Hoofdstuk - Periodieke functies Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidscirkel is π = π. Hierij hoort een hoek van zowel π radialen als 0. Dus 80 komt overeen met π radialen. V-a V-a graden 0 0 4 0 90 0 0 80 7 π =, radialen 0 y,0 0, O 0,,0 π π π π π π 4 4 4 7 8 9 80 π π f( )= 0 voor = π, = 0, =π, = π en = π c f( )= voor = π en = π d f( )= voor = π en = π e De periode is π. f De grafiek van f is symmetrisch in de lijn = π, s f( ) = f( π π ) y,,0 0, O 0,,0, f( )= 0 voor = π en = π c f( )= voor = 0 d f( )= voor = π en =π e De periode is π f de grafiek is puntsymmetrisch in ( π, ), s f( π) = f( π) ladzijde 0 V-4a De grafiek van y= cos is horizontaal met factor ingekrompen. De amplitude is en de periode is π = π. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 9
0 Hoofdstuk - Periodieke functies De grafiek van y= sin is horizontaal uitgerekt met factor. De amplitude is en de periode is π = 0π. 0, c De grafiek van y= cos is horizontaal uitgerekt met factor en gespiegeld in de -as. De amplitude is en de periode is π = π. d De grafiek van y= cos is horizontaal ingekrompen met factor 4π en verticaal uitgerekt met factor. De amplitude is en de periode is π 4π =. V-a De grafiek van y= cos is π naar rechts verschoven. De amplitude is, de periode is π en de evenwichtsstand is y = 0. De grafiek van y= sin is π naar eneden verschoven. De amplitude is, de periode is π en de evenwichtsstand is y = π. c De grafiek van y= cos is omlaag verschoven. De amplitude is, de periode is π en de evenwichtsstand is y =. d De grafiek van y= cos is naar rechts en omhoog verschoven. De amplitude is, de periode is π en de evenwichtsstand is y =. e De grafiek van y= cos is horizontaal met factor π ingekrompen en omlaag verschoven. De amplitude is, de periode is π = 4 en de evenwichtsstand is y =. π f De grafiek van y= sin is eerst horizontaal uitgerekt met factor, daarna 0, π naar rechts verschoven en tot slot verticaal uitgerekt met factor. De amplitude is, de periode is π = 4π en de evenwichtsstand is y = 0. 0, V-a De periode is 4 (, π 0, 4π) = 4π, dit etekent dat de grafiek van y= cos eerst horizontaal met factor is uitgerekt. De evenwichtsstand is y = 0 en de top is (is ( 04, π ; ) De grafiek is daarna s 04, π naar rechts verschoven en verticaal met factor uitgerekt. De volgende stappen zijn op de grafiek van y= cos toegepast: Horizonaal uitgerekt met factor geeft y= cos. Verschuiving van 04, π naar rechts geeft f( ) = cos ( 04π, ). Vertikaal uitrekken met factor geeft f( ) = cos ( 0, 4π ). c De grafiek gaat ij = 04, π π= 0, π omhoog. Het functievoorschrift wordt dan g ( ) = sin ( + 0, π ). V-7a Algemene functievoorschrift is f( ) = d+ asin ( c) ) De evenwichtsstand is y =, s d =. De top is (, ), s a = = 4. De periode is = 0, s = π = π en c = 0. 0 Dus f( ) = + 4sin π De periode is 0, s er is een snijpunt voor = + 0 = 9 De grafiek is symmetrisch in =, s er is ook een snijpunt voor = + = Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
. Harmonische trilling, frequentie en faseverschil ladzijde 4 a In het hoogste en laagste punt is de verticale snelheid gelijk aan 0. Aan de cirkel zijn de raaklijnen daar horizontaal (helling en s snelheid is 0). In de punten (, 0 ) en ( 0, ). De raaklijnen aan de cirkel zijn daar verticaal. c In, seconden draait P over π radialen. Na seconde is P over π 4 = π radialen, gedraaid. De y-coördinaat van S is sin 4 π=, 7. d De algemene formule is ht () = d+ asin. De amplitude is, s a =. De periode is,, s π 4 = π., 4 De evenwichtsstand is y = 0, s d = 0. Dus ht () = sin π t. a Algemeen: y= d+ asin t. De straal is, s a =. De periode is, s = π = en d = 0. Dus de formule wordt y= sin π t. Twee keer, want hij gaat zowel omhoog als omlaag passeert hij hoogte. c sin πt = ; sin πt = ; met de rekenmachine vind je op het interval [0, ]. a 0,, 80 πt 0, of πt, 80. Dus t = = 0, of t = =,. π π Als P de cirkel lijft doorlopen, dan worden deze waarden van t vermeerderd met veelvouden van. ladzijde = 880π, s de periode is π 880π = seconde. 440 In seconde vindt er trilling plaats. In seconde dan 440 trillingen. 440 In de periode p vindt trilling plaats. Dus in p seconden is er trilling. De frequentie f is het aantal trillingen per seconde, s trilling vindt plaats in f seconden. Dus p = of f =. f p c De amplitude 0, wordt op den ur 0. d De amplitude lijft 0,, maar de periode wordt nu p = = f 0. Dus = π = 00π. De formule wordt u= 0, sin 00π 4a De periode p = π = seconde. De frequentie f = 0 hertz. 00π 0 p = π = π seconde en f = 0 48 hertz. 00 0 π c p = π = seconde en f = hertz. π Hoofdstuk - Periodieke functies Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 0 π
Hoofdstuk - Periodieke functies Door de grafiek van u met 0,0 naar rechts te verschuiven krijg je de grafiek van v. De periode van zowel u als v is π 00, = 00,. Het faseverschil is =. 40π 00, De formule voor w is w= 08, sin 80π ( t c). Het faseverschil is 0, en de 7a periode is π 40 80π =. Dit etekent dat c = 0, s c = 0, = 0, 007 en 40 40 w= 08, sin 80π( t 0, 007). Vergelijkingen oplossen ladzijde In het plot kun je zien dat de lijn y = 0, de grafiek van f in vier punten snijdt. Op het gegeven interval zijn er s 4 oplossingen. De periode is π = π en de symmetrieassen zijn = π, = 0 en = π. De andere oplossingen zijn = π, = + = π π π en = π π= π. 8a De periode is π π =. Met de rekenmachine kun je als oplossing = 0,7 vinden. Met ehulp van de symmetrieas =, vind je de oplossing =, 07, =, met ehulp van de periode vind je de oplossingen = 07, + = 7, en =, + = 7, Voor oplossingen geldt echter dat sin( π ) <. Voor de oplossingen van de ongelijkheid moet je hier rekening mee houden. De oplossingen zijn, innen het interval, [0,8;,] en [,8; 7,] 9a Met de periode is π = π en de symmetrieas, = π vind je de andere oplossingen 4 Met de symmetrieas: = π en = = π π π. Met de periode: = π, = π, = π en = π. Op het interval [0, π] zijn er oplossingen. Op [0, 40π] s 40 = 80 oplossingen. ladzijde 7 0a De periode van f is π = π, s passen er perioden van f in π. De periode van g is π = π, s passen er perioden van f in π. Telkens als het patroon, na een periode, weer egint, starten de grafieken van f en g ook in hetzelfde punt. De periode van het patroon moet dan wel een veelvoud zijn van die van f en g. a De periode van f is π en die van g is π. Je kunt direct zien dat de gemeenschappelijke periode π is (vermenigvuldig de periode van f met en die van g met ). De periode van f is π = 4π en die van g is π. De periode van g past precies twee keer in die van f. De gemeenschappelijke periode is s 4π. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
c De periode van f is π = π en die van g is π = 4π. Het eerstvolgende veelvoud dat eide perioden gemeenschappelijk heen is π. d De periode van f is π π = en die van g is π =. De gemeenschappelijke periode is. π a De periode van f is π = π en die van g is π. De gemeenschappelijke periode is s π. Vul de vermeende oplossingen in de vergelijking in. De 4 (zie plot) oplossingen zijn juist. c Bij de gegeven oplossingen krijg je nog de volgende: = π+ π= π ; = π+ π= π ; = π+ π= π. a De periode van g is π π = en de periode van k is π π =. Aangezien de kleine wijzer in uur rond is, hoort de formule k ij de kleine en de formule g ij de grote wijzer. Met de rekenmachine vind je dat tussen t = 0 en t = er twee oplossingen zijn van de vergelijking cosπt = cos πt die horen ij samenvallende wijzers. De oplossingen zijn t, 0909 of t, 89. Tussen 0.00 uur en.00 uur vallen de wijzers samen om uur, minuten en 7 seconden en om uur, 0 minuten en seconden. c Op het interval [0, komen de wijzers elkaar keer tegen. Op het interval [0, 4 s keer.. De afgeleide ladzijde 8 4a Bij de waarden van waarvoor f een uiterste waarde heeft, is f ( ) = 0. In de toppen is de raaklijn horizontaal. Dit is voor = π + alle veelvouden van π en = π + alle veelvouden van π. De grafiek heeft periode π, s f ( ) = voor = π + alle veelvouden van π. De grafiek is symmetrisch in de lijn = π, s f ( ) = voor =π + alle veelvouden van π. c y,,0 0, O 0,,0, f ( ) = cos π 4 Hoofdstuk - Periodieke functies Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
4 Hoofdstuk - Periodieke functies a Op het interval 0, π is de helling in elke punt van de grafiek van g ( ) = cos negatief, terwijl f( ) = sin op dat interval positief is. Door de grafiek van de afgeleide van g ( ) = cos te plotten zie je dat de afgeleide g ( ) = sin zou kunnen zijn. a f ( ) = sin= sin u= sin en y= + u = cos en d y = u Dus g ( ) = cos u= cos sin= sin cos d c k ( ) = + cos+ sin d u= en y= cosu d = en d y = sin u Dus l ( ) = sinu= sin ladzijde 9 7a u= π en y= cos u dt = π en d y = sinu k ( ) = π sinu= πsin π v= t en y= sin v dv d = en d y = cosv dv u () t = cosu= cos( t) c u= p 78 en y= 00 + 4 sin u dp = en d y = 4cosu m ( p) = 4cosu= 8970 cos( p 78) d u= π t en y= 0, + cosu dt = π en d y = sin u v () t = π sinu= πsin πt e u= sin en y= u ; v= cos en z v = = cos en d y = u ; d v = sin en d z = v d d dv s ( ) = cos u+ sin v= cos sin sin cos = 0 Geruik je de rekenregel sin f u= cos a en y=, u 4 + cos =, dan volgt direct dat s ( ) = 0 = sin a en d y = 0u da q ( a) = sina 0u + 7cos a= 0sinacos a+ 7cos a Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
8a y 4 O 4 π 4 π 7 8 9 De eacte nulpunten zijn = π, = π en = π g ( ) = sin > De richtingscoëfficiënt van de raaklijnen in de nulpunten zijn: g ( π) = sin π = ; g ( π ) = en g ( π) = c De helling is het grootst in het punt ( π, 0). De helling is daar, s er kan geen punt op de grafiek van g zijn waar de helling groter is. 9a f ( ) = cos Los op cos = 0., Met de rekenmachine vind je = 7, en f (, 7) = 0, 98. In het punt (. 7; 0, 98 ) is de helling 0,. De grafiek is symmetrisch in de lijn = π. De helling is gelijk aan 0, voor = π 7, =, 77. Dus in het punt (, 77; 0, 98 ). c f ( π) =. De raaklijn heeft dan als vergelijking y= + invullen van =π en y = 0 geeft 0 = π +, s =π. De vergelijking is y= +π 0a De periode is π en de frequentie f = π Hz. u () t = cos t. De grootste snelheid naar rechts is cm/sec op t = 0 en alle veelvouden van π. De grootste snelheid van cm/sec naar links is op t =π + alle veelvouden van π. c cost = 0 voor t = π + alle veelvouden van π. d u( 00) = 04, en u ( 00) = 7,. Op t = 00 heeft de slinger een uitwijking naar links van,04 cm en eweegt met een snelheid van,7 cm/sec naar rechts. a De periode is π = seconden. Voor een persoon in rust is dit realistisch. 04, π u= 04, π t en y= 0 sin u c dt = 04, π en d y = 0 cosu p () t = 04, π 0 cosu= 8πcos 0, 4πt p () = 7, 77. De druk wordt minder, s de persoon ademt uit. De maimale snelheid waarmee de druk verandert is gelijk aan de uiterste waarden van p (). t Het maimum en minimum van p ()zijn t 8π en 8π s de maimale snelheid waarmee de druk verandert is, luchtdruk/sec op de tijdstippen t = 0 en alle veelvouden van. Hoofdstuk - Periodieke functies Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
a c Hoofdstuk - Periodieke functies.4 Schommeling en trend ladzijde 0 Het aantal werklozen is ij het laatste meetpunt ongeveer 0 izend. Deze meting was in het eerste kwartaal van 00. De lijn gaat door (0, 00) en (, 400). Dus q = 00 en het functievoorschrift wordt At ()= pt + 00. Hierin invullen t = en At ()= 400 geeft 400 = p + 00 en p = 00 = 47,. Dus At () = 47, t + 00. Als At ()= 0, s als t = 00 0 kwartalen na het vierde kwartaal van 987. 47, Dus in het jaar 04. a De rechte lijn wordt achtereenvolgens gesneden voor t = 9 en t = 8. De periode is 8 ( 9) = 8 en = π = π. 9 8 Het functievoorschrift wordt At () = 47, t+ 00 00 sin π t. 9 De geplotte grafiek is regelmatig in vergelijking met de grafiek uit het oek. De trendlijn is echter dezelfde. Snijden met de lijn y = 0 geeft het tijdstip waarop het aantal werklozen eneden de 0000 is gekomen. Met intersect vind je t = 80, 4, s eind 007. ladzijde 4a De populatie neemt niet gelijkmatig af, maar eponentieel. T is een eponentiële functie met startwaarde 9000 en groeifactor 0,9. t Tt () = 9000 09, c De schommeling is jaarlijks, s de periode is en = π. t Bt () = 9000 09, + 0 sin( π t). d Met de rekenmachine vind je dat Bt ()= 0 voor het eerst optreedt ij t = 70, 7, s na 7 jaar. Het is lastig om met intersect het snijpunt met de -as te erekenen. a De grafiek van T gaat door de punten (0, 0) n (, ). De helling is 0 =, s T()= t t + 0 St () is maimaal als πt = π, s t =. De periode is, s op het interval [0, ] 4 is St () maimaal voor t =, t =, t =, t = en t = 4 4 4 4 4 4 c f () t = T () t + S () t = + πcos π t (met de kettingregel). d Voor t = heeft St () een maimum, maar f ( ) = 0, s heeft de grafiek van f 4 4 voor t = geen maimum. 4 e De helling is, s de grafiek stijgt en het maimum moet dan nog komen. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
. Gemengde opdrachten ladzijde a f ( ) = cos en f ( 0) =. De raaklijn in (0,0) is y=, s a =. Voor a heeft de lijn één snijpunt met de grafiek van f (voor a = is het een raakpunt). In de grafiek kun je zien dat voor negatieve waarden van a er één kan optreden. Zodra de lijn raaklijn wordt komen er gemeenschappelijke punten ij. Voorwaarden voor raken zijn f( ) = y ( ) en f ( ) = y ( ). Dus sin = a en cos = a. Door cos = a in te vullen in de eerste vergelijking krijg je sin= cos. Plot de grafieken van y= sin en y= cos. Met intersect vind je als negatieve oplossing = 4, 494. Dus voor a = cos( 0, 494) = 0, 7 vind je, ehalve (0, 0), nog twee raakpunten. Voor a < 0, 7 en voor a heeft de lijn y= a één snijpunt met de grafiek van f. c De grafiek van f is symmetrisch in het punt (0,0). Als de lijn de grafiek van f, ehalve in (0,0), nog in een ander punt snijdt, dan snijdt hij ook in het spiegelpunt. Dus twee snijpunten krijg je nooit. d Uit vraag c volgt dat het aantal snijpunten altijd oneven is. y,,0 0, 0 O 0,,0, A 0 B De raaklijn (vanuit (0, 0)) in punt A heeft vijf snijpunten met de grafiek van f en die in punt B negen. De lijnen waarvan de helling kleiner is dan die van de lijn door A en groter dan die door B, heen zeven snijpunten met de grafiek van f. De -coördinaat van A en die van B zijn ook weer oplossingen van de vergelijking sin= cos. Met intersect vind je (voor positieve ) A = 7, 7 en B = 4, 0. Dus voor de raaklijnen door A en B krijg je a = cos 7, 7 = 0, 8 en a = cos 4, 0 = 0, 07 Er zijn zeven snijpunten als 0, 07 < a < 0, 8. Hoofdstuk - Periodieke functies Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 7
7a Hoofdstuk - Periodieke functies Voor een niet schrikkeljaar is de periode van zonsopkomst dagen. De periode van O is π =. Dus t is in dagen. π Het meest vroege tijdstip is O =,, = 4, uur, s om 04.8 uur. Het meest late tijdstip is O =, +, = 87, uur, s om 08.4 uur. c Plot de grafiek van O en de lijn O = 7. Met intersect vind je dat voor t =, 9 en t = 7, de zonsopgang om 7 uur is. Ook kun je in het plot zien dat tussen deze tijden de zonsopgang vroeger is dan 7 uur. De zonsopgang is in 7 = 0 dagen vroeger dan 7 uur. d u= π ( t+ ) en y=, cos u+, dt = π dy en =, sin u. Dus O () t = π = 44, π, sin u sin π ( t+ ) augustus komt overeen met t = en oktoer met t = 7 O ( ) = 0, 04 en O ( 7) = 0, 07, s de zonsopkomst neemt op oktoer sneller toe dan op augustus. 8a De gemeenschappelijke periode is π π = y c 9a c d e 8 0 8 4 O 4 8 Met de rekenmachine vind je één van de toppen (,7;,0). De evenwichtsstand is de -as en de uitwijking is dan,0. Dus a = 0, en d = 0. Bij = 0, gaat de grafiek na de oorsprong weer voor het eerst omhoog, s c = 0,. De periode lijft, s verandert niet. Het functievoorschrift wordt s ( ) = 0, sin π ( 0, ). ladzijde 0 De oude standaardtoon heeft periode 448, s = π = 89π. 448 Evenzo vind je voor de nieuwe a dat = π = 880π. De perioden van de twee tonen zijn niet gelijk. De resulterende toon die je krijgt als je ze samen laat klinken zal niet steeds dezelfde uitwijking heen. In de plots kun je zien dat de tonen elkaar versterken, maar ook verzwakken. Dus is er zweving. In je laatste plot kun je zien dat op het interval [0; 0,] het patroon twee keer voorkomt. De periode is dan 0,. Er geldt voor elke a dat a =. a 440 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
f 0 = en 4 = 440 448 g Uit vraag d volgt dat de periode vermoedelijk 0, = zal zijn. 8 Uit a = volgt dat a =. Op dezelfde manier vind je =. 440 8 ICT De afgeleide ladzijde 4 I-a Kies op het hoofdmenu voor Etra Hellingen. Voor = krijgt de helling voor = 0 de waarde 0,84 en voor = 0, de waarde 0,998. Neem = 0, 00 0 0, π π, π π helling 0 0 c De hellingsgrafiek hoort ij de functie f ( ) = cos. I- Met = krijgt de helling voor = 0 de waarde 0,497 en voor = 0, de waarde 0,0. Neem = 0, 00, dan wordt de tael: 0 0, π π, π π I-a c helling 0-0 0 De hellingsgrafiek hoort ij de functie f ( ) = sin. Bij positieve c is er sprake van een verschuiving naar rechts. Bij negatieve c krijg je een verschuiving naar links. De helling verschuift mee en is even groot als de helling in het oorspronkelijke punt. Zowel de grafiek als de hellingsgrafiek verschuiven eiden even ver naar links of naar rechts. Dus de afgeleide van f( ) = sin( c) is dan f ( ) = cos( c). I-4a d veroorzaakt een verschuiving omhoog ( d > 0 ) of omlaag ( d < 0 ). Verticale verschuivingen heen geen invloed op de helling. c Aangezien de helling niet verandert is van zowel f( ) = d+ sin als van g ( ) = sin de afgeleide functie f ( ) = g ( ) = cos. I-a A veroorzaakt een verticale vermenigvuldiging (uitrekken als a >, inkrimpen als 0< a < en een spiegeling in de - as als a < 0 ) De helling van y= sin moet je met a vermenigvuldigen om de helling van f( ) = a sin te krijgen. I-a dy c f'( ) = a = a cos. d ladzijde veroorzaakt een horizontale vermenigvuldiging (inkrimpen als >, uitrekken als 0< < en een spiegeling in de y-as als < 0 ) Hoofdstuk - Periodieke functies Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 9
0 Hoofdstuk - Periodieke functies De helling in het punt ( y, ) van y= sin moet je met vermenigvuldigen om de helling in het punt ( f, ( )) van f( ) = sin te krijgen. c Bij horizontaal vermenigvuldigen met factor van de grafiek van y= sin wordt de helling keer zo groot en de periode keer zo klein, s f'( ) = cos. I-7 u= en y= sin u = en d y = cos u, s f ( ) = cosu= cos. dt I-8a f ( ) = cos d f ( ) = cos f ( ) = sin e f ( ) = πsin π c f ( ) = sin f f ( ) = cos( 4) I-9a u= 4( ) en y= + sin u d = 4 en d y = cos u, s f ( ) = 4 cosu= cos 4( ). g ( ) = + sin I-0a u= sin en y u = = cos en d y = u, s f ( ) = cos u= sin cos. d u= cos en y= u = sin en d y = u, s f ( ) = sin u= sin cos. d I-a f ( ) = πcos π (zie CI-c). De helling in het punt P(0,0) is f ( 0) = π en in het punt Q(0,; ) is de helling f ( 0, ) = 0. De helling van lijnstuk PQ is y = 0 0 0 =., c Het gemiddelde van de helling in P en in Q is π + 0 = π en is niet gelijk aan de helling van lijnstuk PQ. d De lijn y= + lijkt de grafiek te raken voor = 0,. Het raakpunt is dan T( 08, ; 0, 77) f ( 08, ) =, 00. Het punt T( 08, ; 0, 77 ) voldoet heel goed. e De raaklijn in T aan de grafiek van f heeft als vergelijking y= +. Invullen = 0,8 en y = 0,77 geeft 077, = 08, + ; = 0, Dus de raaklijn heeft als vergelijking y= + 0,. Het vermoeden = 0, uit vraag d is redelijk nauwkeurig. I-a De periode is π = sec. Voor een persoon in rust is dit redelijk. 04, π Er is sprake van uitademen als de grafiek daalt, de druk in de longen wordt minder. Als de persoon inademt neemt de druk toe. In de grafiek is dat zichtaar in het stijgende deel. Zowel het in- als uitademen urt, seconden. c u= 04, π t en p= 0 sin u dt = 04, π en d p = 0 cos u, s p () t = 04, π 0 cosu= 8πcos 0, 4π t. p () = 7, 7, De druk wordt minder, s de persoon ademt uit. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
d T-a c De maimale snelheid waarmee de druk verandert is gelijk aan de uiterste waarden van p (). t Het maimum en minimum van p ()zijn t 8π en 8π s de maimale snelheid waarmee de druk verandert is, luchtdruk/sec. Test jezelf ladzijde 8 De maimale uitwijking is gelijk aan de amplitude en is 0, mm. De periode is 00 00 ππ =. De frequentie is dan = 00 hertz. 00 De grafiek van de ander stemvork is 0,00 naar rechts verschoven tov de grafiek van de eerste stemvork. De periode is 0,0, s de verschuiving is 0, 00 = deel van de 00, periode. Het faseverschil is s. T-a De periode van f is π = 4π en die van g is π = π. De periode van f is vier keer de periode van g, s de gemeenschappelijke periode is 4π. Het aantal oplossingen op [0, 4π] is gelijk aan het aantal snijpunten van de twee grafieken op dit interval. Dat zijn er zeven. c Het interval [0, 0π] evat, gemeenschappelijke perioden van 4π. Op het interval [0, π] zijn er 4 oplossingen, s zijn er totaal 7+ 4= 48 oplossingen. T-a u= ( 0, π) = 0, 7π en y= sin u d = en d y = cos u, s f ( ) = cosu= cos ( 0π, ). u= sin en y= 0, u = cos en d y = u,, s g ( ) = cos, u =, cos sin. d c u= 0, π t en y= cosu dt = en d y = sin u, s h () t = sinu= sin( 0, π t). d u= sin en y= u ; v= cos en z= v = cos en d y = u ; d v = sin en d z = v. d d s k ( ) = cos u ( sin ) v= sincos + sin cos = 4sin cos. ladzijde 9 T-4a De lijn gaat door (0, 8) en (8, 0). De helling a = 0 8 =, en = 8. 8 0 De periode is één jaar, s q = π. De amplitude is ongeveer en de grafiek zal op tijdstip t = 0 onder de trendlijn zijn, s p =. c Plot de grafiek van C() t en de lijn y = 400. Met intersect vind je dat voor t = 40, de grafieken elkaar snijden. Dus vanaf 980 + 40 = 00 zal de concentratie hoger zijn dan 400 ppm. Hoofdstuk - Periodieke functies Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
T-a De periode is π π = sec en de frequentie is = hertz. De amplitude is 0 en de evenwichtsstand is 0. De ovendruk is dan 0 + 0 = 0 mm kwik en de onderdruk is 0 0 = 90 mm kwik. c De evenwichtsstand is + 7 = 4. De amplitude is 7 4 = 0. De frequentie is 00 =, s de periode is 0 en = π = 0 Het functievoorschrift is pt () = 4 + 0 sin π t. T-a De periode van f is π π =. Als de periode van g gelijk is aan, dan is de gemeenschappelijke periode. Dit geldt ook als de periode van g gelijk aan zou zijn. Is de periode van g gelijk aan, dan is de gemeenschappelijke periode ook. De periode van g zou,, 9 of 8 kunnen zijn. Bij of is de gemeenschappelijke periode weer. Blijft over 9 of 8. Als de amplitude weer is en de periode 9 dan wordt het functievoorschrift g ( ) = sin π. 9 T-7a Hoofdstuk - Periodieke functies 0 π. Als het faseverschil groter zou zijn dan 0, dan is de verschuiving meer dan een halve periode naar (ijvooreeld) rechts. Dit etekent dat de grafieken minder dan een halve periode (naar links) uit elkaar liggen. Dus is dat het faseverschil. De periode van f is π en die van g is. Een gemeenschappelijke periode is niet mogelijk omdat in veelvouden van π altijd een veelvoud van π zijn. In veelvouden van komt de factor π niet voor. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel