e J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz
Kosten en ontvngsten In dit hoofdstuk wordt over economie wordt gebruik gemkt vn de kennis vn functieonderzoek die je in het vorige hoofdstuk hebt opgedn. Hier wordt ingegn op kosten en ontvngsten en de direct hiermee smenhngende winstfunctie.. Kosten De functie die n iedere geproduceerde hoeveelheid (q) de kosten koppelt heet de kostenfunctie. Kostenfuncties zijn stijgend, wnt ls er meer geproduceerd wordt zullen de kosten hoger zijn. Het domein vn de kostenfunctie is <, >, wnt negtieve ntllen kun je niet produceren, en een geproduceerde hoeveelheid die gelijk is n is ook niet interessnt.. Kosten zijn op te delen in vste kosten en vribele kosten. Bij vste kosten moet je denken n kosten die niet rechtstreeks n het product gekoppeld zijn. Bijvoorbeeld de kosten vn het gebouw, dministrtie directie, schoonmk, etc. De vribele kosten zijn lle kosten min de vste kosten. Bijvoorbeeld de kosten vn grondstoffen en rbeid. Als er niets geproduceerd wordt zijn deze kosten nul. We zullen de kostenfunctie bijn ltijd nduiden met K(q). De fgeleide vn de kostenfunctie K (q), wordt de mrginle kostenfunctie genoemd en vk ngeduid met MK(q). Deze functie geeft de iedere productiehoeveelheid q de toenme vn de kosten per eenheid product. Het domein vn de mrginle kostenfunctie is ook het intervl <, >. In het idele gevl voldoen kostenfuncties n de wet vn de disproportionele kosten. Dt wil zeggen dt ze in eerste instntie degressief (K (q)> en K (q)<) en vervolgens progressief (K (q)> en K (q)>) stijgend zijn. De gemiddelde kostenfunctie, de kosten per eenheid product, wordt ngeduid met GK(q), en is dus het quotiënt vn K(q) en q. Voorbeeld Onderzoek de kostenfunctie K(q) (q - ) + 8 Oplossing Domein: D K < ; > Vste Kosten K() (-) + 8-8 + 8 Nulpunten: (q - ) + 8 (q ) -8 (q ) - q, buiten Domein Asymptoten: geen Etremen: K'(q) (q ) K'(q) (q ) q q Tekenschem: K'(q) niet gedef. + + + + K(q) niet gedef. st st st Dus geen etremen Buigpunt (, 8) heeft horizontle rklijn J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 4
Buigpunten: K"(q) 6(q ) K"(q) 6(q ) q q. K"(q) niet gedef. - - - + Dus een buigpunt voor q. Buigpunt (, 8) We zien hier ook dt deze kostenfunctie voldoet n de wet vn de disproportionele kosten. tbel q, 4 K(q),4 7 8 9 6 schets Opgven Opgve. Gegeven is de kostenfunctie K(q) (q ) 6 + ) Bereken de vste kosten b) Bereken de gemiddelde kosten c) Teken de grfiek vn K. d) Onderzoek of K voldoet n de wet vn de disproportionele kosten. Opgve. Gegeven is de kostenfunctie K(q) q + q + 9. ) Bereken de functie GK uitgedrukt in q. J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 5
b) Bereken het minimum vn GK en de wrde vn q wrvoor dit optreedt ( de zogenmde optimle bedrijfsgrootte) c) Bereken de mrginle kostenfunctie( K (q)) d) Lt zien dt het lgste punt vn de grfiek vn GK op de grfiek vn de mrginle kosten ligt.. Ontvngsten De functie die n iedere hoeveelheid product q, het bedrg koppelt, dt voor de hoeveelheid product ontvngen wordt, heet ontvngstenfunctie en duiden we n met O(q). Het domein vn de ontvngstenfunctie is net ls bij de kostenfunctie het intervl <, >. Het punt (, ) hoort dus niet bij de grfiek vn de ontvngstenfunctie. Als de prijs die voor een product betld wordt gelijk is n p, dn geldt uiterrd: O(q) p q. De fgeleide vn de ontvngstenfunctie O(q), O (q) wordt mrginle ontvngstenfunctie genoemd en weer ngeduid met MO(q). Deze functie geeft voor iedere productiehoeveelheid q de toenme vn de ontvngsten per eenheid product. De gemiddelde ontvngstenfunctie, de ontvngst per eenheid product, wordt ngeduid met GO(q), en is dus het quotiënt vn O(q) en q. Voor de ontvngstenfunctie onderscheiden we twee mogelijkheden: De producent opereert op een mrkt vn volledige mededinging. De prijs is dn constnt (de evenwichtsprijs) en O(q) p q is dus een eerstegrdsfunctie. De producent is een monopolist, dt wil zeggen, de enige nbieder vn het product. De producent heeft dn te mken met een zogeheten prijsfzetfunctie p f(q), die het verbnd ngeeft tussen prijs en hoeveelheid fgezet product. Hierin is f(q) geen constnte functie. Deze prijsfzetfunctie wordt ook wel vrgfunctie genoemd. Voorbeeld Gegeven is de ontvngstenfunctie O(q) 4q q Bereken MO en GO en teken de grfiek vn O, GO en TO in één ssenstelsel. Oplossing O(q) 4q q is een bergprbool met nulpunten bij q (niet in domein) en bij q 4. De top is het punt (, 4) MO O (q) 4 q. Dit is een rechte lijn door (, 4) en (, ) O(q) 4q q GO 4 q Dit is een rechte lijn door de punten (, 4) en (4, ) q q 5 4 O GO 4 5 MO J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 6
Opgven Opgve. Voor een producent geldt de ontvngstenfunctie: O 8q q met D O <, 8> Q in eenheden vn stuks, en O in eenheden vn., ) Is hier sprke vn een monopoliesitutie? (Motiveren) b) Geef Mo en GO uitgedrukt in q en schets de grfieken vn O, MO en GO in één figuur. c) Hoeveel ontvngt de producent miml, en hoe groot is dn de productieomvng?. Winst De winst vn een producent is gelijk n ontvngsten kosten. Dus voor de winstfunctie W geldt: W(q) O(q) K(q) Het domein vn deze functie is ook weer net ls bij ontvngsten en kostenfunctie het intervl <, >. De wrden vn q (dus de productiehoeveelheden) wrbij quitte wordt gespeeld, dus de winst is, heten brek-even punten. Als de winst miml is, dn geldt: W O - K O K MO MK In woorden: ls de winst miml is, dn geldt: mrginle ontvngsten mrginle kosten. Merk op, dt ndersom niet hoeft te gelden: MO MK de winst is miml. Het zou nmelijk ook kunnen, dt de winst miniml is. Het is drom hndiger de mimle winst te bereken met de fgeleide vn de winstfunctie. Voorbeeld Een producent opereert op een mrkt vn volledige mededinging. De evenwichtsprijs is. De Kostenfunctie is : K(q) (q ) + 8 ( q -6q + q) ) Geef de winstfunctie uitgedrukt in q. b) Bereken de mimle winst. c) Bereken de brek-even punten. d) Schets in één figuur de grfieken vn O(q) en K(q) en geef de mimle winst n in deze figuur. Oplossing ) O(q) p q q W(q) O(q) K(q) q (q 6q + q) -q + 6q b) W (q) -q + q W (q) -q + q -q(q 4) -q q 4 q q 4 tekenschem W (q) + + - 4 Dus nulpunt vn W (q) en tekenwisseling voor q 4 Dus mimle winst voor q 4, de winst is dn W(4) -4 + 6 4-64 + 96 c) Brek-even punten voor W(q) W(q) -q + 6q -q (q 6) -q q 6 q q 6 Het brek-even punt is dus q 6. ( niet, wnt behoort niet tot het domein vn W(q)) J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 7
d) Grfiek: K(q) O(q) Mimle winst Opgven Opgve.4 Voor een producent geldt de prijsfzetfunctie p -q + 9 De totle kosten zijn K(q) / 9 q q + q ) Voor welke wrden vn q heeft de prijsfzetfunctie betekenis? b) Geef het voorschrift voor MK, GK, O, MO en GO uitgedrukt in q. c) Bereken de mimle winst en de wrde vn q, wrvoor die optreedt. d) Bereken het brek-even punt. e) Schets in één figuur de grfieken vn K en O en geef de mimle winst n. Opgve.5 Voor een producent, die opereert op een mrkt vn volledige mededinging geldt de geldt de kostenfunctie K(q) / 9 q q + q De evenwichtsprijs is 5 / ) Bereken het voorschrift vn de winstfunctie, uitgedrukt in q en bereken de mimle winst en de wrde vn q wrvoor deze optreedt. b) Schets de grfieken vn K en O in één figuur en geef de mimle winst in die figuur n..4 Elsticiteiten Met behulp vn de fgeleide kn het begrip elsticiteit gedefinieerd worden. In de wiskunde is dit begrip niet echt belngrijk, mr voor economische toepssingen des te meer. In de economie zijn we meestl niet geïnteresseerd in de bsolute toenme of fnme, meer in de reltieve verndering. Elsticiteit is een mt voor reltieve verndering. In deze prgrf J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 8
zullen we eerst de puur wiskundige formule knt n de orde lten komen, en dn ps kijken nr de economische toepssing..4. Het begrip elsticiteit y De fgeleide vn een functie y g() hebben we leren kennen ls lim. Hierin stellen y en de toenme vn y respectievelijk voor. De fgeleide is dus de verhouding vn y en ls in bsolute yin onbeperkt klein wordt. y en heten de bsolute toenme vn y en vn. Vk is men niet in de verhouding vn de bsolute toenme vn y en vn (de fgeleide dus) geïnteresseerd mr in die vn de reltieve toenmen vn y en. Onder de reltieve toenme vn, weergegeven met δ verstn we de toenme ls gedeelte vn. Dus δ. Vk wordt de reltieve toenme in procenten uitgedrukt,. Voorbeeld: Als 5 en, dn geldt δ, % 5 Onder de elsticiteit vn een functie y g(), genoteerd ls E,y (spreek uit ls: de - elsticiteit vn y), verstn we de verhouding vn δy en δ ls δ in bsolute zin onbeperkt klein wordt. δy Dus:,y δ E lim δ Als de reltieve toenme tot ndert, geldt dt ook voor de bsolute toenme. Dus δ kn worden vervngen door. De formule voor de elsticiteit vn een functie y g() kn dn ls volgt worden uitgewerkt: y E,y lim δ δy δ lim y lim y y lim y Smengevt: Voor de elsticiteit vn een functie y g() vinden we: y g'() E, y y g'() Deze formule geldt lleen voor wrden vn wrvoor o en g() en wrvoor g () bestt. Voor de nulpunten vn de functie g() is de elsticiteit dus niet gedefinieerd. Gevolg: Met fgeleide en elsticiteit kunnen de vernderingen in de functiewrde benderd worden ls de verndering in de -wrde bekend is (eis is dt de verndering klein is) : y g () eis hierbij: is klein δy E,y δ eis hierbij: δ is klein Opmerking: Als we een wrde benderen in plts vn berekenen, wt we regelmtig doen omdt het eenvoudiger of sneller gt, krijgen we een fwijking in het ntwoord. Deze fwijking wordt de gemkt fout genoemd. Hierin kennen we soorten: y J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 9
De bsolute fout, het verschil in de werkelijke wrde en de benderde wrde, in formulevorm: bsolute fout werkelijke wrde benderde wrde De reltieve fout, het quotiënt vn bsolute fout en werkelijke wrde, in bsolutefo ut formulevorm: reltieve fout werkelijke wrde Vk wordt de reltieve fout in procenten uitgedrukt. Als de werkelijke wrde onbekend is en de bsolute fout gekregen is door schtting, wordt in de formule voor de reltieve fout de werkelijke wrde vervngen door de benderde wrde. Voorbeeld Gegeven is de functie g() + ) Bereken g (), E,y, g () en E,y voor b) Bereken de toenme vn y met behulp vn de fgeleide ls voor met, toeneemt en geef de bsolute en de reltieve fout in deze berekening. c) Bereken de reltieve toenme vn y met behulp vn de elsticiteit ls voor met % toeneemt en geef de bsolute en de reltieve fout in deze berekening. Oplossing ) g() -+ g'() 4- (4 ) E,y f '() ( 4 ) y + + E,y () (4 ), 5 + 4 b) Bereken y ls en, y f '() f '(),, werkelijk y f(,) - f(), -, bsolute fout is dus, reltieve fout, /,,7 c) Bereken δy ls en ongeveer % toeneemt. δy E,y δ,5,,5,5% werkelijke wrde vn,, δy,57% f() bsolute fout,7% reltieve fout,7 /,57,7,7%.4. Elsticiteit in economische toepssingen : bsolute toenmen zegt vk weinig, toenme vn miljoen zegt niets ls we het oorspronkelijk bedrg niet weten, miljoen groei op miljrd of miljoen groei op 5 miljoen is een groot verschil. bsolute toenmes zijn vk niet te vergelijken; ls een prijsverhoging vn euro een omzetdling vn stuks geeft zegt dt niets, reltieve toenmes wel; prijsverhoging vn % geeft omzetdling vn %. Voor het berekenen vn reltieve toenmes is elsticiteit een mooi hulpmiddel J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz
Voorbeeld G uit vn de vrgfunctie: q -½p + met hierbij q <;> en p <;> Gevrgd wordt de prijselsticiteit vn de vrg, dus E p,q? Oplossing Dit is de prijselsticiteit vn de vrg, deze is negtief wnt hogere prijzen geeft lgere fzet. dq p p E p, q dp q q Als functie vn p geeft dit: p p p p Ep,q q p + ( p + ) p Als functie vn q geeft dit: p q + ( q + ) q E p, q q q q q schets vn E p,q ls functie vn q: E ls functie vn q -5 4 6 8 E - -5 - q We noemen het gebied vn <;5> het elstische gebied vn de vrgfunctie. ( E >) en het gebied <5,> het inelstische gebied. ( E <) Opgven Opgve.6 Zij gegeven de kostenfunctie K(q) + K(q) kostenfunctie GK q q. Bereken de elsticiteit vn de gemiddelde Opgve.7 De prijsfzetfunctie bij een bepld product is ls volgt gegeven q f(p) ) Bereken de elsticiteit vn de functie f(p) ln( p + ) p J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz
b) Hoeveel stijgt de fzet ongeveer ls de prijs vn 4 euro % dlt. Opgve.8 De remweg (in meters) vn een uto is fhnkelijk vn de snelheid (in meter per seconde) en wordt gegeven door de volgende functie: remweg f() +, wrbij de snelheid is. ) Bereken de elsticiteit vn de remweg b) Bereken met behulp vn elsticiteit hoeveel de remweg vergroot wordt, ls bij een snelheid vn m / s de snelheid % vergroot wordt. Opgve.9 De prijsfzetfunctie bij een bepld product is ls volgt gegeven q f(p) ) Bereken de elsticiteit vn de functie f(p). b) Hoeveel stijgt de fzet ongeveer ls de prijs vn euro % stijgt? p e p + J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz
Integreren Integreren is het tegengestelde vn differentiëren. Bij het oplossen vn de differentilvergelijkingen is deze techniek noodzkelijk. Integreren vinden we ook terug in het berekenen vn knsdichtheid in de sttistiek en bij het beplen vn oppervlkten. De ltste mogelijkheid die ik wil noemen om integreren te gebruiken is voor het beoplen vn consumenten- en producentensurplus.. Primitieve functies De fgeleide vn de functie g() is g (). Omgekeerd noemen we de functie een primitieve vn de functie. Een functie heeft meerdere primitieven. Zo zijn ook - en + primitieven vn, wnt beide functies hebben ls fgeleide. De verzmeling vn lle primitieve functies vn is + c met c R. Dit wordt genoteerd ls d + c. Het linkerlid wordt uitgesproken ls: integrl d. Het teken heet het integrlteken. De vorm heet de integrnd. heet de integrtievribele of de integrtor. c heet de integrtieconstnte. Als G() een primitieve is vn g() dn geldt uiterrd: g()d G() + c met c R G () g() Voorbeelden d / + c (5 +)d 5 / + + c d d + c e d e + c d ln + c ( + )d + + c Algemene Formules: n n+ d + c n + e d e + c d + c ln d ln + c (n ) ( > ) ( ) Met deze lgemene formules hebben we nog niet genoeg bgge om lles te kunnen integreren. We hebben net ls bij differentiëren voortbrengingsregels nodig. J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz
Deze voortbrengingsregels zijn wt lstiger ls de regels bij het differentiëren. Drom beperken we ons tot de volgende regels: Cf()d C f()d met C R (f() ± g())d f()d ± g()d Opmerking: Er geldt dus niet ls regel: (f() * g())d f()d * g()d Voorbeelden: + d d + c + c + c + + ( + )d d + d + + c + + c + + + d d + c + c + + d () d + c + c + d + c ln + 5d ( + 5) d ( 5) + + + c ( + 5) + c + Opgven Opgve. Bereken vn de volgende functies steeds de primitieve ) f() 5 c) f() - e) f() -5 4 b) f() d) f() n (n -) f) f() 5 Opgve. Bereken vn de volgende functies steeds de primitieve ) f() 6-5 c) f() + ½ e) f() ¼ + b) f() 6 d) f() 4 + f) f() + Opgve. Bereken vn de volgende functies steeds de primitieve ) f() 5 6 + c) f() e) f() b) f() 5 6 + 4 -½ d) f() f) f() + Opgve.4 Bereken vn de volgende functies steeds de primitieve J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 4
) f() b) f() + c) f() e) f() e - d) f() e f) f() e Opgve.5 Bereken vn de volgende functies steeds de primitieve 4 ) f ( ) + + c) f ( ) + b) f ( ) 5 + d) f ( ) e ( + e ). De beplde integrl b f ()d met,b R wordt een beplde integrl genoemd. (ls er geen en b stn heet het een onbeplde integrl). Definitie b f ()d F(b) - F() b F() In deze formule heet: heet de ondergrens vn de integrl b heet de bovengrens vn de integrl het intervl [,b] ls <b of [b,] ls b< heet het integrtie-intervl. Opmerkingen: b f ()d is slechts dn gedefinieerd ls f() bestt voor lle wrden vn op het integrtie-intervl b f ()d is een reëel getl en f()d is een verzmeling vn functies. Voorbeelden ( + )d + (7 + ) - ( + ) - 8 ( + )d + (7 + ) - (8 + ) - 4 d 4 4 4 J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 5
d ln ln ln ln ln d niet gedefinieerd, wnt is niet gedefinieerd voor rekenregels We gn er hierbij vn uit dt de genoemde integrlen gedefinieerd zijn. b C f ()d C f ()d b (f () ± g())d f ()d ± g()d b f()d f ()d b c b f()d + f()d f()d b b b c voorbeeld d + d d d + d + d d b Opgven Opgve.6 Bereken de volgende beplde integrlen 4 4 + 5 + + 4 ) d c) d 5 b) 4 d 5 d) d 7 9 9. Integrl en oppervlkte Met behulp vn beplde integrlen kn men soms de oppervlkte vn gebieden uitrekenen. Als het te berekenen oppervlk op de volgende mnier ngeduid kn worden lukt dt. De oppervlkte vn het gebied begrensd door: de lijnen, b, de -s en de grfiek vn de functie f is b f ()d. In een pltje ziet dt er ls volgt uit: f J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 6 b
Eis hierbij is dt de functie f() op het gehele intervl [, b] bestt en integreerbr is. Tevens moet f() op dit intervl steeds groter dn of gelijk n nul zijn. Als de functie f() op het gehele intervl negtief is, dn is de oppervlkte vn het gebied ingesloten de lijnen, b, de -s en de grfiek vn de functie f, gelijk n de oppervlkte vn het gebied ingesloten de lijnen, b, de -s en de grfiek vn de functie -f (spiegel het gebied in de -s). Dit gebied is begrensd door een positieve functie en lijnen en hiervoor geld de formule uit het begin vn de prgrf, dus deze oppervlkte is b f ()d. Als de functie op een deel vn het intervl [, b] positief is en op een deel negtief, moet je het intervl [, b] verdelen in stukjes, zodt op elk stukje de functie heleml positief is of heleml negtief. Dn kun je op elk stukje de oppervlkte vn het ingesloten gebied berekenen met integreren en drn tel je de gevonden wrden (moeten lle positief zijn) bij elkr op. Voor het bereken vn de oppervlkte vn het gebied tussen de grfieken vn functies moeten we eerste de snijpunten vn de grfieken beplen. Als we uitgn vn de functies f en g en ls deze snijpunten hebben bij en bij b ( < b) en ls we nnemen dt f() op het intervl [, b] groter is dn g(), dn is de oppervlkte vn het ingesloten gebied: Opp b f ()d b g()d b (f() g())d Voorbeeld Oppervlkte begrensd door lijnen,, -s en grfiek vn Opp d 4 4 4 4 Voorbeeld Oppervlkte begrensd door lijnen y, y, y-s en grfiek vn Opp - Opp vb - / 4 / 4 Als de functie f negtief is op het hele intervl <,b>, dn spiegelen we de functie in de -s, en rekenen dn de oppervlkte vn het gebied begrensd door: de lijnen, b, de -s en de grfiek vn de functie -f uit. b Dit is f ()d Voorbeeld Oppervlkte begrensd door lijnen -,, -s en grfiek vn Opp d + d J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 7
4 4 4 + + 4 4 4 4 4 Voorbeeld 4 Oppervlkte begrensd door grfiek vn f() +8+ en g()- +4+8 Oplossing Snijpunten vn f() en g() zijn: f()g() +8+- +4+8 +4-6 +-8 (+4)(-) -4 Opp g()d - f ()d ( g() f ())d ( 4 4 4 ( 4 + 6)d + 6 7 4 4 4 + 4 + 8 8 )d Opgven Opgve.7 Bereken de oppervlkte vn het gebied ingesloten door de lijnen, e, de -s en de grfiek vn f() / Opgve.8 Bereken de oppervlkte vn het gebied ingesloten door de lijnen -,, de -s en de grfiek vn f() Opgve.9 Bereken de oppervlkte vn het gebied ingesloten door de grfieken vn f() 5 6 en g() +.4 Economische toepssingen.4. Totle omzet De hoeveelheid die de consumenten vn een bepld product nschffen, is onder ndere fhnkelijk vn de prijs. Onder ndere, omdt uiterrd meerdere fctoren, zols onmisbrheid, in de mode zijn en het totl besteedbre budget vn de consument ook een rol spelen. We nemen n dt deze fctoren op korte termijn niet vernderen zodt de vrg vn de consument uitsluitend fhnkelijk is vn de prijs. Het voorschrift, dt n iedere prijs de vrg koppelt, heet de vrgfunctie vn dt product. Zo n vrgfunctie zl in het lgemeen geen eerstegrds functie zijn. Het berekenen vn de totle omzet ws tot nu toe geen probleem, de echte moeilijke gevllen hdden we nog niet besproken. De vrg wt de totle omzet is ls de prijs niet constnt is komt hier n de orde. De prijs wordt in dt gevl bepld door de vrgfunctie V(p). Als deze niet constnt is is de omzet niet het product vn prijs en verkochte ntllen. J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 8
G nu uit vn de volgende situtie: We hebben een vrgfunctie V(p) We beginnen te verkopen met een prijs p, de hoogste prijs Gedurende de verkoopperiode is de prijs monotoon dlend tot de prijs gezkt is tot de minimumprijs p u Dit betekent: V(p) monotoon dlend op [p u ; p ] Wt zijn nu de totle ontvngsten? We onderscheiden hierbij gevllen: De prijs gt met stpjes p omlg De prijs gt continu omlg. Uitgnde vn het eerste gevl: -ste prijs: p geeft ontvngsten V(p ) * p -de prijs p - p geeft ontvngsten (V(p - p) - V(p )) * (p - p) -de prijs p * p geeft ontvngsten (V(p * p) - V(p - p)) * (p - * p) 4-de prijs p * p geeft ontvngsten (V(p * p) - V(p * p)) * (p - * p) 5-de prijs p 4* p geeft ontvngsten (V(p 4* p) - V(p * p)) * (p - * p) 6-de prijs p 5* p geeft ontvngsten (V(p 5* p) - V(p 4* p)) * (p - * p) 7-de prijs p 6* p geeft ontvngsten (V(p 6* p) - V(p 5* p)) * (p - * p) en zo gt het misschien nog een tijdje door ltste prijs p u geeft ontvngsten (V(p u ) - V(p u + p)) * (p u ) De totle omzet is dn: O V(p ) * p + (V(p - p) - V(p )) * (p - p) + V(p * p) - V(p - p)) * (p - * p) +.+ (V(p u ) - V(p u + p)) * (p u ) Zeker ls het ntl prijsdlingen groot is, is dit en helse rekenprtij. V(p). 4. Prijsdling 4. Prijsdling (V(p- p) V(p- p))*( p- p) (V(p- p) V(p))*(p- p) V(p)*p p pu p-4 p p- p p- p p- p p In de grfiek gezien moet je de oppervlkte vn lle rechthoeken uitrekenen. J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz 9
Uitgnde vn het tweede gevl: de prijsdling is continue: Als de prijsdling continu wordt de totle omzet miml en is dn: O p u V(p u ) + p p u V(p) dp In de figuur is dt het gebied onder de grfiek vn V(p) en het rechthoekje links er vn. Bij continue prijsdling is de totle omzet miml, des te kleiner de stppen bij de prijsdlingen, des te groter de totle ontvngst. Voorbeeld: Vrgfunctie V(P) p p [8 ; ] p V(p ) V(p) O*V()+( )(V(99)-V())+( )(V(98)-V(99))+ +(-)(V(8)-V(8)) * + 99* + 98* + + 8* 79 p,5 V(p,5) V(p) 5 O*V()+(,5)(V(99,5)-V())+( )(V(99)-V(99,5))+.. +(-)(V(8)-V(8,5)) * + 99,5*5 + 99*5 + + 8*5 795 Bij continue prijsdling O p u V(p 8 u ) + p p u V(p)dp 8 + (p - 5p + ) 8 8 8 (- p) dp.4. Consumentensurplus De consumenten oefenen een beplde vrg nr een product uit. De producenten drentegen bieden een beplde hoeveelheid n. We onderscheiden hier twee situties: Er is mr één producent vn het product, een monopolist genmd. Deze kn, omdt hij de enige producent is, zelf zijn prijs vststellen. De consumenten beplen vervolgens de vrg. Er zijn vele producenten vn het product. Zij opereren op een zogeheten mrkt vn volledige mededinging. In dt gevl kn een producent de prijs niet onfhnkelijk vststellen. De hoeveelheid vn een product die de producenten op een mrkt vn volledige mededinging nbieden, is onder ndere fhnkelijk vn de prijs die ze ervoor krijgen. Onder ndere, omdt ook fctoren ls productietechniek en grondstofprijs een rol spelen. We nemen n dt deze fctoren op korte termijn niet vernderen, zodt het nbod vn de producenten uitsluitend J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz
fhnkelijk is vn de prijs. Het voorschrift, dt n iedere prijs het nbod vn een product koppelt, heet de nbodfunctie vn dt product. Zo n nbodfunctie zl over het lgemeen geen eerstegrds functie zijn. Norml gezien krijg je door een wisselwerking tussen vrg en nbod een evenwicht in de prijs, de mrktprijs p M. Deze mrktprijs kun je vinden door het snijpunt vn de vrgfunctie en de nbodfunctie te beplen. In formulevorm: A(p M ) V(p M ) De totle omzet is dn: TO p M *V(p M ) Een ntl consumenten is echter bereid een hogere prijs te betlen ls de mrktprijs p M. Bij een continue prijsdling vnf de hoogste prijs p tot de mrktprijs p M is hierdoor een etr p ontvngst mogelijk: C V(p)dp. pm Dit geeft voor de producent etr inkomsten t.o.v. de situtie dt lles tegen mrktprijs verkocht wordt. Deze etr ontvngsten worden consumentensurplus genoemd. V(p) Totle Ontvngst bij verkoop tegen mrktprijs C A(p) p M p.4. Producentensurplus Een ntl Producenten is soms ook bereid te verkopen onder de mrktprijs. Door onder de mrktprijs te verkopen hebben ze minder ontvngsten. Bij een continue prijstijging vn de minimumprijs p u tot de mrktprijs p M is de mindere omzet:. P P heet het Producentensurplus p M pu A(p)dp V(p) A(p) TO P p u p M p J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz
Opgven Opgve. Op het intervl [ ; ] is de vrgfunctie f ( p). p ) Bereken de totle omzet vn een monopolist, indien hij de prijs continu lt zkken vn p tot p. b) Bereken de totle omzet, indien hij de prijs steeds één eenheid lt zkken bij een beginprijs vn tot een eindprijs vn p. Opgve. 9 Gegeven is voor p de nbodfunctie A( p) p p + en de vrgfunctie 4 4 V( p) 8,8p. ) Bereken de mrktprijs b) Bereken het consumentensurplus voor p p c) Bereken het producentensurplus voor p p u Opgve. Op het prijsintervl [ ; e] zijn A ( p) + p en V ( p) + de nbod- en vrgfunctie. p ) Bereken de mrktprijs b) Bereken het consumentensurplus voor prijzen tussen mrktprijs en prijsbovengrens e c) Bereken het producentensurplus voor prijzen tussen prijsondergrens p u en de mrktprijs. Opgve. Op het prijsintervl [ ; 9] zijn A ( p) p + en V( p) 6 p de nbod- en vrgfunctie. 4 ) Bereken de elsticiteit vn de vrgfunctie en bereken voor welke wrde vn p de elsticiteit ongeveer,5% is. b) Bereken de mrktprijs. c) Bereken het producentensurplus. d) Bereken de totle omzet vn een monopolist indien de prijs vn p9 steeds in stpjes vn zkt tot de prijs p. Geef het ntwoord met cijfer chter de komm. e) Bereken voor welke wrde vn p de totle omzet vn een monopolist zijn mimum heeft. Opgve.4 Op het prijsintervl [ ; ] zijn A( p) p 6p + 7 en V ( p) 9p + 97 de nbod- en vrgfunctie. f) Bereken de elsticiteit vn de nbodfunctie en bereken voor welke wrde vn p de elsticiteit ongeveer is. g) Bereken de mrktprijs. h) Bereken het producentensurplus. i) Bereken de totle omzet vn een monopolist indien de prijs vn p steeds in stpjes vn zkt tot de prijs p. Geef het ntwoord met cijfer chter de komm. j) Bereken voor welke wrde vn p de totle omzet vn een monopolist zijn mimum heeft. J.Hollink Dictt MR_N4 wiskunde blz