Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen # Uitwerking Vraagstuk 1. tel de doorsnijding van de oppervlakken x + y + z 4 en z 1. Van bovenaf bekijkt is de kromme georiënteerd tegen de klok in. tel Fx, y, z x î + y ĵ + zˆk. Bereken de lijnintegraal F dr op twee manieren: a direct; b met behulp van een geschikte stelling Gauss of tokes of Green. Uitwerking. a De kromme is heel duidelijk de doorsnijding van een bol rond de oorsprong met straal 4 en het vlak z 1 parallel een het xy vlak. Invullen van de vergelijking z 1 in x + y + z 4 levert x + y 3; samen met z 1 beschrijft deze vergelijking een cirkel rond het punt,, 1, met straal 3, en op het vlak z 1 liggend. Parametrisatie van : x 3 cost y 3 sint z 1 rt 3 cost î + 3 sint ĵ + ˆk, met t : π. Element dr: dr r t dt 3 sint î + 3 cost ĵ dt. F geëvalueerd op : Fxt, yt, zt xt î + yt ĵ + ztˆk 3 cost î + 3 sint ĵ + ˆk.
Integraal: F dr. Fxt, yt, zt r t dt 3 cost î + ˆk 3 sint ĵ + 3 sint î + 3 cost ĵ dt 3 cost sint + 3 sint cost dt merk op dat Fxt, yt, zt r t voor alle t! N.B.: Het is geen toeval dat het resultaat gelijk aan nul is. Het vectorveld is gelijk aan de plaatsvector, Fr r, en het is dus loodrecht op de gegeven bol. Aan de andere hand ligt r op de raaklijn van de cirkel en dus ook op het raakvlak van het bol want de cirkel ligt zelf op die bol. Dus, F en r zijn loodrecht op elkaar ofwel F r. b De stelling van tokes is van toepassing want is een gesloten kromme. Deze stelling beweert dat F dr F ˆn d, met rand. Twee voor de hand liggende keuzes voor zijn i de eenheidsschijf rond,, 1 en parallel aan de xy vlak en ii het gedeelte van de gegeven bol met z 1. Het is raadzaam de integrand F te berekenen vóór een keuze voor te maken. F: F / x / y / z x y z î + ĵ + ˆk ˆ. Integraal: Het is duidelijk dat de integraal van over elk oppervlak levert nul op: F dr F ˆn d ˆn d. Natuurlijk leidt de stelling van tokes tot hetzelfde resultaat als bovenstaande direct berekening.
Vraagstuk. Bereken de oppervlakte integraal F ˆn d, waarbij Fx, y, z 1 + z î + xz ĵ + z ˆk en het oppervlak is de rand van de driedimensionele domain ingesloten door de kegels x + y z en x + y z 1. De oriëntatie van is zodanig dat de eenheidsnormaalvector ˆn naar buiten wijst. Uitwerking. De integraal kan op twee manieren berekend worden: i met behulp van de stelling van Gauss want het betreft een gesloten oppervlak en ii direct. Hier worden beide methoden gepresenteerd. In een tentamen hoeft u uiteraard de integraal door maar één methode te berekenen tenzij anders aangegeven! Deze stelling beweert dat F ˆn d Door de stelling van Gauss V F dv, met randv. Hier is V uniek: het is de driedimensionele domain ingesloten door de gegeven kegels. F: F 1 + z x + xz y + z z + + 1 1. Integraal: N.B.: maak een schets van de domein. Let op: de eerste kegel heeft zijn apex op de oorsprong en de tweede op,, 1! De gegeven kegels zijn symmetrisch rond de z as; het is dus een goed idee eerst naar z te integreren. F dv dv V V D D D ˆ 1 x +y dz da x +y z 1 x +y da x +y 1 x + y da. Bovenstaande da dx dy dy dx r dr dθ staat voor het oppervlakte element op de xy vlak; D is de projectie van V op hetzelfde vlak. De doorsnijding van de twee kegels is een kromme die gegeven wordt dor de vergelijkingen z x + y en z 1 x + y. 3
Dus, z z 1 z z z + 1 z 1 en x + y z 1 4. De projectie van V op het xy vlak is, dus, de schijf { D x, y x + y 1 4 In polcoördinaten wordt de integraal V F dv D ˆ 1/ π 1. }. 1 x + y da r 1 r r dr dθ r3 3 1 4 dθ 1/ dθ Direct Parametrisatie van : Het oppervlak bestaat uit twee delen: het gedeelte 1 dat tot de kegel z 1 x + y hoort en het gedeelte dat tot de kegel z x + y hoort. De bijbehorende parametrisaties zijn: x r cosθ 1 y r sinθ rr, θ r cosθ î + r sinθ ĵ + 1 r ˆk, met r 1/ en θ π. z 1 r x r cosθ y r sinθ z r Element ˆn d: 1 ˆn d dr dθ ± ˆn d dr dθ ± rr, θ r cosθ î + r sinθ ĵ + r ˆk, met r 1/ en θ π. x/ r y/ r z/ r x/ θ y/ θ z/ θ x/ r y/ r z/ r x/ θ y/ θ z/ θ ± ± cosθ sinθ 1 r sinθ r cosθ cosθ sinθ 1 r sinθ r cosθ ± r cosθ î + r sinθ ĵ + r ˆk, ± r cosθ î r sinθ ĵ + r ˆk. 4
De vector die loodrecht op 1 staat en naar buiten wijst heeft een positieve z component; die voor heeft een negatieve z component. Dus, 1 ˆn d r cosθ î + r sinθ ĵ + r ˆk dr dθ, ˆn d r cosθ î + r sinθ ĵ r ˆk dr dθ. F geëvalueerd op : ofwel F op 1 Fxr, θ, yr, θ, zr, θ 1 + 1 r î + 1 rr cosθ ĵ + 1 r ˆk, F op Fxr, θ, yr, θ, zr, θ 1 + r î + r cosθ ĵ + r ˆk, F op 1 Fxr, θ, yr, θ, zr, θ r + r î + r r cosθ ĵ + 1 r ˆk, F op Fxr, θ, yr, θ, zr, θ 1 + r î + r cosθ ĵ + r ˆk. Integraal: F ˆn d F ˆn d + 1 ˆ 1/ ˆ 1/ + π ˆ 1/ ˆ 1/ π 1. ˆ 1/ F ˆn d r + r r cosθ + r r r cosθ sinθ + 1 rr 1 + r r cosθ + r 3 cosθ sinθ r dr dθ dr dθ 3r r + r 3 cosθ + r cosθ sinθ + r r dr dθ 3r r + r 3 cosθ + r cosθ sinθ + r r dθ dr r r dr want cosθ dθ cosθ sinθ dθ Natuurlijk is dit resultaat precies gelijk aan degene opgeleverde door de stelling van Gauss. 5
Vraagstuk 3 a Bepaal of het vectorveld F gegeven door Fx, y, z y î + x ĵ + xyzˆk conservatief is. Bereken de lijnintegraal waarbij de doorsnijding van de oppervlakken F dr, x + y 1 and x z + 1 is. De oriëntatie van is zodanig dat, indien u de kromme van bovenaf bekijkt, hij tegen de klok in georiënteerd is. b Bepaal alle functies g die het vectorveld conservatief maken. Uitwerking. a F e y + x gz î + x e y ĵ + x + 1 ˆk ontrole padonafhankelijkheid: Het gegeven vectorveld is conservatief padonafhankelijk indien zijn rotatie nul is. F / x / y / z y x xyz xzî yzĵ + ˆk ˆ. Het vectorveld is dus niet conservatief. Daarom moet het integraal ook expliciet berekend worden. Dit kan op twee manieren: a met behulp van de stelling van tokes en b direct. Deze stelling beweert dat F dr Door de stelling van tokes F ˆn d, met rand. Een voor de hand liggende optie voor is het gedeelte van het gegeven vlak x z + 1 dat binnen de gegeven cilinder x + y 1 zit. Parametrisatie van : x r cosθ y r sinθ z 1 + x 1 + r cosθ rr, θ r cosθ î + r sinθ ĵ + 1 + r cosθ ˆk, met r 1 en θ π. 6
Element ˆn d: ˆn d dr dθ ± x/ r y/ r z/ r x/ θ y/ θ z/ θ ± cosθ sinθ cosθ r sinθ r cosθ r sinθ ± î + ˆk r, De vector die loodrecht op staat en naar boven rechte hand regel! wijst heeft een positieve z component, en dus ˆn d î + ˆk r dr dθ. F geëvalueerd op : Fxr, θ, yr, θ, zr, θ 1 + r cosθ r cosθ î + 1 + r cosθ r sinθ ĵ + ˆk. Integraal: F dr ˆ 1 ˆ 1 F ˆn d 1 + r cosθ r cosθ + r dr dθ r r cosθ r 3 cos θ dr dθ 1 1 3 cosθ 1 4 cos θ 7π 4. dθ want cos θ 1 + cosθ Direct Parametrisatie van : x cost y sint z 1 + x 1 + cost rt cost î + sint ĵ + 1 + cost ˆk, met t : π. Element dr: dr r t dt sint î + cost ĵ sint ˆk dt. F geëvalueerd op : Fxt, yt, zt yt î + xt ĵ + xtytzt ˆk sint î + cost ĵ + 1 + cost sint cost ˆk. 7
Integraal: F dr 7π 4. Fxt, yt, zt r t dt sin t + cos t 1 + cost sin t cost dt 1 sin t cost sin t cos t dt 1 sin t cost 1 cos t dt 4 3 4 sin t cost + cos t dt 4 3 4 sin t cost + 1 + cos4t dt 8 7 8 sin t cost + 1 8 cos4t dt 7 8 t 1 8 sin3 t + 1 3 sin4t π Hier ook is het resultaat hetzelfde als bij tokes. dt want cos t 1 + cost, sin t 1 cost want cos t 1 + cos4t als eerder a ontrole padonafhankelijkheid: Het gegeven vectorveld is conservatief padonafhankelijk indien zijn rotatie nul is. F / x / y / z e y + x gz x e y x + 1 î x x g z ĵ + e y e y ˆk î x 1 g zĵ + ˆk. Het vectorveld is conservatief indien 1 g z, ofwel indien gz z + met een willekeurige constante. 8