OPGAVEN LINEAIRE ALGEBRA 2

OPGAVEN BIJ HET COLLEGE LINEAIRE ALGEBRA 2 ******** RJKooman Universiteit Leiden najaar 2007 0

In de opgaven gebruiken we de notatie K voor het lichaam van scalairen van een vectorruimte In alle gevallen mag verondersteld worden dat K = R of C I Algemene begippen Vectorruimten, lineaire deelruimten, dimensie en basis Ga na of de volgende verzamelingen vectorruimten zijn: indien dit niet het geval is, geef dan aan aan welke van de axioma s -8 niet is voldaan ( ) x a V is de verzameling geordende paren reële getallen met de gebruikelijke optelling en scalaire y ( ) ( ) x λx vermenigvuldiging λ = y y ( ) ( ) x x2 b V als in (a) maar met de gebruikelijke scalaire vermenigvuldiging en optelling + = y y ( ) 2 x + x 2 + y + y 2 + c De verzameling reële inverteerbare 2 2-matrices met de gebruikelijke (componentsgewijze) optelling en scalaire vermenigvuldiging ( ) z d De verzameling vectoren in C 2 van de vorm met de gebruikelijke componentsgewijze optelling z en scalaire vermenigvuldiging ( ) a b e De verzameling van alle bovendriehoeksmatrices met de gebruikelijke optelling en scalaire 0 c vermenigvuldiging f R, de verzameling van alle oneindige rijtjes (x, x 2, ) reële getallen met de componentsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging 2 Ga van de volgende deelverzamelingen W V na of het lineaire deelruimten zijn van de vectorruimte V a V = M(n n, C) en W is de deelverzameling van echte bovendriehoeksmatrices, dwz A = (A ij ) W als A ij = 0 voor j i b V = M(n n, C) en W bestaat uit de antisymmetrische n n-matrices (maw A W als A T = A) c V = C n en W = R n d V = C n en W bestaat uit de vectoren (x, x 2,, x n ) T zodanig dat x + + x n = 0 e V = P (C) is de vectorruimte van polynomen met complexe coëfficiënten en W is de verzameling van polynomen in V van graad precies n (n > 0) samen met het nulpolynoom f V is de vectorruimte van continue reële functies op [, ] en W bestaat uit de functies f V zodanig dat f() = 0 f V als in (e), W bevat de functies f V met f(0) = g V = R, W bestaat uit alle rijtjes (x, x 2, ) zodanig dat alle componenten x i op eindig veel na nul zijn

3 Laat V een vectorruimte zijn Bewijs dat voor alle v V geldt dat ( ) v = v 4 U en W zijn lineaire deelruimten van een vectorruimte V a Toon aan dat de doorsnede U W een lineaire deelruimte van V is b Is de vereniging U W een lineaire deelruimte van V? c Beredeneer dat de som U + W = {u + w u U, w W } de kleinste lineaire deelruimte van V is die zowel U als W bevat 5 Bepaal van de volgende lineaire deelruimten W van V de dimensie en geef een basis van W aan: a V = M(n n, C) en W = Sym n (C), de symmetrische n n-matrices b V als in (a), W = Ant n (C), de antisymmetrische n n-matrices c V = P (C) en W bestaat uit de polynomen P van graad hoogstens N zodanig dat P ( ) = 0 d V = P (C), W = span{ X, X X 2, X 2 X 3, X 3 } e V = C(R), de vectorruimte van continue reële (of complexe) functies op R, W = span{, sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 x} f V = P (C) en W bestaat uit de polynomen van graad hoogstens N zodanig dat P () = 0 en P (0) = 0 6 De hermites geadjungeerde U van een complexe matrix U is de matrix die wordt verkregen door U te transponeren en vervolgens de alle elementen van de matrix complex te conjugeren, maw U = U T = U T Een vierkante complexe matrix U heet hermites resp antihermites als U = U resp U = U a Toon aan dat alle hermitese n n-matrices een reële vectorruimte vormen Bepaal ook de dimensie en geef een basis aan b Doe hetzelfde voor de antihermitese n n-matrices c Vormen de hermitese resp antihermitese n n-matrices ook een complexe vectorruimte? Lineaire afbeeldingen en matrices 7 Ga van de volgende afbeeldingen T : V W na of het lineaire afbeeldingen zijn Zo ja, bepaal dan het bereik im(t ) = T (V ) en de kern ker(t ) Geef tevens aan of T injectief dan wel surjectief is a V = P 3 (C) (de polynomen van graad hoogstens 3), W = P 4 (C) en T (p)(x) = xp(x) b V = W = P 3 (C) en T (p)(x) = p(x + ) c V = W = R 3 en T (x) = x a waarbij a R 3 een vaste vector is d V = W = C[a, b] (de reële continue functies op [a, b] R), T (f) = f 2 e V = C[a, b], W = R, T (f) = b a f(x)e x dx f V = W = R, T (x, x 2, ) = (0, x, x 2, ) g V = W = R, T (x, x 2, ) = (x 2, x 3, ) 2

( ) a b h V = M(2 2, C), W = C en T = a + d c d i V = C [a, b], de vectorruimte van continu differentieerbare functies op [a, b], W = C[a, b] en T (f) = f 8 Laat V, W vectorruimten zijn T : V W is een lineaire afbeelding a Zij U een lineaire deelruimte van V Bewijs dat het beeld T (U) een lineaire deelruimte is van W b Ga na dat dim(t (U)) dim(u) (hint: laat zien dat T (U) wordt opgespannen door de beelden van de basisvectoren van U) 9 Bepaal de matrix van de volgende lineaire afbeeldingen: a T : P n (C) P n (C) gegeven door T (p) = p tov de basis {, X, X 2,, X n } b T : P n (C) P n+ (C) gegeven door T (p) = Xp tov de bases {, X, X 2,, X n } en {, X,, X n+ } c T : M(2 2, C) M(2 2, C) gegeven door T (A) = A T tov de basis {E, E 2, E 2, E 22 } waarbij de elementaire matrix E ij de matrix is met een in de i-e rij en j-e kolom, en verder overal nullen (maw (E ij ) kl = δ ik δ jl ) d T : M(2 2, C) M(2 2, C) gegeven door T (A) = AB tov dezelfde basis als in (c), waarbij B = ( 2 ) 0 Laat V = AH 3 de (reële) vectorruimte van de antihermitese 3 3-matrices zijn (vergelijk opgave 7) a Toon aan dat de afbeelding C : AH 3 AH 3 gegeven door C(U) = afbeelding is Ū een inverteerbare lineaire b Bepaal de matrix van C tov een zelfgekozen basis ( ) i a T : C 2 C 2 is een lineaire afbeelding met matrix A = tov de standaardbasis i 3i {e, e 2 } C 2 kan ook opgevat worden als een vierdimensionale reële vectorruimte W met basis {e, e 2, ie, ie 2 } Bepaal de matrix van T : W W ten opzichte van deze basis b Laat nu T : C n C n een lineaire afbeelding zijn met standaardmatrix A + ib Hierbij zijn A en B reële n n-matrices Vat nu T op als een afbeelding T : W W van de 2n-dimensionale reële vectorruimte W = span{e,, e n, ie,, ie n } Druk de matrix van T uit in termen van A en B 2 Toon aan: als V een vectorruimte van dimensie 2 is en T : V V een lineaire afbeelding ( ) zodat 0 T 2 = 0, dan is er een basis van V zodat de matrix van T tov deze basis de vorm heeft 0 0 3

Vectorruimte-isomorfismen, algebra s 3 Laat V = M(n n, K) Voor A V definiëren we de afbeelding ψ A : V V gegeven door ψ A (X) = [A, X] waarbij [A, X] = AX XA de commutator van A en X is a Ga na dat ψ A een lineaire afbeelding is ( ) 0 b Laat n = 2, K = C en J = Geef de matrix van ψ J tov een zelfgekozen basis in V en 0 bepaal de rang van ψ J c Ga na of er een A V bestaat zodanig dat ψ A een vectorruimte-isomorfisme is d Ga na dat de afbeeldingen ψ A voor A V een lineaire deelruimte van L(V ) vormen Beschouw nu de afbeelding T : V L(V ) gegeven door T (A) = ψ A Toon aan dat T lineair is Is T surjectief? Is T injectief? 4 Laat V = M(n n, K) Zij A een inverteerbare matrix in V a Bewijs dat de afbeelding φ A : V V met φ A (M) = AMA een vectorruimte-isomorfisme is ( ) 0 b Neem n = 2 en laat A = Bepaal de matrix van φ 0 A tov de basis {E, E 2, E 2, E 22 } van V (waarbij (E ij ) kl = δ ik δ jl ) De vectorruimte V met de matrixvermenigvuldiging is een algebra Een vectorruimte-isomorfisme φ : W W tussen twee algebra s W, W heet een algebra-isomorfisme als tevens φ(a b) = φ(a) φ(b) waarbij de vermenigvuldiging in de algebra s W en W aangeeft c Ga na dat φ A een algebra-isomorfisme is 5 Laat zien dat de verzameling van n n-bovendriehoeksmatrices, resp stricte bovendriehoeksmatrices met de gewone matrixoptelling en -vermenigvuldiging algebra s zijn Basistransformaties, directe som en projectie 6a Bepaal de standaardmatrix van een loodrechte (of orthogonale) spiegeling in de x -as in R 2 b Zij l de lijn met vergelijking x 2 = 2x in R 2 Bepaal mbv basistransformatiematrices en het resultaat van (a) de standaardmatrix van loodrechte spiegeling in l c P : R 2 R 2 is de projectie op de lijn x x 2 = 0 langs de lijn x + 2x 2 = 0 Bepaal de standaardmatrix van P 7 Beschouw de vectorruimte V = R 3 met lineaire deelruimten U = span{ 3 en W = {x R 3 : 0 x x 3 = 0} P : V V is de projectie op W langs U a Toon aan dat V = U W 4

b Wat is de rang van P? c Bepaal de standaardmatrix van P 8a Beschouw de vectorruimte K n voor n 2 (K = R of C) P : K n K n wordt gegeven door P (x, x 2, x 3, x n ) = (0, 0, x 3,, x n ) Toon aan dat P een projectie is (NB Projecties zijn lineaire afbeeldingen, dus laat ook zien dat P lineair is!) b Beschouw de vectorruimte C = C([, ], K) van K-waardige continue functies op [, ] Toon aan dat de afbeelding P : C C gegeven door P f(x) = (f(x) + f( x))/2 een projectie is 9 Laat V = P n (C) de vectorruimte van polynomen p(x) = a n X n + +a X+a 0 van graad hoogstens n zijn met complexe coëfficiënten a 0,, a n en met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging U = {p V : p() = p () = 0} en W = span{, X} a Toon aan dat U een lineaire deelruimte is van V b Bewijs aan dat {(X ) 2, (X ) 3,, (X ) n } een basis is van U c Bewijs dat P n = U W π : P n P n is de lineaire afbeelding gegeven door π(p)(x) = p() + p ()(X ) d Bepaal de matrix van π tov de basis {, X, X 2,, X n } e Leg uit dat π de projectie op W langs U is (maw π is de projectie op de tweede component van de directe som in (c)) 20 Beschouw de vectorruimte van reële n n-matrices V = M(n n, R) De afbeeldingen S : V V en A : V V gegeven door S(X) = 2 (X + XT ) en A(X) = 2 (X XT ) zijn lineaire afbeeldingen (ga dit na) a Bepaal de deelruimten ker(s) en ker(a) en geef de dimensies Laat zien dat V = ker(s) ker(a) b Ga na dat A en S projecties zijn, dat A + S = id V en bepaal im(a) en im(s) 2 Laat a, b R n met (standaard-inproduct) a b = Bewijs dat de afbeelding P : R n R n gegeven door P (x) = x (x a)b een projectie is Bepaal ker(p ) en im(p ) 22 Laat V = M(n n, R) Sym n 0 (R) is de deelverzameling van symmetrische n n-matrices met spoor nul (het spoor van een n n-matrix A = (a ij ) is de som van de elementen op de hoofddiagonaal n i= a ii), Ant n (R) is de lineaire deelruimte van antisymmetrische n n-matrices en E =span{i n } a Laat zien dat E, Ant n (R) en Sym n 0 (R) lineaire deelruimten van V zijn b Bewijs dat V = Sym n 0 (R) Ant n (R) E c Bepaal een uitdrukking voor de projecties op de afzonderlijke componenten van de directe som in (b) 5

23 Zij V een vectorruimte Een lineaire afbeelding S : V V heet een spiegeling als V = U W voor zekere lineaire deelruimten U, W van V en S(u) = u voor u U, S(w) = w voor w W a Toon aan: S is een spiegeling dan en slechts dan als 2 (S + id V ) een projectie is b Toon aan: S is een spiegeling dan en slechts dan als S 2 = id V Quotiëntruimten 24 Ga na dat gelijkvormigheid van matrices een equivalentierelatie op V = M(n n, K) is 25 Laat V een vectorruimte en W een lineaire deelruimte zijn Bewijs dat de afbeelding Q : V V/W gegeven door Q(v) = v lineair is Ga na dat Q surjectief is en bepaal ker(q) 26 Zij V = P (C) de vectorruimte van polynomen met complexe coëfficiënten Zij verder q(x) = X 6 X W is de lineaire deelruimte van polynomen p(x) in V die deelbaar zijn door q(x), maw te schrijven zijn in de vorm p(x) = q(x)r(x) met r(x) een polynoom in V a Geef een basis van W aan b Wat is de dimensie van de quotiëntruimte V/W? Geef ook een basis voor V/W aan c Ga na of het stelsel polynomen {X, X 2 X, X 3 X 2, X 4 X 3, X 5 X 4, X 6 X 5 } (al dan niet) lineair onafhankelijk is modulo W De lineaire afbeelding T : V V is gegeven door T (p)(x) = X 3 p(x) d Ga na dat T de lineaire deelruimte W invariant laat, dwz T (W ) W e Geef de matrix aan van de quotiëntafbeelding T : V/W V/W tov de in onderdeel b gekozen basis 27a Laat W = span{(, 2, 0)} R 3 Is het stelsel {e, e 2 } lineair onafhankelijk modulo W? En {e, e 3 }? b Laat H C 4 de lineaire deelruimte zijn gegeven door x + x 2 + x 3 + x 4 = 0 en x x 4 = 0 Geef een basis aan voor C 4 /H Is het stelsel {e 2, e 3 } lineair onafhankelijk modulo H? En {e, e 4 }? En {(, 2, 0, ), (0,,, 2)}? c Laat V = M(3 3, C) en laat A, S : V V als in opgave 20 zijn Ga na of het stelsel matrices {I 3, E 2 +E 23, E 2 +E 32 } (waarbij I 3 de eenheidsmatrix is en E ij de elementaire matrices (vergelijk opgave 4)) lineair onafhankelijk is modulo ker(s) en modulo ker(a) 6

28 Bepaal in de volgende gevallen de quotiëntafbeelding T : V/W V/W (geef de matrix aan tov een geschikte basis of geef de beelden van een stelsel basisvectoren): i V = C 2, T : V V gegeven door T (x, y) = (x, 2y); W = span{e }, resp span{e 2 } ii V = C 2, T (x, y) = (x + 2y, y), W = span{e } Varia 29a Beschrijf de vectorruimte R n b Laat V een vectorruimte over K zijn Toon aan dat V en V K isomorfe vectorruimten zijn c Laat zien dat R n R m isomorf is met een vectorruimte R p voor zekere p en bepaal p d Laat V en W eindig-dimensionale vectorruimten zijn Bewijs dat V W isomorf is met de vectorruimte L(V, W ) van lineaire afbeeldingen van V naar W Kies bases van V en W en geef expliciet een isomorfisme aan (gebruik zo nodig matrices) (Opmerking: het isomorfisme is afhankelijk van de keuze van de bases en is niet-kanoniek, zie ook hoofdstuk V) 30 V is een (reële of complexe) vectorruimte van dimensie 2 We kiezen een basis {a, a 2 } van V a Wat is dim(v V )? b Geef een vector in V V aan die niet te schrijven is als een tensorproduct v v (met v, v V ) Zij w V Beschouw de afbeelding T : V V V gedefinieerd door T (v) = v w c Toon aan dat T lineair is Is T injectief? Is T surjectief? 3 Laat U C 3 een tweedimensionale (complexe) lineaire deelruimte zijn a Laat zien dat U R 3 {0} b Is het mogelijk dat R 3 U? 32 Zij V een vectorruimte Voor a V is de translatie over a gegeven door T a (v) = v + a voor v V a Ga na dat T a niet-lineair is voor a 0 V b Zij S : V V een lineaire afbeelding Toon aan dat er voor elke a precies één b V is zodat T b ST a lineair is en bepaal b 33 Zij V een vectorruimte en U een lineaire deelruimte van V Voor a V is de getransleerde U + a gedefinieerd als de verzameling {v V : v = u + a voor u U} Merk op dat de getransleerde van een lineaire deelruimte iha geen lineaire deelruimte is (waarom niet?) Lineaire deelruimten van een vectorruimte samen met hun getransleerden noemen we affiene deelruimten Laat U, W lineaire deelruimten van V zijn zodanig dat V = U W en laat a, b V Bewijs dat de doorsnede van de affiene deelruimten U + a en W + b precies één element bevat 7

34 Laten x,, x n verschillende reële getallen zijn Zij S = {x,, x n } en laat W de vectorruimte zijn van alle reële functies f : S R, met puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging a Laat zien dat W n-dimensionaal is Zij P n de vectorruimte van alle polynomen p(x) = n j=0 a jx j van graad hoogstens n met reële coëfficiënten a j en met puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging Definieer de (restrictie)afbeelding Res: P n W door (Res p)(x k ) = p(x k ) voor k =,, n b Laat zien dat Res een lineaire afbeelding is c Toon aan dat Ker Res = {0} d Bewijs dat er voor iedere keuze van reële getallen c,, c n precies één polynoom p van graad hoogstens n is, zodanig dat p(x k ) = c k voor k =,, n 35 In deze opgave beschouwen we de vectorruimte V = P (C) van polynomen met complexe coëfficiënten Laat x,, x n n verschillende complexe getallen zijn voor zekere n > 0 Verder zijn de polynomen P,, P n gedefinieerd dmv P j (x) = (x x ) (x xj ) (x x n ), waarbij het dakje (x j x ) (xj x j ) (x j x n ) aangeeft dat de betreffende termen worden weggelaten Beschouw de afbeelding P : V V gegeven door P (g) = n g(x j )P j j= a Laat zien dat P een projectie is b Beschrijf de lineaire deelruimten ker(p ) en im(p ) van V Geef tevens een basis aan van beide deelruimten 8

II Determinant en spoor Bereken de volgende waarden van het Levi-Civitasymbool: ɛ 2, ɛ 23, ɛ 432, ɛ 342 2 Bij een permutatie p van n elementen definiëren we de bijbehorende permutatiematrix P via P ij = δ i,p(j) a Laat zien dat als P en Q de permutatiematrices bij permutaties p en q zijn, dan is P Q de permutatiematrix bij de permutatie pq b Ga na dat de determinant van een permutatiematrix P gelijk is aan het teken σ(p) van de bijbehorende permutatie p i 0 3 Bereken de determinant van de matrix 2 0 2i i 0 0 0 0 4 Gegeven is de n n-matrix A = Bewijs dat det(a) = 0 0 0 0 0 0 2 als i = j 5 Laat A n de n n-matrix zijn gegeven door (A n ) ij = als i j = 0 als i j 2 en laat D n = det(a n ) a Bewijs dat D n = 2D n D n 2 voor n 3 b Bewijs mbv volledige inductie dat D n = n + 6 Bewijs dat voor a, a 2, a n R geldt dat + a + a 2 + a 3 + a n ( = a a 2 a 3 a n + + + + ) a a 2 a n 9

7 Zij A = (a ij ) een antisymmetrische n n-matrix, dwz A T = A a Bewijs dat det(a) = 0 als n oneven is In de rest van de opgave nemen we aan dat n even is Beschouw de n n-matrix waarbij a,, a n complexe getallen zijn b Bewijs dat det(a) = (a a 3 a n ) 2 Laat nu n = 4 0 a 0 0 0 a 0 a 2 0 0 0 a 2 0 0 0 A = 0 0 0 0 a n 0 0 0 a n 0 c Bewijs dat det(a) het kwadraat is van een polynoom in de coëfficiënten van A Opmerking: (b) en (c) zijn speciale gevallen van een algemeen resultaat: als A = (a ij ) een antisymmetrische n n-matrix is en n is even, dan is er een polynoom (genoteerd als Pf(A)) in de coëfficiënten a ij van A zodanig dat (Pf(A)) 2 = det(a) Pf(A) heet de Pfaffiaan van A (Dit resultaat kan (onder meer) worden bewezen door tegelijkertijd links en rechts rijen en kolommen te vegen om de vorm in (b) te verkrijgen en te gebruiken dat det(u T AU) = det(a) als det(u) = ) 8a Bewijs dat a b c d d a b c c d a b = (a + b + c + d)(a + ib c id)(a b + c d)(a ib c + id) b c d a Een dergelijk type determinant heet een circulant en wordt genoteerd als C(a, b, c, d) b Formuleer en bewijs een soortgelijke identiteit voor circulanten C(a, a n ) van orde n a a 2 a n c Een circulant van orde n wordt soms ook gedefinieerd als C a 2 a 3 a (a,, a n ) = a n a a n Wat is het verband tussen C(a,, a n ) en C (a,, a n )? 9 Bewijs mbv de Wronskiaan dat het stelsel functies {, x, x 2, x 3, } lineair onafhankelijk is in de vectorruimte C([a, b]) 0

0a Laat a,, a n verschillende reële of complexe getallen zijn Bewijs dat de functies e a x,, e a nx lineair onafhankelijk zijn in de vectorruimte C([a, b]) van continue (reële of complexe) functies op het interval [a, b] (a < b) b Bewijs dat het stelsel functies {, cos nx, sin nx} n= lineair onafhankelijk in C([a, b]) is ( ) A C Laat M een n n-matrix zijn van de vorm Hierbij zijn A en B vierkante matrices O B Toon aan dat det(m) = det(a) det(b) Druk M uit in termen van A, B, C in het geval dat A en B inverteerbaar zijn 2 Zij A = (a ij ) een n n-matrix Laat à = (A ij) de matrix van cofactoren van A zijn Toon aan dat det(ã) = (det(a))n 3 (twee formules voor uitproducten) In deze opgave bewijzen we de volgende twee identiteiten in R 3 : i (a b, c d) = (a, c)(b, d) (a, d)(b, c) ii (a b) c = (a, c)b (b, c)a a Laat A, B de 3 3-matrices gegeven door A = (a, b, c d) en B = (c, d, a b) zijn Toon aan dat det(a) = det(b) = (a b, c d) b Bewijs formule (i) door det A T B op twee manieren te berekenen: (i) mbv (a) en (ii) door de matrix A T B uit te schrijven c Leid formule (ii) uit (i) af Gebruik dat (x y, z) = det(x, y, z) = (x, y z) voor x, y, z R 3 (vergelijk de vorige opgave) 4 Laat a,, a k, b,, b l vectoren in R n zijn A is de n k-matrix met kolomvectoren a,, a k (we noteren dit als A = (a,, a k ) en B = (b,, b l ) a b a b 2 a b l a Toon aan dat (A T a 2 b a 2 b 2 a 2 b l B) = a k b a k b 2 a k b l b Laat a, a n een orthogonaal stelsel vectoren in R n zijn (dus a i a j = 0 als i j) Bewijs dat det(a, a 2, a n ) = a a 2 a n waarbij x = x x δ ip δ iq δ ir c Bewijs mbv (a) dat ɛ ijk ɛ pqr = δ jp δ jq δ jr δ kp δ kq δ kr

5 (een generalisatie van het uitwendig product) a Laat a,, a n R n lineair onafhankelijke vectoren zijn Bewijs dat er een unieke vector b R n bestaat zodat (x, b) = det(x, a, a n ) voor alle x R n (merk op dat de afbeelding x det(x, a,, a n ) een lineaire afbeelding is van R n naar R) In het geval dat n = 3 is b = a a 2 We noteren in het algemene geval b = a a 2 a n b Bereken e e 2 e 3 in R 4 (e i is de i-de standaardbasisvector ) 0 c Bereken in R 4 de vector a b c voor a =, b = 0, c = 0 d Laat a,, a n een lineair onafhankelijk stelsel vectoren in R n zijn Bewijs dat voor het volume van het n -blok opgespannen door a,, a n geldt dat V (a,, a n ) = a a 2 a n (Aanwijzing: laat a n een vector zijn die orthogonaal is met a,, a n en beschouw V (a,, a n )) e Bereken mbv (d) het volume van het 3-blok van onderdeel c 2

III Spectraaltheorie van complexe endomorfismen A is de 5 5-permutatiematrix (e 2, e 4, e, e 5, e 3 ), waarbij e i staat voor de i-de standaardbasisvector Bepaal de eigenwaarden van A Is A diagonalizeerbaar? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 A n is de n n-matrix, maw A ij = als j i = 0, j i = of i = n, j = 0 0 0 0 0 0 Bepaal de eigenwaarden van A en de bijbehorende eigenvectoren 3 B n is de n n-matrix a n a n 2 a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a Toon aan dat ( ) n χ Bn (X) = X n a n X n a X a 0 b Laat zien dat alle eigenwaarden van B n meetkundige multipliciteit hebben 4 Zij A een n n-matrix Toon aan dat de eigenwaarden van A en A T dezelfde meetkundige en algebraïsche multipliciteit hebben 5 A en B zijn n n-matrices, B inverteerbaar a Bewijs dat AB en BA dezelfde eigenwaarden hebben met dezelfde (algebraïsche) multipliciteiten Gebruik een continuïteitsargument om te laten zien dat dit resultaat in feite geldt voor alle n n- matrices A en B b Hebben de eigenwaarden van AB en BA ook altijd dezelfde meetkundige multipliciteiten? 6a Bewijs: een n n-matrix A is nilpotent dan en slechts dan als A louter (complexe) eigenwaarden nul heeft b Zij V een vectorruimte en N : V V een nilpotente afbeelding Bewijs dat id V N inverteerbaar is (id V is de identieke afbeelding op V ) en schrijf de inverse als een polynoom in N 7 (de Jordan-normaalvorm) Zij V een vectorruimte en T : V V een lineaire afbeelding a Veronderstel dat er een a V is zo, dat T k a 0, T k+ a = 0 Hier is k een positief geheel getal Bewijs dat a, T a,, T k a lineair onafhankelijk zijn (Aanwijzing: gebruik volledige inductie) 3

b Laat, als aan de voorwaarden van (a) voldaan is, W = span{a, T a,, T k a} Bewijs dat T (W ) W en laat zien dat er een basis van W bestaat met de eigenschap dat de matrix van T W tov die basis bovendriehoeksvorm heeft, met nullen op de diagonaal, enen op de eerste boven-nevendiagonaal en verder nullen c Zij nu dim(v ) = n en T : V V een lineaire afbeelding met T n 0 en T k = 0 voor zekere k n Bewijs dat er een basis bestaat zodat de matrix van T tov die basis in bovendriehoeksvorm geschreven kan worden, met nullen in de diagonaal, enen in de eerste boven-nevendiagonaal en nullen verder (Zo n basis heet een Jordanbasis van T ) 8a Zij A een n n-matrix met verschillende eigenwaarden λ,, λ n Toon aan dat (A λ I) (A λ n I) = O, maw χ A (A) = O (Aanwijzing: laat zien dat χ A (A)f i = 0 voor f i een eigenvector van A) a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 0 0 b J is de n n-matrix voor zekere a C Bepaal het karakteristieke 0 0 0 a 0 0 0 0 a polynoom χ J van J en laat zien dat χ J (J) = O 9 Bepaal bij de volgende matrices: a de eigenvectoren, b de (gegeneraliseerde) eigenruimten, c een Jordan-normaalvorm d Het minmumpolynoom 3 0 Laat A = 3 0 2 0 2 2 2 0 2 0 4 2 0 A = 3 0 0 0 0 B = 0 3 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 4 0 2 2 0 0 0 C = 0 0 0 0 0 0 0 0 D = 0 3 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 a Bepaal een basis van gegeneraliseerde eigenvectoren van A b Geef een Jordan-normaalvorm van A c Druk A als polynoom in A uit 4

d Schrijf het diagonaliseerbare deel D en het nilpotente deel N van A als een polynoom in A Zij A een m n-matrix met rang a Bewijs dat A = ab T voor zekere (kolom)vectoren a en b b Laat nu m = n Bewijs dat tr(a) = a b (het standaard-inproduct) en dat A 2 tr(a)a = O Bepaal nu het minimumpolynoom m A van A c Bepaal het karakteristieke polynoom χ A van A en toon aan dat m A een deler is van χ A 2 5 d Laat B = 2 4 0 Bereken B 00 3 6 5 2 Ga na of de volgende matrices gelijkvormig zijn: ( ) ( ) 2 2 6 2 4 4 0 4 a en b 2 5 2 en 5 2 6 5 2 5 0 2 0 0 0 4 2 0 c 0 0 0 0 2 0 en 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 Zij A een n n-matrix Laat B de matrix zijn die uit A ontstaat door tegelijkertijd de rijen en kolommen te permuteren (maw er is een permutatie p S n zodanig dat A p(i)p(j) = B ij ) Bewijs dat A en B gelijkvormige matrices zijn 4 (continue afhankelijkheid van de eigenwaarden) Laat λ,, λ n verschillende complexe getallen en D de diagonaalmatrix diag(λ,, λ n ) zijn Zij ɛ > 0 Zij verder E een n n-matrix met elementen E ij met E ij < ɛ a Bewijs: voor ɛ klein genoeg heeft de matrix D + E n verschillende eigenwaarden µ,, µ n zo, dat µ j λ j < nɛ voor j =,, n (Aanwijzing: gebruik de stelling van Gershgorin) b Zij A een complexe n n-matrix met n verschillende eigenwaarden λ,, λ n Bewijs: voor elke ɛ > 0 klein genoeg geldt: er is een δ > 0 zo, dat als E een matrix is waarbij voor de elementen E ij geldt dat E ij < δ, dan heeft de matrix A + E n verschillende eigenwaarden µ,, µ n met µ j λ j < ɛ voor j =,, n (Aanwijzing: diagonaliseer A en pas (a) toe) 5 Laat zien dat de ongelijkheid van Gershgorin scherp is voor de matrices van de vorm (a, b C) ( ) a b b a 5

IV Vectorruimten met inwendig product Laat zien dat de volgende vormen (euclidische resp hermitese) inwendige producten zijn op de vectorruimte V : a V = R n en (x, y) = (Ax) T Ay, waarbij A een willekeurige reële inverteerbare n n-matrix is b V = M(m n, R) en (A, B) = tr(a T B) c V = M(m n, C) en (A, B) = tr(a B) Hierbij is A de complex geconjugeerde van A T d V = C([a, b], C) (de vectorruimte van complexwaardige continue functies op [a, b]) met a < b en (f, g) = b f(x)g(x)w(x)dx waarbij w een continue reële functie is op [a, b] zodanig dat w(x) > 0 a voor x (a, b) e V = l (R) is de vectorruimte van begrensde rijtjes (x, x 2, ) (met x i R) met de componentsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging en (x, y) = x n y n n 2 n= 2 V is de vectorruimte C 2 met inwendig product (x, y) = x y + 2x 2 y 2 x y 2 x 2 y a Toon aan dat (, ) inderdaad een hermites inproduct is b Laat e en e 2 de standaard-basisvectoren in V zijn Bereken (tav het gegeven inproduct) e, e 2 en (e, e 2 ) c Bepaal een orthonormale basis van V 3 Beschouw de sesquilineaire vorm B(x, y) = 2x y + 3x 2 y 2 + i x y 2 i x 2 y a Bepaal een hermitese matrix C zodanig dat B(x, y) = x Cy Ga na dat B(, ) een inwendig product is b Bepaal een basis van C 2 die orthonormaal is tav het inproduct B(, ) 4 Op de vectorruimte van polynomen met complexe coëfficiënten C = P (C) vormt (f, g) = f(x)g(x)dx een (hermites) inwendig product a Door het Gram-Schmidt-procédé toe te passen op het stelsel {, X, X 2, } krijgen we een orthonormale basis {p 0, p, p 2, } Bepaal p i voor i = 0,, 2 b Beargumenteer dat de graad van p n precies n is (Opmerking: De polynomen p n /p n () heten de Legendrepolynomen P n De P n zijn dus zo genormeerd dat P n () = (Dit is goed gedefinieerd is omdat er kan worden aangetoond dat p n () 0 voor alle n) In het algemeen noemen we een stelsel polynomen {p 0, p, } dat orthogonaal is tav een inproduct en zodanig dat graad(p n ) = n orthogonale polynomen) 6

5 V = C([0, 2π]) is de vectorruimte van complexe continue functies op het interval [a, b] R a Bewijs dat {cos nx, sin nx, } n= een orthogonaal stelsel is op V Bepaal ook een orthonormaal stelsel b Beantwoord dezelfde vraag voor het stelsel {e inx } n= 6a Bewijs mbv de ongelijkheid van Schwarz de driehoeksongelijkheid voor vectoren in een vectorruimte met hermites inproduct: x + y x + y (waarbij x 2 = (x, x)) b Bewijs de stelling van Pythagoras: x 2 + y 2 = x + y 2 dan en slechts dan als Re (x, y) = 0 c Bewijs de volgende ongelijkheid voor a,, a n C: a + + a n 2 n( a 2 + + a n 2 ) 7 Zij T a : R 3 R 3 voor a R 3 gegeven door T a (x) = a x a Laat zien dat Ta = T a b Neem aan dat a = Laat zien dat Ta 2 (x) = x + (a, x)a en dat Ta 3 = T a c Beschrijf in het geval dat a = de afbeelding T a meetkundig 8 Zij V een vectorruimte met inwendig product (, ), en laat T ab : V V gegeven zijn door T ab (x) = (a, x)b waarbij a, b V Bepaal de geadjungeerde Tab 9 Zij V = C([, ]) de vectorruimte van complexwaardige continue functies op het interval [, ] met hermites inwendig product < f, g >:= f(x)g(x)dx Laat T : V V de lineaire afbeelding T (f) = f(0) zijn (het beeld moet dus worden opgevat als de constante functie f(0)) Toon aan dat T geen geadjungeerde heeft 0 Beschouw de lineaire afbeelding P : C n C n gegeven door P (x) = x (a, x)b, waarbij x, a, b C en (, ) staat voor het standaard-hermites inproduct op C n Toon aan dat P een orthogonale projectie is dan en slechts dan als a = 0 of b = 0 of a en b lineair afhankelijk zijn en (a, b) = Wat is de kern en het beeld van P? (Vergelijk ook opgave 8 van hoofdstuk I) Beschouw op de vectorruimte M(n n, C) van complexe n n-matrices met inproduct (A, B) = tr(a B) de afbeelding P (X) = 2 (X + X) Ga na of P een orthogonale projectie is 2 De lineaire deelruimte ( ) W van de vectorruimte C 2 (met het standaard-inproduct) wordt opgespannen door Bepaal een basis van W en geef de (standaard)matrix van de orthogonale i projectie op W 7

3 Bepaal de standaardmatrix van de orthogonale projectie op de volgende lineaire deelruimten W van V : a V = R 4 W =span{(2,, 0, ) T } b V = R 4 W =span{(,, 0, 0) T, (, 0,, ) T } c W is het hypervlak x + x 2 + x 4 = 0 in R 4 4 In C 4 is W de lineaire deelruimte opgespannen door de vectoren 2 en 0 a Bepaal een basis van W 0 b Laat v = 2 Schrijf v als v = w + w met w W en w W 3 6 b 5 Beschouw de matrix Q = 7 6 a 3 2 3 c a Bepaal a, b, c zo, dat Q een orthogonale matrix is b Toon aan dat Q de matrix is (tov de standaardbasis) van een rotatie Bepaal ook de rotatieas en de rotatiehoek c Bewijs, zonder te rekenen, dat er precies vier orthogonale matrices P bestaan met P 2 = Q i 0 i 6 Zij W het vlak in R 3 met vergelijking x x 3 = 0 S : R 3 R 3 is de (orthogonale) spiegeling in W a Bepaal een orthonormale basis van W b Bepaal de matrix van S tov een geschikte orthonormale basis van R 3 c Bepaal de matrix van S tov de standaardbasis van R 3 7 Zij l = span{(,, )} a Bepaal een orthonormale basis van l R : R 3 R 3 is de rotatie om l met rotatiehoek π draaiingsas l en draaiingshoek π D : R 3 R 3 is de draaispiegeling met b Bepaal de matrices van R en D tov de standaardbasis van R 3 8

8 A, B zijn twee 3 3-rotatiematrices met dezelfde rotatiehoek Bewijs dat A en B orthogonaal gelijkvormige matrices zijn (dwz A = U T BU voor zekere orthogonale matrix U) ( ) a i 9a De matrix U = 2 is unitair en heeft determinant Bepaal a, b, c b c ( ) i a b Bepaal a, b C en c > 0 zodanig dat V = c een unitaire matrix is 2 b 20 Definieer de cyclische verschuivingsafbeelding S : C n C n door S(x, x 2,, x n ) T = (x n, x, x n ) T a Bewijs dat S unitair is b Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van S c Verifieer dat de eigenvectoren van S onderling orthogonaal zijn 2 Zij V een unitaire vectorruimte met hermites inproduct (, ) Zij n V, n = Voor λ C is de lineaire afbeelding S λ : V V gegeven door S λ (x) = x λ(n, x)n a Bepaal de geadjungeerde S λ b Bepaal de eigenwaarden en eigenruimten van S λ Leg uit dat S 2 een (orthogonale) spiegeling voorstelt c Bewijs dat S λ unitair is dan en slechts dan als 2 Reλ = λ 2 d Zij S : R 4 R 4 de (loodrechte) spiegeling in het hypervlak 0 V = span{, 2, 0 0 } Bepaal de standaardmatrix van S (Gebruik onderdeel (b)) 0 0 22 Zij V = C([, ], C) de vectorruimte van complexe continue functies op het interval [, ] Op V is er een inwendig product gedefinieerd door (f, g) = f(x)g(x)dx Laat m V een functie zijn met waarden op de eenheidscirkel: m(x) = voor x [, ] Bewijs dat de vermenigvuldigingsafbeelding M : V V gegeven door (Mf)(x) = m(x)f(x) unitair is 23 Beschouw de afbeelding R : R 3 R 3 gegeven door R(x) = x cos θ+(n x) sin θ+(n, x)n( cos θ) Hierbij is (, ) het standaard-inproduct en n = a Ga na dat R orthogonaal is b Laat zien dat n een eigenvector is met eigenwaarde c Toon aan: als (y, n) = 0 en y =, dan is (Ry, y) = cos θ d Leg uit dat R een rotatie voorstelt Wat zijn de draaiingsas en de draaiingshoek? 9

24 Zij R : R 3 R 3 een orthogonale afbeelding Toon aan dat voor a, b R 3 geldt: R(a b) = det(r)(r(a) R(b)) (Aanwijzing: je kunt gebruiken dat (a b) c = det(a, b, c)) 25 Zij V = M(n n, C) de vectorruimte van complexe n n-matrices voorzien van het inwendig product (A, B) = tr(a B) Laat U een vaste unitaire n n-matrix zijn en definieer de lineaire afbeelding L : V V door L(A) = UA a Laat zien dat L een unitaire afbeelding is Laat {a,, a n } een orthonormale basis van eigenvectoren van U zijn in C n Definieer de matrices A ij voor i, j =, 2,, n dmv A ij = (0 0 a j 0 0) waarbij a j in de i-e kolom staat (en de andere kolomvectoren de nulvector zijn) b Toon aan dat A ij een eigenvector is van L c Toon aan dat de matrices A ij (i, j =,, n) een orthonormale basis van eigenvectoren van L vormen d Laat χ U en χ L de karakteristieke polynomen zijn van U resp L Leg uit waarom χ L (x) = χ U (x) n 26 Zij V een vectorruimte Een bilineaire vorm B : V V R heet gedegenereerd als er een v V is, v 0, zodat B(v, w) = 0 voor alle w V Een bilineaire vorm B op V heet scheefsymmetrisch als B(v, w) = B(w, v) voor alle v, w V Een bilineaire niet-gedegenereerde scheefsymmetrische vorm noemen we een symplectische vorm a Zij V een complexe vectorruimte met een hermites inwendig product, : V V C Laat zien dat de bilineaire vorm B : V V R gedefinieerd door B(v, w) = Im v, w een symplectische vorm is op V In de rest van de opgave is V = R n b Toon aan dat de bilineaire vorm B : V V R symplectisch is dan en slechts dan als B(v, w) = v T Aw (voor v, w V ) waarbij A een inverteerbare, antisymmetrische matrix is c Zij B een symplectische vorm op V Laat zien dat de dimensie n van V even is Zij W een lineaire deelruimte Het symplectische complement is WB 0 voor alle v W } = {w V : B(v, w) = d Laat zien dat WB een lineaire deelruimte van V is en dat dim(w ) + dim(w B ) = dim(v ) Een lineaire deelruimte L V heet een Lagrangiaan (of maximaal isotroop) als L = L B e Laat zien dat voor een Lagrangiaan L V geldt dat dim(l) = n/2 f Zij B een symplectische vorm op V Bewijs dat V een Lagrangiaan heeft 20

V De duale van een vectorruimte Zij V een vectorruimte en f V, f 0 Laat b V zodat f(b) = (ga na dat er altijd zo n b bestaat) Laat p : V V gedefinieerd zijn door p(x) = x f(x)b Toon aan dat p een projectie is en bepaal ker(p) en (in het geval dat V eindig-dimensionaal is) rang(p) (Vergelijk opgave I8) 2 Bepaal in de volgende gevallen de getransponeerde afbeelding van T : V W : a V = C([a, b], K), W = K met T (f) = f(c), c [a, b] b V = W = P (K) (de vectorruimte van polynomen met coëfficiënten in het lichaam K) met T (f) = df/dx c V = W = R n gegeven door T (x) = (x a)b 3 Laat V een eindig-dimensionale vectorruimte zijn met basis {a,, a n } Laat T : V V een inverteerbaar endomorfisme zijn en laat b i = T (a i ) voor i =,, n De duale bases in V geven we aan met {a,, a n }, resp {b,, b n } Bewijs dat T (b i ) = a i voor i =,, n 4 Laat V een vectorruimte over het lichaam K zijn en f V Bewijs dat voor de getransponeerde geldt: f (k) = k f voor k K Hierbij staat k K voor k id K 5 Laat U, V, W vectorruimten over K en laat S : W U en T, R : V W lineaire afbeeldingen zijn Toon aan dat (ST ) = T S, (T + R) = T + R en als T inverteerbaar is, dan is T inverteerbaar en (T ) = (T ) 6 Zij V = P n (K) de vectorruimte van polynomen (met coëfficiënten in K) van graad hoogstens n Laat x 0,, x n K a Ga na dat de afbeeldingen f j : V K gegeven door f j (P ) = P (x j ) (j = 0,,, n) in V liggen b Bewijs dat het stelsel {f 0, f,, f n } een basis van V vormt c Bepaal een stelsel polynomen {L 0,, L n } V dat duaal is met {f 0,, f n } (maw f i (L j ) = δ ij ; de L i s heten de Lagrange-polynomen behorend bij x 0,, x n ) 7 Zij V een vectorruimte en W een lineaire deelruimte van V De deelverzameling W = {f V : f(w) = 0 w W } van V heet de annihilator van W a Bewijs dat W een lineaire deelruimte van V is Zij (, ) een inwendig product op V Het orthogonaal complement W = {u V : (u, w) = 0 w W } is een lineaire deelruimte van V 2

b Bewijs dat voor w V geldt: w zit in het orthogonaal complement W van W dan en slechts dan als i w in de annihilator van W zit 8 Laat V = P (K) zijn Laat f j V gedefinieerd zijn door f j (X i ) = δ ij voor i, j = 0,, 2, a Bewijs dat de f j s een lineair onafhankelijk stelsel vormen Laat g : V K gegeven zijn door g(p) = p() b Bewijs dat g V en dat g lineair onafhankelijk van f 0, f, is c Geef een basis van ker(g) d Toon aan dat (ker(g)) = span{g} e Ga na dat im(g ) = span{g} f Bepaal ker(g ) 9 In deze opgave bestuderen we een vectorruimte-isomorfisme tussen V W, resp V W en L(V, W ) We nemen V = C 2, W = C n a Laat zien dat elke T L(V, W ) een lineaire combinatie van de afbeeldingen T ij is waarbij T ij (e k ) = δ ik e j ({e, e 2 }, resp {e,, e n} is de standaardbasis in V resp W ) b Beschouw de lineaire afbeelding φ : V W L(V, W ) gedefinieerd door φ(e i e j ) = T ij Ga na dat φ een vectorruimte-isomorfisme is c Beschouw nu de basis {a = e + e 2, a 2 = e e 2 } van V Dan is T = φ(a e ) + φ(a 2 e ) Ga na dat niet geldt: φ(a i e j )(a k) = δ ik e j d Laat {e, e 2 }, resp {a, a 2 } de duale basis van {e, e 2 }, resp {a, a 2 } in V zijn Druk a, a 2 uit in e, e 2 e Definieer het vectorruimte-isomorfisme ψ : V W L(V, W ) door ψ(e i e j ) = T ij Ga na dat nu (wel) geldt ψ(a i e j )(a k) = δ ik e j 22

VI Genormeerde vectorruimten Bepaal van de volgende matrices de norm: A = ( ) 2 0, B = 0 3 ( ) ( ) 0 i, C = i 0 0 0 0 D = 0 0 0 0 0 2a Zij V = C([a, b], K) de vectorruimte van continue K-waardige functies op [a, b] R (a < b) Laat zien dat V met de sup-norm f = max x [a,b] f(x) een genormeerde vectorruimte is b Beantwoord dezelfde vraag voor V = l (K), de verzameling rijtjes x = (x, x 2, ) met x i K en zodanig dat i= x i convergeert en met norm x = x n n= 3 Zij V een (eindig-dimensionale) complexe vectorruimte met inwendig product (, ) en T : V V een lineaire afbeelding a Toon aan dat voor de Euclidische norm geldt: T = max x = y = (T (x), y) (waarbij x, y V ) b Toon aan, mbv (a), dat T = T c Zij U : V V unitair Bewijs dat U T U = T d Geldt S T S = T ook voor een willekeurige inverteerbare afbeelding S : V V? e P : V V is een orthogonale projectie op een lineaire deelruimte W Neem aan dat W niet de nulruimte is Bewijs dat P = 4 Zij A een willekeurige n n-matrix Bewijs dat lim n An /n = max{ a : a is een eigenwaarde van A} 5 Toon aan dat I + A + A 2 + A 3 + convergeert als A < en dat de som gelijk is aan (I A) 6 Bepaal in de volgende gevallen zo mogelijk e A, cos(a), sin(a), log(a): a A = diag(λ, λ 2,, λ n ) ( ) 0 b A = 0 ( ) λ c A = voor λ C 0 λ ( ) 0 i d A = i 0 23

e A = ( ) 2 0 7a Bewijs: ( e A) T = e A T en ( e A) = e A b Bewijs dat voor A, B n n-matrices, B inverteerbaar: B e A B = e B AB 8a Zij N een nilpotente matrix Bewijs dat de enige eigenwaarde van e N is b Toon aan: de eigenwaarden van de matrix e A zijn van de vorm e a waarbij a een eigenwaarde van A is ( ) ( ) 0 cos θ sin θ 9 Laat J de matrix zijn Laat zien dat e θj = 0 sin θ cos θ (Gevolg: elke matrix in SO(2) is te schrijven in de vorm e L met L T = L) 0 In deze opgave tonen we aan dat elke matrix in SO(3) van de vorm e L is met L een antisymmetrische matrix cos θ sin θ 0 a R z (θ) = sin θ cos θ 0 is de standaardmatrix van rotatie om de z-as in R 3 Laat zien dat 0 0 R z (θ) = e θj en bepaal J b Zij A SO(3) Dan is A de standaardmatix van rotatie om een as l door de oorsprong Toon aan dat er een orthogonale matrix B bestaat zodanig dat A = B R z (θ)b voor zekere θ R (vergelijk ook opgave IV6) c Gebruik nu opgave V7 om aan te tonen dat A = e L met L T = L In de volgende opgave is A steeds een n n-matrix a Geef een voorbeeld van een reële matrix A zodanig dat e A = I en A O b Toon aan: det(exp(a)) = exp(tr(a)) c Bewijs dat exp(a) orthogonaal (resp unitair) is als A antisymmetrisch (resp antihermites, dwz A = A) is Geldt het omgekeerde ook? d Is elke reële orthogonale matrix te schrijven in de vorm exp(a) met A een reële matrix? 2a Ga na dat elke spoorloze hermitese ( 2 2-matrix ) ( een reële ) lineaire combinatie ( ) σ a = a σ +a 2 σ 2 +a 3 σ 3 0 0 i 0 is van de Pauli-matrices σ =, σ 2 = en σ 0 i 0 3 = 0 b We schrijven a = αn waarbij α > 0 en n = Ga na dat de matrix σ a te schrijven is in de 24

( cos θ sin θe iφ vorm α sin θe iφ cos θ ) c Bepaal de eigenwaarden en de eigenvectoren van σ a (geef een uitdrukking in termen van α, θ en φ) d Toon aan dat e iσ a = I cos α + i(σ n) sin α en ga na dat elke matrix U SU(2) te schrijven is in de vorm U = e iσ a voor a R 3 3 Beschouw voor t R de matrixwaardige functie A(t) = (I n tb) voor zekere n n-matrix B Bepaal A (t) 4 Laat a, b reële getallen zijn met a < b Zij A(t) een op [a, b] differentieerbare (n n )matrixfunctie a Neem aan dat A(t) orthogonaal (resp unitair) is Bewijs dat A T (t) da (t) antisymmetrisch (resp dt antihermites) is b Bewijs dat d dt det(a(t)) = tr(da dt )(t) 5 Los de volgende stelsels differentiaalvergelijkingen op: a b { x (t) = 2y(t) y (t) = 2x(t) { x (t) = 3x(t) + 4y(t) y (t) = x(t) + y(t) 6 Voor A M(n n, K) is de lineaire afbeelding ad:m(n n, K) L(M(n n, K)) gedefinieerd als ad(a)(b) = [A, B] We gaan aantonen dat e A Be A = e ad(a) B a Toon aan dat d dt eta Be ta = e ta [A, B]e ta en dat dn dt n eta Be ta = e ta (ad(a)) n Be ta voor t R b Laat zien mbv (a) dat e ta Be ta = e t ad(a) B 7 Zij V een eindig-dimensionale complexe vectorruimte met inproduct (, ) en T : V V een lineaire afbeelding A is de matrix TB B van T tov een orthonormale basis B van V Bewijs dat T = A waarbij de norm de afbeeldings-, resp matrixnorm is, geïnduceerd door de vectornorm afkomstig van het inproduct op V (maw T = max x = T x en analoog voor A) 25

VII Normale afbeeldingen Beschouw de lineaire afbeelding T : C n C n gegeven door T (x) = (a, x)b waarbij a, b C n met a, b 0 (, ) is het standaard-hermitese inproduct op C n a Bepaal de eigenwaarden en de bijbehorende eigenruimten van T b Laat zien dat T diagonalizeerbaar is dan en slechts dan als (a, b) 0 c Bewijs dat T normaal is dan en slechts dan als a en b lineair afhankelijk zijn 2 Bewijs dat de afbeeldingen S λ van opgave IV9 voor alle λ C normaal zijn 3 Laat V een tweedimensionale unitaire vectorruimte zijn met hermites inproduct (, ) Beschouw de afbeelding T : V V gedefinieerd door T (x) = (a, x)b + (b, x)a waarbij a, b V gegeven vectoren zijn a Toon aan dat T een hermitese afbeelding is b Laat nu {a, b} een orthonormaal stelsel in V zijn Bepaal de eigenwaarden en een orthonormale basis van eigenvectoren van T c Beantwoord vraag b voor het geval dat dim(v ) = n > 2 4 Bewijs dat voor een normale matrix A geldt: A = max{ a : a is een eigenwaarde van A} 5 Bepaal alle normale, nilpotente n n-matrices 6 Zij V een eindig-dimensionale unitaire vectorruimte Bewijs dat elke normale projectie een orthogonale projectie is (een normale projectie is een projectie die tegelijkertijd een normale afbeelding is) 7a Bepaal mbv de spectraaldecompositie voor symmetrische matrices een symmetrische 3 3 matrix A zodanig dat de eigenwaarden van A gelijk zijn aan (met multipliciteit 2) resp en 0 een eigenvector met eigenwaarde - is b Geef een uitdrukking voor A n voor n geheel 8 Zij A een (reële) antisymmetrische n n-matrix a Toon aan dat alle eigenwaarden van A van de vorm ia met a reëel zijn b Bewijs dat A een eigenwaarde 0 heeft als n oneven is 26

9 Beschouw de kwadratische vorm q(x) = 2x x 2 + 2x x 3 + x 2 2 2x 2 x 3 + x 2 3 a Schrijf q(x) in de vorm x T Ax met A = A T b Diagonalizeer q(x) en bepaal de signatuur van q c Bepaal de spectraaldecompositie van de matrix A d Welke waarden neemt q(x) aan op de bol x = in R 3? 0 Zij V een complexe vectorruimte met hermites inproduct (, ) Zij verder {u,, u n } een orthonormale basis van V Bewijs de identiteit van Parseval (x, x) = (u, x) 2 + + (u n, x) 2 Zij T : V V een lineair endomorfisme van een eindig-dimensionale complexe vectorruimte V met hermites inproduct Toon aan dat T unitair is dan en slechts dan als T normaal is en alle eigenwaarden van T modulus hebben 2 Zij T L(V ) a Laat zien dat T = T + it 2 met T, T 2 : V V hermites b Ga na dat T normaal is dan en slechts dan als T T 2 = T 2 T c Leg uit aan de hand van Propositie 30 hoe de spectraaldecompositie voor compacte operatoren volgt uit de spectraaldecompositie van hermitese operatoren 27

VIII Positief-definiete matrices A en B zijn positief-definiete n n-matrices a Is A + B positief definiet? b Bewijs dat A inverteerbaar is Is A positief definiet? c Zij C een reële symmetrische matrix Toon aan dat C 2 positief-semidefiniet is 2a Zij A een positief-definiete n n-matrix Bewijs dat er minstens 2 n normale matrices B bestaan zodanig dat B 2 = A Hoeveel hiervan zijn positief-definiet? b Bestaat er een niet-normale matrix C zodanig dat C 2 = A? c Wat kun je concluderen tav de uniciteit van A? 3 Bereken zo mogelijk A: ( ) 2 + i a A = i 3 b Voor elk van de matrices in opgave V6 (geef in de voorkomende gevallen aan voor welke λ resp λ i de wortel bestaat) 4 Toon aan dat de matrix 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 positief definiet is 5a Bepaal a, b, c zodanig dat de volgende vorm een hermitese vorm is en schrijf de vorm als x Ay met A een hermitese matrix: x, y = 2 x y + b x y 2 + i x y 3 2 x 2 y + 4 x 2 y 2 + c x 3 y + a x 3 y 3 b Voor welke a, b, c is de bovenstaande vorm een inwendig product? 6 Zij F : R n R een kwadratische vorm en {b,, b n } een basis van R n zodat F (b i, b i ) > 0 voor i =,, n Is F positief definiet? 7 Laten A en B positief-definiete n n-matrices zijn Toon aan dat alle eigenwaarden van AB positieve reële getallen zijn 28

8 Laat A een hermitese (reële of complexe) n n-matrix zijn en B een positief-definiete n n-matrix Beschouw het gegeneraliseerde eigenwaardeprobleem Ax = λbx Als het eigenwaardenprobleem voor zekere λ een oplossing x 0 heeft, dan heet λ een eigenwaarde van A tov B; x noemen we een eigenvector a Toon aan dat alle eigenwaarden reëel zijn b Bewijs dat er een basis van eigenvectoren bestaat die orthonormaal is tav het inproduct x, y = x By in K n 9 (Hessiaan) Het punt O(0, 0, 0, 0) is een stationair punt van de functie f : R 4 R gegeven door f(x, y, z, w) = 2 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 + w 2 + 2xy 2xz + 2wz + 2ayw + w 3 + y 3 + z 3 + w 3 Ga na voor welke a R de functie f in O een (lokaal) maximum, een minimum dan wel een zadelpunt heeft 0a Gebruik de QR-decompositie van een matrix om de ongelijkheid van Hadamard te bewijzen b Laat zien dat in het geval van een inverteerbare matrix de ongelijkheid van Hadamard een gelijkheid is dan en slechts dan de kolomvectoren van de matrix orthogonaal zijn Laat Z een willekeurige n n-matrix zijn en R = ZZ, S = Z Z Bewijs dat R en S dezelfde eigenwaarden hebben met dezelfde multipliciteiten (De eigenwaarden van R, resp S zijn de singuliere waarden van Z) 2 Bepaal ( ) van de volgende ( matrices ) de singuliere-waardendecompositie: 2 0 i ii 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 2 iii iv 3 0 ( ) 3 v vi ( 3 4 ) 4 0 ( ) vii 0 viii 2 2 3 Bepaal van de volgende matrices de polaire decomposities SO en OS met O unitair en S, S positief definiet: ( ) ( ) i ii 0 0 ( 4 2 3 2i 0 iii A ) iv 2 2 6 7 3 4 6 29

π 4 (Gaussische integralen) Zoals bekend is e ax2 dx = a a Bewijs de volgende generalizatie in R n : R n e n i= n a ijx i x j j= dx dx n =: R n e x voor a > 0 T Ax d n x = π n det(a) waarbij A de symmetrische matrix (a ij ) is voor A positief definiet Ga ook na dat de integraal alleen convergeert als A positief definiet is b Bewijs dat voor A reëel en positief definiet en b R n R n e x T Ax+b T π x d n n x = det(a) e 4 b T A b 30

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 maandag 9 januari 2006, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven Beschouw de vectorruimte V = R 3 met de lineaire deelruimten U = span{ 0 } en x W = {x = x 2 R 3 : x + x 3 = 0} x 3 a Leg uit dat V = U W (4 pt) Zij π U : V V de projectie op U langs W b Wat is de rang van π U? (2 pt) c Bepaal de matrix van π U tov de standaardbasis in V = R 3 (6 pt) 0 0 0 0 0 0 0 0 2 B is de permutatiematrix 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a Toon aan dat het karakteristieke polynoom van B gelijk is aan (X 2 )(X 3 ) (3 pt) B heet diagonaliseerbaar over K (K = R of C) als er een diagonaalmatrix D en een inverteerbare matrix U bestaan met elementen in K zo, dat B = UDU b Is B diagonaliseerbaar over C? (6 pt) c Is B diagonaliseerbaar over R? (3 pt) 3 Beschouw de kwadratische vorm q(x) = 2x 2 2x x 2 7x 2 2 op R 2, x = a Bepaal een symmetrische matrix A zodanig dat q(x) = x T Ax (2 pt) b Bepaal een orthogonale matrix U en reële getallen d, d 2 zo, dat q(x) = d y 2 + d 2 y2 2 en U ( ) x (6 pt) x 2 c Is de kwadratische vorm positief (semi-)definiet? (2 pt) ( x x 2 ) ( y y 2 ) = 3

4a Bepaal een matrix A met karakteristiek polynoom X 5 + X 4 en minimumpolynoom X 4 X 3 (5 pt) b Bestaat er een matrix B met hetzelfde karakteristieke polynoom en hetzelfde minimumpolynoom als de matrix A in (a) terwijl B niet gelijkvormig is met A? (4 pt) ( i 5 S : C 2 C 2 is een lineaire afbeelding met eigenwaarden 2 en - en bijbehorende eigenvectoren resp ( i ) (Op C 2 is het standaard-hermites inproduct op de gebruikelijke wijze gedefinieerd) a Leg uit dat uit de gegevens volgt dat S een normale afbeelding is (4 pt) b Bepaal de matrix van S tov de standaardbasis in C 2 (5 pt) c Bepaal de Euclidische norm S van S (2 pt) d Bereken de standaardmatrix van e S (4 pt) ) (Als het ( niet gelukt ) is het antwoord van (b) te bepalen, dan mag ipv (d) de matrix e S 2 6i S = worden uitgerekend Merk op dat S niet de standaardmatrix van S is!) 6i 7 met 6 V is een complexe vectorruimte met hermites inproduct (, ) De dimensie van V is gelijk aan 3 {a, b} is een orthonormaal stelsel in V Verder is de afbeelding T : V V gegeven door T (x) = i(a, x)b i(b, x)a a Toon aan dat T een lineaire afbeelding is (3 pt) b Bewijs dat T een hermitese (of zelfgeadjungeerde) afbeelding is (5 pt) c Bewijs dat T 2 een orthogonale projectie is op span{a, b} (4 pt) d Is T zelf ook een orthogonale projectie? (2 pt) 32

Antwoorden bij het tentamen van 9--06 a Omdat U W = {0} (nagaan!) is de som U + W gelijk aan de directe som U W Verder is dim(u W ) = dim(u) + dim(w ) = 3, dus is U W = V (een lineaire deelruimte van een eindig-dimensionale vectorruimte V met dimensie gelijk aan dim(v ), is gelijk aan V ) b De rang van π U is de dimensie van het bereik im(π U ), dus rang(π U ) = dim(u) = c Noem de matrix P Dan is P 0 = 0, 0 0 0 dus P = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P = 0, 0 0 /2 0 /2 = 0 0 0 /2 0 /2 0 P 0 = 0 0 2a Doen b B = UDU betekent BU = UD dus Bu i = d i u i met u i de i-e kolomvector van U en d i = D ii Dus B diagonaliseerbaar over K dan en slechts dan als B een basis van eigenvectoren in K n heeft (waarbij de eigenwaarden in K liggen) Methode : B is unitair dus B heeft een (orthonormale) basis van eigenvectoren in C n ; B is dus diagonaliseerbaar over C Methode 2: Het karakteristieke polynoom van B heeft nulpunten,, /2 ± (i/2) 3 De ew, /2 ± (i/2) 3 hebben alle algebraïsche en dus meetkundige multipliciteit, de ew heeft algmult 2 en B is diagonaliseerbaar precies dan indien de meetkundige multipliciteit ook 2 is, 0 0 0 0 0 0 maw als de nulruimte/kern van B I = 0 0 0 dimensie 2 heeft (maw 0 0 0 0 0 0 indien rang(b I) = 3) Dit is inderdaad het geval (de som van de e, 3e en 5e rij is de nulrij en de som van de 2e en 4e rij ook) c Omdat B ook niet-reële eigenwaarden heeft (nl /2 ± (i/2) 3) kan B nooit een basis van eigenvectoren in R 5 hebben B is dus niet diagonaliseerbaar over R ( ) 2 6 3a A = 6 7 b A heeft eigenwaarden 5 en -0 met eigenvectoren 33 ( ) 2 resp ( ) Dus is A = UDU T met 2