Reekse Reekse Defiitie, otatie e voorbeelde Defiitie: Eereeks is ee koppel ( ) {u } l, {s } l met s = u k = u l + u l+ + u l+2 +...+ u + u k=l u l = s l, u = s s, = l +, l +2,... {u } l oemt me de termerij, {s } l de rij va partieelsomme va de reeks. Notatie: u = u l + u l+ + u l+2 +... Voorbeelde: De harmoische reeks: = De harmoische wisselreeks: {s } =, 2, 5 6, 7 2,... =+ 2 + 3 + 4 +..., {s } =, 3 2, 6, 25 2,... = De meetkudige reeks met rede q: ( ) + = 2 + 3 4 +..., q, =0 s = q+ q wat s = +q + q 2 +...+ q qs = q + q 2 + q 3 +...+ q + = s ( q) = q + Reekse Deelreekse Covergete reekse Defiitie: Als{u k } ee deelrij is va {u } da is u k ee deelreeks va k u k. Voorbeeld: De harmoische wisselreeks = u = ( ) + = heeft deelreekse =0 u 2+ = =0 2+ =+ 3 + +... e 5 = u 2 = = 2 = 2 4 6... Meer algemee spreke we over de deelreekse va de positieve (egatieve) terme va ee gegeve reeks e otere die als k J pos ( ) u k,resp. k J eg ( ) u k waarbij J pos () = {k k N, k, u k 0} e J eg () = {k k N, k, u k < 0} Covergete e divergete reekse Defiitie: u is coverget als lim s = s R. s oeme we de som va de reeks e we otere s = u. u is diverget als de rij {s } l iet covergeert. Voorbeeld: =0 q = lim q + q = q divergeert als q als q <
Reekse Ee odige e voldoede voorwaarde voor covergetie Covergete e divergete reekse Voorbeeld: = q = lim ( +)q + q + ( q) 2 = Het covergetiecriterium va Cauchy Stellig: Bewijs: ( q) 2 als q < u is coverget a.s.a. ɛ >0, N zodaig dat m N geldt: u + u + + + u m <ɛ u cov. {s } l cov. {s } l is ee Cauchy rij, m.a.w. ɛ >0, N zodaig dat m N geldt: s m s < ɛ u + u + + + u m < ɛ Gevolg: u is diverget a.s.a. ɛ >0, zodaig dat N, m, N met u + u + + + u m ɛ Toepassig: Deharmoische reeks is diverget wat ɛ = 2,zodaigdat N, = = N +, m =2N met u + u + + + u m = N+ + N+2 +...+ 2N N 2N Reekse Covergetie criteria Nodige maar iet voldoede voorwaarde voor covergetie Als u covergeert da geldt dat lim u =0 Bewijs: Uit het covergetiecriterium va Cauchy volgt dat ɛ >0, N zodaig dat m = N geldt: u + u + + + u m = u < ɛ Gevolg: Als lim u 0 divergeert de reeks. Voorbeeld: De meetkudige reeks =0 q divergeert als q. Opgelet: De voorwaarde lim u =0isiet voldoede voor covergetie. Voorbeeld: De reeks = divergeert e toch geldt lim =0 Als u covergeert da zij de rije {u } l e {s } l begresd. Gevolg: Als{s } l iet begresd is, divergeert de reeks. Voorbeeld: = divergeert wat s =+ +...+ 2 = Opgelet: De begresdheid va {s } l is iet voldoede voor covergetie. Voorbeeld: =0 ( )+ divergeert e {s } l =, 0,, 0,,... is begresd
Reekse Voorwaardelijke e absolute covergetie Defiities e voorbeelde Stellig: Als u covergeert, covergeert ook Bewijs: Uit het covergetie criterium va Cauchy volgt dat ɛ >0, N zodaig dat m N geldt u + u + + + u m < ɛ u + u + + + u m < ɛ Defiities: Als u covergeert, oemt me u absoluut coverget. Als u covergeert, maar u divergeert, oemt me u voorwaardelijk coverget. Voorbeeld: Elke covergete meetkudige reeks ( q < ) is absoluut coverget. ( ) 2 =0 = ( 2 ) = 2, 3 2 =0 = =2 2 ( ) + Voorbeeld: De harmoische wisselreeks is voorwaardelijk coverget = u Reekse Voorwaardelijke e absolute covergetie Covergetie/divergetie va de deelreekse Beschouw u met de deelreekse k J ( ) pos u k = v e = k J ( ) eg u k = w. De deelreeks met de positieve terme covergeert (divergeert) als lim k= v k = v > 0 ( ). De deelreeks met de egatieve terme covergeert (divergeert) als lim k= w k = w < 0 ( ). Voor het covergetieoderzoek va u e u beschouwe we de limiete lim s = lim lim S = lim u k = lim k=l k J pos () u k = lim k=l u k + u k,resp. k J () eg u k k J () pos k J () eg u k = lim s v w v+w - - lim S v w v-w -
Reekse Voorwaardelijke e absolute covergetie Besluite e voorbeelde Ee reeks covergeert absoluut a.s.a. de deelreekse met positieve e egatieve terme beide covergere. Voorbeeld: =0 u = =0 ( ) 2 = ( 2 ) = 2 3 = v + w =0 u = =0 2 =+ 2 + 4 + 8 + 6 + 32 +...=2=v w = v = + 4 + 6 + 64 +...= =0 4 = = 4 3 = v 4 = w = 2 8 32...=( 2 ) v = 2 3 = w Als ee reeks voorwaardelijk covergeert, divergere beide deelreekse. Voorbeeld: = u = ( ) + = =log(2) = u = = divergeert = v = + 3 + 5 +...= =0 2+ divergeert = w = ( 2 )( + 2 + +...) divergeert 3 Als éé deelreeks covergeert e de adere divergeert, divergeert de reeks. Voorbeeld: + 2 2 + 4 3 + 8 4 + 6 5 + 32... Reekse Het Cauchy product va twee reekse Defiitie e stellig Defiities: De reeks w met w = u j v j = u 0 v + u v +...+ u v 0 =0 j=0 oemt me het Cauchy product va de reekse u e v. Verklarig: ( =0 u )( =0 v ) =0 =0 = (u 0 + u + u 2 +...)(v 0 + v + v 2 +...) = u 0 v 0 + u 0 v +u 0 v 2 +u 0 v 3 +... +u v 0 +u v +u v 2 + u v 3 +... +u 2 v 0 +u 2 v + u 2 v 2 + u 2 v 3 +... +... = w 0 + w +w 2 +w 3 +...= =0 w =0 v absoluut Stellig: Als =0 u absoluut covergeert met som s e covergeert met som t, da covergeert ook =0 w absoluut met som st. Voorbeeld: We berekee het Cauchy product va de absoluut covergete meetkudige reekse =0 ( q) e =0 q.hierisu =( q), v = q e w = j=0 u j v j = j=0 ( q)j q j = q j=0 ( )j = q ( + +...+( ) ) w 2 = q 2, w 2+ =0 =0 w = =0 w 2 + =0 w 2+ = =0 (q2 ) = q 2 = +q q
Reekse Covergetieteste Het Cauchy product bij voorwaardelijke covergetie Opgelet: De stellig is iet algemee geldig bij voorwaardelijk covergete reekse. ( ) Voorbeeld: Het Cauchy-product va de covergete reeks met zichzelf is =0 + ee divergete reeks, wat lim w 0,l. w = j=0 w 2 = ( ) j j+ 2+ + ( ) j j+, w 2 = 2 j=0 2 2 +... j+ 2 j+ + + +...+ 2+ 2+ + Covergetieteste bij reekse met positieve terme () De vergelijkigstest (2) De itegraaltest (3) De verhoudigstest (criterium va d Alembert) (4) Het klei criterium va Cauchy (5) De covergetietest va Raabe Reekse Covergetieteste De vergelijkigstest Stellig: Als N zodaig dat N geldt dat 0 u v,da v covergeert = covergeert u divergeert = v u divergeert Ee reeks met ee covergete majorate covergeert zelf ook, ee reeks met ee divergete miorate divergeert zelf ook. Voorbeeld : De reeks = 2 +si 2 3 covergeert wat geldt dat 0 2 +si 2 3 2 2 e = 2 = ( ) =0 2 =2 Voorbeeld 2: De reeks =2 log 0 < log < = 0 < < log Voorbeeld 3: De reeks =0 0 < 2+2 < e de reeks 2+ =0 divergeert wat 2 geldt dat e de harmoische reeks = divergeert. 2+ divergeert wat 0 geldt dat 2+2 = 2 = divergeert.
Reekse De itegraaltest Covergetieteste Stellig: Zijf (x) 0 e daled op [, ) eziju = f (), da covergeert de reeks = u a.s.a. de oeigelijke itegraal f (x) dx covergeert. Bewijs: We beschouwe de reeks = v met v = + f (x) dx = v covergeert a.s.a. f (x) dx covergeert cov r eidig f (x) dx lim f (x) dx div r oeidig = v cov div lim f (x) dx lim v + v 2 +...+ v eidig oeidig eidig oeidig = u covergeert a.s.a. = v covergeert, watf (x) is daled: f ( +) f (x) f (), x [, +] + f ( +)dx + f (x) dx + f () dx 0 u + v u e toepasse va de vergelijkigstest. Reekse De itegraaltest: toepassige De Dirichlet reeks Covergetieteste = p elke vaste p, verwijzed aar Voorbeelde: De reeks =2 = = covergeert voor elke vaste p > e divergeert voor 2 x p dx. is coverget, de reekse = e zij diverget. Meer algemee, als u c p,,dacovergeert de reeks u a.s.a. p >. De reeks p covergeert voor elke vaste p > e divergeert voor log elke vaste p. Bewijs: Alsp > covergeert de Dirichlet reeks e 3 geldt dat 0 < p log < p De reeks =2 log divergeert wat lim dx r x log x =. Ook voor p < divergeert de reeks wat geldt da dat 0 < log < p log r 2
Reekse Covergetieteste De verhoudigstest, iet limietvorm Stellig: Gegeve de reeks u met u > 0, l. Als s (0, ) e N zodaig dat N geldt dat u + s da covergeert de reeks. Als N zodaig dat u N geldt dat u + da divergeert de reeks. u Bewijs: (a) divergetie: N geldt u + u (b) covergetie: k geldt u N+ s u N u N+2 s u N+ =... u N+k s u N+k = u + u > 0= lim u 0 u N+ u N+2... u N+k u N u N+... u N+k s k u N+k u N s k 0 < u N+k u N s k De meetkudige reeks k=0 u N s k is ee covergete majorate voor k=0 u N+k.Ook u = N k=l u k + k=0 u N+k covergeert. Voorbeeld: De reeks = u = Opgelet: Als ekel geldt dat u + u =! covergeert wat u + u = + 2, <, N, is er gee algemee besluit. Voorbeeld: = 2 covergeert ( u + = 2 u (+) 2 <, ) = divergeert ( u + = <, ) u + Reekse Het criterium va d Alembert limes iferior, limes superior Defiities: M = lim sup x = lim v met v =sup{x, x +,...} m = lim if x = lim w met w =if{x, x +,...} Eigeschappe: ɛ >0, N N zodaig dat N geldt dat x < M + ɛ x > m ɛ M e m zij ophopigspute va {x } l, de limiet als M = m., De verhoudigstest, limietvorm Stellig: ZijM = lim sup u + e m = lim u if u +.AlsM < covergeert de u reeks u,alsm > is er divergetie, bijm M gee algemee besluit. Bewijs: (a)alsm < kieze we ee s (M, ) e dus s M > 0. Ergeldt u + ɛ >0, N zodaig dat N geldt: < M + ɛ u u + < s < u Uit de iet limietvorm va de verhoudigstest volgt de covergetie. (b) Zij m > : N zodaig dat N geldt u + > m (m ) = u Uit de iet limietvorm va de verhoudigstest volgt de divergetie. (c) = 2 e = zij voorbeelde waarbij M = m =
Reekse Covergetieteste De verhoudigstest, limietvorm 2 u Stellig: Zijμ = lim +.Alsμ< covergeert de reeks u u,alsμ> is er divergetie, bijμ = gee algemee besluit. Voorbeeld: = 2! covergeert wat lim u + u = lim 2 ( + ) = 2 e < Klei criterium va Cauchy Stellig: ZijΛ = lim sup u.alsλ < covergeert de reeks u,als Λ > is er divergetie, bijλ = gee algemee besluit. Bewijs: (a)alsλ< kieze we ee s (Λ, ). N zodaig dat N geldt: u < s 0 < u < s =0 s is ee covergete majorate va de gegeve reeks. (b) Λ > is ee ophopigsput va de rij { u } l. Er zij oeidig veel waarde waarvoor u > = u > = lim u 0. (c) = e = zij voorbeelde waarbij Λ = 2 Voorbeeld: = u = = covergeert wat lim u = lim =0 Reekse De test va Raabe ( Stellig: Als lim u ) + u c > e divergeert de reeks als c. Covergetieteste Voorbeeld: = divergeert wat lim covergeert wat lim ( 2 = 2 = c R da covergeert de reeks u als ( ) = lim + + =, (+) 2 ) = lim (2+) 2 +2+ =2. Covergetieteste voor reekse met ook egatieve terme () Als N zodaig dat N geldt u 0: vorige teste toepasse (2) Als N zodaig dat N geldt u 0: u = ( u ) (3) Als N,, 2 N met u > 0eu 2 < 0 (3a) Beschouw u :Als u covergeert, is u absoluut coverget; i het adere geval is er gee algemee besluit. (3b) Beschouw de deelreekse k J ( ) pos e k J eg ( ) : Als beide deelreekse covergere, is de gegeve reeks absoluut coverget, als slechts éé va de deelreekse covergeert, is de gegeve reeks diverget. (3c) Is de reeks ee Leibiz reeks?
Reekse Covergetieteste De stellig va Leibiz Defiitie: Ee reeks waarva de terme afwisseled positieve e egatieve getalle zij, wordt ee altererede reeks of wisselreeks geoemd. Stellig: Ee wisselreeks ( ) + u met 0 < u + u, e lim u =0 = is coverget. Bewijs: We bewijze dat de deelrije {s 2 } e {s 2+ } 0 dezelfde limiet hebbe. de rij der eve partiëelsomme {s 2 } is stijged: s 2+2 = u u 2 +... u 2 + u 2+ u 2+2 = s 2 + u 2+ u 2+2 s 2 de rij der oeve partiëelsomme {s 2+ } 0 is daled: s 2+3 = u u 2 +...+ u 2+ u 2+2 + u 2+3 = s 2+ u 2+2 + u 2+3 s 2+ Elke oeve partiëelsom s l is groter da elke eve partiëelsom s k : Gegeve k, l, bepaal zodaig dat 2 > k = s k s 2 2 > l = s l s 2 = s k < s l s 2 = s 2 u 2 < s 2 {s 2 } heeft ee limiet α (stijged e aar bove begresd), {s 2+ } 0 heeft ee limiet β (daled e aar oder begresd) e β = lim s 2+ = lim s 2 + u 2+ = α = lim s = s = α = β Reekse Leibiz reekse Voorbeelde e eigeschap Voorbeelde: De harmoische wisselreeks covergete Leibiz reeks, = Eigeschap: ( ) + 2 = ( ) + is ee voorwaardelijk ee absoluut covergete. u 4 u 2 u 2 s u s 2 s 4... s 2 s 2+2 s 2+ s 2... s 3 s geldt: s s 2 < u 2 s s 2 < u 2+ } = s s < u + + u 5 + u 2+ + u 3 Toepassig: De berekeig va het getal π. ( ) x 2+ x [, ] geldt =bgtg(x) = 4 2 + s = k=0 =0 =0 ( ) 2 + = 4 bgtg () = π ( ) k 4 2k+ =4 4 3 + 4 5 4 7 +...+ ( ) 4 2+ π. Hoe groot moet zij opdat π s < 0 5? Het volstaat dat u + < 0 5 = 4 2+3 < 0 5 of 200000!!
Reekse Herschikkig va reekse Defiities e stellige Defiities: Derij{h } is ee herschikkig va de rij {u } als h = u f () met f ee bijectie va N op N. De reeks = h is ee herschikkig va de reeks = u als {h } ee herschikkig is va {u }. Voorbeeld: De reeks = h = 2 4 + 3 6 8 + 5 0 2 + 7... is ee herschikkig va de harmoische wiselreeks (f (3m) =4m, f (3m +)=2m +, f (3m +2)=4m +2). Stellig: Als = u absoluut covergeert met som s, covergeert elke herschikkig = h ook absoluut coverget met som s. Voorbeeld: = h = 2 2 3 + 2 2 2 5 2 7 + 2 4 2 9...= ( ) =0 2 = 2 3 Stellig: Als = u voorwaardelijk covergeert, daka α ee herschikkig = h gevode worde met som α. Bewijs: (Costructief) De deelreekse k J ( ) pos u k e k J eg ( ) u k zij beide diverget. Stel dat α>0. Neem da, i volgorde, positieve terme va de gegeve reeks tot ee som gevormd is die juist groter is da α. Neem da egatieve terme, eveees i volgorde, tot de som juist kleier is da α, da weer positieve terme tot de som juist groter is da α e ga zo verder. Het resultaat is ee herschikkig va de gegeve reeks die covergeert aar α, vermitslim u =0. Reekse Herschikkig va reekse Voorbeeld We costruere ee herschikkig va de harmoische wisselreeks (som log 2) die covergeert met som α =.5. Zij t = k= h k, lim t =.5 Oefeig: Costrueer ee herschikkig va h t h t 2 9.3832... 2.3333... 3 3 2... 3.5333... 4 5 23.4743... 4.0333... 5 2 25.543... 5 7.76... 6 6.3476... 6... 7 9 27.3847... 7... 8 29... 8.455... 9 3 3... 9.528... 20 5 33.487... 0.278... 2 4 35.503... 7.3306... 22 8.3853... ( ) + = met lim t =